5.5直线与圆的位置关系(三)
直线与圆的位置关系
直线l 与⊙O相离
d＞r
直线l 与⊙O相切
d=r
d＜r
数量关系
直线l 与⊙O相交
位置关系 数形结合：
（2）r= 2 2
（3）r=3
例题示范
在△ABC中， ∠A=45°，AC=4,以C为圆心r为半径
的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？ （1）r=2
（2）r= 2 2
（3）r=3
2 2
相离
d﹥r
相切
d=r
相交
d﹤r
变式训练
（2）当r=2cm时，圆C与直线AB有怎样的位置关系？为什么？ （3）当r=3cm时，圆C与直线AB有怎样的位置关系？为什么？ （4）思考：当r满足什么条件时，圆与斜边AB只有一个公共点？
d1
l2
l1
我 思 故 我 在
直线与圆的位置关系
圆心到直线距 离的变化
思想感悟
请你利用分类思想解决下面问题：已知一个圆和一条 线段l，且圆的直径大于线段l的长，那么⊙O与线段l 有哪几种位置关系？请写出你的分类标准，并在各种 分类标准下画出线段与圆的位置关系示意图.
O
O
O
O
O
O
O
O
直线和圆的位置关系
实际应用
如图，点C是一个半径为300m的森林公园的中心，在森林公园 附近有A、B两个村庄，现要在A、B两村庄之间修一条长为1000m 的笔直公路将两村连通。测得∠CAB=45°，∠ABC=30°， 问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明．
D
经典回顾
l3
直线与圆的公 共点个数变化
d3
.
苏科9上教案 5.5直线与圆的位置关系(3)
5.5直线与圆的位置关系（3）备课时间: 2010.12. 1 主备人:一、学习目标:1了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。
2会已知作三角形的内切圆（重点）3 通过探究作三角形的内切圆的过程，归纳内心的性质，进一步提高归纳能力与作图能力。
二、知识准备:1、复习直线和圆的位置关系，回忆相关内容（2分钟）：直线和圆的位置关系有哪些？它们所对应的数量关系又是怎样的？判断直线与圆相切有哪些方法？2、复习角平分线的性质和判定定理（1分钟）三、学习内容:活动一：操作与思考Ⅰ操作：1如图（一），点P 在⊙O 上，过点P 作⊙O 的切线。
2如图（二），点D 、E 、F 在⊙O 上，分别过点D 、E 、F 作⊙O 的切线，3条切线两两相交于点A 、B 、C 。
Ⅱ思考：这样得到的△ABC ，它的各边都与⊙O ＿＿＿＿，圆心O 到各边的距离都＿＿＿。
反过来，如果已知△ABC ，如何作⊙O ，使它与△ABC 的三边都相切呢？活动二：思考操作：已知：△ABC ；求作：⊙O ，使它与△ABC 的各边都相切。
归纳：与三角形各边都相切的圆叫做＿＿＿＿＿＿＿＿；内切圆的圆心叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
活动三：例题分析例：如图在△ABC 中，内切圆I 与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、∠B ＝60°，∠C ＝70°，求∠EDF 的度数。
四、知识梳理: 1、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆； 内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。
2、内心的性质：3、如何△ABC 的内切圆？五、达标检测：1、从三角形木板裁下一块圆形的木板，怎样才能使圆的面积尽可能大？（5分钟）2、下列说法中，正确的是（ ）。
B CA 垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B 圆有且只有一个外切三角形C 三角形有且只有一个内切圆，D 三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等3、如图，PA,PB,分别切⊙O 于点A,B,∠P=70°，∠C 等于 。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系位置关系有三种：相交、相切、相离．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：（1）代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次方程，求出其∆的值，然后比较判别式∆与0的大小关系．若0∆<，则直线与圆相离；若0∆=，则直线与圆相切；若0∆>，则直线与圆相交．（2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系：d r <⇔相交，d r =⇔相切，d r >⇔相离．二、计算直线被圆截得的弦长的常用方法（1）几何方法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算．（2）代数方法：运用韦达定理及弦长公式2221(1)[()4]A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-三、圆与圆的位置关系的判定设2222221111122222:()()(0),:()()(0)C x a y b r r C x a y b r r -+-=>-+-=>，则有：12121C C r r C >+⇔与2C 外离；12121C C r r C =+⇔与2C 外切；1212121r r C C r r C -<<+⇔与2C 相交；1212121()C C r r r r C =-≠⇔与2C 内切；12121C C r r C <-⇔与2C 内含； 四、圆的切线方程问题（1）已知22222222123:,:()(),:0,O x y r O x a y b r O x y Dx Ey F +=-+-=++++=则以00(,)M x y 为切点的1O 的切线方程200;xx yy r +=2O 的切线方程200()()()(),x a x a y b y b r --+--=3O 切线方程0000()()022D x xE y y xx yyF ++++++= （2）已知圆的222x y r +=的切线斜率为k ，则圆的切线方程为21y kx r k =±+（3）已知切线过圆外一点11(,)P x y ,可设切线方程为11(),y y k x x -=-利用相切条件确定斜率k ，此时必有两条切线，不能漏掉斜率不存在的那一条切线．（4）切线长公式：从圆外一点00(,)P x y 引圆222()()x a y b r -+-=的切线，则P 到切点的切线段长为22200()()d x x y y r =-+--；从圆外一点00(,)P x y 引圆220x y Dx Ey F ++++=的切线，则P 到切点的切线段长为220000d x y Dx Ey F =++++五、圆系方程（1）同心圆系2220000()(),,x x y y r x y -+-=为常数，r 为参数．（2）圆心共线且半径相等圆系22200()(),x x y y r -+-=r 为常数，圆心00(,)x y 在直线0ax by c ++=上移动．