北大随机过程课件:第 5 章 第 1 讲 高斯随机变量
《随机过程》第5章-布朗运动

随机过程
第五章 布朗运动
1 布朗运动的基本概念 2 布朗运动的首中时及最大值 3 布朗运动的应用
1 基本概念
• 最初由英国生物学家布朗(Brown)于1827年提出这种物理现 背 象; 景
• 1905年爱因斯坦首次对这一现象的物理规律给出数学描述;
定 • 1918年维纳(Wiener)运用数学理论严格描述这种无规则运 义 动,并用随机过程理论和概率理论建立了数学模型。因此
中南民族大学经济学院
3
《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
例:设布朗运动������ ������ ~������(0, ������2������),求其均值、方差、协方差及相关函数。
背 解: 景 由布朗运动定义可得:
������������(������) = ������ ������ ������ = 0, ������������(������)2 = ������������������ ������ ������ = ������2������
性 质
= ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������2(������1) = ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������ ������1 − ������������(������1) 2 = ������2������1
定
������
义
������������ ������1, ⋯ , ������������; ������1, ⋯ , ������������ = ������ ������������ − ������������−1; ������������ − ������������−1
随机过程及其统计描述ppt课件.ppt

任意时刻下,观测目的是X取什么值;全程的情况下, 观测目的是X(t)的函数形式.
7
12.1 随机过程的概念
随机相位正弦波
随机过程举例
考虑: X (t) a cos(t ), t (,)
式中 a,是正常数,是 (0, 2 ) 上服从均匀分布的随机变量。
当 在(0, 2 ) 内随机的取一个值 i ,可得样本函数:
2
0 cos(t1 ) cos(t2 ) f ( )d
a2
2
2
0 cos(t1 ) cos(t2 )d
a2
4
2
0 {cos[(t1 t2 ) 2 ] cos(t1 t2 )}d
a2 2
cos (t1
t2 )
方差函数
2 X
(t)
RX
(t , t )
2 X
(t)
a2 2
18
12.2 随机过程的统计描述
随机过程举例
抛掷一枚硬币的试验,样本空间是S={H,T}, 现借此定义随机过程:
cos t,
X (t) t,
当出现H, 当出现T,
t (, )
可将此随机过程改写为
X (t) Y cost (1Y )t ,
其中
Y
1, 0,
出现H 出现T
,
t (, )
X对Y和t的依赖,决定了X是一个随机过程. 确定了 Y之后,即可确定任意时刻和全程的观测结果.
集平均(统计平均)
X (t)是随机过程的所有样本函数在时刻 t 的函数值的平均值,通常称
这种平均为集平均或统计平均。
12
12.2 随机过程的统计描述
(二) 随机过程的数字特征
均方值函数
Ψ
北大随机过程课件:第 5 章 第 1 讲 高斯随机过程

证明: 必要性的证明,
因为ξ (t) 是一个均方连续平稳实高斯分布的随机过程,它的协方差函数 C(τ )
是连续函数,又是马尔可夫过程,
C(τ + s) = C(τ )C(s) C(0)
C(τ + s) = C(τ ) C(s) C(0) C(0) C(0)
−∞
fξ1
∞
(x1 )
−∞
fξ2
/ ξ1
(x2
/
x1 )x2
⋅ dx2dx1
∫ ∫ =
C(t3 ,t2 ) C(t2 , t2 )
∞∞
x2 x1
−∞−∞
fξ2 / ξ1 ( x2
/
x1 ) fξ1
(xபைடு நூலகம் ) ⋅ dx2dx1
= C(t1, t2 )C(t2 , t3 ) C(t2 , t2 )
定理 2:
t1 t2
= ∫ ∫σ 2δ (u − v)dudv 00
t1
= ∫σ 2 0
= σ 2t1
设 t1 > t2 ≥ 0
∫ ∫ E
⎪⎧t1 ⎨ ⎪⎩ 0
ξ
(u)du
⋅
t2 0
ξ
(v)dv⎪⎭⎪⎬⎫
=
σ
2
t
2
6
因此有
∫ ∫ E
⎪⎧ ⎨
t1
⎪⎩ 0
ξ
(u)du
⋅
t2 0
ξ
(v)dv⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
σ
2
min{t1 , t 2
∞ ∞∞
∫ ∫ ∫ = x1 x3 fξ1ξ2ξ3 (x1, x2 , x3 ) ⋅ dx1dx2dx3 −∞ −∞−∞
高斯随机过程-PPT精选文档

2.3.1定义
若随机过程ξ(t)的任意n维(n=1, 2, …)分布都是正态分布, 则称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维正态概率密度函 数表示如下: 1 fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn) 1 1 2 2 (2 ) ... 1 2 nB
x a 1n n a j k x k k . exp[ B ( )( )] jk 2 B j 1k 1 j k 式中, ak=E[ξ(tk)],σ2k=E[ξ(tk)-ak]2,|B|为归一化协 方差矩阵的行列式,
1
B
b12 …
b1n …
B21 1
… b2n … 1
…
Bn1 bn2 …
|B|jk 为行列式 |B|中元素bjk 的代数余因子, bjk 为归一化协 方差函数,且
…
2.3.2
(1) 由式(2.3 - 1)可以看出, 高斯过程的n维分布完全由n 个随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函 数所决定。因此,对于高斯过程,只要研究它的数字特征就 可以了。 (2) 如果高斯过程是广义平稳的,则它的均值与时间无 关,协方差函数只与时间间隔有关,而与时间起点无关,由 性质(1)知,它的n维分布与时间起点无关。 所以,广义平 稳的高斯过程也是狭义平稳的。 (3) 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的, 即对 所有j≠k有bjk=0,这时式(2.3 - 1)变为
且有
1 f( x ) dx f( x ) dx a 2
1 2
f (x)
O
a
x
图2-3 正态分布的概率
3) a表示分布中心,σ表示集中程度,f(x)图形将随着σ 的减小而变高和变窄。当a=0,σ=1时,称f(x)为标准正态分布 的密度函数。 当我们需要求高斯随机变量 ξ小于或等于任意取值 x 的概 率 P(ξ≤x) 时,还要用到正态分布函数。正态分布函数是概率
随机过程第一章课件

