几种不同增长的函数模型

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一
天多回报10元. 方案三: 第一天回报0.4元，以后每天的回 报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
探究1
（1）涉及哪些数量关系？
（2）如何用函数描述这些数量关系？ 分析：先建立三种方案所对应的函数模型，方案：
y = 40(x N ), y = 10x(x N ), y = 0.4 2x-1 (x N* )
2.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开 始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中， 纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间， 则下列四个图形中较符合该学生的走法的是 ( D )
d d d d
0
A
t
0
B
t
0
C
t
0
D
t
2.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次 （一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个 可繁殖成( B ) A. 511个 B. 512个 C. 1023个 D. 1024个
y
y=xn
y=logax o
1
x
在区间(0,+∞)上，随着x的增大， logax增长 得越来越慢，图像就像是渐渐与x轴平行了一样， 尽管在x的一定变化范围内， logax可能会大于xn ， 但由于logax的增长慢于xn 的增长，因此总存在一 个x0 ，当x> x0时，就会有logax > xn 思考5:对于指数函数y=ax(a>1)，对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，总存在一个x0， 使x>x0时,ax,logax,xn三者的大小关系如何？ logax<xn <ax
x
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在 探究 3 x的一定变化范围内，ax 会小于xn ，但是由于ax 的增长快于xn 的增长，因此总存在一个 x0 ，当x> n, x 一般幂、指、对函数模型（ y=x y=a ,y= logax ） x n x0时，就会有a > x . 的差异. 思考1:对任意给定的a>1和n>0，在区间 (0,+∞)上ax是否恒大于xn? ax是否恒小于xn?
新课导入
函数是描述客观世界变化的规律的基本数学模 型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。 例如：澳大利亚的兔子数“爆炸”.
澳大利亚兔子
澳大利亚兔子数“爆炸”
一大群喝水、嬉戏的兔子，多可爱啊，但是 这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有 人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的 牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加， 不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量 达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只 兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的 载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲 口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法 消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学
课堂小结
确定函数模型 图象讨论模型 利用数据表格、函数
体会直线上升、指数
爆炸、对数增长等不同类型函数的含义.
课堂练习
1.购买收集“全球通”卡，使用需付基本月租 费50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元（打 出和接听的标准相同）；购买“神州行”卡，使用 时不收基本月租费，但在市内通话时每分钟花费为 0.60元（打出和接听的标准相同）。若某用户只在 市内用手机，并且每月手机费预算为120元，在不 考虑其他因素的情况下，他购买这两种卡中的＿＿ “神州行”卡 ＿＿更合算.
通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依 据.
从表格中获取信 息，体会三种函数的增 我们来计算三种方案所得回报的增长情况： 长差异。
x/天 1 2 3 4 5 6 7 8 … 30
方案一 y/元 40 40 40 40 40 40 40 40 … 40 增加量
方案二 y/元 增加量 10 20 10 30 10 40 50 60 70 80 … 300 10 10 10 10 10 …
y 1.002x
y log7 x 1
o
200 400 600 800 1000 1200
x
问题:当 x 10,1000时,奖金是否不超过利润的 25%呢?
我们来看函数 y = log7 x +1- 0.25x 的图象:
y o
10
x
综上所述:模型 y = log7 x +1 确实符合公司要求.
V
0
H
h
3.向高为 H的水瓶中注水，注满为止 .如果注水 量 V与水深 h 的函数关系的图象如图所示，那么水 瓶的形状是 ( B )
思考2:一般地，指数函数y=ax (a>1)和幂函数 y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况 是如何变化的？
思考3:对任意给定的a>1和n>0，在区间 (0,+∞) 上,logax是否恒大于xn? logax是否恒小于xn? 思考4:随着x的增大,logax增长速度的快慢程度如 何变化? xn增长速度的快慢程度如何变化？
结论：投资6天以下，应选择第一种投资方案； 投资7天，应该选择方案一或方案二；投资8－10天， 应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上， 应选择第三种投资方案.
例2涉及了哪几类 例2 某公司为了实现 1000万元利润的目标，准 函数模型？本例的实质 备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售 是什么？ 利润达到10元时，按销售利润进行奖励，且奖 金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元） 的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时 奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：
家采用毒杀死了百分之九十的野兔Байду номын сангаас澳大利亚人 才算松了一口气．
想一想： 这种现象可以用哪个函数模型来描述呢？
在理想条件（食物或养料充足，空间条件充 裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时 期内的增长大致符合“J”型曲线； 在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食 者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长， 曲线呈“S”型．
可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对 数函数描述后期增长的.
前期
后期
实际问题实际分析，那么如何选择恰当的函 数模型来刻画呢？
3.2.1
几类不同增长 的函数模型
x y=a y=ax+b y=lnx
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资
方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元.
其中哪个模型能符合公司的要求？
y = 0.25x, y = log7 x +1, y = 1.002
x
我们不妨先作出函数图象：通过观察函数图象得到 对数增长
y8
7 6 5 4 3 2 1
y=0.25x
模型比较适合于 初步结论：按对数模型 描述增长速度平 进行奖励时符合公司的 缓的变化规律。 要求。 y=5
y
数模型比线性函数模型增长速度 要快得多,从中体会“指数爆炸” 的含义.
y 0.4 2 x1
160 120 80 40 y= 10x
y=40
o
２ ４ ６ ８ 10 12 x
下面再看累计的回报数：
回报/ 元 方案 天 数
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一 二 三
80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4409.2818.8
方案三 y/元 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 … 增加量 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 …
0 0
0 0 0 0 0 … 0
10 214748364.8 107374182.4
我们看到，底为2的指数函 下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：
对数函数，指数函数和幂函数在 在[10，1000]上总是 (0,+∞)上都是 增函数，但是它们的增长是有差异的，这种差异具体 小于0. 情况是怎么样的呢？
y = log7 x +1- 0.25x
思考4:上述不等式表明，这三个函数模型增 长的快慢情况如何？
y
y=2x
y=x2 y=log2x
1 o 1 2 4