抽象函数单调性
抽象函数的单调性课件
03
波的传播
波动传播的速度和方向可以用抽象函数表示，通过分析这些函数的单调
性，可以了解波动的传播规律和变化趋势。
在其他领域的应用
生物种群数量变化
在生态学中，生物种群数量的变化可以用抽象函数表示，通过分析 这些函数的单调性，可以了解种群数量的增长或减少趋势。
详细描述
利用单调性解不等式的方法主要包括比较法和构造法。比较法是通过比较不等式两边的 函数值来判断不等式的真假，而构造法则是通过构造辅助函数并利用其单调性来解不等
式。
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
几何意义
函数图像在区间$I$上从左到右上升。
举例
$f(x) = x^2$在$mathbf{R}$上单 调递增。
单调减函数
定义
如果对于任意$x_1 < x_2$，都 有$f(x_1) geq f(x_2)$，则称函 数$f(x)$在区间$I$上单调递减。
几何意义
函数图像在区间$I$上从左到右 下降。
单调性与函数图像的走势
单调性可以决定函数图像的走势。如果函数在某个区间内单调递增或递减，则该 区间内的函数图像会呈现出上升或下降的趋势。
单调性与不等式的关系
单调性与不等式的解法
单调性可以用来解决一些不等式问题。 例如，利用函数的单调性可以判断不 等式的解集范围。
单调性与不等式的性质
单调性可以用来推导不等式的性质。 例如，如果函数在某个区间内单调递 增，则对于该区间内的任意两个数x1 和x2，有f(x1) < f(x2)，即函数的值 随着自变量的增大而增大。
专题抽象函数的单调性和奇偶性应用
抽象函数的单调性和奇偶性应用抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。
它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。
例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取x x x x 121200<<⇒->->因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。
又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。
2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。
例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。
解：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()又y f x 00=()∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。
天津高考抽象函数知识点
天津高考抽象函数知识点抽象函数是天津高考中的一个重要知识点，作为数学的一个基础概念，它对于学生的数学思维和问题解决能力有着深远的影响。
本文将从抽象函数的定义、性质以及在高考中的应用等方面进行论述和分析。
一、抽象函数的定义抽象函数是指一种将输入映射为输出的数学关系，它的具体定义可通过函数表达式、图像、数据等形式来表示。
在数学中，抽象函数通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。
抽象函数的定义域、值域以及各种性质是对应学习者所要掌握的基本内容。
二、抽象函数的性质1. 定义域与值域：抽象函数的定义域是指函数的输入值的集合，而值域则是函数输出值的集合。
在考试中，学生需要根据具体问题对抽象函数的定义域和值域进行判断和求解，注意排除不存在的值。
2. 奇偶性：抽象函数的奇偶性是指函数在自变量变为负数时是否保持不变。
对于奇函数，有f(-x)=-f(x)，即绕原点对称；对于偶函数，有f(-x)=f(x)，即轴对称。
3. 单调性：抽象函数的单调性是指函数在定义域内的取值随自变量的增减而增减的性质。
单调函数可以分为递增和递减两种，可以通过导数的正负性来判断函数的单调性。
4. 极值与最值：抽象函数的极值是指函数在定义域内取得的局部最大值或最小值，最值则是函数在整个定义域内取得的最大值和最小值。
为求得函数的极值和最值，需利用函数的导数和二次函数的特性进行分析。
三、抽象函数在高考中的应用1. 函数组成：抽象函数可以通过一系列的函数组成，从而形成新的函数。
高考中许多关于函数的复合、迭代以及函数方程的题目都需要运用抽象函数的概念和性质来解决。
2. 函数图像：抽象函数的图像可以通过绘制函数曲线来表示，其中包括函数的关键点、拐点、渐近线等信息。
在高考中，图像分析是一个重要的解题方法，学生需要根据图像的特点来解答相关问题。
3. 函数方程的解：抽象函数也常常用于求解函数方程。
通过对函数的定义域、值域等性质的分析，可以得到函数方程的解集及其特点。
抽象函数的单调性与奇偶性讲解
抽象函数单调性与奇偶性抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:特殊模型抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =] 指数函数 f(x)=a x(a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+1.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
抽象函数的单调性
在证明函数单调性时经常有下面几个变形：
f (x2 ) f [(x2 x1) x1]
f (x2 )
f ( x2 x1
x1 ]Biblioteka （1）求f(1)的值； （2）判断f(x)的单调性；
（3）若f(x+8)-f(x) 2，求x的取值范围.
5.函数f(x)的定义域为R，且对任意x,y 都有：f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时，f(x)>1 且 f (0) 0 .
