2013学而思杯数学解析(4年级)
小学数学竞赛：乘除法数字谜(二).教师版解题技巧 培优 易错 难
数字谜是杯赛中非常重要的一块，特别是迎春杯，数字谜是必考的，一般学生在做数字谜的时候都采用尝试的方式，但是这样会在考试中浪费很多时间．本模块主要讲乘除竖式数字谜的解题方法，学会通过找突破口来解决问题．最后通过例题的学习，总结解数字谜问题的关键是找到合适的解题突破口．在确定各数位上的数字时，首先要对填写的数字进行估算，这样可以缩小取值范围，然后再逐一检验，去掉不符合题意的取值，直到取得正确的解答．1. 数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．2. 数字谜突破口：这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则，数的性质（和差积商的位数，数的整除性，奇偶性，尾数规律等）来进行正确的推理，判断．3. 解数字谜：一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口．推理时应注意： ⑴ 数字谜中的文字，字母或其它符号，只取0~9中的某个数字； ⑵ 要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；⑶ 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字； ⑷ 数字谜解出之后，最好验算一遍．模块一、与数论结合的数字谜 （1）、特殊数字【例 1】 如图，不同的汉字代表不同的数字，其中“变”为1，3，5，7，9，11，13这七个数的平均数，那么“学习改变命运”代表的多位数是 ．1999998⨯学习改变命运变 【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第9题 【解析】 “变”就是7，19999987285714÷= 【答案】285714【例 2】 右边是一个六位乘以一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，其中的六位数是______ 。
例题精讲知识点拨教学目标5-1-2-3.乘除法数字谜（二）杯小9望99999×赛赛希学【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，20题 【解析】 赛×赛的个位是9，赛=3或7，赛=3，小学希望杯赛=333333，不合题意，舍去；故赛=7，小学希望杯赛=999999÷7=142857【答案】142857【例 3】 右面算式中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，问A 和E 各代表什么数字？E AEDEEEEE×3CB【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3星 【题型】填空【解析】 由于被乘数的最高位数字与乘数相同，且乘积为EEEEEE ,是重复数字根据重复数字的特点拆分，将其分解质因数后为：=37111337EEEEEE E ⨯⨯⨯⨯⨯，所以3A =或者是7A =①若A ＝3，因为3×3＝9，则E ＝1，而个位上1×3＝3≠1，因此，A≠3。
2012学而思杯数学解析(4年级)
2012年第二届全国学而思综合能力测评 小学四年级（2012年4月7日）一、填空题（每题7分，共分）1．我国著名的数学传播、普及和数学竞赛专家单墫教授在2011年“普林斯顿数学竞赛”集训营中，鼓励北京地区参加数学竞赛的小选手，且学且思，作诗一首：“学不思则罔，思不学则殆． 学而思最好，培优创未来．”已知在“学而思最好，培优创未来”这句话中，不同汉字代表不同数字，那么，“学＋而＋思＋最＋好＋培＋优＋创＋未＋来”的值是__________．2．算式：的计算结果是__________．3．如图所示，三个正六边形的面积均为6平方厘米，那么，阴影部分的面积是__________平方厘米．4．学校数学竞赛出了A ，B ，C 三道题，至少做对一道的有25人，其中做对A 题的有10人，做对B 题的有13人，做对C 题的有15人．如果三道题都做对的只有1人，那么只做对两题的共有__________人．二、填空题（每题9分，共分）5．今天是4月7日，1805年的今天，德国作曲家贝多芬创作的《第三交响曲》在奥地利维也纳剧院首次公演．作为乐圣，贝多芬一生创作了100多部作品，其中“编号交响曲”9首，“钢琴奏鸣曲”的数量比“小提琴奏鸣曲”的三倍多5首，“小提琴奏鸣曲”的数量比“编号交响曲”多1首．那么，他一生共创作“钢琴奏鸣曲”__________首．6．某天，杨老师去便利店买午饭，便利店当天供应3种不同的荤菜和5种不同的素菜，杨老师打算买2种菜搭配吃，但至少有一种荤菜．那么，杨老师的午饭共有__________种不同的搭配方式．7．摩比、大宽、金儿三人的年龄为3个连续的自然数，摩比年龄最大．今年他们三人与博士的年龄之和为100岁．17年后，他们三人的年龄之和恰好等于博士的年龄．那么，今年摩比__________岁．8．定义：A B ☆表示线段AB 的中点，例如，图1中， ．在图2中，正方形ABCD 的面积是2012平方厘米．已知：那么，四边形MNPQ 的面积是__________平方厘米．4×7=2834×36+102×984×9=36C=A B M =(A ☆B )☆(D ☆A ); N =(A ☆B )☆(B ☆C ); P =(B ☆C )☆(C ☆D ); Q =(C ☆D )☆(D ☆A)三、填空题（每题10分，共分）9．2012年(闰年)的星期一比星期二多，那么2012年的元旦是星期__________．(星期一到星期日分别用1到7表示)10．下图是北京市地铁线路图(部分)，琦琦老师某天要从海淀黄庄坐地铁去蒲黄榆教学点开家长会，琦琦老师在海淀黄庄站上车，到在蒲黄榆站下车，最少需要坐__________站地铁．(不需要考虑换乘次数)11．同学们熟悉的e 度论坛网址是..bbs eduu com ，如果令每个字母代表0到9中的一个数字(相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字)，恰好得到的两个三位数和一个四位数之和等于2012，即 ，那么，四位数eduu 的最大值＝__________． bbs+eduu+com=201212．44名同学分别带了9元、10元、11元、……、52元钱，每人都把钱全部用完，给自己买笔记本．笔记本只有两种，3元一本和5元一本．那么，他们最少共买__________本3元的笔记本．四、填空题(每题11分，共分)13．一场晚会有3个不同的演唱节目，2个不同的舞蹈节目，1个杂技节目．要求两个舞蹈节目间至少安排一个演唱节目．那么，一共有__________种不同的安排顺序． 14．如图，梯形ABCD 中，上底AB 的长度是10厘米，梯形的高BE 的长度是12厘米，且E 是CD 中点，BF将梯形ABCD 分成面积相等的两部分．那么，BF 的长度是__________厘米．五、填空题(每题12分，共分)15．甲从A 出发，匀速向B 行走；乙、丙从B 出发，匀速向A 行走，三人同时出发．乙的速度是丙的2倍．甲、乙相遇时，丙距B 地30千米；甲、丙相遇时，乙距B 地80千米．那么AB 两地相距__________千米．16．国王有2012名武士，每两名武士要么互相是朋友，要么互相是敌人，要么互相不认识．每人只同朋友讲话．但不巧的是，每名武士的任意两个朋友都互为敌人，他的任意两个敌人都互为朋友．国王为了让这2012名武士都知道他的一项命令，最少要通知__________名武士．4×10=4011×2=2212×2=2434×36+102×982014年第四届全国学而思综合能力测评小学四年级参考答案部分解析1．我国著名的数学传播、普及和数学竞赛专家单墫教授在2011年“普林斯顿数学竞赛”集训营中，鼓励北京地区参加数学竞赛的小选手，且学且思，作诗一首：“学不思则罔，思不学则殆． 学而思最好，培优创未来．”已知在“学而思最好，培优创未来”这句话中，不同汉字代表不同数字，那么，“学＋而＋思＋最＋好＋培＋优＋创＋未＋来”的值是__________． 【考点】数论 【难度】★ 【答案】45【解析】每个汉字出现一次，也就是说每个数字出现一次，012345678945．2．算式：的计算结果是__________． 【考点】平方差公式 【难度】★★ 【答案】11220 【解析】 方法一：方法二：3．如图所示，三个正六边形的面积均为6平方厘米，那么，阴影部分的面积是__________平方厘米．【考点】图形的分割 【难度】★★ 【答案】121 2 3 4 5 6 7 8 45 11220 12 11 35 18 12 503 9 10 11 12 1314 15 16 71514778943213120403+++++++++= 34×36+102×98=(35-1)×(35+1)+(100+2)×(100-2)=(35-1)+(100-2)=35-1+100-2=(35+100)-(1+2)=1225+10000-5=1122034×36+102×98=34×3×12+102×98=102×12+102×98=102×(12+98)=102×110=11220【解析】如图，一个正六边形可以分成完全相同的六个钝角三角形，每个三角形的面积是1平方厘米，阴影部分可以分成12个小三角形，所以面积为12平方厘米．