分式方程的应用——综合问题

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分式运算分式方程组的综合实际问题

分式运算分式方程组的综合实际问题在数学学科中，分式运算及分式方程组是一些常见的概念和方法。

它们是解决实际问题的有力工具，能够帮助我们分析和解决各种实际情境中的数学难题。

本文将通过几个实际问题，来说明如何运用分式运算和分式方程组解决实际问题。

问题一：甲、乙两人合作,8天可以完成某项工作。

若乙独自工作12天能完成该项工作，问甲独自工作需要多少天？解答：设甲独自工作x天完成该项工作，根据题意可列出方程：$$\frac{1}{x} + \frac{1}{12} = \frac{1}{8}$$通过分式方程组的求解，可以得到甲独自工作需要24天。

问题二：某沙漠中有一片湖泊，湖水中含有钠、钾、铁等成分。

已知湖水中钠的百分浓度是0.3%，钾的百分浓度是0.2%，铁的百分浓度是0.1%。

某公司收购湖水，经过处理后，将湖水中钠、钾、铁的浓度分别提高到2%，1%，0.5%。

设处理后的湖水100升，问需要加入多少升的原湖水才能得到处理后的湖水？解答：设原湖水中含钠、钾、铁的体积分别为x升、y升、z升。

则可以列出以下分式方程组：$$\frac{0.003x}{x+y+z+100} = 0.02$$$$\frac{0.002y}{x+y+z+100} = 0.01$$$$\frac{0.001z}{x+y+z+100} = 0.005$$通过求解上述分式方程组，可以得到需要加入2000升的原湖水才能得到处理后的湖水。

问题三：甲、乙两个小组分别进行实验，分别用a天和b天完成同样复杂度的工作。

甲组完成了工作的$\frac{1}{4}$，乙组完成了工作的$\frac{1}{3}$。

现在两个小组合并，要在c天内完成剩余的同样复杂度的工作，问c天应该设定为多少天？解答：设剩余工作量为1个单位，则甲组完成剩余工作量为$\frac{3}{4}$个单位，乙组完成剩余工作量为$\frac{2}{3}$个单位。

根据题意可列出以下分式方程组：$$\frac{\frac{3}{4}}{a} + \frac{\frac{2}{3}}{b} = \frac{1}{c}$$通过求解上述分式方程组，可以得到c天应设定为$\frac{36ab}{9b+12a}$天。

15.3分式方程的应用

15.3分式方程的应用
例3：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了
半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？
分析：甲队1个月完成总工程的独施工1个月能完成总工程的 1
1 ，设乙队单
3
，那么甲队半
个月完成总工程的 1 ，乙队x半个月完成总工
所以
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系. 2.设:选择恰当的未知数,注意单位. 3.列:根据等量关系正确列出方程. 4.解:认真仔细. 5.验:有三次检验. 6.答:不要忘记写.
练习1.某单位将沿街的一部分房屋出租,每间房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋的租金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元.
（1）.分别求两年每间出租房屋的租金?
（2）.求出租房屋的总间数?
练习2.某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费上涨三分之一,小丽家去年12月的水费是15元,今年2 月的水费是30元.已知今年2月的用水量比去年12月的用水量多5吨,求该市今年居民用水的价格?
补充练习
1、一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？
要保持什么速度才能使全程的平
均速度是30千米/时?
5、甲、乙两列车分别从相距300 千米的A、B两站同时相向而行。相遇后，甲车再经过2小时到达B 站，乙车再经过4小时30分到达A 站，求甲、乙两车的速度。
• 小结： • 本节课你有何收获？还有何困惑？
2、把多边形的边数增加1 倍得到一个新多边形，原多边形内角和是新多边形内角和的0.4。

2020-2021学年北师大版八年级下册第五章《分式与分式方程》实际应用常考综合题专练(一)

八年级下册第五章《分式与分式方程》实际应用常考综合题专练（一）1．我市计划对城区居民供暖管道进行改造，该工程若由甲队单独施工，则恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍，如果由甲乙两队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需要5天．（1）这项工程的规定天数是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用是6500元，乙队每天的施工费用是3500元．为了缩短工期，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作，则该工程的施工费用是多少？2．某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价6元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1680元所购该书的数量比第一次多50本，当按定价售出300本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．（1）第一次购书的进价是多少元？（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少；若赚钱，赚多少？3．列分式方程解应用题：刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？4．列方程解应用题为了提高学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校开展了“阳光体育天天跑活动”，初中男生、女生分别进行1000米和800米的计时跑步，在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少56秒，求这名女生跑完800米所用时间是多少秒．5．扎西与卓玛共同清点一批图书，已知扎西清点完300本图书所用的时间与卓玛清点完200本所用的时间相同，扎西平均每分钟比卓玛多清点10本，求卓玛平均每分清点图书的数量？6．为满足防护新冠疫情需要，现有甲乙两种机器同时开工制造口罩．甲加工90个口罩所用的时间与乙加工120个口罩所用的时间相等，已知甲乙两种机器每秒钟共加工35个口罩，求甲乙两种机器每秒各加工多少个口罩？7．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一公路相向而行，开往B、A两地．已知甲车每小时比乙车每小时多走20km，且甲车行驶350km所用的时间与乙车行驶250km所用的时间相同．甲、乙两车的速度各是多少km/h？8．明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．（1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元；（2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？9．2020年初，一场突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情，打破了我们宁静的生活，为了预防新型冠状病毒肺炎，人们已经习惯出门戴口罩．某口罩生产企业在若干天内加工120万个口罩（每天生产数量相同），在实际生产时，由于提高了生产技术水平，每天加工的个数是原来的1.5倍，从而提前2天完成任务，问该企业原计划每天生产多少万个口罩？10．为了抗击疫情，支援武汉一线，某工厂接到上级下达赶制60万只医用一次性口罩的任务，为使医用一次性口罩早日到达防疫一线，开工后每天加工口罩的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，则该厂原计划每天加工多少万只医用一次性口罩？参考答案1．解：（1）设这项工程规定x天完成，15+5＝20（天），根据题意得：，解得：x＝30，经检验：x＝30是原方程的解，且符合题意，答：这项工程规定30天完成．（2）总施工费用：（元），答：该工程的施工费用是180000元．2．解：（1）设第一次购书的进价是每本书x元，则第二次购书时，每本书的批发价是（1+20%）x元，根据题意得：﹣＝50，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，答：第一次购书的进价是每本书4元；（2）第一次购书为1200÷4＝300（本），第二次购书为300+50＝350（本），第一次赚钱为300×（6﹣4）＝600（元），第二次赚钱为300×（6﹣4×1.2）+（350﹣300）×（6×0.4﹣4×1.2）＝240（元），所以两次共赚钱为：600+240＝840（元），答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了840元．3．解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行3x千米，由题意得：＝+，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，∴3x＝60，答：李明乘公交、刘峰骑自行车每小时分别行60千米、20千米．4．解：设这名女生跑完800米所用时间为x秒，则这名男生跑完1000米所用时间（x+56）秒，根据题意得：，解得：x＝224，经检验，x＝224是所列方程的解，并且符合实际问题的意义．答：这名女生跑完800米所用时间是224秒．5．解：设卓玛平均每分钟清点图书x本，则扎西平均每分钟清点（x+10）本，依题意，得：＝．解得：x＝20．经检验，x＝20是原方程的解．答：卓玛平均每分钟清点图书20本．6．解：设甲每秒加工x个口罩，则乙每秒加工（35﹣x）个口罩．由题意得：＝，解得：x＝15，经检验：x＝15是原方程的根，且x＝15，35﹣x＝20符合题意，答：甲每秒加工15个口罩，乙每天加秒20个口罩．7．解：设乙车的速度是xkm/h，则甲车的速度是（x+20）km/h，依题意得：＝，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴x+20＝70．答：甲车的速度是70km/h，乙车的速度是50km/h．8．解：（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，根据题意得：＝，解得：x＝0.3，经检验，x＝0.3是原分式方程的解，且符合题意，∴x+0.2＝0.3+0.2＝0.5．答：每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元．（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，根据题意得：，解得：48≤m≤50．又∵m为整数，∴m可以取48，49，50．∴学校有三种购买方案，方案1：购买甲种电脑32台，乙种电脑48台；方案2：购买甲种电脑31台，乙种电脑49台；方案3：购买甲种电脑30台，乙种电脑50台．9．解：设该企业原计划每天生产x万个口罩，则在实际生产时每天生产1.5x万个口罩，由题意得：﹣＝2，解得：x＝20，经检验：x＝20是原分式方程的解，且符合题意，答：该企业原计划每天生产20万个口罩．10．解：设该厂原计划每天加工x万只医用一次性口罩，则实际每天加工1.5x万只医用一次性口罩，依题意，得：﹣＝5，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．答：该厂原计划每天加工4万只医用一次性口罩．。

