(完整版)北京大学2018年博雅计划数学真题
博雅计划试题
博雅计划试题博雅计划试题"博雅计划”是北京大学2015年推出的高考自主招生改革计划,很多人都会需要试题,这是小编找的试题,希望能对你有所帮助。
博雅计划试题选择题共20小题.在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确选项的代号填在表格中,选对得5分,选错扣1分,不选得0分.1.直线y=-x+2与曲线y=-ex+a相切,则a的值为()A.-3B.-2C.-1D.前三个答案都不对2.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c,则下面四个结论中正确的个数为()(1)以a,b,c为边长的三角形一定存在(2)以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在(3)以a+b2,b+c2,c+a2为边长的三角形一定存在(4)以a-b+1,b-c+1,c-a+1为边长的三角形一定存在A.2B.3C.4D.前三个答案都不对3.设AB,CD是⊙O的两条垂直直径,弦DF交AB于点E,DE=24,EF=18,则OE等于()A.46B.53C.62D.前三个答案都不对4.函数f(x)=1p,若x为有理数qp,p与q互素,0,若x为无理数,则满足x∈(0,1)且f(x)>17的x的个数为()A.12B.13C.14D.前三个答案都不对5.若方程x2-3x-1=0的根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根,则a+b-2c的值为()A.-13B.-9C.-5D.前三个答案都不对6.已知k≠1,则等比数列a+log2k,a+log4k,a+log8k的公比为()A.12B.13C.14D.前三个答案都不对7.cosπ11cos2π11…cos10π11的值为()A.-116B.-132C.-164D.前三个答案都不对8.设a,b,c为实数,a,c≠0,方程ax2+bx+c=0的'两个虚数根为x1,x2满足x21x2为实数,则∑2015k=0x1x2k等于()A.1B.0C.3iD.前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆,每堆4个,则不同的分法种类为()A.34650B.5940C.495D.前三个答案都不对10.设A是以BC为直径的圆上的一点,D,E是线段BC上的点,F是CB延长线上的点,已知BF=4,BD=2,BE=5,∠BAD=∠ACD,∠BAF=∠CAE,则BC的长为()A.11B.12C.13D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K,大圆的弦AB与小圆切于L,已知AK∶BK=2∶5,AL=10,则BL的长为()A.24B.25C.26D.前三个答案都不对12.f(x)是定义在实数集R上的函数,满足2f(x)+f(x2-1)=1,x∈R,则f(-2)等于()A.0B.12C.13D.前三个答案都不对13.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法是()A.30B.36C.42D.前三个答案都不对14.已知正整数a,b,c,d满足ab=cd,则a+b+c+d有可能等于()A.101B.301C.401D.前三个答案都不对15.三个不同的实数x,y,z满足x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2,则x+y+z等于()A.-1B.0C.1D.前三个答案都不对16.已知a+b+c=1,则4a+1+4b+1+4c+1的最大值与最小值的乘积属于区间()A.[10,11)B. [11,12)C. [12,13)D.前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD中,BD=6,∠ABD=∠CBD=30°,则四边形ABCD的面积等于()A.83B.93C.123D.前三个答案都不对18.1!+2!+…+2016!除以100所得的余数为()A.3B. 13C.27D.前三个答案都不对19.方程组x+y2=z3,x2+y3=z4,x3+y4=z5,的实数解组数为()A.5B.6C.7D.前三个答案都不对20.方程x3+x33+x3+x3=3x的所有实根的平方和等于()A.0B.2C.4D.前三个答案都不对参考答案1.A.由切点在切线y=-x+2上,可设切点坐标为(x0,2-x0).又切点(x0,2-x0)在曲线y=-ex+a上,可得2-x0=-ex0+a.再由y=-ex+a,得y′=-ex+a,可得曲线y=-ex+a在切点(x0,2-x0)处切线的斜率为-ex0+a.又切线y=-x+2的斜率为-1,所以-ex0+a=-1.进而可得2-x0=-ex0+a=-1,x0=3,a=-3.2.B.可不妨设0c.结论(1)正确:因为可得a+2ab+b>c,(a+b)2>(c)2,a+b>c.结论(2)错误:2,3,4是一个三角形的三边长,但22,32,42不会是某个三角形的三边长.结论(3)正确:因为可得a+b2≤c+a2≤b+c2,a+b2+c+a2>b+c2.结论(4)正确:因为|a-b|+1=b-a+1,|b-c|+1=c-b+1,|c-a|+1=c-a+1,所以|a-b|+1≤|c-a|+1,|b-c|+1≤|c-a|+1,(|a-b|+1)+(|b-c|+1)≥|(a-b)+(b-c)|+2>|c-a|+1.3.解法1C.如图1所示,设⊙O的半径为r,由相交弦定理和勾股定理,可得24·18=AE·EB=(r+OE)(r-OE)=r2-OE2,242=r2+OE2,把它们相加后,可求得OE=62.4.D.由x∈(0,1)知,在f(x)的解析式中可不妨设p,q∈N,p>q,(p,q)=1.由f(x)>17,可得x=qp,f(x)=1p>17;p=2,3,4,5,6,进而可得x=12,13,23,14,34,15,25,35,45,16,56所以满足题设的x的个数为11.5.A.解法1D.因为x4+ax2+bx+c=(x2-3x-1)(x2+3x+a+10)+(3a+b+33)x+a+c+10,所以由题意,得方程x2-3x-1=0的两个根3+132,3-132均是方程(3a+b+33)x+a+c+10=0的根,所以3a+b+33=a+c+10=0.得a+b-2c=(3a+b+33)-2(a+c+10)-13=-13.解法2D.由题设,可得(x2-3x-1)(x4+ax2+bx+c).又注意到x4+ax2+bx+c不含x3项,所以x4+ax2+bx+c=(x2-3x-1)(x2+3x-c),x4+ax2+bx+c=x4-(c+10)x2+3(c-1)x+c.8.B.因为实系数一元二次方程的两个虚数根是一对共轭复数,所以可设x1=r(cosθ+isinθ),x2=r[cos(-θ)+isin(-θ)](r>0).得x21x2=r(cos3θ+isin3θ),因为x21x2为实数,所以θ=kπ3(k∈Z),再得x1x2=cos2kπ3+isin2kπ3≠1x1x22016=cos2kπ3·2016+isin2kπ3·2016=cos(2kπ·672)+isin(2kπ·672)=1,所以∑2015k=0x1x2k=1-x1x220161-x1x2=0.9.D.这是均匀分组问题,不同的分法种类为C412C48C443!=5775.10.A.如图3所示,由∠BAF=∠CAE,∠BAC=90°,得∠EAF=90°.又因为∠BAD=∠ACD,所以AD⊥BC.得DE·DF=AD2=BD·DC,(5-2)(4+2)=2DC,DC=9,BC=BD+DC=2+9=11.图3图411.B.如图4所示,设BK与小圆交于点M,连结ML,设CD为两圆在公共点K处的公切线.由弦切角定理,得∠BAK=∠DKM=∠KLM.又因为∠KLA=∠KML,所以∠AKL=∠BKL.再由三角形角平分线性质,可得ALBL=AKBK,可求得BL=25.12.C.在题设所给的等式中分别令x=0,1,-1,得2f(0)+f(-1)=1,2f(1)+f(0)=1,2f(-1)+f(0)=1,可解得f(0)=f(1)=f(-1)=13.再在题设所给的等式中令x=-2,得2f(-2)+f(1)=1,所以f (-2)=13.图513.A.在图5所示的正9边形ABCDEFGHI中,以A为顶角的顶点的等腰三角形有且仅有4个(△ABI,△ACH,△ADG,△AEF),其中有且仅有△ADG是正三角形.所以所求答案是3·9+93=30.14.B.考虑a=mn,b=pq,c=mp,d=nq(m,n,p,q∈N*),得a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=(m+q)(n+p),所以只要选a+b+c+d是合数即可.而101,401都是质数,且301=7·43=(1+6)(1+42),所以取m=1,q=6,n=1,p=42,得a=1,b=252,c=42,d=6,所以本题选B.15.D.可设x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2=m,得x,y,z是关于t的一元三次方程t3-3t2-m=0的三个实数根.由韦达定理,得x+y+z=3.16.解法1C.设f(x)=4x+1,得f′(x)=24x+1,f″(x)=-4(4x+1)-32<0,。
2018年北京大学自主招生数学试题含解析
一、选择题(选对得10分,不选得0分,选错扣5分)1、整数z y x ,,满足1=++zx yz xy ,则()()()222111z y x+++可能取到的值为()A.16900B.17900C.18900D.前三个答案都不对2、在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数,已知这50个数中任两个的和都不等于99,也不等于100.这50个数的和可能等于()A.3524B.3624C.3724D.前三个答案都不对3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0 x ,对任意实数a ,函数1cos 2cos 2+-=x a x y 的最小值记为()a g ,则当a 取遍所有实数时,()a g 的最大值为()A.1B.2C.3D.前三个答案都不对4、已知2020210-是n 2的整数倍,则正整数n 的最大值为()A.21B.22C.23D.前三个答案都不对5、在凸四边形ABCD 中,4=BC ,60=∠ADC ,90=∠BAD ,四边形ABCD 的面积等于2ADBC CD AB ⋅+⋅,则CD 的长(精确到小数点后1位)为()A.6.9B.7.1C.7.3D.前三个答案都不对二、填空题(填空题共5小题;请把每小题的正确答案填在横线上,每题10分)6、满足等式2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++x x 的整数x 的个数是_______.7、已知[]4,2,,,∈d c b a ,则()()()22222cbdacd ab +++的最大值与最小值的和为_______.8、已知对于任意的实数[]5,1∈x ,22≤++q px x ,不超过22q p +的最大整数是_______.9、设bc a c b x 2222-+=,ca b a c y 2222-+=,ab c b a z 2222-+=,且1=++z y x ,则201520152015z y x ++的值为_______.10、设n A A A ,,,21 都是9元集合{}9,,2,1 的子集,已知i A 为奇数,n i ≤≤1,j i A A 为偶数,n j i ≤≠≤1,则n 的最大值为_______.2018年北京大学自主招生选拔录取考试数学部分参考答案一、选择题1、A解析:()()()()()()()2222111x z z y y x z y x+++=+++.