4．学校数学竞赛出了A ，B ，C 三道题，至少做对一道的有25人，其中做对A 题的有10人，做对B 题的有13人，做对C 题的有15人．如果三道题都做对的只有1人，那么只做对两题的共有__________人． 【考点】容斥 【难度】★★ 【答案】11【解析】总人数=只做对A 的+只做对B 的+只做对C 的-同时做对AB 的-同时做对AC 的-同时做对BC 的+同时做对三题的人数．根据公式可知做对两题的人数为10+13+15-25-1=12（人），其中包括三题全对的人数，只做对两题的人数为12-1=11（人）．5．今天是4月7日，1805年的今天，德国作曲家贝多芬创作的《第三交响曲》在奥地利维也纳剧院首次公演．作为乐圣，贝多芬一生创作了100多部作品，其中“编号交响曲”9首，“钢琴奏鸣曲”的数量比“小提琴奏鸣曲”的三倍多5首，“小提琴奏鸣曲”的数量比“编号交响曲”多1首．那么，他一生共创作“钢琴奏鸣曲”__________首． 【考点】经典应用题 【难度】★ 【答案】35【解析】“小提琴奏鸣曲”为（首），那么“钢琴奏鸣曲”有（首）．6．某天，杨老师去便利店买午饭，便利店当天供应3种不同的荤菜和5种不同的素菜，杨老师打算买2种菜搭配吃，但至少有一种荤菜．那么，杨老师的午饭共有__________种不同的搭配方式． 【考点】简单的排列组合——搭配 【难度】★★ 【答案】18【解析】只有一种荤菜：C C 3515 两种都是荤菜：（种）（种）一共有：15+3=18（种）7．摩比、大宽、金儿三人的年龄为3个连续的自然数，摩比年龄最大．今年他们三人与博士的年龄之和为100岁．17年后，他们三人的年龄之和恰好等于博士的年龄．那么，今年摩比__________岁． 【考点】年龄问题 【难度】★★ 【答案】12【解析】17年后，四人的年龄和为（岁），那里博士的年龄为（岁），即其余3人年龄和为84岁，因此今年3人年龄和为（岁），摩比年龄为（岁）9+1=1010×3＋5=35××===(3×2)÷(2×1）=3100+17×4=168168÷2=8484-17×3=3333÷3+1=128．定义：A B ☆表示线段AB 的中点，例如，图1中， C A B ☆．在图2中，正方形ABCD 的面积是2012平方厘米．已知：那么，四边形MNPQ 的面积是__________平方厘米．【考点】定义新运算 【难度】★★ 【答案】503【解析】根据☆的意义画图如下，正方形ABCD 被分成了16个小正方形，四边形MNPQ 占4个，因此面积为：9．2012年(闰年)的星期一比星期二多，那么2012年的元旦是星期__________．(星期一到星期日分别用1到7表示) 【考点】日期问题 【难度】★★ 【答案】7【解析】由于星期一比星期二多，因此2012年最后一天肯定为星期一，闰年一共366天，366除以7余2，所以2012年第2天和最后1天都是星期一，元旦是星期日（星期7）．10．下图是北京市地铁线路图(部分)，琦琦老师某天要从海淀黄庄坐地铁去蒲黄榆教学点开家长会，琦琦老师在海淀黄庄站上车，到在蒲黄榆站下车，最少需要坐__________站地铁．(不需要考虑换乘次数)M =(A ☆B )☆(D ☆A ); N =(A ☆B )☆(B ☆C ); P =(B ☆C )☆(C ☆D ); Q =(C ☆D )☆(D ☆A )2012÷16×4=503=【考点】最短路线 【难度】★ 【答案】15【解析】站数最少的路线为海淀黄庄起10号线到知春路（2站），转13号线至西直门（2站），转2号线至崇文门（8站），转5号线至蒲黄榆（3站），一共228315（站）．11．同学们熟悉的e 度论坛网址是..bbs eduu com ，如果令每个字母代表0到9中的一个数字(相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字)，恰好得到的两个三位数和一个四位数之和等于2012，即2012bbs eduu com ，那么，四位数eduu 的最大值＝__________． 【考点】位值原理 【难度】★★★ 【答案】1477【解析】eduu 中1e ，若要eduu 最大，则bbs 和com 尽量小，因此2b ，3c ，0o ，由位值原理得： =100010011100010011eduu e d u d u ，110220bbs b s s ，10010300com c o m m ，再由2012bbs eduu com 可知：1000100112203002012d u s m ，整理得10011492d u s m ，即4d ，1192u s m ，u 最大取8，此时4s m ，s 和m 取值会与之前重复，故7d ，15s m ，6s ，9m 等式成立，1477eduu ．12．44名同学分别带了9元、10元、11元、……、52元钱，每人都把钱全部用完，给自己买笔记本．笔记本只有两种，3元一本和5元一本．那么，他们最少共买__________本3元的笔记本． 【考点】余数和周期问题 【难度】★★★ 【答案】89【解析】若要3元一本的尽量少，则5元一本的要尽量多，44名同学的钱数除以5的余数分别为4，0，1，2，3，4，0，1，2……以5为周期，因此只要计算出9元至13元的同学们买了多少3元一本的笔记本即可．他们买的3元笔记本本数依次为3本，0本，2本，4本，1本．44584……，所以至少买的本数为： 3+2+4+18+3+2+4=89（）（本）．13．一场晚会有3个不同的演唱节目，2个不同的舞蹈节目，1个杂技节目．要求两个舞蹈节目间至少安排一个演唱节目．那么，一共有__________种不同的安排顺序． 【考点】排列组合 【难度】★★★★ 【答案】432【解析】6个节目全排列：66A 654321720（种）两个舞蹈之间为杂技节目：44A 2=43212=48（种），这三个节目看成1个，与其他全排列，两个舞蹈节目可以换位置．两个舞蹈之间没有节目：55A 2=543212=240（种），两个舞蹈节目看成1个，与其他全排列，两个舞蹈节目可以换位置．720-48-240=432（种）14．如图，梯形ABCD 中，上底AB 的长度是10厘米，梯形的高BE 的长度是12厘米，且E 是CD 中点，BF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分．那么，BF 的长度是__________厘米．+++++++++++++++++++++++++++++======================÷××××××××××××××××××=【考点】等量代换思想 勾股定理 【难度】★★★★ 【答案】13【解析】根据BF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分，可知梯形ABFD 的面积是梯形ABCD 的一半， ，整理得，将代入可得：,得,（厘米），在直角三角形BEF 中，5EF ，12BE ，由勾股定理得2222225122514416913BF BE EF ，13BF （厘米）．15．甲从A 出发，匀速向B 行走；乙、丙从B 出发，匀速向A 行走，三人同时出发．乙的速度是丙的2倍．甲、乙相遇时，丙距B 地30千米；甲、丙相遇时，乙距B 地80千米．那么AB 两地相距__________千米． 【考点】比例解行程 【难度】★★★★★ 【答案】120【解析】根据题意画图得：由于乙的速度是丙的2倍，当甲与乙在C 点相遇时，丙走到CB 的中点D ，DB=30（千米），CB=60（千米），CD=30（千米）当甲与丙在E 点相遇时，乙走到F 点，FB=80（千米），FC=80-60=20（千米），因此丙走过的路程（千米），甲走过的路程CE=30-10=20（千米），即甲和乙的速度相同．当最初甲和乙相遇时甲也走了60千米，全长（千米）．16．国王有2012名武士，每两名武士要么互相是朋友，要么互相是敌人，要么互相不认识．每人只同朋友讲话．但不巧的是，每名武士的任意两个朋友都互为敌人，他的任意两个敌人都互为朋友．国王为了让这2012名武士都知道他的一项命令，最少要通知__________名武士． 【考点】操作问题 【难度】★★★★ 【答案】403【解析】一个人不能同时有超过两个朋友，假设A 有三个朋友B C D ，则B 与C ,C 与D ,D 与B 互为敌人，但由于C 与D 都是B 的敌人，因此他们应该为朋友，矛盾．如果两人为朋友，则在两人之间画一条实线，如果为敌人，则画一条虚线， 设B 的一个朋友是C ，另一个朋友是D ，则C 和D 是敌人； 设C 除B 之外的另一个朋友是F ，则B 和F 是敌人；设F 除C 之外的另一个朋友是E ，则C 和E 是敌人，从而D 和E 是朋友．DE=20÷2=10AB=60×2=120()22()2AB DF BE AB CD BE +×÷×=+×÷()2AB DF AB CD +×=+222AB DF AB DE +=+2()2AB DE DF EF =−=1025EF =÷=DC=DE ========++++也就是说，每五个人组成一个五边形，其中边为朋友关系，对角线为敌人关系．通知1个人就相当于5个2012÷5=402 (2)人知道，，402+1=403（名），所以最少要通知403名武士．。
第八届学而思杯综合素质测评解析与答案
2012
第八届学而思综合素质测评
三年级
数学
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1 个西瓜的重量等于 24 个柿子的重量。 个柿子的重量
6.
