8__第十一章_压杆稳定问题
压杆稳定(工程力学课件)
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
第十一章压杆的稳定 - 工程力学
第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
《压杆稳定问题》课件
测试台：用于固定压杆和压力传感器的测试台
计算机：用于采集和处理实验数据的计算机
压杆：用于进行压杆稳定性实验的杆件
压力传感器：用于测量压杆受力的传感器
实验步骤和结果分析
压杆稳定的工程应用
桥梁工程中的应用
桥梁维护：监测压杆稳定性，及时发现问题
桥梁结构设计：考虑压杆稳定性，确保桥梁安全
压杆稳定问题涉及到许多力学原理和数学方法，是结构力学研究的重要内容
压杆稳定问题在实际工程中经常遇到，如桥梁、高层建筑等结构设计中都需要考虑压杆稳定的问题
压杆稳定问题也是结构力学教学中的重要内容，可以帮助学生理解力学原理和数学方法在工程中的应用
压杆稳定的分类
临界稳定：压杆在临界载荷下，其变形和应力达到临界值
失稳：压杆在超过临界载荷后，其变形和应力迅速增大，导致破坏
线性稳定：压杆在受到外力作用下，其变形和应力保持线性关系
非线性稳定：压杆在受到外力作用下，其变形和应力不再保持线性关系
压杆稳定的理论分析
弹性失稳的概念
弹性失稳是指在受力过程中，杆件的变形超过其弹性极限，导致杆件的稳定性丧失。
弹性失稳的主要原因是杆件的受力超过了其弹性极限，导致杆件的变形过大，无法恢复原状。
压杆稳定问题的研究将更加注重数值模拟和实验研究相结合，以提高研究效率和准确性
压杆稳定问题的研究将更加注重人工智能和大数据技术的应用，以提高研究效率和预测能力
感谢您的观看
汇报人：PPT
临界载荷：压杆在弹性范围内所能承受的最大载荷
临界应力与临界应变的关系：临界应力与临界应变成正比
临界载荷与临界应力的关系：临界载荷与临界应力成正比
弹性失稳的预防措施
材料力学作业(8-11)
第八章 应力应变状态分析一、选择或填空题1、过受力构件内任一点，取截面的不同方位，各个面上的（ ）。
A 、正应力相同，切应力不同；B 、正应力不同，切应力相同；C 、正应力相同，切应力相同；D 、正应力不同，切应力不同。
2、在单元体的主平面上（ ）。
A 、正应力一定最大；B 、正应力一定为零；C 、切应力一定最小；D 、切应力一定为零。
3、图示矩形截面悬臂梁，A-A 为任意横截面，1点位于截面上边缘，3点位于中性层，则1、2、3点的应力状态单元体分别为（ ）。
A-AA B C4、图示单元体，其最大主应力为（ ）A 、σ；B 、2σ；C 、3σ；D 、4σ。
5、下面 单元体表示构件A 点的应力状态。
6、图示单元体，如果MPa 30=ασ，则βσ=（ ） A 、100Mpa ； B 、50Mpa ； C 、20MPa ； D 、0MPa 。
(C)7、图示单元体应力状态，沿x 方向的线应变εx 可表示为（ ）A 、Eyσ； B 、)(1y x E μσσ−；C 、)(1x y E μσσ− ；D 、Gτ。
8、图示应力圆对应于单元体( )。
9、已知单元体及应力圆如图所示，σ1所在主平面的法线方向为( )。
A 、n 1；B 、 n 2；C 、n 3；D 、n4。
二、计算题1、已知应力状态如图所示，试用解析法计算图中指定截面上的正应力和切应力。
2、试画图示应力状态的三向应力圆，并求主应力、最大正应力和最大切应力。
3、边长为20mm的钢立方块置于刚性模中，在顶面受力F=14kN作用。
已知材料的泊松比为0.3，求立方体各个面上的正应力。
4、图示矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为M=10 kN.m，Q=120 kN。
试绘出截面上1、2、3、4各点的应力状态单元体，并求其主应力。
第九章 强度理论一、选择题或填空题 1、在冬天严寒天气下，水管中的水会受冻而结冰。
根据低温下水管和冰所受力情况可知（ ）。
A 、冰先破裂而水管完好；B 、水管先破裂而冰完好；C 、冰与水管同时破裂；D 、不一定何者先破裂。
压杆稳定问题教学课件
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
06
压杆稳定问题的未来研究方向
新材料与新工艺的应用
总结词
随着新材料和新工艺的不断涌现，它们在压 杆稳定问题中的应用成为了一个重要的研究 方向。
详细描述
通过研究新材料如高强度钢、钛合金等在压 杆中的力学性能和稳定性，以及新工艺如激 光焊接、热处理等对压杆稳定性的影响，可 以进一步优化压杆的设计和制造过程。
非弹性平衡状态
压杆在受到外力作用时，不能通过自 身的弹性形变恢复到原来的平衡状态 ，表现为弯曲或失稳。