（1）求f(0)的值； （2）证明:对任意的x都有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R上的增函数； （4）若 f (x) f (2x x2 ) 1,求x的取值范围.
3.函数f(x)的定义域为R，且对任意x,y都有： f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时，f(x)<0且f(2)=-1.
（1）求f(0)的值； （2）判断并证明函数f(x)的奇偶性； （3）证明函数f(x)的单调性； （4）求函数f(x)在[-6,6]上的值域。
4.函数f(x)的定义域为 (0, ) ，且对任意 x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时，f(x)>0 且f(3)=1.
抽象函数:
通常是指没有给出函数的具体解析式，只给 出了其他一些条件（如：定义域，经过的特 殊的点、解析递推式、部分图象特征等）。
合理赋值，整体思考， 借助特殊点，利用递推式
1.设f(x)的定义域为[0,1],则f(2x+1)的定 义域为 [ 1 , 0]
2
2.函数f(x)为定义在R上的奇函数，在(0, ) 上单调递增，且f(3)=0,则不等式f(x)>0的 解集是 (3,0) (3, )
抽象函数单调性的判断
抽象函数单调性的判断 例１ 已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有)()()(y f x f y x f +=+．且当x ＞０时，)(x f ＞０，试判断)(x f 的单调性，并说明理由.解析：根据题目所给条件，原型函数为y ＝k x ，（k ＞０）．此为增函数．类比其证明方法可得：设12,x x ∈R ，且21x x <，则2x －1x ＞０，故 )(12x x f -＞０．∴ )(2x f －)(1x f ＝[]112)(x x x f +-－)(1x f＝)(12x x f -＋)(1x f －)(1x f＝)(12x x f -＞０．∴)(1x f ＜)(2x f ． 故)(x f 在（－∞，＋∞）上为增函数．例２ 已知函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0)+∞，上为增函数，证明()y f x =在(0)-∞，上也是增函数．解析：此函数原型函数同样可以为(0)y kx k =>，而奇函数这个条件正是转化的媒介．设12(0)x x ∈-∞，，，且12x x <， ()f x 为奇函数，11()()f x f x ∴-=-，22()()f x f x -=-．由假设可知1200x x ->->，，即12(0)x x --∈+∞，，，且12x x ->-， 由于()f x 在(0)+∞，上是增函数，于是有12()()f x f x ->-，即12()()f x f x ->-，从而12()()f x f x <，()y f x ∴=在(0)-∞，上是增函数．例３ 已知函数)(x f 对于任意正数x ，y 都有)(xy f ＝)(x f ·)(y f ,且)(x f ≠0,当x ＞1时, )(x f ＜1．试判断)(x f 在（０，＋∞）上的单调性，并说明理由．解析：此函数的原型函数可以为x y 1=．显然此函数在（０，＋∞）上是减函数．对于x ∈（０，＋∞）有)(x f ＝[]0)()(2≥=⋅x f x x f又)(x f ≠０， ∴)(x f ＞０设1x ，2x ∈（０，＋∞），且1x ＜2x ．则 221121121111()()()()()()()()x x f x f f x f x x x x f f x f x f x x ===＜１， ∴ )(1x f ＞)(2x f ， 故)(x f 在（０，＋∞）上为减函数．一般形式为 y=f(x)且无法用数字和字母表示出来的函数，一般出现在题目中，或许有定义域、值域等。
高中抽象函数的单调性习题总结
10月2日 抽象函数的单调性1、()f x 对任意,x y R ∈都有：()()()f x y f x f y +=+，当0,()0x f x ><时，又知(1)2f =-，求()f x 在[]3,3x ∈-上的值域.2、f(x)对任意实数x 与y 都有()()()2f x f y f x y -=--,当x>0时,f(x)>2（1）求证:f(x)在R 上是增函数； （2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3.3、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集.4、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.(1) 求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。
5、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有：()()()a f f a fb b =-，且当1x <时，()0f x >,（I ）求(1)f 的值;（II ）判断()f x 的单调性,6、若非零函数)(x f 对任意实数b a ,均有()()()f a b f a f b +=⋅，且当0<x 时，1)(>x f ；（1）求证：()0f x > ；（2）求证：)(x f 为减函数 （3）当161)4(=f 时，解不等式41)5()3(2≤-⋅-x f x f7、已知()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，且(1)1f =，若任意的[1,1]a b ∈-、，总有()(()())0a b f a f b ++>．（1）判断函数()f x 在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：(1)(12)f x f x -<-；（3）若2()21f x m pm -+≤对所有的[1,1]x ∈-恒成立，其中[1,1]p ∈-（p 是常数），求实数m 的取值范围．。
抽象函数函数之单调性及奇偶性部分
函数之单调性及奇偶性部分单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决）例1设函数f(x)对任意实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值. 解析:由单调性的定义步骤设x 1<x 2, 则f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)< f(x 1). （∵x 2-x 1>0,∴f(x 2-x 1)<0）所以f(x)是R 上的减函数, 故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6.练习1：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x 、y ，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R 上为增函数。
证明：设R 上x 1<x 2，则f(x 2-x 1)>1，f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)f(x 1),(注意此处不能直接得大于f(x 1)，因为f(x 1)的正负还没确定) 。
