平行四边形对点坐标关系
平行四边形中点公式
平行四边形中点公式
平行四边形中点公式是指在一个平行四边形中，连接对角线的线段中点恰好构成一个平行四边形。
根据这个公式，我们可以轻松地求出平行四边形中点的坐标。
假设我们有平行四边形的四个顶点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）。
我们要求连接对角线AC的中点M的坐标。
根据平行四边形的性质，我们知道AC和BD是平行的。
那么，中点M 的横坐标可以通过求平均值得到，即：
xm = (x1 + x3) / 2
同样地，中点M的纵坐标也可以通过求平均值得到，即：
ym = (y1 + y3) / 2
因此，我们可以得出平行四边形中点的坐标为M（xm，ym）。
这个公式的原理很简单，通过求对角线的坐标平均值，我们可以得到平行四边形中点的准确坐标。
利用这个公式，我们可以在几个简单的步骤内找到平行四边形中点的位置。
需要注意的是，根据这个公式，我们可以求出不同平行四边形的中点坐标。
根据具体题目的需求，我们可以灵活运用这个公式来解决问题。
总结一下，平行四边形中点公式是一种用于求解平行四边形中点坐标的简便方法。
通过求对角线坐标的平均值，我们可以轻松地找到平行四边形中点的位置。
这个公式在解决各种与平行四边形相关的问题时非常有用。
平行四边形的中点坐标公式
平行四边形的中点坐标公式平行四边形是高中数学中重要的基本图形之一，它具有许多重要的性质和应用。
在平行四边形中，中点坐标是一个重要的概念。
本文将介绍平行四边形的中点坐标公式以及其应用。
一、平行四边形的中点坐标公式对于平行四边形ABCD，我们可以通过向量的方法来求得其对角线AC和BD的中点坐标。
首先，我们需要求出向量AC和BD的坐标表示式：向量AC： $ \overrightarrow{AC} =\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$ $ \overrightarrow{AC} = (\frac{A_x+C_x}{2},\frac{A_y + C_y}{2}) - (\frac{A_x + B_x}{2},\frac{A_y + B_y}{2}) $ $ \overrightarrow{AC} = (\frac{C_x - B_x}{2}, \frac{C_y - B_y}{2}) $向量BD： $ \overrightarrow{BD} =\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB}$ $ \overrightarrow{BD} = (\frac{B_x+D_x}{2},\frac{B_y + D_y}{2}) - (\frac{A_x + B_x}{2},\frac{A_y + B_y}{2}) $ $ \overrightarrow{BD} = (\frac{D_x - A_x}{2}, \frac{D_y - A_y}{2}) $接下来，我们需要求出向量AC和BD的中点坐标：$ M_{AC} = (\frac{A_x+C_x}{2}, \frac{A_y +C_y}{2}) $ $ M_{BD} = (\frac{B_x+D_x}{2}, \frac{B_y + D_y}{2}) $因此，平行四边形对角线AC和BD的中点坐标可以表示为：$ M_{ACBD} = (\frac{A_x + C_x + B_x + D_x}{4}, \frac{A_y + C_y + B_y + D_y}{4}) $这就是平行四边形对角线的中点坐标公式。
利用直角坐标系计算平行四边形的面积
利用直角坐标系计算平行四边形的面积利用直角坐标系计算平行四边形的面积是一种常见的数学问题。
下面将介绍如何通过直角坐标系来计算平行四边形的面积，并给出一个具体的例子。
1. 给定平行四边形的四个顶点坐标假设平行四边形的四个顶点的坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4)。
以A点为原点，建立直角坐标系，可以得到B点的坐标是(Bx, By) = (x2-x1, y2-y1)，C点的坐标是(Cx, Cy) = (x3-x1, y3-y1)，D点的坐标是(Dx, Dy) = (x4-x1, y4-y1)。
2. 计算平行四边形的向量将AB向量记为向量a = (Bx, By)，将AD向量记为向量b = (Dx, Dy)。
3. 计算平行四边形的面积平行四边形的面积可以通过向量叉乘来计算。
向量叉乘的结果是一个新的向量，其模长等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。
因此，平行四边形的面积可以表示为两个向量叉乘的模长的一半。
