生物统计学328498 PPT课件
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生物统计学课件1、概率及概率分布
04
指数分布在统计分析中常用于计算随机事件的概率和期望值，如生存 分析和可靠性工程。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
概率分布的应用
在生物统计学中的应用
描述生物样本人群的特征
遗传学研究
通过概率分布，可以描述生物样本人 群的某些特征，如身高、体重、年龄 等。
在遗传学研究中，概率分布被广泛应 用于基因频率的分布和遗传疾病的分 布。
正态分布在统计学中的重要性在于许 多统计方法和假设检验都是基于正态 分布的假设。
泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布 ，常用于描述单位时间内随机
事件发生的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数λ和k控制，其中λ表示单位时
间内随机事件发生的平均次数 ，k表示随机事件发生的次数。
泊松分布在生物统计学中常用 于描述某些离散变量的分布， 如遗传学中的基因突变频率、 流行病学中的疾病发病率等。
在社会科学研究中的应用
人口统计学研究
在人口统计学研究中，概率分布 被用于描述人口特征和分布情况
。
社会调查
在社会调查中，概率分布被用于描 述调查结果的分布情况，例如调查 结果的置信区间和抽样误差。
经济预测
在经济预测中，概率分布被用于预 测经济发展趋势和未来经济状况。
REPORT
CATALOG
DATE
描述随机变量取连续数值时的概率分布，如正态分布、指数 分布等。
离散概率分布
二项分布
描述在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数的概率分布，常用于描述 生物实验和调查中的成功次数。
泊松分布
描述单位时间内（或单位面积上）随 机事件发生的次数，常用于描述稀有 事件的概率模型。
指数分布在统计分析中常用于计算随机事件的概率和期望值，如生存 分析和可靠性工程。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
概率分布的应用
在生物统计学中的应用
描述生物样本人群的特征
遗传学研究
通过概率分布，可以描述生物样本人 群的某些特征，如身高、体重、年龄 等。
在遗传学研究中，概率分布被广泛应 用于基因频率的分布和遗传疾病的分 布。
正态分布在统计学中的重要性在于许 多统计方法和假设检验都是基于正态 分布的假设。
泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布 ，常用于描述单位时间内随机
事件发生的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数λ和k控制，其中λ表示单位时
间内随机事件发生的平均次数 ，k表示随机事件发生的次数。
泊松分布在生物统计学中常用 于描述某些离散变量的分布， 如遗传学中的基因突变频率、 流行病学中的疾病发病率等。
在社会科学研究中的应用
人口统计学研究
在人口统计学研究中，概率分布 被用于描述人口特征和分布情况
。
社会调查
在社会调查中，概率分布被用于描 述调查结果的分布情况，例如调查 结果的置信区间和抽样误差。
经济预测
在经济预测中，概率分布被用于预 测经济发展趋势和未来经济状况。
REPORT
CATALOG
DATE
描述随机变量取连续数值时的概率分布，如正态分布、指数 分布等。
离散概率分布
二项分布
描述在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数的概率分布，常用于描述 生物实验和调查中的成功次数。
泊松分布
描述单位时间内（或单位面积上）随 机事件发生的次数，常用于描述稀有 事件的概率模型。