令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,13,5,2x z z y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.8,3,5z y x 经检验,这组解满足题意,此时()()()16900111222=+++z y x .2、D解析:考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组:(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50,则必有2个数位于(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组,不合题意.所以这50个不同的正整数中必有50,而(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中,每组有且只有一个数被选中.因为50+49=99,所以(49,51)中选51;因为51+48=99,所以(48,52)中选52;以此类推,可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法.经检验,选50,51,52,⋯,98,99满足题意,此时50+51+⋯+98+99=3725,故选D.3、A解析:令[]1,0cos ∈=x t ,令()122+-=at t t h ,[]1,0∈t 则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<=1,2210,1012a a a a a a g ,故()a g 的最大值为1(0≤a 时等号成立).4、D解析:1()()()()()1555515151521522102345102020202020++++-++=-=-,而1510+模4余2,155+模4余2,15555234++++为奇数,故正整数n 的最大值为24.5、A解析:设四边形ABCD 的面积为S ,直线AC ,BD 的夹角为θ,则2sin 22sin ADBC CD AB AD BC CD AB BD AC S ⋅+⋅≤⋅⋅+⋅≤⋅⋅=θθ,由题意,2ADBC CD AB S ⋅+⋅=,所以D C B A ,,,四点共圆,且BD AC ⊥.故9.634≈=CD ,选A.二、填空题6、11解析:若x 为正整数,则2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+>>⎪⎭⎫⎝⎛++e x x ,若x 为负整数,令()2,≥∈-=*n N n n x ,则1111111-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n x n x .因为数列()2,1111≥∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+*-n Nn n n 关于n 单调递增,故当且仅当2016-=x 时,有2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x .7、2541解析:注意到()()()()222222bd ac cd ab c bda -++=++,于是()()()()()()22222222211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++++=+++cd ab bd ac bd ac cd ab cd ab c b d a cd ab ,显然当0=-bd ac 时,原式取得最大值为1.接下来考虑cdab bdac +-的最大值.由于1+⋅-=+-cb d ac bd a cd ab bd ac ,令αtan =d a ,βtan =c b ,则问题等价于当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2arctan ,21arctan ,βα时,求βα-tan 的最大值,显然为4321arctan2arctan tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-.因此原式的最小值为2516.注:可以看做向量()d a ,和()c b ,夹角余弦的平方.8、9解析:注意到q px x y ++=2,[]5,1∈x 满足22≤≤-y ,因此符合题意的二次函数只有两个:762+-=x x y ,762-+-=x x y9、1解析:由1=++z y x ,可得()()()()()()()()()()22222223223322322322322=-------=-+-++-+-=-++-++--+=--++-++-+b a c a c b c b a b a c c b a c b a b a abc c b c a c bc ac b a b a ab abc c c b c a b b a bc a ac ab 所以c b a +=或a c b +=或b a c +=,故1201520152015=++z y x .10、9解析:构造是容易的,取{}i A i =,9,,2,1 =i 即可.用0,1表示集合中的元素是否在子集中,如{}9,5,4,3,11=A ,则记()1,0,0,0,1,1,1,0,11=A ,那么j i j i A A A A =⋅.显然,如果当10≥n 时,必然存在m 个向量线性相关,不妨设()0,,0,02211 =+++m m A A A λλλ,其中()m i Z i ,,2,1 =∈λ,11=λ.此时考虑()m m A A A A λλλ+++⋅ 22111,那么根据题意有11A A ⋅为奇数,而()m i A A i ,,3,21 =⋅为偶数,这样就推出了矛盾.因此所求n 的最大值为9.注:用这个方法,可以得出n 元集合至多有n 个包含奇数个元素的子集,使得这些子集中任意两个的交集均包含偶数个元素.。
14-18年北清自招博雅领军数学真题-数论基础与整除
北大博雅15.1.已知n为不超过2015的正整数,且1234n n n n+++的个位数字为0,则满足条件的正整数n的个数为()A.1511B.1512C.1513D.前三个答案都不对清华领军2015.18.已知存在实数r,使得圆周222x y r+=上恰好有n个整点,则n可以等于()A.4B.6C.8D.12分类存疑北大博雅2016.4.函数1,,(,)1,,(),0,qx p q p q NP pf xQ+⎧==∈⎪=⎨⎪∉⎩则满足(0,1)x∈且1()7f x>的x的个数为()A.12B.13C.14D.前三个答案都不对4.【解答】D满足(0,1)x∈,且1()7f x>的x的个数为11,分别为1121312341523344555566,,,,,,,,,,。
【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分,但是对于学生的要求很低,只需要准确理解题意即可,问题本身并不困难。
北大博雅2016.14.已知正整数,,,a b c d满足ab cd=,则a b c d+++有可能等于()A.101B.301C.401D.前三个答案都不对14.【解答】B考虑a=mn,b=pq,c=mp,d=nq则a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=(m+q)(n+p),于是a+b+c+d不是质数即可。
如301=7×43=(1+6)×(1+42),于是a=1,b=252,c=42,d=6即得正确答案是B。
【评析】数论不定方程问题,其中的换元方法是数论中的经典。
北大博雅2017.1.若正整数,,a b c满足402a b c++=,则使得10n| abc的最大正整数n是()A.5B.6C.7D.以上答案均不正确【1】Da=25,b=25,c=352时,n 可取4,下面我们将说明n 不可能大于4:若n ≥5,先考虑5n |abc :由于a+b+4=402,而402并不是5的倍数,所以abc 不可能均为5的倍数。
(完整)北京大学2018年博雅人才培养计划试题
北京大学2018年博雅人才培养计划试题一、选择题1.以下带点的汉字读音相同的一组是()A.薄.田薄.地B.干劲.劲.旅C.不胜.枚举胜.利D.溃.烂溃.脓2.下列各组词语中加点的字读音相同的一组是( )A.中.药大黄山中.大王B.埋.怨埋.藏C.伐木丁丁..丁丁..漏水夜何长D.曝.晒曝.光3.下列词语中用字正确的一组是()A.自暴自弃针贬时弊比比皆是寥若晨星B.含辛茹苦拭目以待穿流不息绿树成荫C.书画精萃浮想联翩迥然不同跌宕起伏D.英雄气概美轮美奂变本加厉眼花缭乱4.以下有三个错别字的一组词是()A.编篡床第之私沉湎渲泄B.灸手可热饮鸩止渴世外桃源大拇指C.趋之若骛追溯额手称庆发韧D.磬竹难书青睐痉挛一幅对联5.以下句子中,没有错别字的是( )A.西亚国家以色列开源截流,技术用水,使水资源得以充分合理地利用,其经验值得各国借鉴。
B.他执着地追求自己的理想,不为世俗嘲笑所动,将伤痕变成自己的勋章,将旁观者的垢骂作为自己的踏脚石,一步步地向梦想进发。
C.而斯巴达却完全相反,那是一个贫瘠而且了无生趣的国家.D.那些人正虎视耽耽地积极搜寻这批“宝藏”。
6.以下繁简对应不正确的一组是( )A.简体:干细胞繁体:乾細胞B.简体:姜太公繁体:姜太公C.简体:瞭望繁体:瞭望D.简体:肤色繁体:膚色7.以下各组中带点的字在繁体字中没有共同偏旁的一组是()A.喜欢.参观.权.力灌.溉鹳.鸟B.挑拣.练.习锤炼.楝.树阑.干C.遥远.花园.猿.猴轩辕.袁.氏D.了.解明了.瞭.望官僚.了.结8.以下对“陈留,天下之衝"中“衝”字解析有误的是()A.“衝"是形声字B.“衝”的意符是彳C.“衝”的本义为交通要道D.“衝"字简化后写作“冲”9.以下四个字按笔画多少排列的一组是()A.谀象鼎溪B.象谀溪鼎C.谀鼎象溪D.溪鼎谀象10.以下各组汉字,按字形结构“象形→指事→会意→形声"排列的是()A.虎、夕、朝、大B.眉、中、取、遘C.鼎、亦、伐、莫D.车、问、甘、和二、阅读下文,回答下列问题孔子的洒脱周国平我喜欢读闲书,即使是正经书,(1)当闲书读.譬如说《论语》,林语堂把它当作孔子的闲谈读,读出了许多幽默,这种读法就很对我的胃口。
北京大学2018年博雅计划数学真题
二3牛日刚叼北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题,在每小题的四个项中,只有一项符合题目要求,请把正确选项的代号填在表格中,选对得5分,选错扣1分,不选得0分。
1.设〃为正整数,C:=,“,为组合数,则30*8 + 50^+...+ 4037黑等于( )k\(n-K)\A. 2018-22018B. 2018!C. C:黑D.前三个答案都不对【答案】D解析:2k + 1)C:= 2,kC: + £c:= 2±nC^ += 2n±C^ +,k=0Jt=0 k=0Jt=l £=0 Jt=l £=02018 201S 2018「•+ 3c短 + 5c短 + …+ 4037C;黑=£(2八1)C*§ = 2 x 2018 x £ C/ + £ C机A=0 £=1 jt=0=4036x22017 + 22018 = 2019x22O1S,故选Do2.设o, b, c为非负实数,满足o+b+c=3,则。
+ob+obc的最大值为( )A. 3B.4C. 372D.前三个答案都不对【答案】B解析:a + ab + abc = a(l + b(l + c))<a[ 1+ + c) =。
i + __—,对其求导得至= 2时取I 4 J I 4 J最大值为4。
3. 一个正整数〃称为具有3-因数积性质若〃的所有正因数的乘积等于/,则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为()A. 55B. 50C. 51D.前三个答案都不对【答案】C解析:设〃的所有正因数的乘积为八即T = 〃、〃显然符合题意;下面证明当〃之2时,正整数〃的质因数的个数最多为2:假设〃的质因数的个数大于或等于3,即〃的全部质因数为P],P”...,P A.伏之3),并设〃= pfpj...p『,则〃的所有正因数的乘积中,p:(i = L2,…公至少在,p:p],有p?,,p:p,T,p;,p:p k,p:p2...p k这些因子中出现,即R%出现的次数大于或等于4,这样7"之(p;p/...pf*)4=〃>这与题意r = 〃3 矛盾,所以假设不成立,即〃的质因数的个数最多为2。