（3）过两已知圆22(,)0(1,2)i i i i f x y x y D x E y F i =++++==的交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=即12(,)(,)0(1)f x y f x y λλ+=≠-．当1λ=-时，方程变为121212()()0,D D x E E y F F -+-+-=表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心垂直的直线．（4）过直线与圆交点的圆系方程：直线:0l Ax By C ++=与圆22:0C x y Dx Ey F ++++=相交，则方程22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=表示过直线l 与圆C 的两个交点的圆系方程．题型一、直线与圆相交【例1】 直线10x y -+=与圆()2211x y ++=的位置关系是_________．【例2】 圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有_________个．【例3】 判断直线210x y -+=和圆2222410x y mx my m +--+-=的位置关系，结论为（ ）A ．相交但直线不过圆心B ．相交且直线过圆心C ．相交或相切D ．相交、相切或相离 【例4】 自点()64P -，向圆2220x y +=引割线，所得弦长为62，则这条割线所在直线的方程是 ．【例5】 直线023=+-y x 被圆224x y +=截得的弦长为_______.【例6】 若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l ：y kx =的距离为22，则k 的取值范围是_________．【例7】 圆22(2)(3)4x y -++=上与直线20x y -+=距离最远的点的坐标是_________．【例8】 若直线l 与圆22(1)4x y ++=相交于A ,B 两点，且线段AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l的方程为 ．题型二、直线与圆相切【例9】 若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(12)P -，，则ab 的积为_________． 【例10】 过点()4,4引圆()()22134x y -+-=的切线，则切线长是_________．【例11】 动圆C 经过点)0,1(F ，并且与直线1-=x 相切，若动圆C 与直线122++=x y 总有公共点，则圆C 的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π【例12】 求过点(24)A ，向圆224x y +=所引的切线方程为 ．【例13】 已知圆的方程为22220x y ax y a ++++=，一定点为(1,1)A --，要使过定点A 作圆的切线有两条，则a 的取值范围是_________．【例14】 过点(2,4)A --且与直线l ：3260x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程为 ．【例15】 过直线2x =上一点M 向圆()()22511x y ++-=作切线，则M 到切点的最小距离为_______．【例16】 已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆:C 222210x y x y +--+=的两条切线，,A B 是切点，那么四边形PACB 面积的最小值为_______，此时P 点的坐标为_______． 【例17】 已知圆224O x y +=：，过点(2,4)P 与圆O 相切的两条切线为,PA PB ，其中A B 、为切点，求直线AB 的方程．题型三、综合问题【例18】 直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是_________．【例19】 圆224x y +=被直线3230x y +-=截得的劣弧所对的圆心角的大小为_________．【例20】 过点()2,0P 与圆22230x y y ++-=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是_________．【例21】 若直线220(,0)ax by a b -+=>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b+的最小值为____________．【例22】 若过定点(10)M -，且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是____________． 【例23】 若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是_________．【例24】 直线经过点332P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，被圆2225x y +=截得的弦长为8，则此弦所在直线方程为____________．课后练习【题1】 圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是_________．【题2】 直线2x =被圆224x a y -+=（）所截得的弦长等于23，则a 的为_________．【题3】 如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是________．【题4】 经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为____________．【题5】 过点(1,2)P 的直线将圆22450x y x +--=分成两个弓形，当这两个弓形面积之差最大时，这条直线的方程为____________．【题6】 过点(1,2)的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =_________．【题7】 已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740()l m x m y m m +++--=∈R ．（1）证明直线l 与圆相交；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最小时，求直线l 的方程．【题8】 已知圆22:2440C x y x y +-+-=，问最否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在，写出直线方程；若不存在，说明理由．。
初中数学直线和圆的位置关系(第三课时)公开课课件
E D
(1)直线BE与⊙O相切吗?并说明理由; (2)若CA=2，CD=4，求DE的长。
CA
O
B
再见
O l
r
A
O r
l A
O l
r
A
工巩作固总新结知
如图，经过⊙O上的一点P，你能用三角尺画出⊙O 的切线吗？你是怎样画的？能画出几条？为什么？
.P O.