生物统计学课件方差分析一
详细描述
例如，研究不同品种的玉米在不同施肥条件下产量的差异。通过单因素方差分析 ，可以判断不同品种的玉米在相同施肥条件下是否存在显著产量差异。
双因素方差分析实例
总结词
用于比较两个分类变量与一个连续变量的关系
详细描述
例如，研究不同饲料类型和不同饲养密度对猪生长速度的影响。通过双因素方差分析，可以判断饲料类型和饲养 密度对猪生长速度是否存在显著影响。
判断差异显著性
根据F值和概率P值判断各组间是否 存在显著差异。通常，如果P值小于 预设的显著性水平（如0.05），则认 为各组间存在显著差异。
如果拒绝零假设，则需要进行进一步 的组间比较或使用其他统计方法来了 解差异的性质和方向。
04 方差分析的应用实例
单因素方差分析实例
总结词
用于比较一个分类变量与一个连续变量的关系
02 方差分析的数学模型与假 设检验
方差分析的数学模型
数学模型建立
方差分析通过建立数学模型，将 多组数据之间的差异分解为组间 和组内两部分，以评估各组之间 的差异是否具有统计学显著性。
线性模型
方差分析所使用的数学模型通常是 线性模型，将数据的变化与自变量 关联起来，以解释和预测因变量的 变化。
模型假设
方差齐性
各组数据的方差应大致相等，避免 出现极端值或离群点。
03
02
正态性
数据应符合正态分布，否则可能需 要采用其他统计方法。
样本量
确保样本量足够大，以提高统计检 验的效能和准确性。
04
方差分析的局限性
前提假设严格 交互作用 多元比较
Байду номын сангаас异常值影响
方差分析的前提假设较为严格，如正态分布、方差齐性和独立 性等，如果不能满足这些假设，结果可能不准确。
例如，研究不同品种的玉米在不同施肥条件下产量的差异。通过单因素方差分析 ，可以判断不同品种的玉米在相同施肥条件下是否存在显著产量差异。
双因素方差分析实例
总结词
用于比较两个分类变量与一个连续变量的关系
详细描述
例如，研究不同饲料类型和不同饲养密度对猪生长速度的影响。通过双因素方差分析，可以判断饲料类型和饲养 密度对猪生长速度是否存在显著影响。
判断差异显著性
根据F值和概率P值判断各组间是否 存在显著差异。通常，如果P值小于 预设的显著性水平（如0.05），则认 为各组间存在显著差异。
如果拒绝零假设，则需要进行进一步 的组间比较或使用其他统计方法来了 解差异的性质和方向。
04 方差分析的应用实例
单因素方差分析实例
总结词
用于比较一个分类变量与一个连续变量的关系
02 方差分析的数学模型与假 设检验
方差分析的数学模型
数学模型建立
方差分析通过建立数学模型，将 多组数据之间的差异分解为组间 和组内两部分，以评估各组之间 的差异是否具有统计学显著性。
线性模型
方差分析所使用的数学模型通常是 线性模型，将数据的变化与自变量 关联起来，以解释和预测因变量的 变化。
模型假设
方差齐性
各组数据的方差应大致相等，避免 出现极端值或离群点。
03
02
正态性
数据应符合正态分布，否则可能需 要采用其他统计方法。
样本量
确保样本量足够大，以提高统计检 验的效能和准确性。
04
方差分析的局限性
前提假设严格 交互作用 多元比较
Байду номын сангаас异常值影响
方差分析的前提假设较为严格，如正态分布、方差齐性和独立 性等，如果不能满足这些假设，结果可能不准确。
《生物统计学》课件
生物统计学方法
生物样本收集和处理
讨论如何收集、处理生物样本， 并保证数据的准确性。
数据可视化和描述统 计
介绍如何使用图表和统计指标 对数据进行可视化和描述。
假设检验和推断统计
学习如何对数据进行假设检验 和推断统计，以得出科学结论。
物统计学在研究中的应用
流行病学研究
了解生物统计学在流行病学 研究中的重要作用，如疾病 传播和危险因素分析。
总结与展望
1 对生物统计学的重要性
总结本次演示文稿，强调生物统计学在科学研究中的重要性和作用。
临床试验设计与分析
探讨生物统计学在临床试验 设计和结果分析中的应用， 以支持医学决策。
基因组学研究