面积 = |a × b| / 24. 具体案例现假设平行四边形的顶点坐标为A(0, 0)，B(3, 0)，C(2, 4)，D(-1, 4)。
我们将按照上述方法来计算该平行四边形的面积。
将B、C、D三个点的坐标进行平移，以使得A点成为原点。
得到平移后的坐标为B'(3-0, 0-0) = (3, 0)，C'(2-0, 4-0) = (2, 4)，D'(-1-0, 4-0)= (-1, 4)。
计算AB'向量，得到向量a = (3, 0)。
计算AD'向量，得到向量b = (-1, 4)。
计算向量叉乘，得到向量a × b = (3*4 - 0*(-1), 0*(-1) - 3*4) = (12, -12)。
计算向量模长，得到|a × b| = √(12^2 + (-12)^2) = √(144 + 144) = √288。
平行四边形点坐标关系
平行四边形点坐标关系1.引言1.1 概述平行四边形是初中数学中的一个重要概念，它是由四条线段组成的四边形，其中相邻的两条边是平行的。
平行四边形在几何学以及应用数学中有着广泛的应用，研究平行四边形的点坐标关系对于解决各种几何问题有着重要的意义。
本文旨在详细介绍平行四边形的点坐标关系，通过分析平行四边形的定义、性质以及相关的公式，探讨平行四边形的各个点的坐标之间的关系，进而提供解决平行四边形相关问题的方法和思路。
首先，我们将介绍平行四边形的定义和性质，包括平行四边形的边和角的特点，以及它们与平行性的关系。
通过理解平行四边形的性质，我们可以更好地把握平行四边形的整体结构和特征。
接着，我们将重点讨论平行四边形的点坐标关系。
通过推导和分析，我们将给出平行四边形两对对角线的交点的坐标表示公式，以及边和对角线的中点、四个顶点之间的坐标关系。
这些公式和关系将为解决与平行四边形相关的几何问题提供宝贵的工具。
最后，我们将总结平行四边形的点坐标关系，并讨论其应用和意义。
平行四边形的点坐标关系在解决实际问题中有着广泛的应用，例如在建筑设计、地图制作等领域中，我们可以利用这些关系计算和描述不同点之间的位置关系，从而更好地解决空间布局和测量的需求。
通过深入研究平行四边形的点坐标关系，我们将能够更好地理解和应用平行四边形的性质，为解决与平行四边形相关的几何问题提供清晰的思路和方法。
希望本文能够对读者对平行四边形的认识和应用有所启发，并在几何学的学习和实践中发挥积极的指导作用。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将围绕着平行四边形的点坐标关系展开讨论。
文章分为引言、正文和结论三个部分，每个部分的内容如下：1. 引言部分将对平行四边形进行概述，介绍其定义和性质。
我们将简要阐述平行四边形的几何特征，以及与它相关的基本概念和术语。
此外，还会介绍文章的结构以及目的，以帮助读者更好地理解文章的内容和结构。
2. 正文部分将重点讨论平行四边形的点坐标关系。
【存在性系列】平行四边形存在性问题
【存在性系列】平⾏四边形存在性问题平⾏四边形存在性问题，主要考察⼀个四边形为平⾏四边形需要满⾜的判定条件。
这部分考察的较多的主要分为“三定⼀动”，“两定两动”类型。
今天来详细讨论下平⾏四边形的存在性问题。
理论准备知识储备：1.点在平⾯直⾓坐标系中的平移2.左右平移横变纵不变，上下平移纵变横不变坐标平移⼝诀：上加下减，左减右加3. 平⾏四边形平⾏且相等4. 平⾏四边形对⾓线互相平分【处理策略⼀】利⽤对⾓新互相平分【⽅法运⽤】该⽅法适⽤于“三定⼀动”、“两定两动”类型的动点问题【处理策略⼆】利⽤对边平⾏且相等，构造全等【⽅法运⽤】该⽅法适⽤于“三定⼀动”、“两定两动”类型的动点问题常见类型以下主要讲解按照对⾓线讨论的处理⽅法类型⼀：三定⼀动【引例】如图，A(1,2),B(6,3),C(3,5)为坐标系中三个定点，问平⾯内是否存在点D，使得四边形ABCD为平⾏四边形.【处理⽅法】⼀般我们习惯分对⾓线进⾏讨论我们设D的坐标为(m,n)1.当AC为对⾓线时可以得到平⾏四边形D1ABC ∴ 1+3=6+m ,m=-2， 2+5=3+n, n=4∴D1的坐标为(-2,4)2.当BC为对⾓线时可以得到平⾏四边形ACD2B ∴ 1+m=6+3,m=8，2+n=3+5,n=6∴D2的坐标为(8,6)3.当AB为对⾓线时可以的到平⾏四边形ACBD3 ∴ 1+6=3+m,m=4，2+3=5+n,n=0∴D3的坐标为(4,0)类型⼆：两定两动【引例1】已知A（2，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平⾏四边形，求C、D坐标．【处理⽅法】对于两个动点的问题我们也是采取分对⾓线进⾏讨论即可设C的坐标为(m,0),D的坐标我(0,n)1.当AB为对⾓线时2+4=m+0，m=61+2=n+0，n=3∴C的坐标为(6,0)，D的坐标为(0,3)2.当AC为对⾓线时2+m=4，m=21+0=2+n，n=-1∴此时C的坐标为(2,0)，D的坐标为(0,-1)3.当AD为对⾓线时2+0=m+4，m=-21+n=0+2，n=1∴C的坐标为(-2,0)，D的坐标为(0,1)【引例2】如图，在平⾯直⾓坐标系中，有两点A(1,3),B(3,6),C为x轴上的⼀个动点。
