8__第十一章_压杆稳定问题
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12
第十一章 2. 一端固支、一端铰支 •变形曲线观察：与B端相 距约0.7l处有一拐点C A
拐点
压杆稳定问题
l
B
Fcr
•类比：拐点C处弯矩为零， 将C点坐标转动到变形前位 置，BC段类比铰支压杆。
A
C
Fcr
2 EI
(0.7l )2
Fcr
0.7l
B
Fcr
•近似性讨论：由于变形后 拐点C离开轴线，B处有约 束反力，小变形条件下很小。
4.4932 EI 2 EI Fcr 2 l (0.7l )2
10
第十一章
压杆稳定问题
总结
1．弹性平衡稳定性的概念 受压杆件保持初始直线平衡状态 的能力称为压杆的稳定性；弹性体保持初始平衡状态的能力 称为弹性平衡的稳定性。 2．压杆的临界载荷 使压杆直线形式的平衡由稳定转为不稳 定的轴向压力值。 3、 两端铰支细长压杆稳定微分方程 F 2 d 2w 2 k k w0 2 EI dx 4、 两端铰支细长压杆的临界载荷
Fcr
EI
l2
27
第十一章 例： 下列结构OA，BC为大柔度杆， 稳临界载荷。
压杆稳定问题 AB为刚性杆。 求失
F
k
F
A B
A
EI
l
EI
EI 0 l
O
O
C
1
2
28
第十一章 （1）分析: 弹性杆-弹簧系统有 两种失稳形式：a. 弹簧变形， 杆保持直线偏转失稳； b.弹簧 不变形，杆弯曲失稳。 （1）解：（a）设微干扰后 杆OA保持直线偏转失稳。
1
第十一章
压杆稳定问题
第十一章
压杆稳定问题
§11-3
两端非铰支细长压杆的临界载荷
2
第十一章
压杆稳定问题
§11-3
两端非铰支细长压杆的临界载荷
解析法确定临界载荷：铰支-固支压杆 类比法确定临界载荷 相当长度与长度因素
例题
3
第十一章 一、解析法确定临界载荷 根据微弯临界平衡状态 建立微分方程
M ( x)
FR
FR
F
w
lx
F
通解： FR w A sin kx B cos kx (l x) 2 EIk
F (k ) EI
2
7
第十一章 通解： FR w A sin kx B cos kx (l x) 2 EIk 考虑位移边界条件：
压杆稳定问题
F (k ) EI
压杆稳定问题
1. 固支-自由压杆 F A
l
B F
M ( x ) F ( w )
d 2w M ( x) 2 dx EI
A
l
FM
w
B
F
x
d 2w F ( w ) 2 dx EI
令 k2
F EI
d w k 2 w k 2 dx 2
4
2
第十一章
压杆稳定问题
d 2w k 2 w k 2 dx 2
20
第十一章
压杆稳定问题
3k Fcr l sin
Fcr
4(2 2) k l sin
EI k li
Fcr
2 EI
l
2
EI F ai 2 l sin
i cr
2 9.870
a1 8.0, a2 9.0, a3 9.373
21
第十一章
第十一章
压杆稳定问题
上讲回顾
稳定性的概念与失稳的后果
稳定性——保持原有平衡形式的能力
压杆稳定性
受压杆件保持初始直线平衡状态的能力 临界载荷Fcr: 压杆直线形式的平衡由稳定 转变为不稳定时的轴向压力值。 弹性压杆临界载荷的欧拉公式
欧拉公式的意义（内因与外因）与适用范围
刚性压杆弹簧系统与弹性压杆的区别与联系
( 2l ) 2
6
第十一章
压杆稳定问题
2. 一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷 根据微弯临界平衡状态 建立微分方程
l
F FR F
M ( x ) Fw FR (l x )
d 2w M ( x ) 2 dx EI
FR d 2w F w (l x ) 2 dx EI EI
x
例： 弹性梁 EI 0 两根大柔度杆EI，设两杆拉压强度 足够，且轴向压缩变形可忽略。 （1）求 O C 失稳 Fcr 2 （2）求结构失稳 Fcr
2
解： （1）解除 O1 B 杆约束
变形协调条件：
FB 2a
3
a
A
a
B EI0
1
a
C
2
F D
l
wB 0
Fa 2a
2
0 48 EI 0 16 EI 0 B点反力 C点力偶 3 FB引起 Fa引起 FB F ( ) 2 9 FC F () 由梁静力平衡 4
EI 5 cr FN 2 2 F FN 2 l 6 5 2 EI Fcr 2 6l 2
2
O1
O2
23
第十一章 解： （2）求 Fcr，下述解法是否正确？ 由变形图 FN 2 2FN 1 由刚性梁AD的平衡
压杆稳定问题
5 EI Fcr 3l 2
2
结构失稳时， N 1 F cr l2 5 F FN 1 3 a a
2. 考虑梁变形，结构失稳时外载F临界值变大还是变小?