临界压力与临界应力
临界压力
当压杆受到的压力超过某一特定值时，压杆将失去稳定性，这个压力值即为临 界压力。
临界应力
在临界压力下，压杆内部的应力值即为临界应力，它表示压杆承受的最大应力 极限。
欧拉公式与压杆临界力计算
欧拉公式
描述了细长直杆在轴向压力作用下的临界压力与临界应力之间的关系，是解决压 杆稳定问题的基本公式。
压杆临界力计算
根据欧拉公式，通过已知的压杆截面尺寸、材料属性等参数，可以计算出压杆的 临界力，进而评估压杆的稳定性。
03
压杆稳定问题的分析方法
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
按材料分类
按受压方式分类
可分为钢压杆稳定问题、木压杆稳定 问题等。
可分为单向受压杆件、双向受压杆件 等。
按长度分类
可分为长压杆稳定问题、短压
桥梁、建筑、塔架等工程结构中 ，常常涉及到压杆稳定问题，需 要采取相应的措施来保证结构的
稳定性。
机械装备
机械装备中的各种支架、支座、传 动轴等部件，也常常会遇到压杆稳 定问题，需要合理设计以防止失稳 。
材料力学09第十一章 压杆稳定问题
Fcr Fcr min
EI
2
l2
理想中心压杆的欧拉临界力
M(x)= Fcr(-w) =-Fcrw
EIw ' ' M ( x) Fcr w
x Fcr
A
Fcr 2 k 令 EI
w' ' k 2 w 0
与前面获得的结果相同。
w
w l 2 x
2）计算许可载荷[P]
1.5 y 0 : [ P ] P 2 0 [ P] 2.82( KN)
BC cr
§11-4 欧拉公式的应用范围 · 临界应力总图
1. 欧拉公式的应用范围
欧拉临界应力
I 2 EI 2 i Fcr 2 ( l ) A 2 2 2 E E EI Fcr cr 2 ( l ) A ( l ) 2 A ( l ) 2 A
约束越弱，μ系数越大， 临界力Fcr越低，稳定性越差。
其他支座条件下细长压杆的临界压力
由于边界条件不同，则：
2 EI Fcr ( l ) 2
I：最小惯性矩
称为长度系数。
一端固定一端自由：
2
1
两端铰支：
一端铰支一端固定：
临界应力
cr
Fcr A
0.7 0.5
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯 一的平衡状态；
稳定：
理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）
直线平衡状态；
失稳（屈曲）：理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 线平衡状态； 临界力 压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值
第11章 压杆稳定性问题
相等，则此压杆的临界压力又为多少？
（压杆满足欧拉公式计算条件）
h
动脑又动笔
解： 一端固定，一端自由，长度因数 μ=2 在应用欧拉公式时，截面的惯性
矩应取较小的I 值。
Iy 1 3 1 hb 90 403 mm 4 48 104 mm 4 12 12
b
F
l
1 3 1 I z bh 40 903 mm 4 243 104 mm 4 12 12
理解长细比、临界应力和临界应力总图的概念，熟 悉各类压杆的失效形式。
§11–1 压杆稳定性的基本概念
① 强度 衡量构件承载能力的指标 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 可靠地工作。 杆件在各种基本变形下的强度和刚度问题在前述各章节中 已作了较详细的阐述，但均未涉及到稳定性问题。事实上， 杆件只有在受到压力作用时，才可能存在稳定性的问题。
屈曲曲线是偏离原直线轴线不远的微弯状态。
F F EI L
M d2w 2 EI dx
§11–2 细长压杆的临界荷载—欧拉临界力
一、两端铰支压杆的临界力
多大的轴向压力才会使压杆失稳？
d2w EI 2 Fw 0 dx
y
M EI x w L
记
F
k2
F EI
F
F
x
d2w 2 k w0 2 dx
§11–3长细比的概念 三类不同压杆的判断
三、临界应力总图
cr
S
P
cr s
cr a b
2E cr 2
粗短杆 s
s s a
b
中长杆
P
细长杆
第11章压杆稳定
压杆截面如图所示。两端为柱形铰链约束，
若绕 y 轴失稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为 两端铰支。已知，杆长l=1m ,材料的弹性模量
E=200GPa，sp=200MPa。求压杆的临界应力。
解：
iy 1 3 ( 0 . 03 0 . 02 ) Iy 12 0.0058m A 0.03 0.02