5.2 随机过程分类和举例
【二】举例:
【例二】参数连续离散型随机过程:脉冲数字通信系统。 该系统传送的信 号是脉宽为 T0 的脉冲信号,每隔 T0 送出一个脉冲。脉冲幅度X t 是一个随机变量,它可能取四个值 2,1,1,2 ,且取这四个值的 概率是相等的,即
PX t 2 PX t 1 PX t 1 PX t 2 1 / 4
【分析】设 V 0,1,
1 2 , 得到几个样本函数,可以画出它们的波形(略) 4 3
5.2 随机过程分类和举例
【二】举例:
【例三分析续】正弦波随机过程:
X (2)当 t 0 时, 0 V ,故 X 0 的概率密度就是 V 的概率密度,即
otherwise 时, 1 当 t1 X t1 X 1 V cos V ,故 4 4 2 1 2 0 x f X1 x 2 0 otherwise 3 3 1 V ,故 当 t2 时,X t2 X 2 V cos 4 4 2 1 2 x 0 f X 2 x 2 0 otherwise
P X i 1 p, P X i 1 1 p 设质点在 t n 时偏离原点的距离为 Yn ,Yn 也是一随机变量,
于是
Yn X i ,
i 1
n
Y0 0
又设质点每次游动与该质点所处的位置无关,当 i k 时 X i 与 X k 是相互统计独立的随机变量。
则称
X t, , t T ,
为随机过程,简记为
X t , t T 。
一个随机过程 X t , t T 实际上是两个变量的二元函 数,其中 一个变量为样本空间 中 的 ,另一个为参 T 数集 t 中的 。
随机过程课件.ppt

随机过程的统计描述 二 有限维分布族
两种描述
分布函数 特征数
设随机过程X (t),t T,对每一固定的t T ,随机变量X (t)的分布函数与t有关, 记为FX (x,t) PX (t) x,x R,称它为随机过程X (t),t T的一维分布函数 FX (x,t),t T称为一维分布函数族
为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系, 一般地,对任意n(n 2,3,L )个不同的时刻,t1,t2,L tn T
研究生课程
随机过程
汪荣鑫编 主讲教师:田ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ俊
2013年9月
第一章 随机过程基本概念
第1节 随机过程及其概率分布
1)随机过程概念 随机过程被认为是概率论的“动力学”部分,即
它的研究对象是随时间演变的随机现象,它是从 多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。
自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类: 确定性过程:事物变化的过程可用时间的确定函数表示;
4
x1 (t )
3
2
1
t1' t1 t2 t2' t3 t3' t4' t4
t
4
例5:考虑抛掷一颗骰子的试验:
(1) 设X n是第n次(n 1)抛掷的点数,对于n 1, 2,L 的不同值,
X n是随机变量,服从相同的分布,P( X n
i)
1 6
,i
1, 2,3, 4,5, 6
因而X n , n 1构成一随机过程,称为伯努利过程或伯努利随机序列,
它的状态空间为1,2,3,4,5,6。
(2) 设Yn是前n次抛掷中出现的最大点数,Yn , n 1也是
一随机过程,它的状态空间仍是1, 2,3, 4,5, 6。
北大随机过程课件:第 5 章 第 4 讲 高斯随机过程通过非线性系统