取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f （0）=0,令x>0,y=0，则f(x)=0与x>0时，f(x)>1矛盾，所以f(0)=1，x>0时，f(x)>1>0,x<0时，-x>0，f(-x)>1,∴由0)(1)(1)()()0(>-==-=x f x f x f x f f 得，故f(x)>0，从而f(x 2)>f(x 1).即f(x)在R 上是增函数。
（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性）练习2：已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0. 求证：f (x )是单调递增函数；证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0, ∴f (x )是单调递增函数.练习3、 定义在R 上的函数y =f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）.（1）求证：f （0）=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0；（3）求证：f （x ）是R 上的增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.（1）证明：令a =b =0，则f （0）=f 2（0）.又f （0）≠0，∴f （0）=1.（2）证明：当x ＜0时，－x ＞0，∴f （0）=f （x ）·f （－x ）=1.∴f （－x ）=)(1x f ＞0.又x ≥0时f （x ）≥1＞0，∴x ∈R 时，恒有f （x ）＞0.（3）证明：设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f （x 2）=f （x 2－x 1+x 1）=f （x 2－x 1）·f （x 1）.∵x 2－x 1＞0，∴f （x 2－x 1）＞1.又f （x 1）＞0，∴f （x 2－x 1）·f （x 1）＞f （x 1）.∴f （x 2）＞f （x 1）.∴f （x ）是R 上的增函数.（4）解：由f （x ）·f （2x －x 2）＞1，f （0）=1得f （3x －x 2）＞f （0）.又f （x ）是R 上的增函数，∴3x －x 2＞0.∴0＜x ＜3.关键点注：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f （x 2）=f ［（x 2－x 1）+x 1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y 都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>1时,f(x)<1.试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由.解:0)x (f ,0)x (f ,0)x (f )x x (f )x (f R x 2>≠≥=∙=∈+故又有对，则则且设,1x x ,x x ,R x ,x 122121><∈+ 1)x x (f )x (f )x (f )x x (f )x (f )x x x (f )x (f )x (f 121112111212<=∙=∙=，所以f(x 1)>f(x 2),故f(x)在R +上为减函数.)2()0,2()1,3()2()1,3()2,1()1,2()(0)1()1(0)2()0,()(5∞+⋃---∞+⋃-⋃-->+-=-∞，、、，、、的解集为，则上单调递减，且在、奇函数练习D C B A Cx f x f x f奇偶性问题例2. （1）已知函数f(x)(x ≠0的实数)对任意不等于零的实数x 、y 都有f(x ﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。
抽象函数的一般解题,单调性构造,方程形式
一、抽象函数常见问题：1、定义域（就是自变量x 取值范围）：整体替换，2、简单求值问题：主要就是赋值，主要赋值有0、1、2、-1、-23、综合问题（求值和解不等式）：一般2种方向：赋值和构造函数 其目的就是构造f(x)<f(m)或f(x)=f(n)的形式，从而达到去掉“马甲 ”f, 难题可以多次赋值，从而达到构造目的二、抽象函数单调性常见构造形式：1、f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2)构造为f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1）+f(x 1)即f(x 2)-f(x 1)=f(x 2-x 1）2、f(x 1)+f(x 2)=f(x 1+x 2)-a构造为f(x 2)-f(x 1)=f[(x 2-x 1)+x 1]-f(x 1)即f(x 2)-f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-f(x 1)-a3、f(x 1/x 2)=f(x 1)-f(x 2) 直接设x 1，x 2，函数直接作差即可4、f(x 1*x 2)=f(x 1)*f(x 2)构造为f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)*f(x 1)即f(x 2)/f(x 1)=f(x 2-x 1)三、几个常见抽象函数的方程：(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.f(x/y)=f(x)-f(y)(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()c o f x x =,正弦函数()s i g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，0()(0)1,lim 1x g x f x →==.（6）正切函数f(x)=tanx,f(x+y)=(f(x)+f(y))/(1-f(x)f(y))或f(x-y)=(f(x)-f(y))/(1+f(x)f(y))。
高一数学｜用赋值方法证明抽象函数的单调性,也很简单的
高一数学｜用赋值方法证明抽象函数的单调性，也很简单的
赋值方法证明抽象函数的单调性是一种比较简便的证明方法，即只要在抽象函数的定义域内找出不相等的两个数，使用相同的函数值即可，其单调性就可以证明了。
例如，设函数f(x)为抽象函数，则设a、b为定义域内的两个不同数，则f(a)=f(b)成立，这就证明了抽象函数f(x)的单调性。
此外，证明抽象函数的单调性的另一种常用的方法就是数学归纳法，这种方法比赋值方法更加精细，可以把各个局部的情况纳入考量，并加以归纳，以达到有效地证明抽象函数的单调性。
数学归纳法是一种相当简单而又正确的数学论证过程，从抽象函数的定义域内抽取合适的数，把他们的函数值进行比较，使用抽象的证据，这样就可以得出抽象函数的单调性的显然结论了。
抽象函数单调性(超好课件)
——抽象函数的单调性
问题2：已知函数f (x)是定义在区间-1,1上的增函数，且
f (x 2) f (1 x)，求x的取值范围.
