晶体结构空间群点群
点群和空间群
如图所示，为4度螺旋轴。晶体绕 A
2
轴转900后，再沿该轴平移a/4，能自身
1
重合。
26
2.滑移反映面
经过该面的镜象操作
A2
以后,再沿平行于该面的某
个方向平移T/n的距离(T是
A1
该方向上的周期矢量，n为
2或4)，晶体中的原子和相
A
同的原子重合。
M A2
A1
A
M
27
例题1：立方系的对称性简析。
(1) 三 个 相 互 垂 直 的 四 度 轴
❖ 宏观对称要素和微观对称要素在三维空间的组合，称为空 间群。
❖ 经过严格证明可以得出，晶体中可能存在230种空间群，任 何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
点群与空间群的关系
晶体外形的对称性仅有32个点群，而晶体结构的对称性却有320
种空间群。晶体外形的对称性是晶体结构对称性的反映。 属于同一点群的晶体不一定属于同一空间群。换言之，空间群
对称要素。
有的
52
53
54
7大晶系
按照晶胞6个点阵常数（a, b, c, , , ）之间的关系特点 ，将晶体划分为7种晶系。
立方晶系 abc,900
四方晶系 abc,900
四方晶系 菱方晶系
单斜晶系
菱方晶系 abc,900
六方晶系 a1a2 a3c,900 1200
正交晶系 abc,900
立方晶系 六方晶系 正交晶系 三斜晶系
单斜晶系 abc,900
三斜晶系 abc,900
注意： 准确的说划分晶系的依据是特征对称性而不是晶胞参数。
56
14种布拉菲点阵
按照结点在7大种晶系上的不同分布方式，可形成14种布拉菲点阵。
名词解释
点群：一个结晶多面体所有的全部宏观对称要素的集合，称为该结晶多面体的点群。
对称型：晶体结构中所有点对称要素（对称面、对称中心、对称轴和旋转反伸轴）的集合称为对称型，也称点群。
空间群：空间群：指在一个晶体结构中所存在的一切对称要素的集合。
它由两部分组成，一是平移轴的集合（也就是平移群），另外是除平移轴之外的所有其他对称要素的集合（与对称型相对应）。
无规则网络假说：凡是成为玻璃态的物质和相应的晶体结构一样，也是由一个三度空间网络所构成。
这种网络是由离子多面体（三角体或四面体）构筑起来的。
晶体结构网是由多面体无数次有规律重复构成，而玻璃中结构多面体的重复没有规律性。
网络形成体：单键强度大于335KJ/mol的氧化物，可单独形成玻璃。
网络变性（改变）体：单键强度小于250KJ/mol的氧化物，这类氧化物不能形成玻璃，但是能改变网络结构。
从而使玻璃性质改变。
正尖晶石；二价阳离子分布在1／8四面体空隙中，三价阳离子分布在l／2八面体空隙的尖晶石。
反型尖晶石：二价阳离子分布在八面体空隙中，三价阳离子一半在四面体空隙中，另一半在八面体空隙中的尖晶石。
萤石结构（CaF2）：F-填充在八个小立方体中心，8个四面体全被占据，八面体全空（有1+12*1/4=4个八面体空隙，其中有12个位于棱的中点，为4个晶胞所共用，1个位于体心) 。
可塑性：粘土与适当比例的水混合均匀制成泥团，该泥团受到高于某一个数值剪应力作用后，可以塑造成任何形状，当去除应力泥团能保持其形状，这种性质称为可塑性。
弗伦克尔缺陷：如果在晶格热振动时，一些能量足够大的原子离开平衡位置后，挤到晶格的间隙中，形成间隙原子，而原来位置上形成空位，这种缺陷称为弗伦克尔缺陷。
Frenkel缺陷的特点是：①间隙原子和空位成对出现；②缺陷产生前后，晶体体积不变。
网络形成剂：这类氧化物单键强度大于335KJ/mol，其正离子为网络形成离子，可单独形成玻璃。
液相独立析晶：是在转熔过程中发生的，由于冷却速度较快，被回收的晶相有可能会被新析出的固相包裹起来，使转熔过程不能继续进行，从而使液相进行另一个单独的析晶过程，就是液相独立析晶。
晶体空间群
73种点式空间群中 的对称元素分别换成螺 旋轴、滑移面，并去掉 等价的空间群，便得到 另外157种空间群。合 起来共230种空间群。
等效点系
在晶体构造中，由 一任意点开始，通过空 间群所有对称操作的作 用，重复出来的一系列 规则分布点(等效点)的总 和，称等效位置或等效 点系。
《国际结晶学表》 A卷
