第四章 随机信号通过线性系统分析
第4章 随机过程通过线性系统分析
上述积分可用极限形式表示：
、 固定时， 为确定的常用，上式是正态变量 的线性组合，而正态的线性组合还是正态分布。
2．高斯过程的均值与方差近似计算
对于高斯过程，只要均值与方差确定，则整个分布函数便确定。
由于
取定一个合适的 ，利用
可求出求出 均值与方差的近似值。
作业：P1515.1，5.2，5.7，5.8，5.9，5.11，5.14，5.15，5.26，5.28。
等效原则：理想系统与实际系统的输出平均功率相等。
例：设理想输出为 ，理想系统是矩形传输函数
为等效带宽。
如何确定 ？
依等效原则，理想系统的平均功率为 ，而
所以
称 为等效噪声带宽。
3．白噪声通过理想低通线性系统
在实际应用中，设
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
但求输入的概率分布不是一件容易的事为使问题得到简化一般我们假设高斯随机过程通过线性系统定理
第4章随机过程通过线性系统分析
引言：信号与系统的传统理论方法的基础是卷积运算。如图，
图1：系统的物理示意图
是系统的输入， 是系统的输出， 是系统的冲激响应函数
其中 ，为冲激函数。
对于线性系统，系统的数学运算为：
相关时间为
4．白噪声通过理想带通线性系统
理想带通线性系统具有理想矩形频率特性
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
可写成
称为相关函数的包络。
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
相关时间为
5．白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统
随机信号分析PPT课件
RY ( )
N0 (bebu)(beb(u))du 20
N0b2 eb e2budu N 0b e b
2
0
4
相关函数为偶函数，τ<0时
R Y ( )
输出自相关函数为
N 0b e b 4
RY()
N0beb 4
a
25
输出的平均功率为
E[Y 2 (t)] RY (0)
N 0b 4
b为时间常数的倒数
a
2
4.1 线性系统的基本理论 4.1.1 线性时不变系统
x(t)
y(t)
L[ ·]
y(t)L[x(t)]
连续时间系统 双侧系统
离散时间系统
单侧系统
a
双侧信号 单侧信号
3
线性系统
L [ a 1 ( t ) x b 2 ( t ) x a ][ x 1 ( t L ) b ][ x 2 ( L t )]
RXY()0 h(u)RX(u)du
输出自相关R 函YX数(为)0 h(u)RX(u)du
RY()h(u)h(v)RX(uv)dudv
0
R Y()0 h(u)RXY(u)du
R Y()0 h(u)R Y aX(u)du
18
输出的均方值（总平均功率）
E[Y2(t)]h(u)h(v)RX(uv)dudv
(
)
N 0b 4
eb
与白噪声输入时 情况相同
a
31
例4.3中的相关函数可以进一步表示为
R Y()4 N 0e b 1 b 1 2/ 2 1be ( b)
二、双侧随机信号
K X(t)
Y(t) h(t)
Y(t)0h(u)X (tu)U (tu)du
随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性分析
随机信号分析----通过线性系统和非线性系统后的特性分析一、实验目的1、了解随机信号自身的特性，包括均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等的概念和特性2、研究随机信号通过线性系统和非线性系统后的均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度有何变化，分析线性系统和非线性系统所具有的性质3、掌握随机信号的分析方法。
4、熟悉常用的信号处理仿真软件平台：matlab、c/c++、EWB。
二、实验仪器1、256MHz以上内存微计算机。
2、20MHz双踪示波器、信号源。
3、matlab或c/c++语言环境、EWB仿真软件。
4、fpga实验板、面包板和若干导线。
三、实验步骤1、根据选题的内容和要求查阅相关的文献资料，设计具体的实现程序流程或电路。
2、自选matlab、EWB或c仿真软件。
如用硬件电路实现，需用面包板搭建电路并调试成功。
3、按设计指标测试电路。
分析实验结果与理论设计的误差，根据随机信号的特征，分析误差信号对信号和系统的影响。
四、实验任务与要求1、用matlab或c/c++语言编程并仿真2、输入信号为x(t)加上白噪声n(t),用软件仿真通过滤波器在通过限幅器后的信号y1(t),在仿真先平方律后在通过滤波器后的信号y2(t).框图如下:3、计算x(t)、a、b、c、y(t)的均值、均方值、方差、频谱、功率谱密度，自相关函数，并绘出函数曲线。
五．实验过程与仿真1、输入信号的获取与分析(a)输入信号的获取按照实验要求，Matlab仿真如下：%输入信号x的产生t=0:1/16000:0.01;x1=sin(1000*2*pi*t)+sin(2000*2*pi*t)+sin(3000*2*pi*t);x=awgn(x1,5,'measured'); %加入高斯白噪声n=x-x1; %高斯白噪声(b)输入信号及其噪声的分析%输入信号x自相关系数x_arr=xcorr(x);tau = (-length(x)+1:length(x)-1)/16000;%输入信号x的频谱和功率谱x_mag=abs(fft(x,2048));f=(0:2047)*16000/2048;x_cm=abs(fft(x_arr,2048));%画出高斯白噪声n的时域图和频域图figure(1)subplot(1,2,1)plot(t,n)title('高斯白噪声n')xlabel('t/s')ylabel('n(t)')grid onsubplot(1,2,2)N=fft(n,2048);plot(f(1:length(f)/2),N(1:length(f)/2))title('高斯白噪声n的频谱图')xlabel('f/Hz')ylabel('幅值')grid on结果为：%画输入信号的时域,相关系数,频谱图和频谱图figure(2);subplot(2,2,1)plot(t,x)title('输入信号x')xlabel('t/s');ylabel('x(t)');grid on;subplot(2,2,2)plot(tau,x_arr)title('输入信号x的自相关系数')xlabel('\tau/s')ylabel('R_x_i(\tau)')subplot(2,2,3)plot(f(1:length(f)/2),x_mag(1:length(f)/2)) title('输入信号x的频谱')xlabel('f/Hz')ylabel('幅值')grid on;subplot(2,2,4)plot(f(1:length(f)/2),x_cm(1:length(f)/2)) title('输入信号x的功率谱')xlabel('f/Hz')ylabel('S_x_i（f)')结果如下图:2、带通滤波器的频谱和相频特性[B,A]=butter(8,[1500/(16000/2) 