2018北京大学博雅计划真题解析版 w - 数学
数学【真题1】已知!C !()!k m m k m k =-0123201820182018201820182018C +3C +5C +7C ++4037C L 的值为.A.201820192⨯B.2018!C.20184036CD.前三个答案都不对【真题2】已知△ABC 面积为1,D,E 分别是边BC 、AC 上的点,且13BD BC =,13CE CA =,AD,BE 交于点P ,则四边形CDPE 的面积是. A.12 B.23 C.17D.前三个答案都不对 【真题3】[x ]为不超过x 的最大正整数,a n 为满足:x ∈[0,n ),[x [x ]]可能取到的所有值的个数,则2018n a n+取到最小值时n 的取值 . A.63B.1009C.2018D.前三个答案都不对【真题4】已知n 为不超过400的正整数,n 的所有正因数的乘积为n 3,则满足条件的n 有____个A.50B.51C.55D.前三个答案都不对 【真题5】三边长均为正整数的三角形,周长为n ,S n 表示符合该条件的三角形的个数,则20182015S S -=. A.-3 B.0C.3D.前三个答案都不对【真题6】已知a,b,c 为非负实数,a+b+c =3,求a+ab+abc 的最大值.A.3B.4C.D.前三个都不对【真题7】设a,b,c 为公差不为0的等差数列,点(3,2)P -,(2,3)Q ,过点P 作PM 垂直于直线ax+by+c =0,垂足为M ,则|MQ |的最小与最大值乘积为 .A.10B.C.D.前三个都不对 【真题8】15个人圆成一圈,选4人,两两不相邻,有多少种选法?A.1560B.450C.0D.前三个都不对【真题9】_____A.(6,7]B.(7,8]C.(8,9]D.前三个答案都不对【真题10】 设()123,,,,1,2,3i a a a a i =L L 是一组从小到大的非完全平方数(正整数)例如122,3a a ==则2018a 等于 . A.2061B.2062C.2063D.前三个都不对【真题11】 在立方体1111ABCD A B C D -中,1AD 中点为M ,1B C 中点为N ,CM 与1D N所成角的余弦值.A.12B.23C.34D.前三个答案都不对【真题12】4的根的个数共有_____个A.0B.1C.3D.前三个答案都不对【真题13】 P 是椭圆22154x y +=上的一点,则是 .A.B.C.D.前三个答案都不对【真题14】 方程222|1|0x x a a x -++-=三个根,则a 的取值范围为.A.(,1]-∞-B.[1,)∞C.[1,0)(0,1]-UD.前三个都不对【真题15】 122018122018,,,,,,,a a a b b b L L 互异对任意(1,2,,2018)i a i =L 满足122018()()()=2018i i i a b a b a b +++L ,求任意i b 则122018()()()i i i a b a b a b +++L A.2018 B.2018- C.0 D.前三个都不对【真题16】 在2018个正整数任取3个数不相邻的取法种数为_____________。
2017年北大博雅计划数学试题及答案
【5】C
1471013…20142017 的数值即
lx1Cf1 +4xl<f4 +7xl<f'1 代.+2014xl俨14 +2017xl庐17
其中 a1, a4, a1,…, ll2014,ll2011是对应数宇出现的数位数,比如 2017 出现在原数字的笫 0 位,
2014 出现在第 4 位等。 注意到 10 的方幕除以 9 的余 数一定是 1' 1471013...20142017 =1+4+7+…+2014+2017 = 673 X1009 三 7(mod9)
=-9 , s
即
SMoD=— 92x.
故 liDOA 的内切圆半径是?雾 2
答案为 A.
【评析】此题导向非常明确:通过周长和内切圆半径来求得三角形面积。有了面积之后,再 通过共边定理获得另一个三角形的面积值。 较为容易。
【8】C.
9 +95+995+… +99 …95=(10-1)+(100 -5)+(1000-5)+… +(102017 -5)
故n的最大可能值 不大于5 .我们设法构造取到 5 的情形。 a,b,c 所含 5 的幕次和 不小于 5 。 幕次和为6的情形上已排除, 故幕次和为 5 。 由于a,b,c
中至少有一个不是 5 的倍数,故 a,b,c必有一个被 2 5 整除,一个被 125 整除。我们尽力使这
两数所含 2 的幕次更大。为此, 取a==IOO, b=250 , 那么 C == 52 。此时 a,b,c 所含 2 的幕
小于n。而由于2,4,8... 的倍数在正整数集中分布比5,25,125的倍数密,即2的幕次不小于 n更容易达到。 故我们考虑 5 的幕次。 不大 于 402 的 5 的正 整 数幕最 大是 125, 故 a,b,c 各自所 含 5 的 幕 次最 高 是 3 . 而
2021北京大学博雅计划笔试数学试题及答案
ab a b c O EF北京大学博雅计划数学试题选择题(单选题,选对得 5 分,选错扣 1 分,不选得 0 分) 1.直线 y = -x + 2 与曲线 y = -e x +a 相切,则a 的值为A. -3【答案】 A B. -2C. -1 D . 前三个答案都不对【解析】由 y '= -ex +a= -1 得 x = -a ,再将 x = -a 代入原函数得 y = -1 = a + 2 , 故选 A2.已知 ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,则下面4 个结论中正确的个数为 (1)以 a 、b 、c 为边长的三角形一定存在;(2)以a 2、b 2、c 2为边长的三角形一定存在;a +b b +c a + c(3)以 、 、 为边长的三角形一定存在; 2 2 2(4)以| a - b | +1、| b - c | +1、| c - a | +1 为边长的三角形一定存在;A. 2【答案】 BB. 3C. 4 D . 前三个答案都不对【解析】不妨设a ≤ b ≤ c ,则需满足a + b > c 故 a + b + 2 > c ⇒ + > ,故(1)对;不妨设a = b = 1, c = 2 ,显然(2)错;显然b +c < a + c + a + b 成立,故(3)对; 2 2 2显然c - a +1 < b - a +1+ c - b +1成立,故(4)对. 故选 B3.设 AB 、CD 是 O 的两条垂直直径,弦 DF 交 AB 于点 E ,DE = 24, EF = 18 ,则OE等于A. 4 【答案】CB. 5C. 6D . 前三个答案都不对D【解析】设圆半径为 R , OE = x ,则由圆幂定理得AE ⋅ EB = DE ⋅ EF ⇒ (R + x )(R - x ) = 24⋅18AB 由勾股定理得OE 2 + OD 2 = DE 2 ⇒ R 2 + x 2 = 2426 3 2f (x ) = ⎪pp 解得 x = 6 4.函数,故选C⎧ 1, 若x 为有理数 q , p 与q 互素; ⎨ ⎪⎩0, 若x 为无理数. 则满足 x ∈ (0,1) 且 f (x ) > 1的 x 的个数为7 A. 12 【答案】 DB. 13C. 14 D . 前三个答案都不对【解析】满足条件的有 x 有 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 5,总共11个,故选 D2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 65.若方程 x 2- 3x -1 = 0 的根也是方程 x 4+ ax 2+ bx + c = 0 的根,则a + b - 2c 的值为A . -13【答案】 AB. -9C. -5D . 前三个答案都不对【解析】依题 x 2- 3x -1为多项式 f (x ) = x 4+ ax 2+ bx + c 的因式,不妨设x 4 + ax 2 + bx + c = (x 2 - 3x -1)(x 2 + px - c )则展开得 p - 3 = 0, -1- c - 3 p = a ,3c - p = b ⇒ a + c - 2b = -13 ,故选 A6.已知k ≠ 1,则等比数列a + log 2 k , a + log 4 k , a + log 8 k 的公比为A. 1 2【答案】 BB.1 3C. 14D . 前三个答案都不对【解析】设log k = x ,则即a + x , a + 1x , a + 1x 成等比数列,22 3(a + 1 x )2 = (a + x )(a + 1x ) 得 x = -4a 或 x = 0 (舍)2 3 进而得到 B 正确.7. cos π cos 2π的值为11 11 A. - 1 16【答案】 DB. - 1 32C. - 1 64 D . 前三个答案都不对【解析】cos 1 π cos 2 π cos 10 π = -(cos 1 π cos 2 π cos 5 )211 11 11 11 11 11 = -(cos 1 π cos 2 π cos 4 π cos 8 π cos 16π )211 11 11 11 112 cos 10π 11ABD E Oz A 325 cos 1 π cos 2 π cos 4 π cos 8 π cos 16 π= ( 11 11 11 11 11 )225 sin 1π11=- 11024,故选 Dz 28.设a 、b 、c 为实数,a , c ≠ 0 ,方程ax 2 + bx + c = 0 的两个虚数根为 z , z 满足1 为实数,2015z k1 22则 ∑ ( 1) 等于 k =0 z 2A. 1【答案】 BB. 0 D . 前三个答案都不对【解析】两个虚数根 z 1 , z 2 一定共轭,不妨设 z 1 = r (cos α + i sin α ), z 2 = r (cos α - i sin α )2则 1= r (cos α + isin 3α ) ,又其为实数,故sin 3α = 0 ,不妨设α = z 2 3zz k2015 z k 1= cos 2α + i sin 2α ⇒ ( 1) = cos 2k α + i sin 2k α ,故 ∑( 1 ) = 0 ,故选 B z 2 z 2 k =0 z 29. 将 12 个不同物体分为 3 堆,每堆 4 个,则不同的分法种类为A . 34650【答案】 DB .5940C 4 C 4C4C . 495D . 前三个答案都不对【解析】平均分组问题12 8 4 = 5775 ,故选 D 310.设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点,D , E 是线段 BC 上的点,F 是BC 延长线上的点, 已知 BF = 4, BD = 2, BE = 5, ∠BAD = ∠ACD , ∠BAF = ∠CAE , 则 BC 的长为A .11【答案】 AB .12C .13D . 前三个答案都不对【解析】因为∠BAD = ∠ACD ,所以 AD ⊥ BC 又因为∠BAF = ∠CAE ,所以∠FAE = ∠BAC =FC故由射影定理知: AD 2= FD ⋅ DE = BD ⋅CD 解得CD = 9 ,故 BC = 11,故选 AC . 3i z π11.两个圆内切于 K ,大圆的弦 AB 与小圆切于 L ,已知 AK : BK = 2 : 5, AL = 10, 则 BL 的长为A .24【答案】 BB .25C .26D . 