高三理科数学综合测试题附答案
2021年高三综合能力测试数学试卷(理科)(3月份)含解析
2021年高三综合能力测试数学试卷（理科）（3月份）含解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设复数z满足（1+i）z=2，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（）A．点B．直线C．线段D．圆3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．1 B．log2C．log2D．log234．已知数列{an }满足a1=10，且2an+1=2an﹣3，若akak+1＜0，则正整数k=（）A．6 B．7 C．8 D．95．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均是半径为1的圆，则这个几何体的表面积是（）A．πB．C．3π D．4π6．已知直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，则“a⊥b”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知单位向量，满足2=2，设，若x，y满足，则||的最小值是（）A．B．C．1 D．8．某电子设备的锁屏图案设计的如图1所示，屏幕解锁图案的设计规划如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个路线图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划过的点不会成为确定折线的点，如图1中的点P，线段AB尽管过P，但是由A、B两点确定），这个线路图就形成了一个屏幕解锁图案，则图2所给线路图中可以成为屏幕解锁图案的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（共6个小题，每一个小题5分，共30分）9．北京铁路局针对今年春运客流量进行数据整理，调查北京西站从2月4日到2月8日的客流量，根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分布图，为了更详细地分析不同时间的客流人群，按日期用分层抽样的方法抽样，若从2月7日这个日期抽取了40人，则一共抽取的人数为．10．已知f（x）=其中a≠1，若方程f（x）=2有两个解，则实数a的取值范围是．11．在（x2﹣）5的展开式中，x的系数为．12．在极坐标系中，已知O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|的最大值为．13．若x，y满足，则2x+y的取值范围为．14．已知f（x）=Asin（2x+φ），其中A＞0．（1）若∃x∈R，使f（x+a）﹣f（x）=2A成立，则实数a的最小值是；（2）若A=1，则f（x+）﹣f（x）的最大值为．三、解答题（共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．如图，在△ABC中，cosB=，BC=7，点D在边AB上，且BD=3．（Ⅰ）求DC的长；（Ⅱ）若A=45°，求AC．16．目前很多朋友都加入了微信群，大多数群成员认为有思想的群不仅仅是群里的人转发与主题有关的网页文章，而且群成员这间还有文字或语音的交流，因此规定为“群健康度”，为此群主统计了一年的群里的聊天记录（假定该群由群主同意邀请，也无插入广告），并将聊天记录中的网页类型分享和文字语音聊天内容进行了分类统计，并按照“群健康度”制作了分析趋势图如图，假定“群健康度”小于20%为群氛围优良，“群健康度”大于30%为群氛围不合理．（Ⅰ）若从此群主统计的一年里，随机选取一个月，求该月群氛围不合理的概率；（Ⅱ）现群主随机选择从1月至12月的某一个月开始分析，连续分析两个月，设X表示2个月中群氛围优良的个数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）请你简述该群在这一年里的群氛围变化的情况．17．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．18．已知函数f（x）=e x﹣t﹣lnx（Ⅰ）若x=1是f（x）的极值点，求t的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当t≤2时，证明：f（x）＞0．19．已知点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点．（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标；（Ⅱ）若椭圆G上的B，C两点满足2k1k2=﹣1（其中k1，k2分别为直线AB，AC的斜率）．证明：B，C，O三点共线．20．定义是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100﹣001﹣099，f（102）=210﹣0.12﹣198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为，对于n＞1且n∈N，，将的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d n （Ⅰ）当=636时，求，及d2的值；（Ⅱ）若d1=6，求证：当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）求证：对任意三位数，n≥6时，=495．xx年北京市高三综合能力测试数学试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设复数z满足（1+i）z=2，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】利用复数的除法化简求解复数，即可得到共轭复数．【解答】解：复数z满足（1+i）z=2，可得z===1﹣i．则z的共轭复数=1+i．故选：D．【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念的应用，是基础题．2．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（）A．点B．直线 C．线段 D．圆【分析】A代入圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，即可求出圆C的圆心的轨迹．【解答】解：∵圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1过点A（1，0），∴（1﹣a）2+（0﹣b）2=1，∴（a﹣1）2+b2=1，∴圆C的圆心的轨迹是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故选：D．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．1 B．log2C．log2D．log23【分析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=log2+log2+log2+log2的值，利用对数的运算法则计算即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2n=3，M=，S=log2不满足条件n＞5，n=4，M=，S=log2+log2，不满足条件n＞5，n=5，M=，S=log2+log2+log2，不满足条件n＞5，n=6，M=，S=log2+log2+log2+log2，满足条件n＞5，退出循环，输出S=log2+log2+log2+log2=log2（×××）=log2．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了对数的运算，属于基础题．4．已知数列{a n}满足a1=10，且2a n+1=2a n﹣3，若a k a k+1＜0，则正整数k=（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】利用2a n+1=2a n﹣3，判断数列{a n}是等差数列，求出数列的通项，确定其正数项，即可得到结论【解答】解：因为2a n+1=2a n﹣3，所以a n+1﹣a n=﹣，所以数列{a n}是首项为10，公差为﹣的等差数列，所以a n=10﹣（n﹣1），由a n=10﹣（n﹣1）＞0，得n＜7，所以使a k a k+1＜0的k值为7，故选：B．【点评】本题考查等差数列的判定，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于基础题．5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均是半径为1的圆，则这个几何体的表面积是（）A．πB． C．3πD．4π【分析】由三视图可知：该几何体为一个球的．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个球的．∴这个几何体的表面积=×4×π×12+π×12=4π．故选：D．【点评】本题考查了球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，则“a⊥b”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，若a⊥β，则a⊥b；反之不成立．【解答】解：直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，若a⊥β，则a⊥b；反之不成立．∴“a⊥b”是“a⊥β”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、空间位置关系的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知单位向量，满足2=2，设，若x，y满足，则||的最小值是（）A． B． C．1 D．【分析】由题意可得2=1，从而化简可得=x2+y2+xy，结合不等式组，不妨设x+y=a，（a≥1）时有最小值，从而利用二次函数求解即可．【解答】解：∵单位向量，满足2=2，∴2=1，∵，∴=x2+y2+2xy=x2+y2+xy，不妨设x+y=a，（a≥1）时有最小值，则=x2+y2+xy=x2+（a﹣x）2+x（a﹣x）=x2﹣ax+a2=（x﹣）2+a2，故当x=，此时y=时，有最小值a2，故||的最小值是=，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的应用及二次函数的综合应用，同时考查了不等式组的应用．8．某电子设备的锁屏图案设计的如图1所示，屏幕解锁图案的设计规划如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个路线图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划过的点不会成为确定折线的点，如图1中的点P，线段AB尽管过P，但是由A、B两点确定），这个线路图就形成了一个屏幕解锁图案，则图2所给线路图中可以成为屏幕解锁图案的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据屏幕解锁图案的设计规则即可得出结论．【解答】解：根据屏幕解锁图案的设计规则：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个线路图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划的点不会成为确定折线的点，∴得知只有一种方法可以解锁屏幕，根据①，②，③的信息，可得①，②只有一种使其唯一确定，③有多种，故选：C．【点评】本题考查学生进行合情推理的能力，考查学生对新题型的解答能力，属于中档题．二、填空题（共6个小题，每一个小题5分，共30分）9．北京铁路局针对今年春运客流量进行数据整理，调查北京西站从2月4日到2月8日的客流量，根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分布图，为了更详细地分析不同时间的客流人群，按日期用分层抽样的方法抽样，若从2月7日这个日期抽取了40人，则一共抽取的人数为200．【分析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距；利用频数等于频率乘以样本容量，求出应抽的人数．【解答】解：2月7日这个日期的客流量的频率0.20，因为从2月7日这个日期抽取了40人，所以一共抽取的人数为=200，故答案为：200．【点评】本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量．10．已知f（x）=其中a≠1，若方程f（x）=2有两个解，则实数a的取值范围是a＞1．【分析】根据分段函数的表达式，结合对数函数的性质，利用对数函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：若0＜a＜1，则当x≤0时，函数f（x）=1﹣ax为减函数，此时函数的最小值为1，存在一个根x使f（x）=2成立，当x＞0时，f（x）=log a（x+1）为减函数，此时f（x）＜0，方程f（x）=2无解，综上方程f（x）=2只有一个解，不满足条件．若a＞1，则当x≤0时，函数f（x）=1﹣ax为减函数，此时函数的最小值为1，存在一个根x使f（x）=2成立，当x＞0时，f（x）=log a（x+1）为增函数，此时f（x）＞0，方程f（x）=2有一个解，综上方程f（x）=2有两个解，满足条件．综上a＞1，故答案为：a＞1．【点评】本题主要考查根的个数的判断和应用，利用分段函数的表达式，结合对数函数的单调性是解决本题的关键．11．在（x2﹣）5的展开式中，x的系数为﹣10．