第四章 平面机构的运动分析

相当于矢量逆时针转过π/2角
i2
i2·eiφ= - eiφ =ei·(φ+π)
相当于矢量逆时针转过π角
i3 i3·eiφ=- i·eiφ=ei·(φ+3π/2) =ei·(φ-π/2) 相当于矢量逆时针转过3π/2角
或顺时针转π/2角
因eiφ·e-iφ=ei(φ-φ)=1，故e-iφ是eiφ的共轭复数 。
dt2
r
+
i ( / 2 ) r
2 i ( )
i ( / 2 )
方向： ei
ei( / 2)
ei( )
ei( / 2)
大小： ar
2vr
式中 α是角加速度。
r 2
r
第五节 平面机构的整体运动分析法
学习要求 掌握平面机构运动分析解析法中的整体分析法。包括建立数学模型、 编制框图和程序、上计算机调试程序，直到得出正确的结果。 主要内容 平面机构运动分析的矢量运算法 曲柄滑块机构的位移分析 曲柄滑块机构的速度分析 曲柄滑块机构的加速度分析 曲柄摇杆机构的位移分析 曲柄摇杆机构的速度分析 曲柄摇杆机构的加速度分析 曲柄摇杆机构运动分析的框图及编程注意事项 摆动导杆机构的位移分析 摆动导杆机构的速度分析 摆动导杆机构的加速度分析 摆动导杆机构运动分析的编程注意事项
重点：矢量运算法
第二节 用瞬心法作机构的速度分析
学习要求
本节要求全面掌握瞬心的概念，熟练掌握用瞬心法对机 构进行速度分析的方法。
主要内容
瞬心的概念和种类 机构中通过运动副直接相联的两构件瞬心位置的确定 三心定理 速度瞬心法在平面机构速度分析中的应用 本节例题
瞬心的概念和种类
1. 瞬心的概念 瞬心是瞬时等速重合点。瞬时， 是指瞬心的位置随时间而变；等 速，是指在瞬心这一点，两构件 的绝对速度相等（包括大小和方 向）、相对速度为零；重合点， 是指瞬心既在构件1上，也在构件 2上，是两构件的重合点。
4
P12 P24 P14 P24
2
本节例题
用瞬心法作机构的速度分析
已知： 构件2的角速度ω2 和长 度
比例尺μl
求：从动件3 的速度V3；
解：由直接观察法可得P12，由
三心定理可得P13和P23如图所
示v。由瞬心P的P概念可知：
3
2 12 23 l
第三节 运动分析的相对运动图解法
学习要求 掌握相对运动图解法， 能正确地列出机构
设机构中有N个（包括机架）构件，每两个进行组合，则该 机构中总的瞬心数目为
K= N(N-1) / 2
(4-1)
用瞬心法作机构的速度分析
机构中通过运动副直接相联的两构件瞬心位置的确定
1.两构件作平面运动时 :
如图4-1所示,作VA2A1 和VB2B1 两 相对速度方向的垂线，它们的交 点（图中的P21）即为瞬心。
概述
机构运动分析的方法
1. 图解法：形象、直观 ，但精度不高 ；
（1）相对运动图解法 （2）对于速度分析，还有瞬心法
2. 解析法: 效率高，速度快 ，精度高；
便于对机构进行深入的研究。 （1）杆组法 （2）整体分析法 （3）位移分析 ：是速度分析和加速度分析的基础 （4）所用数学工具 ：矢量、复数、矩阵
速度分析
v
真实速度大小 m / s 图中线段长度 mm
vB pb
m/s mm
vC ( pc)v , vCB (bc)v 3 vC / lCD 和 2 vCB / lBC
vE5 ( pe5 )v , vE5E4 (e4e5 )v
运动分析的相对运动图解法
已知：各构件的长和构件1
的位置及等角速度ω1 求：ω2 ，ω3 和VE5 解：1.取长度比例尺画出左图a所 示的机构位置图, 确定解题步骤: 先分析Ⅱ级组BCD，然后再分析4、 5 构件组成的Ⅱ级组。
概述 机构运动分析的目的和范围 1．机构运动分析的目的：分析现有机构工作性能，检验新机构。
通过轨迹分析，确定构件运动所需空间，判断运动是否干涉。 通过速度分析，确定构件的速度是否合乎要求，为加速度分析和受力分 析提供必要的数据。 通过加速度分析，确定构件的加速度是否合乎要求，为惯性力的计算提 供加速度数据，。 由上述可知，运动分析既是综合的基础，也是力分析的基础。另外，还 为机械系统的动力学分析提供速度和加速度数据。 2．机构运动分析的范围 不考虑引起机构运动的外力，机构构件的弹性变形和机构运动副中间隙 对机构运动的影响，仅仅从几何角度研究在原动件的运动规律已知的情况下， 如何确定机构其余构件上各点的轨迹、线位移、线速度和线加速度，以及机 构中其余构件的角位移、角速度和角加速度等运动参数。
三心定理
用瞬心法作机构的速度分析
作平面运动的三个构件共有 三个瞬心，它们位于同一直 线上。 设构件1为机架，因构件2和 3均以转动副与构件1相联， 故P12和P13位于转动中心，如 图所示。为了使P23点的构件2 和3的绝对速度的方向相同， P23不可能在M点，只能与P13 和P12位于同一条直线上。
VC VA VCA
C点的加速度可用矢量方程式表示为:
aC
aA
aCA
aA
a
n CA
aCt A
a A是牵连加速度,a C A 是C点相对于A点
的相对加速度
,
aCn A是法向加速度,
a
t CA
是切向加速度
式中，VA 牵连速度；VCA 是C点相对
于A点的相对速度 .