2500/(16000/2)]); figure(3)freqz(B,A,2048)title('带通滤波器的频率特性曲线')grid on结果作图如下:3、输入信号通过带通滤波器后的信号a%信号通过带通滤波器后,过滤出2khz分量,得到信号a a=filter(B,A,x);%信号a的自相关系数a_arr=xcorr(a);%信号a的频谱和功率谱a_mag=abs(fft(a,2048));a_cm=abs(fft(a_arr,2048));%画出信号a的时域图，自相关系数,频谱图和功率谱图figure(4)subplot(2,2,1)plot(t,a)title('通过带通滤波器后的信号a')xlabel('t/s');ylabel('a(t)');subplot(2,2,2)plot(tau,a_arr)title('信号a的自相关系数')xlabel('\tau/s')ylabel('R_a_i(\tau)')subplot(2,2,3)plot(f(1:length(f)/2),a_mag(1:length(f)/2)) title('信号a的频谱')xlabel('f/Hz')ylabel('幅值')subplot(2,2,4)plot(f(1:length(f)/2),a_cm(1:length(f)/2)) title('信号a的功率谱')xlabel('f/Hz')ylabel('S_a_i(f)')作图如下:4、输入信号x通过平方律检波器的信号b%平方律检波器的传输特性为y=m*x^2,k\m=1b=1:length(x);for k=1:length(x)if(x(k)>0)b(k)=x(k)^2;elseb(k)=0;endend%信号b的自相关系数b_arr=xcorr(b);%信号b的频谱和功率谱b_mag=abs(fft(b,2048));b_cm=abs(fft(b_arr,2048));%画出信号b的时域图,自相关系数,频谱图和功率谱figure(5)subplot(2,2,1)plot(t,b)title('通过平方检波器后的信号b')xlabel('t/s');ylabel('b(t)');subplot(2,2,2)plot(tau,b_arr)title('信号b的自相关系数')xlabel('\tau/s')ylabel('R_b_i(\tau)')subplot(2,2,3)plot(f(1:length(f)/2),b_mag(1:length(f)/2)) title('信号b的频谱')xlabel('f/Hz')ylabel('幅值')subplot(2,2,4)plot(f(1:length(f)/2),b_cm(1:length(f)/2)) title('信号b的功率谱')xlabel('f/Hz')ylabel('S_b_i(f)')作图如下:5、信号a通过限幅器后的信号y1%限定幅度最大为0.5，大于0.5的取0.5y1=0:length(a)-1;for k=1:length(a)if(a(k)>0.5)y1(k)=0.5;else if(a(k)<-0.5)y1(k)=-0.5;elsey1(k)=a(k);endendend%信号y1的自相关系数y1_arr=xcorr(y1);%信号y1的频谱和功率谱y1_mag=abs(fft(y1,2048));y1_cm=abs(fft(y1_arr,2048));figure(5)%画出信号y1的时域图，自相关系数,频谱图和功率谱图figure(6)subplot(2,2,1)plot(t,y1)axis([0 0.01 -1 1])title('信号a通过限幅器后的信号y1')xlabel('t/s');ylabel('y1(t)');subplot(2,2,2)plot(tau,y1_arr)title('信号y1的自相关系数')xlabel('\tau/s')ylabel('R_y_1_i(\tau)')subplot(2,2,3)plot(f(1:length(f)/2),y1_mag(1:length(f)/2))title('信号y1的频谱')xlabel('f/Hz')ylabel('幅值')subplot(2,2,4)plot(f(1:length(f)/2),y1_cm(1:length(f)/2))title('信号y1的功率谱')xlabel('f/Hz')ylabel('S_y_1_i(f)')作图如下:6、信号b通过带通滤波器器后的信号y2%信号a通过带通滤波器后,过滤出2khz分量,得到信号y1 [B,A]=butter(8,[1900/(16000/2) 2100/(16000/2)]);y2=filter(B,A,b);%信号a的自相关系数y2_arr=xcorr(y2);%信号a的频谱和功率谱y2_mag=abs(fft(y2,2048));y2_cm=abs(fft(y2_arr,2048));%画出信号a的时域图，自相关系数,频谱图和功率谱图figure(7)subplot(2,2,1)plot(t,y2)title('信号b通过带通滤波器后的信号y2')xlabel('t/s');ylabel('y2(t)');subplot(2,2,2)plot(tau,y2_arr)title('信号y2的自相关系数')xlabel('\tau/s')ylabel('R_y_2_i(\tau)')subplot(2,2,3)plot(f(1:length(f)/2),y2_mag(1:length(f)/2)) title('信号y2的频谱')xlabel('f/Hz')ylabel('幅值')subplot(2,2,4)plot(f(1:length(f)/2),y2_cm(1:length(f)/2))title('信号y2的功率谱')xlabel('f/Hz')ylabel('S_y_2_i(f)')作图如下:7、通过matlab计算x(t)、a、b、c、y(t)的均值、均方值、方差(a)输入信号x的均值，方差和均方值x_mean=mean(x)x_var=var(x)x_st=x_var+x_mean^2结果得：x_mean = 0.0200x_var =1.9562x_st =1.9566(b)信号a的均值，方差和均方值a_mean = mean(a)a_var=var(a)a_st=a_var+a_mean^2a_arr=xcorr(a);结果得:a_mean =-0.0051a_var =0.4908a_st = 0.4908(c)信号b的均值，方差和均方值b_mean=mean(b)b_var=var(b)b_st=b_var+b_mean^2结果得:b_mean =0.9755b_var = 6.2748b_st = 7.2264(d)信号y1的均值，方差和均方值y1_mean=mean(y1)y1_var=var(y1)y1_st=y1_var+y1_mean^2结果得:y1_mean =-0.0054y1_var = 0.1616y1_st =0.1617(e)信号y1的均值，方差和均方值y2_mean = mean(y2)y2_var=var(y2)y2_st=y2_var+y2_mean^2结果得:y2_mean =-0.0035y2_var = 1.3080y2_st =1.30806.实验中遇到的问题在刚开始做实验时，理论知识都没有学完，对于很多概念仍不清晰。
