乘幂反幂法
数值分析幂法和反幂法
数值分析幂法和反幂法数值分析中的幂法和反幂法是求解矩阵最大特征值和最小特征值的常用方法。
这两种方法在许多数值计算问题中都有着广泛的应用，包括图像压缩、数据降维、谱聚类等。
幂法（Power Method）是一种迭代算法，通过不断迭代矩阵与一个向量的乘积，来逼近原矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
其基本思想是，对于一个矩阵A和一维向量x，可以通过不断迭代计算Ax，Ax，Ax...，来使得向量x逼近最大特征值对应的特征向量。
具体的迭代过程如下：1.初始化一个向量x0（可以是单位向量或任意非零向量）2.令x1=Ax0，对向量进行归一化（即除以向量的范数）得到x13.重复步骤2，即令x2=Ax1，x3=Ax2...，直到收敛（即相邻迭代向量的差的范数小于一些阈值）为止4. 最终得到的向量xn就是A的最大特征值对应的特征向量在实际求解时，我们可以将迭代过程中的向量进行归一化，以防止数值溢出或下溢。
此外，为了提高迭代速度，我们可以选择使得xn与xn-1的内积大于0的方向作为迭代方向，这样可以使得特征值的模快速收敛到最大特征值。
幂法的收敛性是保证的，但收敛速度可能较慢，尤其是当最大特征值与其他特征值非常接近时。
此时可能需要使用一些改进的方法来加速收敛，例如Rayleigh商或位移策略。
相反，反幂法（Inverse Power Method）是求解矩阵的最小特征值和对应的特征向量的方法。
它的基本思想和幂法类似，但在每次迭代中，需要计算A和依其逆矩阵A-1的乘积。
迭代过程如下：1.初始化一个向量x0（可以是单位向量或任意非零向量）2.令x1=A-1x0，对向量进行归一化（即除以向量的范数）得到x13.重复步骤2，即令x2=A-1x1，x3=A-1x2...4. 最终得到的向量xn就是A的最小特征值对应的特征向量反幂法和幂法的区别在于迭代过程中乘以了A的逆矩阵，从而可以利用矩阵的特殊结构或性质来提高迭代速度。
同时，在实际求解时，可能需要将矩阵进行一些变换，以确保A-1存在或数值稳定性。
计算方法第七章(特征值与特征向量)
( j p, q) i 1, 2, , n
最后，雅可比方法的计算步骤可以归纳为： （1）确定非对角绝对值最大元位置（p，q），并计算sin和 cos的值； （2）计算迭代矩阵的元素；
（3）计算特征向量；
（4）与计算精度进行比较，以决定第三节 QR 分解方法 3.1 QR 分解 设 u 为n维实单位向量，称下面矩阵为Householder矩阵：
则
(2) (3) 1 a12 a13 (3) a 2 23 (3) Q2 A1 Q2Q1 A a33 (3) 0 a 3n
埃特金加速： 可以证明：乘幂法线性收敛
mk 1 1
2 mk 1 1
2 1
[ zk 1 10 ] i [ zk 10 ] i
2 1
称为收敛率
由于
zk
线性收敛于 x1 ，于是可以对之进行埃特金加速，
( zk )i ( zk 2 )i ( zk 1 )i2 Wi ( zk )i 2( zk 1 )i ( zk 2 )i
, a
(k) pq
0
第 k 步迭代矩阵的元素为：
a a a
(k ) pj
a a
( k 1) pj
cos a
2
( k 1) qj
sin a
(k ) jp
(k ) k 1) ( k 1) k) aqj a (pj sin aqj cos a (jq ( j p, q ) (k ) pp ( k 1) pp
cos 2a a
( k 1) pp
(k 1) pq
sin cos a
( k 1) pq
(k 1) qq
乘幂反幂法
当前位置：第7章>>第1节>>7.1.3逆幂法逆幂法是求实方阵按模最小特征值及相应的特征向量的一种反迭代方法。
1. 求A按模最小的特征值设非奇异矩阵A的n 个特征值为，其相应的特征向量为e ，则的特征值为其相应的特征向量仍为。
按模最大的特征值的倒数则为矩阵A按模最小的特征值。
利用乘幂法求按模最大的特征值。