分式方程应用题分类讲解与训练(很全面)

分式方程应用题分类讲解与训练一、【行程中的应用性问题】例1 甲、乙两个车站相距96千米,快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？分析：等量关系:慢车用时=快车用时+ （小时)例2 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1。

5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．解:设普通快车车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意,得xx 6828-=x 5.1828，解得46x =，经检验，46x =是方程的根，且符合题意． ∴46x =，1.569x =，即普通快车车的平均速度为46km ／h,直达快车的平均速度为69km ／h ．评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系,设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解,要要检验是否符合题意,即满足实际意义．4060例3 A 、B 两地相距87千米,甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度.分析：等量关系：甲用时间=乙用时间+ (小时）例4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师,派一名学生骑车从学校出发,按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？解：设步行速度为x 千米／时，骑车速度为2x 千米／时，依题意，得：方程两边都乘以2x ，去分母,得 30—15＝x ，所以，x ＝15．检验：当x ＝15时，2x ＝2×15≠0，所以x ＝15是原分式方程的根，并且符合题意．∵，∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟．所行距离速度时间甲（87-45）千米x 千米/小时乙45千米（x+4)千米/小时30608745x-454x +例5 农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．解: 设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时，依题意,得:解得x＝15．经检验x＝15是这个方程的解．当x＝15时，3x＝45．即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为45千米/小时．例6 甲乙两人同时从一个地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点A与B；若从原地出发,但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达B，求甲与乙的速度之比。

不等式(组)及分式方程综合应用

解应用题的基本步骤：（1）审（2）设（3）列（4）解（5）验（6）答
典例精解
考点：分式方程,一元一次不等式（组）的应用
开明中学开学初在金利源商场购进A，B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000 元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元. （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
专题突破
旧知回顾
1、某产品进价120元，共有15件，为了使利润不低于1000元，那么这件产品的定价至少在多少元？
解：设定价为x元
(x-120) ×15≥1000
2.某人骑一辆电动自行车，如果行驶速度增加5km/h ，那么2h所行驶的路程不少于原来速度2.5h所行驶的路程.他原来行驶的速度最大是多少？
（3）【延伸题】在（2）条件下，若购买B品牌的足球数不少于A品牌足球数的1.5倍，求有多少种购买方案？
变式训练
考点：分式方程,一元一次不等式（组）的应用
为配合“一带一路”国家倡议,某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程.一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设,已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天.A工程公司单独施工45天后,B工程公司参与合作,两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程. (1)求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天?
（2）设未知数注意和题目中各个量关系都密切的量，注意根据问题情况灵活选择设法，如直接法，间接法，设多元等（3）求分式方程的解，验根应从两个方面出发：方程本身和实际意义
（2）开明中学为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A，B两种品牌足球共50个.恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售. 如果这所中学此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过 3260元，那么开明中学此次最多可购买多少个B品牌足球？

分式方程综合算式的解题技巧

分式方程综合算式的解题技巧分式方程是数学学科中的一个重要内容，它常常出现在解决实际问题、推导公式以及证明定理等过程中。

本文将介绍一些分式方程综合算式的解题技巧，帮助读者更好地理解和应用分式方程。

一、分式方程的基本概念和性质在进行分式方程的解题之前，我们首先了解一下分式方程的基本概念和性质。

分式方程是由分式构成的等式，其中分母中包含未知数。

分式方程可以根据其形式进行分类，如线性分式方程、二次分式方程等。

分式方程的解是使方程两边成立的未知数的值。

在解分式方程时，我们需要遵循以下原则：- 对方程两边进行相同的运算，保持等式成立；- 若方程中分子或分母含有未知数，则需要对其进行消去。

二、分式方程综合算式的解题步骤下面我们将介绍解决分式方程综合算式的具体步骤，帮助读者更好地掌握解题技巧。

步骤一：观察分式方程，分析其特点和性质。

根据方程的形式和已知条件，我们可以获取一些有助于解题的信息。

步骤二：消去分母。

当分母中含有未知数时，我们需要寻找一个合适的方法来消去分母。

常用的方法有通分、取倒数等。

步骤三：整理方程。

对方程两边进行合并整理，将未知数项合并在一起，常数项合并在一起。

步骤四：解方程。

通过运用各种解方程的方法，如移项、合并同类项等，求得未知数的值。

步骤五：检验解的合理性。

将求得的未知数代入原方程中，检验解是否满足原方程。

三、分式方程综合算式的常见解题技巧除了上述的解题步骤外，以下是一些常见的解题技巧，可以帮助读者更快速地解决分式方程综合算式。

1. 通分：当方程中多个分式的分母不同时，可以通过通分的方法将其化为相同的分母，以便进行消去分母操作。

2. 取倒数：当方程中存在一个分式，我们可以取其倒数，将问题转化为乘法运算，从而简化计算过程。

3. 求最小公倍数：当方程中的分式为两个数的比值时，可以通过求最小公倍数来消去分母，简化问题。

4. 利用等式性质：使用等式左右两边的相等性质，如对等式两边同时乘以某个数，将方程转化为更简单的形式。

2020-2021学年北师大版八年级数学下册第五章《分式与分式方程》实际应用常考综合题专练(二)