【分析】根据题意，可得（x2﹣）5的通项为T r+1，令x的幂指数等于1，可得r=3，将r=3代入通项可得x的系数．【解答】解：根据二项式定理（x2﹣）5的通项为T r+1=C5r（x）10﹣2r（﹣）r=（﹣1）r C5r（x）10﹣3r，令10﹣3r=1，可得r=3，将r=3代入通项公式，可得含x项的系数为：（﹣1）3C53=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别．12．在极坐标系中，已知O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|的最大值为2．【分析】由题意可得|OM|=ρ=，再根据正弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程为ρ2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|=ρ==，故当sinθ=0时，|OM|取得最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查极坐标方程中，极坐标的意义，求函数的最值，属于基础题．13．若x，y满足，则2x+y的取值范围为[0，3] ．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，令z=2x+y，得y=﹣2x+z，显然直线过（0，0）时，z最小是0，直线过A（1，1）时，从而得到答案．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，令z=2x+y，得y=﹣2x+z，显然直线过（0，0）时，z最小是0，直线过A（1，1）时，z最大，z的最大值是3，故答案为：[0，3]．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14．已知f（x）=Asin（2x+φ），其中A＞0．（1）若∃x∈R，使f（x+a）﹣f（x）=2A成立，则实数a的最小值是；（2）若A=1，则f（x+）﹣f（x）的最大值为1．【分析】（1）根据正弦函数的图象和性质可得f（x+a）=A，f（x）=﹣A，故a的最小值为f（x）的半周期．（2）使用和角公式化简，利用三角函数的性质得出最大值．【解答】解：（1）∵f（x）的最大值为A，最小值为﹣A，f（x+a）﹣f（x）=2A，∴f（x+a）=A，f（x）=﹣A，∴a的最小值为f（x）的半周期．∵f（x）的周期T=π，∴a的最小值为．（2）f（x+）=sin（2x++φ），f（x）=sin（2x+φ）．∴f（x+）﹣f（x）=sin（2x++φ）﹣sin（2x+φ）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）﹣sin（2x+φ）=cos（2x+φ）﹣sin（2x+φ）=cos（2x++φ）．∴f（x+）﹣f（x）的最大值为1．故答案为，1．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，三角函数的恒等变换，属于中档题．三、解答题（共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．如图，在△ABC中，cosB=，BC=7，点D在边AB上，且BD=3．（Ⅰ）求DC的长；（Ⅱ）若A=45°，求AC．【分析】（Ⅰ）在△DBC中，由余弦定理可得DC2=BD2+BC2﹣2BDBCcosB，代值计算可得；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系可得sinB，由正弦定理可得AC=，代值计算可得．【解答】解：（Ⅰ）在△DBC中，由余弦定理可得DC2=BD2+BC2﹣2BDBCcosB=32+72﹣2×3×7×=25，∴DC=5；（Ⅱ）在△ABC中，由cosB=可得sinB==，由正弦定理可得AC===【点评】本题考查正余弦定理解三角形，属基础题．16．目前很多朋友都加入了微信群，大多数群成员认为有思想的群不仅仅是群里的人转发与主题有关的网页文章，而且群成员这间还有文字或语音的交流，因此规定为“群健康度”，为此群主统计了一年的群里的聊天记录（假定该群由群主同意邀请，也无插入广告），并将聊天记录中的网页类型分享和文字语音聊天内容进行了分类统计，并按照“群健康度”制作了分析趋势图如图，假定“群健康度”小于20%为群氛围优良，“群健康度”大于30%为群氛围不合理．（Ⅰ）若从此群主统计的一年里，随机选取一个月，求该月群氛围不合理的概率；（Ⅱ）现群主随机选择从1月至12月的某一个月开始分析，连续分析两个月，设X表示2个月中群氛围优良的个数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）请你简述该群在这一年里的群氛围变化的情况．【分析】（Ⅰ）设从此群主统计的一年里，随机所选月份的群氛围不合理为事件A，利用等可能事件概率计算公式能出该月群氛围不合理的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与数学期望．（Ⅲ）该群的“群健康度”从图表中看出，群氛围在前半年良好，而后半年越不越不合理．【解答】解：（Ⅰ）设从此群主统计的一年里，随机所选月份的群氛围不合理为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，连续两个月中均为群氛围优良的为：（1，2），（2，3），（5，6），连续两个月均为群氛围不是优良的为：（7，8），（10，11），（11，12），则P（X=2）=，P（X=1）=，P（X=0）=，∴X的分布列为：X 0 1 2PE（X）==1．（Ⅲ）该群的“群健康度”从图表中看出，在前半年的“群健康度”保持不错水平，在后几个月有上扬的趋势，说明群氛围在前半年良好，而后半年越不越不合理．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意图表的合理运用．17．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．【分析】（Ⅰ）利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平面的交线并且证明结论；（Ⅱ）利用已知条件先证明BD⊥AC，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；（Ⅲ）通过结论空间直角坐标系，利用法向量与斜线所成的角即可找出Q点的位置．【解答】解：（Ⅰ）如图所示，过点B作BM∥PA，并且取BM=PA，连接PM，CM．∴四边形PABM为平行四边形，∴PM∥AB，∵AB∥CD，∴PM∥CD，即PM为平面PAB∩平面PCD=m，m∥CD．（Ⅱ）在Rt△BAD和Rt△ADC中，由勾股定理可得BD==，AC=．∵AB∥DC，∴，∴，．∴OD2+OC2==4=CD2，∴OC⊥OD，即BD⊥AC；∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．（Ⅲ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（4，0，0），D（0，，0），C（2，，0），P（0，0，4）．∴，设，则Q（4λ，0，4﹣4λ），∴．，由（2）可知为平面PAC的法向量．∴==，∵直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，∴=，化为12λ=7，解得．∴=．【点评】熟练掌握平行四边形的性质、平行线的传递性、线面垂直的性质定理和判定定理及法向量与斜线所成的角是解题的关键．18．已知函数f（x）=e x﹣t﹣lnx（Ⅰ）若x=1是f（x）的极值点，求t的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当t≤2时，证明：f（x）＞0．【分析】（I）由x=1是函数f（x）的极值点，可得f'（1）=0，进而可得t=1，求得导函数，进而可由导函数的符号与函数单调性的关系，可得函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当t≤2，x∈（0，+∞）时，设g（x）=e x﹣2﹣lnx，g′（x）=e x﹣2﹣，根据函数单调性及零点定理可知存在x0∈（1，2）使得g′（x0）=0，在x=x0取极小值也是最小值，即g（x）≥g（x0），lnx0=2﹣x0，根据函数的单调性可知g（x0）=0，即可证明f（x）＞0．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域（0，+∞），因为f′（x）=e x﹣t﹣，x=1是f（x）的极值点，所以f′（1）=e1﹣t﹣1=0，所以t=1，所以f′（x）=e x﹣1﹣，因为y=e x﹣1和y=﹣，在（0，+∞）上单调递增，所以f′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴当x＞1时，f′（x）＞0；0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时，f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），（Ⅱ）证明：当t≤2时，f（x）=e x﹣t﹣lnx≥e x﹣2﹣lnx，设g（x）=e x﹣2﹣lnx，则g′（x）=e x﹣2﹣，因为y=e x﹣2和y=﹣，在（0，+∞）上单调递增，所以g′（x）在（0，+∞）上单调递增，因为g′（1）=﹣1＜0，g′（2）=1﹣=＞0，所以存在x0∈（1，2）使得g′（x0）=0，所以在（0，x0）上使得g′（x）＜0，在（x0，+∞）上g′（x）＞0，所以g（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（x0），因为g′（x0）=0，即e x0﹣2=，所以lnx0=2﹣x0，所以g（x0）=e x0﹣2﹣lnx0=+x0﹣2，因为x0∈（1，2），所以g（x0）=+x0﹣2＞2﹣2=0，所以f（x）＞0．【点评】本题考查利用导数求函数的单调性及极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点．（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标；（Ⅱ）若椭圆G上的B，C两点满足2k1k2=﹣1（其中k1，k2分别为直线AB，AC的斜率）．证明：B，C，O三点共线．【分析】（Ⅰ）由点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点，求出m，由此能求出椭圆G的焦点坐标．（Ⅱ）由，得2﹣6=0，由此利用韦达定理能推导出y1=﹣y2，从而能证明B、C、O三点共线．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点，∴m=4+2=6，∴椭圆的标准方程为，∴c=，∴椭圆G的焦点坐标为（﹣，0）和（，0）．（Ⅱ）设B（x1，y1），C（x2，y2），由，消去y，化简，得：2﹣6=0，∴，同理得，∵2k1k2=﹣1，∴====﹣x1，∴2k1k2==2×===﹣1，∴y1=﹣y2，∴B、C、O三点共线．【点评】本题考查椭圆的焦点坐标的求法，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．20．定义是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100﹣001﹣099，f（102）=210﹣0.12﹣198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为，对于n＞1且n∈N，，将的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d n （Ⅰ）当=636时，求，及d2的值；（Ⅱ）若d1=6，求证：当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）求证：对任意三位数，n≥6时，=495．【分析】（Ⅰ）利用新定义之间通过=636时，求解，及d2的值；（Ⅱ）不妨设，a n≥b n≥c n，推出f（）=d n×99，若d1=6，得到=f（）=6×99=495，可得d2=5，然后利用数学归纳法证明当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d，推出d1=，d n+1=，d n∈{5，6，7，8，9}，证明对任意三位数，n≥6时，=495．【解答】解：（Ⅰ）当=636时，=663﹣366﹣297，=972﹣279﹣693d2=6；（Ⅱ）不妨设，a n≥b n≥c n，则f（）=（a n×100+b n×10+c n）﹣（c n×100+b n×10+a n）=（a n﹣c n）×99=d n×99，若d1=6，则=f（）=6×99=495，可得d2=9﹣4=5，所以n=2时成立，假设n=k（k＞1）时成立，即d k=5，则=f（）=d k×99=495，d k+1=9﹣4=5．综上：当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d，则d∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，=f（）=，所以a1=d﹣1，b1=9，c1=10﹣d，所以d1=，所以d1∈{5，6，7，8，9}，同理：=f（）=d k×99=，所以a n+1=d n﹣1，b n+1=9，c n+1=10﹣d n，所以d n+1=，dn∈{5，6，7，8，9}，当n≤5时，d n=5，所以n≥6时，n≥6时，=d n+1×99=5×99=495．【点评】本题考查归纳推理，数学归纳法的应用，数列与函数的关系，考查分析问题解决问题的能力．35187 8973 襳32231 7DE7 緧38928 9810 預21153 52A1 务33932 848C 蒌29998 752E 甮39737 9B39 鬹32677 7FA5 羥W36973 906D 遭27404 6B0C 欌T。