高斯随机过程通过非线性系统(续1)高斯随机过程通过半波整流器的研究半波整流非线性函数关系:,0,bx x y x ≥⎧=⎨<⎩1.输入是窄带平稳实高斯随机过程输入随机过程的概率密度⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=222;2exp 21)(ξξξσπσx x f t 输出随机过程的概率密度2;1()()()2t t t f y y U y ηδ⎛⎞=+⋅ 各阶矩、方差偶数阶矩,考虑到输入窄带平稳实高斯随机过程的概率密度函数是偶函数,[][]13)12(212122222⋅−=="m b E b E m m m m m σξη 奇数阶矩[]135)12(22!1212212⋅⋅−=+++"m b m E m m m m ξσπη均值[]ξσπηb t E 21)(=方差[][][]{}()πσσπσηηηξξξ/11212121)()()(2222222−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−=b b b t E t E t D相关函数2100222122212122221))(1(2)(2exp ))(1(2),()(dx dx x x x x x x b t t R R ∫∫∞∞⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+−⋅−==τρστρτρπστξξηηηη 其中,122{}()t t E x x ξρτσ=,利用典型的积分变换1,得:222222211()()()244()()b R b b R R R ηηξξξξξξξξξτσττππστσρτ≈++=功率谱∫∫∞∞−∞∞−′′−′++==f d f f P f P b f P b f b d eR f P f j )()(4)(41)(21)()(222222ξξξξξξξξτπηηηηπσδσπττ2.输入信号是矩形带通窄带实平稳随机过程输入的功率谱密度:⎪⎩⎪⎨⎧Δ+<<Δ−=otherwise,022,2/)(000ff f f f N f P ξξ 20f N ξσΔ⋅=非线性器件输出信号的功率谱密度:直流分量:())(21)(210222f N f b f b δπδσπξ⋅Δ= 低频分量f f Δ≤≤0⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Δ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Δ−Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛f fN b f f f N b 1241224022022ππσξ 带通信号分量2/2/f f f f f c c Δ+≤≤Δ−24102N b二倍频分量f f f f f c c Δ+≤≤Δ−22⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Δ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Δ−Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛f fN b f f f N b 128124022022ππσξ 低通滤波器输出信号的功率谱密度:直流分量:())(21)(210222f N f b f b δπδσπξ⋅Δ= 低频分量f f Δ≤≤0⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Δ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Δ−Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛f fN b f f f N b 1241224022022ππσξ典型的坐标变换1原积分:2100222122212122221))(1(2)(2exp ))(1(2),()(dx dx x x x x x x b t t R R ∫∫∞∞⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+−⋅−==τρστρτρπστξξηηηη 其中,[]221/)()()(ξστρt x t x E =变换))(1(2))(1(2222221τρστρσξξ−=−=x v x u))(1(2),(),(2221τρσξ−=∂∂v u x x积分()[]d udv uv v u uv b dx dx x x x x x x b t t R R ∫∫∫∫∞∞∞∞−+−⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+−⋅−==00222/3222210022212221212/122221)(2exp ))(1(2))(1(2)(2exp ))(1(2),()(τρπτρστρστρτρπστξξξηηηη 典型的坐标变换2积分之间的关系:()[]()[]()[]dwdI dudv wuv v u uv dudv wuv v u uv dw dIdudvwuv v u I 212exp 2exp 22exp 002200220022=−+−⋅−+−⋅=−+−=∫∫∫∫∫∫∞∞∞∞∞∞典型的坐标变换3原积分:()[]d udv wuv v u I ∫∫∞∞−+−=00222exp积分变换:从v u ,平面到θ,r 平面,参数()παα,0,1cos ∈≤=wαθααθαsin 2cos sin 2cos ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=r v r u , 注意到下列关系:⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−==−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==+=22,22,022,22,0απθπθααπθπθαv uααθααθααθααθαθθsin sin 2sin sin 2sin sin 2cos sin 2cos r r r r v u r v r u =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=∂∂∂∂∂∂∂∂ ()()()()()(()())222222222222222cos 2cos 12cos 2cos 12cos 1sin 22cos cos 2cos cos 22cos 12cos 1sin 2sin 2cos sin 2cos cos 2sin 2cos sin 2cos )(2r r r r r r uvv u =−−+−−−−++++=−−−++++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−+θαθααθαθααθαααθαθαααθααθαααθααθατρ 原积分:()[]210222002212sin 2/sin 2exp sin 2exp w w drd r rdudvwuv v u I −+=−=−=−+−=−∞−−−∞∞∫∫∫∫πααπθααπαπww1sin 2/cos −−==παα原积分:()()()()()w ww w w w www w w w dw d dw dI 12/3222212221sin 2/12121121sin 2/11112sin 2/−−−+−+−=−−++−−=−+=πππ原积分:()[]()()()ww ww dwdIdudv wuv v u uv 12/3220022sin2/14141212exp −∞∞+−+−==−+−⋅∫∫π原积分:()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++⋅=⎥⎦⎤⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⋅⋅+⋅+++⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅⋅−⋅−−⋅=++−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+−⋅−==−∞∞∫∫"")(801)(241)(21)(2121)(54231)(321)(2)()(6421)(421)(21121)(sin 2/)()(121))(1(2)(2exp ))(1(2),()(84222536422212/1222100222122212122221τρτρτρτρπσπτρτρτρπτρτρτρτρσπτρπτρτρσπτρστρτρπστξξξξξηηηηb b b dx dx x x x x x x b t t R R由于1)(≤τρ)()()(4)(4121)(2222222τρσττπστσπτξξξξξξξξξηη=++=R R b R b b R。
第5章 高斯随机过程

T
协方差矩阵为
L L L
j
C1n C2n M C nn
其中
C ij = cov( x i , x j ) = rijσ iσ
一、多维高斯随机变量
3、n维分布 n维高斯分布的概率密度为
1 n n n φn (v1, v2 ,L, vn ; t1, t2 ,L, tn ) = exp j ∑ ai vi − ∑∑CX (ti , tk )vi vk 2 i =1 k =1 i =1
E[ X 2 (t )] < ∞
三、窄带平稳实高斯随机过程
一个零均值的窄带实平稳随机过程可表示为
τ = t1 − t 2
三、窄带平稳实高斯随机过程
可得二维联合概率密度为
p(a1 , a2 ;ϕ1 , ϕ2 ) =
a1a2 4π 2 C
exp{− 12
1 2C
[σ x2 (a12 + a22 ) − 2a(τ )a1a2 cos(ϕ2 −ϕ1 )]} 12
式中
0 ≤ ϕ 1 , ϕ 2 ≤ 2π
1 T −1 exp − (x − a) C (x − a) 1 2 2 C
若X(t)为平稳过程,则
ai = E[ X (ti )] = a
σ i 2 = D[ X (ti )] = σ 2
二、高斯随机过程
高斯过程是二阶矩过程 严格平稳和广义平稳等价 相互独立和互不相关等价 特征函数
= exp j (a1v1 + a2 v2 ) − (σ1 v1 + 2rσ1v1σ 2 v2 + σ 2 v2 ) 2
随机过程课件-c5