l
结论：经过圆上任意一点，能且只能画一条圆的切线。
工学作以总致结用
1.如图，直线AB经过⊙O上的点C，
O
并且OA=OB，CA=CB。直线AB是⊙O
CD过⊙O半径外端 OC⊥CD
∠1 + ∠2 = 90°
∠3+∠2 = 90°
∠ 3 =∠1
过点O作OE⊥BC ∠ 3 =∠A ∠1=∠A
C
2 3
1
E
D
O
B
工巩作固总新结知
如图所示，在∆ABC中，AB=BC，以∆ABC 的边AB为直径作⊙O，交AC于点D,过点D
D
C
作DE⊥BC,垂足为点E。 直线DE与⊙O相切吗？并说明理由
A
•
O
E B
直线DE是⊙O的切线
①DE过⊙O ②直线DE⊥OD 上的点D
OD∥BC
工归作纳总提结升
已知点在圆上， 连半径，证垂直。
未知点在圆上， 作垂直，证半径。
等腰三角形（三线合一）
已知有直角 转化
没有直角
全等三角形
平行
直径上的
构建直角 圆周角
垂径定理
工课作堂总小结结
数学 实验 → 观察→ 猜想 → 证明。 方法 由特殊到一般，类比，转化等。
直线与圆的三种位置关系3
1．我们已经学习过点与圆的位置关系，请同学们回忆： （1）点与圆有哪几种位置关系？点在圆内、点在圆上、点在圆外. （2）怎样判定点与圆的位置关系？
如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么
点P在圆内 d_＜___r； 点P在圆上 d_＝___r； 点P在圆外 d_＞___r．
一、复习导入
2．观察三幅太阳升起的照片，地平线与太阳经历了哪些位置关系？
图1：相交，有2个交点； 图2：相交，有一个交点； 图3：不相交，没有交点. 通过这个自然现象，你猜想直线和圆的位置关系有几种？
二、自主探究
填空：如图，OD⊥l，垂足为D，⊙O的半径为r．
2 ＜ 图1，直线l与⊙O有__个交点，OD____r； 1 ＝ 图2，直线l与⊙O有__个交点，OD____r； 0 ＞ 图3，直线l与⊙O有__个交点，OD__圆有两个公共点时，叫做直线与圆__相__交____；直线与圆 有 唯 一 公 共 点 时 ， 叫 做 直 线 与 圆 ___相__切___ ， 这 条 直 线 叫 做 圆 的 __切__线____，这个公共点叫做__切__点____；直线与圆没有公共点时，叫做 直线与圆___相__离___．
D CD=2.4
（1）在下列条件下，以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置 关系？为什么？
①r＝2 cm；②r＝3 cm；③r＝2.4 cm．
相离
相交
相切
三、学以致用
问题1：已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
D
（2）以点C为圆心，r 为半径的圆． ①当r满足__r_>__2_.4___时，直线AB与⊙O相交； ②当r满足___r _=_2_._4__时，直线AB与⊙O相切； ③当r满足__r__<_2_._4__时，直线AB与⊙O相离．
直线与圆的位置关系课件(3)
）
D. d＞3
5 2x
四、深入探究（要求：3分钟独立探究后再进行交流）
典型例题 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm, BC=8 cm, 以点C为圆心，r为半径画圆，当 r分别取下列各值时，斜边AB所在的直线与⊙C具有怎样的位置关系？ (1) r=4 cm ; (2) r=4.8 cm; (3) r=5 cm
B
解：过点C作CD⊥AB ，垂足为D 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 , BC=8 ，由勾股定理得 AB=
AC 2 BC 2
（友情提示：明确决定直线与圆的位置关系的要素，是解决问题的关键）
=
6 2 82
=
10
D
C A
∵CD﹒AB=AC﹒BC ∴CD
=
AC BC AB
=
68 10 =
d r
1个
切线
相交
d r
2个
割线
二：组内交流
请思考：判断直线和圆的位置关系具体有哪些方法？ （交流时间3分钟）
一：直线和圆的交点个数
直线和圆相离 直线和圆相切 直线和圆相交 直线和圆没有公共点
直线和圆有一个公共点
直线和圆有两个公共点
二：圆心到直线的距离d和半径r的关系
直线和圆相离 直线和圆相切