任取初始非零初始向量，作迭代序列它等价于（7.5）我们可以通过反迭代过程，即解方程组.求得.当k 充分大时，则有在实际计算中，为了减少运算量，先将矩阵A作三角分解A=LR然后再求解方程组2．求在附近的特征值设与最接近的特征值为即有作矩阵，它的特征值和相应的特征向量为若用逆幂法于矩阵，则有则可求出矩阵的按模最小的特征值和相应的特征向量为于是得A在附近的特征值和相应的特征向量为（7.6）例3 用逆幂法求矩阵在3.4附近的特征值和相应的特征向量解对进行三角分解得：用半次迭代法，取，则得再解得再解得于是练习7.1 1.用乘幂法求矩阵按模最大特征值与特征向量. 乘幂法的计算公式设矩阵A的n个特征值按模的大小排列为：其相应的特征向量为且它们是线性无关的。
先任取非零初始向量，作迭代序列首先将表示为所以为了得出计算和的公式，下面分三种情况讨论1．为实根，且。
当不为0，k充分大时，则有所以（7.1）2．为实根，且。
当不为0，k充分大时，则有（7.2）于是得从而有（7.3）3．,且。
当k充分大时，则有在实际应用幂法时，可根据迭代向量个分量的变化情况判断属于那种情况。
若迭代向量各分量单调变化，且有关系式，则属于第1种情况；若迭代向量各分量不是单调变化，但有关系式，则属于第2种情况；若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式，则属于第3种情况；为了防止溢出，可采用迭代公式：（7.4）例2 乘幂法求矩阵按模最大特征值和相应特征向量。
解取，用乘幂法迭代公式计算列表如下：k1 1 11 0 12 -2 26 -8 620 -28 2068 -96 68232 -328 232792 -1120 7923.414 3.415 3.414所以事实上，矩阵的最大特征值为其相应的特征向量为。
4.2乘幂法和反乘幂法
2
k 2
rj cos( (k 2) )
再利用三角函数运算性质以及 1 , 2 复数表示，不难验证
xj
令
( k 2)
(1 2 ) x j
( k 1)
12 x j
(k )
0
p (1 2 )
q 12
由方程组
xj
( k 2)
k 1 k
(k )
[1v1 (1) 2v2 ]
(k ) k 1 1 1 1 k 1 k 1 1
x 1 x 2 v ( k 1) (k ) x 1 x 2 (1) 2v2
( k 1)
x( k 1) 1 x( k ) 当k无穷大时，可以用
n
必有
故只要k充分大，
(k )
x
[1v1 k ] 1v1
k 1 k 1
(k )
可把x 作为与1相应的特征向量 的近似。
由x
(k )
(1v1 k )
k 1
k
及 lim k 0
lim
k
x
(k ) k 1
1v1
即表明序列
x
(k ) k 1
越来越接近A的对应于
1的特征向量，也即当k 时
x
(k )
1 v1
k 1
主 特 征 值
1 ?(如何算)
由 x
( k 1)
v , 及 x
k 1 1 1 1
(k )
1v1
k 1
x 1 x
xi
(k )
( k 1) i (k ) i
(i 1, 2,...n)
计算方法(5)第四章 矩阵特征值和特征向量的计算
n
使得u 0
i xi
i 1
n
n
uk Auk1 Aku0 Ak (i xi ) iik xi
i 1
i 1
1k [1x1
n i2
( i 1
)k i xi ]
由1 0, 1 i (i 2, 3,L , n) 得
lim(
对矩阵A1用乘幂法得 uk
A-1u
k
，
1
因为A1 的计算
比较麻烦，而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质
（如稀疏性），因此，反幂法在实际计算时以求解
方程组
Auk
u
k
，代替迭代
1
uk
A-1uk1求得uk，每
迭代一次要解一线性方程组。 由于矩阵在迭代过
程中不变，故可对A 先进行三角分解，每次迭代只 要解两个三角形方程组。
且
2 p 2 n
2 n
2 n 2
1 p 21 2 n 1 n 1 2 1 n 1
因此，用原点平移法求1可使收敛速度加快。