平面直角坐标系平行四边形对角线公式
平面直角坐标系平行四边形对角线公式平面直角坐标系平行四边形对角线公式简介在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标计算得出平行四边形的对角线长度。
本文将介绍平行四边形对角线的公式，并通过例子详细解释说明。
公式一：平行四边形对角线公式对于平行四边形ABCD，其对角线AC的长度可以通过以下公式计算：AC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，A(x1, y1)和C(x2, y2)分别是平行四边形的两个顶点的坐标。
例子一：计算平行四边形对角线长度现有平行四边形ABCD，其中A点的坐标为A(2, 3)，C点的坐标为C(5, 7)。
我们可以通过公式计算出对角线AC的长度。
首先，将坐标代入公式：AC = √((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2)接着，进行计算：AC = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5所以，平行四边形ABCD的对角线AC的长度为5。
公式二：平行四边形的另一对角线公式对于平行四边形ABCD，其另一对角线BD的长度可以通过以下公式计算：BD = √((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2)其中，B(x3, y3)和D(x4, y4)分别是平行四边形的另外两个顶点的坐标。
例子二：计算平行四边形另一对角线长度现有平行四边形ABCD，其中B点的坐标为B(1, 4)，D点的坐标为D(9, 5)。
我们可以通过公式计算出对角线BD的长度。
将坐标代入公式：BD = √((9 - 1)^2 + (5 - 4)^2)进行计算：BD = √(8^2 + 1^2) = √(64 + 1) = √65所以，平行四边形ABCD的另一对角线BD的长度为√65。
结论通过以上例子，我们可以看出，平行四边形的对角线长度可以通过坐标计算得出。
公式一适用于计算任意平行四边形的对角线，而公式二适用于计算另一对角线的长度。
使用这些公式，我们可以方便地计算平行四边形的对角线，从而在几何学和图形计算中起到重要的作用。
“顶点坐标法”确定二次函数中的平行四边形
“顶点坐标法”确定二次函数中的平行四边形发布时间：2021-07-05T08:40:51.013Z 来源：《教育学文摘》2021年5月总第371期作者：李海红[导读] 也没有平行四边形的顶点坐标公式，在此我们先帮助学生来探究这两个结论，作为解题的切入点。
浙江台州市椒江第五中学318000二次函数与几何的综合题型是中考数学的一大难点，其中以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂、知识覆盖面广、综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高，考生往往“观题却步”，直接放弃。
对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”来解决。
由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解。
为此，笔者阐述一种简便方法来解决这类题。
现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，在此我们先帮助学生来探究这两个结论，作为解题的切入点。
(1)线段的中点坐标公式如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为（xA，yA），点B坐标为（xB，yB），则线段AB的中点P的坐标为P（——，——）。
图1 图2(2)平行四边形的顶点坐标公式如图2，在平面直角坐标系中，ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，则xA+xC=xB+xD:yA+yC=yB+yD。
证明：如图2，连接AC，BD，相交于点E。
即平面直角坐标系中，平行四边形对角线两端点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等。
因此，在二次函数题型中，要判定四个点能否构成平行四边形时，可以直接应用平行四边形的顶点坐标公式来求解。