高三数学试卷理科及答案
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）。
A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 02. 下列函数中，是奇函数的是（）。
A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^2 + 13. 在等差数列{an}中，若a1 = 2，d = 3，则第10项an的值为（）。
A. 27B. 28C. 29D. 304. 若等比数列{bn}中，b1 = 2，b3 = 8，则公比q的值为（）。
A. 2B. 4C. 8D. 165. 下列命题中，正确的是（）。
A. 函数y = log2(x + 1)的图像在y轴上无定义B. 函数y = e^x的图像在第一象限内单调递减C. 函数y = sin(x)的周期为πD. 函数y = tan(x)的图像在y轴上无定义6. 已知直线l的方程为2x - y + 3 = 0，点P(1, 2)到直线l的距离为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 47. 在直角坐标系中，点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)构成三角形ABC，则三角形ABC的面积S为（）。
A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(2) = 4，则f(3)的值为（）。
A. 6B. 8C. 10D. 129. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则前n项和Sn的表达式为（）。
A. Sn = n^2 + 2nB. Sn = n^2 + 3nC. Sn = n^2 + 4nD. Sn = n^2 + 5n10. 已知等比数列{bn}中，b1 = 3，b3 = 27，则前n项和Tn的表达式为（）。
A. Tn = 3^nB. Tn = 3^(n+1)C. Tn = 3^(n-1)D. Tn = 3^(n-2)二、填空题（每小题5分，共25分）11. 若函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，则a的取值范围是__________。
高三理科数学试卷(含答案)
理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分 （Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或 即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分 当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。
2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案
5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程． （2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ． （1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ； （2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立， 求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用
2019-2020学年第一学期高三综合测试理科数学参考答案
理科数学参考答案二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.023=+-y x 14.240 15.6 16.516三、解答题（共70分） 17.【解析】（1）根据题意sinsin()2A Ca b B C +=+，且πA B C ++=， πsinsin22A C B+-∴=，sin()sin(π)sin B C A A +=-=，……………………………2分 由正弦定理得πsin sin sin sin 2BA B A -=，………………………………………………3分因为0πA <<，故sin 0A >，即cos sin 2sin cos 222B B BB ==，0πB <<，π022B <<，1sin 22B ∴=，即π26B =，π3B =.…………………………6分（2）由题意可得：2221cos 2263a cb B ac b c a ⎧+-==⎪⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：333a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.…………………………8分设ABC ∆内切圆半径为r ，119sin ()222ABCS ac B a b c rr ∆， 又19πsin sin 223ABCS ac B ∆，解得2r =，ABC ∆内切圆半径2r =．……12分 （注：也可以直接由等边三角形去求内切圆的半径）18.【解析】（1）证明：设AC 与BD 的交点为O ，连接O A 1, 因为AD AB =，AD A AB A 11∠=∠，11AA AA =， 所以AD A AB A 11∆≅∆， 所以D A B A 11=，又因为O 是BD 的中点，所以BD O A ⊥1， 另由AC BD ⊥且O O A AC =1 ，ABC1C D1A 1B 1D O所以⊥BD 平面AC A 1，而⊂BD 平面BD A 1，所以平面⊥AC A 1平面BD A 1.……………………………………6分（2）(法一）连接1OC ，由（1）知⊥BD 平面AC A 1， 所以O BC 1∠为直线1BC 与平面AC A 1所成的角θ， 因为2111==C B BB ，︒=∠12011C BB ， 所以321=BC ，又因为︒=∠60BAD ，所以1=OB ，所以63sin 1==BC OB θ．……………………………………………………………………12分 （法二）过O 作直线⊥OZ 平面ABCD ， 分别以OB 、OC 、OZ 为x 、y 、z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 依题意，得)0,3,0(-A ，)362,33,0(1-A ，)0,0,1(B ,)0,3,0(C ，)362,335,0(1C , 所以)362,332,0(1-=，)0,32,0(=，)362,335,1(1-=BC ， 设平面AC A 1的法向量为),,(z y x n =，所以⎪⎩⎪⎨⎧==-0320362332y z y ，令1=x ，则0==z y ，即)0,0,1(=， 所以631321sin =⨯==θ， 即直线1BC 与平面AC A 1所成的角θ的正弦值为63．…………………………………12分A1ABC1C D1A 1B 1D O19.【解析】（1）须抛掷两次才能获得大奖的所有可能情况如下：)2,2(,)7,2(,)1,3(,)6,3(,)4,5(,)11,5(,)3,6(,)10,6(,)2,7(,)9,7(,)1,8(,)8,8(, )6,10(,)5,11(,)4,12(，共15种情况.……………………………………………………6分（2）依题意得ξ的取值为48，360，1440,3240,5760, 则121)360(==ξP ,7271442121)1440(=+==ξP ,811446121)3240(=+==ξP , 1447)5760(==ξP ，4831)48(==ξP ， 所以ξ的分布列为：所以311717483601440324057608864812728144E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. ……………………………………………………………………12分20.【解析】（1）（1）因为1e )(+-='x mx f x，0x =是()f x 的极值点， 所以010e )0(0=+-='m f ，解得1=m ,即11e )(+-='x x f x , 又因为x y e =与11+-=x y 在),1(+∞-上单调递增， 所以当01<<-x 时，0)(<'x f ；当0>x 时，0)(>'x f ,即)(x f 在)0,1(-上单调递减，在),0(+∞上单调递增.……………………………………6分 （2）因为当4=m 时，14e )(+-='x x f x在),1(+∞-上单调递增， 因为034e )0(0<-=-='f ，02e 24e )1(1>-=-='f ， 所以存在)1,0(0∈x ,使得0)(0='x f ,即)(x f 在),0(0x 上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增，另由0e )0(0>=f ，016ln lne ln24e )1(e 1<-=-=f ，而03ln 4e )2(2>⋅-=f ， 所存在)1,0(1∈x ,)2,1(2∈x ,使得0)()(21==x f x f ,即)(x f 有且仅有两个不同的零点.…………………………………………………………12分21.【解析】（1）因为212F F PF ⊥，所以设),(0y c P ，代入22221x y a b+=中解得a b y 20±=，即),(2a b c P ±，而)0,(1c F -，所以43)(212222222±=-⨯±=-±=±=±=a c c a ac c a acbc a b k ..………………5分 （2）当||m b ≥时，P Q 、两点在椭圆C 的同侧，易知PNM QNM ∠≠∠，故||m b <， 因为222a b c =+且12c a =，故2a c =，b =， 设椭圆C 为2223412x y c +=，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立方程组2223412x y c y kx m ⎧+=⎨=+⎩，化简得2222(34)8(412)0k x kmx m c +++-=，所以122834kmx x k +=-+，2212241234m c x x k -=+，又1212,PN QN y n y nk k x x --==，根据PNM QNM ∠=∠，易得0PN QN k k +=， 于是12120y n y n x x --+=，故211212()()0x y n x y n x x -+-=，即2112()()0x y n x y n -+-=， 故211212()()()0x kx m x kx m n x x +++-+=，化得12122()()0kx x m n x x +-+=，化简得222241282()03434m c kmk m n k k-⨯--⨯=++， 因为0≠k ，所以上式化简得222(3)()0,3m c m n m mn c ---⨯==，综上，可知满足条件的点N 是存在的，且2mn b =...………………………………………………………12分22.【解析】（1）由θcos a a x =-，θsin a y =，两边平方得222)(a y a x =+-， 故曲线1C 的普通方程为222)(a y a x =+-， 又由22y x +=ρ，x =θρcos ，代入2cos =-θρρ得222+=+x y x ，当2-≥x 时两边平方，并整理得442+=x y ，故曲线2C 的直角坐标方程为442+=x y .…………………………………………………6分 （2）联立1C 与2C 的方程得04)24(2=+-+x a x ， 因为0>a ，要使1C 与2C 有且仅有四个公共点， 则方程04)24(2=+-+x a x 有两个大于0的正根，所以⎪⎩⎪⎨⎧>--=∆>--16)24(02242a a，解得⎩⎨⎧>>,4,2a a ，即a 的取值范围为),4(+∞.……………10分23.【解析】（1）由⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-=5,8253 ,23,28)(x x x x x x f 得)(x f 的最小值2=m .…………………5分（2）由（1）知2422=+b a ，因为abb a b a 441)21(222++=+， 所以)441()4(21441222222ab b a b a ab b a ++⨯+⨯=++)2444(212222++++⨯=a b b a a b b a ， 因为2442222≥+a b b a ，44a bb a+≥（当且仅当a b 2=时取等号）， 所以2121()(242)42a b +≥⨯++=（当且仅当a b 2=时取等号）， 即122a b+≥（当且仅当a b 2=时取等号）， 当a b 2=，2422=+b a 时，解得1=a ，2=b ， 即122a b+≥（当且仅当1=a ，2=b 时取等号）.……………………………………10分。
高三一轮复习前六章综合测试题(带详细答案)
