第三讲 货币时间价值
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ln 2 0.6931 T 7.2725 年 ln( 1.10) 0.0953
多少利率才合适？
假设你的孩子12年后上大学时大学学费的总需求为 ¥50,000。你今天有¥5,000用来投资，你需要多高 的投资回报率才能支付小孩上大学的学费？
FV PV (1 r )
12
T
¥ ,000 ¥ ,000 (1 r ) 50 5 (1 r ) 101 12
0
1
单期中的现值
假设利率为5％，你想保证自己通过一年的投资得到1万元， 那么你的投资在当前应该为9,523.81元
￥10,000 ￥9,523.81 1 5%
要得到一年后1万元，在当前所必须的资金价值被称为现 值（PV）：
¥ 10,000 = ¥ 9,523.81×(1+5%)
单期中的现值
1. 下列哪些说法是对的？
– 如果r和t都大于0，终值利率因子FVIF(r,t)永远都大于0. – 如果r和t都大于0，现值利率因子PVIF(r,t) 永远都大于0.
2. 判断题: 对于既定的r和t，PVIF(r,t)是FVIF(r,t)的倒 数. 3. 其他条件都不变，对于一个现金流来说，贴现率越高， 其现值越高还是越低？
t 表示终值和现值之间的这段时间
r 表示利率 所有的定价问题都与PV、FV、t、r这四个变量有关，确定其中 三个即能得出第四个。
单期中的终值
假设利率为5％，你准备将拿出1万元进行投资， 一年后，你将得到10,500元。
¥500 利息收入 (¥10,000 × 5%) ¥10,000 本金投入 (¥10,000 × 1) ¥10,500 全部收入，算式为：
终值
怎样求解等待期间？
假如我现在投资5,000元于一个年收益率为10％的产 品，我需要等待多久该投资才能增长到10,000? T T 10,000 5,000 (1.10) FV PV (1 r ) ¥ ,000 10 T (1.10) 2 ¥ ,000 5
ln( 1.10)T ln 2
FV = PV×(1 + r)T
¥5.92 = ¥1.10×(1+40%)5
复利对终值的影响
￥1.10 (1.40) ￥1.10 (1.40) 4 ￥1.10 (1.40) ￥1.10 (1.40) 2 ￥1.10 (1.40)
3 5
￥ .10 ￥ .54 ￥2.16 ￥3.02 ￥4.23 1 1
所以该投资的价值应为: ¥6,771,892,096.95! 1998年普通股票价值增长了28.59%,那么上述投资组合在 1998年的价值是多少？ 1998年末的投资价值为 ¥6,771,892,096.95 (1+28.59%) = ¥8,707,976,047.47!
例题
两个说法都正确。
r 是利率, T 是投资时间。
案例
假设年利率为12%，今天投入5,000元
–6年后你将获得多少钱？ –用单利计算是怎样的？用复利计算是怎样的？
利率为 12%时, 用复利计算是: ¥ 5000 (1 + r )t = ¥ 5000 (1+12%)6 = ¥ 9869.11 利率为 12%时, 用单利计算是： ¥ 5000 (1+ t r)= ¥ 5000 (1+612% ) = ¥ 8600 复利和单利计算之间的差异即为：¥ 9869.11 - ¥ 8600 = ¥ 1269.11
假设r = 36%?
可见，该法则只是一个近似估计。
例题
假设你现在拿出5,000元投资于一个年收益率为r的 产品。10年后你将得到10,000元，那么r为多少？
计算如下：
FV = 10,000 PV = 5,000 t = 10 PV = FVt/(1 + r )t ¥5000 = ¥10,000/(1 + r)10
¥10,500 = ¥10,000×(1+5%).
投资结束时获得的价值被称为终值（FV）
单期中的终值
单期中终值计算公式为： FV = PV×(1 + r) 其中，PV是第0期的现金流，r是利率。
PV×(1 + r)
PV= ¥ 10,000
¥ 10,000 × 1.05
FV = ¥ 10,500
年度
¥11.05
11.00 12.10 13.31 14.64
¥61.05
121.00 133.10 146.41 161.05
例题
假如你现在21岁，每年收益率10％，要想在65岁时成为百 万富翁，今天你要一次性拿出多少钱来投资？
确定变量:
FV = ¥1,000,000
r = 10％
PV = ?
t = 65 - 21 = 44 年
1990年时，付给费城的捐款已经变成200万，而给波士顿的
已达到450万。请问两者的年投资回报率各为多少？
对于费城，有以下算式: ¥1,000 = ¥2,000,000/(1 + r )200 (1 + r )200 = 2,000.00 求解r，得到年投资回报率为3.87%. 同理我们可以得到波士顿的年投资回报率为4.3%.