第四章 随机信号通过非线性系统分析
第四章 随机信号通过非线性系统的分析4.1 通信中常见的非线性系统从电子设备各组成部分的作用结果看，基本上可以把它们划分成线性系统和非线性系统两大类，非线性系统与线性系统有两个重要方面不同；1．一般来说对于线性系统的解，入们通常能够求得封闭形式的表达式，而对非线性系统来说，这一点并不是总能实现的。
人们往往不得不满足于找出收敛于真实解的近似函数，或者对真实解作出估计。
因此同线性系统比较起来人们一般不能确切地知道什么是非线性系统的精确解。
2．分析非线性系统相对于线性系统来说一般涉及的数学在概念上更高深，在内容上则更繁杂。
由于线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系统也可以理解为不满足叠加原理的系统。
本章主要是研究随机信号通过非线性系统的分析。
在对非线性系统的分析中，也可划分成无惰性和惰性两种情况。
如果在某个瞬时t 的输出随机信号，只取决于同一瞬时的输入随机信号，那么我们可以用一个函数关系把它表示为()[()]Y t g X t =式中g[]代表某种非线性函数关系。
这样的非线性关系，我们称之为无惰性的。
凡在一个非线性系统中，只要有贮能元件存在，它就会有惰性。
但在有些情况下，可以把非线性系统中的贮能元件，归并在非线性系统的输入及输出的线性系统中。
换句话说，即使我们遇到了一个非线性的有惰性的系统，往往可以作某种折合或等效归并到下一级的输入电路或前级的输出电路中去。
表示非线性系统特性的()g x 通常可以用实验的方法得到，如电子管、半导体器件的伏安特性曲线。
为了要进行理论分析，往往是在实验的基础上，采用各种渐近方法求出()g x 。
从理论上讲，比较方便的有多项式，折线和指数等渐近方法。
每种方法各具有优缺点，因为所要求的渐近精确性和解析表达式的简单性往往是有矛盾的，通常在它们之间只能采用折衷的方法去处理这种矛盾。
在通信当中，主要有下列几个简单的非线性系统：通过非线性系统， 我们一般化放大器和衰减器的概念。
例如， 一个·模拟放大器输出的电压不会高于它们的动力供给电压，这就导致了峰值剪 （clipping ）. 这种形式的非线性系统为：(())Ax t θy(t)=Clib 这里,,,x x x Clip x θθθθθθθ≥⎧⎪-<<⎪=⎨--≥⎪⎪⎩与峰值剪相对应的一种非线性系统是 中心剪 （center clipper ）, 其式为：0,||(),x y C x x θθ<⎧==⎨⎩其它中心剪显然是一个非线性的，从其表达式看很难想象它的用处，其实，它在语音处理中有很重要的应用。
哈尔滨工程大学 随机信号分析04-01
R X (t1 , t2 )
h(t1 )
RYX (t1 , t2 )
h(t2 )
RY (t1 , t2 )
RYX (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) ∗ h(t1 ) RY (t1, t2 ) = h(t2 ) ∗ RYX (t1, t2 )
RY (t1 , t2 ) = h(t1 ) ∗ h(t2 ) ∗ RX (t1 , t2 )
∫ X (ω ) = ∞ x ( t )e − jω t d t −∞
∫ H (ω Biblioteka = ∞ h(t )e − jω tdt −∞
s = σ + jω
Y (ω ) = H (ω ) ⋅ X (ω ) Y (s) = H (s)⋅ X (s)
3. 因果稳定系统
x(t)
y(t )
L [•]
物理可实现 因 果
证： RY (t1 , t2 ) = E ⎡⎣Y (t1 )Y (t2 )⎤⎦
∫ ∫ =
E
⎡ ⎢⎣
∞
0 h(u)X (t1 − u)du ⋅
∞ 0
h(v ) X
(t2
−
v)dv
⎤ ⎥⎦
∞∞
∫ ∫ = 0
0 h(u)h(v)E ⎡⎣X (t1 − u)X (t2 − v)⎤⎦dudv
∞∞
∫ ∫ = 0 0 h(u)h(v )RX (t1 − u, t2 − v )dudv
五、系统输出的高阶矩 系统输出随机过程的n阶矩
E⎡⎣Y(t1)Y(t2 )⋅⋅⋅Y(tn )⎤⎦
= E⎡⎣X(t1)X(t2)⋅⋅⋅ X(tn)⎤⎦∗ h( t1 ) ∗ h( t2 ) ∗⋅⋅⋅∗ h(tn )
第4章 随机信号通过系统的分析
中北大学信息与通信工程学院 信号课程建设组 主讲：陈友兴
使用班级：09050641,09050642 09050941,09050942
随机信号分析
第四章 随机信号通过系统的分析
2 /68
第四章 随机信号通过系统的分析
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
若输入为随机信号X(t)，则线性时不变系统的 输出Y(t)为：
Y (t ) X (t ) * h(t ) X ( )h(t ) d
h( )X (t )d
对于物理可实现系统
Y (t ) X ( )h(t )d h( )X (t )d
2
（5）输入输出互功率谱密度
GXY ( ) GX1Y1 ( ) GX 2Y2 ( ) GX1Y2 ( ) GX 2Y1 ( ) H ( )[GX1 ( ) GX 2 ( ) GX1 X 2 ( ) GX 2 X1 ( )]
随机信号分析
线性系统的基本理论 （3） 随机信号通过线性系统 （5） 色噪声的产生与白化滤波器 （34） 白噪声通过线性系统 （38） 线性系统输出端随机信号的概率分布 （56） 4.6 随机信号通过非线性系统的分析（57）
随机信号分析
第四章 随机信号通过系统的分析
3 /68
4.1 线性系统的基本理论
4.1.1 线性时不变系统
X (t ) X 1 (t ) X 2 (t ) Y (t ) Y1 (t ) Y2 (t )
（1）期望
mX mX1 mX 2
mY mY1 mY2 (mX1 mX 2 ) h( )d (mX1 mX 2 ) H (0)
第4章平稳随机信号通过线性系统
3.3.1 时域分析法 3、输出序列的自相关函数
31
3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 3.3.2 频域分析法
• 1、输出序列的功率谱密度 • 2、输出序列的自相关函数 • 3、输出序列的平均功率
32
3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 3.3.2 频域分析法
•1、输出序列的功率谱密度
L[ax1(t)+bx2(t)] = aL[x1(t)] + bL[x2(t)]
6
3.1 线性系统的基本理论
什么是线性系统？
x(t)
y(t) = x(t)*h(t)
h(t)
连续时不变线性系统
y ( t ) x ( t ) h () d x () h ( t ) d x ( t ) h ( t )
第四章 随机信号通过线性系统
主要内容
3.1 线性系统基本理论 3.2 随机信号通过连续时间系统 3.3 随机序列通过离散时间系统
2
3.1 线性系统的基本理论
系统可分为： （1）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器
对于线性系统： 已知系统特性和输入信号的统计特性， 可以求出输出信号的统计特性
3 9
的白化滤波器.