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向 量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最 有效的方法。
0
0.226
0.975
做正交相似变换后得到
3.366
A3 =R2 AR2T
0.0735
0.317
0.0735 1.780
0
0.317
0
1.145
雅可比方法是一个迭代过程，它生成的是一个矩阵的
序列 Ak，当k越大时Ak就越接近于对角矩阵，从而
《幂法和反幂法》课件
应用范围比较
总结词
幂法适用于求解特征值和特征向量，而反幂法适用于求解线性方程组和最小二 乘问题。
详细描述
幂法主要用于求解特征值和特征向量，在物理、工程和科学计算等领域有广泛 应用。反幂法适用于求解线性方程组和最小二乘问题，在统计学、机器学习和 数据分析等领域有广泛应用。
优缺点比较
总结词
幂法的优点在于能够求解特征值和特征向量，但缺点是计算复杂度高；反幂法的优点在于计算复杂度低，但缺点 是可能存在数值不稳定性。
幂法的性质
01
02
03
幂法具有高效性
相对于直接计算矩阵的幂 ，幂法可以大大减少计算 量和存储空间。
幂法具有收敛性
在适当的条件下，幂法能 够收敛到正确的矩阵幂的 结果。
幂法具有稳定性
在计算过程中，幂法能够 保持数值的稳定性，避免 误差的累积。
幂法的应用场景
数值分析
用于求解线性方程组、特 征值问题等数值计算问题 。
详细描述
幂法的优点在于能够精确求解特征值和特征向量，适用于需要高精度计算的情况。然而，由于其计算复杂度高， 对于大规模数据集可能效率较低。反幂法的优点在于计算复杂度相对较低，适用于处理大规模数据集。然而，反 幂法可能存在数值不稳定性，对于某些问题可能需要额外的数值稳定化技术。
04
幂法和反幂法的实现
05
幂法和反幂法的应用实 例
幂法在密码学中的应用
加密算法
幂法常被用于构造加密算法，如RSA算法。通过使用幂法，可以 快速地计算大数的幂次，从而实现高效的加密和解密过程。
密钥交换
在Diffie-Hellman密钥交换协议中，幂法被用于生成共享密钥，确 保通信双方安全地交换密钥。
数字签名
23_第八章8。1乘幂法与反幂法
(u
xx
u
yy
) u , ( x, y) ,
u 0, ( x, y ) 。
2
为了简单，取
（ x , y ) : 1 x , y 1 , 为 的边界。若取
x y h
0 . 25 , 以二阶均差代替二阶导
数，按自然次序离散化
K 0 1 5 10 15 (1.0000,1.0000,1) (0.9091,0.8182,1) (0.7651,0.6674,1) (0.7494,0.6508,1) (0.7483,0.6497,1) 2.7500000 2.5887918 2.5380029 2.5366256
20
矩阵 A 的主特征值和特征向量
应 用 乘 幂 法 可 得 矩 阵 A的 按 模 最
小的特征值及其特征向
量，称为反幂法，计算
公式为
v0 u 0 0, 1 v k A u k 1 , u v / max( v ), k 1 , 2 ....。 k k k
它 是 由 k个 盖 尔 圆 构 成 ， 则 在 这 个 连 通 部 分 中 有 且 仅 有 A的 k 个特征值（盖尔圆相重时重复计算，特征值相同时也重复计算）。
华长生制作 11
证 : 设 为 A 的任意一个特征值
, x 0 为对应的特征向量
,即
( I A ) x 0。
记 x ( x 1 , x 2 ,....., x n ) , x i max x k , 则 x i 0 ,
例 用幂法求矩阵
1 A 1 0 .5 1 1 0 . 25 0 .5 0 . 25 2
幂法和反幂法
此例中比值为 2 2 . 1 3
例2：用幂法计算下面矩阵的主特征值及对应的特征向量。
解： 取初始向量 01
2 4 A 3 9
4 16
v u 1 1 1 ,按(3.7)迭代5次得到数据T如下 表: 00
1 11
11
ukT
6 15 36
k
vkT
(规范化向量)
5 0.1859 0.4460 1 8.156 19.57 43.88
v (i) k 1 v (i) k
1?
