一元二次方程与实际问题题型归纳

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一元二次方程实际问题类型讲解

一元二次方程实际问题类型讲解
一元二次方程是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

一元二次方程在实际问题中的应用非常广泛，下面将介绍几个常见的实际问题类型：
1. 抛物线运动问题：例如一个抛出的物体在空中的运动轨迹可以用一元二次方程来描述。

方程的解可以告诉我们物体的最高点、落地时间等信息。

2. 面积和周长问题：比如求解一个长方形的边长或者一个圆的半径，可以通过建立一元二次方程来求解。

例如，已知长方形的周长为20米，要求长方形的面积最大，可以建立面积的一元二次函数并求解其最值。

3. 时间与距离问题：例如两个行人相向而行，一个以每小时4公里的速度前进，另一个以每小时6公里的速度前进，问多长时间他们相遇。

可以通过建立两个行人的距离关系的一元二次方程来解决问题。

4. 投影问题：例如一个人在斜坡上投掷物体，已知斜坡的高度和水平距离，求物体的飞行时间和最远的落点。

可以通过建立一元二次方程来求解。

5. 金融问题：一元二次方程也可以应用于金融领域，例如计算贷款的利率、还款时间等。

可以通过建立一元二次方程模型来帮助分析和解决金融问题。

这些只是一元二次方程在实际问题中的几个常见应用，实际上，一元二次方程具有广泛的应用领域，可以涉及物理、经济、工程等多个领域。

通过建立方程模型并求解方程，我们可以更好地理解和解决实际问题。

实际问题与一元二次方程公式总结

实际问题与一元二次方程公式总结一元二次方程，这个听起来有点高深的名词，其实在生活中随处可见，像是一个调皮的小孩，总是在我们不经意间出现。

你有没有想过，为什么有些时候我们在路上走着，突然发现了一道题目，问你这条路到底有多长？就是这时候，一元二次方程就可以派上用场了。

简单来说，它的形式就是ax² + bx + c = 0，这个公式里，a、b、c都是数字，而x就是我们要找的那个神秘的变量。

咱们先别被这几个字母吓着，想象一下，这就像是在解一个宝藏的谜题，越往下挖，越能发现里面的精彩。

说到这里，或许你会想，为什么这个方程在生活中如此重要呢？想想看，当我们想要知道一个物体的运动轨迹，比如一颗小球从空中掉下来的过程，或者在运动会上，跳远的同学是如何飞出去的，这些都是一元二次方程的应用。

很多时候，生活中的问题都可以变成数学题。

甚至你在计划一次旅行，想知道什么时候能到达目的地，速度和时间的问题都可以用到它，真的是“处处是学问”。

我们来聊聊求解方法吧！哎，解这个方程有好几种方法，其中最经典的就是“求根公式”，听起来是不是特别高级？它就像是一把万能钥匙，能帮你打开通往答案的大门。

公式是这样的：x = (b ± √(b² 4ac)) / (2a)。

听起来有点复杂，但别担心，只要我们把a、b、c代入进去，轻轻一算，答案就会乖乖地跑出来，像小猫一样，蹦跶着来到你面前。

你可能会问，这个“±”符号是个啥？哈哈，这可是个关键的角色。

它告诉我们，可能有两个不同的答案，就像在选择午餐时，一边是披萨，一边是汉堡，你可以随意选择。

如果b² 4ac这个部分大于零，嘿，那就有两个不同的答案。

如果等于零，那只有一个答案，就像你今天的午餐只有一个选择。

而如果它小于零，哎，那就没办法了，答案就像是被藏起来的宝藏，无论你怎么找也找不到。

光会解方程可不够，我们还得学会如何把这些答案应用到实际中。

比如，当你计算出一个物体的运动轨迹时，结合一下时间和速度，你就能知道它在什么时候到达什么地方。

实际问题与一元二次方程(传播问题)

x
1
2.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 3.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 4.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?
…… ……
被传染人
被传染人
被传染人
被传染人
x
被传染人
x
被传染人
……
……
……
x
开始传染源
x
开始传染源
1
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则第一轮的传染源有 1 人，有 x 人被传染，第二轮的传染源有 x+1 人，有 x(x+1) 人被传染.
x+1+x(x+1) 人患用代数式表示,第二轮后共____________ 了流感
x+1+x(x+1)=121
解方程,得 10 -12 (. 不合题意,舍去) _____, ______ x1 x2
10 答:平均一个人传染类问题是传播问题. 2,计算结果要符合问题的实际意义.
思考:如果按照这样的传播速度,n轮后有多少人患流感?
(1 x)
实际问题与一元二次方程
（传播问题）
传播问题
例 1：有一人患了流感经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则第一轮的传染源有 1 人，有 x 人被传染，第二轮的传染源有 x+1 人，有 x(x+1) 人被传染.
被传染人被传染人

一元二次方程的实际应用题型总结

一元二次方程的实际应用题型总结【一】一元二次方程的定义与解【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a 为何值时，关于x 的方程（a -1）x |a|+1+2x -7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x 的一元二次方程（a -1）x 2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a 的值为（）A ．-1B ．0C ．-1D ．-1或1例2、已知多项式ax 2-bx+c ，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b 的值（2）直接写出关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x 的方程（k 2-1）x 2-（k+1）x -2=0（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