The International Union of Crystallography
《International Tables for Crystallography》，是 国际上公认的关于晶体结 构知识的标准手册。该书 最早出版于1952年，以后 五次(1959,1962,1974， 1983，2002）修订再版。
Wyckoff位置是国 际表中最有用的信息， 告知在晶体中何处可 以找到原子。
Site symmetry 原子所在之 处具有的对称点 群。
空间群把 同一个等效 点系中的各 等效点联系 在一起；
167 : D R3c
6 3d
Ca(0, 0, 0)
在晶体构造 中，同一个等 效点系中的等 效点必为等质 点；
73种 点式空间群
三 斜 晶 族
b
a
c
a
b
P
C P1
1 1
c
C P1
1 i
b
a
c
90 90
单 斜 晶 族
a
b
c
90 90
P
2
C
P
2 m 2/m
P2 Pm P2/m
C
2 m 2/m
C2 Cm C2/m
b
a
c
90 90 90
点群空间群和晶体结构介绍
空 间 群 可 分 为 230种
点式空间群(symmorphic space Group)
对称操作全部作用于同一个公共点上的，不包含任何一个比初基平移还要小的
平移τ。
73种
非点式空间群(Nonsymmorphic space Group)
157种
对称操作全部作用于同一个公共点上的，至少包含一个比初基平移还要小的平 移τ。
滑移面 由镜面和平移组合产生的对称元素称为滑移反映面，简称滑移面。滑移面的基本操作可表示为{m·t}， 其对称群为{m·t}p，P=0，±1，±2……。
晶体中有3种不同的滑移面，即轴向滑移、对角线滑移（又称n滑移）和金刚石滑移。 所有滑移中，都是经镜面操作后再平移单胞周期的某一分数的距离。和螺旋轴的操作相同，镜面和 平移两步操作的先后次序是不重要的。
以合适的取向放到阵点上的含义 如果希望每个阵点都具有正交对称性，那么放置物体时就必须使它的镜面和2次轴沿单胞某一轴方
向放置。这样导出的晶体结构，才会既有平移对称性又能使任何一个阵点都有C2v-mm2 的对称性。
这两种类型的对称操作正是描述整个晶体结构对称性的基本操作。
图 (a)是正交点阵的阵点上放上对称性 为C2v-mm2的物体的空间群的俯视图。
附图1
除了上述两种点群，我们不可能再增加任何对称操作而使 物体仍属于三斜晶系，所以，属于三斜晶系的晶类只有两种。 Ci-1点群的对称操作最多(不严格地说它具有最高的对称性)，称 这种点群为该晶系的全对称点群。
附图1
从上述两种点群的极射投影再一次说明在投影图上一般位置的正规点系的数目和点群具有对称操作 的数目相同，即与点群的阶数相同。
讨论点对称操作有哪些可能的组合方式，并对晶体做进一步划分。 3.1 群的概念和基本性质
点群空间群和晶体结构
点群空间群和晶体结构晶体是由原子、分子或离子组成的固态物质。
在结晶过程中，这些粒子以一种有序的方式排列，形成了晶体的特定结构。
晶体结构的研究是固体科学的重要分支之一，可以帮助我们理解固体的物理、化学性质以及它们在各种应用中的作用。
点群是空间中对称性的一种表示方式。
点群描述了一个结构中的元素在一组操作下保持不变的方式。
这些操作可以是旋转、翻转或镜像。
常见的点群包括旋转群、镜面群和反演群。
每个点群由一组操作组成，这些操作在结构中的每个点上施加时，都可以保持结构的不变性。
点群对于确定晶体结构的对称性非常重要，因为它可以帮助我们预测晶体的物理性质，例如电学性、磁学性、光学性等。
空间群是点群在三维空间中的扩展。
它描述了一个晶体结构在所有操作下的对称性。
空间群由点群以及平移操作组成。
平移操作使得结构在空间中移动，形成了无穷多的平行结构。
这些平行结构可以通过空间群中的平移操作进行描述。
空间群的数量非常庞大，目前已知有230个不同的空间群。
每个空间群都有一个唯一的编号和名称，用于标识它的对称性。
晶体结构是晶体中离子、原子或分子的排列方式。
不同的晶体结构由不同的元素组成，以及不同的点群和空间群类型。
它们可以由晶体学的X射线衍射实验来确定。
X射线衍射会产生一种特殊的模式，称为衍射图样。
通过对衍射图样进行分析，可以确定出晶体中的原子或离子的位置，从而推断出晶体的结构。