题例：1.（2019山西中考13分）如图3所示，抛物线y= ax2+bx+6经过点A(-2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C。
点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m(1<m<4).连接AC，BC，DB，DC。
(1)求抛物线的函数解析式。
再谈平行四边形第四个顶点的坐标公式及应用
综合理论课程教育研究288 学法教法研究一、问题提出近几年，许多中考真题中都考查了二次函数与平行四边形结合的题型，题型一般都是四边形的两个顶点为定点，另两个为动点，其中一个在抛物线上，而另一个动点在特殊的直线上（如：x 轴、y 轴或抛物线的对称轴上）以这四个点为顶点的平行四边形，求动点的坐标。
解决这类问题的关键就是：设出一动点坐标，表示出另一动点的坐标（即平行四边形第四个顶点）。
文献[1]中给出了推导平行四边形的第四个顶点坐标公式的方法及其应用，笔者仔细研读后对公式的推导推方法又有了新的发现与思考：从平行四边形的结构特征来看，平行四边形都可以动态的看成由它的一条边通过平移得到，能否用平移的思想，借助平移前后点的变化规律，来发现平行四边形的四个顶点存在的内在联系.下面笔者将公式的推导过程予以展示，供大家参考。
二、问题探究1.定形（字母有顺序）问题1：如图，四边形ABCD 为平行四边形，其中，求D 点坐标。
解法如下：解法一：平行四边形ABCD 可以看成由边AB 经过平移到CD 而形成四边形。
由平移前后点的坐标变化规律可知，B 到C 的平移方式与A 到D 的平移方式相同。
点B 先向右平移个单位，在向上平移个单位即得到点C ，则点A 先向右平移个单位，在向上平移个单位即得到点D .解法二：平行四边形ABCD 可以看成由边BC 经过平移到AD 而形成四边形。
由平移前后点的坐标变化规律可知，B 到A 的平移方式与C 到D 的平移方式相同。
点B 先向右平移个单位，在向上平移个单位即得到点C ，则点C 先向右平移个单位，在向上平移个单位即得到点D .不难发现，解法一和解法二结果一致。
由上面的探究，可以得出以下结论：平行四边形的四个顶点顺序一定，已知前三个点的坐标，则第四个点的横坐标即为已知对角两点的横坐标的和减去第三点的横坐标，第四个点的纵坐标即为已知对角两点的纵坐标的和减去第三点的纵坐标。
特殊地：①平行四边形ABCD 中，则：，其中.②平行四边形ABCD 中，则：，其中.两种特殊情况，从数和形的角度清晰地展现出平行四边形的四个顶点存在的内在关系，同时也是公式的特殊应用。
第6章平行四边形 题型解读7 直角坐标系中的平行四边形-2020-2021学年北师大版八年级数学下册
《平行四边形》题型解读7 直角坐标系中的平行四边形【知识梳理】： 1.总体解题分析思路线：2.常见添辅助线方法：①过平行四边形顶点作坐标轴的垂线段，把点的坐标转化成线段长； ②连接对角线，利用中点坐标公式求解点的坐标；【典型例题】例1.已知如图，平行四边形ABCD 的边AB 在轴上，顶点D 在轴上，AD=4，AB=5，点A 的坐标为（-2，0），则 点B 的坐标为____________, 点C 的坐标为____________, 点D 的坐标为____________ 【解题过程】作CE ⊥x 轴，∵点A 的坐标为（-2，0），∴OA=2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=4,AB=CD=5,∴OB=3,∴BE=2,在Rt △OAD 中，由勾股定理可得OD=2√3,∵∠DAO=∠CBE,OA=BE=2,∠AOD=∠CEB=90º,∴△AOD ≌△BEC,∴CE=OB=2√3,∴B(3,0)、D(0,2√3)、C(5,2√3).例2.如图，在平面直角坐标系中，AB//OC ，A （0，12），B （a,12），C （b,0），且满足b =√a −21+√21−a +16. 动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P 、Q 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动.设运动时间为t （秒）. （1）求B ，C 两点的坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？请求出此时P ，Q 两点的坐标； （3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P 、Q 两点的坐标.【解题过程】（1）∵b =√a −21+√21−a +16，∴√a −21≥0，√21−a ≥0，∴a=21,∴b=16,∴B(21,12)、C(16,0)； （2）如图1，由题可知：AP=2t,PB=21-2t ，OQ=t,QC=16-t ，∵当四边形PQCB 是平行四边形时，∴PB=QC ，即21-2t=16-t ，解得t=5，此时AP=10,OQ=5，∵AB//OC ，∴点B 、P 的纵坐标相同，∴P(10,12)、Q(5,0)。