巩固练习1、下列方程中，是一元二次方程的为（）A. x 2= -1B. 2x （x -1）+1=2x 2C. x 2+3x=2xD. ax 2+bx+c -0 2、已知关于x 的方程mx 2+(m -1)x -1=2x 2-x ，当m 取什么值时，这个方程是一元二次方程？3、若关于x 的一元二次方程（a -2）x 2+ 是一元二次方程，则a 的取值范围是4、把方程 (x -1)2-3x （x -2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项5、若a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，求2a 2-5a -2+231a +的值6、若关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a≠0）中，abc 满足a+b+c=0和a -b+c=0，则方程的根是（）A. 1，0B. -1，0C. 1，-1D. 1，27、已知x=1是一元二次方程ax 2+bx -40=0的一个解，且a≠b ，求2222a b a b--的值【二】一元二次方程的解法一、直接开平方法1、下列方程能用直接开平方法求解的是（）A. 5x 2+2=0B. 4x 2-2x -1=0C. 12(x -2)2=4 D. 3x 2+4=2 2、若关于x 的一元二次方程5x 2-k=0有实数根，则k 的取值范围是_________3、已知(a 2+b 2-1)2=9，则a 2+b 2=_________4、已知一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根是1，且a ，b 满足等式4，求方程13y 2-2c=0的根5、用开平方法解下列方程（1）2 9(x 1)25-= （2）()26x 181-= （3）(x -1)2=(3x -4)2二、配方法1、（1）x 2--____)2 （2）3x 2+12x+____=3(x+____)2 （3）12x 2-5x+____=12(x -____)2 2、若x 2+ax+9是关于x 的完全平方式，则常数a 的值是__________3、多项式4x 2+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式可以是4、一元二次方程x 2-px+1=0配方后为(x -q)2=15，那么一元二次方程x 2-px -1=0配方后为（）A. (x -4)2=17B. (x+4)2=15C. (x+4)2=17D. (x -4)2=17或(x+4)2=175、若x 为任意实数，则x 2+4x+7的最小值为__________★★★★当x=_______时，代数式3x 2-2x+1有最_______（填大或小）值为_______6、用配方法证明：关于x 的方程(m 2-12m+37)x 2+3mx+1=0，无论m 为何值，此方程都是一元二次方程。

实际问题与一元二次方程知识点总结及重难点精析

实际问题与一元二次方程知识点总结及重难点精析一、知识点总结1.在九年级数学中，实际问题与一元二次方程这一章知识点主要包括：一元二次方程的基本概念、性质及其在实际问题中的应用。

2.一元二次方程的基本概念：一元二次方程是一个含有未知数x 的整式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。

其中a、b、c为常数，a≠0.且x的最高次数为2.3.一元二次方程的性质：一元二次方程有四个性质，分别是：(1) 有两个解，即x1和x2;(2) 两解的和为-b/a;(3) 两解的积为c/a;(4) 判别式△=b²-4ac，当△>0时，方程有两个不相等的实数解;当△=0时，方程有两个相等的实数解;当△<0时，方程没有实数解。

4.一元二次方程的应用：在实际问题中，一元二次方程通常用于解决一些二次关系的问题，比如物体的运动轨迹、建筑物的面积和体积、经济利润最大化等问题。

二、重难点精析在本章节中，重难点主要包括如何将实际问题转化为数学问题、一元二次方程的解法以及根的性质和应用。

1.如何将实际问题转化为数学问题：在解决实际问题时，需要从题目中提取出有用的信息，并转化为数学语言。

这需要学生具备一定的阅读理解能力和数学建模能力。

2.一元二次方程的解法：一元二次方程的解法有公式法和因式分解法两种。

公式法是通过公式直接求解，但需要学生记忆公式。

因式分解法是通过将方程左边分解成两个一次因式的乘积，再分别令每个因式等于0来求解。

这种方法更直观易懂，但需要学生掌握因式分解的技巧。

3.根的性质和应用：根的性质包括前面提到的两个解的和、积和判别式。

这些性质在解决实际问题时具有重要应用。

例如，利用判别式可以判断方程是否有实数解，从而确定实际问题是否有解;利用两解的和可以计算实际问题的某些物理量，如位移等。

三、总结通过以上知识点总结和重难点精析，我们可以看到实际问题与一元二次方程这一章知识点的重要性和应用价值。

一元二次方程实际应用题型

一、列一元二次方程解应用题的步骤(1)应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程．概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案．(2)一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：①审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系．（与一次方程思路相似）②设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接)．③列：是指列方程，根据等量关系列出方程．④解：就是解所列方程，求出未知量的值．⑤验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去．⑥答：即写出答案，不要忘记单位名称．二、常见应用题类型（1）数字问题解有关数字问题的应用题，首先要能正确地表示诸如多位数、奇偶数，连续的整数的形式，如一个三位数可表示为100a＋10b＋c，连续三个偶数可表示为2n－2，2n,2n＋2(n为整数) 等，其次解这类问题的关键是正确而巧妙地设出未知量，一般采用间接设元法，如有关奇数个连续数问题，一般设中间一个数为x，再用含x的代数式表示其他数，又如多位数问题，一般设这个多位数的某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字，等量关系由题目中的关键语句“译出”【例1】某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．分析：本题等量关系比较明显：新的两位数×原来的两位数＝736，关键是如何表示出这两个两位数和整理方程，要注意检验是否求得的解都符合题意．解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为(5－x)，由题意，得[10x＋(5－x)][10(5－x)＋x]＝736.整理，得x－5x＋6＝0，解得x＝2，x＝3.当x＝2时，5－x＝3，符合题意，原两位数是23.当x＝3时，5－x＝2 符合题意，原两位数是32.答：原来的两位数是23或32．【例2】三个连续奇数的和是129，求这三个数。