⎧1 , i = j lim pij (t ) = ⎨ t →0 ⎩0 , i ≠ j
5 连续时间的马尔可夫链
12
转移速率
5 连续时间的马尔可夫链
13
Q矩阵
若连续时间齐次马尔可夫链具有有限状态空间I={0,1,2,…,n}
λ
λ
26
求其平稳分布。
pij(t)极限存在且与i无关,存在平稳分布
5 连续时间的马尔可夫链
27
或者
此Markov链是不可约的
5 连续时间的马尔可夫链
28
5 连续时间的马尔可夫链
29
5.3 生灭过程
5 连续时间的马尔可夫链
30
Q矩阵
I = {0,1,2,3,...}
⎛ − λ0 ⎜ ⎜ μ1 ⎜ Q=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ − q00 ⎜ ⎜ q10 Q =⎜ ⎜ ⎜ q ⎝ n0 q01 − q11 qn1 q0 n ⎞ ⎟ q1n ⎟ ⎟ ⎟ − qnn ⎟ ⎠
Q= P′ (0)
利用Q可以推出任意时间间隔的转移概率所满足的方程组,从 而求解转移概率。
5 连续时间的马尔可夫链
14
微分方程
P′(t)=QP(t) 定理5.5 (科尔莫戈罗夫向前方程) 在适当的正则条件下有
5 连续时间的马尔可夫链
22
渐近性质
5 连续时间的马尔可夫链
23
5 连续时间的马尔可夫链
24
回顾
转移概率: pij(s,t)= P{X(s+t)=j|X(s)=i} P(s+t)=P(s)P(t) 转移速率 Q= P′ (0) 科尔莫戈罗夫微分方程 向后方程:P′(t)=QP(t) 向前方程:P′(t)=P(t)Q
随机过程 北京理工课件

π
2 2
2
3 2 2
P
π F (x; ) = 4
1 3
0, 1 , 3 2 , 3 1,
1 3
x < 2 2
1 3
∴
2 ≤ x < 2 2 ≤ x < x ≥ 3 2 2 3
2 2 2
X(
π
2
) = A cos π
∴
0, π F ( x, ) = 2 1,
4
随机过程 的有限维分布族
对任意固定的t∈ , 是一维随机变量, 对任意固定的 ∈T,X(t)是一维随机变量 其分 是一维随机变量 布函数是P{X(t)≤x}, 记为 记为F(x; t), 即 布函数是 F(x; t)= P{X(t)≤x}, 为随机过程X(t)的一维分布函数。 的一维分布函数。 称F(x; t)为随机过程 为随机过程 的一维分布函数 如对任意两个固定t 是二个随 如对任意两个固定 1 , t2∈T , X(t1) , X(t2)是二个随 机变量, 机变量,称 F(x1, x2 ; t1, t2) = P{X(t1)≤x1, X(t2) ≤x2} 为随机过程X(t) 的二维分布函数; 的二维分布函数; 为随机过程 一般地,对任意固定的t 一般地,对任意固定的 1, t2, … , tn∈T。X(t1), 。 个随机变量, X(t2) , … , X(tn)是n个随机变量,称 是 个随机变量 F(x1, …, xn ; t1, …, tn) = P{X(t1)≤x1, …, X(tn)≤xn} 5 为随机过程X(t) 的n 维分布函数 维分布函数. 为随机过程
= 0 取值仅一个0,且知 P ( X ( ) = 0) = 1 取值仅一个0 2 2
高斯随机过程的定义

➢ x1(t)、x2(t)、…、xn(t)都是确定的时间的函数,称它们为随机 过程的样本或实现。在一次试验中,随机过程必取一个样本,但 究竟取哪个样本,则带有随机性。
➢ 当 t 固 定 在 某 一 时 刻 t1 时 , 各 个 样 本 的 取 值 为 x1(t1) 、 x2(t1) 、…、 xn(t1),是确定的,这时随机过程x(t)就是一般意 义下的随机变量x(t1) 或记为X1。 当t取t2,t3,…,tn时,随机 过程就是一簇随机变量X2、X3、…、Xn。而这一簇随机变量是随 时间t变化的--为随机过程。
2sinθ的均方值:
π
E[( 2sinθ2)]
( 2 sin θ2)f( θ ) d θ
4 sin2θ
1 2π
dθ
π
π
1 π
( 1 cos2θd) θ
1 π
[θ
1 2
s
i
n
2
θ
]
|θθ
π π
2
π
或:E[(2sin )2 ] E[4sin2 )] 2E[1 cos 2 ] 2
2sinθ的方差: D[2sin ] E[(2sin )2 ] E2[2sin ] 2
若f(x,y)=f(x)f(y) , 则称X、Y相互统计独立。
也满足: RXY= E[XY]= E[X] E[Y]及CXY= rxy=0
若X与Y不相关,不一定统计独立。
不相关的充要条件为:CXY= rxy=0 …协方差为0
例3.1-1 随机过程X(t)取离散值2,5,8,概率分别为0.5、 0.2、0.3,求该随机过程的方差。
2/3
② F(-∞)=0, F(∞)=1
1/3 1/6 1/12 0
随机过程新版

2 0
sin(0t
)
1
2
d
0
自有关函数为
R t1, t2 E[ (t1) (t2 )] E[sin0t1 sin0t2 ]
令t1=t,t2=t+τ则
Rt,t E[sin0t sin0t 0 ]
2 0
sin0t
sin0t
0
1
2
d
1 2
cos 0
第3章 随机过程
可见,自有关函数与时间t无关,仅与τ有关。
第3章 随机过程
第3章 随机过程
随机过程 平稳随机过程 高斯随机过程 平稳随机过程经过线性系统 窄带随机过程 高斯白噪声和带限白噪声
第3章 随机过程
§3.1 随机过程旳基本概念
• 随机信号
信号旳某个或某几种参数不能预知或不能完全被预知, 这种具有随机性旳信号称为随机信号。
• 随机噪声
不能预测旳噪声统称为随机噪声。 从统计学旳观点看,随机信号和噪声统称为随机过程。
第3章 随机过程
原则正态分布 a=0,σ=1 其分布函数为φ(x)
f (x)
1
2
exp
x2 2
正态分布函数:
x
F(x)
1
2
exp[
(x a)2
2 2
]dx
(
x
Байду номын сангаас
a)
误差函数:
erf (x) 2 x ez2 dz
0
互补误差函数:erfc(x)=1-erf(x)=
2 ez2 dz
x
当x≤a时,erfc(x)=2-2φ( 2 x)
1
(2 )n / 21 2 n
B 1/2
随机过程课件第1讲

