求点到平面距离的基本方法
求点到面的距离的几种方法
求点到面的距离的几种方法求点到面的距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到了三维空间中的点和面的计算。
在实际应用中，我们经常需要计算一个点到一个平面的距离，这个距离可以用来判断点是否在平面上，或者用来计算点到平面的投影等。
下面介绍几种常用的求点到面距离的方法：1. 点到平面的投影点到平面的投影是求点到面距离的一种常用方法。
它的基本思想是将点沿着法向量投影到平面上，然后计算投影点到原点的距离。
具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是平面上的任意一点，n是平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。
2. 点到平面的距离公式点到平面的距离公式是另一种常用的求点到面距离的方法。
它的基本思想是将点到平面的距离分解为点到平面法向量的投影和平面法向量的长度两部分，具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是平面上的任意一点，n是平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。
3. 点到三角形的距离点到三角形的距离是求点到面距离的一种特殊情况。
它的基本思想是将点到三角形所在平面的距离和点到三角形的距离两部分相加，具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是三角形所在平面上的任意一点，n是三角形所在平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。
求点到面距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到了三维空间中的点和面的计算。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择不同的方法来求解点到面的距离，以满足不同的需求。
求点到平面的距离的方法公式
求点到平面的距离的方法公式求点到平面的距离是数学中的一种常见问题，也是几何学的基础知识之一。
在平面几何中，点到平面的距离是指从给定点到平面上的一点的最短距离。
本文将介绍两种常用的求解点到平面距离的方法。
方法一：点到平面的法向量距离公式要求解点到平面的距离，我们首先需要知道平面的方程以及点的坐标。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)。
根据向量的性质，平面上的任意一点P(x1, y1, z1)可以表示为平面上任意一点Q(x, y, z)加上平面的法向量N的倍数。
即P = Q + tN，其中t为实数。
将P的坐标代入平面方程，可以得到：A(x1 + tx) + B(y1 + ty) + C(z1 + tz) + D = 0整理后可以得到：t = - (Ax1 + By1 + Cz1 + D) / (Ax + By + Cz)根据点到平面的距离定义，点到平面的距离d可以表示为点P与平面上的任意一点Q之间的距离。
而点P与Q之间的距离可以使用向量的长度来表示，即d = ||PQ||。
将PQ的向量表示代入，可以得到：d = ||(x - x1, y - y1, z - z1)||将向量的长度公式代入，可以得到：d = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2)点到平面的距离公式为：d = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2)方法二：点到平面的投影距离公式除了使用法向量距离公式，我们还可以利用点在平面上的投影点来求解点到平面的距离。
点在平面上的投影点是指从给定点到平面上的一点的垂直线段与平面的交点。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)。
平面上的一点P(x1, y1, z1)为点(x, y, z)在平面上的投影点。
根据点在平面上的投影点的定义，可得到以下方程组：Ax + By + Cz + D = 0x = x0 + t(A - Ax0 - By0 - Cz0)y = y0 + t(B - Ax0 - By0 - Cz0)z = z0 + t(C - Ax0 - By0 - Cz0)将x, y, z代入平面方程，可以得到：t = - (Ax0 + By0 + Cz0 + D) / (A^2 + B^2 + C^2)将t代入x, y, z的方程中，可以得到P的坐标：x1 = x0 + t(A - Ax0 - By0 - Cz0)y1 = y0 + t(B - Ax0 - By0 - Cz0)z1 = z0 + t(C - Ax0 - By0 - Cz0)根据点到平面的距离定义，点到平面的距离d可以表示为点P与原点O的距离。
点到平面距离的若干求解方法
点到平面距离的若干求法1 定义法求点到平面距离(直接法)定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。
定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。
以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。
(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。
设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。
(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例 如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面AB D ''的距离。
(注:本文所有解法均使用本例)图4解法一(定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点A '作A H '垂直于AE ，垂足为H ，下面证明A H '⊥平面AB D ''。
图5AA '⊥平面A B C D '''' ∴B D ''⊥AA '又 在正方形A B C D ''''中，对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''= AA '⊂平面AA E ', A C ''⊂平面AA E '∴由线面垂直的判定定理知道B D ''⊥平面AA E ' A H '⊂平面AA E ' ∴A H '⊥B D ''又由A H '的作法知道A H '⊥AE ，且有B D '' AE E =，B D ''⊂平面AB D ''，AE ⊂平面AB D ''∴由线面垂直的判定定理知道A H '⊥平面AB D ''根据点到平面距离定义，A H '的长度即为点A '到平面AB D ''的距离，下面求A H '的长度。
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法1.引言点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握的难点问题之一。
本文将介绍七种较为典型的求解方法，包括几何方法（如体积法、二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）以及常用数学思维方法（如转化法、最值法），以达到秒杀得分的效果。