二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义(对点法——一招制胜)
向右平移6个单位长度向上平移2个单位长度二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义一、知识链接：点P（x,y）的平移方式平移后点的坐标规律沿x轴平移向右平移a个单位长度(x+a,y)左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变向左平移a个单位长度(x-a,y)沿y轴平移向上平移b 个单位长度(x,y+b)上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减向下平移b 个单位长度(x,y-b)例1：如下图，线段AB平移得到线段BA''，已知A（-2,2）,B（-3，-1）B'（3,1）则：点A'的坐标是例2.在平行四边形ABCD中，其中已知A (-1，0)，B (1，-2)， C (3，1)，则D点坐标？二、知识迁移例3：如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标分别为()11,yxA、()22,yxB、()33,yxC、()44,yxD，已知其中任意3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？∵AB∥CD,AB=CD∴边CD可看成由边BA向右、向上平移n个单位长度得到三、对点法即：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等.①若点A与点B相对，则点D与点C相对②若点A与点D相对，则点B与点C相对③若点A与点C相对，则点B与点D相对四、典型例题学习例4.如图,平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,-2),C(3,1)点D是平面内一动点,若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标是五、小试牛刀1.抛物线中的平行四边形存在性问题（“三定一动”）例5.已知,抛物线2x y 2++-=x 与x 轴的交点为A 、B,与y 轴的交点为C,点M 是平面内一点,判断有几个位置能使以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形,请写出相应的坐标.思路点拨：先求出A （-1,0）B （2,0）C （0,2）设点M （x,y ）①点A 与点B 相对⎩⎨⎧+=++=+-y x 200021 ∴⎩⎨⎧-==21y x②点A 与点C 相对⎩⎨⎧+=++=+-y x 020201 ∴⎩⎨⎧=-=23y x③点A 与点M 相对⎩⎨⎧+=++=+-200021y x ∴⎩⎨⎧==23y x∴ M （1，-2）或（-3,2）或（3,2）2.抛物线中的平行四边形存在性问题（“两定两动”）例6.如图,平面直角坐标系中,x x +-=241y 与x 轴相交于点B(4,0),点Q 在抛物线的对称轴上,点P 在抛物线上,且以点O 、B 、Q 、P 为顶点的四边形是平行四边形,写出相应的点P 的坐标.思路点拨：此题与上一题方法一样，但需设出两动点坐标设点P （m ,m m +-241）, Q(2,a)下面请您自己列出方程并解答：变式题:1.如图,平面直角坐标系中,421y 2-+=x x 与y 轴相交于点B(0,-4),点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线x y -=上的动点,判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q 的坐标.变试题:2.如图,平面直角坐标中,32x y 2--=x 与x 轴相交于点A(-1,0),点C 的坐标是(2,-3),点P 抛物线上的动点,点Q 是x 轴上的动点,判断有几个位置能使以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q 的坐标.六、方法分享二次函数综合问题中，平行四边形的存在性问题，无论是“三定一动”，还是“两定两动”，甚至是“四动”问题，能够一招制胜的方法就是“对点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解。
平行四边形求第四个点的公式