如:
1/2
pj
-1
1
x
2)时间离散——样本函数 xi (t ) 在时间t上也是离散的(序列)。
) X i(t
+1
取值离散
t
-1
二、按随机过程的概率分布或性质来分类 1)、高斯过程、泊松过程、维纳过程——其每一个状态Xj 均为高斯分布、泊松分布、维纳分布。 2)、平稳随机过程——过程的一阶,二阶矩不随时间的变 化而变化 3)、独立增量过程——每一个状态的增量之间相互独立。 三、按随机过程的样本函数的可确定性来分类 1)、确定的随机过程 2)、不确定的随机过程
随机过程的基本概念
1. 随机信号的概念
确定信号--随时间做有规律的、已知的变化。可以用确定的时间函 数来描述。如:方波、锯齿波。人们可以准确地预测它 未来的变化,即:这次测出的是这种波形,下次测出的 还是这种波形。 随机信号--随时间做无规律的、未知的、“随机”的变化。无法用 确定的时间函数来描述,无法准确地预测它未来的变化。 这次测出的是这种波形,下次测出的会是另一种波形。
k
0
j
t
2)状态连续——状态取值连续,即幅度上也连续。当t固定时,其 状态Xj是连续型随机变量。 如其概率密度
fj(xj)
xj
2
离散型随机过程 X(t,ζ)
1)状态离散——当t固定时,状态Xj取值离散如(-1,1),其 状态是离散型随机变量。其概率分布如:
Pj 1 2
−1
0
1
xj
2)时间连续——当ζ固定时,其样本函数 xk (t) 是时间t的连续函 数如: xk (t)
随机信号分析与处理是一门研究随机信号的特点与规律 的学科。 随机信号处理已是现代信号处理的重要理论基础和有效 方法之一。
《高斯随机过程》课件

地震预测
总结词
高斯随机过程用于描述地震活动的随 机性和预测地震发生的概率。
详细描述
地震是一种复杂的自然现象,其发生 受到许多随机因素的影响。高斯随机 过程可以用来模拟这些随机因素,从 而预测地震发生的概率和时间,为地 震防范提供科学依据。
流体动力学模拟
总结词
高斯随机过程在流体动力学模拟中用于 描述流体运动的随机性和不确定性。
VS
详细描述
流体动力学模拟需要考虑流体运动的复杂 性和不确定性,高斯随机过程能够模拟这 些随机波动,帮助科学家更好地理解和预 测流体运动的行为和结果。
06
高斯随机过程的未来发展 与挑战
高斯随机过程与其他随机过程的结合
混合高斯过程
将高斯随机过程与其他随机过程(如 泊松过程、马尔可夫链等)结合,形 成混合模型,以更好地描述复杂数据 。
通过最小化预测误差的平方和,估计高斯随机过 程的参数。
3
贝叶斯估计
利用贝叶斯定理,结合先验信息和数据信息,估 计高斯随机过程的参数。
04
高斯随机过程在金融领域 的应用
股票价格模型
股票价格遵循高斯随机过程
01
股票价格的变化被认为是一个高斯随机过程,其变化遵循正态
分布的特性。
预测股票价格走势
02
通过高斯随机过程模型,可以预测股票价格的未来走势,为投
数学表示
如果一个随机过程${X(t), t in T}$ 中的任意一维随机变量$X(t)$服 从正态分布,则称该随机过程为 高斯随机过程。
高斯随机过程的特点
概率密度函数
高斯随机过程的概率密度函数是正态分布的,具有钟形曲线特征 。
数学性质
高斯随机过程具有可加性、独立性、线性变换等数学性质。
随机过程第5章