实际问题与一元二次方程题型归纳总结

实际问题与一元二次方程题型归纳总结实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程解应用题的步骤可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

1.审清题意，弄清已知量与未知量；2.找出等量关系；3.设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；4.列出一元二次方程；5.求出所列方程的解；6.检验方程的解是否正确，是否符合题意；7.作答。

二、典型题型1、数字问题例1：有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

例2：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

练：1.两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2.一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A。

25 B。

36 C。

25或36 D。

-25或-362、传播问题公式：(a+x)=M，其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数例3：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)，双循环问题n(n-1)和复杂循环问题2n(n-3)例4：1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？2.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例5：一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例6：生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x个同学，则根据题意列出的方程是（）A。

实际问题与一元二次方程练习题

实际问题与一元二次方程类型归纳练习题姓名：班级：座位号：一、传播问题例题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了x人，第一轮后共有(x+1)人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，第二轮后共有(x+1)(x+1)人患了流感.则：列方程 (x+1)2=121，解得x=10或x=-12(舍)，即平均一个人传染了10个人.再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？练习题：1、某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支？2、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，那么全组有多少名同学？3、一个小组若干人，新年互相发送祝福短信，若全组共发送祝福短信72条，则这个小组共有多少人？4、学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？5、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?二、增长率问题例题：两年前生产1吨甲种药品的成本是5 000元，生产1吨乙种药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3 000元，生产1吨乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.001)分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5 000(1-x)元，两年后甲种药品成本为5 000(1-x)2元.依题意，得5 000(1-x)2=3 000 .解得：x1≈0.225，x2≈1.775.根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为0.23.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：6 000(1-y)2=3 600.解得：y1≈0.225，y2≈1.775(舍).答：两种药品成本的年平均下降率相同.练习题：1、青山村种的水稻2001年平均每公顷产7 200 kg，2003年平均每公顷产8 460 kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率.2、某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.3、某印刷厂元月份印刷课本30万册，第一季度共印了150万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？4、来自信息产业部的统计数字显示，2007年一至四月份我国手机产量为4000万台，相当于2006年全年手机产量的80％，预计到2008年年底手机产量将达到9800万台，试求这两年手机产量平均每年的增长率：5、某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（）A．300(1＋x)=363 B．300(1＋x)2=363C．300(1＋2x)=363 D．363(1－x)2=300三、利润问题此类问题常见的等量关系是：利润=售价－进价，总利润=每件商品的利润×销售数量，利润率=例题：某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么衬衫平均每天多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？分析：假设每件衬衫应降价x元，现每件盈利为（40－x）元，现每天销售衬衫为（20＋2x）件，根据等量关系：每件衬衫的利润×销售衬衫数量=销售利润，可列出方程。

初三数学一元二次方程实际问题经典题型汇总3

5．B
【解析】
【分析】
由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704 m²，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】
设路宽为m，根据题意得：
50×100-50x-100x+x2=4704．
整理得：5000-150x+x2=4704．
故答案为：B．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解体的关键是找到等量关系，正确列出一元二次方程．
18．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
（x-40）[400-10(x-50)]=6000
-130x+4200=0
解得： = 60， = 70
根据题意，进货量要少，所以 = 60不合题意，舍去．
答：售价应定为70元．
【点睛】
本题考查一元二次方程中利润问题的应用，注意最后的结果有两解，但根据题意需要舍去一个答案．
8．（1）月的平均增长率为；（2）月份销售自行车为辆．
(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
17．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝10，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
（1）求BE的长；
（2）当t为多少秒时，△BPE是直角三角形？

一元二次方程实际问题常见题型

一元二次方程实际问题常见题型1. 概述一元二次方程是高中数学中常见的一个重要知识点。

它不仅是数学理论的重要组成部分，更是解决实际问题的有效工具。

本文将围绕一元二次方程实际问题常见题型展开探讨，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

2. 垂直抛物线问题垂直抛物线问题是一元二次方程实际问题中的常见题型之一。

一架飞机从高空垂直向下抛出一个物体，根据物体运动的时间和速度等因素，可以建立相应的一元二次方程模型。

通过解方程，可以求解物体的运动轨迹、最大高度、落点坐标等相关问题。

3. 开口方向问题开口方向问题也是一元二次方程实际问题中的重要内容。

在现实生活中，有许多与开口方向相关的问题，如抛物线运动、水流喷射等。

通过构建一元二次方程模型，并结合相关的条件和约束条件，可以有效地解决这类问题。

4. 面积最大最小值问题求取一元二次方程的最值是解决实际问题的重要应用之一。

在求解面积最大最小值的问题中，一元二次方程的应用十分广泛。

求解围墙围成的最大面积、矩形花坛的最大面积等问题，都可以通过建立一元二次方程模型，并求解其最值来得到最优解。

5. 个人观点和理解一元二次方程实际问题常见题型是数学与实际问题相结合的典型案例，深入理解和掌握这些题型对于培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力具有重要意义。