高三理科数学测试题一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题 60 分)1、若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 （ ）A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度9、 已知 在区间是定义在上的奇函数， 且， 当时，， 则函数上的零点个数是（ ） B. 的高，先在河岸上选一点 ，测得 方向走 米到位置 C. ，使在 ，则塔 塔底 的高度为（ ） D. 的正东方向上，测得点 的仰角为 ，再由点 沿A.B.C.D.A. 10、如图，为测得河对岸塔 北偏东2、已知两个集合， C. 上的两条光滑曲线，则这两条曲线及 C. 满足 B. ，若 B. ，若 B. ,则 B. 的最小值是（ C. ，且 C. ） C. ，则 C. ， 数列，则等于( ) D. 所围成的平面图形的面积为( ) A. 米 中， ） B. 上的函数 的导函数 满足 C. D. B. ， 米 ， C. 米 ，点 在边 上，若 D. 米 ，则 D.A. 3、若 A. 4、 已知各项不为 0 的等差数列 A. 5、已知函数 A. 6、已知函数 A. 7、若 A. 8、已知函数 与B. 是 B.11、在矩形 ， 则 （ ） 的值为（ A. ） 12、已知定义在是等比数列， 且 D. ，则实数 的取值范围是（ D. 的取值范围是( D. )且，其中 为自然对数的底数，则不等式 A.的解集是（ ） B. C. D.D. 的图象经过恰当的平移后得到奇函数二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题 20 分)13、已知条件 14、已知等差数列 满足： ，条件 ，则非 是非 的__________条件． ，且它的前 项和 有最大值，则当 取到最小正值时， __________的部分图象如图所示，若函数的图象，则这个平移可以是（ ） 15、已知满足约束条件 ，若目标函数 中 ，且最大值为 ，则实数 __________.16、有下列 4 个说法 ①集合 ②方程 ③函数 ④ ， 的解的个数为 3 个； 与函数 时，函数 的图象关于直线 的值域为 ; 对称； ，若 ，则 ；其中正确的题号为__________．（写出所有正确说法的题号）三、解答题(第 17 题 10 分,第 18 题 12 分,第 19 题 12 分,第 20 题 12 分,第 21 题 12 分,第 22 题 12 分,共 6 小 题 70 分)17、已知 （1）求函数 的最小正周期和对称中心； ，设函数 .（2）当时，求函数的值域；18、已知数列 （1）求数列 （2）设 19、 在 （1）若 （2）若的各项均为正数，前 项和为 的通项； ， 中， 设边 ，求 ，求 所对的角为 的值； 面积的最大值．，且，.，求 ， 且. 都不是直角， ．20、某工厂去年某产品的年产量为万只，每只产品的销售价为元，固定成本为 元．今年，工厂第一次投入万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入 成本为 万元． （1）求 的值，并求出 的表达式； 中， （万元（科技成本），预计产量年递增 且万只，第 次投入后，每只产品的固定， 为常数，） ， 若产品销售价保持不变， 第 次投入后的年利润为（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 21、设各项均为正数的等比数列 （1）求数列 （2）若 （3）是否存在正整数 ，使得 大值，若不存在，说明理由． 22、已知函数 （1）当 （2）若 时，求函数 对任意 为常数 ． 的单调区间； 恒成立，求实数 的取值范围； 的通项公式； ，求证： ； 对任意正整数 均成立？若存在，求出 的最 ,（3）若，，求证．高三理科数学测试题 答案解析第 1 题答案 C 第 1 题解析 由 得 ，即 ，第 6 题解析 画出 的图像如图：.第 2 题答案 B 第 2 题解析 由题意得 ． ， 或 ，故∵ ∴ 第 7 题答案 D 第 7 题解析 由，且 ， ∴ ， ∴，∴且 .当， 时等号成立， ∴ .，得，则，所以 ，当 ，即第 3 题答案 C 第 3 题解析 由定积分的几何意义可得 与 是 上的两条光滑曲线，则这两条曲线及 ，故答案为 C． 第 8 题答案 C 第 8 题解析 第 4 题答案 C 第 4 题解析 因为 所以 第 5 题答案 C 第 5 题解析 由函数 的解析式可得 ，即 为奇函数，且在 . 第 9 题答案 第 6 题答案 B B 第 9 题解析 上为单调递增函数，由 可知 ，故选 C. ，因为 是奇函数，所以 ， ，则 ， ，所以 ，故选 C。
高三理科数学试卷含答案
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象开口向上，且过点$(1, 2)$，$(-2, 5)$，则$a$，$b$，$c$的关系是（）A. $a > 0$，$b^2 - 4ac > 0$B. $a > 0$，$b^2 - 4ac < 0$C. $a < 0$，$b^2 - 4ac > 0$D. $a < 0$，$b^2 - 4ac < 0$2. 已知复数$z = a + bi$（其中$a, b \in \mathbb{R}$），若$\overline{z} = \frac{1}{2}z$，则$b$的值为（）A. $1$B. $-1$C. $0$D. 不存在3. 下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（）A. $f(x) = x^2$B. $f(x) = \sqrt{x}$C. $f(x) = \frac{1}{x}$D. $f(x) = x^3 - x$4. 若$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$，则$a$的值为（）A. $2$B. $3$C. $4$D. $5$5. 已知向量$\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, 4)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为（）A. $5$B. $10$C. $-5$D. $-10$6. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3 = 12$，$S_5 = 30$，则$a_1$的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 在平面直角坐标系中，点$(2, 3)$关于直线$x + y = 5$的对称点坐标为（）A. $(1, 2)$B. $(3, 2)$C. $(2, 1)$D. $(1, 4)$8. 若函数$f(x) = x^3 - 3x$在$x = 1$处取得极值，则$f'(1)$的值为（）A. $-2$B. $0$C. $2$D. $3$9. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n + 1$，则数列的前$n$项和$S_n$的表达式为（）A. $S_n = n^2 + n$B. $S_n = n^2 + 2n$C. $S_n = 2n^2 + n$D. $S_n = 2n^2 + 2n$10. 若等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 = 1$，$q = 2$，则$S_4$的值为（）A. $15$B. $18$C. $21$D. $24$二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2023年高考全国甲卷理科数学试题真题(含答案详解)
2023年高考全国甲卷理科数学试题一、单选题34 ．．已知向量,,a b c 满足1,2a b c ===，且0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（ B ．25- C ．25 D ．45．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =和5354S S =-，则4S =B ．658 C ．15 D ．40，则PBC的面积为（23 5PF=，则二、填空题．在ABC中∠三、解答题nS为数列}na的通项公式；ABC A B C中，111上两点0⋅=，求FM FN⎫⎪⎭的取值范围．α2023年高考全国甲卷理科数学试题答案详解一、单选题 1．设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，∁U (M ∪N)=（ ） A ．{|3,}x x k k =∈Z B ．{31,}xx k k Z =-∈∣ C ．{32,}xx k k Z =-∈∣ D ．∅ 【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z = 所以，∁U (M ∪N )={x|x =3k,k ∈Z }．故选：A ．2．设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ）A ．-1B ．0 ·C ．1D ．2【答案】C【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=。
所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =． 故选：C.3．执行下面的程序框图，输出的B =（ ）A ．21B ．34C ．55D ．89【答案】B．已知向量,,a b c 满足1,2a b c ===，且0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（ B ．25- C ．25 D ．45【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为0a b c ++=,所以a ⃗+即2222a b a b c ++⋅=,即1+1+2a 所以0a b ⋅=. 如图,设,,OA a OB b OC c ===,2,OAB 是等腰直角三角形22, 322=, 310ACD =, ,cos a c b c ACB 〈--〉=∠:D.．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前1582q.+=.815．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（3π3π7π3π3π7π11，则PBC 的面积为（利用全等三角形的证明方法依次证得PDO PCO ≅和PDB PCA ≅，从而得到PA ，由此在PBC 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；和1cos 3PCB ∠=，从而求得3PA PC ⋅=-，再利用空间向量的数量从而求得17PB =，由此在PBC 中利用余弦定理与三角形面积公，所以PDO PCO ≅，则∠，所以PDB PCA ≅，则PA 45PCA =︒。
届高三理科数学六大专题训练题含详解
5高三数学(理科)专题训练 A. —B. -C. —D.—6.下列关系式中正确的是()《三角函数、三角包等变换与解三角形》A. sinllsin168C. sin11sin1687.在锐角cos10 sin168sin 11 cos10sin168 cos10cos10 sin11ABC中,角A,B.D.1 . 选择题为三角形的一个内角,边长分别为a,b.若2asinB角A等于()B所对的J3b,则tan A.1212c13B,()VC。
沪2.函数y sin x和函数增函数的区间是()12有cosx者B是A . - B. - C. - D.8.已知函数f (x) Acos( x )(A则f(x)是奇函数”是“0, 0,R),A. [2k. [2k ,2k Lk2— ](k2](k Z)BZ)C. [2k ,2ka](k Z)D.[2k -,2k25 3.已知sin(一2 ](kZ)2A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题9.已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形中心角是1弧度，则该扇形面积是.1,那么510.设sin2 sincos A.() 2 B. 54.在图中,1C.51D. 25 5tan2 的值是11.在锐角ABC中,BC 1, BA、B是单位圆。