50 个男生沿着 300 米的跑道站成一圈 ，并且相邻两人之间的距离都相等 。现在 现在，每相邻两个男生之间 又加入了两个女生 ，相邻两人之间的距离还是相等 相邻两人之间的距离还是相等。请问 ：相邻两人之间的距离又是 相邻两人之间的距离又是 _______ 米？ 距离变为： 300 150 2 （米） 。
F _ E _ D _
【分析】 上面第一层以 AB 为宽的有 10 个长方形，下面第二层以 BE 为宽的也就有 10 个长方形．另外把第 一层和第二层合在一起以 和第二层合在一起以 AE 为宽的长方形还有 10 个， 一层有 10 个， 共 3 层， 这样一共就有 30 （个）长方形． 10. 由数字 0 ， 1 ， 2 ， 3 可以组成 _______ 没有重复数字的四位偶数？
21 111111 7 3 111111 333333
2. 定义新运算为 a△b＝（a＋1）÷ ÷b，求的值。6△（3△4）= _______ 【分析】所求算式是两重运算，先计算括号 先计算括号，所得结果再计算。由 a△b＝（a＋1） ）÷b 得，3△4＝（3＋1） ÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝ ）＝ 6△1＝（6＋1）÷1＝7 3. 悟空在花果山，猪八戒在高老庄 猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河 ，一天，他们约好在流沙河见面 他们约好在流沙河见面， 孙悟空的速度是 200 千米／小时 小时． 猪八戒的速度是 150 千米／小时，他们同时出发 他们同时出发 2 小时后还相距 500 千米，则花果山和高老庄之间的距离是 则花果山和高老庄之间的距离是 _______ 千米？ 【分析】注意： “还相距”与 “相距”的区别． 的区别 建议教师画线段图． 可以先求出 2 小时孙悟空和猪八戒走的路程 ： （ 200 150 ） 2 700 (千米)， 又因为还差 500 米， 所以花果山和高老庄之间的距离 ： 700 500 1200 (千米)． 4. 在一次运动会开幕式上 ，有一大一小 有一大一小 2 个方阵合并变换成一个 15 行 15 列的方阵，求原来这大方阵有 列的方阵 _______ 人？ 原来的小方阵和大方阵每行或每列人数都不会超过 15 人。 运用枚举法。 大方阵人数应该在 113～225 之间，可取 121 或 144 或 169 或 196 ， 对应的小方阵的人数为 104 或 81 或 56 或 29 。 大方阵有 144 个，小方阵有 81 人。 5.
2012 四年级学而思杯数学试题 答案
2.【答案】11220 【解析】观察发现 102 是 34 的 3 倍，所
34 36 102 98 102 12 102 98 102 (12 98) 102 110 11220
3.【答案】12 【解析】如图，一个正六边形可以分成面积相等的六个三角形，所以 每个三角形面积为 6 6 1 平方厘米，而阴影部分应该包括 4 3 12 个这样的三角形，所以面积为 12 平方厘米 4.【答案】11 【解析】一共做对的题目数是 10 13 15 38 道，所以只做对两题的人有 1 0 1 3 1 5 2 25 人 11 5． 【答案】35 【解析】 “编号交响曲”9 首， “小提琴奏鸣曲”为 9 1 10 首，所以“钢琴奏 鸣曲”为 3 10 5 35 首 6.【答案】18 【解析】一共八种菜，2 种菜随意搭配有 C82 8 7 2 28 种，一种荤菜都没 有的搭配有 C52 5 4 2 10 种，所以至少一种荤菜的搭配有 2 8 1 0 1 8 种 7.【答案】12 【解析】 17 年后， 四个人的年龄之和为 100 17 4 168 岁， 所以 17 年后摩比、 大宽、金儿年龄之和为 168 2 84 岁，因为摩比的年龄最大，所以 17 年后的年龄应为 84 3 1 29 岁，今年为 29 17 12 岁 8． 【答案】503 【解析】如图，化成格点后，MNPQ 占四个方格，ABCD 占十六个，ABCD 面积是 MNPQ 面积的 4 倍，所以 MNPQ 面积为 2012 4 503 平 方厘米 9． 【答案】7 【解析】因为星期一比星期二多，所以 2012 年最后一天一定是星期一，闰年 一共 366 天，366 被 7 除余 2，所以 2012 年第二天与最后一天均为 星期一，所以元旦为星期日 10.【答案】15 【解析】战术最少的路线为海淀黄庄起 10 号线到知春路，转 13 号线至西直 门，转 2 号线至崇文门，转 2 号线至蒲黄榆（路线不唯一） ，共计 15 站。
小学数学竞赛：定义新运算.教师版解题技巧 培优 易错 难
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【巩固】 表示
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】原式
【答案】
【巩固】规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a<b，则a☆b=a×b。那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】19
【答案】
【例 2】“△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【答案】
【巩固】设 △ ，那么，5△ ______，(5△2)△ _____.