八年级下册第五章《分式与分式方程》实际应用常考综合题专练（二）1．在新冠肺炎疫情发生后，某企业加快转型步伐，引进A，B两种型号的机器生产防护服，已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工20套防护服，且一台A型机器加工800套防护服与一台B型机器加工600套防护服所用时间相等．（1）每台A，B型号的机器每小时分别加工多少套防护服？（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台，一起加工一批防护服，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的防护服不少于720件，则至少需要安排几台A型机器？2．春节是我国的传统节日，人们素有吃水饺的习俗．某商场在年前准备购进A、B两种品牌的水饺进行销售，据了解，用3000元购买A品牌水饺的数量（袋）比用2880元购买B 品牌水饺的数量（袋）多40袋，且B品牌水饺的单价（元/袋）是A品牌水饺单价（元/袋）的1.2倍．（1）求A、B两种品牌水饺的单价各是多少？（2）若计划购进这两种品牌的水饺共220袋销售，且购买A品牌水饺的费用不多于购买B品牌水饺的费用，写出总费用w（元）与购买A品牌水饺数量m（袋）之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少？3．为了防疫，某学校需购买甲、乙两种品牌的额温枪．已知甲品牌额温枪的单价比乙品牌额温枪的单价低40元，且用4800元购买甲品牌额温枪的数量是用4000元购买乙品牌额温枪的数量的倍．（1）求甲、乙两种品牌额温枪的单价；（2）若学校计划购买甲、乙两种品牌的额温枪共80个，且乙品牌额温枪的数量不小于甲品牌额温枪数量的2倍，购买两种品牌额温枪的总费用不超过15000元．设购买甲品牌额温枪m个，总费用为W元，则该校共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？4．两个小组同时开始攀登一座450m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早1.5min到达峰顶．两个小组的攀登速度各是多少？（Ⅰ）设第二组的攀登速度为xm/min，根据题意，用含有x的式子填写下表：速度（m/min）时间（min）距离（m）第一组450第二组x450（Ⅱ）列出方程，并求出问题的解．5．创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．6．学校田径队的小勇同学参加了两次有氧耐力训练，每一次训练内容都是在400米环形跑道上慢跑10圈．若第二次慢跑速度比第一次慢跑速度提高了20%，则第二次比第一次提前5分钟跑完．（1）小勇同学一次有氧耐力训练慢跑多少米？（2）小勇同学两次慢跑的速度各是多少？7．受新冠肺炎疫情影响，口罩、体温计、消毒液等一度紧缺，某药店用3200元采购一批耳温计（测量体温的），上市后发现供不应求，很快销售完了，该药店又去采购第二批同样的耳温计，进货价比第一批贵了5元，该店用了9900元，所购数量是第一批的3倍．（1）求第一批采购的耳温计单价是多少元？（2）若该药店按每个耳温计的售价为210元，销售光这两批耳温计，总共获利多少元？8．小华到超市购买大米，第一次按原价购买，用了60元，几天后，遇上这种大米8折出售，他用96元又买了一些，两次一共购买了30kg，这种大米的原价是多少？9．随着5G网络技术的发展，对5G手机的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G手机的生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在每月比更新技术前每月多生产2万部5G 手机，现在生产60万部5G手机所需的时间与更新技术前生产50万部5G手机所需时间相同，求更新技术前每月生产多少万部5G手机？10．某县要修筑一条长为6000米的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天筑路的长度是乙队的2倍，前期两队各完成了400米时，甲比乙少用了5天．（1）求甲、乙两个工程队每天各筑路多少米？（2）若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用不超过120万元，则至少要安排甲队筑路多少天？参考答案1．解：（1）设每台B型号的机器每小时加工x套防护服，则每台A型号的机器每小时加工（x+20）套防护服，依题意得：，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴x+20＝80．答：每台A型号的机器每小时加工80套防护服，每台B型号的机器每小时加工60套防护服．（2）设需要安排m台A型机器，则安排（10﹣m）台B型机器，依题意得：80m+60（10﹣m）≥720，解得：m≥6．答：至少需要安排6台A型机器．2．解：（1）设A品牌水饺单价为x元/袋，则B品牌水饺单价为1.2x元/袋，根据题意，得：﹣＝40，，解得：x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，∴1.2x＝18；答：A品牌水饺单价为15元/袋，B品牌水饺单价为18元/袋；（2）设购进A品牌水饺m袋，则购进B品牌水饺（220﹣m）袋，依题意，得：15m≤18（220﹣m），解得：m≥120，由题意得：w＝15m+18（220﹣m）＝﹣3m+3960，当m＝120时，w最小＝3600，220﹣120＝100，答：A品牌水饺购买120袋，B品牌水饺购买100袋时，总费用最低，最低是3600元．3．解：（1）设甲、乙两种品牌额温枪的单价分别为x元、（x+40）元，由题意得：＝×，解得：x＝160，经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，则x+40＝200，答：甲、乙两种品牌额温枪的单价分别为160元、200元；（2）由题意得：W＝160m+200（80﹣m）＝﹣40m+16000，，解得：25≤m≤，∴该校共有2种购买方案：①m＝25时，80﹣m＝55，即购买甲种品牌的额温枪25个，购买乙种品牌的额温枪55个；②m＝26时，80﹣m＝54，即购买甲种品牌的额温枪26个，购买乙种品牌的额温枪54个；∵W＝﹣40m+16000，﹣40＜0，∴W随m的增大而减小，∴当m＝26时，总费用最低，最低费用W＝﹣40×26+16000＝14960（元），80﹣26＝54，即购买甲种品牌的额温枪26个，购买乙种品牌的额温枪54个时，可使总费用最低，最低费用是14960元．4．解：（Ⅰ）设第二组的攀登速度为xm/min，则第一组的攀登速度为1.2xm/min，∴第一组的攀登时间为（min），第二组的攀登时间为（min）．故答案为：1.2x；；．（Ⅱ）根据题意得：﹣1.5＝，解得：x＝50，经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意，∴1.2x＝60．答：第一组的攀登速度是60m/min，第二组的攀登速度是50m/min．5．解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x棵，依题意，得：﹣＝4，解得：x＝200，经检验．x＝200是原方程的解，答：原计划每天植树200棵．6．解：（1）400×10＝4000（米），答：小勇同学一次有氧耐力训练慢跑4000米；（2）设第一次慢跑速度为x米/分，则第二次慢跑速度为1.2x米/分，由题意得：﹣＝5，解得：x＝，经检验：x＝是原分式方程的解，且符合题意，1.2×＝160，答：第一次慢跑速度为米/分，则第二次慢跑速度为160米/分．7．解：（1）设第一批采购的耳温计的单价为x元，则第二批采购的耳温计的单价是（x+5）元，依题意，得：，解得：x＝160，经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，答：第一批采购的耳温计的单价是160元；（2）第一批采购的耳温计的数量为3200÷160＝20（个），第二批采购的耳温计数量为20×3＝60（个），∴销售完这两批耳温计共获利210×（20+60）﹣3200﹣9900＝3700元．答：销售光这两批耳温计，总共获利3700元．8．解：设这种大米的原价是每千克x元，根据题意，得：+＝30，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，答：这种大米的原价是每千克6元．9．解：设更新技术前每月生产x万部5G手机，则更新技术后每月生产（x+2）万部5G手机，由题意列方程，得：，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，答：更新技术前每月生产10万部5G手机．10．解：（1）设乙队每天筑路x米，则甲每天筑路2x米．依题意，得：，解得：x＝40，经检验：x＝40是原分式方程的解，则2x＝80答：甲每天筑路80米，乙每天筑路40米；（2）设甲筑路t天，则乙筑路天数为＝（150﹣2t）天，依题意：1.5t+0.9（150﹣2t）≤120，解得：t≥50，∴甲至少要筑路50天．。

综合算式专项练习分式方程的混合运算

综合算式专项练习分式方程的混合运算综合算式专项练习：分式方程的混合运算在数学中，分式方程是一类含有分式的方程，其中未知数出现在分式中。

分式方程的混合运算是指同时涉及分式运算和其他基本算术运算的计算过程。

本文将通过一系列综合算式的专项练习，详细介绍分式方程混合运算的解题方法和技巧。

1. 综合运算实例一解题思路：先对分数进行求和，然后进行乘法运算。

给定分式方程：（1/3）x + （2/5） = 5/8求解过程：首先，将分式进行求和：（1/3）x + （2/5）= （5/8）通分得：（5/15）x + （6/15）= （5/8）合并同类项得：（5x + 6）/ 15 = 5/8然后，对等式两边进行乘法运算：（5x + 6） × 8 = 5 × 15化简得：40x + 48 = 75继续进行基本运算，得：40x = 27最后，解得：x = 27/402. 综合运算实例二解题思路：先进行减法运算，然后进行除法运算。

给定分式方程：（2/3） - x/4 = （1/6）求解过程：首先，对分数进行减法运算：（2/3） - x/4 = （1/6）通分得：（8/12） - （3x/12） = （2/12）合并同类项得：（8 - 3x）/12 = 2/12然后，对等式两边进行除法运算：（8 - 3x） ÷ 12 = 2 ÷ 12化简得：8 - 3x = 2继续进行基本运算，得：-3x = -6最后，解得：x = 23. 综合运算实例三解题思路：先进行乘法运算，然后进行加法和减法运算。

给定分式方程：x/3 + （x/5） × 2 = 7/10求解过程：首先，对分式进行乘法运算：x/3 + （x/5） × 2 = 7/10化简得：x/3 + 2x/5 = 7/10为了通分，求得最小公倍数，得到15作为分母：（5x + 6x）/15 = 7/10合并同类项得：11x/15 = 7/10然后，对等式两边进行基本运算：11x × 10 = 7 × 15化简得：110x = 105继续进行基本运算，得：x = 105/110最后，化简得：x = 21/22通过以上综合算式的专项练习，我们可以看到分式方程混合运算的解题过程需要灵活应用基本运算法则，掌握分数的基本运算，以及良好的代数推理能力。