d > r; d = r;
P
●
O
A
想一想
M
P
N●PFra bibliotekO●
请你思考：如果把上 面两问中的射线OM所 在直线改为射线OM， 答案又是什么呢？
A
O
A
M
五：课堂小结
谈谈你的收获！
六：作业
1.必做题：课本129页A组1 2.选作题：课本129页B组2
直线与圆的位置关系(三)
直线与圆的位置关系（三）班级 姓名 学号学习目标1．了解三角形的内切圆、三角形的外心、圆的外切三角形的概念.2．会作已知三角形的内切圆.学习重点：作已知三角形的内切圆.学习难点：作已知三角形的内切圆.教学过程一、情境创设1、（1）如图，点P 在⊙O 上，过点P 作⊙O 的切线。
（2）你作图的依据是什么？（3）判定切线有什么方法？切线有什么性质？二、探究学习1.尝试:作三角形的内切圆：画△ABC ，作⊙O ，使它与△ABC 的3边都相切？2.总结三角形内切圆等的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
3.交流、讨论三角形外心与内心的比较1.概念：外心是指三角形外接圆的圆心； 内心是指三角形内切圆的圆心2.作法与性质：3.外心与内心的位置：外心的位置与三角形形状有关，可能在三角形的内部、外部和边上；而内心则必在三角形内部。
4.典型例题例1. 在△ABC 中,∠BCA=50°,∠ABC ＝70°，点O 是内心，求∠BOC 的度数。
• • O P作法性质三角形的外心三角形的内心O A B C例2．如图,在△ABC 中，内切圆I 与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，∠ABC=60°,∠ACB ＝70°，求∠EDF 的度数。
例3．△ABC 中，E 是内心，连接AE 并延长和△ABC 的外接圆相交于点D. 试说明：DE=DB=DC三、练习巩固1.下列说法中，正确的是（ ）A.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B.圆有且只有一个外切三角形C.三角形有且只有一个内切圆D.三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等2. 在△ABC 中，∠A=50°（1）若点O 是△ABC 的外心，则∠BOC= .（2）若点O 是△ABC 的内心，则∠BOC= .3.已知：如图，△ABC. 求作：△ABC 的内切圆。
圆和直线的位置关系
两圆位置关系的判定方法圆和圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．如何判断两圆的位置关系呢？可试用以下三种方法：1、利用定义，即用两圆公共点（交点）的个数来判定两圆的位置关系．公共点的个数0 1 2两圆位置关系外离或内含外切或内切相交因为这个方法较易理解，所以不再举例．2、利用圆心距与两圆半径之间的关系来判断两圆的位置关系：d为圆心距，R与r 分别是两圆的半径，则有以下关系：两圆外切<=> d＝R+r；两圆外离<=>d＞R+r；两圆内含<=>d＜R-r(R＞r).两圆相交：<=>R-r＜d＜R+r两圆内切 <=>d＝R－r（R＞r）举两个例子帮助同学们理解一下：例题1：设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r，圆心距为d，当R=6cm，r=3cm，d=5cm时，⊙O1和⊙O2的位置关系是怎样的？当R=5cm，r=2cm，d=3cm时，⊙O1和⊙O2的位置关系是怎样的？例题2：已知两圆的半径分别为R和r（R>r），圆心距为 d ，若关于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0有两个相等的实数根，那么两圆的位置关系为（）A、外切B、内切C、外离D、外切或内切3、根据公切线的条数来确定两圆的位置关系公切线条数 4 3 2 1 0两圆位置关系外离外切相交内切内含例题1：如果两圆的公切线有且只有一条，那么这两个圆的位置关系是（）A、相交B、外离C、内切D、外切一、填空：1、如果两个半径不相等的圆有两个公共点，那么这两个圆的位置关系是＿＿＿，且这两个圆的公切线有＿＿＿条．2、若两圆的公切线的条数是4条，则两圆的位置关系是＿＿＿＿．3、若两圆的半径分别为4cm和2cm，一条外公切线长为4cm，则两圆的位置关系是＿＿＿．