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】
,
【答案】
【巩固】 、 表示数， 表示 ，求3 (6 8)
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】已知a,b是任意自然数,我们规定:a⊕b=a+b-1, ,那么
可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312
【答案】
【巩固】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
小学奥数 鸡兔同笼问题(二) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象．一、鸡兔同笼 这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？二、解鸡兔同笼的基本步骤解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512-=（只）．显然，鸡的只数就是351223-=（只）了．这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”．假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到．解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有：数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法两个量的“鸡兔同笼”问题——变例【例 1】 某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣2分，小聪得了79分，他做对了多少道题？例题精讲 知识精讲教学目标6-1-9.鸡兔同笼问题（二）【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】做错(52079 ) (52)3-=(道)．⨯-÷+=(道)，因此，做对的20317【答案】17道【巩固】数学竞赛共有20道题，规定做对一道得5分，做错或不做倒扣3分，赵天在这次数学竞赛中得了60分，他做对了几道题？【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】假设他将所有题全部做对了，则可得100分，实际上只得了60分，比假设少了40分，做错一题要少得8分，少得的40分中，有多少个8分，就是他做错的题的数量，则知他做对了15道．【答案】15道【巩固】东湖路小学三年级举行数学竞赛，共20道试题.做对一题得5分，没有做一题或做错一题都要倒扣2分.刘钢得了86分，问他做对了几道题？【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】这道题也类似于“鸡兔同笼”问题．假设刘钢20道题全对，可得分520100⨯=（分），但他实际上只得86分，少了1008614-=（分），因此他没做或做错了一些题．由于做对一道题得5分，没做或做错一道题倒扣2分，所以没做或做错一道题比做对一道题要少527+=（分）．14分中含有多少个7，就是刘钢没做或做错多少道题．所以，刘钢没做或做错题为1472-=÷=（道），做对题为20218（道）．【答案】18道【巩固】某次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得6分，每做错一题倒扣2分。
小学思维数学讲义：巧求周长-带详解
巧求周长知识点拨一、基本概念①周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长．②面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积．二、基本公式：=⨯(长+宽)，面积=长⨯宽．①长方形的周长2=⨯边长，正方形的面积=边长⨯边长．②正方形的周长4三、常用方法：（1）对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．（2）转化是一种重要的数学思想方法，在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分．转化后的图形虽然形状变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积．转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形．（3）寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径．因此，我们在解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题．也就是说，在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题．这种解决问题的思想在数学中叫“化归”，它是数学思维中重要的思想和方法．Array（4）在几何中，有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的．这样的图形我们称为不规则图形．不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算．那么，不规则图形的面积怎样去计算呢？对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段．四、几个重要的解题思想（1）平移在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．其中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的．利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意．（2）割补割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理．这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形，它的面积不变．（3）旋转在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题．（4）对称平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助．（5）代换在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧．小结：本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．模块一、图形的周长和面积——割补法【例 1】 求图中所有线段的总长(单位：厘米)D【考点】巧求周长 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 要注意到，题目所求的是图中所有线段的总长，而图中的线段，并不仅仅是AB 、BC 、CD 、DE 四段，还包括AC 、BE 等等，因此不能简单地将图中标示的线段长度进行求和．同时应该注意到，43=+=+AC AB BC ；3126=++=++=BE BC CD DE ，等等．因此，为了计算图中所有线段的总长，需要先计算AB 、BC 、CD 、DE 这四条线段分别被累加了几次．这里，可以按照每条线段分别是由几部分组成的加以讨论：由1段组成的线段共有4条，即AB 、BC 、CD 、DE ，而求和过程中AB 、BC 、CD 、DE 这四条线段各被累加了1次．类似地考虑到，由2段组成的线段共有3条，求和过程中AB 、DE 各被累加了1次, BC 、CD 各被累加了2次．由3段组成的线段共有2条，求和过程中AB 、DE 各被累加了1次，BC 、CD 各被累加了2次．由4段组成的线段只有AE ，其中AB 、BC 、CD 、DE 各被计算了1次．综上所述，AB 、DE 各被计算了4次，BC 、CD 各被计算了6次．因而图中所有线段的总长度为：()()442631=48⨯++⨯+（厘米） 【答案】48【例 2】 如图所示，点B 是线段AD 的中点，由A 、B 、C 、D 四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之积为10500，则线段AB 的长度是 。
2015年学而思杯综合能力测评【四年级】数学答案详解
第一行 1 2 3 4
5
6
第二行 1 2 4 7 11 16 第三行 1 2 4 8 15 26 第四行 1 2 4 8 16 31 第五行 1 2 4 8 16 32
绝密※启用前 2015 年学而思综合能力测评（深圳） 四年级 数学
座位号____________________
【解析】对折一次: 2 2 1 3 段，对折二次: 4 2 3 5 段，对折三次: 8 2 7 9 段． 【答案】9 段． 二、 填空题Ⅱ（每题 6 分，共 30 分，将答案填在下面的空格处） 7. 右图中，相邻两个格点的距离为 1，那么图中这只羊的面积是_________．