通过这些题型的学习和实践，学生可以更好地理解数学知识与实际问题的联系，培养批判性思维和创新能力。

6. 总结通过以上的讨论，我们对一元二次方程实际问题常见题型有了更加全面、深入的理解。

这些题型的学习不仅有助于提高学生的数学水平，更能够培养学生解决实际问题的能力，从而更好地应对未来的学习和工作挑战。

文章总结大致如上，希望对您有所帮助。

一元二次方程实际问题常见题型涉及各个领域，从物理学到经济学，从工程学到生物学，都有着广泛的应用。

在实际问题中，一元二次方程常常用来描述抛物线运动、最大最小值、面积和体积等问题。

下面将围绕这些内容展开更具体的讨论。

初中一元二次方程应用题经典题型

初中一元二次方程应用题经典题型摘要：一、一元二次方程的应用题概述二、一元二次方程的求解方法三、经典题型及解题思路1.题型一：增长率问题2.题型二：利润问题3.题型三：几何问题4.题型四：其他实际问题正文：一、一元二次方程的应用题概述一元二次方程是在初中数学中常见的一种方程，它是指形如ax+bx+c=0 的方程，其中a、b、c 是已知数，且a≠0。

一元二次方程的应用题主要涉及到如何利用一元二次方程来解决实际问题，这类题目不仅考查学生对一元二次方程概念的理解，还考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、一元二次方程的求解方法求解一元二次方程的方法有多种，其中最常见的方法是公式法。

公式法的基本步骤如下：1.确定方程的系数a、b、c；2.计算判别式Δ=b-4ac；3.根据Δ的值判断方程的根的情况：- 当Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ=0 时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ<0 时，方程无实数根。

4.根据公式x,x=(-b±√Δ)/(2a) 计算方程的根。

三、经典题型及解题思路1.题型一：增长率问题增长率问题是指求解某个变量在一定时间内的增长率。

这类问题通常可以通过列一元二次方程来解决。

解题思路是：设增长率为x，根据题意列出方程，然后利用公式法求解。

2.题型二：利润问题利润问题是指求解销售一定数量的商品后获得的利润。

这类问题通常可以通过列一元二次方程来解决。

解题思路是：设销售单价为x，根据题意列出方程，然后利用公式法求解。

3.题型三：几何问题几何问题是指求解与几何图形相关的问题。

这类问题通常可以通过列一元二次方程来解决。

解题思路是：根据题意建立几何关系，将几何关系转化为一元二次方程，然后利用公式法求解。

4.题型四：其他实际问题除了上述三种经典题型外，还有其他一些实际问题也可以通过列一元二次方程来解决。

解题思路是：认真阅读题目，理解题意，找到问题的关键点，将问题转化为一元二次方程，然后利用公式法求解。

一元二次方程的应用题分类题型汇总

一元二次方程的应用（设未知数——找等量关系——求解——检验）一、商品销售问题售价—进价=利润单价×销售量=销售额一件商品的利润×销售量=总利润1、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？2、某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。

在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价3、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？4、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且ＲＰ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。

（１）当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元？（２）若可获得的最大利润为１９５０元，问日产量应为多少？二、行程问题路程=速度*时间相遇路程=速度和*相遇时间追及问题=速度差*追及时间顺水速度=船速（静水中的速度）+ 水流速度逆流速度=船速（静水中的速度）—水流速度1、甲乙二人分别从相聚20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米？2、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.3、一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号队员以45千米/时的速度独自前进，行进10千米后调转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合，1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多少时间。