其大小为:
,方向如图.
a
t C
A的方向如图,
图4-2b
图4-2 c
用瞬心法作机构的速度分析
5.两构件组成滑动兼滚动的高副 ：
因接触点的公切线方向为相对速度方向，故瞬心应在过接触 点的公法线nn上（如图4-2d所示），具体位置由其它条件来 确定。
图4-2d
三心定理
用瞬心法作机构的速度分析
作平面运动的三个构件共有 三个瞬心，它们位于同一直 线上。 设构件1为机架，因构件2和 3均以转动副与构件1相联， 故P12和P13位于转动中心，如 图所示。为了使P23点的构件2 和3的绝对速度的方向相同， P23不可能在M点，只能与P13 和P12位于同一条直线上。
于B1点的相对加速度，其方向平行于 导路。
Ⅱ级机构位置图的确定
运动分析的相对运动图解法
Ⅱ级机构 中，Ⅱ级组的内部 运动副相对于外部运动副的轨 迹不是圆弧，就是直线。 左上图中Ⅱ级组BCD中的内副 C相对于外副B、D的轨迹是圆 弧，故其位置可由两圆弧的交 点确定。 左下图中Ⅱ级组BCD的内副C 相对于外副B的轨迹是圆弧，相 对于外副D的轨迹是直线。故其 位置可由直线与圆弧的交点来 确定。
第四章 平面机构的运动分析
内容简介
本章主要论述了当已知原动件的运 动规律时，如何确定机构其余构件上所 研究点的位移、速度和加速度以及各构 件的角位移、角速度和角加速度。主要 介绍了速度瞬心法和解析法，重点阐述 了解析法中的整体分析法。简单介绍了 相对运动图解法和解析法中的杆组法。
学习要求
了解平面机构运动分析的目的和方法；掌握瞬心的概念及 其在速度分析中的应用；掌握解析法中的整体运动分析法或 相对运动图解法；对其它方法有一般的了解。
对于构件2 :VB2=VB1= ω1lAB
VC VB VCB
方向: CD AB CB
大小: ?
l AB 1 ?
be2= (BE) /(BC) bc
对于构件4和5:
VE5 VE4 VE5E4
方向: EF √ ∥ EF
大小: ? √
?
加速度分析
运动分析的相对运动图解法
已知: 各构件的长度和各速度参数 求: aE5 解:对于构件2:
路平行。
a
k B
2B
为哥氏加速度，其计算公
1
式为:
ak B 2B 1
2ω
VB 2B 1
动点B2的绝对加速度等于相对加速度 、牵连加速度与哥氏加速度三者的矢
量和,即
aB2
aB1
ak B 2B 1
ar B 2B 1
其方向是将相对速度 VB2B1的矢量 箭头绕箭尾沿牵连角速度的方向转 过900
aB1 是牵连加速度；arB2B1为B2点相对
的速度和加速度矢量方程，准确地绘出速度和 加速度图，并由此解出待求量。 主要内容 同一构件上两点间的速度和加速度关系 移动副两构件重合点间的速度和加速度关系 Ⅱ级机构位置图的确定 速度分析 加速度分析
运动分析的相对运动图解法
同一构件上两点间的速度和加速度关系
构件AB作平面运动时，可以看作随 其上任一点（基点）A 的牵连运 动和绕基点A 的相对转动。 C的 绝对速度可用矢量方程表示为 :
平面矢量的复数极坐标表示法
复数极坐标表示的矢量的微分
设r= re i 则对时间的一阶导数为：
dr dt
dr dt
ei
r
d
dt
(iei )
vr ei
rei( / 2)
方向：ei
ei( / 2)
大小： vr
r
式中，vr 是矢量大小的变化率；ω 是角速度； rω 是线速度。 对时间的二阶导数为：
2v e r e re d 2r a ei
平面矢量的复数极坐标表示法 与坐标轴重合的单位矢量 矢量的回转 复数极坐标表示的矢量的微分
平面矢量的复数极坐标表示法
平面矢量的复数极坐标表示法
1. 用复数表示平面矢量
若用复数表示平面矢量r, r=rx+i·ry , rx是实部, ry是虚部, r=r（cosφ+isinφ），其中的 φ称为幅角，逆时针为正，
an m/ s2 b
pb mm
a E5
a
n E5
a
t E5
aE4
a
k E5E4
a
r E5E4
E→F EF EF //EF
2 5
l
EF
?