4、在平面直角坐标系中，分别以点A（0，3）与B（4，0）为圆心，以8与3为半径作⊙A和⊙B，则这两个圆的位置关系为＿＿＿＿．二、选择：5、若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）A、外离B、内含C、外切D、外离或内含6、已知⊙O1和⊙O2的半径分别为4cm和3cm，圆心距O1O2＝5cm，则⊙O1和⊙O2的公切线的条数为（）A、1条B、2条C、3条D、4条7、若两圆的直径分别是18+t，18－t（0＜t＜18），两圆的圆心距d=t，则两圆的位置关系为（）A、外切B、内切C、外离D、相交垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
5.5直线与圆的位置关系(三)
典型例题
直角三角形的内切圆
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切 圆,∠C是直角,∠AC=3,BC=4. 求⊙O的半径r.
3 45 r 1. 2
B A D
●
O
┓
┗ F
E
C
直角三角形的内切圆
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C 是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
abc r . 2
作圆，使它和已知三角形的各边都相切 A
求作：和△ABC的各边都相切的圆 问题１：作圆的关键是什么？ （确定圆心和半径） 问题２：怎样确定圆心的位置？ （作两条角平分线，其交点就是圆心的位置） 问题３：圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？ （过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）
B
C
问题４:在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗?
D O C F A
B
E
5、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为 （ ） （A）1∶ 2 ∶ 3 （B）1∶2∶ 3
（C）1∶ 3∶2
（D）1∶2∶3
6、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（ ） （A）矩形 （B）菱形 （C）正方形 （D）平行四边形 7、画一个边长为3cm的等边三角形，在画出它的内切 圆．
名称 外 心 (三角形 外接圆的 圆心)
内 心 （三角形 内切圆的 圆心）
确定方法 三角形三 边中垂线 的交点
B
图形
A
性质
O
(1)OA=OB=OC (2)外心不一定在 三角形的内部．
C
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
O
（1）到三边的 距离相等； （2）OA、OB、 OC分别平分 ∠BAC、 ∠ABC、 ∠ACB； C （3）内心在三 角形内部．
直线与圆的位置关系3
开放性问题: 在（x+1）2+(y-1)2＝R2的圆上是否存在四个 点到直线AB：3x-4y-3=0的距离等于１。
感受高考
• 1、（10）9、在平面直角坐标系xOy中，已知 2 2 x y 4 上有且仅有四个点到直线12x• 圆 5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是 ___________
6.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为1的直线 使l被圆C截得得弦AB为直径的圆过原点，若存在，写出 直线方程
解 (1)将直线l的方程变形，得
m(2x+y-7)+(x+y-4)=0． ∵对于任意的实数m, 方程都成立，
此时l方程 y -1 = 2 (x - 3)，即 2x－y－5=0
AC 5 ,圆的半径r 5
最短弦长 BD 2 AB BC AC 4 5.
2 2
例2. 已知圆的方程是
解法二：①当点 M 不在坐标轴上时，y 设切线方程为
y-y0=k(x-x0)
整理成一般式，利用 点到直线的距离公式求k, 代入所设方程即可. ②当点 M 在坐标轴上时， 同解法一一样可以验证.
