2013学而思杯数学解析(4年级)

“学而思”代表的三位数是__________． 【考点】数字谜 【难度】☆☆ 【答案】892 【分析】“更”= 1，故“进”= 0；十位必然向百位进位了，故“学”= 8，进而“而”= 9；此时可知
个位没有向十位进位，“思 5 步 ”只能为“ 2 5 7 ”；综上，答案为 892.
6. 4 月有 30 天．某年 4 月有 5 个星期一，5 个星期日，如图，在该月
7. 如果 3m 31 33 35 37 39 ，那么 m =__________．
【考点】计算，乘方运算 【难度】☆☆ 【答案】25 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 31 33 35 37 39 313579 325 ，故 m 25 .
【考点】行程问题，相遇问题 【难度】☆☆ 【答案】220 【分析】第二次走路，两人相遇在中点，说明两人速度相同，为 20 4 24 米每分；故在第一次走路
时，甲速为 24 米每分，乙速为 20 米每分，两人 5 分钟后相遇，故全长为 (20 24) 5 220 米.
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12. 有形状、长短都完全一样的红筷子、黑筷子、白筷子各 25 根．在黑暗中，至少应摸出__________ 根筷子，才能保证摸出的筷子至少有 8 双（每两根同色的筷子视为 1 双）．
日历表上用“
”圈出 5 个数，并计算出它们的和，和最大是
__________．
【考点】计算，数表，日历问题
【难度】☆☆
【答案】115
【分析】十字形越靠下，圈住的数之和越大；由已知条件易得这个月的 30 日是周一，故当十字圈住
30、24、23、22、16 日时，可得到最大和，为 30 24 23 22 16 23 5 115 .
2. 在一个神奇的地方，有一排奇怪的雕塑，这些雕塑都是由巧克力构成的，第一个雕塑由 3 块巧克 力组成，第二个雕塑由 6 块巧克力组成，第三个雕塑由 9 块巧克力组成，以此类推，每个雕塑都 比前一个多 3 块巧克力．那么，第__________个雕塑恰好由 2013 个巧克力组成．
【考点】计算，数列 【难度】☆ 【答案】671 【分析】第 n 个雕塑由 3n 块巧克力构成，故由 2013 块巧克力构成的是第 2013 3 671 个雕塑.
【考点】组合，抽屉原理和最不利原则 【难度】☆☆☆ 【答案】18 【分析】摸出 7 双筷子之后，又把三种颜色的筷子各摸出 1 根，此时已摸出 2 7 3 17 根筷子，但没
有摸出 8 双，这是最不利情况；之后无论摸出哪根筷子，都将摸出 8 双筷子，故答案为17 1 18 .
四． 填空题（每题 8 分，共 32 分） 13. 将 1 至 5 分别填入图中的圆圈内，使得两条线段上 3 个数的和相等．那
8. 甲、乙、丙三人读同一本故事书，这本故事书里一共有 100 个故事，甲已经读了 70 个故事，乙已 经读了 60 个故事，丙已经读了 50 个故事，则恰好被甲乙丙 3 人中两人读过的故事最多有 __________个．
【考点】组合，构造与论证 【难度】☆☆☆ 【答案】90 【分析】三人共读了 50 60 70 180 个故事（有重复）；故被读了 2 遍的故事理论上的最大值为
2013 年第三届全国学而思综合能力测评（学而思杯）
数学试卷（四年级）详解
一． 填空题（每题 5 分，共 20 分） 1. 请计算：3、5、7、9、11、13 这 6 个数的平均数是__________． 【考点】计算，平均数 【难度】☆ 【答案】8 【分析】公式法： (3 5 7 9 11 13) 6 8 ；或移多补少找到平均值 8.
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方法三：数形结合：如下图，分割木头方法对应分割图形面积的方法，乘积对应矩形面积， 可见无论如何分割，结果都是1 2 3 19 190 .