3.压杆失稳：
弹性杆件 稳定直线平衡
F Fcr
F Fcr
F Fcr
F Fcr
微小扰动 恢复直线平衡 不稳定直线平衡
F Fcr
弯曲 除去扰动
v
弯曲
微小扰动
新的弯曲平衡 随遇平衡
除去扰动
F Fcr 除直线平衡形式外，无穷小邻域内，可能微弯平衡
压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变，称为失稳
一、两端铰支的细长压杆：
x
Fcr
F M(x)=Fw
l m w B m
m
x
m
B y F
x
y
Fcr
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 w f ( x ) 该截面的弯矩
M ( x ) Fw
杆的挠曲线近似微分方程
EIw '' M ( x ) Fw
2
（ a）
m
F 令k 得 w '' k 2 w 0 (b) EI
16
4.压杆的临界压力： 稳 定 平 衡 临界状态
过 渡
临界压力：Fcr
不 即：使压杆保持在微 稳 弯状态下平衡的最小 定 轴向力。 平 衡
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
第十一章 压杆稳定
第十一章压杆稳定本章主要介绍压杆稳定的概念、压杆的临界力与临界应力的计算及适用条件，并简介中长杆的临界应力计算的经验公式和临界应力总图以及提高压杆稳定的措施。
第一节压杆稳定的概念在前面讨论受压直杆的强度问题时，认为只要满足杆受压时的强度条件，就能保证压杆的正常工作。
然而，在事实上，这个结论只适用于短粗压杆。
而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式却呈现出与强度问题截然不同的现象。
例如，一根长300mm的钢制直杆，其横截面的宽度和厚度分别为20mm和1mm，材料的抗压许用应力等于140MPa，如果按照其抗压强度计算，其抗压承载力应为2800N。
但是实际上，在压力尚不到40N时，杆件就发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力从而导致破坏。
显然，这不属于强度性质的问题，而属于下面即将讨论的压杆稳定的范畴。
为了说明问题，取如图11—1a所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。
当杆承受的轴向压力数值F小于某一数值F cr时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，如图11—1a、b所示，这种原有的直线平衡状态称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到（甚至超过）某一数值F cr时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图11—1c、d所示，则原有的直线平衡状态为不稳定的平衡。
如果力F继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破获。
上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。
显然压杆是否失稳取决于轴向压力的数值，压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡，具有临界的性质，此时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr表示。
第 11 章 压杆的稳定性问题
直线形状平衡 稳定的
第 11 章 压杆的稳定性问题 2.不稳定性
F F>Fpcr
压杆稳定性的基本概念
直线平衡平衡状态转变为弯曲平 衡状态，扰动除去后，不能够恢 复到直线平衡状态，则称原来的 直线平衡状态是不稳定的。
FP<FPcr :在扰动作用下，
直线形状平衡 不稳定的
第 11 章 压杆的稳定性问题
第 11 章 压杆的稳定性问题
P
A
(a )
三类不同压杆的判断
h
y
b
h
B
y
P 解：正视图平 面弯曲截面绕 z 轴转。 3 P
x
P
z
l
A bh 1.0
iz Iz A
bh Iz 12
h 2 3
z
l
iz
1 2300 2
60
3
132.8 P 100
σp σe σs
压杆稳定性的基本概念
三、三种类型压杆的不同临界状态
σ
σb
ε
第 11 章 压杆的稳定性问题 欧拉临界力 §11-2 细长压杆的临界载荷---欧拉临界力
一、两端铰支的细长杆
F x F x
F
l M w x w w
压杆
微弯下平衡
内力与变形
第 11 章 压杆的稳定性问题
x