解：由题意得：
1 x 2 1 x 1
解得：1 x 3 2
x的取值范围为1,
3 2
如何判断？
问题3：已知函数f (x)在R上满足f (x y) f (x) f ( y)，且当 x 0时，f (x) 0，判定f (x)的单调性.
练习2、已知函数f (x)的定义域是（0， ），且f (x y) f (x) f ( y)， 当x 1时，f (x) 0. （1）求f (1)； （2）证明f (x)在（0， ）上是增函数.
练习1 解答：
（1）证明：任取x1, x2 R，且x1 x2
f (x1) f (x2 ) f (x1) f (x2 x1 x1)
f (x1) f (x2 x1) f (x1)-1
f (x2 x1)+1 x2 x1 0,当x 0时, f (x) 1
f (x2 x1)+1 0 即f (x1) f (x2 ) f (x)在R上为增函数.
（2）解： f (4) f (2)+f (2)-1，f (4)=5 5 2 f (2) 1，f (2)=3
求不等式 2 f (x) 2的解集.
解：（1）f (x)在R上为减函数.
任取x1, x2 0, ，且x1 x2
f
(x1)
f
(x2 )
f
( x1 x2
x2 )
f
(x2 )
f
( x1 ) x2
f (x2 )
f
(x2 )
f ( x1 ) x2
0 x1 1,当0 x 1时, f (x) 0 x2
专题三 抽象函数的单调性与奇偶性
专题三抽象函数的单调性与奇偶性抽象函数是一种没有具体函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。
这类函数问题能够全面考查学生对函数概念的理解及性质的应用、推理和论证能力，同时也能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力。
因此，抽象函数问题倍受命题者的青睐，体现了函数与方程、数形结合、一般与特殊等重要的数学思想。
然而，由于抽象函数问题比较抽象，学生难以理解和接受，教材也没有很好地讲解处理，因此这类问题时常困惑着不少师生。
但是，这类问题对于发展学生的思维能力，进行数学思想方法的渗透，培养学生的创新思想，提高学生的数学素质，有着重要作用。
因此，本文将从解题思路及方法方面谈点看法。
首先，我们可以在中学函数部分教材中找到一些抽象型函数的特殊模型，如正比例函数、幂函数、指数函数等。
若充分利用这些模型解题，既可使学生掌握解决数学问题的规律，培养了解题能力，又使学生体会到人们对事物的认识，总是在感性认识的基础上，通过抽象概括上升为理性认识，最终揭示事物的本质，这样一种认识规律。
对于抽象函数解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可借助特殊模型理解题意；同时，对于有些对应的特殊模型不是学生熟悉的基本初等函数的抽象函数解答题，要启发学生通过适当变通去寻求特殊模型，从而得到抽象函数问题的求解方法。
其次，对于用常规解法难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，有时会收到事半功倍的效果。
比如，抽象函数奇偶性的判断一般通过合理赋值，抽象函数单调性的判断一般用定义，解关于抽象函数的不等式，一般利用用单调性脱去f。
综上所述，虽然抽象函数问题比较抽象，但是通过利用特殊模型和特殊方法，我们可以更好地解决这类问题，培养学生的数学思维能力和创新思维。
3.已知函数$f(x)$对任意实数$x,y$恒有$f(x+y)=f(x)+f(y)$且当$x>0$时，$f(x)<0$。
已知$f(1)=-2$。
抽象函数的性质及应用
抽象函数的性质及应用抽象函数是高中数学的难点,也是近几年考试中的热点和重点,尤其函数的奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往都比较难,让人感觉无从下手.抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有逻辑思维能力、丰富的想象力以及灵活运用函数知识的能力.一抽象函数的单调性例1已知偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,则满足f(2x-1)≤f(x)的x的取值范围是 ()A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.∪[1,+∞)D.答案D根据题意,偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,则f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(2x-1)≤f(x)⇒f(|2x-1|)≤f(|x|)⇒|2x-1|≤|x|⇒(2x-1)2≤x2,解得≤x≤1,即x的取值范围是.故选D.解析：根据题意,结合函数的奇偶性与单调性分析可得f(2x-1)≤f(x)⇒f(|2x-1|)≤f(|x|)⇒|2x-1|≤|x|⇒(2x-1)2≤x2,解得x的取值范围.例2若a=,b=,c=log2,定义在R上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,都有<0,则f(a), f(b), f(c)的大小顺序为 ()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)>f(b)>f(a)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(b)>f(c)>f(a)答案B根据题意,函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,都有<0,则f(x)在[0,+∞)上为减函数,又f(x)为定义在R上的奇函数,所以函数f(x)在(-∞,0]上为减函数,所以函数f(x)在R上为减函数,因为c=log2<0,a==,b=,所以a>b>0>c,故f(c)>f(b)>f(a).