测度论基础知识总结

测度论基础知识总结

1.集合论

1.1 集合与基本运算

·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。中间含有的对象叫元素。

全集：要研究的问题涉及到的最大集合。

空集：没有任何元素的集合。

表达方法：{x（集合元素x）|x应该有的性质}

·元素与集合的关系：x A，x∉A

·集合之间的关系

只有包含或者不包含

若对于任意元素x A，x B则A包含于B（证明就用这个方法），A是B的子集（A B 则为B的真子集）

包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A

真子集：A包含于B但A B

·集合的运算

①单个元素的幂集

对于一个集合X，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。这种以集合为元素的集合，也叫集合族。

②两个集合的运算

交：A B={x| x A且x B}

并：A B={x| x A或x B}

差：A\B（或写成A-B）={x| x A且x∉B}

补：=U\A（U是问题要研究的全集）

于是有等式A\B=A

积：（直积）A×B={(x,y)| x A且y B }（把A、B中元素构成有序对）

③多个元素的运算

多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ，I称为指标集。

类似有多个并

注：可以是无穷个

【例】={x| x>}，A={x| x>0}，则A=

·集合的分析相关性质

①上限集：一列集合{}，定义上限集为。类似于数列的上极限。

②下限集：一列集合{}，定义下限集为。类似于数列的下极限。

③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。

④单调集合列：若始终有包含于，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，

若始终有，则为递减列。

若为递增列，则有极限=；若为递减列，则有=。

1.2映射

·定义：X、Y是两个集合，对任意x X，存在唯一的y=f(x)Y与之对应，则对应法则f 为X到Y的一个映射，记为f:X→Y。

像集：对于X的一个子集A，像集{f(x)| x A}记为f(A)，显然包含于Y

原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x| x记为

·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像

单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像

双射：既是单射又是满射。双射是一一对应的映射。

·逆映射：对于双射，建立一种Y到X的双射，将像映射到原像上。记为:Y→X

·复合映射：f:X→Y，g:Y→Z，它们的复合g o f:X→Z，写成g(f(X))

·函数，一个（n维实数向量）到R（实数）上的映射

·性质（映射与交并运算顺序可交换性）

对于f:X→Y，X若干个子集，Y若干个子集

f(U)=Uf()

=

f()包含于（只有这一个不一定等于！！！）

不等于的例子：A={1} ，B={-1}，f(x)=|x|，则f(A B)f(A)f(B)

=

用集合相等定义可证明。

1.3集合的势

·对等：如果集合A和B之间可以建立双射，则A对等于B。记为A~B

性质：①A到B有单射→A与B子集对等

A到B有满射→B与A子集对等

②A~B，B~C，则A~C（传递性）

③A~C，B~D，则A×B~C×D

判定：（康托—伯恩斯坦定理）若集合X与Y的一个真子集对等而且Y与X的一个真子集对等，则X~Y

·基数：有限个元素的集合为元素个数。

·势：若两个集合对等，则定义它们的势相等。在有限个元素的情况下，势就是基数。

无限个元素的情况下，定义自然数集的势是（阿列夫0）。A的势用|A|表示。

·若A与B的一个子集对等，则|A||B|，若与B的真子集对等，则|A|<|B|

1.4可数集

·可数集：与自然数集对等的称为可列集，元素有限的集合和可列集统称可数集。

·性质：①任何无穷集合都包含可列子集

②可数集的子集还是可数集

③两个可数集的交、并还是可数集

④可数集和可数集的直积还是可数集

·定理：有理数集是可列集，实数不是可列集。（有理数可列证明就把每一个有理数p/q映射到(p,q)点，则有理数和Z×N对等。实数不可列证明方法有多种，可用闭区间

套定理、有限覆盖定理、十进制小数展开等方法）

定义实数的势是c=

·定理：单调函数的间断点集是可数集。

证明思路：不妨设单调递增。间断点x0左右必有界，否则不单调。f(x0-0)和f(x0+0)之间必有有理数rx0，而且x0不同的话每个区间(f(x0-0),f(x0+0))不会相交，否则不单

调。所以间断点和有理数子集{rx0}建立双射，是可数的。

·不可数集性质：①一个集合子集不可数，则它不可数

②A不可数，B可数，则A~AUB

2.n维欧式空间极其简单的性质

2.1定义

·向量与运算：（略）这部分详见线性代数或者解析几何书定义的向量及运算（加、减、模、内积）、距离等。

·一些常用的集合：

开球：B(x,r)（以x为球心，r为半径的球内部）就是{y|d(x,y)

闭球：上面改为d(x,y)r

有界集：包含于一个开球的集合。

2.2分析相关的概念

·点列的极限点：{}在k趋于时与定点x的距离趋向于0，则x为{极限点。