第4页 共6页
【解析】连结大正方形的对角线,那么图中浅色的阴影部分可以转换为深色的阴影部分,深色部分的三角形底为中 等正方形与小正方形的边长之和,高为小正方形的边长． 3 3 2 9 ； 9 3 2 13.5 ．因此阴影部分的 面积为 13.5 ． 【答案】 13.5 ．
15. 艾迪参加期末考试，考试分五科，语文、数学、英语、自然、历史．所有科目的平均分是 95 ，语文和数学的
考 生 须 知
1．本试卷共 4 页，20 题 2．本试卷满分 150 分，考试时间 90 分钟 3．在试卷密封线内填写姓名、年级、学校、座位号
一、 填空题Ⅰ（每题 5 分，共 30 分，将答案填在下面的空格处） 1. 计算 1 2 3 4 99= ________． 【解析】等差数列求和． 【答案】4950． 十个连续的自然数，其中质数至多有________个． 【解析】2、3、5、7、11． 【答案】5 个．
学而思杯数学解析 级
16. 有 12 张卡牌，分别写着 1～12，不同卡牌上的数互不相同．甲、乙、丙分别抓取其中的四张牌，
进行游戏．规则如下：
比赛分 4 轮，每轮三人各出一张牌（出过的牌不能再出），并计算三张牌的和，如果和比中间
牌的 3 倍小，则出最小牌的人获胜，反之，则出最大牌的人获胜．如果和等于中间牌的 3 倍，则
无人获胜．（例如：甲、乙、丙分别出的是 2、4、1，则乙获胜）．已知：
① 四轮都有人获胜；
② 甲四轮出牌顺序依次是 3、4、8、1，结果只有前 3 轮获胜；
③ 乙第一次出了他手中四张牌中最小的牌；
④ 乙、丙两人手中四张牌的和相等．
那么，乙所拥有的四张牌的乘积是
．
【考点】逻辑推理
【难度】☆☆☆☆☆
【答案】3150 【分析】①剩余 8 张牌的和是 (1+ 2 +⋯ +12) - 3- 4 - 8-1= 62 ，所以乙、丙的和都是 31；
获胜，剩余的 1 个数一定是 3、4，但 3、4 都已出现，所以 2 也不能在第 3 轮，所以 2 一定是丙第
4 轮由丙出； ④ 如果丙还有 5，那么丙的 4 个数最大，是 2 + 5 +11+12 = 30 < 31，所以 5 一定在乙手上，
那么 5 就是乙最小的牌，5 是在第一轮出的，如果甲的 3 想要获胜，丙只能出 6； ⑤ 丙已经由 2 和 6，丙的 4 个数最大是 2 + 6 +11+12 = 31 ，刚好，所以 11 和 12 只能是丙，
分卡上共出现了
位老师．
【考点】容斥原理
【难度】☆
【答案】550 【分析】 300 + 400 -150 = 550
学而思杯四年级试卷详解
2017第十一届学而思杯四年级试题详解一、填空题Ⅰ（每题8分，共80分） 1. 计算（1）16 1.740.3+++=． （2）65 1.735 1.7⨯+⨯=．【答案】（1）22；（2）170 【考点】小数巧算 【解析】（1）加减法凑整（2）提取公因数2. 如下图，每个小正方形的面积为1，则图中“2017”的面积是 ．【答案】34.5【考点】格点多边形【解析】面积为1的小正方形有30个，面积为0.5的小三角形有9个．3. 甲乙丙丁四人排成一行拍照，有 种不同的排法． 【答案】24【考点】加乘原理【解析】乘法原理即可快速解决：432124⨯⨯⨯=（种）．4. 已知五位数403□□是99的倍数，请问这个五位数是 ．【答案】40392 【考点】整除特征【解析】方法一：99的整除特征，从右往左两位一段求和，和为4+3+□□，是99的倍数，可以推出=994392=□□－－．方法二：试除法，40399994087÷=，40399740392-=．5. 学而思在淘宝上买书架，高书架100元一个，矮书架80元一个，最后花了960元买了10个书架，其中高书架有 个．【答案】8【考点】鸡兔同笼【解析】假设法解决：假设全是矮书架，那10个矮书架共需8010800⨯=（元），比960元少了960800160=－（元），每把一个矮书架换成高书架，多花1008020=－（元），所以高书架有160208÷=（个）．6. 艾迪、薇儿和大宽一共买了960元的零食，已知艾迪支付了总费用的一半，薇儿比大宽多支付了100元，那么大宽付了 元． 【答案】190【考点】和差倍问题【解析】艾迪支付了9602480÷=（元），所以薇儿和大宽共支付了剩下480元，其中薇儿多支付100元，所以用和差问题，推出大宽付了4801002190÷=（－）（元）．7. 甲乙两人从相距1000米的A 、B 两地同时出发，相向而行，甲每秒能走3米，乙每秒能走2米， 秒后两人将相遇． 【答案】200【考点】相遇问题【解析】路程和÷速度和=相遇时间．8. 只能被1和它本身整除的自然数叫做质数，例如：2、3、5、7、11、13；那么90到100之间有 个质数． 【答案】1【考点】因倍质合 【解析】质数为97．9. 如图所示，圆圈中分别填入1到5这5个数，每个三角形顶点上的三个数之和都是10，那么中间圆圈A 上填的数是 ．【答案】5【考点】数阵图【解析】两个三角形顶点上所有数之和为10×2=20，比1234515++++=多了5，而圆圈A正好被算了两次，所以圆圈A 上填的是5．10. 下图中，每个小正方形的面积为1，请问图中面积为4的长方形（包括正方形）共有个．A【答案】12【考点】图形计数【解析】面积为4的长方形分为2×2的正方形和1×4的长方形，前者有8个，后者有4个．二、填空题Ⅱ（每题9分，共36分）11. 下图是一个乘法竖式，最后的乘积结果为 ．0×4719□□□□□□□□□□□□□□□【答案】94799 【考点】数字谜【解析】个位分析法推出第一个乘数个位为7，进而推出第一个乘数十位为1，此时第一个乘数乘7为五位数，乘4为四位数，这样的乘数只可能是2017，20174794799⨯=．12. 甲乙丙三个小朋友参加学而思杯考试，满分200分，最后三个人得分各不相同，三个人总分正好能被20和17整除，请问分数最高的甲至少得 分． 【答案】115【考点】最值问题【解析】三人总分最高为2003=600⨯（分），而这个总分正好被20和17整除，所以总分为2017340⨯=（分），此时要求所有人得分各不相同，并且分数最高的人得分尽量低，此时应尽量平分，34031131÷=，再稍作调整，得到三人分数分别为112，113，115．13. 某印刷厂接到订单要印刷一批书，如果每天印刷30本，则会比规定时间晚4天完成任务；为了如期完成任务，印刷厂决定每天多印刷5本，这样刚好能在规定时间完成印刷，那么印刷厂总共要印刷 本书． 【答案】840【考点】盈亏问题【解析】经典盈亏变形题目，把天数变得一样多即可，这儿我们把时间都统一为规定时间，将第一次多的4天给去掉，这样第一次就会比订单要求少印430120⨯=（本），再用总差÷每份差=份数，得出天数为120÷5=24（天），再用30244840⨯+=（）（本）或30524840+⨯=（）（本），即可算出答案．14. 如图所示，D 是AB 的中点，E 为BC 边靠近B 点的三等分点，已知三角形ADF 的面积为3，三角形CEF 的面积为8，那么三角形ABC 的面积为 ．【答案】30【考点】等积变形 【解析】三角形DBF 和三角形ADF 等高，面积相等，都为3；三角形BEF 和三角形CEF 等高，前者为后者的一半，即824÷=，此时得出大三角形CDB 面积为84315++=，大三角形ACD 与三角形CDB 等高，面积相等，都为15，所以三角形ABC 面积为30．三、填空题Ⅲ（每题10分，共40分）15. 如下图所示，在三角形中内接一个正方形和一个三角形，得到一个新的图形，我们称之为一次操作，下图为两次操作之后的结果，那么5次操作后，得到的图形里，共能找到 个三角形．【答案】31【考点】归纳与递推 【解析】原来有1个，每次操作后，三角形增加6个，所以5次操作后变为16531+⨯=（个）16. 好未来小学展开了一项名叫“我最喜欢的学科”的调查，问卷上只有数学和英语两个选项，学生们可以给自己喜欢的学科打勾（可以不选）；最后发现，有1000人参与了这次调查，共有1300个勾，其中只喜欢数学的有100人，喜欢英语的学生中有一半同样喜欢数学，那么只喜欢一门学科的有 人． 【答案】500【考点】容斥原理/鸡兔同笼【解析】根据容斥原理知道，所有学生分为4类：只喜欢数学，只喜欢英语，两门都喜欢，CBADEF83两门都不喜欢；其中把只喜欢数学的100人去掉，还剩900人，勾还剩130********-=（个）；设两门都喜欢的有x 人，那么只喜欢英语的也有x 人，两门都不喜欢的有9002x （－）人， 两门都喜欢的最后打了2x 个勾，只喜欢英语的打了x 个勾，两门都不喜欢的最后没有打勾；所以列出方程21200x x +=，算出400x =，所以只喜欢数学的100人，只喜欢英语的400人，只喜欢一门的为100400500+=（人）．17. 将从1如果一直写下去，肯定会在某行出现连续的两个数字“0”，我们把这样连续两个“0”叫做“双黄蛋”，那么第三个“双黄蛋”出现在第 行． 【答案】156【考点】页码问题/周期问题【解析】数表规律为：从1开始连续自然数，每个数字占一格，写7个数字就换行；第一个“双黄蛋”出现在写100的时候，第二个“双黄蛋”出现在写200的时候； 第三个“双黄蛋”应该出现在写300的时候，不过以防万一，我们算下100、200和300，他们的“0”是否在同一行里，此处我们算下300后一个“0”在哪个位置： 1~9：9个数字；10~99，180个数字；100~300，2013603⨯=（个）数字，所以后一个“0”是第918060379++=（个）数字，算下这个数字的位置，79271131÷=，发现写300时，后一个“0”在第一列，前一个“0”在上一行最后一列，两个“0”不在同一行，所以不符合“双黄蛋”的要求． 