不完全归纳法

6.3 数学归纳法

（第一课时）

一、教学目标：

（一）知识目标：

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

（二）情感目标：

进一步培养严谨的科学思维品质，让学生初步认识有限与无限的辩证关系，感悟数学的理性精神，欣赏数学的美与理．

（三）能力目标：

培养“大胆猜想，小心求证”的科学思维品质，培养发现问题与提出问题的数学意识，培养数学学习中的合作交流的能力，使学生初步掌握由归纳到猜想再到证明的数学思想方法．

二、教学重点

掌握数学归纳法证明题目的步骤，掌握数学归纳法的一些应用．

三、教学难点

应用数学归纳法第二个步骤中从k 到k+1的变化情况分析．

四、教学过程

（一）引入课题

将课前准备好的多米诺骨牌摆好并进行演示，观察其中出现的“多米诺现象”：推倒头一块骨牌，它会带倒第二块，再带倒第三块，……，直到所有骨牌全部倒下．

假设多米诺骨牌有无穷多块，在摆多米诺骨牌时，怎样才能保证所有的骨牌一块接一块地倒下？

学生：首先必须推倒第一块，接着是假如前面一块倒下，要保证它倒下时会撞倒下一块．这两个条件满足了，全部的骨牌都将倒下．

教师：生活中还有许多现象与“多米诺现象”类似，也都可以提出同样的问题并作出相同的回答，例如：在燃放鞭炮时怎样才能保证所有的鞭炮逐个地全部燃爆？在一列队伍中传达口令，怎样才能保证口令能从第一个士兵开始逐个传遍整个队伍？

（二）传授新知：

教师：现在我们把骨牌想象为一系列无穷多个编了号的命题：123,,,

,P P P 假定我们能够证明最初的一个命题1P 正确（奠基）；由每一个命题k P 的正确性都可以推出它的下一个命题1k P +的正确性（过渡）．那么我们便证明了这一系列命题的正确性．请将这个过程与多米诺现象进行类比．

在数学中这种证明问题的方法称为数学归纳法．在数学中采用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，有以下两个步骤：

第一步，证明1n =时命题成立；

第二步，证明：如果n k =时命题成立，那么1n k =+时命题也成立．

根据以上两步可以断定，命题对任何正整数n 都成立．

１．用数学归纳法证明：如果{}n a 是一个等差数列，那么1(1)n a a n d =+-对一切n N +∈都成立．

【证明】（1）当1n =时，左边＝1a ，右边＝110a d a +⋅=，等式成立；

（2）假设当n k =时，等式成立，即1(1)k a a k d =+-，

那么111[(1)][(1)1]k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=++-．

这表明，当1n k =+时，等式也成立．

根据（1）、（2）可以断定，等式对任何正整数都成立．

教师：在例1解题过程中，根据（1），1n =时等式成立；再根据（2），112n =+=时等式也成立．由于2n =时等成立．再根据（2），213n =+=时等式也成立．这样递推下去，就知道4,5,6,n =…时等式都成立，即等式对任何n N +∈都成立．请归纳出以上的证明步骤．

学生：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：

（1）证明当n 取第一个值0n （例如01n =或2等）时结论正确；

（2）假设当n k =（0,)k N k n +∈≥且时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确．

在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从0n 开始的所有正整数n 都正确．

正确使用数学归纳法证明一个数学问题，关键是在第二个步骤，只有应用了假设条件去推理，证明过程才是有效的，没有应用假设条件的证明过程并不是在使用数学归纳法．

教师：数学归纳法的思想可以远推至欧几里得﹝前330-前275﹞．严格的数学归纳法是在16世纪后期才引入的．1575年意大利数学家、物理学家莫洛克斯﹝1494-1575﹞在他的《算术》一书中明确提出了这一方法，并且用它证明了“2135(21)n n ++++-=”等；法国著名数学家帕斯卡﹝1623-1662﹞承认莫洛克斯引用了这方法，并在他的著作《三角阵算术》中运用了这一方法．因此，一般认为帕斯卡是数学归纳法的主要发明人．由于帕斯卡还没有表示任意自然数的符号，因此组合公式及证明只能用叙述的方法，1686年J ‧伯努利首先采用了表示任意自然数的符号，在他的名著《猜度术》﹝1713﹞中包含运用数学归纳法证题的出色例子．“数学归纳法”这个名称及数学归纳法的证题形式是德‧摩根﹝1806-1871﹞所提出的．皮亚诺﹝1858-1932﹞的自然数公理中包含了归纳原理．

（三）讲解例题：

１.用数学归纳法证明：1123(1)2

n n n ++++=+． 【证明】（1）当1n =时，左边＝1，右边＝1，等式成立；

（2）假设当n k =时，等式成立，即1123(1)2

k k k ++++=+， 那么1123(1)(1)(1)2

k k k k k ++++++=+++ 11(1)(2)(1)[(1)1]22

k k k k =++=+++． 这表明，当1n k =+时，等式也成立．

根据（1）、（2）可以断定，等式对任何正整数都成立．

２．求证对于任何非负整数n ，都有12+≥n n ．

【证明】（1） 当0=n 时，10120+≥=，不等式成立．

（2）设当k n =时，12+≥k k ．

则1+=k n 时，1)1()1(22221++≥+≥⨯=+k k k k ．

综上所述，对于任何非负整数n ，都有12+≥n n ． ３．证明，其中n ∈N*．

【评析】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，关键是第二步，要注意当n=k+1时，等式两边的式子与n=k 时等式两边的式子的联系，或增加了哪些项，或减少了哪些项，问题就容易解决．

【证明】（1）当n=1时，左边=1+1=2，右边2121=⋅=，等式成立．

（2）假设当n=k 时，等式成立，即

．则

当n=k+1时，

即当n=k+1时，等式也成立．

由（1）、（2）可知，对一切n ∈N*，等式成立．

教师：数学归纳法只能在有了问题结论时才能使用，获取问题的结论需借助合情推理，所以，“观察—分析—归纳—猜想—证明”才是从发现问题至解决问题的完整过程．如果问题与自然数有关，一般可运用数学归纳法去证明．

教师：根据数学归纳法的定义，利用数学归纳法证题时，上述两步骤缺一不可．如果只有第一步没有第二步的证明，则它是属于不完全归纳法，作出的结论就不一定真实可靠，而有了第二步的证明，在数学归纳原理的保证下，才使得结论是完全可靠的．但要注意，仅有第二步而无第一步的证明，结论也是不一定真实的．同时要注意，数学归纳法有别于上面提到的完全归纳法和不完全归纳法，它是根据归纳原理综合运用归纳、演绎推理的一种特殊的数学证明方法．

利用数学归纳法来证明某些与自然数n 有关的数学命题，核心问题是用“n k =时命题成立”的假设条件证明“1n k =+时命题成立”，证明时要通过比较找出二者之间的差异，才能实现中间的过渡．数学归纳法证较多地使用在关于恒等式、不等式、数列、几何以及整除类等问题中．