欧拉临界力
M =F w EI w〞= － M =－F w
欧拉临界力
二、其他刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式
方法1： 同欧拉公式， 微分方程 + 边界条件 方法2： 相当长度法 在压杆中找出长度相当于两端铰支的 一段（即两端曲率为零或弯矩为零），该 段失稳曲线为半波正弦曲线，该段临界力 即压杆的临界力。
11-压杆稳定
3
10
12
4.1710
9
m
4
10 50
z
y
Fcr
2IminE (1l)2
2 4.17 200
(0.7 0.5)2
67.14kN
图(b)
L L
图(a)
(4545 6)
等边角钢
图(b)
IminI z 3.8910 8 m4
Fcr
2Im (2l
i)n2E
l 2l l 0.5l
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pcr
2Leabharlann lEI2Pcr
(0.27El)I2Pcr
2EI
(0.5l ) 2
Pcr
2EI
(2l ) 2
长度系数μ μ=1 μ0.7 μ=0.5 μ=2
kL2n
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
kL2
所以，临界力为：
Fcr
4 2EI
L2
2EI
(L / 2)2
= 0.5
11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 两端固定但可沿 另端自由 横向相对移动
l l 0.7 l l 0.5 l
建筑力学 第11章 压杆稳定
第11章压杆稳定[内容提要]稳定问题是结构设计中的重要问题之一。
本章介绍了压杆稳定的概念、压杆的临界力-欧拉公式，重点讨论了压杆临界应力计算和压杆稳定的实用计算，并介绍了提高压杆稳定性的措施。
11.1 压杆稳定的概念工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。
前面各章中我们从强度的观点出发，认为轴向受压杆，只要其横截面上的正应力不超过材料的极限应力，就不会因其强度不足而失去承载能力。
但实践告诉我们，对于细长的杆件，在轴向压力的作用下，杆内应力并没有达到材料的极限应力，甚至还远低于材料的比例极限σP时，就会引起侧向屈曲而破坏。
杆的破坏，并非抗压强度不足，而是杆件的突然弯曲，改变了它原来的变形性质，即由压缩变形转化为压弯变形（图11-1所示），杆件此时的荷载远小于按抗压强度所确定的荷载。
我们将细长压杆所发生的这种情形称为“丧失稳定”，简称“失稳”，而把这一类性质的问题称为“稳定问题”。
所谓压杆的稳定，就是指受压杆件其平衡状态的稳定性。
为了说明平衡状态的稳定性，我们取细长的受压杆来进行研究。
图11-2(a)为一细长的理想轴心受压杆件，两端铰支且作用压力P，并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲。
当P较小时，撤去横向干扰力以后，杆件便来回摆动最后仍恢复到原来的直线位置上保持平衡（图11-2(b)）。
因此，我们可以说杆件在轴向压力P的作用下处于稳定平衡状态。
P，杆件受到干扰后，总能回复到它原来的直线增大压力P，只要P小于某个临界值crP时，杆件虽位置上保持平衡。
但如果继续增加荷载，当轴向压力等于某个临界值，即P=cr然暂时还能在原来的位置上维持直线平衡状态，但只要给一轻微干扰，就会立即发生弯曲并停留在某一新的位置上，变成曲线形状的平衡（图11-2(c)）。
因此，我们可以认为杆件在P的作用下处在临界平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。
P=cr(a) (b) (c)图11-1 图11-2继续增大压力P ，当轴向压力P 略大于cr P 时，由于外界不可避免地给予压杆侧向的干扰作用（例如轻微的振动，初偏心存在，材料的不均匀性，杆件制作的误差等），该杆件将立即发生弯曲，甚至折断，从而杆件失去承载能力。
材料力学--压杆稳定问题 ppt课件
F
Fcr nst
151.47 3
50.5KN
所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度，为
Fmax 26.7KN
材料力学
PPT课件
42
例8-4 图示托架结构，梁AB与圆杆BC 材料相同。梁AB为16号工字 钢，立柱为圆钢管，其外径D=80 mm，内径d=76mm，l=6m，a=3 m， 受均布载荷q=4 KN/m 作用；已知钢管的稳定安全系数nw=3,试对立
n Fcr Fp
269 150
1.793 nst 1.8
所以压杆的稳定性是不安全的.