2.预备知识1) 正射影的定义：从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。
同时，把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。
2) 点到平面距离定义：一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
3) 四面体的体积公式：V = Sh/3，其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
4) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
5) 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
3.求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到平面距离定义法是最基本的求解方法之一，根据点到平面距离的定义，可以通过求点在平面上的正射影来求解点到平面的距离。
3.2 转化法求点到平面距离转化法是一种常用的求解方法，通过将问题转化为等价的问题来求解。
在点到平面距离的求解中，可以通过将平面方程转化为标准式，然后代入点的坐标，求解点到平面的距离。
3.3 等体积法求点到平面距离等体积法是一种几何方法，通过构造等体积的四面体来求解点到平面的距离。
具体方法是在点与平面之间构造一个四面体，使其与另一四面体等体积，然后根据四面体的体积公式来求解点到平面的距离。
3.4 利用二面角求点到平面距离二面角法是一种几何方法，通过求解点与平面所夹二面角的正弦值来求解点到平面的距离。
具体方法是求解点到平面的垂线与平面法线的夹角，然后根据正弦定理求解点到平面的距离。
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题,是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本）中的概念、习题，概括出求点到平面的距离的几种基本方法．例已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点,ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离,求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结ＧＭ,作ＢＮ⊥ＢＣ,交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ，ＢＮ⊥平面ＡＢＣＤ．作ＢＰ⊥ＥＭ，交ＥＭ于Ｐ，易证平面ＢＰＮ⊥平面ＥＦＧ．作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ，则ＢＱ⊥平面ＥＦＧ．于是ＢＱ是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．易知ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝，ＰＮ＝,由ＢＱ·ＰＮ＝ＰＢ·ＢＮ,得ＢＱ＝．图1图2２．不直接作出所求之距离，间接求之．（１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题,Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ—ＣＤ-Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ, 则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3，过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ,交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ—ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ,易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２，Ａ求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题,是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》（必修本）中的概念、习题,概括出求点到平面的距离的几种基本方法．例已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形,Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离，求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离,延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结ＧＭ，作ＢＮ⊥ＢＣ,交ＧＭ于Ｎ,则有ＢＮ∥ＣＧ，ＢＮ⊥平面ＡＢＣＤ．作ＢＰ⊥ＥＭ，交ＥＭ于Ｐ,易证平面ＢＰＮ⊥平面ＥＦＧ．作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ，则ＢＱ⊥平面ＥＦＧ．于是ＢＱ是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．易知ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝,ＰＮ＝，由ＢＱ·ＰＮ＝ＰＢ·ＢＮ，得ＢＱ＝．图1图2２．不直接作出所求之距离,间接求之．(１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题,Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点,它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ—Ｎ的大小为α,Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ，则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3,过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ,易知ＢＰ＝,这就是点Ｂ到二面角Ｃ—ＥＦ—Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ,易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２,ＡＣ＝４,ＡＨ＝，∴ ＣＨ＝３，ＧＨ＝，ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/,于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝· ＝．解略．（２）利用斜线和平面所成的角．如图4，ＯＰ为平面α的一条斜线，Ａ∈ＯＰ，ＯＡ＝ｌ，ＯＰ与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ,则由斜线和平面所成的角的定义可知，有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交，交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结ＯＢ得θ．