晶体结构是固体科学的基础，它们在材料科学、化学、凝聚态物理学等领域中有着广泛的应用。
通过对晶体结构的研究，可以优化材料的性能，设计新型材料，解释物质的性质，并探索新的应用领域。
总而言之，点群、空间群和晶体结构是固体晶体学中的重要概念。
它们描述了晶体的对称性以及晶体中原子、离子或分子的排列方式。
通过对晶体结构的研究，我们可以了解晶体物质的性质和行为，并为材料科学和应用领域提供基础性的知识。
晶体结构空间群点群
（二）点群、单形与空间群点群：晶体可能存在的对称类型。
通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。
只能有32种对称类型, 称32种点群同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。
如错误!未找到引用源。
，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。
理想晶体的形态一单形和聚形：单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。
32种对称型总共可以导出47种单形，如错误！书签自引用无效。
，错误! 书签自引用无效。
，错误!书签自引用无效。
所示聚形：属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面体。
大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一定空间的几何多面体，如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态空间群：描述晶体中原子通过宏观和微观对称要素组合的所有可能方式。
属于同一点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群，空间群有230种，见教材中表1-4国际通用的空间群符号与其所代表的意义为：P:代表原始格子以与六方底心格子〔六方底心格子为三方晶系和六方晶系所共有〕。
F：代外表心格子。
I :代表体心格子。
C:代表〔001〕底心格子〔即与z轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布〕。
A:代表〔100〕底心格子〔即与x轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布〕。
R:代表三方原始格子。
其它符号：意义与前述一样续表1- 4i续表1- 4续表1- 4续表1- 4空间群符号I4 1md I4 2d P422 P422 P422 P4 22 P422 P4212 P422 P4212中级晶族续表1- 4点群符号 6 2 2m m m23 2 3 m晶系六方晶系等轴晶系晶族中级晶族高级晶族空间群符号F2 3 d I 2 3m P2! 3aI乙3aP43m F43m I 43m P 43n FQ3c I 23d P432 P432 F432点群符号 2 3m43m 432晶系等轴晶系晶族高级晶族空间群符号F4i32 I432 P432 P4i32 I4 i32 P4 3 2m mP4 3 2n nP 42 3 2 mnP 42 3 2 nmF 4 3 2m mF 4 3 2m c点群符号432 上32 m m晶系等轴晶系晶族高级晶族续表1- 4空间群符号F4132 F 4L3£d mI 4i 3 2 a d。
晶体点群、空间群简要归纳
晶体点群、空间群简要归纳本⽂只是很简要的归纳，具体内容还请见李新征⽼师群论书和其在蔻享的群论课。
另外推荐肖瑞春⽼师科学⽹博客的这篇博⽂，介绍了群论及后续的学习：若研究中涉及群论和物理性质相关，其中陈纲的《晶体物理学基础》书特别好，易懂，将主动变换和被动变换等分析得特别清晰，不过此书太厚，注意⽤到什么学什么，⽤minimized的知识来科研，否则被导师批评...1.对称操作、对称元素对称操作：保持系统不变的操作。
对称元素：它是⼀个⼏何实体，对称操作可以依据对称元素施⾏对称操作。
对称元素可以是点、直线、⾯等。