平行四边形求第四个点的公式平行四边形是我们在初中数学中经常遇到的一种图形，相信大家对于平行四边形的概念和性质也都非常熟悉。
不过，在实际的计算过程中，我们有时会遇到这样一个问题：已知平行四边形的三个顶点，求出第四个顶点的坐标，那么该怎么办呢？接下来，我们就来一起探讨一下平行四边形求第四个点的公式。
首先，我们需要明确平行四边形的定义和性质。
平行四边形是指有两对对边是平行的四边形，而平行四边形的一个重要性质是：对角线互相平分。
也就是说，平行四边形的两条对角线互相平分，且它们的交点是对角线的中点。
这个性质是我们求解平行四边形第四个点的关键。
如果我们已知了平行四边形的三个顶点，那么我们可以通过对角线的中点，来推算出第四个顶点的坐标。
具体来说，我们可以按照以下步骤来计算平行四边形的第四个点的坐标：步骤一：计算对角线的中点坐标对角线的中点坐标可以通过平面坐标系中两点的坐标求解公式推算得出。
如果已知平行四边形的两个对角线的端点坐标分别为(A, B)和(C, D)，那么对角线的中点坐标就是：E = [(A + C) / 2, (B + D) / 2]其中，E为对角线的中点坐标。
步骤二：计算第四个点的坐标根据平行四边形对角线互相平分的性质，E点是对角线的中点。
我们可以通过这个特性，来推算出第四个点的坐标。
具体来说，如果已知平行四边形的另外两个点的坐标分别为F(x1, y1)和G(x2, y2)，那么第四个顶点的坐标H(x3, y3)就可以通过以下公式求解：x3 = 2E.x - x1 - x2y3 = 2E.y - y1 - y2其中，E为对角线的中点坐标，(x1, y1)和(x2, y2)分别是平行四边形的另外两个顶点坐标，(x3, y3)就是第四个顶点的坐标。
需要注意的是，如果平行四边形已知某个角的平分线方程，那么也可以通过该方程来求解第四个点的坐标。
我们可以按照以下步骤进行计算：步骤一：求出已知角的平分线方程假设平行四边形的某个角为角ABC，已知该角的平分线方程为L，那么我们可以按照以下公式求解出L的方程：L : y - y1 = k(x - x1)其中，(x1, y1)为角ABC的顶点坐标，k为平分线的斜率。
例谈求平行四边形顶点坐标
治学之法2013-09例谈求平行四边形顶点坐标文/来林芳中考压轴题中，经常出现在平面直角坐标系背景下探索平行四边形的顶点坐标。
这类试题综合性强，知识覆盖面广，涉及分类讨论思想，对分析问题、解决问题的能力要求较高，不少学生对解答此类题目感到困难。
纵观这些试题，大致可以分为两大类型：三定一动型和两定两动型。
三定一动型，即已知三个顶点的坐标，在平面内求第四个顶点的坐标，使其构成平行四边形。
这类题一般有三个答案，最终可归结为三角形及其三条中位线这样一个基本图形。
两定两动型，即已知两个顶点坐标，另外两个待求的顶点坐标一般处于坐标轴上、二次函数对称轴上或函数的图象上，此时利用平行四边形的性质“两组对边分别平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来求解。
针对平行四边形的这两个性质产生较常见的两种平行四边形顶点坐标的求法———平移线段法和利用线段中点公式法。
下面以近两年中考为例，谈谈解答此类题目的两种常见解法。
一、平移线段法在平移的过程中，图形上每个点都沿相同的方向移动了相同的距离。
利用平行四边形“两组对边分别平行且相等”的性质就可以通过平移线段的方法来求解平行四边形的顶点坐标。
（2012年衢州16题）如图，已知函数y =2x 和函数y =k x 的图象交于A 、B 两点，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，若△AOE 的面积为4，P 是坐标平面上的点，且以点B 、O 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P 点坐标是.解：∵S ΔAOE =4，函数y =k x的图象过一、三象限∴k =8∴｛y =2xy =8x，解得：x 1=2，x 2=-2，∴B （-2，-4），E （2，0）∴点P 可以看成B 点沿OE1（0，-4）点P 也可以看成B 点沿EO 方向移动OE 的长度，∴P 2（-4，-4）点P 也可以看成O 点沿BE 方向移动BE 的长度，∴P 3（4，4）∴P 点坐标为：P 1（0，-4），P 2（-4，-4），P 3（4，4）。
二次函数与平行四边形有关的问题
二次函数与平行四边形有关的问题【专题说明】二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，我借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题，同学们要掌握好解决这类题型的基本思路和解题技巧。