26
第十一章 思考:1. 考虑梁变形，杆2失稳时 外载F临界值变大还是变小? 答：临界载荷变小，由杆2将
压杆稳定问题
a
A B
1
a
a
C
2
F
D
l
达临界失稳时杆1受拉引起。
3 FB F ( ) 2 9 FC F () 4
O1
O2
2. 考虑梁变形，结构失稳时外载F临界值变大还是变小? 答：不变。结构失稳时，无论梁变不变形，杆1和杆2 承载都达到各自临界值。 2
O1
O2
25
第十一章
3 FB F ( ) 2 9 FC F () 4
压杆稳定问题
a
A
a
B EI0
1
a
C
2
F
D
l
杆2首先失稳，临界载荷
FC cr
2 EI
l
2
故结构临界载荷 4 4 2 EI Fcr 2 FC cr 9 9l 2 思考:
O1
O2
1. 考虑梁变形，杆2失稳时外载F临界值变大还是变小?
2
FR
x 0, w 0 x 0, w ' 0 x l, w 0
FR l B 0 2 EIk
F x
FR Ak 0 2 EIk
l
A sin kl B cos kl 0
8
第十一章
FR l B 0 2 EIk
压杆稳定问题
FR Ak 0 2 EIk
A sin kl B cos kl 0
l2 5、 两端非铰支细长压杆的临界载荷——解析法
力学模型· 数学方程· 齐次方程的非零解· 系数行列式为零
11
Fcr
2 EI
第十一章 二、类比法确定临界载荷
l
F F
压杆稳定问题
1. 一端固支一端自由：
观察：受力与变形与两端 铰支压杆左半部分相同
F
l
l
类比：一端固支一端自由长l的压杆的临界载荷等于 长2l的对应铰支压杆的临界载荷。 2 EI 2 EI 与解析法结果相同 Fcr 2 (2l ) 4l 2
常见支承的压杆稳定问题中，其控制方程均为弹性梁弯曲方程（计及了轴向 压力的影响）。当控制方程用二阶线性常系数微分方程描述时，它们的齐次 部分完全相同，区别只是非齐次项。可以发现简支压杆（欧拉问题）的控制 方程最简单，其非齐次项为零。从微分方程解的表达式来看，简支压杆的解 仅仅对应了齐次部分。而其他情况还要考虑非齐次部分的特解，因而可以认 为简支压杆是压杆稳定问题的最基本模式。显然其他支承的压杆与简支压杆 应该存在某种内在联系，这种联系可通过有效长度来体现。 从数学观点看，压杆微分方程与梁弯曲方程有着根本区别：前者是本征值问 题，其本征函数（即屈曲模态）均含有一个不确定的系数（如最大挠度等）。 其物理根源是在临界载荷作用下，压杆处于中性平衡状态（或称为随遇平衡 状态），所以即使对应一定的屈曲模态，位移的大小是不确定的。与压杆不 同，梁弯曲时载荷与挠度无关，挠度是完全确定的。(如果考虑大挠度问题， 压杆在临界状态的位移大小是确定的)
5
第十一章 •存在非零解的条件：
压杆稳定问题 F
w
cos kl 0
（ n1 2 ） kl ( n 1, 2) 2
A
x
B
l
F 2 注意到： k EI
（ n 1 2 2 EI 2 ） 得： F (2l )2
取n=1, 得固支-自由压杆的临界载荷：
Fcr
2 EI
2
Fcr
EI
l / 2
1 2
Fcr
EI
(0.7l )
2
0.7
2 EI 欧拉公式可以写成统一形式： Fcr ( l )2
l ——相当长度：相当的两端铰支压杆的长度 ——长度因数:支持方式对临界载荷的影响
15
第十一章
压杆稳定问题
16
第十一章
压杆稳定问题
FR
•存在非零解的条件：
0 k sin kl 1 0 cos kl l EIk 2 1 0 2 EIk 0
F
x
l
tan kl kl
9
第十一章
压杆稳定问题
FR
tan kl kl
y1 tan kl
( kl )a 4.493
y2 kl
x
F l 4.493 EI
F
l
F k 2 EI
解：（a）研究刚杆AC的临界平衡
BC给与AC的反力为F’ （二力杆，系统小变形） F =F cos
第十一章
压杆稳定问题
例： 刚杆（蝶形）弹簧系统，求临界载荷。
A
l
C
k
l
B F
A
l
C
k*
l
B F
（a）
k * 2
（b）
C A
F
A点距力线F为l· sin 由对A的力矩平衡
解：（b）研究刚杆AC的临界平衡