探索生物统计学如何帮助基 因组学研究，如基因表达分 析和关联性研究。
生物统计学软件和工具
常用的生物统计学软件
介绍流行的生物统计学软件，如SPSS和R语言，并 展示其功能。
网络资源和数据库
推荐一些常用的在线资源和数据库，供学习和研究 使用。
《生物统计学》PPT课件
欢迎大家来到本次《生物统计学》PPT课件！将带你深入了解生物统计学的概 念和应用领域，以及在研究中扮演的重要角色。
引言
1 目的和背景
介绍本次演示文稿的目的以及其背景。
生物统计学简介
1 定义
探讨生物统计学的定义和其在科学研究中的重要性。
2 应用领域
介绍生物统计学在医学、环境科学和生物研究等领域的广泛应用。
生物统计学课件
根据不同的研究目的如何设计 实验得到样本
第二节 数据类型及频数（率）分布
1. 数据类型 2. 用图和表对样本数据进行定性归纳：
频数表和频数图
1. 数据类型：连续型数据和离散型 数据
数据
连续型数据： （度量数据）
指用量测手段得到的数量性状资料，即用度、 量、衡等计量工具直接测定的数量性状资料。 其数据是长度、容积、重量等来表示。例如： 身高、产奶量、体重、绵羊剪毛量等。这类 数据通常是非整数，数据的变异是连续的。
第一章 统计数据的收集与整理
第一节 总体与样本
1. 什么是生物统计学？ 2. 生物统计学的一些重要术语 3. 本课程的主线
1.什么是生物统计学
• 生物统计学（Biostatistics）是数理统计学 的原理和方法在生物科学研究中的应用， 是用统计学方法分析和解释生物界各种现 象与数量资料的一门学科
组限 37～39 40～42 43～45 46～48 49～51 52～54 55～57 58～60 61～63 64～66
组限
组界
组中值
频数
频率
37
40
43
组下限
。。。
64
组限 37～39 40～42 43～45 。。。 64～66
组界
组中值
频数
频率
（4）在频数表中列出组界和中值。
由于测量精度的原因，第一组（组限为37～39）实际代表从36.5kg到39.5kg的 所有数据，因为连续型数据一般是小数，这里只是因为测量精度以及记录的方便 以整数表示出来。
3230 …
0032 …
选出位于1～2000的数：411，1828，32，768，1024，…，满20 个数为止。
• 这20个数对应的学生就是一个随机样本
第二节 数据类型及频数（率）分布
1. 数据类型 2. 用图和表对样本数据进行定性归纳：
频数表和频数图
1. 数据类型：连续型数据和离散型 数据
数据
连续型数据： （度量数据）
指用量测手段得到的数量性状资料，即用度、 量、衡等计量工具直接测定的数量性状资料。 其数据是长度、容积、重量等来表示。例如： 身高、产奶量、体重、绵羊剪毛量等。这类 数据通常是非整数，数据的变异是连续的。
第一章 统计数据的收集与整理
第一节 总体与样本
1. 什么是生物统计学？ 2. 生物统计学的一些重要术语 3. 本课程的主线
1.什么是生物统计学
• 生物统计学（Biostatistics）是数理统计学 的原理和方法在生物科学研究中的应用， 是用统计学方法分析和解释生物界各种现 象与数量资料的一门学科
组限 37～39 40～42 43～45 46～48 49～51 52～54 55～57 58～60 61～63 64～66
组限
组界
组中值
频数
频率
37
40
43
组下限
。。。
64
组限 37～39 40～42 43～45 。。。 64～66
组界
组中值
频数
频率
（4）在频数表中列出组界和中值。
由于测量精度的原因，第一组（组限为37～39）实际代表从36.5kg到39.5kg的 所有数据，因为连续型数据一般是小数，这里只是因为测量精度以及记录的方便 以整数表示出来。
3230 …
0032 …
选出位于1～2000的数：411，1828，32，768，1024，…，满20 个数为止。
• 这20个数对应的学生就是一个随机样本
高等生物统计学课件.ppt
三、生物统计基本概念