前三个答案都不对【解析】由弦切角定理得∠EKB = ∠CLK = ∠KAB∠ALK = ∠LCK 故∠CKL = ∠AKL再由角平分线定理得 AK : BK = AL : BL故 BL = 25 ,故选 B12. f (x ) 是一个定义在实数 R 上的函数,满足 2f (x )+f (x 2 -1) = 1, ∀x ∈ R ,则 f (-2) 等于A .0【答案】CB . 12C . 1 3D . 前三个答案都不对【解析】代入 x = 0 得2 f (0) + f (-1) = 1代入 x = -1 得2 f (-1) + f (0) = 1 两式解方程得 f (-1) = 13再代入 x = 得2 f (- 2) + f (-1) = 1 ,解得 f (-2) = 1 ,故选C 313.从一个正9 边形的9 个顶点中选3 个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是 A .30 【答案】 AB .36C .42D . 前三个答案都不对 【解析】过每个顶点可做4 个等腰三角形,但其中等边三角形只有 3 个, 故4⨯ 9 - 6 = 30 ,故选 A14.已知正整数a ,b , c , d 满足ab = cd , 则a + b + c + d 有可能等于A .101【答案】 BB .301C .401D . 前三个答案都不对【解析】先证明a + b + c + d 为素数 由 ab = cd 得b =cd ,因此aa +b +c +d = a + cd + c + d = (a + c )(a + d )a a因 a + b + c + d 是整数,故 (a + c )(a + d )为整数.若它是一个素数,不妨设为 pa- 2 AKML COm n p m + n + p m n 21 m n p 7 则(a + c )(a + d ) = ap ,可见 p 整除(a + c )(a + d ) ,从而素数 p 整除 a + c 或a + d .不妨设p | (a + c ) ,则a + d ≤a ,这与a ,b ,c ,d 为正整数矛盾,故 p 不为素数. 所有选项中, 301 = 7 ⨯ 43不是素数,故选 B15.三个不同的实数 x , y , z 满足 x 3- 3x 2= y 3- 3y 2= z 3- 3z 2,则 x + y + z 等于A . -1【答案】 DB .0C .1D . 前三个答案都不对【解析】不妨设 x 3- 3x 2= y 3- 3y 2= z 3- 3z 2= m , 即 x , y , z 为方程x 3 - 3x 2 - m = 0的三个解,由三次函数的韦达定理得 x + y + z = 3 故选 D16.已知a + b + c = 1, 则 + 4b +1+的最大值与最小值的乘积属于区间A .[10,11)【答案】CB .[11,12)C .[12,13)D . 前三个答案都不对【解析】设m = 4a +1, n = 4b +1, p = 4c +1 ,则原题即已知三个非复数m , n , p 满足 m + n + p = 7 ,求 + + 的最大值与最小值由均值不等式得( )2 ≤ m + n + p =7即 + + 3 3 3p ≤ ,当且仅当m = n = p 时等号成立。
2019北京大学博雅计划综合评价强基计划数学
2019年北京大学博雅计划笔试数学试卷和解答1、金字塔可以视为正四棱锥,底面正方形的边长为200米,如果一个游客处在距离底面中心200米的圆周上,则该游客可以同时看见金字塔两个侧面的概率为()A、13B、12C、32D、前三个答案都不对2、已知函数��=�sin �,�>0,�∈0若��与其反函数�−1�有两个交点,则实数a 的取值范围是()A、0,1B、1D、前三个答案都不对3、函数��=+1−x 21+x 2的值域为()A、−2,1B、−2C、−2D、前三个答案都不对4、三棱锥P-ABC 中,底面ABC 是边长为2的正三角形,PB ⊥底面ABC,PB=1,M,N 分别为AC,AB 的中点,则异面直线BM 和PN 所成角的正弦值为()A、64B、54C、104D、前三个答案都不对5、已知函数��满足��+�=x ,则�2=()B、A、12B、1C、−1D、前三个答案都不对6、平面直角坐标系xOy 中一点A �−22+y 2=1上一点关于直线y=kx 对称,则k 的值为()A、1B、12C、33D、前三个答案都不对7、已知x,y,z 为正实数,且满足x +y +z =1,则��4�+19�+�4�+ 9�+1的最大值为()A、1576B、11024C、11296D、前三个答案都不对8、已知a ,b ∈ℂ,且对任意满足的 =1的复数z,均有 4+� 2+�=1,则ab=()A、iB、-iC、1D、前三个答案都不对9、从6个男生,4个女生中各选2人,进行羽毛球男女混合双打比赛,则不同的组合方式的种数为()B、A、60B、90C、180D、前三个答案都不对10、在平面直角坐标系xOy 中,满足�2+4�2−44�2+�2−1≤0的点P x ,y 构成的平面图形的面积为()A、�2B、�C、32�D、前三个答案都不对11、满足方程�3+2n 2+8n −5=a 3的非负整数解组�,�的对数为()A、0对B、1对C、3对D、前三个答案都不对12、复数 1, 2和O 点在复平面内组成的三角形面积记为S,若 3=2 1+3 2,则复数 1, 2和 3点在复平面组成的图形面积为()A、2SB、5SC、13SD、前三个答案都不对13、已知x,y,z >0,且x +y +z =1,则�2�+�2�+�2的最小值为()A、�2+�2+�2B、3�2+�2+�2C、�+�+�2D、前三个答案都不对14、若0<x <1,则tan ��,tan 2��2,tan �2�2的大小关系为()A、tan 2��2>tan ��>tan �2�2B、tan 2��2>tan �2�2>tan ��B、tan ��>tan 2��2>tan �2�2D、前三个答案都不对15、已知数列��满足�1=1,��+1=na n+1,在n 为足够大的值时,以下成立的是()A、�−1≤a n ≤�+1B、n ≤a n ≤n +1C、C、2�≤a n ≤2�+1D、前三个答案都不对16、用�表示不超过实数x 的最大整数,则方程�3−�=3的实数解个数为()A、0B、1C、2D、前三个答案都不对17、n 时任意正整数,13+23+33+⋯+�3的个位数不可能是()A、4B、9C、2D、前三个答案都不对18、凸四边形ABCD 中AB =BC =CA ,∠ACD =10°,∠DAC =20°,则∠BDC 的大小为()A、60°B、70°C、75°D、前三个答案都不对19、若a >b >0,且a 3−b 3a 2−b 2,则a+b 的取值范围是()A、0,1B、0C、1D、前三个答案都不对20、1×1!+2×2!+⋯+672×672!被2019除的余数是()A、1B、2017C、2018D、前三个答案都不对答案:1、答案:A解析:如图,作为金字塔俯视图,其中ABCD 为底面正方形,O 为底面中心。
2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 文科数学试题及详解 精编精校版
2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文 科 数 学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,每小题5分,共40分.1.已知集合{}2A x x =<,{}–2,0,1,2B =,则A B =I ( )A .{}0,1B .{}–1,0,1C .{}–2,0,1,2D .{}–1,0,1,21.【答案】A【解析】2x <Q ,22x ∴-<<,因此{}(){}2,0,1,22,20,1A B =--=I I ,故选A .2.在复平面内,复数11i-的共轭复数对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 2.【答案】D【解析】()()11i 11i 1i 1i 1i 22+==+--+的共轭复数为11i 22-,对应点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,在第四象限,故选D .3.执行如图所示的程序框图,输出的s 值为( )A .12B .56C .76D .7123.【答案】B【解析】初始化数值1k =,1s =循环结果执行如下:第一次:()1111122s =+-⋅=,2k =,23k =≥不成立; 第二次:()21151236s =+-⋅=,3k =,33k =≥成立,循环结束,输出56s =,故选B .4.设a ,b ,c ,d 是非零实数,则“ad bc =”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 4.【答案】B【解析】当4a =,1b =,1c =,14d =时,a ,b ,c ,d 不成等比数列,所以不是充分条件;当a ,b ,c ,d 成等比数列时,则ad bc =,所以是必要条件.综上所述,“ad bc =”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的必要不充分条件.故选B .5.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率f ,则第八个单音频率为( )A .32fB .322fC .1252fD .1272f 5.【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为122,()12122n n a a n n -+∴=≥∈N ,, 又1a f =,则()71277128122a a q ff ===,故选D .6.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )A .1B .2C .3D .4 6.【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥P ABCD -,在四棱锥P ABCD -中,2PD =,2AD =,2CD =,1AB =, 由勾股定理可知,22PA =22PC =3PB =,5BC =,则在四棱锥中,直角三角形有,PAD △,PCD △,PAB △共三个,故选C .7.在平面坐标系中,»AB ,»CD,»EF ,¼GH 是圆221x y +=上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边,若tan cos sin ααα<<,则P 所在的圆弧是( )A .»AB B .»CDC .»EFD .¼GH 7.【答案】C【解析】由下图可得,有向线段OM 为余弦线,有向线段MP 为正弦线,有向线段AT 为正切线.8.设集合(){},1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤,则( ) A .对任意实数a ,()2,1A ∈ B .对任意实数a ,()2,1A ∉ C .当且仅当0a <时,()2,1A ∉ D .当且仅当32a ≤时,()2,1A ∉ 8.【答案】D【解析】若()2,1A ∈,则32a >且0a ≥,即若()2,1A ∈,则32a >,此命题的逆否命题为, 若32a ≤,则有()2,1A ∉,故选D .第II 卷二、填空题:共6小题,每小题5分,共30分.9.设向量()10=,a ,()1,m =-b ,若()m ⊥-a a b ,则m =_________. 9.【答案】1-【解析】()10=Q ,a ,()1m =-,b ,()()()011m m m m m ∴-=--=+-,,,a b , 由()m ⊥-a a b 得,()0m ⋅-=a a b ,()10m m ∴⋅-=+=a a b ,即1m =-.10.已知直线l 过点()1,0且垂直于x 轴,若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为_________. 10.