第五章 离散参数Markov 链5.1 Markov 链的基本概念 1.Markov 链和转移概率矩阵 定义5-1考虑只取有限个或可数个值的随机过程{},0,1,2,nX n = .把过程所取可能值的全体称为它的状态空间,记之为E ,通常假{}0,1,2,E = .若n X i =就说“过程在时刻n 处于状态i ”.若对任意状态011,,,(,n 0)n i i i i j -≥ 及任意的有11111001(|,,,,)(|)n n n n n n n P X j X i X i X i X i P X j X i +--+======== 这样的随机过程称为Markov 链.假设每当过程处于状态i ,则在下一个时刻将处于状态j 的概率是固定的ijp ,即对任意时刻n ,有1(|)n nijP X j X i p +===,称过程具有齐次性.称矩阵00010201011121012j j i i i ij p p p p p p p p P p p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是一步转移概率矩阵,简称为转移矩阵. 由ijp 的定义可知,这是一种带有平稳转移概率的Markov 链,也称作时间齐次Markov 链或简称时齐次Markov 链.我们研究的均为齐次马氏链.2.例题例5-1(直线上的随机游动)考虑在直线上整数点上运动的粒子,当它处于位置j 时,向右转移到j+1的概率为p ,而向左移动到j-1的概率为q=p-1,又设时刻0时粒子处在原点,即00X =.于是粒子在时刻n 所处的位置{}n X 就是一个Markov 链,且具有转移概率,1,10,jk p k j p q k j =+⎧⎪==-⎨⎪⎩其他当12p q ==时,称为简单对称随机游动.例5-6(排队模型)考虑顾客到服务台排队等候服务,在每个服务周期中只要服务台前有顾客在等待,就要对排队在队前的一位顾客提供服务,若服务台前无顾客时就不实施服务.设在第n 个服务周期中到达的顾客数为一随机变量n Y ,且序列{}nY 是独立同分布随机序列,即(),0,1,2,,n k P Y k p k === 且01k k p ∞==∑设n X 为服务周期n 开始时服务台前顾客数,则有11,1,0n n n n n n X Y X X Y X +-+≥⎧=⎨=⎩若若此时{},1nXn ≥为一Markov 链,其转移概率矩阵为01234012340123012000p p p p p p p p p p P p p p p p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦例5-8(生灭链)观察某种生物群体,以n X 表示在时刻n群体的数目,设为i 个数量单位,如在时刻n+1增生到i+1个数量单位的概率为i b ,减灭到i-1个数量单位的概率为i a ,保持不变的概率为1()i i i r a b =-+,则{},0nX n ≥为齐次马尔可夫链,{}0,1,2,E = ,其转移概率为,1,,1i ij i ib j i p r i ja j i =+⎧⎪==⎨⎪=-⎩ 0(0)a =,称此马尔可夫链为生灭链.3.定理5-1设随机过程{}nX 满足:(1)1(,)(1),n n n X f X n ξ-=≥其中:f E E E ⨯→,且n ξ取值在E 上; (2){},1nn ξ≥为独立同分布随机变量,且0X 与{},1n n ξ≥也相互独立,则{}n X 是Markov 链,而且其一步转移概率为,对于任意,i j E ∈,1((,))ij p P f i j ξ==证明:设1n ≥,由上面(1)、(2)可知,1n ξ+与12,,,nX X X 互相独立,所以有1110011100111001(|,,,)((,)|,,,)((,)|,,,)((,))n n n n n n n n n n n n n n P X j X i X i X i P f X j X i X i X i P f i j X i X i X i P f i j ξξξ+--+--+--+================同理111001(|,,,)(|)n n n n n n P X j X i X i X i P X j X i +--+=======即{}nX 是Markov 链,由时间齐次性,其一步转移概率为1((,))ij p P f i j ξ==于是定理5-1得证.4.定理5-2时齐次Markov 链{}nX 完全由其初始状态的概率分布0(),1,2,i p P X i i ===和其转移概率矩阵()ijP p =所确定.证明:对于任意12,,,n i i i E ∈ ,计算有限维联合分布,由概率的乘法公式及马氏性可知1001121001100111100111100111111001111(,,,)(,,,)(|,,,)(,,,)(|)(,,,)n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n i i i i i i i i i P X i X i X i P X i X i X i P X i X i X i X i P X i X i X i P X i X i P X i X i X i p p p p p ------------======================定理5-2得证. 5.例题 例5-9(1)(二项过程的概念)设在每次试验中,事件A 发生的概率为(01)p p <<,独立地重复进行这项试验,以n Y 表示到第n 次为止事件A 发生的次数,则{},1,2,nY n = 是一个二项过程.说明:令n X 表示第n 次试验中事件A 发生的次数,则n X ~(0)1,(1),1,2,n n P X p P X p n ==-=== 且独立.(易知{},1nX n ≥为马氏过程)而1,1,2,n n Y X X n =++= 服从二项分布(,)B n p ,故称此{},1nY n ≥为二项过程.(2)二项过程具有独立平稳增量性. 证明:易知增量1n l n n n l Y Y X X +++-=++ ,1121n l k n l n l n l k Y Y X X ++++++++++-=++ ,等等相互独立;且~(,),1,2,n m n Y Y B m p n +-= ,即具有平稳性. 即{},1nY n ≥为一个独立平稳增量过程.(3)独立平稳增量过程为马氏过程.5.2 C-K 方程1.定理5-3 Chapman-Kolmogorov 方程 对任何整数,0m n ≥, 有()()()m n m n ijik kj k Epp p +∈=∑或()()()m n m n P P P +=⨯证明:这里只需要证明()(1)n n P PP -=成立,再依次递推即可证明本定理.(?)因为()0100100101010(1)(|)(,|)(|)(|,)(|)(|)(n ij n n k n k n k n ik kj k P P X j X i P X j X k X i P X k X i P X j X i X k P X k X i P X j X k p p ∞=∞=∞=∞-====================∑∑∑∑由马氏性)根据矩阵的乘法规则,知()(1)n n P PP -=.定理得证.注:定义m 步转移概率()(|)m ijn m n pP X j X i +===,()m ijp 表示给定时刻n 时,过程处于状态i ,间隔m 步之后过程在时刻n+m 转移到了状态j 的条件概率.还约定(0)1iip =,(0)0ijp =,i j ≠以()n ijp 表示第i 行、第j 列的元素矩阵()n P =(()n ijp ),称为Markov 链的n 步转移概率矩阵.2.例题(两状态Markov 链) 例5-10在重复独立贝努里(Bernoulli )试验中,每次试验有两种状态{}0,1E =,设{}nX 表示第n 次试验中出现的结果,且有(1),(0)1,1,2,n n P X p P X q p n =====-=其中01p <<,则{},1nX n ≥显然是独立同分布随机序列,从而它是Markov 链.于是经过计算有00100111,p p q p p p ====所以,一步转移概率矩阵为q p P qp ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦而且有()n qp PP q p ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦5.3 Markov 链的状态分类 1.互通 定义5-2称自状态i 可达状态j ,并记i j →,如果存在0n >,使()0n ijp >,称状态i 与j 互通(相同,互达),并记为i j ↔,如i j →且j i →2.定理5-4可达关系与互通关系都具有传递性,即如果i j →且j k →,则i k → 证:因为有i j →,j k →,所以存在1,1l m ≥≥,使()()0,0l m ij jk p p >>由C-K 方程()()()()()0l m l m l m ik is sk ij jk sp p p p p +=≥>∑这里1l m +≥,所以i k →成立.若将可达关系得证明正向进行,再反向进行,就可得出互通关系的传递性,证毕. 3.定义5-3 设{},1nXn ≥为齐次Markov 链,其状态空间为E 。
第5章高斯随机过程ppt课件

