乘幂反幂法

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逆幂法

逆幂法是求实方阵按模最小特征值及相应的特征向量的一种反迭代方法。

1. 求A按模最小的特征值

设非奇异矩阵A的n 个特征值为，其相应的特征向量为e ，则的特征值为

其相应的特征向量仍为。

按模最大的特征值的倒数则为矩阵A按模最小的特征值。

利用乘幂法求按模最大的特征值。

任取初始非零初始向量，作迭代序列

它等价于

（7.5）

我们可以通过反迭代过程，即解方程组. 求得.

当k 充分大时，则有

在实际计算中，为了减少运算量，先将矩阵A作三角分解A=LR

然后再求解方程组

2．求在附近的特征值

设与最接近的特征值为即有

作矩阵，它的特征值和相应的特征向量为

若用逆幂法于矩阵，则有

则可求出矩阵的按模最小的特征值和相应的特征向量为

于是得A在附近的特征值和相应的特征向量为

（7.6）

例3 用逆幂法求矩阵在3.4附近的特征值和相应的特征向量

解对进行三角分解得：

用半次迭代法，取，则

得

再解

得

再解

得

于是

练习7.1 1.用乘幂法求矩阵按模最大特征值与特征向量

. 乘幂法的计算公式

设矩阵A的n个特征值按模的大小排列为：

其相应的特征向量为且它们是线性无关的。

先任取非零初始向量，作迭代序列

首先将表示为

所以

为了得出计算和的公式，下面分三种情况讨论

1．为实根，且。

当不为0，k充分大时，则有

所以（7.1）2．为实根，且。

当不为0，k充分大时，则有

（7.2）于是得

从而有

（7.3）3．,且。当k充分大时，则有

在实际应用幂法时，可根据迭代向量个分量的变化情况判断属于那种情况。

若迭代向量各分量单调变化，且有关系式，则属于第1种情况；

若迭代向量各分量不是单调变化，但有关系式，则属于第2种情况；

若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式，则属于第3种情况；为了防止溢出，可采用迭代公式：

（7.4）

例2 乘幂法求矩阵按模最大特征值和相应特征向量。

解取，用乘幂法迭代公式

计算列表如下：

所以

事实上，矩阵的最大特征值为其相应的特征向量为