同样方法，可以推出100和200都是符合要求的； 所以第三个“双黄蛋”只能出现在写400的时候，这时会再多写100个三位数，即多写300个数字，所以写400时，后一个“0”是第7923001092+=（个）数字，用周期问题算出位置：10927156÷=，所以第三个“双黄蛋”出现在第156行．18. 右图中，三角形ABC 是一个直角三角形，角ABC 是90度，AB =6，BC =8，AD =13，BC和AD 平行，BD 和CE 平行，BF 和DE 平行，那么阴影部分面积为 ．13FEDCB A86【答案】24【考点】等积变形【解析】如下图进行三次等积变形，三角形DEF 面积等于三角形BDE 的面积，三角形BDE 的面积等于三角形BCD 的面积，三角形BCD 的面积等于三角形ABC 的面积，三角形ABC 面积为68224⨯÷=，因此三角形DEF 面积为24．四、填空题Ⅳ（每题11分，共44分）19. 已知三位数abc ̅̅̅̅̅，交换数字顺序后得到另外两个三位数bca ̅̅̅̅̅和cab̅̅̅̅̅，这三个三位数恰好组成一个等差数列，并且a =1，b ＜c ，求bc ̅̅̅= ． 【答案】48【考点】位值原理【解析】方法一：枚举法尝试，从b =1开始尝试；方法二：位值原理解决2×bca ̅̅̅̅̅=abc ̅̅̅̅̅+cab̅̅̅̅̅，位值原理得210010)(10010)(10010)b c a a b c c a b ⨯++=+++++（，整理得20020211011101b c a a b c ++=++；继续整理得：18910881b a c =+，743b a c =+，将a =1代入得743b c =+，最后尝试得b =4，c =8，bc ̅̅̅=48．20. 甲乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，甲的速度是乙的2倍，两人相遇后继续前行，各自到达B 、A 两地后立即返回，甲到达B 地后速度减半，乙到达A 地后速度翻倍，最后在C 点相遇，已知A 、B 两地相距300米，请问A 、C 两地相距 米． 【答案】100【考点】相遇问题【解析】我们一段一段的分析路程，即可解决这个问题：刚开始甲的速度是乙的2倍，所以第一次相遇时，路程也应该是2倍的关系，甲走了200米，乙走了100米；甲再往前走100米即可到达B 点，此时乙走的路程为甲的一半，即50米；当甲到达B 点后，速度减半，此时甲乙速度相等，乙再走150米到A 地，此时甲也走了150米；最后乙速度翻倍，变为甲的2倍，所以最后150米的距离，甲走了50米，乙走了甲的2倍100米，最后如图所示，AC 距离100米．68ABCDEF1313FEDCB A8613FEDCB86A21. 有6个数字2、3、4、5、6、7，从中选择4个互不相同的数字，组成一个四位数abcd̅̅̅̅̅̅̅，关于这个四位数，艾迪、薇儿、博士和大宽有以下的对话： 艾迪：“这个四位数是63的倍数．” 薇儿：“前两位ab ̅̅̅是一个质数．”博士：“两位数bd̅̅̅̅是一个质数．” 大宽：“后两位cd̅̅̅是一个平方数．” 已知他们之中只有3人的对话是正确的，所以abcd̅̅̅̅̅̅̅是 ． 【答案】4725【考点】因倍质合/整除特征【解析】对于这类问题，我们着重于去找出矛盾，此处看博士和大宽的对话，根据博士的话，bd ̅̅̅̅是一个质数，d 只能是3、7；而根据大宽的对话，cd̅̅̅是一个平方数，d 只 能是4、5和6，此时两人之间必有一人说错，所以艾迪和薇儿说的都是对的； 根据艾迪的话，此数是63的倍数，即同时被7和9整除；根据被9整除，这个四 位数数字和为9的倍数，而我们发现任选四个数字，和最小为234514+++=， 最大为456722+++=，所以这四个数字之和只能为18．下面我们讨论下博士和大宽到低谁对谁错；如果博士对，那么ab ̅̅̅和bd̅̅̅̅都是质数， b 和d 一个选3，另一个选7，此时根据数字和为18，可以轻易推出a 和c 一个选2，另一个选6；此时试验下来，abcd̅̅̅̅̅̅̅可能为2367、6723，两个都不是7的倍 数，排除这种可能，所以博士的对话是错的，大宽的对话才是对的，cd̅̅̅是一个平 方数．观察后两位cd̅̅̅是一个平方数，只可能是25、36、64； 如果cd ̅̅̅是25，根据9的整除特征，得出前两个数字分别为4和7，此时ab ̅̅̅只能是 47，四位数4725是7的倍数，符合条件；如果cd̅̅̅是36，根据9的整除特征，得出前两个数字分别为4和5，或者2和7， 然而4和5或者2和7都无法组出质数，不符合条件，排除；如果cd ̅̅̅是64，根据9的整除特征，得出前两个数字分别为3和5，此时ab ̅̅̅是个质 数，只能是53，四位数5364不是7的倍数，不符合条件，排除；所以答案是 4725．22. 黑板上从1开始写了很多平方数：1、4、9、16……我们把相邻两个平方数相减，求出来的差写在两个数之间，例如：1和4相减，求出来3，将3写在1和4之间，变成1、3、4……再把4和9相减，求出来5，将5写在4和9之间，变成1、3、4、5、9……这样操作完之后，整个数列变成了1、3、4、5、9、7、16． 然后我们把数列里所有的数连在一起，组成一个很长的数：13459716……我们把这个数叫做“学而思数”．2001001005015015010050ABC（1）这个数从左往右第10个数字是．（2）黑板上第一次出现“484”时，这个8是从左往右第个数字．（3）从左往右第600个数字是．【答案】（1）2；（2）91；（3）0．【考点】杂题【解析】（1）写出前10个数字：1345971692，第10个数字为2；（2）我们知道相邻两个平方数的差为奇数，而484三个数字都是偶数，所以写出484有以下三种可能：=⨯，当写到22的平方时出现；①4842222②484前面48是某个平方数的后半部分，但平方数个位不可能是8，排除；③484前面4是某个平方数的后半部分，简单尝试后，结果比22的平方大很多；数字，平方数之差到22222143-=，43是第21个平方差，前面所有平方差共有：+=（）（个）数字，所以写完22的平方484后，共写了543892 41214238⨯+-⨯=（个）数字，所以8是从左往右第91个数字．（3）从上表，我们写到31的平方数后，粗略估计，离600个数字还差的比较远，所以我们试下写完所有四位平方数，也就是写到99的平方数：⨯=（个）数字；一位平方数221~3：313二位平方数224~9：93212（）（个）数字；-⨯=三位平方数2210~31：319366（）（个）数字；-⨯=四位平方数2232~99：9931)4272（（个）数字；-⨯=平方差写到了22-=，是第98个平方差：9998197一位平方差：4个数字；二位平方差：494290（）（个）数字；-⨯=三位平方差：98493147-⨯=（）（个）数字；++++++=（个）数字；算出写完99的平方后，共写了31266272490147594-=（个）数字，再往后写6个数字，99的平方后面应该是还差600594622-=，再往后是100的平方，即10000，所以第600个数字是0．10099199。
2013年学而思杯数学详解
再考虑除号：可填除号的位置不多；要使结果最大，应配合减号形成“ 4 1 2 ”或 “ 6 3 2 1 ”或“ 6 3 2 ” ；依此思路可填出结果较大的算式，分别为：
7 8 9 6 5 4 2 1 3 510 ； 9 8 7 4 5 6 3 2 1 509 ； 9 8 7 4 5 6 3 2 1 511 ；
1
4.
艾迪需要破译冰箱的密码才能吃到零食．冰箱上写着：“密码是 ab c d 的计算结果，其中
a 20 ， b 13 ， c 4 ， d 6 ” ．那么，冰箱的密码是
．
【考点】计算，用字母代表数 【难度】☆ 【答案】258 【分析】 ab c d 20 13 4 6 258
2013 年第三届全国学而思综合能力测评（学而思杯）
数学试卷（三年级）详解
一． 1. 填空题（每题 5 分，共 20 分） 数字 1、2、3、4、5、6、7、8、9，那么，这 9 个数字的平均数是 ．
【考点】计算，平均数 【难度】☆ 【答案】5 【分析】公式法： (1 2 3 4 5 6 7 8 9) 9 5 ；或移多补少找到平均值 5.
1
学学家
1 3 2 2 1 学学家 1 9 6 4 2 1 1 5 思思家 14
4
四．
填空题（每题 8 分，共 32 分）
13. 现在有一个奇妙的数，我们将这个数减去 13，乘 2，除以 4，加上 1013，之后得到数 2013，我们 将上述过程称为一次操作.如果机器人小刚对这个数进行了 2013 次操作，那么，最后的结果是 __________. 【考点】计算，倒推法 【难度】☆☆☆ 【答案】2013 【分析】倒推出这个“奇妙的数” ：(2013 1013) 4 2 13 2013 ，故这个“奇妙的数”为 2013；2013 经过一次操作后仍为 2013，故知无论经过多少次操作，结果都是 2013；故本题答案为 2013.
