第十章 压杆稳定

第十章 压杆稳定

学时分配：共6学时

主要内容：两端铰支细长压杆的临界压力，杆端约束的影响，压杆的长度系数μ，临界应力欧拉公式的适用范围；临界应力总图、直线型经验公式λσb a cr -=，使用安全系数

法进行压杆稳定校核。

$10.1压杆稳定的概念

1．压杆稳定

若处于平衡的构件，当受到一微小的干扰力后，构件偏离原平衡位置，而干扰力解除以后，又能恢复到原平衡状态时，这种平衡称为稳定平衡。

2．临界压力

当轴向压力大于一定数值时，杆件有一微小弯曲，一侧加一微小干扰且有一变形。任一微小挠力去除后，杆件不能恢复到原直线平衡位置，则称原平衡位置是不稳定的，此压力的极限值为临界压力。

由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力 的临界值称为临界压力（或临界力），用

τ

c P 表示。

3．曲屈

受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动，转变到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。

$10.2细长压杆临界压力的欧拉公式

1．两端铰支压杆的临界力

选取如图所示坐标系xOy 。距原点为x 的任意截面的挠度为v 。于是有

Pv M -=

2．挠曲线近似微分方程：

将其代入弹性挠曲线近似微分方程，则得

()Pv x M EIv -==''

令 EI P k =

2

则有

0'2''=+v k v

该微分方程的通解为

kx B kx A v cos sin +=

c r c r

式中A 、B ——积分常数，可由边界条件确定 压杆为球铰支座提供的边界条件为

0=x 和l x =时，0=v

将其代入通解式，可解得

0=B ，0sin =kl A

上式中，若A=0，则0=v ；即压杆各处挠度均为零，杆仍然保持直线状态，这与压杆处于微小弯曲的前提相矛盾。因此，只有

0sin =kl

满足条件的kl 值为

πn kl =),2,1,0(Λ=n

则有

l n k π=

于是，压力P 为

2222

l EI

n EI k P π=

=

1=n 得到杆件保持微小弯曲压力-临界压力τc P 于是可得临界压力为

2

2l EI P c πτ= 此式是由瑞士科学家欧拉（L. Euler ）于1744年提出的，故也称为两端铰支细长压杆的

欧拉公式。

此公式的应用条件：理想压杆；线弹性范围内；两端为球铰支座。

$10.3其他条件下压杆的临界压力

欧拉公式的普遍形式为

22)(l EI P cr μπ=

式中μ称为长度系数，它表示杆端约束对临界压力影响，随杆端约束而异。l μ表示把压杆折算成相当于两端铰支压杆时的长度，称为相当长度。

两端铰支，1=μ；一端固定另一端自由2=μ；两端固定，2

1=μ；一端固定令一

端铰支，7.0=μ。

例：试由一端固定，一端简支的细长压杆的挠曲线的微分方程，导出临界压力。 解：

由挠曲线的微分方程可得

EI x l R v EI P EI

M dx v d )

(22-+-==

方程的通解为

()x l EIk R

kx C kx C v -+

+=2

21sin cos 固定支座的边界条件是

0=x 时，0=v ，

0=dx dv

l x =时，0=v ，

0=dx

dv

边界条件带入上面各式得

0,0sin cos ,02

22121=-=+=+

EIk

R kC kl C kl C l EIk R C 解得

kl kl =tan

作出正切曲线，与从坐标画出的45º斜直线相交，交点的横坐标为

()22

/493.4l EI P cr =

弯矩为零的C 点的横坐标l k

x c 3.0352

.1≈=

$10.4 压杆的稳定校核

1．压杆的许用压力

[]st

cr n P P =

[]P 为许可压力；st n 为工作安全系数。

2．压杆的稳定条件

[]P P ≤

例 平面磨床液压传动装置示意图。活塞直径mm D 65=，油压MPa p 2.1=。活塞杆长度mm l 1250=，材料为35钢，MPa P 220=σ，GPa E 210=，6=τs n 。试确定活塞杆的直径。 解：

（1）轴向压力

()N p D P 3980102.110654

4

62

32=⨯⨯⨯=

=

-π

π

（2）临界压力

N P n P st cr 2390039806=⨯==

（3）确定活塞杆直径

由()

N l EI

P cr 239002

2==μπ得出m d 025.0≈ （4）计算活塞杆柔度

2004

025

.025

.11=⨯=

=

i

l

μλ

对35号钢，9710220102106

9

221=⨯⨯⨯==

πσπλP E 因为1λλ〉，满足欧拉公式的条件。

活塞杆