初中数学精品教案：分式方程的应用(2))

0507分式方程的应用（2）微设计教学目标:1.学会解等量关系较难寻找的分式方程；2.会解既有分式方程又有其他方程的综合性问题.重点：学会分析等量关系列分式方程.难点：例2的解法.教学过程：一、探索发现问题：某工地调来72人挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才使挖掘出来的土能及时运走，且不窝工，解决此问题，若设派X 人挖土，其它人运土，可列方程为________________.探究：1.这个问题中给出了哪些信息？等量关系是什么？2.由题意，你将列出怎样的方程？分析：根据题意，问题中的等量关系为：“安排挖土的人数：运土的人数=3:1”，可以列出方程：372=-xx . 列分式方程解应用题时，有时需要挖掘题中所隐含的等量关系才能正确地列出方程.下面，我们一起研究等量关系较难寻找的分式方程应用题，以及与其他方程相关的综合性问题.二、例题解析例1．宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A 、B 两种花木共6600棵，若A 花木数量是B 花木数量的2倍少600棵.（1）A 、B 两种花木的数量分别是多少棵？（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A 花木60棵或B 花木40棵，应分别安排多少人种植A 花木和B 花木，才能确保同时完成各自的任务？分析:第（1）题中设B 种花木的数量是x 棵，则A 种花木的数量是，等量关系为“种植A 种花木+B 两种花木=6600棵”，容易列出方程；第（2）题中设安排y 人种植A 种花木，则安排)26(y -人种植B 种花木，题中隐含了等量关系“种植A 花木所用时间=种植B 花木所用时间”，根据等量关系可以列出方程求解.解答：（1）设B 种花木的数量是x 棵，则A 种花木的数量是)6002(-x 棵.由题意，得6600)602(=-+x x ，解得2400=x ，6002-x =4200.答：A 种花木的数量是4200棵，B 种花木的数量是2400棵.（2）设安排y 人种植A 种花木，则安排)26(y -人种植B 种花木.由题意，得)26(402400604200y y -=，解得14=y . 经检验，14=y 是原方程的根，且符合题意. 1226=-y .答：安排14人种植A 种花木，安排12人种植B 种花木，才能确保同时完成各自的任务.小结：列分式方程解应用题最关键的是：仔细审题，寻找题中隐含的等量关系列方程求解. 例2.某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件.(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数.(2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数.分析：(1)设原计划每天生产零件x 个，根据等量关系:“原计划生产24000个零件所用时间=实际生产（24000+300）个零件所用的时间”，可列方程:303002400024000++=x x . (2)设原计划安排的工人人数为y 人，根据等量关系：“（5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零件个数）×（规定天数-2）=零件总数24000个”，可列方程： . 解答：(1)设原计划每天生产零件x 个，由题意，得303002400024000++=x x .解得x=2400. 经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意.∴规定的天数为24000÷2400=10（天）.答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天.(2)设原计划安排的工人人数为y 人，由题意，得. 解得y=480.经检验，y=480是原方程的根，且符合题意.答：原计划安排的工人人数为480人.小结：列分式方程解应用题，最为关键的是寻找题中的等量关系，当数量关系错综复杂时，应逐步挖掘题中隐含的等量关系.练习.某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T 恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．24000)210(24002400%)201(205=-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⨯⨯y 24000)210(24002400%)201(205=-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⨯⨯y（1）甲、乙两种款型的T 恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T 恤衫商店共获利多少元？分析：(1)若设乙种款型的T 恤衫购进x 件，等量关系为“甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元”，由此可列出方程：.6400305.17800xx =+ (2)可以先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加即可求解．解答：(1)设乙种款型的T 恤衫购进x 件，由题意，得.6400305.17800x x =+解得x=40.经检验，x=40是原方程的根，且符合题意.1.5x=60.答：甲种款型的T 恤衫购进60件，乙种款型的T 恤衫购进40件.(2),1606400=x160﹣30=130（元），130×60%×60+160×60%×（40÷2） -160×[1-（1+60%）×0.5] ×（40÷2）=4680+1920-640=5960（元）答：售完这批T 恤衫商店共获利5960元.三、感悟提升本节课我们重点研究了研究等量关系较难寻找的分式方程，以及与其他方程相关的综合性问题.列分式方程解应用题时，首先需要仔细审题，再设好未知数，列出方程，接着求出方程，最后检验作答.对于等量关系错综复杂的应用题，可以先划出反映等量关系的语句，再逐步挖掘题中隐含的等量关系，这是列出方程的关键步骤.。

综合算式专项练习解含参数的分式方程

综合算式专项练习解含参数的分式方程在数学学习中，分式方程是一种重要的数学问题类型。

分式方程的求解需要我们掌握一定的解法和技巧。

本文将针对含参数的分式方程进行综合算式专项练习，通过解题实例来深入理解和掌握解题方法。

一、基础概念回顾在进一步讨论含参数的分式方程之前，首先回顾一下基础概念。

1. 分式方程：含有未知数的分式等式称为分式方程。

例如：$\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = \frac{3}{x+2}$。

2. 参数：在分式方程中，参数是指可以取不同值的常数。

在解含参数的分式方程时，我们需要找出参数的取值范围，使得等式成立。

二、解含参数的分式方程的步骤解含参数的分式方程的一般步骤如下：步骤一：将所有分母通分。

步骤二：对等式两边进行化简，消去分母。

步骤三：解得含有参数的方程。

步骤四：讨论参数的取值范围，使方程成立。

下面通过实例演示以上步骤。

例题一：求解分式方程$\frac{x+1}{x-2} + \frac{2}{x+1} =\frac{3}{x-1}$，并确定参数的取值范围。

解题步骤：步骤一：将所有分母通分。

由于$x-2$和$x-1$互为因式，故通分后得到：$(x+1)(x-1) + 2(x-2) = 3(x-2)$。

步骤二：对等式两边进行化简，消去分母。

展开得：$x^2 - x + 1 + 2x - 4 = 3x - 6$。

合并同类项后得到：$x^2 + x - 9 = 3x - 6$。

步骤三：解得含有参数的方程。

移项后得到：$x^2 - 2x - 3 = 0$。

步骤四：讨论参数的取值范围，使方程成立。

使用二次方程求根公式解得：$x = 3$或$x = -1$。

因此参数的取值范围为：$x \in \{-1, 3\}$。

说明：通过解方程可得参数的取值范围。

同时，我们还可以检验得到的解是否满足原分式方程。

结论：分式方程$\frac{x+1}{x-2} + \frac{2}{x+1} = \frac{3}{x-1}$的解为$x \in \{-1, 3\}$。

九年级数学上册综合算式专项练习题分式方程的应用

九年级数学上册综合算式专项练习题分式方程的应用分式方程的应用是九年级数学上册综合算式专项练习题中的一个重要内容。

分式方程是由分式组成的方程，它在实际生活中有着广泛的应用。

本文将以九年级数学上册综合算式专项练习题中的分式方程为例，介绍分式方程的应用。

一、简单分式方程的解法在九年级数学上册综合算式专项练习题中，我们经常会遇到一些简单的分式方程。

接下来我们以一个例题来说明分式方程的解法。

例题：求解方程x/(2x-1) + 3/(x+1) - 2/(x-1) = 0解法：首先，我们将方程的分母进行通分，得到一个关于x的一元二次方程。

x(x-1) + 3(2x-1) - 2(x+1) = 0化简得到：x^2 - 2x + 1 = 0这是一个一元二次方程，可以通过求解得到其解为x = 1。

因此，原方程的解为x = 1。

二、实际问题中的分式方程应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用，特别是在涉及比例和比例关系的问题中。