上的AC2 A,则小匕的值等于cosA点，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为(3,4),5 5且AOB是正三角形.则cos COB的值为(),AC的取值范围为12.函数 f(x) si 的最大传A.C. 4 3、3103 4 310B.D.4 3.3103 4 . 310-2 sin cos(x )三、解答题山13.已知函数f(x) 3sin( x )( 0,- -)5,将函数y 3cosx sin x(x R)的图象向左平移m(m 0)个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是() 的图象关于直线x —对称，且3图象上相邻两个最高点的距离为⑴求和的值;3 / ,求⑵右 f (—) 2 cos( ，)的值. 14 .已知向量， 1、।a (cosx, -), b2x R,设函数f (x)(1)求f (x)的最小正周期; (2)求f (x)在［0,—］上的最大值和2最小值.■ ---(3sin x, a b.15 .已知函数f (x) Asin(x —), x R,且 4f(- ) 3. 12 2(1)求A 的值；3⑵若 f( ) f()二, 2 求 f(3).416 .已知函数f (x) 3 sin xcos x Q x R,且函数f (x)的最小正周期为.(1)求的值和函数f(x)的单调增区问；(2)在ABC 中，角A,B,C 所对的边分 别是a,b,c,又A 4f (一 一) —, b 2, ABC 的面积 2 3 5等于3,求边长a 的值. 17 .已知函数x x xf (x) 2 sin - cos - . 3 cos -4 4 2(1)求函数f(x)的最小正周期及 最值;(2)令g(x) f (x 3),判断函数 g(x)的奇偶性，并说明理由.18 .在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 已知a b, c 3,(1)求角C 的大小；4(2)若sin A —,求 ABC 的面积.5("，1cos2 x,2高三数学(理科)专题训练数列一、选择题1.数列\；’275,2.虎,/1,,的一个通项公式是()A. a n J3n 3B. a n J3n 1C. a n J3n 1D. % Cn 32.已知等差数列⑶｝中,a? a9 16冏1,则a12的值是()A. 15B. 30C. 31D. 643.等比数列⑶｝中，a〔a9 64, a3 a? 20,则an 的值是()A. 1B. 64C. 1 或64D. 1 或324. ABC的三边a,b, c既成等差数列又成等比数列，则此三角形是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5.已知数列｛a n｝满足二、填空题9.在等差数列｛a n｝中，a〔a3 a5 12, a3 a4 a5 8,则通项a n 1 a n a n 1(n 2), a1 记S n a1 a2 a3结论正确的是()1, a2 3, a n,则下列A. a2014C. a2014 a20143,S2014a20141,S20141 ,S2053, S20'514142B.2D.6.如果在等差数列｛a n｝中,a3 a4 a5 12,那么a〔a2 a?()A. 14B. 21C. 28D. 357.数列｛a n｝中，a11,a2 2 3,a3 4 5 6,a47 那么a10 ()A. 495B. 505C. 550D. 5958.各项均为实数的等比数列｛a n｝的前n项和为S n,若S10 10, S30 70,贝US40 ()A. 150B. 200C. 150 或200D. 400 或50 a n .10.设等比数列｛a n｝的前n项和为S n,若"I 3,则S9 .11.设平面内有n条直线(n 2),其中任意两条直线都相交且交点不同；若用f(n)表示这n条直线把平面分成的区域个数，则f (2) , f(3) , f(4) .当n 4 时，f (n) .12.已知数列｛a n｝的通项公式为n 1a n log2----------(n N*).设其刖n 项n 2和为S n,则使S n 5成立的最小自然数n是.三、解答题13.等差数列｛a n｝的前n项和为S n,a123,公差d为整数，且第6 项为正，从第7项起变为负.(1)求d的值；(2)求S n的最大值；(3)当S n是正数时，求n的最大化14.设a1,d为实数，首项为诩、公差为d的等差数列｛a n｝的前n项和为S n,满足&S6 15 0.⑴若S5 5,求S6及为；(2)求d的取值范围.[0,5.，已知数歹｛a n｝的首项a1 a,S n是,薮列｛a n｝的前n项和，且满足S2 3n2a n S21,a n 0,(1)若数列｛a n｝是等差数列，求a 的值；(2)确定a的取值集合M,使a M时，数列｛a n｝是递增数列.16 .已知｛a n ｝为递增的等比数列，且⑶自0}{ 10, 6, 2,0,1,3,4,16}.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在等差数列｛b n ｝,使得对一切n N *都成立？若存在， 求出bn ；若不存在，说明理由.17 .等差数列｛a n ｝各项均为正整数，a 1 3,前n 项和为S n ,等比数列 ｛b n ｝中，b 1 1,且b 2s 2 64, ｛b a n ｝ 是公比为64的等比数列.(1)求 a n 与 b n ；1 113 (2)证明：-——3S 1 S 2S n 418.已知数列｛a n ｝, S n 为其前n 项的 和，S n n a n 9, n N *.(1)证明数列｛a n ｝不是等比数列；(2)令b n a n 1,求数列｛b n ｝的通项公式b n ；(3)已知用数列｛b n ｝可以构造新数 列.例如：｛sin b n ｝,…，请写出用数列｛b n ｝构造 出的新数列｛P n ｝的通项公式，使数 列｛P n ｝满足以下两个条件，并说明 理由.①数列｛ P n ｝为等差数列；②数列a 〔b na 2b n 1a 3b n 2a nb 12n{3b n }, {2b n1}, {b ：}, {，}, {2b n },｛P n｝的前n项和有最大值.高三数学(理科)专题训练三＜概率〉一、选择题1 .对满足A B的非空集合A、B有下列四个命题：其中正确命题的个数为()①若任取x A,则x B是必然事件②若x A,则x B是不可能事件③若任取x B,则x A是随机事件④若x B,则x A是必然事件A. 4B. 3C. 2D. 12.从1, 2,…，9中任取两个数，其中在下列事件中，是对立事件的是()①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数②至少有一个是奇数和两个都是奇数③至少有一个是奇数和两个都是偶数④至少有一个奇数和至少有一个偶数A.①B.②④C.③D.①③3.如图所示，设D是图中边长为4 的正方形区域，E是D内函数y x2图象下方的点构成的区域，向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为()A. 1B. 1C. -D. 12 3 4 54.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记硬币正面向上”为事件A,骰子向上的点数是3”为内任取A. 1B. 1C. -D. 2 3 36.已知随机变量服从正态分布N(0, 2),若P( 2) 0.023, WJP( 2 2)的值为()7.把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投8.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布~N(80,102),则下列命题中不正确的是()事件B,则事件A、件发生的概率是()B中至少有一A. —B. -C.12 2172D-5.如图所示，圆C内切于扇形AOB, AOB 一,若在扇形AOB3点，则该点在圆C内的概率为()点，此点落在星形内2 2 *2 1 2 ,()4 2 c 4 1A . — 1B . — C.——A.该市这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩标准差为10二、填空题9.盒子里共有大小相同的三只白球、一只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是. 10.在集合{x|x —,n 1,2,3, ,10}中任取6 1个元素，所取元素恰好满足方1一程cosx -的概率是.211.在区间［3,3］上随机取一个数x,使得|x 1 | |x 2| 1成立的概率为.12.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为旦，则参20 加联欢会的教师共有 _______ 人.13.已知三、解答题14.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是1,得到黑球或黄球的概率是—,3 12得到黄球或绿球的概率也是-,12试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？15.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是2和3.现安排甲组研发新产品A,3 5乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获得利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.16.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3天里，有连续2 大的日销售量都不低于100个且另一大的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量2{(x, y)|x y 6,x Qy 0}, A {(x, y)|x 4, y 0,x y 0}. 若向区域上随机投一点P,则P落入区域A的概率是.不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E(X)及方差D(X).17设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0605050.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2) X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.18乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3分，落点在1分，其它情况记0分，落点D上记1在C上的概率为—，在D上的概率为 5 3.假设共有两次来球且落在A, B上 5 各一次，小明的两次回球互不影响. 求：(I )小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(II )两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.高三数学（理科）专题训练四《立体几何初步》一、选择题1.已知ABC的三个顶点为A（3,3,2）、B（4, 3,7）、C（0,5,1）, 则BC边上的中线长为（）A. 5B. 4C. 3D. 22.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 183. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是（）A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱4.已知m、n表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（）A .若m// , n〃，则m// nB.若m// ,m n,,则nC.若m , m n,,贝U n〃D.若m , n ,，则m n5.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积为（）A. 10 cm3B. 20 cm3c 10 3 20 3C. ---- c m D . ---- cm6.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB BC CA 2,则球的半径是（）7.用a,b,c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：其中正确的命题是（）①若a // b,b // c,则a // c;②若 a b,b c,贝U a c;③若a// ,b//，则a//b;④若a ,b ，则a//b.A.①②B.②③C.①④D.③④8. 一个圆锥和一个半球有公共底A.3B. 4C. - D. 45 5二、填空题9.已知三棱柱ABC顶点都在球。
高考理科数学试题(带答案解析)
高考理科数学试题(带答案解析)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的（1）在等差数列{}n a 中,241,5a a ==,则{}n a 的前5项和5S =（A）7（B）15（C）20（D）25【答案】：B【解析】：422514,d a a =-=-=2d =,1252121,3167a a d a a d =-=-=-=+=+=155()5651522a a S +⨯⨯===【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式,解题时要认真审题,仔细解答．（2）不等式1021x x -≤+的解集为（A）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦（B）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C）[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭（D）[)1,1,2⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦（3）对任意的实数k ,直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（A）相离（B）相切（C）相交但直线不过圆心（D）相交且直线过圆心（4）8+的展开式中常数项为（A）3516（B）358（C）354（D）105【答案】B【解析】：8821881()2rrr r r r r T C C --+==令820r -=解得4r =展开式中常数项为4458135()28T C ==【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开式的常数项（5）设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两根,则tan()αβ+的值（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】：A【解析】：tan tan 3,tan tan 2αβαβ+==,则tan tan 3tan()31tan tan 12αβαβαβ++===---【考点定位】本此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值．