15. 甲、乙、丙 3 人在周长是 300 米的环形跑道上同时同地同向出发．甲第一次追上乙时，甲、乙恰 好都回到出发点，此时丙距离出发点 100 米；过了一会，甲第一次追上丙时，乙跑了 7 圈多一些．那 么，丙第一次追上乙时，甲总共跑了__________米．
【分析】由平方差公式： a b a ba b b2 a2 b2 b2 a2 ，
故原式 102102 102102 102 100 10 1000 .
10个102
11. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行．如果乙每分钟行 20 米，甲、乙两人 5 分钟后 相遇；如果乙每分钟比原来快 4 米，甲、乙两人在 A、B 两地中点相遇．那么，A、B 两地相距 __________米．
【考点】操作类问题 【难度】☆☆☆ 【答案】190 【分析】可先使用一种特殊方法算出 A 的值，比如每次切下 1 尺，那么 19 个乘积之和为
119 118 1 2 11 190 ；下证无论如何分割，A 值为 190 不变： 方法一：找规律：2 尺的木头 A 1 不变，3 尺的木头 A 3 不变，4 尺的木头 A 6 不变，5
故丙追上乙时，丙跑了 16 圈，乙跑了 15 圈，甲跑了 18 圈 5400 米.
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16. A、B、C、D 四个队进行循环赛，即每两个队都比赛一场，每场比赛中，胜队得 3 分，负队得 0 分，平局则各得 1 分，每个队只知道自己 3 场比赛的情况． 裁判说：你们的得分互不相同； A 说：虽然我不知道你们的得分，但我肯定是第一； B 说：那我一定是第二，而且我知道 A 得了多少分； C 说：A 说话之前我就知道我是第三． 根据以上信息，这四个队的得分从高到低组成的四位数是__________．
H 是正方形 DEFG 的中心（对角线的交点），那么，阴影部分的面积是
H
__________平方厘米． 【考点】几何，面积 【难度】☆☆☆
F
G
B
C
【答案】24
【分析】把图形分为方格阵，每个小方格边长 4 厘米，并设 FG 与 AC 的交点 A
E
D
为 M 点，如右图；现在已可用毕克公式或割补的方法来求阴影面积了；
4. 右图中，共有__________个三角形． 【考点】组合，几何计数 【难度】☆☆ 【答案】8 【分析】单个三角形有 4 个，由 2 个三角形组成的三角形有 3 个，由 4 个三角形组成的三角形有 1 个.
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二． 填空题（每题 6 分，共 24 分） 5. 如右图，算式中不同的汉字代表不同的数字，已知：“级=5”，那么
B 会考虑 ABCD 有可能是 7460 或 7406，故 B 无法断定自己是第二；若 B 输给 A，则 B 会考虑 ABCD 有可能是 7450 或 7405，故 B 无法断定自己是第二；综上，若 B 是 4 分，则无法断定自己 是第二；
故 B 得 5 分（1 胜 2 平），听到 A 的话后能断定自己第二； 再重新考虑 A：A 已经不可能是全胜战绩了，故 A 得 7 分（2 胜 1 平）； 综上，答案为 7531.
14. 阿凡提在地主家做长工．地主家有一根长为 20 尺的木头，阿凡提每次将木头锯成长度是整数尺的 两段，并计算这两段长度的乘积．最后，阿凡提将木头锯成 20 段长度是 1 尺的小段，并得到了 19 个乘积，他将这些乘积相加得到 1 个数 A，地主会给他 A 个金币做为工资．那么，A 等于 __________．
H
毕克公式： (4 4) (0 5 2 1) 24 平方厘米； 分割： S阴影 S△HMA S△HMC 4 8 2 4 4 2 24 平方厘米； 整体减空白：12 12 2 4 4 4 8 2 2 24 平方厘米.