解法3．如图5，设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作ＢＲ⊥ＧＭ,Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ,易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ，ＥＲ为它们的交线，所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得ＢＲ＝，在Ｒｔ△ＲＥＢ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＲ＝,ＥＢ＝２,所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝，于是由②得所求之距离ｄ＝．图5图6（３）利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6，设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ,则三棱锥Ｂ—ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ,可求得Ｓ△ＦＥＢ＝（１/４）Ｓ△ＤＡＢ＝２,Ｓ△ＥＦＧ＝，所以有１/３··ｄ＝１/３·２·２，得ｄ＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7，易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ，所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知，取ＢＤ中点Ｏ,求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ，作ＯＫ⊥ＨＧ,Ｋ为垂足，ＯＫ＝为所求之距离．图7图8２．利用平行平面间的距离确定如图8，把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面,可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ，ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ，作ＢＰ∥ＭＧ,交ＣＧ于Ｐ，连结ＤＰ，则有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置，哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积有关,所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ，另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ，可求得ＢＮ＝２/３，ＣＰ＝４/３，ＰＢ＝ＰＤ＝,ＢＤ＝，Ｓ△ＰＤＢ＝,Ｓ△ＣＤＢ＝８，所以·ｄ＝８·２３，得ｄ＝为所求之距离．。
求点到平面距离的基本方法
求点到平面距离的基本方法点到平面的距离是空间几何中一个重要的概念，它对于解决一些实际问题以及理论研究都有着重要的意义。
在本文中，我将介绍点到平面距离的基本方法，包括数学公式的推导、几何解法、向量法和线代法等。
首先，我们考虑三维空间中的一个平面，假设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A，B，C和D为常数，并且平面上有一点P(x0,y0,z0)。
我们的目标是求点P到平面的距离。
一、数学公式的推导为了推导出点到平面距离的公式，我们可以利用向量的知识。
首先，设平面上任意一点Q(x,y,z)，则该点到平面的距离为点PQ的长度。
由于平面上的点Q一定满足平面方程，将Q的坐标代入平面方程可得：Ax+By+Cz+D=0然后，我们用向量表示点P到点Q的向量为向量v=PQ=(x-x0,y-y0,z-z0)。
由向量的点积定义可知，点积v·(A, B, C) = ，v， * ，(A, B, C)，* cosθ，其中，v，表示向量v的长度，(A, B, C)，表示向量(A, B, C)的长度，θ表示二者之间的夹角。
将向量v和(A,B,C)的定义代入点积公式可得：(A, B, C)·(x - x0, y - y0, z - z0) = ，v， * ，(A, B, C)，* cosθ化简上式得：Ax - Ax0 + By - By0 + Cz - Cz0 = ，v， * (A^2 + B^2 + C^2) * cosθ由于点P和点Q都在平面上，点P到平面的距离与平面的法向量垂直，即θ = 90°，cosθ = 0。
因此，上式最后一项为0。
进一步得到点P到平面的距离公式为：d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)这就是点到平面的距离的数学公式。
二、几何解法除了数学公式，我们还可以利用几何的方法来求点到平面的距离。
首先，我们可以将平面方程转化为点法式方程，即n·(P-P0)=0，其中n为平面的法向量，P为平面上任意一点的坐标，P0为平面上已知的一点的坐标。
点到面的距离的计算公式
点到面的距离的计算公式在几何学中，我们经常需要计算点与平面之间的距离。
点到面的距离可以理解为点离平面表面最近的距离。
本文将介绍点到面距离的计算公式及其推导过程。
点到平面的距离公式假设平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0，点坐标为 (x0, y0, z0)。
点到平面的距离公式可以使用几何推导得到。
步骤1：平面上一点到给定点的向量假设平面上任意一点 P 的坐标为 (x, y, z)，这个点到给定点的向量可以表示为 P - P0，其中 P0 为给定点 (x0, y0, z0) 的坐标。
步骤2：平面的法向量平面的法向量可以通过平面方程的系数得到，法向量的三个分量为 (A, B, C)。
步骤3：点到平面的距离点到平面的距离可以定义为点到平面法向量的投影长度，即点到平面法向量在点到平面上一点的向量上的投影长度。
根据向量的投影公式，点到平面法向量在点到平面上一点的向量上的投影长度可以表示为：d = |(P - P0)·n| / |n|其中·表示点乘运算，n表示平面的法向量。
步骤4：化简距离公式将点到平面的距离公式进行化简，可以得到更简洁的表达式。
首先，(P - P0)·n表示点到平面法向量在点到平面上一点的向量上的投影长度，等同于(A * (x - x0) + B * (y - y0) + C * (z - z0))。
此外，|n|表示法向量 n 的模，等同于sqrt(A^2 + B^2 + C^2)。
将上述结果代入点到平面距离的公式，可以得到点到平面的距离计算公式：d = |(A * (x - x0) + B * (y - y0) + C * (z - z0))| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)结论通过以上推导，我们得到了点到面距离的计算公式。
这个公式可以用于计算平面上给定点与某一平面之间的距离。
这个公式可以很方便地应用于几何学、三维计算等领域。
需要注意的是，这个公式要求平面方程的系数 (A, B, C) 不全为零，因为当这三个系数全为零时，平面方程无意义。
高一数学点到平面距离的求法