解:
SX
2 2
3 9
SX
s
s2 s2
3
9
3s 3s
3s3s
SX
s
s 3 s 3
HsSX 1sss33
43
白噪声通过线性系统分析 设连续线性系统的传递函数为 H() 或 H (s) ， 其输入白噪声功率谱密度为 S X ( ) ＝ N 0 ，
第四章 随机信号通过线性系统
信号yt
图 4-1 信号经过系统
图4-2 卫星遥感
图4-3 遥感 图像
第四章 随机信号通过线性系统
线性系统基本理论 随机信号通过线性系统√ 白噪声通过低频线性系统√ 独立随机过程之和的自相关函数定理 散弹效应噪声 热噪声√
§4.1 线性系统基本理论
输入信号 与输出信号 为确定信号。 一、一般线性系统
随机信号通过线性时不变系统的响应为
一、时域分析法：系统响应的矩分析
已知输入随机信号的统计特性，要求能够 得到系统输出的统计特性； 在获取系统输出随机信号的统计特性时， 希望得到输入随机信号的统计特性。
1、输出的均值
ht
输出均值 是输入随机信号均值 系统的冲击响应 的卷积； 当随机信号为宽平稳时，有 则输出均值
H j 系统功
2
率传输函数
系统输出的功率谱密度等于输入功率谱密 度与系统功率传输函数乘积； 系统输出的功率谱密度只与系统的幅频特 性有关，而与相频特性无关。
2、系统输入与输出的互功率谱密度
例4-2 若平稳白噪声随机信号 通过低通RC回路， 试求出输出 的功率谱密度函数。
解：该电路的传输函数为
4.5.2 坎贝尔定理 当一个形状确定的随机脉冲在时间轴上出 现的几率为等概率时，该随机脉冲具有平 稳各态历经过程的性质。 ，其中 是相互独立的平稳随机过 程 对于确定形状的随机脉冲，除出现时间随 机，极性（如正负脉冲）和强度也有一定 的随机。
(1)
形状、极性和强度完全相同 假设单位时间内脉冲的平均个数为 ，那 有 ，则各分量 的自相关函数
输入的功率谱函数 输出的功率谱函数为
§4-3 白噪声通过低频线性系统
随机信号通过线性系统分析
4.1 线性系统的基本理论
若对于任意常数a和b、输入信号x1(t)和x2(t)，有
L[ax1(t) bx2 (t)] aL[x1(t)] bL[x2 (t)] 则称系统为线性系统。 若输入信号x(t)时移c段时间，输出y(t)也只引起一 个相同的时移，即
n
h(n) 1
2 j
l H (z)zn1dz
式中l表示包含 H (z)zn1 所有极点的单位圆。
4.1 线性系统的基本理论
如果系统的单位冲激响应满足 h(n) 0 当n 0时
那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现 系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说
1. 若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳 的，且输入与输出联合宽平稳。
mY (t) mX 0 h( )d
RXY (t1,t2 ) 0 h(u)RX (t2 t1 u)du 0 h(u)RX ( u)du RXY ( )
RY (t1,t2 ) 0 0 h(u)h(v)RX (t2 t1 v u)dudv
重点及其要求：
（1）掌握以下五条性质： 1.双侧宽或严平稳随机 信号通过线性系统后的输出仍是宽或严平稳的，且 输入与输出联合宽平稳；2.双侧宽遍历随机信号通 过线性系统后的输出仍是宽遍历的；3.高斯随机信 号通过线性系统后的输出仍然是高斯随机信号；4. 若线性系统的输入随机信号的带宽远大于系统的带 宽，则无论输入信号具有何种概率密度函数，系统 输出的概率密度函数皆近似于高斯分布；5.线性系 统输出的随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。
2. 输出的均值 输出的均值。
随机信号分析4
y (t) x (t )h( )d
x (t)
0 x (t )h( )d
0 h( )
Y (t) X (t )h( )d
0 X (t )h( )d
0t
t x (t )
1、若X(t)平稳，则输出平稳。
mX (t) mX 常数
因X(t)平稳，则有：
RX
(t1, t2 )
RX
0
传递函数为：
H ( ) h(t)e jt dt 0
若以s代替j，传递函数在复频域中表示为：
H (s) h(t)e st dt 0
3、稳定的物理可实现系统条件
由于：
h(t) dt
0
h(t)
1
2j
j
H
j
(s)e
st
ds
则传递函数H(s)的所有极点都应位于s平面的左半平面 （不含虚轴）
2、物理可实现性（因果性）
在输入信号到来前 ，系统不产生响应。既：h(t)=0， t<0 。
由于；y(t)
h( )x(t )d
x( )h(t )d
h( ) 0，
0
h(t ) 0，t 0 t
由因果性则输出为：
y(t)
h( )x(t )d
t x( )h(t )d
RY ( )
RY ( )
N0b 4
eb，
0
合并 0 和 0 的结果，得到输出自相关函数：
RY
( )
N0b 4
eb| | ，
| |
2）在上式中令 0，即可得输出的平均功率为
PY
E[Y 2(t)]
RY (0)
N0b 4
注意到b是时间常数(RC)的倒数，它也与系统的半功率带宽f 有
随机信号通过线性系统的分析
频域
F [ x ( t ) ] X ( ) , F [ y ( t ) ] YF ( ) ,[ h ( t ) ] H ( )
Y ( ) X ( ) H ( )
系统的传输函数
4 2019/1/20
1 线性系统
卷积定理：
时域卷积定理：若给定两个时间函数 f1(t),f2(t)
00
当一个宽平稳随机信号输入到线性时不变稳定 系统时，其输出随机信号也是宽平稳的。
随机信号分析_第四章_随机信号通过线性系统
定义
如果系统对于任意的常数a和b、输 入信号x1(t)和x2(t)，有： L[ax1(t)+bx2(t)]= aL[x1(t)]+b L[x2(t)] 则称该系统为线性系统。 如果系统的输出和输入信号具有相 同的时间位移特性，即： y(t-c)＝L[x(t-c)] c为常数，则该系统就被称为时不变系统。
t2
0
RX ( u v)h(v)h(u )dvdu
RXY (t1 , t 2 ) RX ( v)h(v)dv
0
RYX (t1 , t 2 ) RX ( u )h(u )du
0
E[Y (t )]
2
t
0 0RtX(u v)h(v)h(u )dvdu
输出响应的均值和自相关函数不再 符合平稳性，因为输入信号也是非平稳 的。当时间t,t1,t2足够大的时候，输出可 以近似看作是平稳的。 今后，如果不作特殊声明，所研究 的输入信号都是双侧信号。