即两相邻迭代向量的对应非零分量的比值一定收敛到主特征值？
不一定. 先讨论以下情况：
情形1: 设n n阶实矩阵A的特征值i (i 1, 2, , n) 满足 1 2 n 且与i (i 1, 2, , n)相应的特征
向量x1 , x2 , , xn 线性无关。
v (1) 2
v (1) 1
0.41 ,
v (2) 2
v (2) 1
0.41666,
v (1) 3
0.41260,
v (2) 3
0.41249,
v (1) 2
v (2) 2
v (1) 4
v (1) 3
0.41263,
v (2) 4
v (2) 3
0.41263,
问题:是否任何矩阵的幂法，当k比较大时，一定有
故按模特征值为:
1 43.88 对应的特征向量为:
u1 0.1859 0.4460 1.0000T
例3 用幂法求矩阵 的主特征值和主特征向量.
1 1 0.5 A 1 1 0.25
0.5 0.25 2
解 : 取初始向量u0 (1,1,1)T , 按(3.2)的计算结果如表9 1。
matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量
竭诚为您提供优质文档/双击可除matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量篇一：幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1.幂法简介：当矩阵a满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵a需要满足的条件为：(1)|1||2|...|n|0,i为a的特征值xn(2)存在n个线性无关的特征向量，设为x1,x2,...,1.1计算过程：n对任意向量x，有x(0)(0)iui,i不全为0，则有i1x(k1)ax(k)...ak1x(0)aαiuiαiλik1uik1i1i1nnnk12k1λ1u1()a2u2()anun11k111u1k112|越小时，收敛越快；且当k充分大时，有可见，当|1 (k1)k111u1x(k1)x(k1)(k)x1(k)，对应的特征向量即是。
kxx11u12算法实现(1).输入矩阵a，初始向量x，误差限,最大迭代次数n(2).k1,0;y(k)x(k)max(abs(x(k))(3).计算xay,max(x);(4).若||,输出,y,否则,转(5)(5).若kn,置kk1,,转3,否则输出失败信息,停机.3matlab程序代码function[t,y]=lpowera,x0,eps,n)%t为所求特征值，y 是对应特征向量k=1;z=0;%z相当于y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量x=a*y;%迭代格式b=max(x);%b相当于ifabs(z-b) t=max(x);return;endwhileabs(z-b)>epsz=b;y=x./max(abs(x));x=a*y;b=max(x);end[m,index]=max(a(matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量)bs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index);%是原值，而非其绝对值。
41第一节-幂法和反幂法
=a11v1 a22v2 annvn x2 Ax1 a11 Av1 a22 Av2 ann Avn
=a112v1 a222v2 ann2vn
即对 x0 a1v1 a2v2 anvn 用公式 xk Axk1, k 1, 2,
幂法的迭代公式为
xk Axk1 k 1, 2,
当k充分大时，有
xk
1ka1v1
1
xk1 i xk i
收敛速度取决于比值 2 ,比值越小,收敛越快. 1
3. 误差分析
幂法的迭代公式为 xk Axk1 k 1, 2,
当k充分大时, 有
xk 1ka1v1
称1为A的按摸最大特征值(也称主特征值).
任取非零向量
x0
( x1(0) ,
x(0) 2
,
,
x(0) n
)T,
则
x0 a1v1 a2v2 anvn
设 a10, 由A构造向量序列{xk}
xk Axk1, k 1, 2,
其中 x1 Ax0 a1 Av1 a2 Av2 an Avn
a1n a2n 0
an1
an2
ann
的根；求A的属于特征值的特征向量等价于求
非零解.