接下来，我们通过几个例题来说明分式方程在实际问题中的应用。

例题1：小明的体重是小红体重的三倍，小红的体重是小华体重的两倍。

如果小华的体重为x千克，求小红的体重。

解法：设小红的体重为y千克，根据题意可以得到以下分式方程：y = 2xy = 3y/2解这个方程组可以得到小红的体重为3千克。

例题2：甲、乙两个水龙头分别可以独立地将水箱中的水排空，如果甲独立运行需要10小时，乙独立运行需要8小时。

问甲、乙两个水龙头同时开启需要多长时间才能将水箱排空。

解法：设甲、乙两个水龙头同时开启需要的时间为t小时，根据题意可以得到以下分式方程：1/10 + 1/8 = 1/t解这个方程可以得到甲、乙两个水龙头同时开启需要10/9小时才能将水箱排空。

通过以上两个例题，我们可以看到分式方程在实际问题中的应用非常广泛，能够帮助我们解决涉及比例和比例关系的问题。

三、综合练习题1. 解方程：(x+1)/(x-2) - (x-3)/(x+2) = 3/2解：首先，我们将方程的分母进行通分，得到一个关于x的一元二次方程。

六年级数学上册综合算式专项练习题解分式方程

六年级数学上册综合算式专项练习题解分式方程六年级数学上册综合算式专项练习题解——分式方程分式方程是数学中重要的一部分，它包含了分数和方程的结合。

在六年级数学上册中，有很多关于分式方程的综合算式专项练习题。

本篇文章将对其中一些题目进行解答。

1. 题目：解方程 2/(x+3) + 1/(x-2) = 1/(x+3) + 3/(x-2)解析：首先需要注意到分式的分母，其中 x+3 和 x-2 是关键。

根据等式的性质，消去分母部分可以是一个有效的解题方法。

将等式两边的分式中的分母都改为公共分母 (x+3)(x-2)，得到以下等式：2(x-2) + (x+3) = (x+3)(x-2) + 3(x+3)化简后的等式为：2x-4 + x+3 = x^2+x-6 + 3x+9合并同类项：3x-1 = x^2+4x+3移项得到一元二次方程：x^2+x-4x+3x-1-3 = 0合并同类项：x^2-4x-x+3 = 0合并同类项：x^2-5x+3 = 0由此可以得到一个二次方程，通过求解方程可以得到 x 的解。

2. 题目：解方程 [2/(x-1)] - [3/(x+2)] = 1/3解析：同样地，我们需要注意到分式的分母，即 x-1 和 x+2。

为了简化计算，我们可以通过通分的方法消去分母。

将等式两边的分式中的分母都改为公共分母 3(x-1)(x+2)，得到以下等式：[2(x+2)]/3(x+2) - [3(x-1)]/3(x+2) = 1/3化简后的等式为：[2x+4]/3(x+2) - [3x-3]/3(x+2) = 1/3合并同类项：(2x+4-3x+3)/3(x+2) = 1/3合并同类项：(-x+7)/3(x+2) = 1/3将等式两边的分母去掉，得到以下等式：-x+7 = 1移项得到：-x = 1-7合并同类项并求解：x = -6通过求解方程得到 x 的解。

以上是两道六年级数学上册关于分式方程的综合算式专项练习题解答。

分式方程的解法与应用实例讨论

分式方程的解法与应用实例讨论一、分式方程的定义与性质1.1 分式方程的概念：分式方程是含有未知数的分式等式。

1.2 分式方程的性质：分式方程的解与方程的系数、常数项有密切关系。

二、分式方程的解法2.1 去分母法：将分式方程中的分母消去，使方程变为整式方程。

2.2 代入法：将分式方程中的未知数表示为其他变量的函数，然后代入整式方程求解。

2.3 加减法：通过对分式方程进行加减运算，消去分式中的分母。

2.4 乘除法：通过对分式方程进行乘除运算，将分式方程转化为整式方程。

三、分式方程的解法实例3.1 去分母法实例：解方程x−12=3−x4。

3.2 代入法实例：解方程x+23=5x−1。

3.3 加减法实例：解方程x3−2x=1。

3.4 乘除法实例：解方程2x−13⋅x+14=12。

四、分式方程的应用实例4.1 实际问题：某商品的原价是100元，打八折后的价格是多少？4.2 实际问题：甲、乙两地相距300公里，甲地到乙地的客车每小时行驶60公里，客车行驶2小时后离甲地还有多少公里？4.3 实际问题：一个长方形的长比宽多5cm，且长方形的面积是30cm²，求长方形的宽是多少cm？五、分式方程的拓展与提高5.1 含有多个未知数的分式方程：解方程组x+y3=2和x−y4=1。

5.2 不等式与分式方程的综合：解不等式组x−12>1和3−x4≤0。

5.3 函数与分式方程的综合：已知函数f(x)=x+2x−1，求函数的值域。

六、分式方程的综合训练6.1 给出一个分式方程，要求解方程并检验解的正确性。

6.2 给出一个实际问题，要求用分式方程表示问题，并求解方程。

6.3 结合函数、不等式等知识，解决一个涉及分式方程的综合问题。

以上是关于分式方程的解法与应用实例讨论的知识点总结。

希望对您的学习有所帮助。

习题及方法：一、去分母法习题1.1 解方程x+12=3−x4。

答案：将方程两边同乘以4，得到2(x+1)=3−x，然后解得x=13。

列分式方程解决实际问题

列分式方程解决实际问题
列分式方程可以帮助我们解决一些实际问题，尤其是涉及到比例关系的情况。

以下是一些常见的实际问题，可以通过列分式方程来求解：
1. 比例问题：例如，如果我们知道某种原材料的价格与重量成正比，我们可以使用列分式方程来计算给定重量的原材料的价格。

2. 混合物问题：当我们需要将两种不同浓度的溶液混合时，列分式方程可以帮助我们确定所需的混合物的浓度。

我们可以假设两种溶液的体积比例为x：y，然后利用列分式方程解决该问题。

3. 工作问题：当多个人一起完成一项工作时，他们的工作效率可能不同。

列分式方程可以帮助我们计算每个人的工作效率，以及完成整个工作所需的时间。

4. 几何问题：例如，当我们需要计算一个图形的面积或者体积时，有时我们需要列分式方程来解决相关问题。

总之，列分式方程可以在各种实际问题中发挥作用，帮助我们求解各种比例关系或者求得未知量。

分式方程的应用与实际解题

分式方程的应用与实际解题分式方程是数学中一种常见的方程形式，它在实际问题的解决中起着重要的作用。

本文将探讨分式方程的应用，并介绍如何在实际解题中运用这一方法。

一、什么是分式方程分式方程是含有分式的方程，其中通常包含零个或多个未知数。

其一般形式为：$\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{C(x)}{D(x)}$，其中$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$、$D(x)$表示多项式。

二、分式方程的应用领域分式方程广泛应用于不同领域，包括数学、物理、化学、经济等。

以下列举几个常见的应用场景。

1.比例问题在比例问题中，分式方程可以用来表示两组数据的比例关系。

例如，在一个食谱中，需要用2杯面粉和3杯牛奶制作蛋糕。

如果要制作6杯蛋糕，需要多少杯面粉和牛奶？设面粉的量为$x$杯，牛奶的量为$y$杯，则可以建立如下的分式方程：$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{6}{2} = \frac{9}{3}$通过解这个分式方程，可以得到$x=4$和$y=6$，即制作6杯蛋糕需要4杯面粉和6杯牛奶。

2.速度问题在速度问题中，分式方程可以用来表示物体的速度和时间的关系。

例如，一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，需要2个小时才能到达目的地。

如果要在3个小时内到达目的地，汽车的速度应该如何调整？设新的速度为$x$公里/小时，则可以建立如下的分式方程：$\frac{x}{60} = \frac{3}{2}$通过解这个分式方程，可以得到$x=90$，即汽车需要以90公里/小时的速度行驶才能在3个小时内到达目的地。