x(t )h( )d
0
x( )h(t )d
t
物理可实现的稳定系统传递函数 H(s)的所有极点都位于s平面的左半平 面（不包含虚轴）。
4.1.3 离散时不变线性系统
对于离散时不变线性系统，系统的 输出y(n)与输入x(n)之间的关系为： y ( n) x ( n) * h( n)
x(t )h( )d
x( )h(t )d
如果x(t)和h(t)绝对可积，即：
| x(t ) | dt | h(t ) | dt
则此系统被称为是稳定的。
两者的傅利叶变换存在，有：
5.随机过程通过线性系统 - 随机信号分析实验报告
计算机与信息工程学院设计性实验报告一、实验目的了解随机信号自身的特性，并研究随机信号通过线性系统后的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度有何变化，分析线性系统所具有的性质二、实验仪器或设备1、一台计算机2、MATLAB r2013a三、实验内容输入信号为x 1(t )加上白噪声n(t )变成x (t ),用软件仿真x (t )通过滤波器后的信号y 1(t ),框图如下:其中：x 1(t )=sin (2000×2πt )+2sin (5000×2πt)计算x(t)、y1(t)的均值、均方值、方差、频谱、功率谱密度，自相关函数，并绘出函数曲线。
四、MATLAB 仿真程序%输入信号x 的产生 clct=0:1/16000:0.01;x1=sin(2000*2*pi*t)+2*sin(5000*2*pi*t);x=awgn(x1,5,'measured'); %加入高斯白噪声 n=x-x1;%输入信号x 的均值，方差，均方值和自相关系数 x_mean=mean(x) x_var=var(x)x_st=x_var+x_mean^2 x_arr=xcorr(x);tau = (-length(x)+1:length(x)-1)/16000;%输入信号的频谱和功率谱x_mag=abs(fft(x,2048));f=(0:2047)*16000/2048;x_cm=abs(fft(x_arr,2048));%画输入信号的时域,频谱图和频谱图subplot 221plot(t,x)title('输入信号x')xlabel('t/s');ylabel('x(t)');grid on;subplot 222plot(tau,x_arr)title('输入信号x的自相关系数')xlabel('\tau/s')ylabel('R_x_1(\tau)')subplot 223plot(f(1:length(f)/2),x_mag(1:length(f)/2))title('输入信号x的频谱')xlabel('f/Hz')ylabel('幅值')grid on;subplot 224plot(f(1:length(f)/2),x_cm(1:length(f)/2))title('输入信号x的功率谱')xlabel('f/Hz')ylabel('S_x_1（f)')%---------------高通滤波器的频谱和相频特性-----------------------------% [B,A]=butter(20,4500/(16000/2),'high');figure(2)freqz(B,A,2048);title('高通滤波器的频率特性曲线')grid on%---------------输入信号通过高通滤波器后的信号y1-----------------------% y1=filter(B,A,x);%信号y1的均值，方差，均方值和自相关系数y1_mean = mean(y1)y1_var=var(y1)y1_st=y1_var+y1_mean^2y1_arr=xcorr(y1);%信号y1的频谱和功率谱y1_mag=abs(fft(y1,2048));y1_cm=abs(fft(y1_arr,2048));%画出信号y1的时域图，频谱图和功率谱图figure(3)subplot 221plot(t,y1)title('通过高通滤波器后的信号y1') xlabel('t/s'); ylabel('y_1(t)'); subplot 222plot(tau,y1_arr)title('信号y1的自相关系数') xlabel('\tau/s')ylabel('R_y_1(\tau)') subplot 223plot(f(1:length(f)/2),y1_mag(1:length(f)/2)) title('信号y1的频谱') xlabel('f/Hz') ylabel('幅值') subplot 224plot(f(1:length(f)/2),y1_cm(1:length(f)/2)) title('信号y1的功率谱') xlabel('f/Hz') ylabel('S_y_1(f)')五、程序输出结果0.0050.01-55输入信号xt/sx (t )-0.01-0.00500.0050.01-50005001000输入信号x 的自相关系数τ/sR x 1(τ)2000400060008000050100150200输入信号x 的频谱f/Hz幅值020004000600080001234输入信号x 的功率谱f/HzS x 1（f )0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-2000-100001000Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P h a s e (d e g r e e s )0.10.20.30.40.50.60.70.80.91Normalized Frequency (⨯π rad/sample)M a g n i t u d e (d B )高通滤波器的频率特性曲线0.0050.01-505通过高通滤波器后的信号y1t/s y 1(t )-0.01-0.00500.0050.01-5000500信号y1的自相关系数τ/sR y 1(τ)2000400060008000050100150信号y1的频谱f/Hz幅值20004000600080000123x 104信号y1的功率谱f/HzS y 1(f )六、实验结果分析1、从输入信号x (t )及输出信号y 1(t )的频谱可知，输入信号经高通滤波器后，仅保留了高频成分；2、从输入信号x (t )及输出信号y 1(t )的图形可知，y 1(t )的图形是输入信号x (t )的包络，即高通滤波器把输入信号x (t )的低频成分滤除了，仅保留了高频成分。