高一数学点到平面距离的求法一、由点向平面引垂线，且垂足位置可确定转化到在某平面内，求出点和垂足间的线段的长。
1、用定义直接构造法例1、如图，三棱锥S-ABC中，是等腰三角形，，,且面ABC，SA=3a。
求点A到平面SBC的距离。
解：作交BC于D,连结SD、平面ABC,根据三垂线定理有又,平面SAD。
又平面SBC，平面SBC平面ADS，且平面SBC平面ADS=SD 过点A作于H，则AH平面SBC。
在中，SA=3a,，故点A到平面SBC的距离为。
【点评】利用构造法关键是定位点在面内的射影。
常常要寻找过已知点且与所给面垂直的面，再过已知点作两垂面交线的垂线。
2、转移构造法（1）利用平行线转换点例2、在直三棱柱中，,（b>a）（1）求证：(2)求点到平面的距离、解：(1)连结,则，又，故。
知，得,知。
（2）由（1）得、过作于G, , 从而、故即为所求的距离。
易求。
【点评】利用直线与平面平行，把所求的点到平面的距离转移到平行线上另一点到平面的距离来求，是我们常用的方法。
（2）对称转移或利用定比分点例3、如图，已知ABCD是矩形，AB=a，AD=b，PA^平面ABCD，PA=2c，Q是PA的中点、求P到平面BQD的距离、解：过A作垂足为E，连结QE。
∵平面BQD经过线段PA的中点，∴P到平面BQD 的距离等于A到平面BQD的距离、在△AQE中，作AH^QE于H、∵BD^AE，BD^QE，∴BD^平面AQE、∴BD^AH，AH^平面BQE，即AH 为A到平面BQD的距离、在Rt△AQE中，∵AQ=c，AE=，∴AH=、例4、已知正方体的棱长为1，为上底面的中心。
求点到平面的距离。
析：点到平面的距离为线段的长，易求得、又为的中点，故点到平面的距离为。
【点评】转移构造常利用已知平面点分某条斜线段所成的比，体现着转化的思想。
二、由点向平面引垂线，垂足无法确定或难确定时1、等体积法（利用三棱锥的体积公式）例5、已知在棱长为1的正方体中，E、F分别是、CD的中点，求点B到平面的距离。
如何求解平面直角坐标系中的点到平面的距离
如何求解平面直角坐标系中的点到平面的距离求解平面直角坐标系中的点到平面的距离是一个基本的几何问题。
在平面直角坐标系中，点到平面的距离可以使用几何方法来计算，本文将介绍两种常见的求解方法。
方法一：点到平面的距离公式设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为实数且A、B、C不同时为0。
设点P(x0, y0, z0)，我们需要求解的是点P到平面的距离d。
根据点到平面的距离定义，点P到平面的距离d等于点P到平面上的任意一点Q的距离。
设点Q(x, y, z)为平面上的一点，则有：d = √((x0 - x)^2 + (y0 - y)^2 + (z0 - z)^2)要求解平面上的点Q，我们可以使用平面方程来确定x、y、z的值。
方法二：点到平面的投影距离另一种求解点到平面距离的方法是通过点在平面上的投影点来计算。
投影点是指点P在平面上的垂直投影点，记为H(xh, yh, zh)。
我们需要求解的是点P到平面上的投影距离d。
求解投影点H的过程如下：1. 计算平面法向量N = <A, B, C>；2. 计算点P到平面的距离d0 = (Ax0 + By0 + Cz0 + D) / √(A^2 + B^2 + C^2)；3. 计算投影点H的坐标xh, yh, zh：xh = x0 - (d0 * A) / √(A^2 + B^2 + C^2)yh = y0 - (d0 * B) / √(A^2 + B^2 + C^2)zh = z0 - (d0 * C) / √(A^2 + B^2 + C^2)最后，我们可以求解点P到投影点H的距离，即为点P到平面的距离d。
这两种方法都可以有效地求解平面直角坐标系中的点到平面的距离。
具体使用哪种方法取决于具体的问题和计算需求。
在实际问题中，可以根据自己的需求来选择合适的方法。
总结：本文介绍了两种常见的求解平面直角坐标系中的点到平面的距离的方法。
求点到平面距离地基本方法
求点到平面距离地基本方法求点到平面的距离是一个经典的几何问题，可以通过多种方法来解决。
在本文中，我们将介绍三种基本方法来求点到平面的距离，包括：1.基于向量法的点到平面距离计算方法2.基于公式法的点到平面距离计算方法3.基于投影法的点到平面距离计算方法这三种方法分别适用于不同的情况和问题，可以根据具体的需求选择使用。
1.基于向量法的点到平面距离计算方法：首先，我们可以将平面表示为一个点和法向量的组合，即可以表示为平面上任意一点P和法向量n。
对于给定的点Q，设到平面的距离为d，可得：d=，PQ·n，/，n其中，PQ·n，表示点PQ与法向量n的点乘的绝对值，n，表示法向量n的模。
这样就可以得到点到平面的距离。
2.基于公式法的点到平面距离计算方法：如果我们已知平面的解析式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D分别是平面的系数，我们可以将点Q的坐标代入平面的解析式中，计算平面方程的值。
将得到的结果代入到下面的公式中：d = ，Ax + By + Cz + D， / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)这样就可以得到点到平面的距离。
3.基于投影法的点到平面距离计算方法：对于给定的点Q，我们可以先将点Q在平面上的投影点P求出来，然后计算点P到点Q的距离，即为点到平面的距离。
为了求点Q在平面上的投影点P，首先需要计算平面的法向量n和平面上的任意一点A的连线向量V，然后计算点Q到点A的连线向量QV在法向量n上的投影向量PV。
最后，将点Q与投影向量PV的和即为点P的坐标，然后计算点P到点Q的距离即可得到点到平面的距离。
综上所述，我们介绍了三种基本方法来求点到平面的距离。
根据具体的问题和需求，可以选择适用的方法来计算点到平面的距离。
求点到平面的距离的方法
求点到平面的距离的方法
在学习几何学时，有些对于求点到平面的距离的问题会困惑很多学生。
其实，从数学的角度来看，求点到平面的距离是一个广泛而普遍的问题，而且其解决方案也有很多。
下面，我将介绍求点到平面的距离的几种方法。
第一种方法是直线和平面交点法。
首先，我们需要找到平面上与某一点最近的直线。
然后求出该直线和平面的交点，直线和点所组成的三角形的高即是点到平面的距离。
第二种方法是利用向量来求解。
根据几何学习的知识，我们知道，点到平面的距离是点到平面的垂线的长度。
从而可以通过向量的计算求出垂线的长度，从而求出点到平面的距离。
第三种方法称为“分段法”。
首先，我们需要将平面上的点进行分隔，每个分隔的点都可以用一条直线来描述，从而可以计算出每个点到每条直线的距离。
之后，该点到整个平面的距离就可以得到，因为点到平面的距离就等于点到每条直线的最短距离。
最后，我再介绍一种求点到平面的距离的方法，称为“三维空间中的点分层法”。
首先，将该点投影到三维空间中，然后求出点到每个层的距离，最后加总求出该点到整个空间的距离。
以上就是求点到平面的几种方法。
这些方法在现实生活中都有着广泛的应用，比如在测量物体时会使用。
同时，在解决一些几何学问题时，也会需要用到这些算法。
总之，求点到平面的距离的方法不仅有助于我们更好地理解它，也很实用，有助于我们更好地应用。
点到平面距离计算的五种方法