总体：根据研究目的确定的研究对象的全体。 样本：按照一定方法从总体中抽取的一部分单元的全体。 统计量：样本决定的不含任何参数的函数。 准确度：指在调查或试验中某一试验指标或性状的观测 值与其真值接近的程度。
精确度：指调查或试验中同一试验指标或性状的重复观 测值彼此接近的程度。
生物观测数据的类型：
2.蓬勃发展阶段 进入20世纪后，数理统计理论和方法得到了蓬勃发展。
英国统计学家哥色特提出了学生氏t分布，并将其用于平均 数的比较；英国生物学家费希尔提出了试验设计的基本原 则和方差分析法；英国计算机科学家叶茨也作了大量工作。 许多多元分析方法被建立和应用。特别是20世纪后期由于 计算机的快算发展，使得许多统计方法在解决生物科学领 域内问题时，发挥出巨大作用。
2.试验数据误差分类
系统误差：是由较确定的原因引起的，可校正和消除； 随机误差：是由不确定原 因引起的，不可避免和消除； 过失误差：是指一种显然与事实不符的误差，必须避免 和剔除。 3.试验数据误差的来源 试验材料的固有差异：生物学研究对象一般是生物有机 体。自然界不同的生物体具有不同的遗传性质，同一生物 的不同种具有不同的特征，同一品种生物在生长发育过程 中不同个体也有差异，这都能导致研究指标的变化。 环境条件的差异：生物学试验一般都要在外界环境中进 行，而外界环境是多变样的，且地域性很强有较难控制， 这就会导致研究指标的差异。 管理不一致所引起的差异:生物学试验是以生物个体为对 象研究问题，生物个体在发育和生长过程需要管理，而对
关于《高等生物统计课程》的说明
本课程是为满足生物科学各专业研究生学习和研究 的需要而开设计思想和 方法应用、计算机实现的介绍。内容包括均值比较、回 归分析、数据缩减、聚类与模式识别等。要求学生具有 初等概率统计或初等生物统计的基础和计算机基础。
总体：根据研究目的确定的研究对象的全体。 样本：按照一定方法从总体中抽取的一部分单元的全体。 统计量：样本决定的不含任何参数的函数。 准确度：指在调查或试验中某一试验指标或性状的观测 值与其真值接近的程度。
精确度：指调查或试验中同一试验指标或性状的重复观 测值彼此接近的程度。
生物观测数据的类型：
2.蓬勃发展阶段 进入20世纪后，数理统计理论和方法得到了蓬勃发展。
英国统计学家哥色特提出了学生氏t分布，并将其用于平均 数的比较；英国生物学家费希尔提出了试验设计的基本原 则和方差分析法；英国计算机科学家叶茨也作了大量工作。 许多多元分析方法被建立和应用。特别是20世纪后期由于 计算机的快算发展，使得许多统计方法在解决生物科学领 域内问题时，发挥出巨大作用。
2.试验数据误差分类
系统误差：是由较确定的原因引起的，可校正和消除； 随机误差：是由不确定原 因引起的，不可避免和消除； 过失误差：是指一种显然与事实不符的误差，必须避免 和剔除。 3.试验数据误差的来源 试验材料的固有差异：生物学研究对象一般是生物有机 体。自然界不同的生物体具有不同的遗传性质，同一生物 的不同种具有不同的特征，同一品种生物在生长发育过程 中不同个体也有差异，这都能导致研究指标的变化。 环境条件的差异：生物学试验一般都要在外界环境中进 行，而外界环境是多变样的，且地域性很强有较难控制， 这就会导致研究指标的差异。 管理不一致所引起的差异:生物学试验是以生物个体为对 象研究问题，生物个体在发育和生长过程需要管理，而对
关于《高等生物统计课程》的说明
本课程是为满足生物科学各专业研究生学习和研究 的需要而开设计思想和 方法应用、计算机实现的介绍。内容包括均值比较、回 归分析、数据缩减、聚类与模式识别等。要求学生具有 初等概率统计或初等生物统计的基础和计算机基础。
《绪论生物统计》课件
结果报告
撰写规范、清晰、准确的实验报告，包括数据收集和分析过程、 结果解释和结论等部分。
结果讨论
对实验结果进行讨论和反思，提出可能的改进和完善措施。
06
案例分析
案例一：遗传学研究中的统计分析
总结词
遗传学研究中的统计分析主要涉及基因定位、遗传疾病关联分析等方面。
详细描述