3.混合物问题在混合物问题中，分式方程可以用来表示不同成分的比例关系。

例如，需要制作一种含有30%酒精的溶液，已知有20毫升含有50%酒精的溶液和30毫升的纯水，还需要加入多少毫升的纯酒精？设纯酒精的体积为$x$毫升，则可以建立如下的分式方程：$\frac{x}{20+30+x} = \frac{0.3}{1}$通过解这个分式方程，可以得到$x=15$，即需要加入15毫升的纯酒精。

期末专题06 分式大题综合

期末专题06 分式大题综合（江苏专用）一、解答题1．（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）解方程：1203x x +=-【答案】x ＝1【分析】先去分母，然后解一元一次方程，注意要验根【详解】解：1203x x +=-去分母得，x ﹣3+2x ＝0，移项得，x +2x ＝3，合并同类项得，3x ＝3，解得x ＝1，经检验x ＝1是原分式方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．2．（2022春·江苏无锡·八年级校考期末）（1）化简：21442a a a +--；（2）解方程：1223x x =--．【答案】（1）124a +；（2）x =1【分析】（1）先通分，再约分即可；（2）根据解分式方程的步骤求解即可．【详解】解：（1）21442a a a+--()()()12222a a a a =++--()()()()22222222a a a a a a +=-+-+-()()22222a a a a --=+-124a =+；（2）去分母，得x -3=2(x -2)，解得x =1，经检验，x =1是原方程的根．【点睛】本题考查了分式的加减、解分式方程和运用平方差公式进行计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．3．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期末）解方程：(1)2512112x x +=--(2)22162242x x x x x -+-=+--【答案】(1)=1x -(2)无解【分析】（1）先去分母，化为整式方程，再解整式方程，并检验即可；（2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程，并检验即可．【详解】（1）解：2512112x x+=--，去分母得：2521,x -=-整理得：22,x =-解得：1,x =-经检验：=1x -是原方程的根，∴原方程的根为： 1.x =-（2）解：22162242x x x x x -+-=+--去分母得：()()222162,x x --=+整理得：816,x =-解得：2x =-经检验：2x =-是原方程的增根，∴原方程无解．【点睛】本题考查的是分式方程的解法，解题的关键是将分式方程化成整式方程进行求解，注意需要验根．4．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）先化简，再求值：2121211x x x x +⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭，请在11x -££范围内选择一个你喜欢的整数x 代入求值．【答案】11x -，0x =时，原式1=-【分析】先计算括号内的加法，再进行除法运算即可，再选取合适的整数x 代入求值即可．【详解】解：2121211x x x x +⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭()2121111x x x x x +-⎛⎫=÷+ ⎪--⎝⎭-()21111x x x x ++=÷--()21111x x x x +-=⨯+-11x =-∵11x -££，且1,1x x ¹¹-，且x 为整数，∴0x =，原式1=101=--【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．5．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）先化简，再求值：22211121x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪+++⎝⎭，其中3x =．【答案】11x -，12【分析】根据分式的四则运算先化简，然后代数求解即可．【详解】解：22211121x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪+++⎝⎭2222111121x x x x x x x ⎛⎫--=-÷ ⎪++++⎝⎭21(1)1(1)(1)x x x x +=⨯++-11x =-将3x =代入得，原式11312==-．【点睛】此题考查了分式化简求值，涉及了分式的四则运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算法则．6．（2022春·江苏常州·八年级统考期末）解下列分式方程：(1)3142x x -=+；(2)2537322x x x x --=---；(3)22242x x x x-=--；(4)2393213x x x x =-+-+．【答案】(1)23x =(2)无解(3)4x =-(4)无解【分析】（1）按照解分式方程的步骤解方程即可，注意检验；（2）按照解分式方程的步骤解方程即可，注意检验；（3）按照解分式方程的步骤解方程即可，注意检验；（4）按照解分式方程的步骤解方程即可，注意检验．【详解】（1）去分母得：624x x -=+，解得：23x =，检验：把23x =代入得：()240x +¹，∴分式方程的解为：23x =；（2）去分母得：253736x x x -=--+，解得：2x =，检验：把2x =代入得：20x -=，∴2x =是增根，原方程无解；（3）去分母得：()22228x x x x ++=-，解得：4x =-，检验：把4x =-代入得：()()220x x +-¹，∴分式方程的解为4x =-；（4）去分母得：3923x x x -+=+，解得：3x =，检验：把3x =代入得：()()330x x +-=，∴3x =是增根，原方程无解．【点睛】本题考查解分式方程，正确计算是解题的关键，解分式方程注意要检验．7．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）列方程解应用题：某商店第一次用600元购进一款圆珠笔若干支，第二次又用750元购进同款圆珠笔，两次所购进的数量相同，但这次每支的进价比第一次多1元．(1)第一次圆珠笔的进价是多少元？(2)若这两次购进的圆珠笔按同一价格进行销售，全部销售完毕后获利不低于450元，求每支圆珠笔的售价至少是多少元？【答案】(1)第一次每支圆珠笔的进价是4元；(2)每支圆珠笔售价至少是6元．【分析】（1）设第一次每支圆珠笔的进价是x 元，则第二次每支圆珠笔的进价是(1)x +元，根据两次购进圆珠笔的数量相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）利用数量=总价÷单价可求出第一次购进圆珠笔的数量，进而可得出第二次购进圆珠笔的数量，设每支圆珠笔售价为y 元，根据两次购进的圆珠笔全部销售完毕后获利不低于450元，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【详解】（1）解：设第一次每支圆珠笔的进价是x 元，则第二次每支圆珠笔的进价是(1)x +元，依题意得：6007501x x =+，解得：4x =，经检验，4x =是原方程的解且符合题意．答：第一次每支圆珠笔的进价是4元；（2）解：第一次购进圆珠笔的数量为6004150÷=（支），∴第二次购进圆珠笔150支．设每支圆珠笔售价为y 元，依题意得：(150150)600750450y +--³，解得：6y ³．答：每支圆珠笔售价至少是6元．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．8．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）某商场用60万元购进一批新型净水器，很快销售一空，于是该商场又进了一批该种净水器，数量是第一次的3倍，但是单价却比第一次贵了50元，结果第二批用了192万元．第一批购进净水器多少台？【答案】第一批购进净水器800台【分析】第一批购进净水器x 台，则第二批购进净水器3x 台，再根据商场购进一批新型净水器用了60万元，第二批用了192万元，数量是第一次的3倍，但是单价却比第一次贵了50元，列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设第一批购进净水器x 台．根据题意，得6000001920000503x x=-．解这个方程，得800x =．经检验，800x =是所列方程的解，且符合题意．答：第一批购进净水器800台．【点睛】此题主要考查了分式方程的运用，解题关键是找准数量关系，正确列出方程．9．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）小明用20元买甲种笔记本，小丽用35元买乙种笔记本，已知每本乙种笔记本比甲种笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？【答案】小明和小丽不能买到相同数量的笔记本【分析】假设小明和小丽能买到相同数量的笔记本，设甲种笔记本每本x 元，则乙种笔记本每本（x +1.2）元，根据题意，列出方程，即可求解．【详解】解：假设小明和小丽能买到相同数量的笔记本，设甲种笔记本每本x 元，则乙种笔记本每本（x +1.2）元，根据题意得：20351.2x x =+，解得： 1.6x =，经检验： 1.6x =是原方程的解，且符合题意，∴2012.51.6=，∵12.5不是整数，∴小明和小丽不能买到相同数量的笔记本．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．10．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）先化简，再求值：2121(a a a a a--÷-，其中5a =．【答案】11a a +-，32【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，约分化简后将5a =代入计算即可．【详解】解：原式22121a a a a a--+=÷2(1)(1)(1)a a a a a +-=×-11a a +=-，当5a =时，原式5151+=-32=．【点睛】本题考查了分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质，把所求式子进行化简．11．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）淮安市政府为了改善城市交通条件，构建城市立体道路网络，决定修外环快速路，为了使工程提前6个月完成，需将原定的工作效率提高25%，原计划完成这项工程需要多少个月？【答案】30【分析】根据“为了使工程提前6个月完成，需将原定的工作效率提高25%”得出等式进而求出即可．【详解】解：设原计划完成这项工程需要x 个月，根据题意得出：11(125%)6x x +=-，整理得出：5（x -6）=4x ，解得：x =30，经检验x =30是原方程的解．答：原计划完成这项工程需要30个月．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．12．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）化简代数式1111m m m m +---+，其中m 为整数，且－2＜m ＜2，请你选一个合适的m 值代入求值．【答案】241m m -，0【分析】利用分式的减法的法则进行运算，再根据分式的定义选取适当的数代入运算即可．【详解】解：1111m m m m +---+=()()()()()()22111111m m m m m m +--+-+-=()()()()221111m m m m +--+-=241mm -∵m -1≠0，m +1≠0，∴m ≠1，m ≠-1，∵m 为整数，且-2＜m ＜2，∴当m =0时，原式=240001⨯=-．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．13．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）解方程：322x x =-【答案】6x =【分析】根据分式方程的一般求解步骤求解即可，最后检验方程的根．【详解】解：化为整式方程为：()322-=x x ，去括号得：362x x -=，移项，合并同类项得：6x =，经检验：6x =是原方程的根．【点睛】本题考查了解分式方程，关键要掌握把分式方程转化为整式方程，解分式方程需验根．14．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）某校为美化校园环境，计划对面积为1200m 2的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用2天．求甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少m 2？【答案】甲工程队每天能完成绿化的面积是90m 2，乙工程队每天能完成绿化的面积是60m 2【分析】根据甲乙两个工程队每天完成绿化的面积设未知数，然后根据等量关系列出分式方程求解即可得到结论．【详解】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是x m 2，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x m 2，依题意得：36036021.5x x-=，解得：x ＝60，经检验，x ＝60是原方程的解，∴甲工程队每天能完成绿化的面积为1.5x ＝90 m 2，答：甲工程队每天能完成绿化的面积是90m 2，乙工程队每天能完成绿化的面积是60m 2．【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，读懂题意，准确设出未知数，并找到等量关系列出方程是解决问题的关键．15．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）（1）计算：32226a b ab c c÷；（2）解方程：11222x x x-+=--．【答案】（1）23a c b；（2）无解【分析】（1）根据分式的除法进行计算即可求解；（2）先找到最简公分母，方程的左右两边同时乘以最简公分母，将其转化为整式方程，再解一元一次方程即可，最后检验．【详解】（1）解：原式=3222263a b c a c c ab b×=（2）11222x x x-+=--．解：去分母得：1－x +2（x －2）＝－1，解得：x ＝2，经检验x ＝2是原分式方程的增根∴原分式方程的无解．【点睛】本题考查了分式的除法，解分式方程，正确的计算是解题的关键．16．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）先化简，再求值：222442342x x x x x x-+-÷+-+，其中3x =-．【答案】3x +【分析】利用完全平方公式及平方差公式将分式进行化简，然后代入求值即可．【详解】解：原式222442342x x x x x x-+-=÷+-+2(2)((2)2)(2)32x x x x x x +--+=×+-3x =+当3x =时，原式=【点睛】题目主要考查分式的化简求值及完全平方公式、平方差公式的运用，熟练掌握各个运算法则是解题关键．17．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期末）解方程：(1)12x -+3＝12x x --．(2)11x x +--221x -＝1．