( E A)x 0
设为A∈Rn×n的特征值, x 称为A的与特 征值 相对应的一个特征向量,即Ax= x, (x≠0)
则有
(1) cx (c≠0为常数)也是 A的与特征值 相对 应的一个特征向量，即A(cx)=(cx)；
4. 实用计算公式
yk Axk1
mk max yk
北航数值分析-lec7-幂法和反幂法
迭代收敛性
反幂法在求解特征值问题中的应用
特征值问题
反幂法主要用于求解矩阵的特征值和特征向量问题。通过迭代过程，反幂法能够找到矩阵的所有特征 值和对应的特征向量。
数值稳定性
反幂法在求解特征值问题时，需要关注数值稳定性问题。由于计算机浮点运算的误差累积，反幂法可 能会产生数值不稳定的解。因此，需要采取适当的策略来提高数值稳定性。
误差分析比较
幂法
由于幂法是通过连续的矩阵乘法来计算矩阵的幂，因此误差会随着计算的次数逐渐 累积。为了减小误差，需要选择合适的计算精度和减少计算次数。
反幂法
反幂法是通过求解线性方程组来计算矩阵的逆和行列式，因此误差主要来自于线性 方程组的求解精度。为了减小误差，需要选择合适的求解方法和提高求解精度。
202X
北航数值分析-lec7-幂法 和反幂法
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目 录幂法介绍Fra bibliotek反幂法介绍
幂法和反幂法的比较
幂法和反幂法的实现细节
幂法和反幂法的实际应用案例
单击此处输入你的正文，文字是
您思想的提炼，请尽量言简意赅
的阐述观点
contents
单击此处输入你的正文，文字是 您思想的提炼，请尽量言简意赅 的阐述观点
反幂法的实现细节
反幂法是一种迭代算法，用 于求解线性方程组的近似逆。
反幂法的收敛速度取决于矩阵的谱 半径，如果矩阵的谱半径较小，则 反幂法收敛速度较快。
ABCD
反幂法的实现步骤包括：选择初始 矩阵、计算迭代矩阵、更新解矩阵 和判断收敛性。
在实际应用中，反幂法通常用于 求解大规模稀疏线性系统的预处 理和后处理问题。
01
4方阵的特征值和特征向量的计算
3
4 5
8.168
8.157 8.157
19.60
19.57 19.57
43.92
43.88 43.88 10
0.1860
0.1859 0.1859
0.4463
0.4460 0.4460
1
1 1
三、 反幂法 反幂法用来求矩阵A的按模最小特征值及其相应的特征向量。 设A是非奇异矩阵，其特征值的次序为
6
注3 当|λ 1|>1时，迭代向量{vk}的各个分量将随着|λ 1|k变 得很大而使计算机“上溢”。当|λ 1|<1时，迭代向量{vk}的 各个分量将随着|λ 1|k变得很小vk 成为零向量。
为克服这两个弊端，常将向量序列规范化处理，就得到了 改进的乘幂法。 二、改进的乘幂法
设 v 为非零向量，将其规范化得到向量
| 1 || 2 |
| n1 || n |
相应的特征向量为
则A-1的特征值满足
x1 , x2 ,
1 | n | 1 | n1 |
, xn
1 | 1 |
只要求出A-1的按模最大的特征值，也就求出了A的按模最小的 特征值，及其相应的特征向量。 任取初始非零向量向量v0，构造向量序列
6 2 4 例4.2 求矩阵 A 3 9 15 4 16 36 按模最大的特征值和相应的特征向量 解 计算结果见下表
k 0
1 2
vk
1 12.00 8.357 1 27.00 19.98 1 56.00 44.57 1 0.2143 0.1875
uk
1 0.4821 0.4483 1 1 1
vk Avk 1 =
=A v0
3
产生的向量序列
乘幂法与反乘幂法
即： | 2 p || n p |
2 p (n p)
p (2 n ) / 2.