材料力学
PPT课件
38
例8-3 简易起重架由两圆钢杆组成，杆AB：d1 30mm，杆
AC：d2 20mm,两杆材料均为Q235钢, E 200GPa, s 240MPa p 100,0 60 ,规定的强度安全系数ns 2，稳定安全系 数 nst 3，试确定起重机架的最大起重量 Fmax 。
柱进行稳定校核。
l
q
B
A
F
a
C
材料力学
PPT课件
43
压杆稳定问题/提高压杆稳定性的措施
五、提高压杆稳定性的措施
材料力学
PPT课件
44
压杆稳定问题/提高压杆稳定性的措施
1、合理选择材料
细长杆： cr与E成正比。
普通钢与高强度钢的E大致相同，但比铜、铝合金的 高，所以要多用钢压杆。
中长杆： cr随 s 的提高而提高。
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
2） 一端固定，一端铰支
C w
BC段,曲线上凸,
1 0;
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压杆稳定问题
1. 固支-自由压杆 F A
l
B F
M ( x ) F ( w )
d 2w M ( x) 2 dx EI
A
l
FM
w
B
F
x
d 2w F ( w ) 2 dx EI
令 k2
F EI
d w k 2 w k 2 dx 2
4
2
第十一章
压杆稳定问题
d 2w k 2 w k 2 dx 2
2
FR
x 0, w 0 x 0, w ' 0 x l, w 0
FR l B 0 2 EIk
F x
FR Ak 0 2 EIk
l
A sin kl B cos kl 0
8
第十一章
FR l B 0 2 EIk
压杆稳定问题
FR Ak 0 2 EIk
A sin kl B cos kl 0
( 2l ) 2
6
第十一章
压杆稳定问题
2. 一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷 根据微弯临界平衡状态 建立微分方程
l
F FR F
M ( x ) Fw FR (l x )
d 2w M ( x ) 2 dx EI
FR d 2w F w (l x ) 2 dx EI EI
x
FR
•存在非零解的条件：
0 k sin kl 1 0 cos kl l EIk 2 1 0 2 EIk 0
F
x
l
tan kl kl
9
第十一章
压杆稳定问题
FR
tan kl kl
y1 tan kl
( kl )a 4.493
y2 kl
x
F l 4.493 EI
F
l
F k 2 EI
2. 考虑梁变形，结构失稳时外载F临界值变大还是变小?
26
第十一章 思考:1. 考虑梁变形，杆2失稳时 外载F临界值变大还是变小? 答：临界载荷变小，由杆2将
压杆稳定问题
a
A B
1
a
a
C
2
F
D
l
达临界失稳时杆1受拉引起。
3 FB F ( ) 2 9 FC F () 4
O1
O2
2. 考虑梁变形，结构失稳时外载F临界值变大还是变小? 答：不变。结构失稳时，无论梁变不变形，杆1和杆2 承载都达到各自临界值。 2
2 EI
F D
l
a
C
A
答：不正确，在结构临界失稳时
cr cr FN 2 2FN 1 而是 FN 1 FN 2
B
1
2 EI
l2
O1
2
正确解答：
cr cr 由AD梁平衡 Fcr 3a FN 1 a FN 2 2a
O2
Fcr
2 EI
l2
24
第十一章
压杆稳定问题
解：（a）研究刚杆AC的临界平衡
BC给与AC的反力为F’ （二力杆，系统小变形） F =F cos
第十一章
压杆稳定问题
例： 刚杆（蝶形）弹簧系统，求临界载荷。
A
l
C
k
l
B F
A
l
C
k*
l
B F
（a）
k * 2
（b）
C A
F
A点距力线F为l· sin 由对A的力矩平衡
解：（b）研究刚杆AC的临界平衡
例： 弹性梁 EI 0 两根大柔度杆EI，设两杆拉压强度 足够，且轴向压缩变形可忽略。 （1）求 O C 失稳 Fcr 2 （2）求结构失稳 Fcr
2
解： （1）解除 O1 B 杆约束
变形协调条件：
FB 2a
3
a
A
a
B EI0
1
a
C
2
F D
l
wB 0
Fa 2a
2
0 48 EI 0 16 EI 0 B点反力 C点力偶 3 FB引起 Fa引起 FB F ( ) 2 9 FC F () 由梁静力平衡 4