二、高斯随机过程
✓高斯过程是二阶矩过程 E[ X 2 (t)] ✓严格平稳和广义平稳等价
✓相互独立和互不相关等价
✓特征函数
n(v1,v2,
, vn;t1,t2,
, tn )
exp
j
n i1
aivi
1 2
n i1
n
CX
k 1
(ti ,tk )vivk
高斯随机过程
一、多维高斯随机变量 二、高斯随机过程 三、窄带平稳实高斯随机过程 四、随机相位正弦波加窄带平稳高斯随机过程之和 五、X2分布及非中心X2分布 六、维纳过程
一、多维高斯随机变量
1、一维分布 x ~ N(a, 2 )
1
(x a)2
f (x)
exp{
}
2
2 2
x
+
F (x) P( X x) f ( )d
2
1
四、随机相位正弦波加窄带平稳高斯随机过程之和
设随机相位正弦波加窄带平稳高斯过程之和为
Y (t) s(t) N(t)
式中 s(t) B cos[0t ] B cos0t cos B sin 0t sin
N(t)为窄带噪声,是一个平稳高斯过程
N (t) An (t) cos[0t n (t)] Nc (t) cos0t Ns (t) sin 0t
并将其称为具有n个自由度的X2变量,其概率分布为X2分
布
五、X2分布及非中心X2分布
1、X2分布
X2的概率密度函数为
f
(s)
1
2
n 2
(
n
)
n 1 s
s2 e 2,s
0
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∫ ∫ =
∞∞
"
−∞ −∞
⎡⎣( 2π
1
)n
B
⎤1/ 2 ⎦
exp
⎛ ⎜⎝
juT x
−
1 2
(x
− μ)T
B−1 (x
− μ)⎞⎟⎠dx
∫ ∫ ( ) ∞ ∞
="
−∞
−∞
⎡ ⎣
1
2π
⎤n 1/ 2 ⎦
exp[ juT μ X
− ST S / 2]
exp[−(y − jS)T (y − jS) / 2]dy
N n=1
an
(ξ
N
n− μ n) ⋅ am (ξ
m=1
m
−
μ
m
)
⎫ ⎬ ⎭
NN
∑ ∑ =
anamE {(ξ m− μ m) ⋅ (ξ n− μ n)}
n=1 m=1
NN
∑ ∑ =
an ambnm
n=1 m=1
= aT Ba
4.2 高斯随机变量的线性变换
设ξ=(ξ1,ξ2, ,ξN)是 N 维随机矢量,其数学期望是μ=(μ1,μ2, ,μN), 协方差矩阵是 B。 线性变换 C,是 M*N 的矩阵,ξ经过线性变换 C 得到η=Cξ, 均值:
= exp[ juT μ X − ST S / 2] = exp[ juT μ X − uT LLT u / 2] = exp[ juT μ X − uT Bu / 2]
4
Φξ
(u)
=
exp⎜⎛ ⎝
juT μ X
−
1 uT Bu⎟⎞
2
⎠
当协方差矩阵是非负定的,可以证明若它的秩为 r<n,它的概率分布集中在 r 维子空间
N 元高斯随机变量的特征函数是:
∞∞
{ } ∫ ∫ Φξ (u) = E exp( juT x) = " exp( juT x) fξ (x)dx
−∞ −∞
∫ ∫ =
∞∞
" exp(
−∞ −∞
juT x)
⎡⎣( 2π
1
)n
B
⎤1/ 2 ⎦
exp
⎛ ⎜⎝
−
1 2
(x
− μ)T
B −1
(x
− μ)⎞⎟⎠dx
1
− x2
e2
2π
−u2
Φξ (u) = e 2
1
一元高斯随机变量 N(μ,σ2),均值为μ、方差为σ2,其概率密度和特征函数:
fξ (x) =
1
− ( x−μ )2
e 2σ 2
2πσ 2
jμ u−σ 2u 2
Φξ (u) = e 2
2.2 二元高斯随机变量
二元高斯随机变量ξ1 ,ξ 2 ,均值为零、协方差矩阵为:
条件是 B12=0
证明:
5
首先证明必要性。 若ξ1,ξ2 相互统计独立,它们之间的任意两个分量都统计独立,它们之间的任意 两个分量的协方差都是零,相应的协方差矩阵 B12=0,B21=0。 其次证明充分性。
若 B12=0,B21=0,相应ξ的相关矩阵 B
=
⎜⎜⎝⎛
B 11 0
0 B 22
⎟⎟⎠⎞
。
# bnn
⎟ ⎟⎟⎠
其 n 元概率密度和特征函数为
[ ] fξ (x) =
1
(2π )n B
1/ 2
exp⎜⎛ − ⎝
1 2
(x
−
μ)T
B −1 (x
−
μ)⎟⎞
⎠
Φξ
(U )
=
exp⎜⎛ ⎝
jμ T u
−
1 2
uT Bu ⎟⎞ ⎠
其中,
x = (x 1 x 2 " )xn T , u = (u 1 u 2 " un )T
(2π )n
1/ 2