终值利率因子（复利终值系数）
我们注意到
– ¥110 = ¥100 (1 + 10%) – ¥121 = ¥110 (1 + 10%) = ¥100 (1+10%) (1+10%) = ¥100 (1+10%)2 – ¥133.10 = ¥121 (1 + 10%) = ¥100 (1+10%) (1+10%) (1+10%) = ¥100 (1+10%)3
年利率为10％时的终值
年度 年初值 单利 复利引起的利息增加 总利息 终值
1
¥100.00
¥10.00
¥0.00
¥10.00
¥110.00
2 3 4 5
110.00 121.00 133.10 146.41
总计
10.00 10.00 10.00 10.00
¥50.00
1.00 2.10 3.31 4.64
72法则
如果年利率为r %, 你的投资将在大约72/r 年后翻番。
例如，如果年收益率为6％，你的投资将于约12年后翻番。 为什么要说“大约”？因为如果利率过高或过低，该法则 不再适用。 假设r = 72%
FVIF(72,1) = 1.7200, 而非2.00 FVIF(36,2) = 1.8496，而非2.00
200,000
解得：r
r = ?
= 15,000 FVIF(r,18)
FVIF(r,18) = 200,000 /15,000 = 13.333 . . . ＝ 15.48%
例题
某公司有一笔价值425万的债务需要在20年后偿还， 假如年贴现率为8％，这笔债务的现值是多少？
= 4,250,000, t = 20, r = 8% 现值 = ? 现值 = 4,250,000 PVIF(8,20) = ¥911,829.8815
0 1 2 3 4
￥5.92
5
“利滚利”演示
Q.假如你买彩票中奖100万，将其存为10年期，年利率为6％ 的定期存款，按复利计算。或者，你将其交给表兄打理，10 年中，每年按6％的单利计算。10年后，哪种方式获利多？
A. 定期存款的终值是1,000,000 x (1+6%)10 = 1,790,847.70 从表兄那里获得的终值是 1,000,000 + 1,000,000 x 6% x10 = ¥1,600,000.00 复利（利滚利）引起的是将近191,000 元的资产增值。 (当然我 们还没有考虑到将这笔钱交给你表兄打理的风险）
第五讲 货币的时间价值
货币时间价值
现值与终值 年金和永续年金 增长型年金和增长型永续年金 复利间隔期和有效利率的计算 净现值与内部回报率 货币的时间价值在金融理财中的应用
与时间价值有关的术语
0 1 2 3
... PV
t
FV
时间轴
PV 即现值，也即今天的价值 FV 即终值，也即未来某个时间点的价值
求解r :
(1 + r)10 = ¥10,000/¥5,000 = 2.00
r = (2.00)1/10 - 1 = 0.0718 = 7.18%
例题：普通股票的长期回报率
据研究，1802－1997年间普通股票的年均收益率是8.4%.假 设你的祖先在1802年对一个充分分散风险的投资组合进行了 1000元的投资。1997年的时候，这个投资的价值是多少？ t = 195 r = 8.4%, FVIF(8.4,195) = 6,771,892.09695
增长型年金（等比增长型年金）
–在一定期限内，时间间隔相同、不间断、金额不相等但 每期增长率相等的一系列现金流。
增长型永续年金
–在无限期内，时间间隔相同、不间断、金额不相等但每 期增长率相等的一系列现金流。
年金（Annuity）
C C 2
C
C
0
PV
1
3
T
C C C C (1 r ) (1 r ) 2 (1 r ) 3 (1 r )T
代入终值算式中并求解现值：
¥1,000,000= PV (1+10%)44 PV = ¥1,000,000/(1+10%)
44
= ¥15,091.
当然我们忽略了税收和其他的复杂部分，但是现在你需要的是筹集 15000元！
案例：确定利率
富兰克林死于1790年。他在自己的遗嘱中写道，他将分别向 波士顿和费城捐赠1000元。捐款将于他死后200年赠出。
一般说来，经过t时期后，今天投入的1元的终值将是
FVt = ¥1 (1 + r)t
(1 + r)t 是终值利率因子(FVIF),也称为复利终值系数
多期中的现值
假如利率是15％，你想在5年后获得2万元，你需 要在今天拿出多少钱进行投资?