【解题思路】1. 线段中点坐标公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,221212211x y x y x y y x AB B A 中点坐标为），则线段，坐标为（），点，坐标为（平面直角坐标系中，点2.平行四边形顶点公式： yx x y x DBCADBC A DD CC BB AA D CB A +=++=+y y y x x y x y x y x ),(),，则，，（），，（），，（分别为平行四边形的顶点坐标分类：1. 三个定点，一个动点问题已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解。
这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论；2. 两个定点、两个动点问题这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一条直线上。
设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式。
该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。
方法总结：这种题型，关键是合理有序分类：无论式三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为顶点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，份三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组），这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广，其本质用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、属性结合的思想。
直角坐标系中平行四边形对角线法则
直角坐标系中平行四边形对角线法则
摘要：
一、引言
二、直角坐标系与平行四边形的概念
三、平行四边形对角线法则的定义与性质
四、平行四边形对角线法则的应用
五、结论
正文：
一、引言
在数学中，直角坐标系是一个基本的概念，它用于描述二维空间中的点。
平行四边形是二维空间中一种特殊的四边形，具有两对平行的边。
平行四边形对角线法则是一个关于平行四边形性质的重要定理，它为我们研究平行四边形的性质提供了有力的工具。
二、直角坐标系与平行四边形的概念
直角坐标系是一个由两条互相垂直的坐标轴组成的平面，通常用x轴和y 轴表示。
在直角坐标系中，一个点的位置可以通过其坐标值（x, y）来表示。
平行四边形是一个四边形，其中两对边分别平行。
根据平行四边形的性质，我们知道对角线互相平分，且相对的角度相等。
三、平行四边形对角线法则的定义与性质
平行四边形对角线法则是指：在直角坐标系中，平行四边形的两条对角线将四边形分为四个三角形，这四个三角形的面积之和等于平行四边形的面积。
这一法则揭示了平行四边形面积计算的一种简便方法，同时也说明了平行四边形对角线在确定四边形面积中的重要作用。
四、平行四边形对角线法则的应用
平行四边形对角线法在解决一些几何问题时具有很大的实用价值。
例如，在求解一个平行四边形的面积时，我们可以通过对角线的长度和坐标来计算；在判断两个平行四边形是否全等时，我们可以通过对角线的性质来进行分析。
五、结论
总之，平行四边形对角线法则是直角坐标系中一个重要的几何定理，它揭示了平行四边形对角线在确定四边形面积中的关键作用。
平行四边形4个顶点坐标关系
平行四边形4个顶点坐标关系
平行四边形的四个顶点坐标关系可以通过其定义和性质来确定。
首先，平行四边形有两组对边平行且等长。
假设平行四边形的四个顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)。
根据平行四边形的性质，我们可以得到以下关系：
对边平行：
AB与CD平行，即 (x2 - x1) / (x4 - x3) = (y2 - y1) / (y4 - y3)
AD与BC平行，即 (x4 - x1) / (x3 - x2) = (y4 - y1) / (y3 - y2)
对边等长：
AB = CD，即 sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = sqrt((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2) AD = BC，即 sqrt((x4 - x1)^2 + (y4 - y1)^2) = sqrt((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2)