点到平面距离计算的五种方法一、五种方法1.定义法对于求点到面的距离问题,首先是根据点到面的距离的定义来求，过该点直接作平面的垂线,再在构造的直角三角形中,求出这条垂线段的长度.2.平移转化点到面的距离不好求时,可以通过求过该点且平行于平面的直线上另外一点(这个点到平面的距离比较好求)到该平面的距离,来解决问题.3.垂面法在用定义法求点到面的距离,垂足往往比较特殊，很难直接找到，此时就需要借助面面垂直的性质来完成，如图，过A 向平面β作垂线，可以先找到一个过点A 且垂直于面β的平面α，于是只需过A 向交线做垂线，垂足为B ，则AB 即为点A 到面β的距离，这种做点到面距离的方法具有很强的操作性，经常使用.4．等体积法利用体积公式求出距离.5．向量法如图，已知平面α的法向量为→n ，α⊥PQ ，垂足为Q ，A 为平面α内任一点，则平面外一点P 到平面α的距离为：||||||→→→→⋅=n n AP PQ,二、例题分析例1．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为π4．当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为（）．A．4πB．6πC．8πD．10π解析：如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ，则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角，所以π4PMA ∠=，因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上，注意1AB =，3AD =，记点M 的轨迹为圆弧EF ，当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小，由AF、BF 在面ABCD 内，则π2PAF PBF ∠=∠=，三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点.因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()24π28πS ==.故选：C例2．如图．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，平面1A BC ⊥平面11ABB A ．(1)求点A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，求平面ABD 与平面CBD 夹角的正弦值．解析（1）方法1：垂面法：由于平面1A BC ⊥平面11ABB A ，而B A 1为交线，故过A 向B A 1作垂线，垂足为E ，显然2=AE 方法2：等体积法：在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，取1A B 的中点E ，连接AE，则1AE A B ⊥，因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，则有⊥AE平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，即有AE BC ⊥，因为1AA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，则1AA BC ⊥，因为11,,AA AE A AA AE =⊂ 平面11ABB A ，于是BC ⊥平面11ABB A ，又AB ⊂平面11ABB A ，因此BC AB ⊥，1111142223323A ABC ABC V S AA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，111112332A A BC A BC V S h h -=⋅=⨯⨯⨯，又11A ABC A A BC V V --=，解得h ，所以点A 到平面1A BC例3．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，2PD DC ==，AD =为BC 的中点.（1）求D 到平面APM 的距离；（2）求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值.解析：（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，所以可以建立以D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DP 方向为z 轴，如图所示的空间直角坐标系，又2PD DC ==，AD =M 为BC 的中点，所以(0,0,0)D，A，2,0)M ，(0,0,2)P ，所以2)PA =-，2,2)PM =-，DA = 设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z = ，所以()()()),,220,,2,2220n PA x y z z n PM x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩ ，取1x =，解得z =，2y =，所以2n = ，所以D 到平面APM 的距离为DA n n ⋅ （2）所以平面ABD与平面CBD .例4.如图,长方体111l ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形,4l AA =,点E 为棱l AA 的中点.(1)求证:BE ⊥平面11EB C ;(2)求点A 到平面1CEB 的距离.解析：(2)方法一：取1CB 的中点,F BC 的中点P ,连接1,,,,EF AP PF PB PE ,可得//AE PF ,且AE PF =,则四边形APFE 为平行四边形,可得//AP EF ,又因为AP 平面1,CEB EF ⊂平面1CEB ,所以//AP 平面1CEB ,所以点A 到平面1CEB 的距离等于点P 到平面1CEB 的距离,易知11P CEB E PCB V V --=,在1CEB ∆中,2222222112223,222,4225CE EB CB =++==+=+,所以22211CE EB CB +=,从而1CEB ∆为直角三角形.设点P 到平面1CEB 的距离为dP ,所以111133CEB P PCB S d S AB ∆∆⨯⨯=⨯⨯,即1111321423232P d ⨯⨯=⨯⨯⨯,解得63P d =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63;方法二：等体积法设点P 到平面1CEB 的距离为h ,因为112,5,3B E B C CE ===,所以三角形1CEB 是直角三角形,1126,2CEB AEB S S ∆∆==,而11A CEB C AEB V V --=,可得11262233h ⨯=⨯⨯,解得63h =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63.例5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．(1)证明：1A C AC =；(2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:∵1A C ⊥面,ABC BC ⊂面ABC ∴1A C BC ⊥，∵90ACB ∠=︒,即BC AC ⊥,且1,A C AC ⊂面111,ACC A A C AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A ,∵BC ⊂面11BCC B ∴面11ACC A ⊥面11BCC B ,过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于点O ,且面11ACC A ⋂面111BCC B CC =,∴1A O ⊥面11BCC B ,∵1A 到面11BCC B 的距离为11,1A O ∴=,在Rt 11A CC ∆中,111111,2,A C A C CC AA A C AC ⊥===,设CO x =,则2212,11(2)4C O x x x =-+++-=,解得:1x =,∴1112AC A C A C ===,∴1A C AC =.（2）11113cos cos ,13||n AB n AB n AB θ⋅∴===。