2 EI
F D
l
a
C
A
答：不正确，在结构临界失稳时
cr cr FN 2 2FN 1 而是 FN 1 FN 2
B
1
2 EI
l2
O1
2
正确解答：
cr cr 由AD梁平衡 Fcr 3a FN 1 a FN 2 2a
O2
Fcr
2 EI
l2
24
第十一章
压杆稳定问题
22
第十一章
压杆稳定问题
例： 刚性梁，两根大柔度杆EI （1）求 O2C 失稳 Fcr 2 （2）求结构失稳 Fcr
解：（1）为求 Fcr 2 ，先求作用F 时 FN 2 刚性梁AD绕A点转动
a
A
a
B
1
a
C
2
F D
l
l2 2l1
FN 2 2FN 1
由刚性梁AD的平衡
F 3a FN 1 a FN 2 2a
压杆稳定问题
人体躯干与四肢完全可以简化为刚 杆－弹簧模型，刚杆为骨骼，弹簧 为关节肌肉群。为了保证人体举重 姿势平衡状态的稳定性，其所能承 受的重量是有上限的：该重量与关 节肌肉群的刚度成正比，与骨骼长 度成反比。 举重比赛项目中运动员的体貌特征 可以用以上的分析结果得到很好的 验证：四肢短小即较小的长度，发 达的肌肉即较大的弹簧刚度。黑人 运动员之所以在举重项目中不具备 “天份”，原因在于黑人属于四肢 修长型人种，而较长的四肢降低了 所能承受的最大载荷。
扭簧力矩为k*· 2
Fcr l sin k * 2
2k * 2k * Fcr l sin l
19
第十一章 C A
压杆稳定问题
k * 2
A
l
C
k*
l
B F
F
（b）
Fcr l sin k * 2
2k * Fcr l sin
大变形的解
F
k
压杆稳定问题
F
A
k
A
EI
l
O
O
在临界状态，载荷引起的偏转力矩与弹簧力的恢复力矩 平衡。
(1) Fcr k l
(1) Fcr kl
29
第十一章 （1）解： (1) （a） Fcr kl （b）弹簧不变形， 杆弯曲失稳。 杆OA相当于两端 铰支杆
通解：
w
F
B
w A sin kx B cos kx
考虑位移边界条件：
A
x
l
x 0, w 0,
dw x 0, 0 dx
B
Ak 0
A0
x l, w
A sin kl B cos kl
•存在非零解的条件：
cos kl 0
Fcr
C 0.7l
B
13
第十一章 3. 两端固支压杆：
拐点 拐点
压杆稳定问题
Fcr
l 4
l 2
l 4
Fcr
2 EI
(l / 2) 2
Fcr
Fcr
l 2
14
第十一章 三、欧拉公式的统一表达式： EI Fcr 1 2
l EI Fcr (2l )2
压杆稳定问题
2Leabharlann Baidu
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第十一章
压杆稳定问题
例： 刚杆（蝶形）弹簧系统，求临界载荷。
A
l
C
k
l
B F
A
l
C
k*
l
B F
（a）
（b）
C A
2
F
弹簧力为kkl sin A点与力线F的距离
kl sin
l sin 2
由对A的力矩平衡 Fcr l sin 2 kl sin l cos cos kl kl Fcr cos 2 2 18
第十一章 2. 一端固支、一端铰支 •变形曲线观察：与B端相 距约0.7l处有一拐点C A
拐点
压杆稳定问题
l
B
Fcr
•类比：拐点C处弯矩为零， 将C点坐标转动到变形前位 置，BC段类比铰支压杆。
A
C
Fcr
2 EI
(0.7l )2
Fcr
0.7l
B
Fcr
•近似性讨论：由于变形后 拐点C离开轴线，B处有约 束反力，小变形条件下很小。
4.4932 EI 2 EI Fcr 2 l (0.7l )2
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第十一章
压杆稳定问题
总结
1．弹性平衡稳定性的概念 受压杆件保持初始直线平衡状态 的能力称为压杆的稳定性；弹性体保持初始平衡状态的能力 称为弹性平衡的稳定性。 2．压杆的临界载荷 使压杆直线形式的平衡由稳定转为不稳 定的轴向压力值。 3、 两端铰支细长压杆稳定微分方程 F 2 d 2w 2 k k w0 2 EI dx 4、 两端铰支细长压杆的临界载荷