故选B.解析：根据题意,由函数单调性的定义可得f(x)在[0,+∞)上为减函数,结合函数的奇偶性可得函数f(x)在R上为减函数,又由题意可得a>b>0>c,再结合函数的单调性分析可得答案.变式训练：已知定义在R上的函数f(x),若函数y=f(x+2)为偶函数,且f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有<0,若f(a)≤f(3a+1),则实数a 的取值范围是 ()A. B.[-2,-1]C. D.答案A因为函数y=f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,因为f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有<0,所以函数f(x)在[2,+∞)上为减函数,所以函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,则f(a)≤f(3a+1)⇒|a-2|≥|3a-1|,解得-≤a≤.即实数a的取值范围是.故选A.二抽象函数的周期性例3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数, f=f,当x∈时, f(x)=log2(-3x+1),则f(2 020)= ()A.4B.log27C.2D.-2答案D根据题意, f(x)满足f=f,即f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,则f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),又f(x)为奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-log2(3+1)=-2,故选D.解析：根据题意,分析可得f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,进而可得f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案.例4已知函数f(x)对任意的x∈R满足f(x+2)=f(-x),f(x+1)=f(x)·f(x+2),且f(x)>0,若f(1)=4,则f(2 019)+f(2020)= ()A.B.2C.D.4答案A根据题意, f(x+1)=f(x)·f(x+2),则有f(x+2)=f(x+1)·f(x+3),变形可得f(x+2)=f(x)·f(x+2)·f(x+3),又f(x)>0,所以f(x)·f(x+3)=1,所以f(x+3)=,故f(x+6)==f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,则f(2 019)=f(3+336×6)=f(3), f(2 020)=f(4+336×6)=f(4),故f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4).由f(x+3)=,令x=1可得f(4)==;由f(x+1)=f(x)·f(x+2)和f(x+2)=f(-x),令x=0可得f(1)=f(0)·f(2)=4且f(0)=f(2), f(x)>0,则f(0)=f(2)=2,则f(3)==,故f(3)+f(4)=+=.故选A.解析：根据题意,由f(x+1)=f(x)·f(x+2)分析可得f(x+2)=f(x+1)·f(x+3),进而可得f(x+3)=,则有f(x+6)==f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,进而可得f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4),再利用赋值法求得f(3)和f(4),最后相加即可得答案.变式训练：已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,满足f(1-x)=f(1+x), f(-x)=-f(x),且f(x)在[0,1]上单调递增,若a=f(log23),b=f(),c=f(2 020),则 ()A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a答案D因为f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又因为f(-x)=-f(x),且函数定义域关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,所以f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),令x=x-1,则f(x)=-f(x-2)①,令x=x-2,则f(x-2)=-f(x-4)②,由①②得, f(x)=f(x-4),即函数f(x)是周期为4的周期函数.又因为f(x)在[0,1]上单调递增,所以函数f(x)的大致图象如图所示,又log23∈(1,2),∈(3,4),所以a>0,b<0,又f(2 020)=f(505×4)=f(0)=0,所以c=0,故b<c<a.