2vE5E45 ?
aE5 （pe5）a
第四节 平面矢量的复数极坐标表示法
学习要求
本节要求熟悉平面矢量的复数极坐标表示法，包括
矢量的回转；掌握矢量的微分。
主要内容
用瞬心法作机构的速度分析
速度瞬心法在平面机构速度分析中的应用
VE
4 P14El
P12 P24 P14 P24
2
已知：构件2的角速度ω2和 长度比例尺μl ;
求：VE和ω4=？
各瞬心如图所示，因在P24点， 构件2和4的绝对速度相等 ， 故
ω2 （P24 P12） μl = ω4 （P24 P14） μl ，得：
用瞬心法作机构的速度分析 图4-1 速度瞬心
用瞬心法作机构的速度分析
2. 瞬心的种类
1. 绝对瞬心：构成瞬心的两个构件之一固定不动，瞬心点的绝
对速度为零 。
2. 相对瞬心：构成瞬心的两个构件均处于运动中，瞬心点的绝
Fra Baidu bibliotek对速度相等、相对速度为零 。
由此可知，绝对瞬心是相对瞬心的一种特殊情况。
3. 机构中瞬心的数目
a
n C
A方向平行于
AC且由C指向A。
运动分析的相对运动图解法
同一构件上两点间的速度和加速度关系
动点B2的绝对速度等于它的重合点的 牵连速度和相对速度的矢量和，即
VB2 VB1 VB2B1
VB2 VB1 VB2B1
VB1 是牵连速度；VB2B1 为B2点相对 于B1点的相对速度 ，它的方向与导
3 / 2 ei3 / 2 cos3 / 2 i sin3 / 2 i y轴负向的单位矢量
矢量的回转
平面矢量的复数极坐标表示法
ei 若乘以矢量r，相当于把矢量r绕原点旋转了θ角。
表4-2列出了单位矢量旋转的几种特殊情况。
被乘数
i
表4-2 单位矢量旋转的几种特殊情况
结果
作用
i·eiφ=ei·(φ+π/2)
2.两构件组成移动副:
因相对移动速度方向都平行于移动 副的导路方向(如图4-2 a所示)，故 瞬心P12在垂直于导路的无穷远处。
图4-1
图4-2a
用瞬心法作机构的速度分析
3.两构件组成转动副： 两构件 绕转动中心相对转 动，故该转动副的中心便是 它们的瞬心
4.两构件组成纯滚动的高副 其接触点的相对速度为零，所 以接触点就是瞬心。
平面矢量的复数极坐标表示法
与坐标轴重合的单位矢量如表4-1和图4-15所示。
表4-1 与坐标轴重合的单位矢量
图4-15
φ
eiφ
代表的矢量
0 ei0 cos0 i sin0 1
X轴正向的单位矢量
/ 2 ei / 2 cos / 2 i sin / 2 i y轴正向的单位矢量
ei cos i sin 1 X轴负向的单位矢量
顺时针为负；r=lrl ，是矢量的模。 2. 利用欧拉公式表示平面矢量
利用欧拉公式 eiφ=cosφ+i·sinφ, 可将矢量表示为: r=reiφ, 其中eiφ是单位矢量，它表示矢量的方向； leiφl = cos2 sin2 =1,
eiφ表示一个以原点为圆心、以1为半径的圆周上的点。
与坐标轴重合的单位矢量
aC aB aCB
方向: 大小:
aCn aCt aBn aBt aCnB aCt B
C→D CD B→A AB C→B CB
2 3
lCD
? 12l AB
0
2 2
lCB
?
be2
BE BC
bc
aE4 aE2 （pe2）（a m / s2）
构件4 和5:
a
实际的加速度值m / s2 图中线段长度mm
主要内容
第一节 概述
第二节 用瞬心法作机构的运动分析
第三节 运动分析的相对运动图解法
第四节 平面矢量的复数极坐标表示法
第五节 平面机构的整体运动分析法
第一节 概述
学习要求
本节要求了解运动分析的目的、方法及各种方法的优缺点。 其中，解析法中的整体分析法是本章的重点。
主要内容
机构运动分析的目的和范围 机构运动分析的方法