【答案】()1,0【解析】1a =,24y x ∴=,由抛物线方程可得,24p =,2p =,12p=, ∴焦点坐标为()1,0.11.能说明“若a b >,则11a b<”为假命题的一组a ,b 的值依次为_________. 11.【答案】1,1-(答案不唯一)【解析】使“若a b >,则11a b <”为假命题,则“若a b >,则11a b≥”为真命题即可,只需取1a =,1b =-即可满足.所以满足条件的一组a ,b 的值为1,1-.(答案不唯一)12.若双曲线()222104x y a a -=>的离心率为5,则a =_________. 12.【答案】4【解析】在双曲线中,2224c a b a =+=+,且5c e a ==,245a +∴=,22454a a +=,216a ∴=,04a a >∴=Q .13.若x ,y 满足12x y x +≤≤,则2y x -的最小值是_________. 13.【答案】3【解析】作可行域,如图,则直线2z y x =-过点()1,2A 时,z 取最小值3.14.若ABC △)2223a c b +-,且C ∠为钝角,则B ∠=_________;ca的取值范围是_________.14.【答案】60o ;()2+∞,. 【解析】)22231sin 2ABCS a c b ac B =+-=V Q ,22223a c b ac +-∴=,即cos B =sin cos B B ∴=3B π∠=,则21sin cos sin sin 1132sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+, C ∴∠为钝角,3B π∠=,06A π∴<∠<,)1tan 0tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭,, 故()2,ca ∈+∞.三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分)设{}n a 是等差数列,且1ln 2a =,235ln 2a a +=.(1)求{}n a 的通项公式;(2)求12e e e n a a a +++L .15.【答案】(1)ln2n ;(2)122n +-.【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,235ln 2a a +=Q ,1235ln 2a d ∴+=, 又1ln2a =,ln 2d ∴=,()11ln 2n a a n d n ∴=+-=. (2)由(1)知ln 2n a n =,ln 2ln 2e e e 2nn a n n ===Q ,{}e n a ∴是以2为首项,2为公比的等比数列,212ln 2ln 2ln 221e e e e e e =222=22nn a a a n n +∴+++=++++++-L L L , 121e e e =22n a a a n +∴+++-L .16.(本小题13分)已知函数()2sin cos f x x x x =+.(1)求()f x 的最小正周期;(2)若()f x 在区间3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32,求m 的最小值.16.【答案】(1)π;(2)π3.【解析】(1)()1cos 211122cos 2sin 222262x f x x x x x -π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭,所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.(2)由(1)知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,因为π3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,,所以π5ππ22666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦,. 要使得()f x 在π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32,即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为1.所以ππ262m -≥,即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.17.(本小题13分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率04.02.015.025.02.01.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加01.,哪类电影的好评率减少01.,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)17.【答案】(1)0025.;(2)0814.;(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.【解析】(1)由题意知,样本中电影的总部数是140503002008005102000+++++=.第四类电影中获得好评的电影部数是20002550⨯=.,故所求概率为5000252000=..(2)设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B .没有获得好评的电影共有14006500830008520007580008510091628⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=......部.由古典概型概率公式得()162808142000P B ==..(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率. 18.(本小题14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA PD ⊥,PA PD =,E ,F 分别为AD ,PB 的中点. (1)求证:PE BC ⊥;(2)求证:平面PAB ⊥平面PCD ; (3)求证:EF ∥平面PCD .18.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析. 【解析】(1)PA PD =Q ,且E 为AD 的中点,PE AD ∴⊥, Q 底面ABCD 为矩形,BC AD ∴∥,PE BC ∴⊥. (2)Q 底面ABCD 为矩形,AB AD ∴⊥,Q 平面PAD ⊥平面ABCD ,AB ∴⊥平面PAD ,AB PD ∴⊥.又PA PD ⊥,PD ⊥Q 平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面PCD . (3)如图,取PC 中点G ,连接FG ,GD .F Q ,G 分别为PB 和PC 的中点,FG BC ∴∥,且12FG BC =, Q 四边形ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点,ED BC ∴∥,12DE BC =,ED FG ∴∥,且ED FG =,∴四边形EFGD 为平行四边形, EF GD ∴∥,又EF ⊄平面PCD ,GD ⊂平面PCD , EF ∴∥平面PCD .19.(本小题13分)设函数()()23132e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦. (1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为0,求a ; (2)若()f x 在1x =处取得极小值,求a 的取值范围.19.【答案】(1)12;(2)()1,+∞. 【解析】(1)()()23132e x f x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦Q ,()()211e xf x ax a x ⎡⎤∴=-++⎣⎦', ()()2221e f a -'=,由题设知()20f '=,即()221e 0a -=,解得12a =. (2)方法一:由(1)得()()()()211e 11e x xf x ax a x ax x ⎡⎤=-++=--⎣⎦'. 若1a >,则当11x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,时,()0f x '<;当()1x ∈+∞,时,()0f x '>. 所以()f x 在1x =处取得极小值.若1a ≤,则当()01x ∈,时,110ax x -≤-<,()0f x ∴'>. 所以1不是()f x 的极小值点. 综上可知,a 的取值范围是()1,+∞. 方法二:()()()11e x f x ax x =--'.(1)当0a =时,令()0f x '=得1x =,()f x ',()f x 随x 的变化情况如下表:x()1-∞, 1 ()1,+∞()f x ' +0 -()f xZ 极大值]()f x ∴(2)当0a >时,令()0f x '=得11x a =,21x =. ①当12x x =,即1a =时,()()21e 0x f x x '=-≥,()f x ∴在R 上单调递增, ()f x ∴无极值,不合题意.②当12x x >,即01a <<时,()f x ',()f x 随x 的变化情况如下表:x()1-∞, 1 11a ⎛⎫⎪⎝⎭, 1a 1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭, ()f x ' +0 -0 +()f xZ 极大值] 极小值Z()f x ∴1x =③当x x <,即1a >时,()f x ',()f x 随x 的变化情况如下表:x1a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,1a 1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1 ()1+∞,()f x ' +0 -0 +()f xZ 极大值] 极小值Z()f ∴1x =1a >(3)当0a <时,令()0f x '=得11x a=,21x =,()f x ',()f x 随x 的变化情况如下表: x1a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,1a 1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()1+∞,()f x ' -0 +0 -()f x] 极小值Z 极大值](f ∴1x =综上所述,a 的取值范围为()1+∞,.20.已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>6,焦距为22k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B . (1)求椭圆M 的方程;(2)若1k =,求||AB 的最大值;(3)设()20P -,,直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点7142Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,共线,求k .20.【答案】(1)2213x y +=;(263)1.【解析】(1)由题意得222c =2c又6c e a ==3a =2221b a c =-=,所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=.