点到面的距离如何算
点到面的距离如何算在几何学中，我们经常会遇到求点到面的距离的问题。
点到面的距离是指从给定的点到最近的面的距离，它是一个重要的几何概念，广泛应用于计算机图形学、机器人技术、三维建模等领域。
本文将介绍几种常见的计算点到面距离的方法。
1. 点到平面距离的概念首先，让我们定义点到平面距离的概念。
考虑一个平面，假设平面上有一点P，其坐标为(xp, yp, zp)，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0。
那么点P到平面的距离就是点P到平面的垂直距离，即点P到平面的最短距离。
2. 点到平面距离的计算方法接下来，我们将介绍几种常见的计算点到平面距离的方法。
2.1 平面法向量法计算距离首先，我们可以使用平面的法向量来计算点到平面的距离。
平面的法向量可以通过平面方程的系数得到，即法向量为(Nx, Ny, Nz) = (A, B, C)。
对于给定的点P(xp, yp, zp)，我们可以使用以下公式来计算点P到平面的距离：distance = |Axp + Byp + Czp + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)其中，|Axp + Byp + Czp + D|为平面方程的值，sqrt(A^2 + B^2 + C^2)为法向量的模长。
2.2 点到平面的投影距离另一种常见的方法是计算点到平面的投影距离。
我们可以首先计算点P在平面上的投影点Q(xq, yq, zq)。
通过将点P投影到平面的垂直方向上，我们可以得到点Q。
然后，我们可以计算点P到点Q的距离，这个距离就是点P到平面的距离。
2.3 点到三角形面的距离当我们需要计算点到三角形面的距离时，可以使用以下方法。
首先，将这个问题转化为点到平面的距离问题，即计算点到平面的距离。
然后，我们需要判断点P是否在三角形的投影内部。
通过判断点P在三角形投影内的位置，我们可以得到点P到三角形的距离。
这个过程涉及到一些几何计算，包括点的投影计算、点在多边形内的判断等。
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法大关一中 胡兴兆点到平面的距离是高中立体几何的一项基本要求，点到平面的距离涉及先面平行、线面垂直、面面垂直等关系，也是高考经常遇见的一个知识点。
下面就用几个列子说明点到平面的距离的几种求法。
一、直接法1、 直接过点作平面的垂线。
例1 已知：直线l 与平面α交于点O,点A 在直线l 上, OA=2cm.l 与α所成的角为300，求点A 到平面α的距离。
解：过点A 作AB ⊥α，垂足为B ，则∠AOB=300，在直角三角形ABO 中,AB=OA ⨯sin ∠AOB =3⨯sin300=3⨯21=23∴点A 到平面α的距离为23cm 。
2、直接过点作平面内某一直线的垂线。
例2 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是边长为1的 正三角形，侧棱与底面垂直，M 是BC 的中点， 且MC 1=MA ，求点B 到平面AMC 1的距离. 解：过B 作BF ⊥C 1M 交C 1M 的延长线于F,M 是等边三角形ABC 中BC 边上的中点，∴ AM ⊥BCC 1C ⊥平面ABC, AM ⊂平面ABC∴ AM ⊥C 1CC 1M BC=C∴ AM ⊥平面BCC 1BF ⊂平面BCC 1∴BF ⊥A又 BF ⊥C 1F,C 1F AM=M∴BF ⊥平面AMC 1∴BF 的长就是点B 到平面AMC 1的距离，M FBAB 1C 1A 1ClA BO易知：AM=MC 1=23,MC=MB=21,CC 1=22在∆BFM 和∆C 1CM 中，∠BFM=∠C 1CM=900∠BMF=∠C 1CM,∴ ∆BFM ∽∆C 1CM, ∴BF cc 1=BMMC 1, ∴ BF=11MC CC ⨯BM=232122⨯=66, ∴点B 到平面AMC 1的距离是66。
二、等体积法例 已知三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，侧棱垂直于底面，且C 1C=AC=BC=2,求点C 到平面C 1AB 的距离。
分析：点C 到平面C 1AB 的距离就是三棱锥C-C 1AB 的高。
点到平面的距离公式是什么
点到平面的距离公式是什么点到平面的距离公式点到平面的距离公式为设该点与平面内任意一点的连线的向量为a向量，平面的法向量为n向量，距离为d=|axn|/|n|，即：a向量与n向量的数量积除以n向量的模。
点到平面的距离公式是什么点到平面的距离就是：该点与平面内任意一点连成的线段，在平面的法向量上的射影长。
点到平面的距离公式：Ax+By+Cz+D=0。
平面，是指面上任意两点的连线整个落在此面上，一种二维零曲率广延，这样一种面，它与同它相似的面的任何交线是一条直线。
是由显示生活中(例如镜面、平静的水面等)的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别，既具有无限延展性(也就是说平面没有边界)，又没有大小、宽窄、薄厚之分，平面的这种性质与直线的无限延展性又是相通的。
在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量)，数量(或标量)只有大小，没有方向。
点到平面的距离公式推导过程1.平面的一般表达式：其中n=(A,B,C)是平面的法向量，D决定了平面与原点之间的距离，当D=0时，平面经过原点。
2.向量的模(长度)：给定一个向量V=(x,y,z)。
点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度。
当点在平面内时，该点到平面的距离为0。
点和平面的位置关系点与平面几种位置关系：属于和不属于直线和直线几种位置关系：平行,相交,异面,重合直线和平面几种位置关系：属于,平行,相交平面和平面几种位置关系：平行,相交,重合点和平面的离差是什么1、点到平面的离差是什么意思。
2、点与平面的离差是什么。
3、点到平面的离差怎么算。
4、点到平面的离差的计算公式。
1.点到平面的离差的绝对值就是点到平面的距离。
2.绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“||”来表示。
点到平面距离计算的五种方法
点到平面距离计算的五种方法计算点到平面的距离是几何学中常见的问题，可以通过不同的方法来解决。
下面将介绍五种常用的计算点到平面距离的方法。
方法一：点法式方程点法式方程是计算点到平面距离最常见的方法之一、给定点P(x₁,y₁,z₁)和平面Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面的法向量，D为平面的常数项，可以通过以下公式计算点到平面的距离d：d=，Ax₁+By₁+Cz₁+D，/√(A²+B²+C²)方法二：投影平面上任意一点Q(x₂,y₂,z₂)，可以通过计算点P在平面上的投影点R(x,y,z)来得到点到平面的距离。
首先，计算向量PQ和平面法向量N的点积，再将点积除以平面法向量N的长度，即可得到点P到平面的距离d。