（6）设,,x y R ∈向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===- ,且,//a c b c ⊥ ,则||a b +=（C）（D）10（7）已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（A）既不充分也不必要的条件（B）充分而不必要的条件（C）必要而不充分的条件（D）充要条件【答案】：D【解析】：由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]上的增函数可知在[-1,0]减函数,又2为周期,所以[3,4]上的减函数【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性,进而来考查函数的周期性．根据图象分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的关键．（8）设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示,则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f（9）设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a ,且长为a 的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是（A ）(0,2)（B ）(0,3)（C ）(1,2)（D ）(1,3)【答案】：A【解析】：2221()22BE =-=,BF BE <,22AB BF =<,【考点定位】本题考查棱锥的结构特征,考查空间想象能力,极限思想的应用,是中档题．（10）设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭,则A B 所表示的平面图形的面积为（A ）34π（B ）35π（C ）47π（D ）2π[【答案】：D【解析】：由对称性：221,,(1)(1)1y x y x y x≥≥-+-≤围成的面积与221,,(1)(1)1y x y x y x≤≥-+-≤围成的面积相等得：A B 所表示的平面图形的面积为22,(1)(1)1y x x y ≤-+-≤围成的面积即2122R ππ⨯=25115112lim lim 555n n n n nn n→∞→∞++++===【考点定位】本题考查极限的求法和应用,n 都没有极限,可先分母有理化再求极限；（13）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =【答案】：c =145【解析】：由35cos ,cos 513A B ==得412sin ,sin ,513A B ==由正弦定理sin sin a bA B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===由余弦定理22a c =2+b -2cbcosA 得22590c -c+56=0则c =145【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系．同时要求学生牢记特殊角的三角函数值．（14）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点,若25,,12AB AF BF =<则AF =。
新课标高三数学理科综合测试题与参考答案
新课程高三年级理科数学综合测试题与参考答案试题（一）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)1．设集合{}{}211M x|x ,P x|x =>=>则下列关系中正确的是 （ ） A ．M P = B ．P M ⊆ C ．M P R ⋃= D ．P M ⊆2. 已知向量OA u u u r 和向量OC u u u r 对应的复数分别为34i +和2i -，则向量AC u u u r对应的复数为（ ）A ．15i --B ．15i + C. 53i + D ．53i --3. 若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 （ ）A ．－4B ．4C ．－2D ．24.“1=a ”是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. x x n+⎛⎝ ⎫⎭⎪132展开式的第6项系数最大，则其常数项为（ ） A. 120B. 210C. 252D. 456．等比数列{}n a 前n 项的积为n T ，若3618a a a 是一个确定的常数，那么数列10T ，13T ，17T ，25T 中也是常数的项是（ ）A ．17TB ． 13TC ．10TD ． 25T 7.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形， 俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为（ ） A. 4πB. 4C. 2D. 12π8．如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M （M 为常数），称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是 （ ）①x x f sin )(=②x x f lg )(=③xe xf =)(④⎪⎩⎪⎨⎧-<-=>=)1(1)0(0)0(1)(x x x x fA ．①B ．④C ．②③④D ．①③④二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，其中9－12为必做题，13－15为选做题，13－15题只选做2小题．共30分．） 9．函数4()x f x -=的定义域是 .10. 由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的5位数，其中奇数有 个. 11．已知函数|3|)(-=x x f ，以下程序框图 表示的是给定x 值，求其相应函数值的 算法，请将该程度框图补充完整。
(完整版)高三数学综合测试题试题及答案
高三数学综合测试题一、选择题1、设会合U =1,2,3,4， M = x U x25x+ p = 0 ，若 C U M = 2,3，则实数 p 的值为 (B)A ．4B．4C．6 D ．62．条件p : x1, y1, 条件 q : x y2, xy1，则条件p是条件q的A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D.既不充足也不用要条件B.{ 1,0,1,2}C.{ 1,0,2,3}D.{ 0,1,2,3}3. 设函数f (x) 1 e x的图象与x轴订交于点P,则曲线在点P的切线方程为( C )（ A ）y x1（B ）y x 1（C）y x（D ）y x114．设 a= 2，b= 2， c=lg0.7 ，则 (C)A ． c＜ b＜ a B． b＜ a＜ cC．c＜ a＜ b D．a＜ b＜ c5．函数 f (x)=e x- x- 2 的零点所在的区间为( C)A．(-1，0)B． (0， 1)C．(1， 2)D．(2， 3)6 、设函数f (x)( 1 )x7, x0，则实数 a 的取值范围是2，若 f (a) 1x , x0（C）A 、(,3)B、(1,)C、(3,1) D 、(,3) U (1,)7 f ( x)log a x,f (| x |1)的图象大概是(D)．已知对数函数是增函数则函数8．函数 y＝log a(x＋ 1)＋ x2－ 2(0＜a＜ 1)的零点的个数为 ()A ． 0B． 1C．2D．没法确立新课标第一网分析：选 C.令 log a(x＋ 1)＋ x2－ 2＝ 0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考察图象1a22的交点个数y ＝ log(x＋ 1)与 y＝－ x ＋ 29．若函数 f (x)= - x3+bx 在区间 (0，1)上单一递加，且方程 f (x)=0 的根都在区间 [ - 2，2]上，则实数 b 的取值范围为(D)A．[0，4]B．3，C．[2，4]D．[3， 4]10．已知定义在R 上的奇函数 f ( x) 是，0 上的增函数，且 f (1)= 2， f ( - 2)= - 4，设P={ x|f (x+t)- 4<0} ，Q={ x|f (x)<- 2} ．若“ x∈P”是“ x∈ Q”的充足不用要条件，则实数t 的取值范围是（B）A ． t≤ - 1B． t>3C． t≥ 3 D ． t>- 1二、填空题11．命题“若x21，则1x 1 ”的逆否命题为________________ 4n n 212．已知偶函数 f (x)= x2(n∈ Z) 在(0 ，+∞ )上是增函数，则 n=2．13、已知函数f ( x)x3mx2(m 6) x 1 既存在极大值又存在极小值，则实数 m 的取值范围是 __、m 6 或 m3_____________14．若不等式 1 一 log a( 10a x ) ＜0有解，则实数a 的范围是；15．已知函数 f ( x)定义域为 [-1, 5], 部分对应值如表x-1045f ( x)1221f ( x) 的导函数 f ( x) 的图象如下图,以下对于函数 f (x) 的命题①函数 f ( x) 的值域为[1,2];②函数 f ( x) 在[0,2]上是减函数;③假如当 x[1, t] 时,f (x) 的最大值是2,那么 t 的最大值为4;④当 1 a 2时 ,函数 y f (x) a 有4个零点.此中真命题是②(只须填上序号 ).yy f(x)-1012345x16题三、解答题16．已知命题：“x x |1x1，使等式 x2x m 0 建立”是真命题，（1）务实数 m 的取值会合 M ；（2）设不等式( x a)( x a2)0 的解集为N，若x∈N是x∈M的必需条件，求 a 的取 范 ．答案 :(1)Mm1m 2 4(2) a9a1或 4417．（本 分12 分）已知二次函数 y= f (x)的 象 点 (1， - 4)，且不等式 f (x)<0 的解集是(0， 5)．（Ⅰ）求函数f (x)的分析式；（Ⅱ）g(x)=x 3- (4k- 10)x+5 ，若函数h(x)=2 f (x)+ g(x)在 [ - 4，- 2]上 增，在 [- 2，0]上 减，求y=h(x)在[ - 3， 1]上的最大 和最小 ．17． 解：（Ⅰ）由已知y= f (x) 是二次函数，且 f (x)<0 的解集是 (0，5) ， 可得 f (x)=0 的两根 0， 5，于是 二次函数f (x)=ax(x- 5)，代入点 (1，- 4)，得 - 4=a ×1×(1- 5) ，解得 a=1，∴ f (x)=x(x- 5) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（Ⅱ） h(x)=2f (x)+g(x)=2 x(x- 5)+ x 3- (4k- 10)x+5= x 3 +2x 2- 4kx+5，于是 h (x) 3x 2 4 x 4k ，∵ h(x)在 [ - 4， - 2] 上 增，在 [- 2， 0]上 减， ∴ x=- 2 是h(x)的极大 点，∴ h ( 2) 3( 2)24 ( 2) 4k 0 ，解得 k=1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∴ h(x)=x 3+2x 2- 4x+5 ， 而得 h ( x) 3x 2 4x4 ．令 h ( x) 3x 24x 4 3(x2)( x 2)0 ， 得 x 12，x 22 ．33由下表：x(-3，-2)- 2 (-2， 2)2 (2，1)333h (x)+ 0- 0+ h(x)↗极大↘极小↗可知： h(- 2)=( - 2)3+2×(- 2)2- 4×(- 2)+5=13 ， h(1)=1 3+2×12 - 4×1+5=4，3 22 23 2 2 2 95 ， h( - 3)=( - 3) +2×(- 3) - 4×(- 3)+5=8 ，h()=()+2×( ) - 4× +5=3 33327∴ h(x)的最大 13，最小95．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分2718、（本 分12 分）x 1 0,a 1)已知函数 f ( x) log a(ax1（1）求 f ( x ) 的定 域，判断 f ( x ) 的奇偶性并 明；（2） 于 x [2,4] ， f ( x ) log am恒建立，求 m 的取 范 。
高三测试卷理科数学答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各式中，正确的是（）A. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$B. $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{y - x}{x^2y^2}$C. $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$D. $\log_2 8 - \log_2 4 = \log_2 2$答案：A2. 函数 $y = 2^x$ 的图象经过点（）A. (0, 1)B. (1, 2)C. (2, 4)D. (3, 8)答案：B3. 若等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $S_{10} - S_8 = 20$，则该等差数列的首项为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A4. 已知函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则 $f'(1) = $A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B5. 下列命题中正确的是（）A. 若 $a > b$，则 $a^2 > b^2$B. 若 $a > b$，则 $a^3 > b^3$C. 若 $a > b$，则 $\log_a x > \log_b x$D. 若 $a > b$，则 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$答案：B二、填空题（每题5分，共50分）6. 函数 $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ 的周期为 ________。