第4章 随机信号通过线性系统的分析
)
即： RXY (t1,t2 ) = RX (t1,t2 ) ∗ h (t2 )
同理可得 RYX (t1,t2 ) = RX (t1,t2 ) ∗ h (t1 )
比较 RX (t1, t2 ) , RY (t1,t2 ) , RXY (t1,t2 ) 和 RYX (t1, t2 ) ，则有
RY (t1,t2 ) = h (t1 ) ∗ RXY (t1,t2 ) = h (t2 ) ∗ RYX (t1,t2 )
4-3
《随机信号分析基础》第四章：随机信号通过线性系统的分析
第4页 共9页
RX (t1, t2 ) h (t1 ) RYX (t1, t2 ) h(t2) RY (t1,t2 )
RX (t1, t2 ) h (t2 ) RXY (t1, t2 ) h (t1 ) RY (t1,t2 )
若输入 X (t) 为平稳随机信号，则输出信号Y (t) 与输入信号 X (t) 之间的关系为：
即 GY (ω) =| H (ω) |2 ⋅GX (ω)
∫ ∫ 系统输出的平均功率
PY
=
1 2π
∞ −∞
GY
(ω
)
dω
=
1 2π
∞ −∞
H
(ω )
2
GX
(ω ) dω
有时 RY (τ ) 比较简单 PY = RY (0) = E ⎡⎣Y 2 (t )⎤⎦
4-4
《随机信号分析基础》第四章：随机信号通过线性系统的分析
《随机信号分析基础》第四章：随机信号通过线性系统的分析
第1页 共9页
第四章 随机信号通过线性系统的分析(4 课时)
研究的必要性：信息的载体=随机信号；信息系统=信息获取、变换、传输与处理 ⇒ 信息处
随机信号分析课件
几何概率的基本性质：
1 0 P[ A] 1
2
P[S] 1
3
P
n k 1
Ak
n k 1
P
Ak
1.1.3 统计概率
f (n) A
nA n
事件频率的性质：
1
0
f (n) A
1
2
f (n) S
1
n
3
(n)
(n)
f f n Ai
Ai i 1
lim P X
i
xn
1/ i lim P X i
xn
1/ i
lim
i
FX
( xi
1
/
i)
FX
( xn
1
/
i)
连续型随机变量
b
a fX (x)dx P[a X b]
FX (b) FX (a)
分布函数可以唯一的确定随机变量取值的概率分布情况。
i1 i1
U P[A] P[AI
S] PAI
N
Bi
N
P[ A I
Bi ]
i1 i1
N
P[ A] P[Bi ]P[ A | Bi ] i 1
1.2.3 贝叶斯公式
P[Bi
|
A]
P[Bi I A] P[ A]
P[ A] 0
Px1 X x2 F x2 F x1
x2 f x dx
x1
• 随机变量X落在区间的概率就是曲线下的曲边梯形的面积。
《随机信号分析基础》总复习题纲
概率论基础1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量）3.随机变量的描述：⑴统计特性一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数、边缘分布概率分布函数、概率密度函数的关系⑵数字特征一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间的关系）二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系△雅柯比变换（随机变量函数的变换一维随机变量函数的单值和双值变换、二维随机变量函数的单值变换）5、高斯随机变量一维和二维概率密度函数表达式高斯随机变量的性质△随机变量的特征函数及基本性质、随机信号的时域分析1、随机信号的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握）4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系） 一维：期望函数、方差函数、均方值函数。
（相互关系）二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系） 5、严平稳、宽平稳定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定 6、平稳随机信号自相关函数的性质： 0点值，偶函数，均值，相关值，方差7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
（定义、相互关系） 8、高斯随机信号定义（掌握一维和二维）、高斯随机信号的性质 9、各态历经性定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子）、平稳性与各态历经性的关系直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率随机信号的频域分析1、随机信号是功率信号，不存在傅里叶变换，在频域只研究其功率谱。
通信原理2-8 随机信号通过线性系统
本章小结
1、明确通信是一个随机过程； 2、随机过程的描述，数字特征； 平稳随 机过程 自相关函数、功率谱密度；相互关系 3、高斯过程、瑞利分布、Rice分布； 4、窄带随机过程、正弦信号＋～； 5、 2 P0 ω ＝H ω Pi ω （） （）（） ξ ξ
输出是平稳随机过程！
0 3、输出 ξ（t）的功率谱密度 Pξ (ω )
0
P0 (ω) = ∫ R(τ )e− jωt dt ξ
−∞ ∞
∞
= ∫ dτ ∫ dα∫ [（α）h β）（τ +α − β）e− jωτ ]dβ h （ Ri
−∞ 0 0
∞
∞
令
τ ′＝τ＋α＋β
∞ jωα 0
得
∞ − jωβ
0 ∞
a
因果关系示意图 t
绝对 未来
c
绝对 远离
o
绝对 过去
绝对 远离
x
d
b
统计特性分析
ξ（t） ∫ （τ）ξi t − τ）dτ = h （ 0
0 ∞
讨论输出的统计特 性。
输入是平稳随机过程
1、输出随机信号的期望
根据定义，有
E[ξ（t）= E[ ∫ （τ）ξi t − τ）dτ ] = ∫ （τ）E[ξi t − τ） τ ] h （ h （ ]d 0
2－8
随机信号通过线性系统
目的：学习随机信号通过线性系统的 响应特性，数字特征。
前面对随机过程本身的一些特性做了 必要的讨论。 现在我们来讨论随机过程通过线性系 统的情况。随机过程通过线性系统的分 析， 完全是建立在信号通过线性系统的分析原 理的基础之上。