exp⎜⎛ − ⎝
1 2
N n=1
y
2 n
⎟⎞ ⎠
显然有
∞∞
∞∞
∫" ∫ fξ ( X )dX = ∫" ∫ fη (Y )dY
−∞ −∞
−∞ −∞
∞∞
∫ ∫ = " fη (Y )dy1dy2 "dyN = 1
−∞ −∞
2.4 n 元高斯随机变量的特征函数的计算
考虑以下的矩阵运算
=
exp⎜⎛ − ⎝
1 2
[u12
+
2ru1u2
+
u
2 2
]⎟⎞ ⎠
二元高斯随机变量ξ1 ,ξ 2 ,其均值、协方差矩阵为,
E⎜⎜⎝⎛
ξ1 ξ2
⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
μ μ
1 2
⎟⎟⎠⎞
=
μ
,
( ) B
=
⎜⎜⎝⎛
σ
2 1
rσ 1σ
2
rσ 1σ
σ
2 2
2
⎟⎟⎠⎞
,
B
=
σ
12σ
2 2
1− r2
( ) B−1 =
= Φξ1 (u1 ) ⋅ Φξ2 (u2 )
等于两个子矢量的特征函数的乘积,因此这两个子矢量是相互独立的。
4 高斯随机变量的线性变换
4.1 高斯随机变量的线性组合
设ξ=(ξ1,ξ2, ,ξN)是 N 维随机矢量,其数学期望是μ=(μ1,μ2, ,μN), 协方差矩阵是 B。 高斯随机变量ξ各个分量线性组合
B = ⎜⎜⎝⎛1r
r1⎟⎟⎠⎞ , B−1
=1 1− r2
⎛1
⎜ ⎝
−r
−r 1
⎞ ⎟ ⎠
,
B
=1− r2
其二元概率密度和特征函数为:
fξ1 ξ2 (x1, x2 ) = 2π
1 1− r2
exp⎜⎜⎝⎛ −
2(1
1 −
r
2
)
[
x12
− 2rx1x2
+
x22 ]⎟⎟⎠⎞
Φξ 1ξ
2
(u1, u2 )
1
σ
12σ
2 2
1− r2
⎛ ⎜⎜⎝
σ −rσ
2 2
1σ
2
−
rσ 1σ
σ
2 1
2
⎞ ⎟⎟⎠
( ) =
1 1− r2
⎛ ⎜⎜⎝
1 σ12 −r σ 1σ
2
−
r 1
σ 1σ
σ
2 2
2
⎞ ⎟⎟⎠
其二元概率密度和特征函数为
fξ 1ξ
2
(x,
y)
=
2πσ
1 1σ 2
× 1− r2
⎛ exp ⎜
⎜⎝
−
1 2(1 −
∑ =
E
⎧ ⎨exp ⎩
⎛ ⎜⎝
j
N n=1
unξ
n
⎞⎫ ⎟⎠⎬⎭
∑ { ( )} =
E
⎧ ⎨exp ⎩
⎛ ⎜⎝
ju0
N n=1
un′ξ
n
⎞⎫ ⎟⎠⎬⎭
=
E
exp
ju0u′T ξ
( ) = exp ju0u′T ⋅ μ ξ− u′T Bξu′u02 / 2
( ) = exp juT ⋅μ ξ− uT Bξu / 2
Eη = E {Cξ} = CE {ξ} = Cμξ ,
协方差矩阵:
{ } D{(η− Eη} = E
(
η−
Eη)(η−
T
Eη)
{ } = E
(Cξ
−
ECξ)(Cξ
−
ECξ
T
)
{ } = E
C(ξ
−
μξ
)(ξ
−
μξ
T
)
CT
{ } = CE
(ξ
−
μξ
)(ξ
−
μξ
T
)
CT
= CBCT
4.3 定理 1
设ξ=(ξ1,ξ2, ,ξN)是 N 维随机矢量,其数学期望是,μ=(μ1,μ2, , μN),协方差矩阵是 B。ξ服从 N 元高斯分布的充要条件是它的任意一个线性组合
高斯分布随机变量及其性质
¾ 中心极限定理 ¾ 高斯分布的随机变量 ¾ N 维高斯随机变量的统计独立特性 ¾ 高斯随机变量的线性变换 ¾ 高斯分布的随机变量的条件分布和边缘分布
1.引言.中心极限定理
给定 n 个独立的随机变量 xi , i = 1, 2," n,它们的和为: x = x1 + x2 +" + xn ,x 的均
数等于各自特征函数的乘积,它们是相互统计独立。
3.2 定理 2
若ξ是高斯分布的随机矢量,ξ1,ξ2 是两个子矢量,ξ=(ξ1 ξ2)T 它们的协
方差矩阵是 B
=
⎜⎜⎝⎛
B B
11 21
B 12 B 22
⎟⎟⎠⎞
,其中
B11 和
B22 分别是ξ1,ξ2 的协方差矩阵,B12
和 B21 分别是ξ1,ξ2 的互协方差矩阵。B12=(B21)H,ξ1,ξ2 相互统计独立的充要
令 u = (u1 u 2 )T ,与相应分量的维数与ξ=(ξ1 ξ2)T 一致,它们的特征函数,
( ) Φξ (u) = exp juTμ − uTBu 2
( ) = exp
ju1Tμ 1+
ju2Tμ
2− [u1TB11u1
+
u
T 2
B22u
2
]
/
2
( ) ( ) = exp ju1Tμ 1− [u1TB11u1] / 2 ⋅ exp ju2Tμ 2− [u2TB22u2 ] / 2