Fcr
EI
l2
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第十一章 例： 下列结构OA，BC为大柔度杆， 稳临界载荷。
压杆稳定问题 AB为刚性杆。 求失
F
k
F
A B
A
EI
l
EI
EI 0 l
O
O
C
1
2
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第十一章 （1）分析: 弹性杆-弹簧系统有 两种失稳形式：a. 弹簧变形， 杆保持直线偏转失稳； b.弹簧 不变形，杆弯曲失稳。 （1）解：（a）设微干扰后 杆OA保持直线偏转失稳。
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第十一章
压杆稳定问题
第十一章
压杆稳定问题
§11-3
两端非铰支细长压杆的临界载荷
2
第十一章
压杆稳定问题
§11-3
两端非铰支细长压杆的临界载荷
解析法确定临界载荷：铰支-固支压杆 类比法确定临界载荷 相当长度与长度因素
例题
3
第十一章 一、解析法确定临界载荷 根据微弯临界平衡状态 建立微分方程
M ( x)
FR
FR
F
w
lx
F
通解： FR w A sin kx B cos kx (l x) 2 EIk
F (k ) EI
2
7
第十一章 通解： FR w A sin kx B cos kx (l x) 2 EIk 考虑位移边界条件：
压杆稳定问题
F (k ) EI
压杆稳定问题
1. 固支-自由压杆 F A
l
B F
M ( x ) F ( w )
d 2w M ( x) 2 dx EI
A
l
FM
w
B
F
x
d 2w F ( w ) 2 dx EI
令 k2
F EI
d w k 2 w k 2 dx 2
4
2
第十一章
压杆稳定问题
d 2w k 2 w k 2 dx 2
20
第十一章
压杆稳定问题
3k Fcr l sin
Fcr
4(2 2) k l sin
EI k li
Fcr
2 EI
l
2
EI F ai 2 l sin
i cr
2 9.870
a1 8.0, a2 9.0, a3 9.373
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第十一章
第十一章
压杆稳定问题
上讲回顾
稳定性的概念与失稳的后果
稳定性——保持原有平衡形式的能力
压杆稳定性
受压杆件保持初始直线平衡状态的能力 临界载荷Fcr: 压杆直线形式的平衡由稳定 转变为不稳定时的轴向压力值。 弹性压杆临界载荷的欧拉公式
欧拉公式的意义（内因与外因）与适用范围
刚性压杆弹簧系统与弹性压杆的区别与联系
( 2l ) 2
6
第十一章
压杆稳定问题
2. 一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷 根据微弯临界平衡状态 建立微分方程
l
F FR F
M ( x ) Fw FR (l x )
d 2w M ( x ) 2 dx EI
FR d 2w F w (l x ) 2 dx EI EI
x
例： 弹性梁 EI 0 两根大柔度杆EI，设两杆拉压强度 足够，且轴向压缩变形可忽略。 （1）求 O C 失稳 Fcr 2 （2）求结构失稳 Fcr
2
解： （1）解除 O1 B 杆约束
变形协调条件：
FB 2a
3
a
A
a
B EI0
1
a
C
2
F D
l
wB 0
Fa 2a
2
0 48 EI 0 16 EI 0 B点反力 C点力偶 3 FB引起 Fa引起 FB F ( ) 2 9 FC F () 由梁静力平衡 4
EI 5 cr FN 2 2 F FN 2 l 6 5 2 EI Fcr 2 6l 2
2
O1
O2
23
第十一章 解： （2）求 Fcr，下述解法是否正确？ 由变形图 FN 2 2FN 1 由刚性梁AD的平衡
压杆稳定问题
5 EI Fcr 3l 2
2
结构失稳时， N 1 F cr l2 5 F FN 1 3 a a
2. 考虑梁变形，结构失稳时外载F临界值变大还是变小?