答案：$\pi$7. 若等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，且 $a_1 = 2$，$a_4 = 16$，则 $q = ________$。
答案：28. 二项式 $(a + b)^5$ 的展开式中，$x^3y^2$ 的系数为 ________。
答案：109. 函数 $f(x) = x^2 - 4x + 4$ 的对称轴方程为 ________。
高三数学理科试卷含答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的对称中心为：A. (0, 0)B. (1, 0)C. (0, -3)D. (1, -3)2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10的值为：A. 19B. 21C. 23D. 253. 函数y = log2(3x - 1)的定义域为：A. x > 0B. x ≥ 0C. x > 1/3D. x ≥ 1/34. 已知复数z = 2 + 3i，则|z|的值为：A. 5B. 6C. 7D. 85. 下列不等式中，正确的是：A. x^2 > 0B. x^2 ≥ 0C. x^2 < 0D. x^2 ≤ 06. 函数y = e^x在定义域内是：A. 单调递减B. 单调递增C. 先增后减D. 先减后增7. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则第5项b5的值为：A. 54B. 48C. 42D. 368. 下列各式中，正确的是：A. sin(π/2) = 1B. cos(π/2) = 1C. tan(π/2) = 1D. cot(π/2) = 19. 函数y = |x|的图像是：A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 双曲线的一部分10. 下列各式中，正确的是：A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^2二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。
）11. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为______。
12. 等差数列{an}的首项a1 = 5，公差d = -3，则第10项a10 = ______。
高三数学综合测试题(含答案)
高三数学试题（理科）一、选择题(本大题共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知复平面内的平行四边形ABCD中，定点A对应的复数为i(i是虚数单位)，向量BC 对应的复数为2＋i，则点D对应的复数为()A． 2 B． 2＋2i C．－2 D．－2－2i2.在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数分别为：模型1的相关指数为0.98，模型2的相关指数为0.80，模型3的相关指数为0.50，模型4的相关指数为0.25.其中拟合效果最好的模型是()．A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型43.设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1．6，则a－b＝()A．0．2B．0．1C．－0．2D．－0．44.若方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是()A． [－2,2] B． [0,2]C． [－2,0]D． (－∞，－2)∪(2，＋∞)5.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A．36个 B．72个 C．63个 D．126个6.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的一个充分而不必要条件是()A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<17.若（n∈N*),且,则() A．81 B．16 C．8 D．18.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A． B． C． D．9.高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是()A． B． C． D．10.已知x与y之间的几组数据如表:假设根据如表数据所得线性回归直线方程为,若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为,则以下结论正确的是()A．, B．, C．, D．,11.某人射击一发子弹的命中率为0.8，现在他射击19发子弹，理论和实践都表明，在这19发子弹中命中目标的子弹数X的概率满足P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，19)，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是 ()A．14发 B．15发 C．16发 D．15发或16发12.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若a＋b＋c＝0，导函数f′(x)满足f′(0)f′(1)>0，设f′(x)＝0的两根为x1，x2，则|x1－x2|的取值范围是()A．323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，B．14,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．133⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D．1193⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷非选择题二、填空题(本大题共4小题,每小题5.0分,共20分)13.某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X～N(50,)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为________．14.如图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图(2)，三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有________．15.设M＝，则M与1的大小关系是__________．16.若对任意的x∈A，则x∈，就称A是“具有伙伴关系”的集合．集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.（本小题共12分）已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)．(1)若x＝37+i44是方程的根，求a的值；(2)若x1，x2是方程两个虚根，且|x1－1|＞|x2|，求a的取值范围．18. （本小题共12分）随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．(1)完成如图2×2列联表：(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“休闲方式有关与性别”，那么本次被调查的人数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：＝，其中n=a+b+c+d.参考数据：19.若n为正整数，试比较3·2n－1与n2＋3的大小，分别取n＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．20.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差为.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．21.已知函数f(x)＝(ax－x2)e x.(1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在(－1,1]上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，说明理由．22.设函数f(x)＝|x－a|＋x.(1)当a＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．答案解析1.B2.A3.C4.A5.D【解析】此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有＝126(个)6.C7.A8.D9.C10. C11. D【解析】由≥且≥，解得15≤k≤16，即P(X＝15)＝P(X＝16)最大12.A【解析】由题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，∴x 1＋x2＝－，x1·x2＝，∴|x1－x2|2＝(x＋x2)2－4x1·x2＝.∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴|x 1－x2|2＝＝()2＋·＋.∵f′(0)·f′(1)>0，f′(0)＝c＝－(a＋b)，且f′(1)＝3a＋2b＋c＝2a＋b，∴(a＋b)(2a＋b)<0，即2a2＋3ab＋b2<0，∵a≠0，两边同除以a2，得()2＋3＋2<0，解得－2<<－1.由二次函数的性质可得，当＝－时，|x 1－x2|2有最小值为，当趋于－1时，|x1－x2|2趋于，故|x 1－x2|2∈[，)，故|x1－x2|∈[，)．13. 0．9544 14.＝S △BCM·S△BCD15.【答案】M<1【解析】∴M＝＝1.16.【答案】15【解析】具有伙伴关系的元素组有－1；1；，2；，3；共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为＋＋＋＝15．17.解(1)已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)，若x＝＋i是方程的根，则x＝-i也是方程的根．(＋i)＋(-i)＝a，解得a＝.(2)x 1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个虚根，不妨设x1＝，x2＝，a∈(－2,2)，|x 1－1|＞|x2|，∴(－1)2＋(－)2＞()2＋()2，∴a＜1.综上，－2＜a＜1.18.【解】(1)依题意，被调查的男性人数为，其中有人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为，其中有人的休闲方式是运动，则2×2列联表如图。
高三数学理科试卷及答案
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（）A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sqrt{x} \)D. \( f(x) = \frac{1}{x} \)2. 已知数列\( \{a_n\} \)的通项公式为\( a_n = 2^n - 1 \)，则\( a_{10} \)的值为（）A. 1023B. 1024C. 2047D. 20483. 函数\( f(x) = x^3 - 3x \)的图像在（）A. \( x = 0 \)处取得极小值B. \( x = 0 \)处取得极大值C. \( x = -1 \)处取得极小值D. \( x = -1 \)处取得极大值4. 若\( \triangle ABC \)中，\( a = 3 \)，\( b = 4 \)，\( c = 5 \)，则\( \cos A \)的值为（）A. \( \frac{3}{5} \)B. \( \frac{4}{5} \)C. \( \frac{5}{12} \)D. \( \frac{12}{5} \)5. 已知复数\( z = 1 + i \)，则\( |z|^2 \)的值为（）B. 3C. 4D. 56. 下列不等式中，正确的是（）A. \( 2^x > 3^x \)对所有\( x > 0 \)成立B. \( \log_2 x > \log_3 x \)对所有\( x > 1 \)成立C. \( \sin x > \cos x \)对所有\( x \in (0, \frac{\pi}{2}) \)成立D. \( \tan x > \sec x \)对所有\( x \in (0, \frac{\pi}{2}) \)成立7. 设\( f(x) = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)），若\( f(1) = 2 \)，\( f(-1) = 0 \)，\( f(0) = 1 \)，则\( a + b + c \)的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的公差为\( d \)，首项为\( a_1 \)，则\( a_{10} - a_5 \)的值为（）A. 5dB. 4dC. 3dD. 2d9. 若函数\( f(x) = \ln x \)在区间\( [1, e] \)上的最大值为\( M \)，则\( M \)的值为（）A. 1C. \( \ln 2 \)D. \( \ln e \)10. 已知向量\( \vec{a} = (1, 2) \)，\( \vec{b} = (2, 3) \)，则\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每小题5分，共25分）11. 函数\( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1} \)的值域为______。