对角线互相平分：
AC与BD互相平分，即中点坐标相等。
中点坐标公式为 (x_mid, y_mid) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)。
这些关系可以用来验证给定的四个点是否构成一个平行四边形，或者用来构造一个平行四边形。
注意：以上关系是基于二维平面上的平行四边形。
在三维空间中，平行四边形的定义和性质会有所不同。
四边形坐标公式
四边形坐标公式在数学的奇妙世界里，四边形坐标公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们解开许多关于四边形的谜题。
先来说说什么是四边形。
咱们在日常生活中，能看到各种各样的四边形，像教室里的黑板、家里的窗户，甚至是脚下的地砖，都可能是四边形的形状。
就拿我有一次在公园里散步来说吧，看到地上铺着的一块块砖石，大多数都是长方形的，也就是四边形的一种。
我当时就想，这砖石的边长和角度，能不能用什么数学方法准确地描述出来呢？这就引出了咱们今天要说的四边形坐标公式。
四边形坐标公式，简单来说，就是通过四边形各个顶点的坐标来计算它的一些关键参数，比如边长、面积、对角线长度等等。
咱们假设一个四边形的四个顶点坐标分别是 A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)、D(x4, y4)。
要计算四边形的边长，就可以用两点之间的距离公式。
比如说，AB 边的长度，就等于根号下[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。
这公式看起来有点复杂，其实就是根据勾股定理推导出来的。
计算面积的时候，方法就更多了。
对于一些特殊的四边形，像矩形、平行四边形，有专门的公式。
但对于一般的四边形，咱们可以用分割的方法，把它分成两个三角形，然后分别计算三角形的面积再相加。
有一次，我给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙特别积极，一直问问题。
他指着课本上的一个四边形问我：“老师，这个四边形的坐标都给了，怎么算它的面积呀？”我就一步一步带着他，先算出各个边的长度，再判断能不能用简单的方法，最后用分割三角形的办法算出了面积。
看着他恍然大悟的表情，我心里那叫一个高兴！再来说说四边形坐标公式在实际中的应用。
比如说在建筑设计中，工程师们要设计一个四边形的房间或者窗户，就需要用这个公式来计算尺寸，确保美观又实用。
还有在地图绘制中，确定四边形区域的大小和位置也离不开它。
总之，四边形坐标公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们认真学，多练习，就能熟练掌握，让它成为我们解决数学问题的得力工具。
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平行四边形对点坐标关系(线段平移规律)
平行四边形的综合性习题较多，平行四边形的相对两点坐标关系是解决平行四边形存在问题的一种万能方法，这种方法避免了画图不全面而容易丢解的弊端，是一种好的方法！
教学过程如下：
题目：平面直角坐标系中，已知点M （2,3），N （-3,4），P （-2，-1），请求出点Q 的坐标，使得以M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形。
由于此题的四边形的顶点顺序没有明确给出，所以此题就会出现多种情况，学生遇到的难点会有两个，一个是考虑问题不周，造成丢解；一个是问题考虑全面，但是求解困难，为此，借助几何画板帮助学生更快地找到解决问题的方法。
几何画板演示：平面直角坐标系中线段AB ，A （2,1）B （3,4），将线段AB 进行平移，即左移4个单位长度，上移2个单位长度，得到线段CD 。
（A 、B 、C 、D 四个点的坐标在画板中要标注好，便于发现坐标之间的关系）
如此平移之后，利用平移的性质可知四边形ABCD 为平行四边形，通过坐标平移规律引导学生发现平行四边形四个顶点的坐标关系。
由于只进行了一次平移，学生很难发现，所以利用几何画板再进行不断地演示，直至学生发现：平行四边形相对两点的横、纵坐标之和均相等这一规律。
在发现规律的过程中，几何画板的演示起到了帮助加速学生发现规律的作用。
在发现及归纳规律之后，引导学生利用数学知识进行验证，即利用三角形全等的知识进行证明！
在学生通过几何画板的“形”的直观，发现猜想，到利用数学知识验证所得的猜想正确后，还要引导学生总结三个定点构成平行四边形问题可以通过分类讨论的思想，利用对点坐标的关系快速求解，就省去了画图的步骤，从而全面快速解决问题！ 情况一：NP 为相对的两个顶点
情况二：NM为相对的两个顶点
情况三：NQ为相对的两个顶点。