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（2）Rayleigh商加速 设 A 为实对称矩阵，作Rayleigh商
(k ) (k ) ( Az , z ) (k ) R( z ) (z(k ) , z(k ) )
故有：R( z ( k ) )
2 1
2 k 1 1
k 1 i2 2 i i2 n i2
n
2k k 12 1 i2 2 i
1 O 2 / 1
2k
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三、反乘幂法
假设 A 有完全特征向量系 u1 , u2 ,, un ，并设：
R( z ) 1 O 2 / 1 以下证明：
(k )
2k
设 u1 , u2 ,, un 为 A 的规范正交特征向量系，
Aui i ui , (ui , u j ) uiT u j i , j | 1 || 2 | | n | ，易知： 仍设： z ( k ) Ak z ( 0) / max(Ak z ( 0) )
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即若 Ax A x ，则 ( A pI ) x ( A p) x 。 原点位移即是用乘幂法计算 A pI 的特征值。 若有， | 1 p || 2 p | | n p | | 2 p | | 2 | 并且， | p | | | 1 1 则可以加速收敛速度。 事实上，若求得 A pI 的主特征值
n
数值分析幂法和反幂法
数值分析幂法和反幂法数值分析中，幂法（Power method）和反幂法（Inverse Power method）是求解矩阵的特征值和特征向量的两种常用方法。
它们都是通过迭代过程逼近特征值和特征向量。
1.幂法：幂法是求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量的一种迭代方法。
幂法的原理是通过迭代过程，将一个任意选择的初始向量不断与矩阵相乘，使其逼近对应最大特征值的特征向量。
幂法的迭代公式为：$x^{(k+1)} = \frac{Ax^{(k)}}{\，Ax^{(k)}\，}$幂法的迭代过程是不断对向量进行归一化，使其逐渐逼近最大特征值对应的特征向量。
当迭代次数足够多时，可以得到非常接近最大特征值的估计。
2.反幂法：反幂法是幂法的一种变形，用于求解矩阵的最小特征值和对应的特征向量。
反幂法的原理是通过迭代过程，将一个任意选择的初始向量不断与矩阵的逆相乘，使其逼近对应最小特征值的特征向量。
反幂法的迭代公式为：$x^{(k+1)} = \frac{A^{-1}x^{(k)}}{\，A^{-1}x^{(k)}\，}$反幂法的迭代过程同样是不断对向量进行归一化，使其逐渐逼近最小特征值对应的特征向量。
当迭代次数足够多时，可以得到非常接近最小特征值的估计。
3.收敛性分析：幂法和反幂法的收敛性分析与矩阵的特征值分布有关。
对于幂法而言，如果矩阵$A$的最大特征值是唯一的，并且其他特征值的绝对值小于最大特征值的绝对值，那么幂法是收敛的，而且收敛速度是指数级的。
对于反幂法而言，如果矩阵$A$的最小特征值是唯一的，并且其他特征值的绝对值大于最小特征值的绝对值，那么反幂法是收敛的，而且同样是指数级的收敛速度。
4.实际应用：幂法和反幂法在实际中广泛应用于各个领域，例如物理、工程、计算机科学等。
比如在结构力学中，幂法可以用来求解结构的自振频率和相应的振型；在电力系统中，反幂法可以用来求解电力系统决定性特征值，例如功率稳定性的最小特征值。
计算方法-5.2幂法与反幂法
u2k , u2k 1
分别收敛到两个数，且绝对值不同。
2016/8/14
17
定理8 （1）设 A R n n 有n个线性无关的特征向量； （2）设A特征值满足 | 1 || 2 | | n |,
则有
1 ( x1 )i ( k 1 )i 1 , ((vk )i 0) 1 ( x1 )i ( k )i (v k 1 )i lim 1 k (v ) k i
这种由已知的非零向量v0和矩阵A的乘幂构造向量序列vk ，以计 算矩阵A的按模最大特征值及其相应特征向量的方法称为幂法。
[ i x i
k 1 i 1
r k 1
i 1
r
i k i ( ) xi ] 1 i r 1
n
[ i xi k ]
n
i 1
r v k i k li m k i xi lim k 0, 从而 k 其中 k i ( ) xi ，且 k i 1 1 i r 1
（1）若：
2016/8/14
x1 , 1 0 x 1 uk x1 , 1 0 x1
1 2 n
u2k , u2k 1
分别收敛反号的两个数
u k 收敛
16
（2）若：
1 2 3 n , 1 2
2016/8/14 4
当k =2,3,„ 时， k vk Avk 1 A v0
k k 11 x1 22 x2 nn xn )
k
2 k nn kk k ( ) x [ 1 x1 2 ( ) x2 ( ) x n n 2 n n] 1 11 1
计算方法52幂法与反幂法
*
13
3. 幂法的改进
用幂法计算A的主特征值及对应的特征向量时,如果
,
,迭代向量的各个不等于零的分量将随
而趋
于无穷（或趋于零），这样造成计算机中的“溢出”。为了克 服这个问题，利用向量的方向与长度无关这一性质，将迭代 向量的长度规范化（“规一化”）以改进幂法。