学而思综合能力测评 四年级 数学试卷 解析
2015年第五届全国学而思综合能力测评（学而思杯）数学试卷（四年级）一．填空题Ⅰ（每题5分，共20分）1. 在下图的两个空白圆圈内填入适当的自然数，使得三角形每条边上三个数的和都相等．那么，左下角的圆圈内应填__________．512【考点】数阵图 【难度】☆ 【答案】3 【分析】略2. 三国时期曹刘大战，曹操派张辽率领精英小分队率先出发．已知张辽一行共36人，张辽自己住1个帐篷，其余人每5人住1个帐篷．那么，一共需要__________个帐篷． 【考点】应用题 【难度】☆ 【答案】8【分析】(361)518-÷+=3. 如图，已知梯形ABCD 中，10CD =，梯形ABCD 的高是4，那么阴影部分的面积是__________．【考点】等积变形、面积公式 【难度】☆ 【答案】20【分析】阴影部分面积即三角形ACD 的面积，104220⨯÷=4. 老师让班上的男生去搬资料．已知资料共有25箱，1名男生一次只能搬1箱；但如果3名男生合作，一次能搬4箱．现在要求一次全部搬完，那么至少需要__________名男生． 【考点】应用题 【难度】☆ 【答案】19 【分析】25461÷=，63119⨯+=二．填空题Ⅱ（每题6分，共24分）5. 佳佳、盛盛、东东三人去买午餐，平均每人花了20元．已知佳佳比盛盛多花了2元，盛盛比东东多花了2元．那么，佳佳花了__________元．【考点】平均数问题 【难度】☆☆ 【答案】22【分析】可以看出，三人所花钱数成等差数列，盛盛就是平均数，20222+=6. 将下面的乘法竖式数字谜补充完整，其中，两个乘数的和是__________．×31【考点】数字谜 【难度】☆☆ 【答案】104【分析】由下面的加法，得到下左图，93193331=⨯=⨯，由于必然进位，最后只能如下右图．19310⨯□□□□□□□931193931023⨯7. 学而思准备成立“滑滑社团”，要求必须至少会滑冰、滑雪中的一项，才有资格成为团员．已知有2015名符合上述要求的人前来报名，其中不会滑冰的有406人，不会滑雪的有460人．那么，其中两种运动都会的有__________人． 【考点】包含与排除 【难度】☆☆ 【答案】1149【分析】20154064601149--=8. 下图中，一共有__________个三角形．【考点】几何计数 【难度】☆☆☆ 【答案】12【分析】53412++=三．填空题Ⅲ（每题7分，共28分）9. 在下图的方格中放入棋子，一个方格中至多能放一枚棋子，并且要求任意两枚棋子不能放在相邻的两格中（有公共边的两格算作相邻）．那么，至多可以放__________枚棋子．【考点】最值问题 【难度】☆☆☆ 【答案】12【分析】12枚构造如图，左右两侧均间隔放置．若放入13枚棋子，注意到左右两侧均只能最多放入6枚，中间放1枚刚好13，但中间一枚和右侧会相邻，所以不能放入13枚或更多棋子．10. 四支足球队进行单循环比赛，即每两个队伍之间都要赛一场．每场比赛，胜者得2分，负者得0分，如果打平则两队各得1分．所有比赛结束后统计四支队伍的得分，发现每支队伍的得分都是偶数，且前两名的得分相同，后两名的得分相同．那么，这四支队伍的得分从高到低组成的四位数是__________． 【考点】体育比赛 【难度】☆☆ 【答案】4422【分析】210计分制总分固定，共有3216++=场比赛，共6212⨯=分，由于不会出现两个满分或两个零分，所以124422=+++．11. 如图，把从1开始的自然数按一定规律排列起来．如果46在这个数表的第a 行，第b 列，那么a b ⨯=__________．…第8列…第 5列第 7列第 6列第 4列第 3列第 2列第 1列第5行第4行第3行第2行第1行…………… (12111098)7654321【考点】方形数表 【难度】☆☆【答案】156【分析】464112÷=，即第12行第2个数，第12行由第12列开始写，所以46在第12行第13列，1213156⨯=．12.用1、2、3、4、8、9这六个数字各一个，组成一个六位数，如果这个六位数能够被1、2、3、4、8、9中的任意一个数字整除．那么，符合要求的六位数有__________个．【考点】整除、计数【难度】☆☆☆☆【答案】84【分析】虽然看上去限制颇多，但实际上由于数字和是12348927+++++=，无论怎么组，必然是3和9的倍数，而8是4、2、1的倍数，只需要满足被8整除即可满足全部条件（但在计数时仍需要逐步思考2、4、8的整除特征）．由2的整除特征，末位必须为偶数，即2、4、8；由4的整除特征，个位是2则十位要是奇数，即12、32、92；个位是4或8则十位要是偶数，即24、84、28、48；由8的整除特征，末两位是12、92、84、28这些不能被8整除的数时，百位是奇数，有+++=种情况；末两位是32、24、48这些能被8整除的数时，百位是偶数，有223310+=种情况；2114++=种情况，共10414末三位定好后前三位随意排布，共1432184⨯⨯⨯=种情况四．填空题Ⅳ（每题8分，共32分）13.一个十位数，满足如下三个条件：①各位数字互不相同；②首位是奇数，且相邻数位数字奇偶性不同；③每个数字（最高位和最低位除外），要么比与它相邻的两个数字都大，要么比与它相邻的两个数字都小．那么，这个十位数的后五位是__________．【考点】逻辑推理【难度】☆☆☆【答案】47698【分析】奇偶间隔，大小呈“波动型”，也就是要么奇数比相邻数大，偶数比相邻数小，要么反之．由于0一定比所有数小，所以一定是奇数比相邻数大，偶数比相邻数小．由于1只比0大，所以1只能放在边上，旁边是0，同理，剩下的数中，3只比2大，所以3只能放在0旁边，再放上2，以此类推，这个十位数只能是103254769814.如图，一个正方形，与4个等腰直角三角形，恰好拼成了一个长方形．如果正方形的面积是16，那么，长方形的面积是__________．【考点】图形分割【难度】☆☆☆【答案】192【分析】图中的三角形都是等腰直角三角形，所以放心大胆图形分割，如图，164(462)192÷⨯⨯⨯=15.五个连续的三位奇数，如果它们的数字和都是质数，那么这五个数的和是__________．【考点】特殊质数【难度】☆☆☆☆【答案】1005【分析】连续奇数差2，则后一个数的数字和要么是前一个数的数字和加2，要么是加2后再减9或减2个9（进一次位数字和少9），所以不难发现，这五个数的数字和必然有3的倍数，所以必有一个数的数字和是3，加2得到5，再加得到7，再加不能得到质数了，这说明这个数前面还有数，而前面的数数字和又不能是1，说明有进位，这个数只能是201或111，前一个数分别是199和109,199数字和是19，前一个197数字和17满足条件，所以这五个数是197、199、201、203、205，和是201的5倍，100516.如图，在一个周长是300米的环形跑道上，甲、乙、丙三人同时从A地出发，甲、乙沿顺时针方向行走，速度分别是每分钟40米和每分钟50米；丙沿逆时针方向行走，速度是每分钟60米．乙每跑100米，就要休息1分钟；甲、丙每次相遇，两人都会同时休息半分钟．那么，当甲第三次超越乙时，丙一共走了__________米．【考点】环形跑道、走走停停【难度】☆☆☆☆【答案】450【分析】300(4060)3÷=，列表÷+=，则甲丙每跑3分钟休息半分钟，100502精细计算，甲分别在乙前三次停时进行了三次超越，当甲第三次超越乙时，甲一共跑了300407.5÷=分钟（甲停丙也停），则丙一共走了7.560450⨯=米五．计算题（每题8分，共16分）17. 计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果：（1）234567222222⨯⨯⨯÷÷ （2）223713-【考点】第五种运算、平方差公式 【难度】☆☆ 【答案】2、1200【分析】（1）2345672345671222222222+++--⨯⨯⨯÷÷===（2）223713(3713)(3713)50241200-=+⨯-=⨯=，或22371313691691200-=-=18. 计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果：（1）4.35 5.30.4355743.5⨯+⨯- （2）()21323x x -+= 【考点】提取公因数、解方程 【难度】☆☆ 【答案】4.35、5x =【分析】（1）4.35 5.30.4355743.5 4.35(5.3 5.710) 4.351 4.35⨯+⨯-=⨯+-=⨯= 或4.35 5.30.4355743.523.05524.79543.5 4.35⨯+⨯-=+-= （2）()21323223235255x x x x x x -+=⇒-+=⇒=⇒=六．解答题（每题15分，共30分）19. 磁悬浮列车是一种依靠磁力来驱动的列车，由于不需要接触地面，因此速度极快．已知一列磁悬浮列车的速度是每秒120米．回答下列问题：（1）该列车完全通过轨道旁的一根电线杆只用了 2.5秒，请问：该列车车身长度是多少米？（5分）（2）该列车完全通过一条长度是420米的隧道，需要多少秒？（5分）（3）俊俊骑自行车在轨道旁匀速行驶，该列车从俊俊的后方驶来．从列车车头追上俊俊，到车尾离开俊俊，共用时3秒．请问：俊俊骑自行车速度是每秒多少米？（自行车长度忽略不计）（5分） 【考点】火车过桥 【难度】☆☆ 【答案】300、6、20【分析】（1）120 2.5300⨯=米 （2）(420300)1206+÷=秒 （3）120300320-÷=米/秒20. 定义新运算“⊗”：a b ⊗表示整数a 与整数b 的乘积去掉后两位所形成的数（请注意：当100a b ⨯<时，或者a 、b 不是整数时，a 、b 不能使用“⊗”运算）． 例如：因为1360780⨯=，所以13607⊗=．回答下列问题：（1）计算1799⊗；（3分）（2）如果m m m ⊗=，请求出整数m 的最小值；（6分） （3）如果x y x y ⊗=-，请求出x y +的最小值．（6分） 【考点】定义新运算、最值问题 【难度】☆☆☆☆ 【答案】16、100、21【分析】（1）17991683⨯=，所以179916⊗=（2）需要m m ⨯大小至少是00m ，即100m ，所以最小是100100100⊗=（3）两个数差越小，即越接近，其“新运算”的结果越小，乘积就会小，乘积小、差也小，和就必然较小．注意定义中说到乘积小于100不能运算，则差最小是1，所以尝试1x y ⊗=，即乘积是100多、差是1的两个数，那么1110110⨯=，满足条件，两数和为21由于和一定差小积大，显然和是20且不相等（差不能是0）的两个整数乘积都小于1010100⨯=，不能满足情况，当然和更小的也一定不会满足，所以x y +最小值为21。
小学思维数学讲义：容斥原理之重叠问题(一)-带答案解析
容斥原理之重叠问题（一）1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题 A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标 例题精讲知识要点 1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．两量重叠问题【例 1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。
小学思维数学讲义：盈亏问题(二)-带详解
盈亏问题（二）1. 熟练掌握盈亏问题的本质.2. 运用盈亏问题的解题方法解决一些生活实际问题．盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”． 可以得出盈亏问题的基本关系式：(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.注意：1.条件转换； 2.关系互换.利用条件关系转换解盈亏问题——转化分配单位数（接受分配的人数）【例 1】 小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本。
如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本。
问：零售价每本多少元?【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第9题【解析】 见下图，以横线表示本数，纵线表示单价，因为黄色部分面积与绿色部分面积相等，所以黄色的宽是绿色高的2倍，设批发价为x 元（图中绿色长方形的高），则有：x ×（2x ＋4）＝48，即x ×（x ＋2）＝24＝4×6＝4×（4＋2），所以，x ＝4（元），零售价为x ＋2＝6（元）【答案】6元【例 2】 春节前夕，一富翁想丐帮帮众施舍一笔钱财，一开始他准备给每人100元，结果剩下350元，他决定每人多给20元。
这时从其它地方又闻讯赶来了5个乞丐，如果他们每个人拿到的钱和其它乞丐一样多，富翁还需要再增加550元。
原有（ ）名乞丐。
【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】 如果不来这五个乞丐，富翁能剩下120555050⨯-=元。
2013年学而思年测四年级详解新
【考点】计算，解一元一次方程
【难度】☆☆☆
【答案】 x 5 ； x 13
【分析】（1）移项，合并同类项得 3x 15 ，故 x 5 ；
（2）去括号得 3x 39 4x 16 42 ，移项，合并同类项得 55 x 42 ，故 x 13 .