在遗传学研究中，统计分析是关键步骤之一，主要用于基因定位、遗传疾病关 联分析等方面。通过统计分析，可以确定基因与疾病之间的关联程度，为疾病 预防和治疗提供科学依据。
数据探索
可视化展示
描述性统计还可以用于数据的可视化 展示，如直方图、箱线图、散点图等 ，这些可视化方式可以帮助人们更好 地理解和分析数据。
通过描述性统计可以初步探索数据的 分布04
推论性统计
推论性统计的基本概念
推论性统计
基于样本数据推断总体特性的统 计方法。
05
实验设计与数据分析
实验设计的基本原则
随机性原则
确保实验组和对照组的 随机分配，减少系统误
差。
对照原则
设置对照组以消除非实 验因素对实验结果的影
响。
重复原则
保证实验结果的稳定性 和可靠性，提高实验精
度。
均衡原则
确保实验组和对照组在 所有重要方面保持均衡 ，使得实验结果具有可
比性。
实验数据的收集与分析
生物统计的应用领域
01
02
03
04
遗传学研究
通过生物统计方法分析遗传数 据，揭示基因型与表型之间的
关系。
流行病学调查
运用生物统计方法研究疾病在 人群中的分布、传播和影响因
素。
生物多样性研究
通过统计分析物种分布、数量 和生态学特征，评估生物多样
撰写规范、清晰、准确的实验报告，包括数据收集和分析过程、 结果解释和结论等部分。
结果讨论
对实验结果进行讨论和反思，提出可能的改进和完善措施。
06
案例分析
案例一：遗传学研究中的统计分析
总结词
遗传学研究中的统计分析主要涉及基因定位、遗传疾病关联分析等方面。
详细描述
在遗传学研究中，统计分析是关键步骤之一，主要用于基因定位、遗传疾病关 联分析等方面。通过统计分析，可以确定基因与疾病之间的关联程度，为疾病 预防和治疗提供科学依据。
数据探索
可视化展示
描述性统计还可以用于数据的可视化 展示，如直方图、箱线图、散点图等 ，这些可视化方式可以帮助人们更好 地理解和分析数据。
通过描述性统计可以初步探索数据的 分布04
推论性统计
推论性统计的基本概念
推论性统计
基于样本数据推断总体特性的统 计方法。
05
实验设计与数据分析
实验设计的基本原则
随机性原则
确保实验组和对照组的 随机分配，减少系统误
差。
对照原则
设置对照组以消除非实 验因素对实验结果的影
响。
重复原则
保证实验结果的稳定性 和可靠性，提高实验精
度。
均衡原则
确保实验组和对照组在 所有重要方面保持均衡 ，使得实验结果具有可
比性。
实验数据的收集与分析
生物统计的应用领域
01
02
03
04
遗传学研究
通过生物统计方法分析遗传数 据，揭示基因型与表型之间的
关系。
流行病学调查
运用生物统计方法研究疾病在 人群中的分布、传播和影响因
素。
生物多样性研究
通过统计分析物种分布、数量 和生态学特征，评估生物多样
生物统计学课件回归与相关分析
影响因素分析
市场预测
多元线性回归可用于分析多个自变量 对因变量的影响，以及各因素之间的 交互作用。
在市场营销中，多元线性回归可用于 预测市场需求和销售量，基于产品特 性、价格、竞争对手等多个因素。
社会经济因素分析
在经济、社会学等领域，多元线性回 归可用于研究多个因素对某一结果的 影响，如收入、教育程度等对个人幸 福感的影响。
线性回归模型
定义
线性回归模型是一种最简单的回 归分析形式，其中因变量和自变 量之间的关系可以用一条直线来
描述。
公式
(Y = beta_0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ldots + beta_pX_p + varepsilon)
解释
(Y)是因变量，(beta_0, beta_1, ldots, beta_p) 是模型的参数， (X_1, X_2, ldots, X_p) 是自变量， (varepsilon) 是误差项。
R语言介绍与操作
01
R语言是一种开源的统计计算语言 ，具有强大的数据处理和可视化 能力。
02
操作步骤：安装并打开R语言环境 ，导入数据，使用适当的函数进 行回归或相关分析，可视化结果 ，解读分析结果。