PV ¥ 20,000
0
1
2
3
4
5
￥20,000 ￥9,943.53 5 (1 15%)
FV C (1 r )T 1 C (1 r )T 2 C (1 r )T 3 C
(期末)年金现值的公式为：
(期末)年金终值的公式为：
C PV r
1 1 (1 r )T
C (1 r )T 1 FV r
越低。对同一个现金流来说，贴现率 越高，其现值越低。 正确. PVIF(r,t ) = 1/FVIF(r,t )
例题
假设你的子女在18年后将接受大学教育，届时需要学费20万元 。你现在有15,000元可以用于投资，问你需要怎样的回报率？ 现值 终值 = = ¥15,000 ¥200,000
t = 18
现值利率因子（复利现值系数）
假设你三年后需要2万元来支付研究生的学费，投资收益率是 8%，今天你需要拿出多少钱来投资？ 已知终值（2万），利率（8%)，投资时间（三年） 那么现值可以这样得到：
FVt = PV x (1 + r )t ¥ 20பைடு நூலகம்000 = PV x (1+8%)3
PV = = ¥ 20,000/(1+8%)3 ¥ 15,876.64
12
¥ ,000 50 (1 r ) 10 ¥ ,000 5
r 10
1 12
1 1.2115 1 0.2115 21.15%
年金和永续年金
年金（普通年金）
–在一定期限内，时间间隔相同、不间断、金额相等、方 向相同的一系列现金流。
永续年金
–在无限期内，时间间隔相同、不间断、金额相等、方向 相同的一系列现金流。
因此我们得到：年利率为r时，要计算t时期价值1元的投资的 现值，可以用以下公式：
PV = 1/(1 + r )t 为复利现值系数
它被称为现值利率因子(PVIF)，也称
期限不同，利率不同时1元的现值如何变化？
多期中的终值
假设刘先生购买了九州龙腾公司首次公开发售时 的股票。该公司的当前分红为每股1.10元，并预 计能在未来5年中以每年40％的速度增长。 问：5年后的股利为多少?
单期中现值的计算公式为：
FV PV 1 r
其中， FV是在1时期的现金流，r是利率。
FV/(1 + r)
PV = ¥ 9,523.81
¥ 10,000/1.05 年度
FV= ¥ 10,000
0
1
多期中的终值
计算多期中的终值公式： FV = PV×(1 + r)T
其中， PV是第0期的价值,
多少利率才合适？
假设你的孩子12年后上大学时大学学费的总需求为 ¥50,000。你今天有¥5,000用来投资，你需要多高 的投资回报率才能支付小孩上大学的学费？
FV PV (1 r )
12
T
¥ ,000 ¥ ,000 (1 r ) 50 5 (1 r ) 101 12
0
1
单期中的现值
假设利率为5％，你想保证自己通过一年的投资得到1万元， 那么你的投资在当前应该为9,523.81元
￥10,000 ￥9,523.81 1 5%
要得到一年后1万元，在当前所必须的资金价值被称为现 值（PV）：
¥ 10,000 = ¥ 9,523.81×(1+5%)
单期中的现值
1. 下列哪些说法是对的？
– 如果r和t都大于0，终值利率因子FVIF(r,t)永远都大于0. – 如果r和t都大于0，现值利率因子PVIF(r,t) 永远都大于0.
2. 判断题: 对于既定的r和t，PVIF(r,t)是FVIF(r,t)的倒 数. 3. 其他条件都不变，对于一个现金流来说，贴现率越高， 其现值越高还是越低？
t 表示终值和现值之间的这段时间
r 表示利率 所有的定价问题都与PV、FV、t、r这四个变量有关，确定其中 三个即能得出第四个。
单期中的终值
假设利率为5％，你准备将拿出1万元进行投资， 一年后，你将得到10,500元。
¥500 利息收入 (¥10,000 × 5%) ¥10,000 本金投入 (¥10,000 × 1) ¥10,500 全部收入，算式为：
终值
怎样求解等待期间？
假如我现在投资5,000元于一个年收益率为10％的产 品，我需要等待多久该投资才能增长到10,000? T T 10,000 5,000 (1.10) FV PV (1 r ) ¥ ,000 10 T (1.10) 2 ¥ ,000 5
ln( 1.10)T ln 2
FV = PV×(1 + r)T
¥5.92 = ¥1.10×(1+40%)5
复利对终值的影响
￥1.10 (1.40) ￥1.10 (1.40) 4 ￥1.10 (1.40) ￥1.10 (1.40) 2 ￥1.10 (1.40)
3 5
￥ .10 ￥ .54 ￥2.16 ￥3.02 ￥4.23 1 1
所以该投资的价值应为: ¥6,771,892,096.95! 1998年普通股票价值增长了28.59%,那么上述投资组合在 1998年的价值是多少？ 1998年末的投资价值为 ¥6,771,892,096.95 (1+28.59%) = ¥8,707,976,047.47!