(2)设直线AB 的方程为y x m =+,由2213y x m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=, 则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->,即24m <,设()11A x y ,,()22B x y ,,则1232mx x +=-,212334m x x -=,则12AB x -=, 易得当20m=时,max ||AB =AB . (3)设()11A x y ,,()22B x y ,,()33C x y ,,()44D x y ,,则221133x y += ①,222233x y += ②, 又()20P -,,所以可设1112PA yk k x ==+,直线PA 的方程为()12y k x =+, 由()122213y k x x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=, 则2113211213k x x k +=-+,即2131211213k x x k =--+,又1112y k x =+,代入①式可得13171247x x x --=+,所以13147y y x =+,所以11117124747x y C x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭,,同理可得22227124747x yD x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,. 故3371,44QC x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uuu r ,447144QD x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uuu r ,,因为Q ,C ,D 三点共线,所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,将点C ,D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-,即1k =.。
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(北京卷,含答案)
高考提醒一轮看功夫,二轮看水平,三轮看士气梳理考纲,进一步明确高考考什么!梳理高考题,进一步明确怎么考!梳理教材和笔记,进一步明确重难点!梳理错题本,进一步明确薄弱点!抓住中低档试题。
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保持平常心,顺其自然2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(北京卷)本试卷共5页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合A={(x||x|<2)},B={−2,0,1,2},则A B=I(A){0,1} (B){−1,0,1}(C){−2,0,1,2} (D){−1,0,1,2}(2)在复平面内,复数11i-的共轭复数对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为(A)12(B)56(C)76(D)712(4)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件(5)“十二平均律” 是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率f ,则第八个单音频率为 (A )32f (B )322f (C )1252f(D )1272f(6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(A )1 (B )2 (C )3(D )4(7)在平面坐标系中,»»»¼,,,AB CDEF GH 是圆221x y +=上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以O x为始边,OP 为终边,若tan cos sin ααα<<,则P 所在的圆弧是(A )»AB(B )»CD (C )»EF(D )¼GH(8)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则(A )对任意实数a ,(2,1)A ∈ (B )对任意实数a ,(2,1)A ∉ (C )当且仅当a <0时,(2,1)A ∉ (D )当且仅当32a ≤时,(2,1)A ∉ 第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(完整版)北京大学2018年“博雅计划”物理试题
f北京大学2018年“博雅计划”试题1.一定能量的光子在靠近原子核时可以变成一个电子和一个正电子,假如某光子通过原子核时放出的两个粒子在B =0.05T 的磁场中运动半径为50mm ,则该光子的能量为MeV ( )A. 0.75 B. 1.5C. 2.7D. 2.92.在水下50米处,温度为,一体积为的气泡上升至水面,水的温度为C ︒436-101m ⨯时,气泡体积为( )C ︒17A. B. -636.310m ⨯-632.810m ⨯C. D. -639.810m ⨯-6312.610m ⨯3.如图杨氏双缝干涉模型,若光源S 下移一下段距离,那么光屏上的条纹将如何变化( )A.条纹距离变大,条纹整体下移B.条纹间距不变,条纹整体下移C.条纹间距变小,条纹整体上移D.条纹间距不变,条纹整体上移4.如图A 、B 为两个带正电的点电荷,另有一个不带电导体球壳将电荷B 包围,那么以下说法正确的是( )A. 将点电荷B 与导体球壳接触,点电荷A 受力变小B. 将导体球壳接地,点电荷A 受力变小C. 在球壳内,移动点电荷B 至任意位置,点电荷A 受力不变D. 将点电荷B 移走,点电荷A 受力不变5.车辆在弯道上行驶,已知弯道半径为R ,倾角为,若车辆不受沿地面方向的力,规定θ行驶速度为V ,则;若路面结冰,且已知行驶速度,=θtan h km u /40=,,则车辆与冰面摩擦因数至少为 .m 200=R h V km 60=μ6.一质量为M 的物块两侧由两个劲度系数都为k 的弹簧相连,另一端连在墙上,则物块微扰后简谐周期=;若在物块下加两个质量为m 的轮,此时(1T 2T 1T )=<>//7.在一边长为a 正六边形的六个顶点各有+q 的点电荷,六边形的中心有—2q 的点电荷,则对任意顶点,则对任一正点电荷,其他点电荷对其产生的静电能为 ,整个系统静电能为 .8.一均匀带电的圆环,半径为R ,总带电量为+Q ,则其中心O 点的电场强度为;在对称轴上距O 为x 的A 处有一+q 的点电荷,则该点电荷受力为.9.一封闭导热气缸内有一质量为m 的活塞将同种气体分成左右体积均为的两部分,且0V 压强均为,已知气缸截面积为S .试求活塞发生微扰后的振动周期,假设过程为等温.P10.三个相同的理想凸透镜共轴放置,焦距为,两两间距为.已知对任意左侧进入的f f λ光线,出射方向均与入射方向平行.(1)画出可能的光路图;(2)试求可能取值.λ11.电子枪的加速电压为,电子被加速后从端沿射出,经匀强磁场偏转后V U 500=P PA 经过M 点.已知,.cm PM d 5==60=ϕ(1)若磁场垂直三点确定的平面,求其磁感应强度;M A P 、、(2)若磁场平行方向,求其磁感应强度.PM 12.质量为的小船在湖面上,一根轻绳连在船上通过岸上的定滑轮,自由端水平,岸上m 有恒力作用在绳子的自由端.开始时空中绳长为,与水平夹角,船速为.当夹角F 0l 0θ0v 为时,)(0θθθ>(1)求小船的速度以及加速度;v a (2)求此时的功率.F北京大学2018年“博雅计划”试题解析1.【答案】B【考点】光子的性质【解析】正、负电子在磁场中的动量为,则光子的动量,光子能量eBR p e =e y p p 2=.c p E y y =2.【答案】A 【考点】等温变化【解析】对气泡中的理想气体哟,其中222111T V P T V P =.631112261102771290P atm V m T K P atm T K -≈=⨯===,,,,3.【答案】D【考点】杨氏双缝干涉【解析】由条纹间距公式条纹间距只与双缝间距和双缝 - 光屏距有关,光源上下移动不改变条纹间距;考虑0级条纹,光源发出的两束光分别经过上下缝会聚在光屏上的等光程点,为了保证等光程,当光源下移,0级条纹必须上移才能保证这一点.4.【答案】C【考点】静电场的性质【解析】有静电屏蔽知识,导体球壳内的点电荷对外界不产生电场,具体而言,球壳内表面感应出的负电荷与点电荷的电场抵消,则点电荷受力取决于球壳外边面的剩余电B A 荷;而将导体球壳接地后,球壳电势为零,然而不确定初始的球壳与点电荷之间的电场A 电势关系,因此并不能判断点电荷的受力大小变化.A 5.【答案】20.077V Rg;【考点】圆周运动【解析】转弯时,小车在平行斜面方向受力平衡,即得θθsin cos 2mg RV m =n Ah i nt hRgV 2tan =θ速度偏小,摩擦力向外,则在斜面方向受力平衡⇒++=)sin cos (cos sin 22θθμθθRu m mg R u m mg RgV u Rg u V R u g R u g 222222tan tan +-=+-=θθμ6.【答案】2>【考点】简谐运动【解析】物块两端都有劲度系数为的弹簧,等效于一个劲度系数为的弹簧,则振k k 2动周期为;物块质量增大,周期变长,kMT 221π=12T T >7.【答案】221922Kq Kq a a ⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎭;【考点】静电场的能量【解析】一个正电荷由其他点电荷产生的静电能为2222212222Kq Kq Kq Kq E a a a a⎫=++-=⎪⎭A 计算系统电势能,注意点电荷间的电势能只能计算一次222229663622s Kq Kq Kq Kq E a a a a ⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭A A A 8.【答案】()32220KQqxx R +;【考点】电场强度的计算【解析】根据电场强度的定义,考虑对称性,分析可得:带电圆环在环心处的场强为0.根据对称性分析可得,对于距离环心为x 的位置,该点的电场强度沿着轴线方向可以写出该点所在位置的电场强度E 为:, 其中2k q xE r r ∆=∑rrb 由此可以写出E 为:223/2()kQx E x R =+所以电场力为:223/2()kQqx F qE x R ==+9.【答案】2T π=【考点】简谐运动【解析】当活塞偏离平衡位置(假设往左)距离时,左侧气体压强增大,右侧气体压x ∆强减小,由玻意耳定律,,()()x S V P x S V P V P R L ∆+=∆-=0000得,000000,P xS V V P P x S V V P R L ∆+=∆-=则活塞两侧气体压强差给活塞提供回复力,()x V P S S P x S V x S V S P x S V V x S V V S P P F L R ∆≈∆-∆-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆--∆+=-=0020220000002)(2则振动周期为.020002222P S mV V P S mT π==10.【答案】见解析【考点】凸透镜成像【解析】考虑左侧任意进入的光线可分为若干束平行光,一束平行光经过透镜组后出射仍是原方向的平行光,且平行光经凸透镜汇聚成一点,说明整个系统光路存在中心对称性,对称中心是第二个透镜中心.dAl l为了保证对称性,系统成像过程应该为:平行光经过第一个透镜汇聚一点,经过第二个透镜成像到对称点,再经过第三个透镜变成平行光.因此,第一个透镜与汇聚点的距离为,第二次成像是的成像,像点与第三个透镜距离时.光路图如下,即f f f 22-f 3=λ11.【答案】见解析【考点】带电粒子在磁场中的运动【解析】(1)电子经过一段圆弧轨道经过点,几何关系易知,偏转半径为M ,cm d R 35sin /2==ϕ又,mvR mv eB==e mU R B 21=电子经过等距螺旋线经过点,沿方向速度为M PM ,meUm eU v 2cos 2'==ϕ则有,2'mn v d eBπ=A得.B n =12.【答案】见解析【考点】相对运动【解析】(1)()220000sin cos 12sin F a m v v F l l v m θθθ⎛⎫=-=-⇒= ⎪⎝⎭,(2)cos v P F θ==A 本文档由华夏园教育提供。