Python数据分析库介绍与操作
Python是一种通用编程语言，常用于数据分析。
操作步骤：安装Python和相关的数据分析库（如NumPy、Pandas和SciPy）， 导入数据，使用库函数进行回归或相关分析，可视化结果，解读分析结果。
解释
(Y)是因变量，(beta_0, beta_1, ldots, beta_{np}) 是模型的参数，(X_{ij}) 是自变量， (varepsilon) 是误差项。
1生物统计学课件第一部分
2、生物统计学的功能 1). 为科学地整理分析数据提供方法； 2). 判断试验结果的可靠性：两种饲料对仔鸡增重和饲料利用率 3). 确定事物之间的相互关系：第一胎的产乳量和以后几胎的
产乳量之间的相关关系
4). 提供试验设计的原理和方法； 5). 为学习其他课程提供基础。
四、统计学的常用术语
1. 变量（Variable）与观测值（Observation） 变 量：指某种特征，它的表现在不同个体间或不同 组间存在变异性，如体重。 观测值：对变量的表现进行观察或测量所获得的数 据，这些数值也被称为变数（variate）。
t值与差异显著性关系表 t t ≥ t(df)0.01 t ≥ t(df)0.05 t < t(df)0.05 P值 P ≤ 0.01 P ≤ 0.05 P > 0.05 差异显著程度 差异非常显著 差异显著 差异不显著
通常，许多的科学领域中产生p值的结果≤0.05被认为是统计学意 义的边界线，但是这显著性水平还包含了相当高的犯错可能性。 结果0.05≥p>0.01被认为是具有统计学意义，而0.01≥p≥0.001被认 为具有高度统计学意义。
某车间某月份的工人生产某产品的数量分别为13、13.5、 13.8、13.9、14、14.6、14.8、15、15.2、15.4公斤，则 三个四分位数的位置分别为：
四、统计学的常用术语
5 . 随机误差(sampling error)与系统误差(lopsided error)
随机误差也叫抽样误差，这是由于许多无法控制的内在和外在的 偶然因素所造成。 系统误差也叫片面误差，这是由于试验的初始条件相差较大，测 量的仪器不准、标准试剂未经校正，以及观测、记载、抄录、 计算中的错误所引起。
显著性检验的目的就在于承认并尽量排除这些无法 控制的偶然因素的干扰，将处理间是否存在本质差 异揭示出来。
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不同样本容量的平均数的抽样分布形状为：
f
1.5
1
0.5
0 0246 y
n=1
f
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
y
n=4
f
3.5 3
2.5 2
1.5 1
0.5 0
f
1200
23456
y
n=2
1000
800
600
400
200
0
2.25 2.75 3.25 3.75 4.25 4.75 5.25 5.75
正态分布
几个特殊的一般正态分布概率
P( - X + ) = 68.26% P( - 2 X + 2 ) = 95.45% P( - 3 X + 3 ) = 99.73% P( - 1.96 X + 1.96 ) = 95% P( - 2.58 X + 2.58 ) = 99%
正态分布
99.7% 95.5% 68.3%
-3 -2 - + +2 +3 x
第三节 统计数的分布
统计推断:从样 本到总体方向
总体
抽样分布:从总体 到样本方向
样本
样本
样本
样本
随机抽样
对于大总体,可以随机性的抽取一部分样本 进行研究
对于小的有限总体,进行放回式抽样(因总体 不会耗尽而视作无限容量)
一、样本平均数的分布
例：设有一个 N=4 的有限总体，变数为2、 3、3、4。现分别以n=2,n=4作独立的有放 回的抽样。求总体的μ、σ2和样本平均数抽
样总体的平均数、方差之间的关系。
N=4, n=2和n=4时的次数分布