线性系统
（t 等于输入信号 vi (t ) 与冲激响 线性系统响应 v0 ） 应 h(t) 的卷积，即
随机信号通过线性系统
两个共同特点。
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4.1 线性系统的基本性质
• 1)系统稳定性 • 如果一个线性时不变系统对任意有界输入的响应必然也是有界的,那
么,此系统是稳定的,由式有
• 若输入信号有界,则必存在某正常数M,
• 证明:
• 上式表明,线性系统输出的功率谱密度等于输入功率谱密度乘以系统 的功率传输函数。通过傅里叶反变换可得到线性系统输出的自相关函 数
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4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 于是系统输出的均方值或平均功率可表示为 • 将输出信号互相关函数的卷积公式两边取傅里叶变换,有
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• 如果X (t)为平稳随机过程,则 • 其中H (0)为系统的传递函数在ω=0时的值。 • 2)系统输出的互相关函数
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4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 线性系统的输出必定以某种方式依赖于输入,即输入与输出必定是相 关的,其相关性由输入与输出之间互相关函数描述。线性系统输入输 出之间的互相关函数为
• 线性系统既可以用冲激响应描述,也可以用系统传递函数描述,因此,随 机过程通过线性系统的常用分析方法也有两种:冲激响应法(时域分析 法)和频域分析法。
• 4.2.1 时域分析法
• 1. 系统的输出 • 假定随机信号X (t)输入某个(确知的)线性时不变系统h(t),由前面章节
可知X (t)是不确定的,它可以视为很多样本函数的集合,即x(t,ξi),其中ξi 表示它的某种可能结果,i=1,2,3,…,而每一个样本函数都是确知的,当 它输入系统h(t)时,可得出相应响应信号为
随机信号通过线性系统的分析.
（6-83）
由于输入的是随机信号，输出一般也是随机信号。
1.输出的均值
输出序列的均值 my (n) 通过（6-83）式计算，即
my (n) EY (n) h(k)EX (n k) h(k)mx (n k)
k
k
（6-84）
若 X (n) 为平稳随机序列，则 mx (n) mx (n k) mx 为
（一）时域分析
设已知线性时不变离散系统的单位脉冲响应为
在 n 范围内输入随机序列 h(n) ,又设
Y (n) 是 X (n) 通过该系统的输出序列，则X输(n出) 随机 序列为 h(n) 与 X (n) 的卷积和，即
Y (n) h(n) X (n) h(k)X (n k) k
的，则系统输出也是广义平稳的。
3.输入与输出之间的互相关函数
根据互相关函数的定义，有
Rxy (t, t ) EX (t)Y (t )
E
X
(t)
h( 1 ) X (t
1
)d
1
h(
1
)EX
(t)
X
(t
1 )d 1
（6-86）
若X (n)为平稳随机序列，则有
Ryy (m)
h(k)h(i)Rxx (m k i)
k i
Rxx (m) h(m) h(m)
（6-87）
上式说明，输出随机信号Y(n) 的自相关函数只 与时间差m有关。实际上，对于线性时不变系 统而言，如果输入随机信号是平稳的，输出随 机信号也是平稳的，故其概率特性是时不变的， 自相关函数只与时间差有关。
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k 0
物理可实现的稳定系统的的极点都位于z平面的单位圆内。 以下分析讨论中，均限定系统是单输入单输出的、连续或离 散时不变的、线性的和物理可实现的稳定系统。
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
（一）时域分析方法
1.输出的表达式 如果现在输入为对应于随机信号X(t) 某个实验结果的一个样本函数x(t, )，由于样本函数 是确定性的时间函数，则有
第四章 随机信号通过线性系统的分析
主要内容：
随机信号通过线性系统的分析，是统计信号处理的 基础。本章介绍了计算线性系统（连续系统和离散系 统）输出二阶统计统计特性的两种基本方法－－－时 域中的卷积法和频域分析法；讨论了线性系统输出端 概率密度的计算问题；定义了系统的等效噪声带宽等 概念。
第四章 随机信号通过线性系统的分析
0
同理可证明
Y (t )Y (t ) RY ( )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
例4.1 如下图的低通RC电路，已知输入X(t)是宽平稳的双侧 随机信号，自相关函数为 ( N 0 2) (t ) 的白噪声，求： （1） 输出的自相关函数； （2）输出的平均功率 ；（3）输入 与输出的互相关函数 R XY ( )与 RYX ( ) 。
y (t c ) L[ x (t c )]
则称系统为时不变系统。
满足上两式的系统称为线性时不变系统。在无线电设 备中，常遇到的低频RC放大器、线性滤波器等都属于 这一系统。
4.1 线性系统的基本理论
（二）连续时不变线性系统
设x(t)是连续时不变线性系统的输入，则系统输出由卷 积积分得到
R
X (t )
~
C
RC电路
Y (t )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
解： （1）有题意得： R X ( )
输出自相关函数为
RY ( ) h (u ) du h (v ) R X ( v u ) dv
0 0
N0 2
(t )
b 1 ( RC )
h (t ) be btU (t )
h (t ) m X (t )
3. 系统输入和输出之间的互相关函数 当系统的输出是输入随机信号作用于系统的结果 时，输出与输入将是相关的，其相关性由输入与输出之 间互相关函数描述。
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
R XY (t1 , t 2 ) E [ X (t1 )Y (t 2 )] E [ X (t1 ) h (u ) X (t 2 u ) du ]