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(北京卷,含解析)
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(北京卷)本试卷共5页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合A={x||x|<2},B={–2,0,1,2},则A B=A. {0,1}B. {–1,0,1}C. {–2,0,1,2}D. {–1,0,1,2}【答案】A【解析】分析:先解含绝对值不等式得集合A,再根据数轴求集合交集.详解:因此A B=,选A.点睛:认清元素的属性,解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2. 在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析:将复数化为最简形式,求其共轭复数,找到共轭复数在复平面的对应点,判断其所在象限. 详解:的共轭复数为对应点为,在第四象限,故选D.点睛:此题考查复数的四则运算,属于送分题,解题时注意审清题意,切勿不可因简单导致马虎丢分.3. 执行如图所示的程序框图,输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】分析:初始化数值,执行循环结构,判断条件是否成立,详解:初始化数值循环结果执行如下:第一次:不成立;第二次:成立,循环结束,输出,故选B.点睛:此题考查循环结构型程序框图,解决此类问题的关键在于:第一,要确定是利用当型还是直到型循环结构;第二,要准确表示累计变量;第三,要注意从哪一步开始循环,弄清进入或终止的循环条件、循环次数.4. “十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解. 详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以,又,则故选D.点睛:此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种:(1)定义法,若()或(),数列是等比数列;(2)等比中项公式法,若数列中,且(),则数列是等比数列. 5. 某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析:根据三视图还原几何体,利用勾股定理求出棱长,再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解:由三视图可得四棱锥,在四棱锥中,,由勾股定理可知:,则在四棱锥中,直角三角形有:共三个,故选C.点睛:此题考查三视图相关知识,解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原,分析线面、线线垂直关系,利用勾股定理求出每条棱长,进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.6. 设a,b均为单位向量,则“”是“a⊥b”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析:先对模平方,将等价转化为0,再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解:,因为a,b均为单位向量,所以a⊥b,即“”是“a⊥b”的充分必要条件.选C. 点睛:充分、必要条件的三种判断方法.1.定义法:直接判断“若则”、“若则”的真假.并注意和图示相结合,例如“⇒”为真,则是的充分条件.2.等价法:利用⇒与非⇒非,⇒与非⇒非,⇔与非⇔非的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.3.集合法:若⊆,则是的充分条件或是的必要条件;若=,则是的充要条件.7. 在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线的距离,当θ,m变化时,d的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析:P为单位圆上一点,而直线过点A(2,0),则根据几何意义得d的最大值为OA+1. 详解: P为单位圆上一点,而直线过点A(2,0),所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.点睛:与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值,求点到直线的距离的最值,求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化.8. 设集合则A. 对任意实数a,B. 对任意实数a,(2,1)C. 当且仅当a<0时,(2,1)D. 当且仅当时,(2,1)【答案】D【解析】分析:求出及所对应的集合,利用集合之间的包含关系进行求解.详解:若,则且,即若,则,此命题的逆否命题为:若,则有,故选D.点睛:此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用,集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法,根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设,若,则;若,则,当一个问题从正面思考很难入手时,可以考虑其逆否命题形式.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
2016年北京大学博雅计划试题数学
(3)
以
������
+ 2
������ ,
������
+ 2
������
,
������
+ 2
������
为边长的三角形一定存在;
(4) 以 |������ − ������| + 1, |������ − ������| + 1, |������ − ������| + 1 为边长的三角形一定存在.
= 0 的两个虚数根 ������1, ������2 满足
������21 ������2
为实数,则
2015
∑
������=0
(
������1 ������2
)������
等于
(A) 1
(B) 0
(C) √3i
(D) 前三个答案都不对
9. 将 12 个不同物体分成 3 堆,每堆 4 个,则不同的分法种类为
(A) 101
(B) 301
(C) 401
(D) 前三个答案都不对
15. 三个不同的实数 ������, ������, ������ 满足 ������3 − 3������2 = ������3 − 3������2 = ������3 − 3������2,则 ������ + ������ + ������ 等于
(A) −13
(B) −9
(C) −5
(D) 前三个答案都不对
6. 已知 ������ > 0 且 ������ ≠ 1,则等比数列 ������ + log2������, ������ + log4������, ������ + log8������ 的公比是
北京大学2018年博雅计划数学真题版
北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题,在每小题的四个项中,只有一项符合题目要求,请把正确选项的代号填在表格中,选对得5分,选错扣1分,不选得0分。
1. 设n 为正整数,)!(!!k n k n C k n-=为组合数,则201820182201812018020184037...53C C C C ++++等于( )A. 201822018⋅B. 2018!C. 20184036C D. 前三个答案都不对【答案】D解析: 111111(21)222nnnnn nnkk k k k k knnnn nn n k k k k k k k k C kC C nCC n CC ----=======+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑, 2018201820180122018120182018201820182018201720180135...4037(21)22018k k kk k k C C C Ck C CC -===∴++++=+=⨯⨯+∑∑∑ 20172018201840362220192=⨯+=⨯,故选D 。
2. 设a ,b ,c 为非负实数,满足a +b +c =3,则a +ab +abc 的最大值为( )A. 3B. 4C. 23D. 前三个答案都不对 【答案】B解析:22(1)(4)(1(1))1144b c a a ab abc a b c a a ⎛⎫⎛⎫++-++=++≤+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,对其求导得到2a =时取最大值为4。
3. 一个正整数n 称为具有3-因数积性质若n 的所有正因数的乘积等于3n ,则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为( )A. 55B. 50C. 51D. 前三个答案都不对 【答案】C解析:设n 的所有正因数的乘积为T ,即3T n =。
1n =显然符合题意;下面证明当2n ≥时,正整数n 的质因数的个数最多为2:假设n 的质因数的个数大于或等于3,即n 的全部质因数为12,,...,(3)k p p p k ≥,并设1212...k k n p p p ααα=,则n 的所有正因数的乘积中,(1,2,...)i i p i k α=至少在12112,,,...,,...,,...i i i i i i i i i i i i i i i k i k p p p p p p p p p p p p p p ααααααα-+这些因子中出现,即i i p α出现的次数大于或等于4,这样T 124412(...)k k p p p n ααα≥=,这与题意3T n =矛盾,所以假设不成立,即n 的质因数的个数最多为2。
2018年北大博雅计划试卷-语文试卷及参考答案解析附答题卡
绝密★ 启用前 北京大学博雅计划模拟考试 语 文 (满分:100分) 注意事项:11.本试卷共4道题; 2.答卷前,考生请务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷的 密封线内相应位置; 3.所有答案都应写在答题卡相应位置,答在试卷上的无效; 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文根据语境填空(10题,共20分) 中国文化中极其夺目的一个部位可称之为“ 1 ”。
随之而来,许多文化遗迹也就是贬官 行迹。
贬官失了宠,摔了跤,孤零零的,悲剧意识也就爬上了心头;贬到了外头,这里走走,那里 看看,只好与山水亲热。
这一来,文章有了,诗词也有了,而且往往写得不坏。
过了一个时候, 或过了一个朝代,事过境迁,连朝廷也觉得此人不错,恢复名誉。
于是,人品和文品双全,传之 史册,诵之后人。
他们亲热过的山水亭阁,也便成了遗迹。
地因人传,人因地传,两相帮衬,俱 著声名。
例子太多了。
这次去洞庭湖, 一见岳阳楼,心头便想;又是它了。