2.点群：1）定义：三维实正交群O(3)群的有限⼦群物理理解：实际上点群是实际的物理系统在三维空间的⼀些对称操作的集合。
这些对称操作会保持⼀个点不动。
2）点群分类第⼀类点群：只包含纯转动元素的点群。
第⼆类点群：点群中，除了纯转动元素，还包含转动反演元素的点群。
因为点群是O(3)群的⼦群，⽽O(3)群中有固有转动和⾮固有转动。
3）点群的性质{()}性质1：点群这个集合可以写成C k(2π/n)、IC k′2π/n′的形式，其中n,→k′,n′取有限个⽅向和值；C k(2π/n)是绕→k轴转2π/n⾓的操作。
性质2：设G是点群，K是G的纯转动部分，由于纯转动部分的乘积以及逆元必属于这个纯转动部分,所以K也是G的纯转动⼦群,即K=G∩SO(3)∘.点群G与其有限⼦群K的关系有以下三种可能的情况：1.G=K, 即点群只包含纯转动操作；称为第⼀类点群。
2.若点群G中除了纯转动操作，还包含纯空间反演操作I, 则可以通过G=K∪IK得到这种情况对应的第⼆类点群。
3.若点群G中除了纯转动操作，且G中不包含纯反演操作I时 , 此第⼆类点群G⼀定与⼀个第⼀类G+同构,其中，G+=K∪K+, ⽽K+定义为:K+={Ig∣g∈G,但g∉K}根据这⾥的第3点，可以知道构造这种情况对应的第⼆类点群的⽅法：根据⼀个已知的第⼀类点群K∪K+，即可以构造⼀个第⼆类点群K∪I K+.还可以证明K必须是K∪K+的不变⼦群，其阶数是K∪K+的⼀半。
第一章 课时六 点群 空间群 晶格对称性
13
四面体点群
E+8C3 + 3C2； 绕3个立方轴（红色）旋转π/2, 3π/2，接着做水平面镜像，共6 个对称操作，记为6S4； 对立方体相对面的对角线形成截 面作镜像，共6个对称操作，记 为6σd； 共12+6+6=24个对称操作；
由如上所示的24个点对称操作{E, 3C2, 8C3, 6S4, 6σd}组成的点群，用T d表示，称为正四面体点群。
47
钙钛矿(BaTiO3)结构
布拉维格子是？ 基元是？ 空间群？
48
钙钛矿(BaTiO3)结构
Barium titanate can exist in five phases, listing from high temperature to low temperature: (1) hexagonal (2) Cubic (Pm-3m, 221) (3) Tetragonal (P4mm, 99) (4) Orthorhombic (5) Rhombohedral
1.12
63
64
65
66
67
68
69
C1群：只含有一个元素（不动），表示没有任何对称性
Cn群：只含有一个旋转轴的点群，共4个，C2, C3, C4, C6 Cnv群：Cn群加上包含n重轴的镜面，共4个 Cnh群：Cn群加上垂直于n重轴的镜面，共4个 Cs群：C1群加上镜面
Ci群：C1群加上中心反演
horizontal vertical inversion
space group table: /wiki/Space_group#Table_of_space_groups_in_3_dimension4s0
41
点群与空间群的概念区别
晶体宏观外形只对应点对称操作，所有可能的点对称性组合可分成32个独立的晶体点群，可以说是宏观对称的表现；空间群是相对微观对称性而言的，除了点对称操作以外还有滑移反映、螺旋轴等的对称操作。
其实空间群是在点群上的细分，但二者又都是对晶体结构的分类。
宏观对称要素有平面，直线，点，即反映面、旋转轴、对称中心。
全部宏观对称要素的组合叫点群。
通过晶体具有不同宏观对称要素或其组合，将晶体分成7大晶系，共32种点群。
微观对称要素仅在晶格内部出现。
微观对称要素有平移轴、螺旋轴、滑移面。
点群：保留一点不变的对称操作群。
也就是各对称元素都过一个点。
只具有宏观的方向性，不涉及位置变动。
空间群：为扩展到三维物体例如晶体的对称操作群，由点群对称操作和平移对称操作组合而成。
在点群操作的基础上增加了平移、滑移操作，不仅具有宏观的对称性，还涉及到了微观的位置的变动。
点群不存在平移操作，所有的对称要素都集中在一个共同的点上。
对称要素包括旋转、反映、反伸（对称中心）与旋转反伸。