RY ( ) R XY ( ) h h ( )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
2. 若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。
3. 若输入X(t)是宽遍历的，则输出Y(t)也是宽遍历性的。 证明：由X(t)的宽遍历性定义得
y (t , ) h( ) x (t , )d
0
对于不同的，就可在系统输出端得到一族样本函数， 这族样本函数构成一个新的随机信号，记为Y(t),此时 可将上式写为
Y (t ) h( ) X (t ) d h(t ) X (t )
0
积分在均方意义下存在。
mY (t ) m X h( ) d
0
R XY (t1 , t 2 ) h(u ) R X (t 2 t1 u )du h(u ) R X ( u )du R XY ( )
0 0
RY (t1 , t 2 )
0
0
0
h (u ) h ( v ) R X (t 2 t1 v u ) dudv
k
| x ( k ) |
x ( n )e
k
| h( k ) |
那么它们的离散傅立叶变换存在(T=1)，即
X (e ) H (e )
j j j n n
n
h ( n ) e j n
4.1 线性系统的基本理论
H ( z)
n
h(n) z
n
h(n)
1 2j
l
H ( z ) z n 1dz
式中l表示包含 H ( z ) z n 1 所有极点的单位圆。
4.1 线性系统的基本理论
如果系统的单位冲激响应满足
h(n) 0 当n 0时
那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现 系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说
X ( ) x (t )e jt dt
H ( ) h (t ) e jt dt
4.1 线性系统的基本理论
h (t ) 1 2
H ( )e jt d
设y(）是输出y(t)的傅立叶变换，则有
Y ( ) H ( ) X ( )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
2. 输出的均值 输出的均值。 已知输入随机信号的均值，求系统
mY (t ) E [Y (t )] E [ h ( ) X (t ) d ]
0
0
h ( ) E [ X (t )] d
0
h ( ) m X (t ) d
4.1 线性系统的基本理论
（三）离散时不变线性系统
离散时不变线性系统输出y(n)与输入x(n)之间的关系是
y (n)
k
h ( k ) x ( n k ) x ( k ) h ( n k ) x ( n ) h ( n )
k
如果x(n)和h(n)绝对可和，即
0
0
此外还能给出输出自相关函数 RY (t1 , t 2 ) 与 R XY (t1 , t 2 ) 及 RYX (t1 , t 2 ) 之间的关系式，即
RY (t1 , t 2 ) h(t1 ) R XY (t1 , t 2 ) h(t 2 ) RYX (t1 , t 2 )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
R X (t1 , t 2 )
h (t 2 )
R XY (t1 , t 2 )
h (t1 )
RY (t1 , t 2 )
图4.2 输出输入二阶矩之间的关系
5. 系统输出的高阶矩
下面不加证明地给出输出n阶矩的一般表达式
E [Y (t1 )Y (t 2 ) Y (t n )] E [ X (t1 ) X (t 2 ) X (t n )] h (t1 ) h (t 2 ) h (t n )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
（二）系统输出的平稳性及其统计特性计算
（1）. 双侧随机信号 在这种情况下，系统相应在t=0时已处于平稳。假设X(t) 具有平稳性和遍历性，则在系统输出端可得到下列几条 重要结论。 1. 若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳 的，且输入与输出联合宽平稳。
如果系统的单位冲激响应满足
h (t ) 0 当 t 0时
那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现 系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说
y (t ) h( ) x(t ) d x( ) h(t )d
0 t
物理可实现的稳定系统的传递函数H(s)之所有极点都位 于s平面左半面（不包含虚轴）。
X (t ) m X X (t ) X (t ) R X ( )
Y (t ) lim [lim
T
2T
1
T
T
Y (t ) dt lim
T
[ 2T
T
1
T
0
h (u ) X (t u ) du ]dt
1 2T
0 T
T
T
X (t u ) dt ] h (u ) du m X h (u ) du mY
h(n) 1 2
H ( e j ) e j n d
设y(ej）是输出y(n)的傅立叶变换，则有
Y ( e j ) H ( e j ) X ( e j )
若在上式中令 z e j
，则有
Y ( z) H ( z) X ( z)
H(z)与h(n)是一对拉氏变换对，即
0
h (u ) h ( v ) R X ( v u ) dudv RY ( )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
若用卷积形式表示输入与输出的互相关函数及输出 的自相关函数为
R XY ( ) R X ( ) h( )
RYX ( ) R X ( ) h( ) RY ( ) R X ( ) h( ) h( )
图4.1 线性系统示意图
离散和连续时间系统 双侧系统和单侧系统
4.1 线性系统的基本理论
若对于任意常数a和b、输入信号x1(t)和x2(t)，有
L[ ax1 (t ) bx2 (t )] aL[ x1 (t )] bL[ x2 (t )]
则称系统为线性系统。 若输入信号x(t)时移c段时间，输出y(t)也只引起一 个相同的时移，即
通常上式中以 s j 变换的形式，即
代替j，可把上式写成拉氏
Y (s) H (s) X (s)
H(s)与h(t)是一对拉氏变换对，即
H ( s ) h(t )e st dt
h (t )
1 2j