1046年,范仲淹倡导变 革被贬,恰逢另一位贬在岳阳的朋友股子京重修岳阳楼罢,要他写一篇楼记,他便借楼写湖,凭 湖抒怀,写出了那篇著名的《岳阳楼记》。
直到今天,大多数游客都是先从这篇文章中知道有这 么一个楼的。
文章中“ 2 。
”这句话,已成为一般中国人都能随口吐出的熟语。
不知哪年哪月,此景此楼,已被这篇文章重新构建。
文章开头曾称颂此楼“北通巫峡,南极 潇湘”,于是,人们在楼的南北两方各立一个门坊,上刻这两句话。
进得楼内,巨幅木刻中堂,即 是这篇文章,书法厚重畅丽,洒以绿粉,古色古香。
其他后人题咏,心思全围着这篇文章。
这也算是个有趣的奇事:先是景观被写入文章,再是文章化作了景观。
借之现代用语,或 许可说,是 3 的互相生成罢。
在这里,中国文学的力量倒显得特别强大。
学校班级姓名密封线内不要答题准考证号范仲淹确实是文章好手,他用与洞庭湖波涛差不多的节奏,把写景的文势张扬得滚滚滔滔。
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北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题,在每小题的四个项中,只有一项符合题目要求,请把正确选项的代号填在表格中,选对得5分,选错扣1分,不选得0分。
1. 设n 为正整数,)!(!!k n k n C k n-=为组合数,则201820182201812018020184037...53C C C C ++++等于( )A. 201822018⋅B. 2018!C. 20184036C D. 前三个答案都不对【答案】D 解析:111111(21)222nn n nn nnk k k k k k knnnn nn n k k k k k k k k CkC C nCC n CC ----=======+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑, 201820182018122018120182018201820182018201720180135...4037(21)22018k k kk k k CC CCk C CC -===∴++++=+=⨯⨯+∑∑∑ 20172018201840362220192=⨯+=⨯,故选D 。
2. 设a ,b ,c 为非负实数,满足a +b +c =3,则a +ab +abc 的最大值为( )A. 3B. 4C. 23D. 前三个答案都不对 【答案】B解析:22(1)(4)(1(1))1144b c a a ab abc a b c a a ⎛⎫⎛⎫++-++=++≤+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,对其求导得到2a =时取最大值为4。
3. 一个正整数n 称为具有3-因数积性质若n 的所有正因数的乘积等于3n ,则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为( )A. 55B. 50C. 51D. 前三个答案都不对 【答案】C解析:设n 的所有正因数的乘积为T ,即3T n =。
1n =显然符合题意;下面证明当2n ≥时,正整数n 的质因数的个数最多为2:假设n 的质因数的个数大于或等于3,即n 的全部质因数为12,,...,(3)k p p p k ≥,并设1212...k k n p p p ααα=,则n 的所有正因数的乘积中,(1,2,...)i i p i k α=至少在12112,,,...,,...,,...i i i i i i i i i i i i i i i k i k p p p p p p p p p p p p p p ααααααα-+这些因子中出现,即i i p α出现的次数大于或等于4,这样T 124412(...)k k p p p n ααα≥=,这与题意3T n =矛盾,所以假设不成立,即n 的质因数的个数最多为2。
若n 只有一个质因数,设n p α=,则(1)2332...5T p p p p n p ααααα+=⋅⋅⋅===⇒=,此时只有质数23p =或满足400n ≤;若n 有两个质因数,设(,)n p q p q αβαβ=≠≥,此时(1)(1)(1)(1)33322T pqn p q ααβββααβ++++===,解得2,1αβ==,即2n p q =:p 取2时q 有24个取值,p 取3时q 有13个取值,p 取5时q 有5个取值,p 取7时q 有3个取值,p 取11时q 有2个取值,p 取13时q 有1个取值; 综上,所求总个数=1+2+24+13+5+3+2+1=51个。
4. 已知复数i z 2sin 1+=θ,θcos 12i z +=,则21221-14iz z iz z -+的最小值为( )A. 2B. 22C. 32D. 前三个答案都不对【答案】B解析:21212sin cos 3||10sin 2z iz i z iz θθθ+=-+⇒+=-,1212sin cos ||2sin 2z iz i z iz θθθ-=++⇒-=+,2121214-2sin 2222sin 22sin 22sin 2z iz z iz θθθθ+∴===+≥-+++,取等条件为:2sin 2sin 202sin 2θθθ=+=+。
5. 设A 是不超过2018的正整数组成的集合,对于正整数k ,用k a 表示所有可能的A 中k 个数乘积的倒数之和,则201842...a a a +++的值为( )A. 1B.22019 C. 22017D. 前三个答案都不对【答案】C解析:12320181111232019...(1)(1)(1)...(1)1...120181232018122018a a a a ++++=++++-=⋅⋅⋅-=,123201720181111...(1)(1)(1)...(1)111232018a a a a a -+-+-+=-----=-,两式相加即得242018201812017...22a a a -+++==。
6. 已知实数a ,b ,c 成公差非0的等差数列,在平面直角坐标系中,点P 的坐标为(-3,2),点N 的坐标为(2,3),过点P 作直线ax +by +c =0的垂线,垂足为点M ,则M,N 间的距离的最大值与最小值的乘积是( )A. 10B. 26C. 24D. 前三个答案都不对【答案】A解析:由等差中项性质得2a c b +=,可见直线ax +by +c =0过定点(1,2)Q -,设垂足00(,)M x y ,则22000(1)8PM QM PM QM x y ⊥⇔⋅=⇒++=,即点M 在圆T :22(1)8x y ++=上,点N 到圆心T 的距离||32NT =max min ||||(||22)(||22)10MN MN NT NT ⋅=+-=。
7. 设2018212018,21,...,,...,,b b b a a a 是4036个实数,201821,...,,a a a 互异,满足对任意的i )(20181≤≤i 都有122018()()...()i i i a b a b a b +++=2018,则对任意的j )(20181≤≤j))...()((201821j j j b a b a b a +++的值为( )A. 2018B. -2018C. 不能确定D. 前三个答案都不对【答案】B解析:由12201812018,()()...()2018i i i i a b a b a b ∀≤≤+++=恒成立可得:122018122018()()()...()2018()()...()f x x b x b x b x a x a x a =+++-=---,上式两边令j x b =-即得122018()()...()2018j j j a b a b a b +++=-。
8. 用[x]表示不超过实数x 的最大整数,例如[π]=3,[-π]= -4. 设n 为正整数,用n a 表示当[)n x ,0∈时,函数]][[)(x x x f =的值域中的元素的个数,则使得n a n 2018+最小的n 的取值为( ) A. 63 B. 1009 C. 2018D. 前三个答案都不对【答案】A解析:令(01,01)x k r k Z k n r =+∈≤≤-≤<且,当0k =时[]0x x =;1k ≥时,则22[]()k x x k r k k k ≤=+<+,[]x x 有k 个取值;(1)112 (112)n n n a n -∴=++++-=+, 所以220184038140381(1)(240381)222n a n n n n n n +-+==+-≥-,当[4038][4038]1n =+或时n a n 2018+最小,而[4038]63=,6364201820186364a a ++>,故n =64时最小,选D 。
9. 已知ABC ∆的面积为1,D,E 分别为边BC,CA 上的点,且BC BD 31=,CA CE 31=,AD 和BE 交于点P ,则四边形PDCE 的面积是( )A.92B.72 C. 218 D. 前三个答案都不对【答案】B 解析:12()()(1)33AP AB BP AB BE AB BC CE AB AC AB AC AB AC λλλλλ=+=+=++=+--=-+,又1121()3333AP AD AB AC AB AB AC μμμμ==+-=+。
比较两式得37λ=,所以316612737737PDCE BCE BDP BCE BCE BCE ABC S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=-=-⋅⋅==⋅=。
10. 设实数x ,y 满足14522=+y x ,则12122222+-+++-+x y x y y x 的最小值为( ) A. 52 B. 2-52 C. 2-52 D. 前三个答案都不对【答案】C解析:22222121x y y x y x +-++-+14522=+y x 上动点(,)M x y 到定点(0,1)N 与定点(1,0)F 的距离之和,F 为椭圆右焦点,设左焦点为'(1,0)F -,则22222121||||2|'|||x y y x y x MF MN a MF MN +-++-+=+=-+2|'|252a F N ≥-=11. 设关于x 的方程01222=+---ax a x a x 有3个互不相同的实根,则实数a 的取值范围是( )A. [)∞+,1 B. (]1--,∞ C. [)(]1,00,1⋃- D. 前三个答案都不对 【答案】D解析:222222210()210()21x a x a ax x a a x a a x a a a ---+=⇔---+-=⇔--=-,2221021a x a a a ⎧-≥⎪∴⎨-=-⎪⎩,要使原方程有三个互不相等实根,则222210210210a a a a a ⎧->⎪⎪+->⎨⎪--=⎪⎩或222210210210a a a a a ⎧->⎪⎪+-=⎨⎪->⎪⎩,解得1a =,故选D 。
12. 把正整数中的非完全平方数从小到大排成一个数列{}(1)n a n ≥,例如,21=a ,32=a ,53=a ,64=a ,…,则2018a 的值为( )A. 2061B. 2062C. 2063D. 前三个答案都不对【答案】C解析:222441936,452025,462116===,即小于2018的数中共有44个完全平方数,所以20184419742018a a -==,201820184412063a ∴=++=(2025是完全平方数,不在该数列中)。
13. 15人围坐在圆桌旁,从中选出4人使得其中任意两人都不相邻的选法数为( )A. 1820B. 450C. 360D. 前三个答案都不对【答案】B解析:从15人中任选4人的方法总数为415C :若选出的4个人刚好顺序相邻,情况种数=15;若选出的4人中有3人顺序相邻,其余1人与他们隔开,情况种数=1510150⨯=;若选出的4人可分成两两一组,其中每组内部两人相邻,但整体两组不相邻,情况种数=1015752⨯=;若选出的4人中只有两人相邻,其他两人跟他们彼此不相邻,情况种数=15(987...1)675⨯++++=。