有这4个对称要素组合出32个点群。
点群、空间群和晶体结构介绍
群是某些具有相互联系规律的一些元素的组合，群的元素可 以是字母、数字、对称操作、点阵等。
任何一个群都应具有以下4个基本性质：
封闭性（Closure）
群G的n个不等效元素中，任两个元素组合或一个同类元素自 身组合都是群中的一个元素。
群中所有元素都遵循组合律，但组合次序不能变。
有唯一的单位元素（E）。它和群中任何一个元素的组合是元素 本身。 群中每一个元素，必有一个相应的逆元素（Inverse Element） 使得两者相乘为其本身。 以一个4次对称轴C4的全部操作所构成的群G来说明4个基本性 质。 两个独立群的直接积 设有两个独立群 GA和GB，其中GA是n阶群，GB是m阶群。两个 群中除了恒等元素外，没有其它共有元素，两个群的元素间相乘有 ai · bj=bj · ai 交换律，即 两个群的直接积G以 G G A G B 表示：
立方系各晶类的投影图
在(e)所示：在投影面上{111)位置4个3轴，单胞3个轴为4次轴， 过单胞3个轴两两构成3个镜面及6个{110}的镜面。一般位置点的等 效点系共有48个点。 5种点群中(e) 是该晶系的全对称点群。从这5种点群可以看 到立方晶系不一定有4次轴，例如点群(a) 和(b) 就没有4次轴。另 外，立方晶系并不一定总是具有最高的对称性，例如四方晶系的 点群D4h-4／mmm(16阶)和六方晶系的点群D6h-6／mmm(24阶)就 比立方晶系的点群T-23(12阶)的对称性高。
这两种类型的对称操作正是描述整个晶体结构对称性的基本操作。 图 (a)是正交点阵的阵 点 上 放 上 对 称 性 为 C2vmm2 的物体的空间群的俯 视图。
(a)正交晶系的Pmm2空间群
图中画出单胞的轮廓，原点选在左上角，a轴指向页底，b 轴指向右， c 轴从页面指出来。以圆圈排列来表示它的对称性 ，在左边的图中每个阵点的对称性用一般位置点的等效点系表 示。其中每一个圆圈既可以代表晶体中单个原子，也可以代表 原子集团。在右边的图上给出对称元素的配置。在原点有一个 沿 c 方向的2次轴和 2个镜面 (用粗线表示 )。 P- 初基点阵， mm2基本操作。非基本操作（附加的2次轴和镜面）未表示。
晶体与空间群概述
aP
m
单斜
abc
90
mP,mC
o 正交 a bc 90 oP,oC,oI,oF
t 四方 a bc 90 tP,tI
h
a b, 120
三方
90 a bc
hP hR
六方
a b, 120 90
hP
c 立方 a bc 90 cP,cI,cF
简单、体心、 侧心和面心。
晶体学点群符号
Schonflies符号 国际符号 极射赤面投影图
Schonflies符号
Arthur Schönflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schönflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
不对称单元
在空间群的对称操作作用下，可以
产出晶胞中全部原子的最少数目的原子 或原子团，就叫不对称单元（asymmetric unit）或不对称单位，也叫晶体学独立单 元（crystallographic independent unit）。 在《国际表》A卷[2]中每个空间群都列 出晶胞中各种元素的情况。
c
230种空间群
空间群是点对称操作和平移对称操作的对称要素全部可能的组合。
点群表示晶体外形上的对称关系，空间群表示晶体结构内部的原子及离子间的对称关系。
空间群一共230个，它们分别属于32个点群。
晶体结构的对称性不能超出230个空间群的范围，而其外形的对称性和宏观对称性则不能越出32个点群的范围。
属于同一点群的各种晶体可以隶属于若干个空间群。
230种晶体学空间群的记号
Ci
I
2m
2m P P P I
m 1m P
m2 m2
m
3m 3m I P
Pm Im m
1 三斜晶系
2 单斜晶系
3 斜方晶系
4 四方晶系
为2，
为⊥m，5 三方晶系
6 六方晶系
(191) P6/mmm 7 等轴晶系。
晶体空间群
222 mm2 mmm
考滤方向的 不同增加：
Amm2
a
a
四