【答案】(1)无解(2)0x =【分析】（1）两边同时乘以()2x -去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根，即可；（2）两边同时乘以()21x -去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根，即可；【详解】（1）11322x x x -+=--()1321x x +-=-1361x x +-=-3611-=--x x 24=x 2x =，经检验，2x =不是原方程的根，故方程无解；（2）212111x x x +-=--()22121+-=-x x 222121x x x ++-=-222211x x x +-=--20x =0x =，经检验，0x =是原方程的根，故方程的解为0x =．【点睛】本题考查了求解分式方程的解得知识，注意：解分式方程时，所得的解必须代入原方程检验．18．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）小丽与小明为艺术节做小红花，小明比小丽每小时少做4朵．已知小明做40朵与小丽做50朵所用时间相等，问小明、小丽每小时各做小红花多少朵？【答案】小明每小时做小红花16朵，则小丽每小时做小红花20朵【分析】设小明每小时做小红花x 朵，则小丽每小时做小红花(4)x +朵，根据题意列出分式方程，解方程即可求解．【详解】解：设小明每小时做小红花x 朵，则小丽每小时做小红花(4)x +朵，40504x x =+，解，得16x =，经检验16x =是所列方程的解，且符合题意．420x +=，答：小明每小时做小红花16朵，小丽每小时做小红花20朵．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．19．（2022春·江苏南京·八年级校联考期末）解方程：(1)2332x x =--；(2)11222x x x-=---．【答案】(1)5x =(2)无解【分析】（1）先去分母，去括号，然后移项合并，系数化为1，最后进行检验即可；（2）先去分母，去括号，然后移项合并，最后进行检验即可．【详解】（1）解：2332x x =--，两边同时乘()()32x x --得，()()2233x x -=-，去括号得，2439x x -=-，移项合并得，5x -=-，系数化为1得，5x =，经检验，5x =为原分式方程的根，∴分式方程的解为5x =．（2）解：11222x x x-=---，两边同时乘()2x -得，()1122x x -=---，去括号得，1124x x -=--+，移项合并得，2x =，检验：当2x =时，20x -=，∴2x =为分式方程的增根，∴原方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程．掌握解分式方程的步骤，正确的运算并检验是解题的关键．20．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期末）先化简32111a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，再求值，其中a 是3的小数部分．【答案】化简的结果：2,a -- 当2a =4【分析】先计算括号内的分式的加减运算，再把除法转化为乘法，约分后可得化简的结果，再根据无理数的估算方法得到整数部分1,a = 再代入求值即可．【详解】解：32111a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭()231112a a a a --+=+-g ()()222,2a a a a +-==---∵12,<∴21,-<<-∴132,<< 而a 是3的小数部分，∴312a ==∴原式(2222 4.=--=--=【点睛】本题考查的是分式的化简求值，无理数的整数部分问题，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．21．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）先化简，再求值：221339x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭，其中6x =．【答案】9x x-，12-【分析】先算括号里的，再算除法，最后把6x =代入进行求解即可得．【详解】解：221339x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭()()()()()223333339x x x x x x x x ⎛⎫-+=-÷ ⎪ ⎪+-+--⎝⎭()()()()33933x x x x x x +--=×+-9x x-=当6x =时，原式69162-==-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确化简分式．22．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）某工程队准备修建一条长3600m 的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前3天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？【答案】原计划每天修建盲道240米．【分析】设原计划每天修建盲道x 米，结合原计划的工作时间比实际的工作时间多3天，再列方程，解方程即可．【详解】解：设原计划每天修建盲道x 米，根据题意得：360036003(125%)x x-=+解这个方程，得：240x =，经检验，240x =为原方程的解．答：原计划每天修建盲道240米．【点睛】本题考查的是分式方程的应用，确定相等关系，再利用相等关系列方程是解本题的关键．23．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）计算：(1)22142a a a ---；(2)解方程：11322x x x --=--【答案】(1)12a +(2)3x =【分析】（1）利用通分，化为同分母分式的减法，进而即可求解；（2）通过去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1，检验，即可求解．【详解】（1）解：()()2222122214244222a a a a a a a a a a a +--=-==-----++．（2）解：方程两边都乘2x -，得：()()1321x x --=--，解得：3x =，检验：当3x =时20x -¹，所以3x =是原方程的解，即原分式方程的解是3x =【点睛】本题主要考查分式的加减法运算和解分式方程，掌握通分以及解分式方程的基本步骤，是解题的关键．24．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）（1）计算：22193a a a ---；（2）解方程：11224x x x x -+=--．【答案】（1）13a +；（2）x ＝-2是分式方程的解【分析】（1）利用异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答；（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【详解】（1）计算：22193a a a --- ()()()()233333a a a a a a +=-+-+-()()333a a a -=+-()13a =+；（2）解方程1224x x x x ----＝1．解：化为整式方程得：2﹣2x ＝x ﹣2x ＋4，解得：x ＝-2，检验：当x ＝-2时， 2x －4 ＝-8≠0∴x ＝-2是分式方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，分式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．25．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）上海近期的新冠肺炎疫情牵动着全国人民的心，为帮助上海人民平稳渡过本次疫情，江苏紧急调配物资驰援上海．现需要运送一批牛肉共计120吨，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用5辆车，已知每辆大型冷链车运货量比小型冷链车增加50%，问每辆小型冷链车和大型冷链车的运货量各是多少吨？【答案】每辆小型冷链车的运货量为8吨，则每辆大型冷链车的运货量为12吨【分析】设每辆小型冷链车的运货量为x 吨，根据“每辆车刚好装满的情况下比原计划少用5辆车”列分式方程，求解即可．【详解】设每辆小型冷链车的运货量为x 吨，则每辆大型冷链车的运货量为（1＋50%）x 吨，由题意得：()1201205150%x x-=+，解得：x ＝8，经检验，x ＝8是原方程的解，且符合题意，则（1＋50%）x ＝12，答：每辆小型冷链车的运货量为8吨，则每辆大型冷链车的运货量为12吨．【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．26．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）目前，全球新冠疫情仍然严峻复杂，接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径.针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂.为了应对疫情，已经回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，且每人每小时完成的工作量相同，这样恰好也能完成每天的生产任务.(1)求该厂当前参加生产的工人有多少人？(2)生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每人每天的工作时间都按照新标准执行. 请通过计算说明，该厂能否在30天内按时完成上级分配的共580万剂的生产任务？【答案】(1)40人(2)能完成，理由见解析【分析】（1）设当前参加生产的工人有x 人，根据每人每小时完成的工作量不变，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）求出每人每小时完成的数量为：16÷10÷40=0.04（万剂），再计算所有工人30天完成的工作量，然后比较即可．（1）解：设当前参加生产的工人有x 人，由题意得：()161681010x x =+，解得：x =40，经检验：x =40是原分式方程的解，且符合题意，答：当前参加生产的工人有40人；（2）该厂能在30天内按时完成上级分配的共580万剂的生产任务，理由如下：每人每小时完成的数量为：16÷10÷40=0.04（万剂），由题意得：4×16+（40+10）×10×0.04×30=664，∵664＞580，∴该厂能在30天内按时完成上级分配的共580万剂的生产任务．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．27．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）某地为美化环境，计划种植树木600棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．求实际每天植树多少棵？【答案】实际每天植树50棵【分析】依据题意设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树(125%)x +棵，列出方程，求出x ，检验后，最后代入(125%)x +，即可得到答案．【详解】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树(125%)x +棵，依题意得：6006003(125%)x x-=+，解得：40x =，经检验，40x =是原方程的解，且符合题意，∴(125%)50x +=．答：实际每天植树50棵．【点睛】此题考查了分式方程的内容，根据题意找出相等的关系列出方程并进行检验是解题关键．28．（2022春·江苏南京·八年级期末）（1）化简：19331x x x ---（2）解方程：1293313x x x -=--（3）观察（1）、（2）的式子及结果，写出一条你的发现．【答案】（1）-13（2）原方程无解（3）见解析【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（3）观察式子与分式方程的左边相同，根据（1）的结果猜出（2）中分式方程无解．【详解】解：（1）19331x x x ---133(31)3(31)x x x =---133(31)xx -=-313(31)x x -=--=-13；（2）去分母得：1-3x =2(3x -1)，解得：x =13，检验：把x =13代入得：3（3x -1）=0，∴x =13是增根，分式方程无解；（3）分式19331x x x ---化简得-13，而-13≠23，说明只有在方程两边同乘0的时候，才能使方程左右两边相等，于是产生了增根．【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．29．（2022春·江苏南京·八年级期末）为落实“精准扶贫惠民政策”，某村计划将自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，恰好在规定时间内完成．若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．【答案】问题：甲单独施工需要多少天？甲单独施工需要30天．【分析】问题：甲单独施工需要多少天？设甲单独施工需要x 天，根据“如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天”列分式方程，求解即可．【详解】解：问题：甲单独施工需要多少天？设甲单独施工需要x 天，根据题意，得1515511.5x x x++=，解得x =30，经检验，x =30是原方程的根，且符合题意，答：甲单独施工需要30天．【点睛】本题考查了分式方程的应用，提出问题并根据题意建立方程是解题的关键．30．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期末）2022年第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．(1)求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价；(2)若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为75元，且全部售完，求两次的利润总和．【答案】(1)第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元(2)两次的总利润为2250元【分析】（1）设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x 元，则第二次每件的进价()120%x +，根据题意列方程求解即可；（2）根据总利润=销售额－成本计算即可．【详解】（1）解：设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x 元，则第二次每件的进价为()120%x +元，依题意得：()3000300010120%x x -=+，解得：50x =，经检验：50x =是方程的解，且符合题意，答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元．（2）解：由题意可得()30003000753000222505050120%⎛⎫⨯+-⨯= ⎪⨯+⎝⎭（元），答：两次的总利润为2250元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，有理数四则运算的应用，理解题意列出正确方程是解题关键．。