九年级上一元二次方程应用题常见类型总结

九年级上专题复习之实际问题与一元二次方程【一、面积问题】【方法技巧】注意题目中隐含条件，用平移表示矩形的长度．【题型一围栏靠墙】【例1】如图，要建一个矩形的鸡场ABCD ，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，墙的长度为14m ，墙的对面开一个1m 宽的门，现有竹篱笆总长31m ．(1)若要围成的鸡场面积为120m 2，求鸡场的长和宽各是多少m ？(2)当边AB 的长为______m 时，鸡场面积最大，最大面积为______ m 2【题型二矩形中通道】【例2】如图，要设计一副宽20cm 、长30cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为2：3．如果要彩条所占面积是图案面积的19％，问横、竖彩条的宽度各为多少？【题型三边框设计】【例3】如图，要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的1781，上、下边村等宽，左、右边衬等宽，则上、下边衬的宽为( )cmA ．1B ．1．5C ．2D ．2．5【针对练习1】1．要为一幅长30cm 、宽20cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的1124，则镜框边的宽度为( ) A ．1cm B ．2cm C ．2cm D ．2．5cm2．如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑相同宽度的甬道(图中阴影部分)，余下部分种上草坪，要使草坪面积为540m 2，求甬道宽．3．如图，一幅长20cm 、宽12cm 的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．4．如图，利用一面墙(墙的长度为20m )，用34m 长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m 宽的门，设AB 的长为xm ．(1)若两个鸡场总面积为96m 2，求x ；(2)若两个鸡场总面积和为Sm 2，求S 关于x 的关系式；(3)两个鸡场面积和S 有最大值吗？若有，最大值是多少？【二、循环向题、增长率问题、传染等问题】1．n 支球队参加单循环比赛、一共赛12n (n －1)场；n 支球队参加双循环比赛，一共赛n (n －1)场； 2．基数A 经过两轮增长(下降)，平均增长(下降)率为x ，两轮后结果为A (1±x )2； 3．一人感冒，经过两轮传染，平均每人传染x 人，两轮后感冒人数为(1＋x )2【题型一循环问题】【例1】要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式(毎两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？【例2】九年级某班在调研考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1980张卡片．设全班有x 名学生，根据题意列出方程为________．【题型二增长率问题】【例3】今年我区高效课堂建设以“信息技术与课堂教学深度融合”为抓手，加强对教师队伍建设的投入，计划从今年起三年共投人3640万元，已知今年已投入1000万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )A．1000(1＋x)2＝3640 B．1000(x2＋1)＝3640C．1000＋1000x＋1000x2＝3640 D．1000(1＋x)＋1000(x＋1)2＝2640【例4】某工厂七月份出口创汇200万美元，因受国际大环境的严重影响，出口创汇出现连续下滑，至九月份时出口创汇下降到98万美元，设该厂平均每月下降的百分率是x，则所列方程_________【题型三传染问题】【例5】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【题型四树枝分叉问题】【例6】某种植物主干长出若干数目的支干．每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干、小分支的总数是73，求每个支干长出多少个小分支？【例7】有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给( )个人A．9 B．10 C．11 D．12【针对练习2】1．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺卡，全组共送贺卡72张，则此小组人数为( )A．7 B．8 C．9 D．102．篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛．设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为____________3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是57，则每个支干长出( )根小分支A．5 B．6 C．7 D．84．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元，则平均每月降价的百分率为( )A．9．5% B．20% C．10% D．11%5．某村的人均收入前年为12000元，今年的人均收入为14520元．设这两年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为__________6．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了____人．【三、利润问题】【方法技巧】利润＝单件利润×数量．【例1】某商店从生产厂家以每件21元的价格进一批商品，该商品以25元一件的价格出售，每天可卖出100件．后调査发现：每涨价2元每天将少卖20件，每件商品加价超过进价的20％但不能超过进价的50％．商店计划每天要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？【例2】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金—各种费用）为275万元？【针对练习3】1.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？2.某宾馆有30个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为100元时，房间恰好全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每间房间定价x元（x≥100).（1）每天有游客居住的房间数为（用x表示结果化简）（2）当毎间房价定为多少元，宾馆的利润w(元)最大?（3）宾馆某天统计结果显示，该天利润为1870元，请求出这天每间房的定价x（元）的值。

(完整版)实际问题与一元二次方程题型知识点归纳总结,推荐文档

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练习：已知：如图所示，在△ ABC 中， B 90, AB 5cm, BC 7cm . 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动.（1）如果 P,Q 分别从 A, B 同时出发，那么几秒后，△ PBQ 的面积等于 4cm2？（2）如果 P,Q 分别从 A, B 同时出发，那么几秒后， PQ 的长度等于 5cm？（3）在（1）中，△ PQB 的面积能否等于 7cm2?说明理由.
共比赛 110 场，则联赛中共有多少个队参加比赛？
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2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手 15 次,有多少人参加聚会?
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3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要 90 张照片,有多少人?
3、平均增长率问题：M=a(1±x)n ， n 为增长或降低次数 , M 为最后产量，a 为基数，x 为平均增长率或降低率
传染中平均一个人传染了几个人？
练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 196 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
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2、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题 1 n(n-1)，双循环问题 n(n-1)
例 2、已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm。某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1 cm s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 出发沿 DA 方向以 2 cm s 的速度向 A 点匀速运动，则经过多长时间，△AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 1 ？

一元二次方程与实际问题题型归纳

一元二次方程与实际问题题型归纳在我们的数学学习中，一元二次方程是一个非常重要的知识点，它不仅在理论上有着重要的地位，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。

接下来，让我们一起来归纳一下一元二次方程在实际问题中的常见题型。

一、增长率问题增长率问题是一元二次方程在实际生活中常见的应用之一。

例如，某公司去年的利润为 100 万元，今年的利润比去年增长了 20%，明年预计在今年的基础上再增长 10%，求明年的利润。

设明年的利润为 x 万元，今年的利润为 100×（1 ＋ 20%）＝ 120 万元，明年的利润为 120×（1 ＋ 10%）＝ x 万元，整理可得方程：＼＼begin{align}120×（1 ＋ 10%）＆＝x\＼120×11&＝x\＼132&＝x＼end{align}＼在这类问题中，通常设原来的量为 a，平均增长率为 x，增长后的量为 b，经过 n 次增长后的公式为：＼（b ＝ a(1 ＋ x)＾n\）；若为平均降低率，则公式为：＼（b ＝ a(1 x)＾n\）。

二、面积问题面积问题也是常见的题型之一。

比如，要在一块长方形的土地上建造一个花园，已知长方形的长比宽多 10 米，面积为 2400 平方米，求长方形的长和宽。

设长方形的宽为 x 米，则长为(x ＋ 10)米，根据长方形面积公式可得方程：＼＼begin{align}x(x ＋ 10)＆＝2400\＼x^2 ＋ 10x 2400&＝0\＼（x 40)（x ＋ 60)＆＝0＼end{align}＼解得＼（x ＝ 40\）或＼（x ＝－60\）（舍去），所以长方形的宽为 40 米，长为 50 米。

解决面积问题时，关键是要根据图形的形状和面积公式，找出等量关系，列出方程。

三、销售利润问题销售利润问题常常涉及到商品的进价、售价、销售量和利润等因素。

例如，某商品的进价为每件 20 元，售价为每件 30 元，每天可卖出 100 件。

中考数学实际问题与一元二次方程的几种题型(传播问题,销售问题和增长率)