所谓向量长度规范化,就是将向量的分量同除以一个常数,使 向量长度为1,向量长度有多种度量法,可以采用 或 ,
0.042292
0.034389
0.41260
4
0.017451
0.014190
0.41263
可取10.41263 ,v1(0.017451,0.014190)T
*
(vk)2 / (vk-1)2
0.41665 0.41267 0.41263
12
在幂法中，我们构造的序列
可以看出
因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归0
计算方法52幂法与反幂 法
2020年5月17日星期日
问题的提法：
设
,其特征值为 ,对应特征向量为
即
，且
征值及对应的特征向量。
线性无关。求矩阵A的主特
幂法的基本思想: 任取一个非零初始向量
，
由矩阵A的乘幂构造一向量序列
称 为迭代向量。
2 *
(1)幂法:
1.A 特征值中 为强占优,即
问题： 设 即
的特征向量。
敛可能很慢。
8 *
定理7： （1）设
有n个线性无关的特征向量；
（2）设A的特征值满足
（3）幂法：
则
*
9
2. A的主特征值为实的r重根，即
问题： 设
数值分析3.1幂法和反幂法
第三章 矩阵的特征值与特征向量
3.1 幂法与反幂法 3.2 Jacobi方法
3.3 QR方法
第三章 矩阵的特征值与特征向量
3.1幂法与反幂法
一、乘幂法 二、反幂法
三、带原点位移的反幂法
四、反幂法的特点
第三章 矩阵的特征值与特征向量
3.1幂法与反幂法
一、乘幂法
1、基本思想
2、算法（迭代公式） ◆一般算法
具体算法: （1）使用范数 2
1 X 1 yk , k 1 1 X 1
（2）使用范数
uk A yk 1
令
k
er u k er y k 1
T
T
k
lim k 1
留为作业自学
具体算法: （1）使用范数 2 1 X 1 yk , k 1 1 X 1
1 2 n
第三章 矩阵的特征值与特征向量
一、乘幂法 1、基本思想 设A有n个线性无关的特征向量 X 1 , X 2 ,, X n ，
AX j j X j , j 1,2,, n
3.1幂法与反幂法
★ 设 1为实数而且是单根： 1 2 n
u0 1 X 1 2 X 2 n X n
具体算法: 按取范数的不同， 迭代公式也不同。 （1）使用范数 2
任取初始向量u0 R n T k 1 u k 1 u k 1 u k 1 yk 1 k 1 (3.4) u k A yk 1 k yk 1T uk k 1,2,
T
精确结果：
X 1 (0,0.5,1) , 1 45
T
max( uk ) 表示 u k 的绝对值最大的分量。 （3）
数值分析
数值分析 第一章： 误差估计绝对误差，相对误差，有效数字。
大数吃小数。
（填空）三角分解（大题）杜利脱尔分解，克洛脱分解，乔列斯基分解，平方根法，追赶法， 例 1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别读出长度为 ，问： 各是多少？两直杆的实际长度 在什么范围内？ 例2 设 是分别由准确值 经过四舍五入而得到的近似值， 问： 各是多少？例3 下列近似值的绝对误差限都是0.005， 问：各个近似值有几位有效数字？求和时从小到大相加，可使和的误差减小。
1、下列各近似值均有四位有效数字，试指出它们的绝对误差限和相对误差限。
2、下列近似值的绝对误差限都是0.0005，试指出它们有几位有效数字。
3、在四位十进制的限制下，试选择精确度最高的算法，计算下式的值。
答案：1、0.000005,0.03712%;0.005,0.04052%;0.0005,0.04167%.2、4、2、03、1342004、 高斯消去法步骤：(1) 首先将增广阵 [ A, b ] 化为上三角阵； (2) 用三角方程组，回代求解 。
例1在四位十进制的限制下，分别用不选主元高斯消去法与列选主元高斯消去法求解下列方程组。
mm b mm a 24,312==)( ,)( ,)(,)(b a b a r r εεεεm m y m m m m x m m b b b a a a m m b a r r 5.245.23,5.3125.311%,08.2245.0)()( %,16.03125.0)()( ,5.0)()(≤≤≤≤≈==≈====εεεεεε1200.2,18.2=-=b a )( ,)( ,)(,)(b a b a r r εεεε%0024.01200.200005.0)()( %,23.018.2005.0)()( 05000.0)(,005.0)(≈==≈====b b b a a a b a r r εεεεεε41086.0,0312.0,38.1-⨯=-==c b a 200.1,341.12,01347.0-=-==c b a 00032.0,042.0,00031.1-==-=c b a 906050401013402++++⨯=u )1(41,1411---==+n n n n y ny n y y 1231231230.012 0.0100.1670.67810.8334 5.91012.132001200 4.2981x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解：用顺序消去法的消元过程：回代后，得列选主元高斯消去法的消元过程：回代后，得杜利脱尔分解：如果方程组 Ax =b 的系数阵 A 能分解为A =LU ， 其中，L 是下三角矩阵，U 是上三角矩阵.