c方
90 90 90
晶 族
PI
4
4
4/m
P,I
422 4mm
42m
4/mmm
4m2
aa
c
90 90
120
六
方
三晶
方 晶
族
系
PR
3 3 P,R 321(312) 3m1(31m) 31m(3m1)
aa
c
90 90
120
六
方
六晶
方 晶
CaCO3 167
f：36点
e位:18点
d位:18点
c位:12点
b位：6点
a位：6点
D6h
碳原子的 等效位置：
C2v
m p(D 3h ) s(C 2v )
24 6 4
所谓晶体空间群， 即“空间对称操作(元 素)系”，就是能使三 维周期物体(无限大晶 体)自身重复的几何对 称操作的集合。
空间群是保持晶 体不变的所有对称操 作(包括点群操作、平 移以及它们的联合)的 集合。
空间群总共有230种。 其中不包含滑移面或螺 旋轴的有73种，称为简 单空间群；其余157种有 滑移面或螺旋轴，称为 非简单空间群。
(1853.4.17—1928.5.27)
空间群被推导出来之 前，费德洛夫在乌拉尔矿 山工作，圣佛利斯在德国 Göttingen学习数学。圣佛 利斯的空间群工作略迟于 费德洛夫。他们原不认识， 都在独自工作。
1891年圣佛利斯发表巨 著《Crystal Systems and Crystal Structure》。但当他 得知费德洛夫的工作《The
点群和空间群
点群和空间群
群是一个集合的概念。
点群和空间群是对称操作的集合。
群具有封闭性的特点。
点群是指一个晶体中点对称元素的集合。
所谓点对称操作，就是说对称操作时，晶格中至少有一点保持不动。
这也就是针对前面所说的宏观对称要素。
根据计算，总共有32种点群。
根据对点阵的讨论，根据六个点阵参数的相互关系可将晶体分为7种晶系，而现在按对称性又有32种点群，这表明同属一种晶系的晶体可为不同点群。
因为晶体的对称性不仅决定与所属晶系，还决定于其阵点上的原子组合情况。
通过对点群特征的分析，可以判断晶体所属晶系。
空间群用以描述晶体中原子组合的所有可能方式，是确定晶体结构的依据。
它是通过宏观和微观对称元素在三维空间的组合而得出。
属于同一点阵的晶体可因其微观对称元素的不同而分属不同的空间群。
故可能存在的空间群数目远远多于点阵数。
已证明晶体中可能存在的空间群有230种，分属32个点群。
晶体对称性与空间群表
晶体对称性与空间群表表3.1.七个晶系三斜 triclinic a≠b ≠c; α≠β≠γ单斜 monoclinic a≠ b≠ c; α = γ = 90º,β≠ 90º正交 orthorhombic a≠b≠c; α= β = γ = 90º四方 tetragonal a = b≠c; α = β = γ = 90º六方 hexagonal a = b≠c;α = β = 90º, γ = 120º三方 trigonal a = b = c; α=β= γ≠ 90º立方 cubic a = b = c; α= β= γ= 90º注释：表中“≠”仅指不需要等于。
表3.2.七个晶系的特征对称元素晶系特征对称元素三斜无单斜一个二次对称轴或对称面正交三个互相垂直的二次对称轴或两个互相垂直的对称面四方有一个四次对称轴六方有一个六次对称轴三方有一个三次对称轴立方四个立方体对角线上有三次轴注：对称轴包括旋转、螺旋轴；对称面包括镜面和滑移面。
cP cFcI图3.5.14种Bravais晶格。
aP = 三斜（triclinic）, mP = 简单单斜（monoclinic primitive）, mC = 底心单斜（monoclinic C-centered），oP = 简单正交（orthorombic primitive），oC = C 底心正交（orthorombic C-centered，取轴方法不同，可以相当于A心底），oI = 体心正交（orthorombic body-centered），oF = 面心正交（orthorombic face-centered），tP = 简单四方（tetragonal primitive），tI = 体心四方（tetragonal body-centered），hP = 简单三方或六方（trigonal or hexagonal primitive），hR = 菱面体、按六方取晶胞（Rhombohedral hexagonal setting），cP = 简单立方（cubic primitive），cI = 体心立方（cubic body-centered），cF = 面心立方（cubic face-centered）。