O
M ( x0 , y0 )
x
例2、 已知圆的方程是 x y r ，求经过 圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。 y
例5．过点P(-2，-3)作圆C：(x-4)2+(y-2)2=9的两条 切线，切点分别为A、B.求：
(1)经过圆心C，切点A、B这三点的圆的方程；
(2)直线AB的方程；
(3)线段AB的长.
小结：
• 直线与圆位置关系题型有哪些？
小结:
直线与圆的位置关系(三)
(a c) (b c) 0 ,求 | c | 的最大值.
【课堂小结】 【作业布置】 【教学反思】
第2页
直线与圆的位 公共点个数 置关系的分类 与 的关系 图形
备 课
札 记
4、直线与圆相交所得的弦长公式： 三、自主学习， 1、若实数 x, y 满足 x2+y2－2x+4y=0，求： （1）x－2y 的最大值； （2）
y 的取值范围。 x2
2、曲线 y=1+ 4 x 2 (| x | 2) 与直线 y=k(x－2)+4 有两个交点时，实数 k 的取范围是： （ A、 | x | 2) 与直线 y=k(x－2)+4 有两个交点时， 实数 k 的取
2
备 课
札 记
范围是： （ A、 (
） B、 (
5 3 , ] 12 4
5 ,) 12
C、 ( , )
1 3 3 4
D、 (0,
5 ) 12
五、展示点评， 例 1、 已知以点 C (t , )( t R, t 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O， A， 与y 轴交于点 O，B，其中 O 为原点。 （1）求证： AOB 的面积为定值； （2）设直线 y 2 x 4 与圆 C 交于点 M，N，若 OM ON ,求圆 C 的方 程。
2 t
六、检测反馈， 1、圆 x2+y2=1 上的点到直线 3x+4y－25=0 的距离的最小值是： （ ） A、6 B、4 C 、5 D 、1 2、由直线 y=x+1 上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1 引切线,求切线长的最小值。
3、 若圆(x－3)2+(y+5)2=r2 上有且只有两个点到直线 4x－3y=2 的距离等于 1， 则半径 r 的取值范围是： （ ） A、 （4，6） B、 [4,6) C、 (4,6] D、[4，6] 4 、 已 知 a, b 是 平 面 内 两 个 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 , 若 向 量 c 满 足
《5.5 直线与圆的位置关系》课件(3)(苏科版九年级上)
练 习
1.如图AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C 的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q， 求证：PO⊥OQ A P O
.
1 C 2
分析: 由PA、PQ、BQ为切线
1 1 可得 ∠1= APC ∠2= BQC 2 2
B
Q
由AB为直径易得AP//BQ
则有1 2 900
∴PO⊥OQ
由所得的结论及证明过程,你还P 能发现那些新的结论?如果有, 仍请你予以证明.
●
O
B
老师提示:根据这个结论写出的命题 称为切线长定理及其推论.
尝 试
老师提示: 作过切点的半径.
∵PA,PB是切线,A,B是切点, ∴PA=PB,∠1=∠2.
A P
1 2
●.
P
.B
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线,
典型例题
例1：（1）如图，已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的 距离为 6cm，经过点P有⊙O的两条切线PA、PB，则切线 长为_____cm，这两条切线的夹角为____ ，∠AOB=______
A
O.
P
.
B
（2）如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O 于A，B，在AB 上任取一点C作⊙O的切线分别交PA、PB 于D、E A ①若PA=2，则△PDE的周长为 D ______; 若PA=a，则△PDE P 的周长为_______ C .O
初中数学九年级上册 苏科版
5.5 直线与圆的位置关系（四）
复 习
1、切线的判定定理： 经过半径的外端且垂直于
这条半径的直线是圆的切线 圆的切线垂直于经过切点 2、切线的性质定理： 的半径
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D
C
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
①三角形的内心是三角形角平分线的交点 ②三角形的内心到三边的距离相等 ③三角形的内心一定在三角形的内部
三角形内心的性质
定 义
定义：和多边形各边都相切的圆 叫做 多边形的内切 圆 ，这个 多边形叫做 圆的外切多边形 。
E D
.O
G
F
如上图，四边形DEFG是⊙O的 外切 四边形， ⊙O是四边形DEFG的 内切 圆，
A E O
●
B
归纳总结
1、本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作 法. 2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出 三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的 内切圆、圆的外切多边形的概念。 3、学习 时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心” 与 “外心”的区别， 4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运 用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。
名称 外 心 (三角形 外接圆的 圆心)
内 心 （三角形 内切圆的 圆心）
确定方法 三角形三 边中垂线 的交点
B
图形
A
性质
O
(1)OA=OB=OC (2)外心不一定在 三角形的内部．
C
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
O
（1）到三边的 距离相等； （2）OA、OB、 OC分别平分 ∠BAC、 ∠ABC、 ∠ACB； C （3）内心在三 角形内部．
A
D
●
O
┓
┗ F
B
E
C
这个结论可叙述为“直角三角形内切圆的 直径等于两直角边的和减去斜边”.