故选D.三抽象函数的零点问题例5若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),当x∈[-1,0]时, f(x)=1-x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为 ()A.5B.6C.7D.8答案B因为f(x)=f(2-x)以及函数为偶函数,所以函数f(x)是周期为2的周期函数.根据x∈[-1,0]时, f(x)=1-x2,且函数f(x)是周期为2的周期函数,也是偶函数,作出f(x)在区间[-5,5]上的图象,再作出函数g(x)=的图象,如图所示,可得函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为6.故选B.解析：根据条件可判断出函数f(x)为周期是2的周期函数,再结合奇偶性,周期性和解析式作出图象,通过数形结合转化求解即可.例6若偶函数f(x)的图象关于x=对称,当x∈时, f(x)=x,则函数g(x)=f(x)-log20|x|在[-20,20]上的零点个数是 ()A.18B.26C.28D.30答案B解析令h(x)=log20|x|,则h(x)为偶函数且x≠0,因为f(x)是偶函数,所以g(x)是偶函数且x≠0,由g(x)=f(x)-log20|x|=0,得f(x)=log20|x|,当x>0时,h(x)=log20x,因为偶函数f(x)的图象关于x=对称,所以f(-x)=f(x)且f(x)=f(3-x),则f(3+x)=f[3-(3+x)]=f(-x)=f(x),即f(x)是T=3的周期函数,所以x=(k∈Z)为f(x)图象的对称轴,又因为当x∈时, f(x)=x,所以f(20)=f(21-1)=f(-1)=f(1)=1=h(20),当x∈[0,20]时, f(x),h(x)在同一坐标系中的图象如图所示,可知f(x)与h(x)在[0,20]上有13个交点,即g(x)在[0,20]上有13个零点,又因为g(x)是偶函数,所以g(x)在[-20,20]上共有26个零点.故选B.解析：令h(x)=log20|x|,根据函数f(x)、h(x)为偶函数,可判断g(x)为偶函数,进而判断出f(x)的周期为3,题目等价于f(x)的图象与h(x)的图象的交点个数,画出[0,20]上的图象即可判断出总零点个数.例7已知f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x-1,函数g(x)=f(x)-log a x(a>1)恰有3个零点,则a的取值范围是 ()A.(1,3)B.(3,5)C.(1,5)D.(5,9)答案D f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),所以函数关于x=1对称, f(x)=-f(x-2),所以f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4,当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x-1,所以函数f(x)的图象如图所示,当a>1时,函数g(x)=f(x)-log a x恰有3个零点,就是方程f(x)=log a x解的个数为3,即y=f(x)的图象与y=log a x的图象有3个交点,结合图象得解得a∈(5,9).故选D.解析：利用函数的奇偶性以及函数的对称性,画出函数的图象,通过数形结合转化求解即可.变式训练：1.函数f(x)满足3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),且f(1)= ,则f(2020)=()A.B.-C.-D.答案C令x=n,y=1,得3f(n)·f(1)=f(n+1)+f(n-1),即f(n)=f(n+1)+f(n-1),∴f(n+1)=f(n+2)+f(n),∴f(n+2)=-f(n-1),∴f(n)=-f(n-3)=f(n-6)∴函数f(x)是周期函数,周期T=6,故f(2 020)=f(6×336+4)=f(4).又3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),令x=1,y=0,得3f(1)·f(0)=f(1)+f(1)=,∴f(0)=,令x=y=1,得3[f(1)]2=f(2)+f(0),则f(2)=-,令x=2,y=1,得3f(2)·f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=-,令x=3,y=1,得3f(3)·f(1)=f(4)+f(2),解得f(4)=-,∴f(2 020)=-.故选C.2.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数,对任意的实数x, f(x)-f(-x)=0恒成立,当x∈[-1,0]时, f(x)=x2,若g(x)=f(x)-log a(|x|+1)在R上有且仅有五个零点,则a的取值范围为 ()A.[3,5]B.[2,4]C.(3,5)D.(2,4)答案D∵f(x)-f(-x)=0,∴f(x)=f(-x),又函数定义域为R,∴f(x)是偶函数,根据函数的周期性和奇偶性作出f(x)的图象如图所示,∵g(x)=f(x)-log a(|x|+1)在R上有且仅有五个零点,且y=log a(|x|+1)是过(0,0)的偶函数,∴y=f(x)和y=log a(|x|+1)的图象在(0,+∞)上只有2个交点,∴解得2<a<4.故选D.。
抽象函数证明单调性专题
1.