例1.3 用矩阵的杜利脱尔（Doolittle ）分解解方程组解：设 比较两边系数得:3215.546,100.0,104.0x x x ===-3215.546,45.76,17.46x x x ==-=11121212221210010010n n n n nn u u u l u u A l l u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0.01200.0100.16700.67811.0000.8334 5.91012.1032001200 4.200981.0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦320.01200.0100.16700.678100.1000108.01044.4101467445410179810-⎡⎤⎢⎥→⨯--⎢⎥⎢⎥--⨯-⨯⎣⎦3550.01200.0100.16700.678100.1000108.01044.4100117510654710-⎡⎤⎢⎥→⨯--⎢⎥⎢⎥-⨯-⨯⎣⎦0.01200.0100.16700.67811.0000.8334 5.91012.1032001200 4.200981.0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦232001200 4.200981.000.45845.90911.7900.5500100.16700.6744-⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⨯⎣⎦32001200 4.200981.000.4584 5.90911.79000.096090.5329⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦.201814513252321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x LU u u u u u u l l l =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332322131211323121111513252321⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=======2454132321333223223121131211u l u u l l u u u ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2441321153121U L 于是练习： 用矩阵的杜利脱尔（Doolittle ）分解 A=LU 解方程组。
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当前位置：第7章>>第1节>>7.1.3
逆幂法
逆幂法是求实方阵按模最小特征值及相应的特征向量的一种反迭代方法。
1. 求A按模最小的特征值
设非奇异矩阵A的n 个特征值为，其相应的特征向量为e ，则的特征值为
其相应的特征向量仍为。
按模最大的特征值的倒数则为矩阵A按模最小的特征值。
利用乘幂法求按模最大的特征值。
任取初始非零初始向量，作迭代序列
它等价于
（7.5）
我们可以通过反迭代过程，即解方程组. 求得.
当k 充分大时，则有
在实际计算中，为了减少运算量，先将矩阵A作三角分解A=LR
然后再求解方程组
2．求在附近的特征值
设与最接近的特征值为即有
作矩阵，它的特征值和相应的特征向量为
若用逆幂法于矩阵，则有
则可求出矩阵的按模最小的特征值和相应的特征向量为
于是得A在附近的特征值和相应的特征向量为
（7.6）
例3 用逆幂法求矩阵在3.4附近的特征值和相应的特征向量
解对进行三角分解得：
用半次迭代法，取，则
得
再解
得
再解
得
于是
练习7.1 1.用乘幂法求矩阵按模最大特征值与特征向量
. 乘幂法的计算公式
设矩阵A的n个特征值按模的大小排列为：
其相应的特征向量为且它们是线性无关的。
先任取非零初始向量，作迭代序列
首先将表示为
所以
为了得出计算和的公式，下面分三种情况讨论
1．为实根，且。
当不为0，k充分大时，则有
所以（7.1）2．为实根，且。
当不为0，k充分大时，则有
（7.2）于是得
从而有
（7.3）3．,且。
当k充分大时，则有
在实际应用幂法时，可根据迭代向量个分量的变化情况判断属于那种情况。
若迭代向量各分量单调变化，且有关系式，则属于第1种情况；
若迭代向量各分量不是单调变化，但有关系式，则属于第2种情况；
若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式，则属于第3种情况；为了防止溢出，可采用迭代公式：
（7.4）
例2 乘幂法求矩阵按模最大特征值和相应特征向量。
解取，用乘幂法迭代公式
计算列表如下：
所以
事实上，矩阵的最大特征值为其相应的特征向量为。