26
第十一章 思考:1. 考虑梁变形，杆2失稳时 外载F临界值变大还是变小? 答：临界载荷变小，由杆2将
压杆稳定问题
a
A B
1
a
a
C
2
F
D
l
达临界失稳时杆1受拉引起。
3 FB F ( ) 2 9 FC F () 4
O1
O2
2. 考虑梁变形，结构失稳时外载F临界值变大还是变小? 答：不变。结构失稳时，无论梁变不变形，杆1和杆2 承载都达到各自临界值。 2
O1
O2
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第十一章
3 FB F ( ) 2 9 FC F () 4
压杆稳定问题
a
A
a
B EI0
1
a
C
2
F
D
l
杆2首先失稳，临界载荷
FC cr
2 EI
l
2
故结构临界载荷 4 4 2 EI Fcr 2 FC cr 9 9l 2 思考:
O1
O2
1. 考虑梁变形，杆2失稳时外载F临界值变大还是变小?
2
FR
x 0, w 0 x 0, w ' 0 x l, w 0
FR l B 0 2 EIk
F x
FR Ak 0 2 EIk
l
A sin kl B cos kl 0
8
第十一章
FR l B 0 2 EIk
压杆稳定问题
FR Ak 0 2 EIk
A sin kl B cos kl 0
l2 5、 两端非铰支细长压杆的临界载荷——解析法
力学模型· 数学方程· 齐次方程的非零解· 系数行列式为零
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Fcr
2 EI
第十一章 二、类比法确定临界载荷
l
F F
压杆稳定问题
1. 一端固支一端自由：
观察：受力与变形与两端 铰支压杆左半部分相同
F
l
l
类比：一端固支一端自由长l的压杆的临界载荷等于 长2l的对应铰支压杆的临界载荷。 2 EI 2 EI 与解析法结果相同 Fcr 2 (2l ) 4l 2
常见支承的压杆稳定问题中，其控制方程均为弹性梁弯曲方程（计及了轴向 压力的影响）。当控制方程用二阶线性常系数微分方程描述时，它们的齐次 部分完全相同，区别只是非齐次项。可以发现简支压杆（欧拉问题）的控制 方程最简单，其非齐次项为零。从微分方程解的表达式来看，简支压杆的解 仅仅对应了齐次部分。而其他情况还要考虑非齐次部分的特解，因而可以认 为简支压杆是压杆稳定问题的最基本模式。显然其他支承的压杆与简支压杆 应该存在某种内在联系，这种联系可通过有效长度来体现。 从数学观点看，压杆微分方程与梁弯曲方程有着根本区别：前者是本征值问 题，其本征函数（即屈曲模态）均含有一个不确定的系数（如最大挠度等）。 其物理根源是在临界载荷作用下，压杆处于中性平衡状态（或称为随遇平衡 状态），所以即使对应一定的屈曲模态，位移的大小是不确定的。与压杆不 同，梁弯曲时载荷与挠度无关，挠度是完全确定的。(如果考虑大挠度问题， 压杆在临界状态的位移大小是确定的)
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第十一章 •存在非零解的条件：
压杆稳定问题 F
w
cos kl 0
（ n1 2 ） kl ( n 1, 2) 2
A
x
B
l
F 2 注意到： k EI
（ n 1 2 2 EI 2 ） 得： F (2l )2
取n=1, 得固支-自由压杆的临界载荷：
Fcr
2 EI
2
Fcr
EI
l / 2
1 2
Fcr
EI
(0.7l )
2
0.7
2 EI 欧拉公式可以写成统一形式： Fcr ( l )2
l ——相当长度：相当的两端铰支压杆的长度 ——长度因数:支持方式对临界载荷的影响
15
第十一章
压杆稳定问题
16
第十一章
压杆稳定问题
FR
•存在非零解的条件：
0 k sin kl 1 0 cos kl l EIk 2 1 0 2 EIk 0
F
x
l
tan kl kl
9
第十一章