三角形的内切圆
已知:如图,△ABC的面积S=4cm2, 周长等于10cm. 求内切圆⊙O的半径r.
B A D
●
O
┓
F
E
C
老师提示:
△ABC的面积=△AOB的面积 +△BOC的面积+△AOC的面积.
三角形的内切圆
练 习
1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（ ） （A）梯形 （C）矩形 （B）菱形 （D）平行四边形
2、如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的 外接圆相交于点D. 求证：DE＝DB
3、如图，菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，则 内切圆的半径为（ ） 5 2 2 5 2 （D） 3 （A） 3 （B） 2 （C） 2 3 3 2 4、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点， ∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ） （A）70° （C）120° （B）110° （D）130°
（不 能） 任何一个三角形都只有一个内切圆
例1
作圆，使它和已知三角形的各边都相切
A
N IM
已知： △ABC（如图） 求作：和△ABC的各边都相切的圆
B
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.
作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I. 3、以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆.
已知:如图,△ABC的面积为S,三 边长分别为a,b,c. 求内切圆⊙O的半径r.
2S r . B abc 1 S r a b c . 2
A D
●
O
┓
F
E
C
这个结论可叙述为:三角形的面积等于其周 长与内切圆半径乘积的一半.
三角形的内切圆
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切 圆,∠C是直角,BC=5,r=2. 求△ABC的周长.
初中数学九年级上册 （苏科版）
5.5 直线与圆的位置关系（三）
定 义
三角形的内切圆的定义：
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？ A
B A B
C
和三角形各边都相切的圆叫三角 形的内切圆
C
三角形叫圆的外切三角形
典型例题
例1
已知： △ABC（如图）
回顾总结
通过本课的学习，你又有 什么收获？
作圆，使它和已知三角形的各边都相切 A
求作：和△ABC的各边都相切的圆 问题１：作圆的关键是什么？ （确定圆心和半径） 问题２：怎样确定圆心的位置？ （作两条角平分线，其交点就是圆心的位置） 问题３：圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？ （过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）
B
C
问题４:在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗?
D
●
A
O
┓
┗ F
B
E
C
三角形的内切圆
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切 圆,∠C是直角,AO的延长线交BC于 点D,AC=4,CD=2. 求⊙O的半径r.
B
A
E
●
O
┗ F
D
C
三角形的内切圆
已知:如图,⊙O与△ABC的边 AC,AB相切于点D,E. 1.求⊙O的面积与EA的长之间的 D 函数关系式; 2.当⊙O与△ABC的三边都相切时, C 求⊙O的面积.
思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？
(菱形，正方形一定有内切圆)
典型例题
例2 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 ∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数 解（1）∵点O是△ABC的内心， 1 ∴ ∠OBC= ∠OBA= 2 ∠ABC= 25 °
D O C F A
B
E
5、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为 （ ） （A）1∶ 2 ∶ 3 （B）1∶2∶ 3
（C）1∶ 3∶2
（D）1∶2∶3
6、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（ ） （A）矩形 （B）菱形 （C）正方形 （D）平行四边形 7、画一个边长为3cm的等边三角形，在画出它的内切 圆．
典型例题
直角三角形的内切圆
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切 圆,∠C是直角,∠AC=3,BC=4. 求⊙O的半径r.
3 45 r 1. 2
B A D
●
O
┓
┗ F
E
C
直角三角形的内切圆
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C 是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
abc r . 2
A O
1 同理 ∠OCB= ∠OCA= 2 ∠ACB=35 ° B ∴ ∠BOC=180 ° 1（∠ABC＋ ∠ACB） 2
C
-
= 180 °－60 °=120 ° （2）若∠A=80 °,则∠BOC=
度。 度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A=
试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？ 请说明理由．