么，共有__________种不同的填法． 【考点】组合，数阵图 【难度】☆☆☆ 【答案】24 【分析】数和为 15，故 15 加中心数等于线和的 2 倍，可知中心数只能为奇数，有 3 种选择；中心数
填好后，两组数可互换左右，各组内也可互换位置；故答案为 3 A22 A22 A22 24 种.
FM
G
B
C
10. 定义： a b a ba b b2 ，那么下面算式的计算结果为__________．
10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 10 【考点】计算，定义新运算，平方差公式 【难度】☆☆ 【答案】1000
【考点】行程问题，环形跑道问题 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】5400 【分析】“丙距离出发点 100 米”和“乙跑了 7 圈多一点”是本题的关键突破口；
甲要追丙 1 圈 300 米，才能第一次追上丙，“丙距离出发点 100 米”说明甲追了丙 100 米或 200 米（分别对应丙在出发点之后 100 米和丙在出发点之前 100 米），但若只追了 100 米，则甲还 要跑目前圈数的 2 倍才能追上丙，同时乙也将跑 2 倍圈数，即乙将跑整数圈，就不会出现“乙跑 了 7 圈多一点”了；这说明甲乙碰面时，甲已经领先丙 200 米；
180 2 90 ；下面构造一种看书方法，来证明 90 可以达到：把故事编为 1～100 号，甲读 1～70 号，乙读 71～90 号以及 1～40 号，丙读 41～90 号；这样 1～90 号故事都是恰被两人读过；
综上，答案为 90.
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三． 填空题（每题 7 分，共 28 分）
AE
D
9. 如右图，正方形 ABCD 的边长为 12 厘米，正方形 DEFG 的边长为 8 厘米，
尺的木头 A 10 不变，……，20 尺的木头 A 190 不变（可用第二数学归纳法严谨证明通项公式 为 n(n 1) 2 ，但小学阶段只要找到规律即可）；
方法二：转化问题：20 个人每轮分两组握手，每一轮握手之后，组内再分成两组，互相握手， 直至每组最后一轮握手时组内都只有 1 个人，求总握手次数；组与组之间的握手次数正是两组人 数相乘，故这个问题的结果与题目的结果相同，但这个握手问题其实就是每两人都握了一次手， 故结果是 C220 190 ，故 A 190 ；
3. 右图中，相邻两个格点的距离为 1，那么阴影部分的面积是__________． 【考点】几何，格点与割补 【难度】☆☆ 【答案】12 【分析】可使用毕克公式直接求出： 9 8 2 1 12 ；或使用分割的方法，
阴影部分面积为： (2 2 2) 4 2 2 12 .
要得到 7 分或 9 分才可断定自己是第一； 再考虑 B：若 B 为 6 分（2 胜 1 负），则 B 一定输给 A，但无法断定 ABCD 是 9630 还是 7631
（即 B 不能知道 A 的分数），故 B 不是 6 分，B 是 5 分或 4 分；下证 B 不可能是 4 分： 若 B 得 4 分（1 胜 1 平 1 负），其中若 B 与 A 平，则 B 可由 A 的话推知 A 胜了 C、D，此时
这说明乙又跑了（甲乙碰面时）已跑的圈数的一半后，出现“乙跑了 7 圈多一点”，故“7 圈 多一点”为 7.5 圈；
故甲追上乙时，乙跑了 5 圈 1500 米，甲跑了 6 圈 1800 米，丙跑了1800 200 1600 米，故 甲、乙、丙的速度比为1800 :1500 :1600 18 :15 :16 ；
【考点】组合，体育比赛中的数学问题 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】7531 【分析】先考虑 C：可构造出 7431，及 5432，故知 4 分（1 胜 1 平 1 负）可能得第二，2 分（2 平 1
负）可能得第四，所以 C 必为 3 分； 再考虑 A：若 ABCD 的得分为 5432，则百度文库A1 胜 2 平不可能断定自己是第一，故不是 5432，A