压杆稳定问题
FR
tan kl kl
y1 tan kl
( kl )a 4.493
y2 kl
x
F l 4.493 EI
F
l
F k 2 EI
解：（a）研究刚杆AC的临界平衡
BC给与AC的反力为F’ （二力杆，系统小变形） F =F cos
第十一章
压杆稳定问题
例： 刚杆（蝶形）弹簧系统，求临界载荷。
A
l
C
k
l
B F
A
l
C
k*
l
B F
（a）
k * 2
（b）
C A
F
A点距力线F为l· sin 由对A的力矩平衡
解：（b）研究刚杆AC的临界平衡
2 EI
F D
l
a
C
A
答：不正确，在结构临界失稳时
cr cr FN 2 2FN 1 而是 FN 1 FN 2
B
1
2 EI
l2
O1
2
正确解答：
cr cr 由AD梁平衡 Fcr 3a FN 1 a FN 2 2a
O2
Fcr
2 EI
l2
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第十一章
压杆稳定问题
22
第十一章
压杆稳定问题
例： 刚性梁，两根大柔度杆EI （1）求 O2C 失稳 Fcr 2 （2）求结构失稳 Fcr
解：（1）为求 Fcr 2 ，先求作用F 时 FN 2 刚性梁AD绕A点转动
a
A
a
B
1
a
C
2
F D
l
l2 2l1
FN 2 2FN 1
由刚性梁AD的平衡
F 3a FN 1 a FN 2 2a
压杆稳定问题
人体躯干与四肢完全可以简化为刚 杆－弹簧模型，刚杆为骨骼，弹簧 为关节肌肉群。为了保证人体举重 姿势平衡状态的稳定性，其所能承 受的重量是有上限的：该重量与关 节肌肉群的刚度成正比，与骨骼长 度成反比。 举重比赛项目中运动员的体貌特征 可以用以上的分析结果得到很好的 验证：四肢短小即较小的长度，发 达的肌肉即较大的弹簧刚度。黑人 运动员之所以在举重项目中不具备 “天份”，原因在于黑人属于四肢 修长型人种，而较长的四肢降低了 所能承受的最大载荷。
扭簧力矩为k*· 2
Fcr l sin k * 2
2k * 2k * Fcr l sin l
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第十一章 C A
压杆稳定问题
k * 2
A
l
C
k*
l
B F
F
（b）
Fcr l sin k * 2
2k * Fcr l sin
大变形的解
F
k
压杆稳定问题
F
A
k
A
EI
l
O
O
在临界状态，载荷引起的偏转力矩与弹簧力的恢复力矩 平衡。
(1) Fcr k l
(1) Fcr kl
29
第十一章 （1）解： (1) （a） Fcr kl （b）弹簧不变形， 杆弯曲失稳。 杆OA相当于两端 铰支杆
通解：
w
F
B
w A sin kx B cos kx
考虑位移边界条件：
A
x
l
x 0, w 0,
dw x 0, 0 dx
B
Ak 0
A0
x l, w
A sin kl B cos kl
•存在非零解的条件：
cos kl 0
Fcr
C 0.7l
B
13
第十一章 3. 两端固支压杆：
拐点 拐点
压杆稳定问题
Fcr
l 4
l 2
l 4
Fcr
2 EI
(l / 2) 2
Fcr
Fcr
l 2
14
第十一章 三、欧拉公式的统一表达式： EI Fcr 1 2
l EI Fcr (2l )2
压杆稳定问题
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17
第十一章
压杆稳定问题
例： 刚杆（蝶形）弹簧系统，求临界载荷。
A
l
C
k
l
B F
A
l
C
k*
l
B F
（a）
（b）
C A
2
F
弹簧力为kkl sin A点与力线F的距离
kl sin
l sin 2
由对A的力矩平衡 Fcr l sin 2 kl sin l cos cos kl kl Fcr cos 2 2 18