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数学检测卷（理）----------班级----------总分------------一． 选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ．1．若集合{}{}2||,0A x x x B x x x ===+≥，则A B =（ ）（A ）[1,0]-（B ）[0,)+∞ （C ） [1,)+∞ (D) (,1]-∞-2．直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（ ）（A ）0543=++y x （B ）0543=-+y x （C ）0543=-+-y x （D ）0543=++-y x3. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算， 其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）。
A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5 4. 设)1,0(log )(≠>=a a x x f a , 若 ++)()(21x f x f),,2,1,(,1)(n i R x x f i n =∈=+,则)()()(22221n x f x f x f +++ 的值等于（ ） (A)21(B) 1 (C) 2 (D)22log a 5.在等差数列{}n a 中，1815296a a a ++=则9102a a -= A ．24 B ．22 C ．20 D ．-86. 执行如图的程序框图，如果输入11,10==b a ，则输出的=S （ ）(A)109 (B) 1110(C) 1211 (D) 13127. ．直线21y x =-+上的点到圆224240x y x y++-+=上的点的最近距离是 A B 1 C 1- D ．1（第6题）8. 已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点P ， 则点P 落入区域A 的概率为（ ） A ．31 B ．32 C ．91 D ．929.已知平面αβγ、、，直线m 、l ，点A ，有下面四个命题： ①若，，则与l m A l m ⊂=αα 必为异面直线； ②若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；③若l m l m ⊂⊂αββααβ，，∥，∥，则∥；④若αγγαγβα⊥，，，⊥，则⊥ ==m l l m l 。
其中正确命题的个数是 A. 3 B. 2 C . 1 D. 010．若函数()33f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值围是（ ） A ．()2,2- B ．[]2,2- C ．(),1-∞- D ．()1,+∞11．已知方程210ax bx +-=（,a b ∈R 且0a >）有两个实数根，其中一个根在区间()1,2，则a b -的取值围为（ ）A ．()1,-+∞B ．(),1-∞-C ．(),1-∞D ．()1,1-12半径为2的球面上有D C B A ,,,四点，且AD AC AB ,,两两垂直，则三个三角形面积之和ABC S ∆+ACD ADB S S ∆∆+的最大值为（ ）（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32二．填空题: 本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卷的相应位置． 13．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样 本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 _______ . 14. 如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的形， 俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积．．．为 _______ . 15. 有下列命题：①存在(0,)2πα∈使31cos sin =+a a ；②存在区间（a ，b ）使x y cos =为减函数而x sin ＜0； ③x y tan =在其定义域为增函数；④cos 2sin()2y x x π=+-既有最大、最小值，又是偶函数；⑤|62|sin π+=x y 最小正周期为π.其中错误的命题的序号为 .16. 直线022=-+y x 经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于 ________ .三． 解答题: 本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（本小题满分12分）某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，3个同学曾经参加过数学研究性学习活动.（Ⅰ）现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；（Ⅱ）若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，此时该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数ξ是一个随机变量，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.18．（本小题满分12分）已知数列的前项n 和为n S ，对一切正整数n ，点(n, n S )都在函数42)(2-=+x x f 的 图象上.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设n n n a a b 2log ⋅=，求数列{}n b 的前n 项的和.n T19. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面的菱形，60BCD ︒∠=，点E 是BC 边的中点，AC DE 与交于点O ，PO ABCD ⊥平面 （1）求证：PD BC ⊥；（2）若63,62AB PC P AD C ==--，求二面角的大小； （3）在（2）的条件下，求异面直线PB 与DE 所成角的余弦值。
20.（本小题满分12分）已知函数x x f ln 6)(=(0)x >和2()8g x ax x b =+-(a 、b 为常数)的图象在3=x 处有公共切线.(Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 求函数)()()(x g x f x F -=的极大值和极小值.（Ⅲ）若关于x 的方程()()f x g x =有且只有3个不同的实数解，求b 的取值围。
21. （本小题满分12分）设直线过抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点F ，且交C 于点N M ,， 设)0(>=λλFN MF ．（Ⅰ）若2=p ，4=λ，求MN 所在的直线方程； （Ⅱ）若2=p ，94≤≤λ，求直线MN 在y 轴上截距的取值围;（Ⅲ）抛物线C 的准线l 与x 轴交于点E ，求证：EF 与EM λ-的夹角为定值.22选做题：本大题共3小题，请从这3题中选做1小题，如果多做，则按所做的第一题记分．每小题10分．1．（几何证明选讲）如图，⊙O 1与⊙O 2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A 、B 、C 、D 、E ．求证：AB ·CD ＝BC ·DE ．2．（坐标系与参数方程）求经过极9(0,0),(6,),)24O A B ππ三点的圆的极坐标方程.3．（不等式选讲）对于任意实数a （a ≠0）和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|恒成立，试数x 的取值围．（第21题）数学（理科）答案一、选择题（每小题5分，共60分）C 1.4。
二、填空题（每小题5分，共20分）13.150 14. ①②③⑤ 15、 π 16、552三、解答题17（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的A , 则其概率为.74)(271314==C C C A P …………………………………………5分 （Ⅱ）随机变量4,3,2=ξ;72)2(2724===C C P ξ ……………………6分;74)3(271314===C C C P ξ …………………………7分 ;71)4(2723===C C P ξ ………………………………8分∴随机变量的分布列为∴.720714743722=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………12分（18）（本小题满分12分）（I ）由题意，422-=+n n S ， 当2≥n 时，1121222+++-=-=-=n n n n n n S S a ， ……………………………3分 当1=n 时，442311=-==S a 也适合上式， ∴ 数列{}n a 的通项公式为++∈=N n a n n ,21. ………………………………5分（II ）∵ n n a b =•.2)1(log 12+⋅+=n n n a∴ 14322)1(2242322+⋅++⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n n T ①2215432)1(2242322++⋅++⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n n T ② ……………………7分②－① 得，214322)1(2222++⋅++-----=n n n n T ………………………8分21332)1(21)21(22+-⋅++----=n n n 21332)1()12(22+-⋅++---=n n n.2222)1(2132+-+⋅=⋅-⋅+=n n n n n ……………………12分19（本题满分12分） 解：解答一：（1）在菱形ABCD 中，连接,DB 则BCD ∆是等边三角形。
E BC DE BCPO ABCDOD PD ABCD PD BC∴⊥⊥∴∴⊥点是边的中点平面是斜线在底面内的射影----3（2）DE BC ⊥由（1）知//16322336363323ABCD AD BCDE ADPO ABCD DE PD ABCD PD ADPDO P AD C ABCD AD DE BCD E BC AC BD O BCD AB BDC DO DE BC ∴⊥⊥∴⊥∴∠--⊥∆∴∆=∆==⋅==菱形中，又平面，是在平面的射影为二面角的平面角在菱形中，，由（）知，为等边三角形点是边的中点，与互相平分点是重心又在等边中，（3）取AD 中点H，连结,HB HP662,66tan 164--4OC OD PC PO PO Rt POD PDO DO PDO P AD C ππ∴===∴=∴∆∠===∴∠=∴在中，二面角的大小为-------82222222//3363799662292cos 24HB DEHB PB DE PB OH OBPO ABCD OH OB ABCD PO OH PO OBRt DOH HD OD OH Rt PHO PH PO OH Rt POB OB OC PB PO OB DE HB HB PB HB PB PH HB PB αα∴⊥⊂∴⊥⊥∆==∴=∆=+=∆===+===+-==⋅⋅∴则与所成角即是与所成角连结，平面，，平面，，在中，，，在中，在中，，由（）可知设与所成角为，则24PB DE 异面直线、所成角的余弦值为---12解法二：（1）同解法一；（2）过点O 作AD 平行线交AB 于F ,以点O 为坐标原点,建立如图的坐标系(63,6,0),(33,3,0),(33,3,0),(0,6,0),(0,0,6)(63,0,0),(0,6,6)(,,)00066063000,0(0.1,1)(0A B C D P AD PD PAD s a m n s PD s AD a m m a m n a m ns OP ∴---∴=-=--=⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⋅--=⎧⎪⎨-⋅+⋅+⋅=⎪⎩=⎧∴⎨=-⎩=-=设平面的一个法向量为则即不妨取,0,6)2cos ,2||||ADC s OP s OP s OP ⋅∴<>==⋅是平面的一个法向量，二面角P AD C --的大小为4π---------------8分（3）由已知，可得点(0,3,0)E(33,3,6),(0,9,0).2cos ,4||||PB DE PB DE PB DE PB DE ∴=-=⋅∴<>==⋅即异面直线PB DE 、所成角的余弦值为4------12分20解：（Ⅰ）xx f 6)(=',82)(+='ax x g ，根据题意，得)3()3(g f '=' 解得1-=a .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分（Ⅱ）2()()()6ln 8F x f x g x x x x b =-=+-+。