例题
两个说法都正确。
r 是利率, T 是投资时间。
案例
假设年利率为12%，今天投入5,000元
–6年后你将获得多少钱？ –用单利计算是怎样的？用复利计算是怎样的？
利率为 12%时, 用复利计算是: ¥ 5000 (1 + r )t = ¥ 5000 (1+12%)6 = ¥ 9869.11 利率为 12%时, 用单利计算是： ¥ 5000 (1+ t r)= ¥ 5000 (1+612% ) = ¥ 8600 复利和单利计算之间的差异即为：¥ 9869.11 - ¥ 8600 = ¥ 1269.11
假设r = 36%?
可见，该法则只是一个近似估计。
例题
假设你现在拿出5,000元投资于一个年收益率为r的 产品。10年后你将得到10,000元，那么r为多少？
计算如下：
FV = 10,000 PV = 5,000 t = 10 PV = FVt/(1 + r )t ¥5000 = ¥10,000/(1 + r)10
¥10,500 = ¥10,000×(1+5%).
投资结束时获得的价值被称为终值（FV）
单期中的终值
单期中终值计算公式为： FV = PV×(1 + r) 其中，PV是第0期的现金流，r是利率。
PV×(1 + r)
PV= ¥ 10,000
¥ 10,000 × 1.05
FV = ¥ 10,500
年度
¥11.05
11.00 12.10 13.31 14.64
¥61.05
121.00 133.10 146.41 161.05
例题
假如你现在21岁，每年收益率10％，要想在65岁时成为百 万富翁，今天你要一次性拿出多少钱来投资？
确定变量:
FV = ¥1,000,000
r = 10％
PV = ?
t = 65 - 21 = 44 年
1990年时，付给费城的捐款已经变成200万，而给波士顿的
已达到450万。请问两者的年投资回报率各为多少？
对于费城，有以下算式: ¥1,000 = ¥2,000,000/(1 + r )200 (1 + r )200 = 2,000.00 求解r，得到年投资回报率为3.87%. 同理我们可以得到波士顿的年投资回报率为4.3%.
终值利率因子（复利终值系数）
我们注意到
– ¥110 = ¥100 (1 + 10%) – ¥121 = ¥110 (1 + 10%) = ¥100 (1+10%) (1+10%) = ¥100 (1+10%)2 – ¥133.10 = ¥121 (1 + 10%) = ¥100 (1+10%) (1+10%) (1+10%) = ¥100 (1+10%)3
年利率为10％时的终值
年度 年初值 单利 复利引起的利息增加 总利息 终值
1
¥100.00
¥10.00
¥0.00
¥10.00
¥110.00
2 3 4 5
110.00 121.00 133.10 146.41
总计
10.00 10.00 10.00 10.00
¥50.00
1.00 2.10 3.31 4.64
72法则
如果年利率为r %, 你的投资将在大约72/r 年后翻番。
例如，如果年收益率为6％，你的投资将于约12年后翻番。 为什么要说“大约”？因为如果利率过高或过低，该法则 不再适用。 假设r = 72%
FVIF(72,1) = 1.7200, 而非2.00 FVIF(36,2) = 1.8496，而非2.00
200,000
解得：r
r = ?