一元二次方程应用题（增长率）（1）一、知识回顾：1、列方程解应用题有哪几步？关键是什么？2、某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产个？增长率是。

二、例题精讲：例：某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨,3月上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少?经检验：答：[总结]：如果某个量原来的值是a,每次增长的百分率是x,则增长1次后的值是a(1+x),增长2次后的值是a(1+x)2,……增长n 次后的值是a(1+x)n ,这就是重要的增长率公式.同样,若原来的量的值是a,每次降低的百分率是x,则n 次降低后的值是a(1-x)n ,这就是降低率公式.三、巩固练习：1、某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨,平均每年增产的百分率是多少?2、制造一种产品，原来每件的成本是300元，经过两次降低成本，现在的成本是147元.平均每次降低成本百分之几?检测题1、某商场销售商品的收入款，3月份为25万元，5月份为36万元，该商场这两个月销售商品收入款的平均每月增长率是多少？2、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率。

3、某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次。

求每年接受科技培训的人次的平均增长率。

实际问题与一元二次方程（探究案）（传播问题）（2）1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。

解：【合作探究】问题1、某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？【题型练习】2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。

九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳

实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

（1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；（2）找：找出等量关系；（3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（4）列：列出一元二次方程；（5）解：求出所列方程的解；（6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（7）答：作答。

二、典型题型1.数字问题例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

例2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

练习：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A. 25B. 36C. 25或36D. -25或-362.传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M 为最后得病总人数例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？8. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A. 8B. 9C. 10D. 11练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3.相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题21n(n-1)，双循环问题n(n-1). 例4、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例5、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例6、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x 个同学，则根据题意列出的方程是（）A.()1821=+x xB. ()1821=-x xC.()18212=+x xD.()21821⨯=-x x练习：1、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110场，则联赛中共有多少个队参加比赛？2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?4.平均增长率问题：b=a(1±x)n， n为增长或降低次数 , b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

一元二次方程应用题型

一元二次方程应用题型一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。

下面我将为你提供几个常见的一元二次方程应用题型，并从多个角度进行详细解答。

1. 飞行物体的抛体运动问题：假设一个物体从地面抛出，以初速度v0与水平面成θ角度抛出，忽略空气阻力。

求物体的飞行时间t和最大高度h。

解答：首先，我们可以将水平方向的运动和竖直方向的运动分开考虑。

水平方向的运动速度恒定，记为Vx = v0 * cosθ。

竖直方向的运动受重力加速度影响，初速度为Vy = v0 * sinθ。

根据运动学公式，物体的竖直位移y可以表示为y = Vy * t - (1/2) * g * t^2，其中g为重力加速度。

当物体到达最高点时，竖直速度为0，即Vy = 0。

解方程可得t = 2 * v0 * sinθ / g。

将t代入y的表达式，可以求得最大高度h = (v0^2 * sin^2θ) / (2g)。

2. 面积问题：一个矩形的长比宽多1，将宽减少2，长增加3，面积增加18。

求原矩形的长和宽。

解答：设原矩形的宽为x，则长为x + 1。

根据题意，新矩形的宽为x - 2，长为x + 1+ 3 = x + 4。

根据面积公式，原矩形的面积为A1 = (x + 1) * x，新矩形的面积为A2 = (x + 4) * (x - 2)。

根据题意，A2 - A1 = 18。

展开并化简方程可得x^2 + 2x - 6 = 18。

将方程移项并合并同类项，得到x^2 + 2x - 24 = 0。

解这个一元二次方程，可以使用因式分解或求根公式，得到x = 4或x = -6。

由于宽为正值，所以宽x = 4，长x + 1 = 5。

3. 时间问题：甲、乙两车分别从A、B两地同向出发，相隔200公里。

甲车速度为60 km/h，乙车速度为80 km/h。

若乙车晚于甲车1小时出发，问乙车多久能追上甲车？解答：设乙车追上甲车的时间为t小时。

一元二次方程应用题典型题型归纳

一元二次方程应用题典型题型归纳This manuscript was revised by the office on December 22, 2012一元二次方程应用题典型题型归纳（一）传播与握手问题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。

3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。

5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？6.7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？8.9.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。

3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？5. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.（三）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元每天要售出这种商品多少件2.3.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。

专题02 实际问题与一元二次方程【考题猜想,35题4种题型】(解析版)