通解：
w
F
B
w A sin kx B cos kx
考虑位移边界条件：
A
x
l
x 0, w 0,
dw x 0, 0 dx
B
Ak 0
A0
x l, w
A sin kl B cos kl
•存在非零解的条件：
cos kl 0
2
Fcr
EI
l / 2
1 2
Fcr
EI
(0.7l )
2
0.7
2 EI 欧拉公式可以写成统一形式： Fcr ( l )2
l ——相当长度：相当的两端铰支压杆的长度 ——长度因数:支持方式对临界载荷的影响
15
第十一章
压杆稳定问题
16
第十一章
压杆稳定问题
F
k
压杆稳定问题
F
A
k
A
EI
l
O
O
在临界状态，载荷引起的偏转力矩与弹簧力的恢复力矩 平衡。
(1) Fcr k l
(1) Fcr kl
29
第十一章 （1）解： (1) （a） Fcr kl （b）弹簧不变形， 杆弯曲失稳。 杆OA相当于两端 铰支杆
扭簧力矩为k*· 2
Fcr l sin k * 2
2k * 2k * Fcr l sin l
19
第十一章 C A
压杆稳定问题
k * 2
A
l
C
k*
l
B F
F
（b）
Fcr l sin k * 2
2k * Fcr l sin
大变形的解
4.4932 EI 2 EI Fcr 2 l (0.7l )2
10
第十一章
压杆稳定问题
总结
1．弹性平衡稳定性的概念 受压杆件保持初始直线平衡状态 的能力称为压杆的稳定性；弹性体保持初始平衡状态的能力 称为弹性平衡的稳定性。 2．压杆的临界载荷 使压杆直线形式的平衡由稳定转为不稳 定的轴向压力值。 3、 两端铰支细长压杆稳定微分方程 F 2 d 2w 2 k k w0 2 EI dx 4、 两端铰支细长压杆的临界载荷
17
第十一章
压杆稳定问题
例： 刚杆（蝶形）弹簧系统，求临界载荷。
A
l
C
k
l
B F
A
l
C
k*
l
B F
（a）
（b）
C A
2
F
弹簧力为kkl sin A点与力线F的距离
kl sin
l sin 2
由对A的力矩平衡 Fcr l sin 2 kl sin l cos cos kl kl Fcr cos 2 2 18
第十一章
压杆稳定问题
上讲回顾
稳定性的概念与失稳的后果
稳定性——保持原有平衡形式的能力
压杆稳定性
受压杆件保持初始直线平衡状态的能力 临界载荷Fcr: 压杆直线形式的平衡由稳定 转变为不稳定时的轴向压力值。 弹性压杆临界载荷的欧拉公式
欧拉公式的意义（内因与外因）与适用范围
刚性压杆弹簧系统与弹性压杆的区别与联系
20
第十一章
压杆稳定问题
3k Fcr l sin
Fcr
4(2 2) k l sin
EI k li
Fcr
2 EI
l
2
EI F ai 2 l sin
i cr
2 9.870
a1 8.0, a2 9.0, a3 9.373
21
第十一章
22
第十一章
压杆稳定问题
例： 刚性梁，两根大柔度杆EI （1）求 O2C 失稳 Fcr 2 （2）求结构失稳 Fcr
解：（1）为求 Fcr 2 ，先求作用F 时 FN 2 刚性梁AD绕A点转动
a
A
a
B
1
a
C
2
F D
l
l2 2l1
FN 2 2FN 1
由刚性梁AD的平衡
F 3a FN 1 a FN 2பைடு நூலகம் 2a
EI 5 cr FN 2 2 F FN 2 l 6 5 2 EI Fcr 2 6l 2
2
O1
O2
23
第十一章 解： （2）求 Fcr，下述解法是否正确？ 由变形图 FN 2 2FN 1 由刚性梁AD的平衡
压杆稳定问题
5 EI Fcr 3l 2
2
结构失稳时， N 1 F cr l2 5 F FN 1 3 a a
Fcr
EI
l2
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第十一章 例： 下列结构OA，BC为大柔度杆， 稳临界载荷。
压杆稳定问题 AB为刚性杆。 求失
F
k
F
A B
A
EI
l
EI
EI 0 l
O
O
C
1
2
28
第十一章 （1）分析: 弹性杆-弹簧系统有 两种失稳形式：a. 弹簧变形， 杆保持直线偏转失稳； b.弹簧 不变形，杆弯曲失稳。 （1）解：（a）设微干扰后 杆OA保持直线偏转失稳。
M ( x)
FR
FR
F