d=，PQ·N，/，N方法三：三角形法可以利用点P与平面上三个点构成的三角形PQR，通过计算三角形PQR的面积来求点到平面的距离。
假设PQ=a，QR=b，RP=c，计算三角形PQR的半周长s：s=(a+b+c)/2然后，使用海伦公式计算三角形PQR的面积S：S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))利用面积S和边长a、b、c，通过以下公式计算点到平面的距离d：d = 2S / bas方法四：垂足法垂足法是通过计算点到平面的垂直距离来求得点到平面的距离的方法。
首先，计算点P到平面上一点A的距离AP，然后计算点P到平面法向量N的距离PN，利用勾股定理计算垂直距离PH：PH=√(AP²-PN²)最后，通过计算PH的值即可得到点到平面的距离d。
方法五：向量法通过计算点P到平面的投影向量P'和点P与投影点P'之间的距离，可以得到点到平面的距离。
首先，计算P到平面的单位法向量N，再计算点P到平面的投影向量P'：P'=P-(P·N)N其中，P·N为点P与单位法向量N的点积。
最后，通过计算点P到投影点P'的距离即可得到点到平面的距离d。
点到平面的距离的计算
点到平面的距离的计算方法一：点法式方程点法式方程是用法线向量和一个平面上的点表示平面的方程。
假设平面的法线向量为N=(a,b,c)，平面上一点为P0=(x0,y0,z0)，给定点为P=(x,y,z)。
点到平面的距离可以通过点法式方程计算。
点法式方程可以表示为：d = ，a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0)， / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)其中，d表示点到平面的距离。
方法二：向量投影向量投影是另一种计算点到平面距离的方法。
首先，将给定点与平面上的任意一点P0相减得到向量v。
然后，将向量v投影到平面的法线向量N上，得到投影向量proj(N, v)。
点到平面的距离等于投影向量的长度。
投影向量可以通过以下公式计算：proj(N, v) = v - proj(N, v) = v - ((v·N) / ，N，^2) * N。
其中，·表示向量的点积运算，N，表示向量N的长度。
方法三：平面方程平面方程是用平面上的三个点表示平面的方程。
给定点到平面的距离也可以通过平面方程进行计算。
假设平面方程为ax + by + cz + d = 0，给定点的坐标为(x, y, z)，点到平面的距离可以通过以下公式计算：d = ，ax + by + cz + d， / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)其中，d表示点到平面的距离。
方法四：Q-公式Q-公式是一种简单而直接的方法，可以通过平面参数方程和点坐标计算点到平面的距离。
首先，将平面参数方程表示为点(x0,y0,z0)和两个法向量v1=(a1,b1,c1)和v2=(a2,b2,c2)的叉积。
然后，将给定点(x,y,z)带入参数方程中，计算出参数u和v。
点到平面的距离可以通过以下公式计算：d = ，u*v1 + v*v2， / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)其中，d表示点到平面的距离。
以上是常用的几种计算点到平面距离的方法。
数学技巧30点直线平面之间距离的计算方法
数学技巧30点直线平面之间距离的计算方法在计算数学中，我们经常会遇到直线与平面之间的距离问题。
下面将介绍几种常见的计算方法。
方法一：点到平面的距离公式设直线L的方程为Ax+By+C=0，平面P的方程为Ax+By+Cz+D=0。
取直线上一点M(x0,y0)，则直线L到点M的距离为d，平面P到点M的距离为h。
那么直线L与平面P的距离d就是点M到平面P的距离h。
根据点到平面的距离公式，可以得到：h=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)方法二：点法式求距离设直线L的方向向量为向量A，平面P的法向量为向量N。
取直线上一点M(x0,y0)，则直线L到点M的距离为d，平面P到点M的距离为h。
那么直线L与平面P的距离d就是直线L方向向量A在平面P的法向量N上的投影长度。
根据点法式求距离，可以得到：d=，A·N，/，N方法三：直线法式求距离设直线L的方程为Ax+By+Cz+D1=0，平面P的方程为Ax+By+Cz+D2=0。
取直线上一点M(x0,y0,z0)，则直线L到点M的距离为d，平面P到点M的距离为h。
那么直线L与平面P的距离d就是平面P方程中的常数项的差值。
根据直线法式求距离，可以得到：d=，D2-D1，/√(A^2+B^2+C^2)方法四：空间直线的参数方程性质求距离设直线L的参数方程为:x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct平面P的方程为Ax+By+Cz+D=0。
取参数t对应的点M(x,y,z)，则直线L到点M的距离为d，平面P到点M的距离为h。
那么直线L与平面P 的距离d就是点M到平面P的距离h。
根据参数方程性质求距离，可以得到：h=，Ax+By+Cz+D，/√(A^2+B^2+C^2)这些是常见的计算直线和平面之间距离的方法。
在实际问题中，可以根据具体情况选择适合的方法来计算距离。
点到平面距离的几种求法
点到平面距离的几种求法通过对立体几何中空间的距离的学习，不难发现：直线与平面间的距离、两平行平面间的距离，都可以转化为点到平面的距离来解决。
为此，我总结了几种点到平面距离的求法，归纳如下：一、 直接法，通常有两种情况：1、 利用空间图形的性质寻求垂足的位置，直接向平面引垂线，构造三角形求解。
例1 已知ABC ∆，9=AB ，15=AC ，︒=∠120BAC 。
ABC ∆所在平面α外一点P 到此三角形三个顶点的距离都是14，求点P 到α的距离。
分析：由题意知，点P 在α内的射影为ABC ∆的外心。
然后利用外心的性质就比较容易解决问题。
解：如图1，过点P 作α⊥PO 于13422=+y x ， 14===PC PB PA ，∴点O 为ABC ∆的外心，连结OCOC 的长度为ABC ∆外接圆的半径。
︒=∠==120,15,9BAC AC AB ，21120cos 222=⨯⨯⨯-+=∴︒AC AB AC AB BC由正弦定理得，37120sin 2121sin 21==∠=︒BAC BC OC 。
在POC Rt ∆中，722=-=OC PC PO ，即点P 到α的距离为7。
2、种用垂面寻求垂足的位置。
即“找”或“作”出一个经过该点和已知平面垂直的平面。
然后，过该点作交线的垂线，则得到点到平面的垂线段。
例 2 已知ABC Rt ∆中，︒︒=∠=∠90,30C B ，等腰DBC Rt ∆中CD AC a AC D ===∠︒,,90，求点C 到面ABD 的距离。
解：CD AC BC AC ⊥⊥,BCD AC ⊥∴，BD AC ⊥∴又ACD BD CD BD ⊥∴⊥,。
ABD BD ⊂ ，ACD ABD ⊥∴。
交线为AD ，过C 作AE CE ⊥于E ， 则ABD CE ⊥，则CE 的长为点C 到面ABD 的距离。
在ABC Rt ∆中，a AC ABC ==∠︒,30则a BC a AB 3,2==。
在等腰DBC Rt ∆中26a BD CD ==， 在ACD Rt ∆中，a AD AC CD CE a a a AD 515,2104622=⨯==+= 则点C 到面ABD 的距离为a 515。
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利用两个平面垂直，直接作出点到平面的距离.