专题02实际问题与一元二次方程（35题4种题型）一、一元二次方程与一次函数综合1．（2023春·四川成都·九年级专题练习）某水果经销商以10元/千克的价格向当地果农收购某种水果，该水果的市场销售价为20元/千克，根据市场调查，经销商决定降价销售．已知这种水果日销售量y （千克）与每千克降价x （元）（0≤x ＜10）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y 与x 之间的关系式；(2)若经销商计划该种水果每日获利440元，那么该种水果每千克应降价多少元进行销售？其相应的日销售量为多少？【答案】(1)1050(010)y x x =+≤<(2)6元，110千克【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）每日利润＝每千克销售利润×日销售量，由此可得关于x 的一元二次方程，求出x 的值，代入y 与x 之间的关系式即可求出相应的日销售量．【详解】（1）解：设y 与x 之间的关系式为(010)y kx b x =+≤<，观察图象，将(1)60，，(490)，代入y kx b =+得，60904k b k b=+⎧⎨=+⎩解得1050k b =⎧⎨=⎩，故y 与x 之间的关系式为1050(010)y x x =+≤<；（2）解：依题意，降价x 元后，每千克销售利润为(2010)x --元，日销量为(1050)x +千克，则(2010)x --(1050)440x +=，整理得2560x x --=，解得16x =或21x =-（不合题意，舍去）当6x =时，10650110y =⨯+=，故该种水果每千克应降价6元进行销售，其相应的日销售量为110千克．【点睛】本题考查一次函数和一元二次方程的实际应用，第1问需要掌握利用待定系数法求一次函数的解析式，关键是从图象中找出有用信息；第2问关键是根据题意找出等量关系列方程并正确求解．y（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？【答案】（1）当天该水果的销售量为33千克；（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为25元【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y 与x 之间的函数关系式，再代入x =23.5即可求出结论；（2）根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y =kx +b ，22.634.82432k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：280k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为y =﹣2x +80．当x =23.5时，y =﹣2x +80=33．答：当天该水果的销售量为33千克．（2）根据题意得：（x ﹣20）（﹣2x +80）=150，解得：x 1=35，x 2=25．∵20≤x ≤32，∴x =25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是掌握：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．4．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y （双）与降低价格x （元）之间存在如图所示的函数关系．(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．【答案】(1)y 与x 的函数关系式为y=10x ＋200；(2)当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大.(3)降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.【分析】（1）由题意，设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；（2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；（3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．【详解】（1）解：设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由图可知其函数图象经过点（0,200）和（10,300），将其代入y=kx+b 得{20030010,bk b ==+解得{20010b k ==∴y 与x 的函数关系式为y=10x ＋200；（2）解：由题意得（10x ＋200)(100－x －60)＝8910，整理得x 2－20x ＋91＝0，解得：x 1＝7,x 2＝13；当x ＝7时，售价为100－7＝93（元），当x ＝13时，售价为100－13＝87（元），∵优惠力度最大，∴取x ＝13，答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大；（3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下：∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%，∴100－60－x ≥60×50%,解得：x ≤10；依题意，得(100－60－x )(10x ＋200)＝9000，整理得x 2－20x ＋100＝0，解得：x 1＝x 2＝10；∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.【点睛】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题．y(1)当04t <≤时，求2v 关于t 的函数关系式；(2)求图中a 的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m /s ，球运动方向不变，当小明带球跑完200m 数共有____次，并简要说明理由．【答案】(1)26v t =-+(2)83(3)7，理由见解析【分析】（1）设2v 关于t 的函数关系式为2v kt b =+，根据经过点()()0,6,4,2利用待定系数法即可得到答案；（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a 秒的平均速度和a 秒后速度为6m /s(1)求v与t之间的函数关系式；(2)已知汽车在该运动状态下，(1)若一次性购买B 场比赛门票10张，则每张票价为___________元（直接写出结果）．(2)若一次性购买A 场比赛门票()5060a a <<张，需支付门票费用多少元？（用a 的代数式表示）(3)该校共组织120人（每人购买一张门票）分两组分别观看A 、B 两场比赛，共花费32160元，若观看A 场比赛的人数不足50人，则有多少人观看了B 场比赛？【答案】(1)420(2)5550a -+(3)99或72【分析】(1)对于B 场门票，求得当070x ≤≤时，票价y 与购票人数x 之间的函数关系式，把10x =代入即可；(2)对于A 场门票，求得3070x ≤≤时，票价y 与购票人数x 之间的函数关系式，把x a =代入即可求解；(3)设观看A 场比赛的人数为x 人，50x ＜，则观看B 场比赛的人数为()120x -人，根据题意应分两种情况：第一种情况：当030x ≤≤；第二种情况：当3050x <<时分别列出方程进行求解即可．【详解】（1）解：对于B 场门票，当070x ≤≤时，票价y 与购票人数x 之间的函数关系式为y kx b =+，∵该直线过点(70，240)，(0，450)，∴可得70240450k b b +=⎧⎨=⎩，解得3450k b =-⎧⎨=⎩，∴3450y x =-+，∴当10x =时，310450420y =-⨯+=，∴一次性购买B 场比赛门票10张，则每张票价为420元，故答案为：420；（2）解：对于A 场门票，当3070x ≤≤时，票价y 与购票人数x 之间的函数关系式为y mx n =+，∵该直线过点(30，400)，(70，200)，∴可得7020030400m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得5550m b =-⎧⎨=⎩，∴5550y x =-+，∴当x a =()5060a <<时，5550y a =-+，∴若一次性购买A 场比赛门票()5060a a <<张，需支付门票费用()5550a -+元；（3）解：设观看A 场比赛的人数为x 人，50x ＜，则观看B 场比赛的人数为()120x -人，根据题意应分两种情况：第一种情况：当030x ≤≤，由题意得()40024012032160x x +-=，解得21x =，∴观看了B 场比赛的有1202199-=人；第二种情况：当3050x <<时，由题意得()()555024012032160x x x -++-=，解得124814x x ==，(不合题意舍去)，∴观看B 场比赛的人数有1204872-=人，综上可得，观看A 场比赛的人数不足50人，则有99人或72人观看了B 场比赛．【点睛】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数的解析式及一次方程的应用，分类讨论分段求解是解题的关键．二、一元二次方程与不等式综合9．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】(1)20%(2)18个【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，根据2019年投入资金2(1)x ⨯+=2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，根据题意得：21000(1)1440x +=，解这个方程得，10.2x =，2 2.2x =-，经检验，0.220%x ==符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．