例题：已知定义在R 内的函数()f x ，对任意两个实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=+
当0x >时，()0f x >判断()f x 的单调性并证明？ 变式：已知定义在R 内的函数()f x ，对任意两个实数,m n 都有
1()()()2f m n f m f n +=++，且1()02f =，当12
x >时，()0f x >，判断()f x 的单调性并证明？ 分析：221111()()22
f x f x x x =-++-
2. 对数函数模型
例题：已知定义在(0,)+∞内的函数()f x ，对任意两个正实数,m n 都有()()()f mn f m f n =+，当1,x >时()0f x >。
判断并证明单调性 变式：已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 对任意正数,m n 都有
1()()()2f mn f m f n =+-，当4x >时，3()2f x >，且1()02
f = (1) 求(2)f 的值
(2) 解关于x 的不等式()(3)2f x f x ++> 分析：212144x x x x =
• 3.指数型
变式2：已知函数()y f x =定义域为R,当0x <时，()1f x > ，且对任意的实数，,x y 都有()()()f m f n f x y =+成立，
（1）求(0)f （2）判断并证明单调性 分析：单调递减，设12x x <，1122x x x x =-+，1122()()()f x f x x f x =- 注意，令,y x =2(2)()f x f x =，所以函数()f x 一定大于0，。
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明抽象函数单调性与奇偶性特殊模型：正比例函数$f(x)=kx$（$k≠0$）幂函数$f(x)=x^n$（$n$为正整数）指数函数$f(x)=a^x$（$a>0$且$a≠1$）对数函数$f(x)=\log_a x$（$a>0$且$a≠1$）正、余弦函数$f(x)=\sin x$，$f(x)=\cos x$正切函数$f(x)=\tan x$余切函数$f(x)=\cot x$抽象函数：f(x+y)=f(x)+f(y)$f(xy)=f(x)f(y)$或$\frac{f(x)}{f(y)}$f(x+y)=f(x)f(y)$或$f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}$f(xy)=f(x)+f(y)$或$f(x)=f(x)-f(y)$1.已知$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，对一切实数$x$、$y$都成立，且$f(0)≠0$，求证$f(x)$为偶函数。
证明：令$x=0$，则已知等式变为$f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)$……①在①中令$y=0$则$2f(0)=2f(0)$，由$f(0)≠0$得$f(0)=1$f(y)+f(-y)=2f(y)$，即$f(-y)=f(y)$，故$f(x)$为偶函数。
2.奇函数$f(x)$在定义域$(-1,1)$内递减，求满足$f(1-m)+f(1+m)<0$的实数$m$的取值范围。
解：由$f(1-m)+f(1+m)<0$得$f(1-m)<-f(1+m)$。
f(x)$为函数，∴$f(1-m)<f(m-1)$because f(x)$在$(-1,1)$内递减，∴$-1<1-m<1$，$-1<m-1<1$，即$-1<m<1$又$f(1-m)>f(m-1)$，故$m<0$，所以$-1<m<0$3.如果$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$对任意的$t$有$f(2+t)=f(2-t)$，比较$f(1)$、$f(2)$、$f(4)$的大小。
抽象函数中的单调性问题
抽象函数中的单调性问题摘要：单调性函数是函数中的一个重要特性，它被广泛应用于数学和经济学中。
介绍了函数单调性评判的几种方法和几个结论，先针对具体函数从函数单调性定义入手，先后给出定义法，导数法，函数性质法，图像法和复合函数单调性评判法；其次，对不给具体函数表达的抽象函数给出定义法与复合函数法。
关键词：函数；单调性；特定功能；抽象函数函数作为研究现实世界数量关系的数学模型，其最基本和最主要的特性就是函数的单调性。
函数单调性对高中数学学习具有重要作用，包含数形结合，分类讨论等数学思想。
同时函数的单调性也为学生以后学习高等数学提供了依据。
[1]所以如何判断函数是否单调变得非常重要。
对于具体函数与抽象函数的单调性判断问题，文章引入了如下一些方法。
一、特定函数单调性判断法（一）定义的方法通常情况下，设定f是定义于D中的函数。
若对任何x1、x2∈D，当x1f（x2））成立时，称f为D上的严格增（减）函数。
[2]应用定义，证明了函数y=f（x）单调于给定间隔D的一般程序：（1）设元，任取x1,x2∈D且x1（2）作差f（x1）-f（x2）；（3）变形（一般采用因式分解与配方相结合）；（4）断号（即判断f（x1）-f（x2）和0的尺寸）；（5）定论（即指出函数f（x）给定区间D单调性）。
例1通过定义证明了（判断）函数/（0,+∞）中单调性。
证明设x1、x2∈（0,+∞），且x1又00，每小时x1x2-k≈0对于f（x1）-f（x2）≤0来说，这时函数f（x）是一个减函数；当/时x1x2-k>0,f（x1）-f（x2）<0，此时函数f（x）为增函数。
总之，函数/是区间/范围内的减函数；区间/内是一个增函数。
本题函数f（x）是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时，通常需要进行因式分解，由于x1x2-k与0的大小关系（k>0）不明确，所以要分段讨论。
利用定义法确定函数单调性更适合于定义域中任意两个数字x1和x2在x1解题中，定义法最为直接，是大家最先想到的一种办法，尽管此法思路清晰一些，但是一般流程较为繁琐。
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f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 x1 x1 ) f ( x2 x1 ) x2 x1 0, 当x 0时, f ( x) 0 f ( x2 x1 ) 0 即f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x)在R上为增函数.