解：该总体的μ、σ2、σ为μ=3, σ2=1／2, σ= =0.70172
正态分布
(1) P( U u) 或 P(U -u) (u > 0)
P(U u) P(U u) 直接查表
正态分布
(2) P( U -u) 或 P(U u)
P(U u) P(U u) 1 P(U u)
查表
(3) P( a U b)
正态分布
P(a U b) P(U b) P(U a) 或 P(a U b) 1 P(U a) P(U b)
y
n=8
中心极限定理
无论样本所来自的总体是否服从正态分布， 只要 样本足够大，样本平均数就近似服从正态分布，样 本越大，近似程度越好。
所需的样本含量随原总体的分布而异，但只要样本 含量 30，无论原总体是何分布，都足以满足近似 的要求。
设原总体的平均数为，方差为 2，则样本平均数 的平均数为，方差为 2 /n。
标准误
标准误(平均数抽样总体的标准差) x / n 的大小反映样本
平均数 x 的抽样误差的大小，即精确性的高低。
在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，因而无法求
得 x 。此时，可用样本标准差S估计σ。即以 S n估计 x。记 S n
为S
，称作样本标准误或均数标准误。样本标准误S
从有限总体作返置随机抽样，所有可能的样本数为Nn。其中n 为样本含量。以上述总体而论，如果从中抽取n=2的样本，共可得 42=16 个样本；如果样本含量n为4，则 一 共 可 抽 得44=256个样本。 分别求这些样本的平均数，其次数分布如上表所示。
根据表数据，在n=2的试验中，样本平均数抽样总体的平均数、 方差与标准差分别为：
x f x / N n 48.0 /16 3
2 x
f (x x )2
Nn
fx 2 (
fx )2
/ Nn
148 482
/16
1
1/ 2
2
Nn
16
42 n
x
2 x
1/ 4
1 2/
2
n
同理可得，在n=4的试验中，样本平均数抽样总体的平均数、方 差与标准差分别为：
正态分布
对于给定的两尾概率求标准正态分布在x轴上 的分位点
1 P(u பைடு நூலகம் u)
/2
/2
正态分布
对于给定的一尾概率求标准正态分布在x轴上 的分位点
1 P(U u)
1 P(u U u) 2
用2 查附表2，可得一尾概率为 时的分位点u
正态分布
几个特殊的标准正态分布概率
P( -1 U 1) = 68.26% P( -2 U 2) = 95.45% P( -3 U 3) = 99.73% P( -1.96 U 1.96) = 95% P( -2.58 U 2.58) = 99%
正态分布
99.7% 68.3% 95.5%
差的样估本计标值准,其误大是小样说本明平了均样数本x间1 ,变x异2 ,程...度, x的k的大标小及准精差确，性它的是高抽低样。误
二、样本平均数差数的分布
(1) 样本平均数差数的平均数等于总体平均数的差数,即
x1 x2
1 2
(2) 样本平均数差数的方差等于两样本平均数（总体方差除以各样
x
x
是平均数抽
样误差的估计值。若样本中各观测值为 x1 ，x2 ，…，xn ，则
Sx S n
(x x)2
n(n 1)
x2 (
2
x) / n
n(n 1)
样本标准差与标准误之间的区别
x x 样本标准差S是反映样本中各观测值 1，x2 ，…， n变 异 程 度 x 大小的一个指标，它的大小说明了 对 该 样本代表性的强弱
x fx / N n 768 / 256 3
2 x
f (x x )2
Nn
fx 2 ( fx )2 / N n Nn
2336 7682 / 256 1 1/ 2 2
256
84 n
x
2 x
1/8
12/
4
n
样本来自均数为，方差为 2的总体
x
x
n
正态总体样本平均数的分布
设样本来自正态总体 N( , 2)，则样本平均数也服从 正态分布，其总体均数为 ，方差为 2/n。
X ~ N(, 2)
x ~ N(, 2 )
n
U x ~ N(0,1) 2 n