（2）设该市在2022年可以改造y 个老旧小区，由题意得：80(115%)1440(120%)y ⨯+≤⨯+，方程即可；（2）设今年该地有a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列不等式求解即可．【详解】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x ，根据题意，得：1280（1+x ）2=1280+1600，解得：x=0.5或x=﹣2.5（舍），答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）设今年该地有a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1000×8×400+（a ﹣1000）×5×400≥5000000，解得：a≥1900，答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.15．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）学校计划利用一片空地建一个长方形自行车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为8米，在与墙平行的一面开一个2米宽的门．已知现有的木板材料可新建的总长为26米，且全部用于除墙外其墙余三面木板外墙的修建．(1)长方形车棚与墙垂直的一面至少多少米？(2)如图按（1）问的最小长度建好车棚，为了方便学生通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中内部阴影区域），使得停放自行车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？【答案】(1)长方形车棚与墙垂直的一面至少10米；(2)小路的宽为1米．【分析】（1）设与墙垂直的一面为x 米，然后可得另两面则为()2622x -+米，然后利用这堵墙的长度为8米，列出不等式求解即可；（2）设小路的宽为a 米，利用去掉小路的面积为54平米列出方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：设与墙垂直的一面为x 米，另一面则为()2622x -+米，根据题意得：26228x -+≤．解得10x ≥，答：长方形车棚与墙垂直的一面至少10米；（2）解：设小路的宽为a 米，根据题意得：(82)(10)54a a --=，整理得214130a a -+=，解得：138a =>（舍去），1a =，答：小路的宽为1米．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决第2问的关键．16．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，依靠一面长18米的墙，用38米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD ，设AD 长为x 米．(1)用含有x 的代数式表示AB 的长，并直接写出x 的取值范围；(2)当矩形场地的面积为180平方米时，求AD 的长．【答案】(1)()3821019AB x x =-≤<(2)10米【分析】（1）由AD =x ,利用矩形的对边相等可得出BC =x ,结合篱笆的长度即可用含x 的代数式表示出AB 的长，再由AB 不为零及墙长18米，即可得出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出x 的取值范围；（2）利用矩形的面积计算公式，结合矩形场地的面积为180平方米，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】（1）解：∵AD ＝x ，∴BC ＝x ，AB ＝38﹣AD ﹣BC ＝38﹣2x ．又∵墙长18米，∴382038218x x ->⎧⎨-≤⎩，∴10≤x ＜19．∴AB ＝38﹣2x （10≤x ＜19）．（2）依题意得：x (38﹣2x )＝180，整理得：219900x x +=-，解得：1x ＝9（不合题意，舍去），2x ＝10．答：AD 的长为10米．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，列代数式，一元二次方程的应用，根据题意表示出个线段的长，并列出方程是解题的关键．17．（2023·江苏泰州·统考一模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．(1)商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？(2)实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．【答案】(1)每盒售价最高为15元；(2)1．【详解】（1）设每盒“冰墩墩”售价的为x元，()3301220270x--⨯≥，解得15x≤，故每盒售价最高为15元．（2）根据题意可得方程：()()1528270601650a a--⨯+=，220a a+-=，11a=，22a=-（舍去）故答案为：1．【点睛】本题考查了一元一次不等式以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意正确列出一元一次不等式和一元二次方程．三、一元二次方程与二元一次方程组综合，解方程即可．，任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子(2)400【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工x 袋、y 袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题．（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a 袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程．【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工x 袋、y 袋粽子由题意得：108320032300x y x y +=⎧⎨-=⎩解得：200150x y =⎧⎨=⎩答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．（2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a 袋粽子由题意得：2(200150)(200100)(8)150(6)3200500a a a ⨯+++-+-=+整理得：229100a a -+=解得：12a =，2 2.5a =，又∵甲、乙两组加工的天数均为整数∴2a =∴200+100×2=400（袋）答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键．26．（2022秋·四川成都·九年级统考期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了A 、B 两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知A 点平均每人采样720份，B 点平均每人采样700份．(1)求A 、B 两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从B 点抽调部分医护人员到A 点经调查发现，B 点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，A 点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从B 点抽调了多少名医护人员到A 点？【答案】(1)A 检测队有6人，B 检测队有7人(2)从B 检测队中抽调了2人到A 检测队【分析】（1）设A 点有x 名医护人员，B 点有y 名医护人员，根据“A 、B 两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x ，y 的且当天共采样9220份，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设从B 点抽调了m 名医护人员到A 点，则B 点平均每人采样()70010m +份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m 的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设A 检测队有x 人，B 检测队有y 人，依题意得：137207009200x y x y +=⎧⎨+=⎩，分解得：67x y =⎧⎨=⎩答：A 检测队有6人，B 检测队有7人；（2）解：设从B 检测队中抽调了m 人到A 检测队，则B 检测队人均采样()70010m +人，依题意得：()()()72067001079360m m m +++-=，解得：29140m m -+=，解得：12m =，27m =，由于从B 对抽调部分人到A 检测队，则7m <故2m =，答：从B 检测队中抽调了2人到A 检测队．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．四、一元二次方程与分式方程综合【答案】(1)2(2)435+(3)需要用的篱笆最少是【分析】（1）当x ＞0（2）将2512m m m++的分子分别除以分母，展开，将含a>，∴5a=，即a的值为5．【点睛】本题考查分式方程、一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题目中的数量关系正确列出方程．。

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