= 15,000 FVIF(r,18)
FVIF(r,18) = 200,000 /15,000 = 13.333 . . . ＝ 15.48%
例题
某公司有一笔价值425万的债务需要在20年后偿还， 假如年贴现率为8％，这笔债务的现值是多少？
= 4,250,000, t = 20, r = 8% 现值 = ? 现值 = 4,250,000 PVIF(8,20) = ¥911,829.8815
0 1 2 3 4
￥5.92
5
“利滚利”演示
Q.假如你买彩票中奖100万，将其存为10年期，年利率为6％ 的定期存款，按复利计算。或者，你将其交给表兄打理，10 年中，每年按6％的单利计算。10年后，哪种方式获利多？
A. 定期存款的终值是1,000,000 x (1+6%)10 = 1,790,847.70 从表兄那里获得的终值是 1,000,000 + 1,000,000 x 6% x10 = ¥1,600,000.00 复利（利滚利）引起的是将近191,000 元的资产增值。 (当然我 们还没有考虑到将这笔钱交给你表兄打理的风险）
第五讲 货币的时间价值
货币时间价值
现值与终值 年金和永续年金 增长型年金和增长型永续年金 复利间隔期和有效利率的计算 净现值与内部回报率 货币的时间价值在金融理财中的应用
与时间价值有关的术语
0 1 2 3
... PV
t
FV
时间轴
PV 即现值，也即今天的价值 FV 即终值，也即未来某个时间点的价值
求解r :
(1 + r)10 = ¥10,000/¥5,000 = 2.00
r = (2.00)1/10 - 1 = 0.0718 = 7.18%
例题：普通股票的长期回报率
据研究，1802－1997年间普通股票的年均收益率是8.4%.假 设你的祖先在1802年对一个充分分散风险的投资组合进行了 1000元的投资。1997年的时候，这个投资的价值是多少？ t = 195 r = 8.4%, FVIF(8.4,195) = 6,771,892.09695
增长型年金（等比增长型年金）
–在一定期限内，时间间隔相同、不间断、金额不相等但 每期增长率相等的一系列现金流。
增长型永续年金
–在无限期内，时间间隔相同、不间断、金额不相等但每 期增长率相等的一系列现金流。
年金（Annuity）
C C 2
C
C
0
PV
1
3
T
C C C C (1 r ) (1 r ) 2 (1 r ) 3 (1 r )T
代入终值算式中并求解现值：
¥1,000,000= PV (1+10%)44 PV = ¥1,000,000/(1+10%)
44
= ¥15,091.
当然我们忽略了税收和其他的复杂部分，但是现在你需要的是筹集 15000元！
案例：确定利率
富兰克林死于1790年。他在自己的遗嘱中写道，他将分别向 波士顿和费城捐赠1000元。捐款将于他死后200年赠出。
一般说来，经过t时期后，今天投入的1元的终值将是
FVt = ¥1 (1 + r)t
(1 + r)t 是终值利率因子(FVIF),也称为复利终值系数
多期中的现值
假如利率是15％，你想在5年后获得2万元，你需 要在今天拿出多少钱进行投资?
PV ¥ 20,000
0
1
2
3
4
5
￥20,000 ￥9,943.53 5 (1 15%)
FV C (1 r )T 1 C (1 r )T 2 C (1 r )T 3 C
(期末)年金现值的公式为：
(期末)年金终值的公式为：
C PV r
1 1 (1 r )T
C (1 r )T 1 FV r
越低。对同一个现金流来说，贴现率 越高，其现值越低。 正确. PVIF(r,t ) = 1/FVIF(r,t )
例题
假设你的子女在18年后将接受大学教育，届时需要学费20万元 。你现在有15,000元可以用于投资，问你需要怎样的回报率？ 现值 终值 = = ¥15,000 ¥200,000
t = 18
现值利率因子（复利现值系数）
假设你三年后需要2万元来支付研究生的学费，投资收益率是 8%，今天你需要拿出多少钱来投资？ 已知终值（2万），利率（8%)，投资时间（三年） 那么现值可以这样得到：
FVt = PV x (1 + r )t ¥ 20பைடு நூலகம்000 = PV x (1+8%)3
PV = = ¥ 20,000/(1+8%)3 ¥ 15,876.64
12
¥ ,000 50 (1 r ) 10 ¥ ,000 5
r 10
1 12
1 1.2115 1 0.2115 21.15%
年金和永续年金
年金（普通年金）
–在一定期限内，时间间隔相同、不间断、金额相等、方 向相同的一系列现金流。
永续年金
–在无限期内，时间间隔相同、不间断、金额相等、方向 相同的一系列现金流。
因此我们得到：年利率为r时，要计算t时期价值1元的投资的 现值，可以用以下公式：
PV = 1/(1 + r )t 为复利现值系数
它被称为现值利率因子(PVIF)，也称
期限不同，利率不同时1元的现值如何变化？
多期中的终值
假设刘先生购买了九州龙腾公司首次公开发售时 的股票。该公司的当前分红为每股1.10元，并预 计能在未来5年中以每年40％的速度增长。 问：5年后的股利为多少?
单期中现值的计算公式为：
FV PV 1 r
其中， FV是在1时期的现金流，r是利率。
FV/(1 + r)
PV = ¥ 9,523.81
¥ 10,000/1.05 年度
FV= ¥ 10,000
0
1
多期中的终值
计算多期中的终值公式： FV = PV×(1 + r)T
其中， PV是第0期的价值,