点群空间群和晶体结构
点群空间群和晶体结构
一、点群
点群是模拟物体在实际应用中的一种常用方法，它可以使用离散的点
来模拟物体的形状，形成空间网格。
它比传统三维建模技术更易于实现，
更少的信息就可以获得一个物体的完整几何描述。
点群可以被用来快速创建几何模型，而且可以利用点的位置和位置关
系来描述一个物体的形状特征，例如法向量和曲率，这对于计算机视觉、
求解机器人运动规划任务等都是非常有用的信息。
点群技术也被用来提取
复杂物体的特征，比如可以通过计算点群中局部点的法向量和曲率等特征
来识别物体的形状。
点群技术的另一个重要应用是三维重构，也就是把两个点群之间的关
系映射为3D模型，这样可以根据点群之间的变换关系或者任意点群之间
的距离来精确恢复模型的几何形状和位置变换。
点群技术的另一个作用就是可以将点群视为物体制作模型的基础构件，如通过点群文件可以构建3D打印、CAD和CAM模型。
二、空间群
空间群是由含有三维空间元素的群体组成的，是用来描述三维物体的
空间结构的一种技术。
空间群可以帮助科学家和工程师深入理解物体的表
面结构，从而更好地控制物体的生长和变化。
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(二)点群、单形及空间群
点群：晶体可能存在的对称类型。
通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。
只能有32种对称类型，称32种点群
表1- 3 32种点群及所属晶系
*2/m表示其对称面与二次轴相垂直，/表示垂直的意思。
其余类推
同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。
如错误!未找到引用源。
，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。
理想晶体的形态―单形和聚形：
单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。
32种对称型总共可以导出47种单形，如错误!书签自引用无效。
，错误!
书签自引用无效。
，错误!书签自引用无效。
所示
聚形：属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面体。
大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一
定空间的几何多面体，如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态
空间群：描述晶体中原子通过宏观和微观对称要素组合的所有可能方式。
属于同一点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群，空间群有230种，见教材中表1- 4
国际通用的空间群符号及其所代表的意义为：
P：代表原始格子以及六方底心格子（六方底心格子为三方晶系和六方晶系所共有）。
F：代表面心格子。
I：代表体心格子。
C：代表（001）底心格子（即与z轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。
A：代表（100）底心格子（即与x轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。
R：代表三方原始格子。
其它符号：意义与前述相同
表1- 4 晶体的空间群、点群、晶系、晶族一览表
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点群符号
m 43m
2
晶 系 等轴晶系 晶 族
高级晶族
/k/174/stu/content/1.1.3.2.htm。