综合算式专项练习分式方程的解法

综合算式专项练习分式方程的解法分式方程是数学中的一个重要概念，它结合了分数和方程的性质，是解决实际问题时经常使用的工具。

本文将为您介绍综合算式专项练习中分式方程的解法。

一、分式方程的基本概念分式方程是指方程中含有分数的表达式，形式一般为：$\frac{m(x)}{n(x)}=a$ 或 $\frac{m(x)}{n(x)}+a=b$其中，$a, b$为已知常数，$m(x), n(x)$为多项式函数。

解分式方程就是要求找出满足方程的未知数$x$的值。

二、分式方程的解法针对不同的分式方程，我们有不同的解法，下面将介绍几种常见的方法。

1.通分法当分式方程中含有分母不同的分数时，我们可以通过通分来简化计算。

具体步骤如下：（1）找出所有分母的最小公倍数，将所有分数的分母都变为最小公倍数；（2）将分子相加，并保持分母不变，得到一个新的分数；（3）通过等式性质得到相等的表达式；（4）解方程，求解未知数。

2.消去法当分式方程中含有分母相同的分数时，我们可以通过消去法来化简方程。

具体步骤如下：（1）找出分数的最小公倍数，将分母都变为最小公倍数；（2）通过等式性质得到一个新的等式，消去相同的分母部分；（3）解方程，求解未知数。

3.整体变量法当分式方程中含有多个未知数时，我们可以使用整体变量法化简方程。

具体步骤如下：（1）将所有未知数的系数移到一个分母中，得到一个整个未知数的分式；（2）通过等式性质，将分数部分移到等式的一边，整数部分移到等式的另一边；（3）解方程，求解未知数。

4.代换法当分式方程中含有复杂的分式表达式时，我们可以通过代换法将其转化为简单的分式方程。

具体步骤如下：（1）先假设一个新的变量，将复杂的分式表达式用新变量表示；（2）通过等式性质，将原方程转化为一个新的分式方程；（3）解新方程，求解新变量；（4）代入原方程，求解未知数。

三、综合算式专项练习分式方程的解法实例下面通过一个实例来演示分式方程的解法：例：求解方程 $\frac{x-5}{x+1}+\frac{3}{x-4}=2$解：首先，我们通过通分法，将方程两边的分母相乘得到最小公倍数$(x+1)(x-4)$：$(x-5)(x-4)+3(x+1)=2(x+1)(x-4)$展开并整理等式，得到：$x^2-9x-23=2x^2-6x-5$将等式两边移到一边，得到一个分式方程：$x^2-3x-18=0$通过因式分解或配方法，得到解$x=6$或$x=-3$。