2, A .AM为点A到平面的距
求点到平面距离的基本方法
北京农大附中闫小川
求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也
是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出
求点到平面的距离的几种基本方法.
(I )求证：AE 平面BCE ;
(n )求二面角B AC E的大小;
(m )求点D到平面ACE的距离.
(I)、( n)解略，(m)解如下:
、直接法
例 (2005年福建高考题)如图1,直二面角 D AB E中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE EB，F为CE上的点, 且BF 平面ACE.
D
B
解：如图3,过点A 作AG 峑EC ，连结DG,CG ，则平面ADG //平面BCE , •••平面BCE 平面ACE , •••平面ADG 平面ACE ,
作DH AG,垂足为H ，则DH 平面ACE.
••• DH 是点D 到平面ACE 的距离.
二、平行线法
,B 为I 上任意一点，AM , BN ,则AM BN . 点A 到平面的距离转化为平行于平面 的直线I 到平面的距离，再转化为直
线I 上任意一点B 到平面 的距离.
解：如图5,过点D 作DM 屯AE ，连结CM ，则DM //平面ACE , 点D 到平面ACE 的距离转化为直线 DM 到平面ACE 的距离，再转化为点
M 到平面ACE 的距离.
作MN CE,垂足为N ,
在 Rt ADG 中, DH
AD DG 2 迈
2/3 AG
76
3
如图 4, A 1,1 // C
B
•••平面CEM 平面ACE ,
••• MN 平面 ACE ,
••• MN 是点M 到平面ACE 的距离.
三、斜线法
利用平面的斜线及三角形相似，转化为求斜线上的点到平面的距离
.如图
AO
O , A,B l , AM , BN ,若竺 t,则 AM t BN.点 A 到
BO
平面 的距离转化为求直线I 上的点B 到平面 的距离.
解：如图8, BD 与AC 的交点为Q ，即BD 平面ACE Q , ••• DQ BQ ,
•••点D 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等. •••平面BCE 平面ACE ，BF 平面ACE , • BF 是点B 到平面ACE 的距离.
在 Rt CEM 中，MN
EM CM 2 72
C E 7
6
6、7,
l
N
的一条斜线，A OP , OA l , OP 与 所成的角为
A 到平面 的距离为d ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有 d Isin .
经过OP 与 垂直的平面与 相交，交线与OP 所成的锐角就是OP 与 所成 的角，这里并不强求要作出A 在 上的射影B ，连结OB 得.
解：如图10，v BF 平面ACE ， •••平面BDF 平面ACE ，
BQF 为DQ 与平面ACE 所成的角为,则点D 到平面ACE 的距离 d DQ sin
由（n ）知二面角B AC E 的正弦值为,得sin
3
••• D 到平面ACE 的距离d V2 — 酝
3
3
在 Rt BCE 中，BF
BC BE 2 迈 2^3
CE
四、线面角法
如图9, OP 为平面
屆 3
解：女口图 12, •••平面 ACD 平面 ACE AC , DQ 平面 ACD , DQ AC , 设二面角D AC E 的大小为，则点D 到平面ACE 的距离d DQsin
由（n ）知二面角B AC E 的正弦值为^6
,得sin —
3
3
2P3 ••• D 到平面ACE 的距离d 丘—
3
3
五、 二面角法 如图11, 点A
到平面的距离AO
图10
所成二面角的大小为 ，A , AB l , AB a ,
d ，则有d as in .也就是二面角的大小，而不强
求作出经过AB 的二面角的平面角.
B
图11
六、体积法
•••二面角D AB E 为直二面角, ••• E0 丄平面 ABCD.
1
-AD DC EO
• h ——
-AE EC 2
•••点D 到平面ACE 的距离为沁
3
B
设D 到平面ACE 的距离为h ,
V D ACE V
E ACD ，
h 1S
ACE h 3
S
ACD
E0.
AE 平面BCE , ••• AE
EC.
B
解：如图13,过点E 作EO
AB 交 AB 于点 0,0E 1.
1 2
2_ 1
丘46
2
2J3 3
七、向量法
解：如图14,以线段AB的中点为原点0, 0E所在直线为x轴，AB所在直
线为y轴，过0点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系AE 平面BCE，BE 平面BCE，
• •• AE BE ,
在Rt AEB中,AB 2,0为AB的中点,
••• 0E 1,
••• A(0, 1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).
AE (1,1,0), AC (0,2,2).
设平面ACE的一个法向量为n (X, y, z)，
n0,即x y 0,
n 0, 2y 2z 0.
令X 1,得n (1, 1,1)是平面ACE的一个法向量.
练习: 0 xyz，
则
AC
解得y
z
X ,
AD z AD 2 AD (0,0,2) ACE d |AD||cos AD,n
|AD n| 2
273
3 3
如图15,已知ABCD是边长为4的正方形，E、F 分别是AB、AD的中点,
图14
GC垂直于ABCD所在平面，且GC 2，求点B到平面EFG的距离.（答案:
2/1)
11 )
C
B
E。