（2）解： f (4) f (2)+f (2)-1，f (4)=5 5 2 f (2) 1，f (2)=3 f ( m 2 ) 3，又 f ( x)在R上为增函数. m2 2 即-2 m 2 2,解得： 0m4 m的范围为 0, 4 .
x1 1, 当0 x 1时, f ( x) 0 x2 x1 )0 x2
即f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x)在R上为减函数.
五、课堂演练，反馈提升
练习 1、函数f ( x)对任意的a, b R，都有f (a b) f (a) f (b) 1， 并且当x 0时，f ( x) 1. （ 1）求证：f ( x)在R上是增函数； （2）若f (4) 5，解不等式f ( m 2 ) 3.
练习2、已知函数f ( x)的定义域是（ 0， ），且f ( x y ) f ( x) f ( y )， 当x 1时，f ( x) 0. （ 1）求f (1)； （2）证明f ( x)在（0， ）上是增：任取x1 , x2 R，且x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 x1 x1 ) f ( x2 x1 )+1 x2 x1 0, 当x 0时, f ( x) 1 f ( x2 x1 )+1 0 即f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x)在R上为增函数. f ( x1 ) f ( x2 x1 ) f ( x1 )-1
抽象函数问题
——抽象函数的单调性
一、复习
1、函数单调性的定义
x1 , x2 D, D I , （1）当x1 x2 , 都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么函数f ( x )在区间 D 上是增函数 （2）当x1 x2 , 都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么函数f ( x)在区间 D 上是减函数
四、尝试解决，形成方法
例1、已知函数f ( x)在R上满足f ( x y ) f ( x) f ( y )，且当 x 0时，f ( x) 0，f (1) 2 （1）令x y 0，则f (0+0)=f (0) f (0)，f (0) 0. (1)求f (0)、f (3)的值； (2)判定f ( x)的单调性.
(3)求不等式f ( x 1) 6的解集（ . 2）任取x1 , x2 R，且x1 x2
f ( x1 ) f ( x2 x1 ) f ( x1 )
例2、已知定义在 0, 上的函数f ( x)满足：①对任意的x, y 0, ， 都有f ( x y ) f ( x) f ( y )；②当0 x 1时，f ( x) 0. (1)判断并证明的单调性 1 (2)已知f (9) 2, 且f ( ) f ( x), x 求不等式 2 f ( x) 2的解集.
x1 x1 f ( x y) f ( x) f ( y),则f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) f ( x2 ); x2 x2
f ( x y) f ( x) f ( y),则f ( x1 ) f ( x1 x2 x2 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 );
一、课堂小结
如何判断抽象函数的单调性. （1）紧扣单调性的定义，
（2）适当运用题设条件.
一般地，若f(x)满足：
f ( x y) f ( x) f ( y),则f ( x1 ) f ( x1 x2 x2 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 );
f ( x y) f ( x) f ( y),则f ( x1 ) f (
解：由题意得： 1 x 2 1 x 1 3 解得： 1 x 2 3 x的取值范围为1, 2
x 0时，f ( x) 0，判定f ( x)的单调性.
如何判断？
问题3：已知函数f ( x)在R上满足f ( x y) f ( x) f ( y)，且当
解：（1）f ( x)在R上为减函数. 任取x1 , x2 0, ，且x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 ) x2 x1 ) f ( x2 ) f ( x2 ) x2 x1 ) x2
f( f( 0 f(
2、证明函数单调性的一般步骤
取值，作差，变形，判号，下结论（判断函数单调性“五部曲”）
二、知新必备
1 问题1：证明函数f ( x) x 在区间（ 1， ）上为增函数. x
-1,1上的增函数，且 问题2：已知函数f ( x)是定义在区间
f ( x 2) f (1 x)，求x的取值范围 .
x1 x x2 ) f ( 1 ) f ( x2 ); x2 x2
f ( x y) f ( x) f ( y),则f ( x1 ) f ( x1 x2 x2 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 );
一、作业
已知函数f ( x)的定义域是R，对任意x均有f ( x) 0，且满足： ①f ( x y ) f ( x) f ( y )，②当x 0时，f ( x) 1. （ 1）求f (0)； （2）证明f ( x)在R上是增函数.
三、探索新知
1、抽象函数问题 是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的函数问题. 2、如何判断抽象函数的单调性. 判断抽象函数的单调性，仍然要紧扣单调性的定义，并且适当
运用题设条件. 一般地，若f(x)满足：
f ( x y) f ( x) f ( y),则f ( x1 ) f ( x1 x2 x2 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 );