17. 甲、乙两车分别从相距 100 千米的 A、B 两地出发，同向而行，方向如下图所示. 甲车的速度是每小 时 60 千米，乙车的速度是每小时 55 千米. 那么，几小时后，两车相距 20 千米？
A
B
甲
乙
【考点】行程问题，追及问题 【难度】☆☆☆ 【答案】16 或 24 【分析】题中只说“相距 20 千米”，没说谁在前谁在后，故知本题有两种情况：
若甲车比乙车落后 20 千米，那么路程差为 100 20 千米，追及时间为 100 20 (60 55) 16
小时；
若甲车超过乙车 20 千米，那么路程差为 100 20 千米，追及时间为 100 20 (60 55) 24
号或 15 号或 22 号，但无论是哪一天，今天都将是周五；同时丁的第一句话也必为真（因为不存在
第一句假，第二句真的人，同时请注意：丁的第一句与乙的第二句是相同的），说明丙周六必撒
谎，说明丙是第一种人，故说明丙今天说的这两句话都是真话，所以乙说的全是假话；所以明天丙
不都说假话，这与假设相矛盾，故知假设错误；所以丁的第二句话是假话，同时今天不是周五（今
小时； 综上，答案为 16 或 24 小时.
18. 学而思期末测试中，15 名学生的得分恰好构成一个等差数列. 如果这次考试的满分是 100 分，每个 同学的得分都是整数，而且得到第 4、5、6、7、8、9 名的同学一共得了 480 分，那么得到第 1 名的 同学得了多少分？
2013年学而思杯数学试题(五年级)答案解析
【考点】几何，立体几何，表面积 【难度】☆☆ 【答案】32 【分析】 三个立方体原总表面积为 12 6 12 6 22 6 36 平方厘米， 之后放在一起时缺失了 4 个 1 1 的表面，故答案为 36 12 4 32 平方厘米； 或者可用三视图法求表面积： (5 5 6) 2 32 平方厘米.
6.
【考点】计算，定义新运算 【难度】☆ 【答案】13 【分析】按定义式， (2, 0,1,3) 2 4 0 3 1 2 3 1 13 .
7.
一项工程，由甲队单独做 10 天后，乙队加入，甲、乙两队又合作了 8 天完成；这项工程，如果 全部由乙队单独做，20 天可以完成．那么，如果全部由甲队单独做，__________天可以完成．
2
三． 9.
填空题（每题 7 分，共 28 分） 甲、乙、丙 3 人共有 2013 块巧克力，甲拿走了乙、丙各 3 块巧克力后，甲、乙、丙 3 人的巧克 力数比为 4 : 2 : 5 ，那么，甲原有 __________块巧克力． ．．
【考点】应用题，比例应用题 【难度】☆☆☆ 【答案】726 【分析】之后甲的巧克力块数易由 3 人的块数比求得，为 2013
A D N P D Q M F C M E Q N A P
2 4 4 20cm 2 . 2
B
5
16. 有一个自然数 A，它的平方有 9 个约数，老师把 9 个约数写在 9 张卡片上，发给学学三张、思思 三张． 学学说：“我手中的三个数乘积是 A3 ．” 思思说：“我手中的三个数乘积就是 A2 ，而且我知道你手中的三个数和是 625．” 那么，思思手中的三个数和是__________． 【考点】数论，约数个数定理，幻方 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】55 【分析】 A2 有 9 个约数，故由约数个数定理可逆推出：A 的质因数分解形式为 p 4 或 pq （p、q 为不相 同的质数） ； ： 若 A p 4 ，那么可把 A2 的 9 个约数写成如下的表格形式（幻方）
四年级学而思杯短期班拓展题目详解
计算详解：直接计算即可，注意列竖式别错位原式=199999998÷10001=19998详解：构造公因数 9.4=4.7×2原式=4.7×8.4+4.7×2×19+4.7×3.6=4.7×（8.4+38+3.6）=4.7×50=235详解：速算+直接计算原式=10.01+10+0.1=20.13详解：平方差公式原式=35²-1²+100²-2²=1225+10000-5 =11220详解：原式=10000000+1000000+100000+10000+1000+100-12=11111088几何解析：图形分割如右图我们发现，小的空白部分占一个小正六边形总共6份中的2份，也就是整个的1/3，那么阴影就是整个的2/3那么就是4平方厘米。
解析：图形分割如右图我们发现每一个小正三角形面积是24÷24=1利用毕克定理或者分割的方法，可以知道阴影部分的面积是2+1+2=5应用题解析：由题意，设一共有x 道题目那么根据“小强答对的题的数量等于小明与小刚答对题的数量之和”列方程x-3=(x-10)+(x-8)x=15答：这次测验有15道题解析：设女生有x人，那么根据她们认识的男生人数是个自然数列，而且认识男生最多的女生认识（50-x）个，最少的15个这个条件列方程50-x-15+1=xx=18(从15,16,17……50-x一共有x项，和女生数目应该相同)解析：设女生有x人，那么男生就是2(x-1)人（一位女同学却说，我看到的红色旅行包个数是黄色旅行包个数的2倍）那么根据另外一个条件列方程（一位男同学说，我看到红色旅行包个数是黄色旅行包个数的1.5倍）2（x-1）-1=1.5xx=6解析：设刚开始卡车数量是x辆，那么刚开始轿车数量就是3.5x那么根据后边一次的情况列方程：2.3（x+6）=3.5x-3x=1414+14×3.5=14+49=63（辆）解析：设买奶糖的重量是x千克，那买水果糖的重量就是x+4千克那么根据花了同样多的钱列方程：24x=18（x+4）x=1212+4=16（千克）答：水果糖买了16千克，奶糖买了12千克解析：设下半年平均用电是x千瓦时，那上半年平均用电就是x-100千瓦时那么根据总耗电10200千瓦时列方程：6x+6(x-100)=10200x=900答：柯南下半年平均用电是900千瓦时解析：因为前4个数的总和、后4个数总和以及全部数的总和都可以求，如果把前4个数的和加上后4个数的和发现，那么第4个数重复计算一次，得到算法：8×4+13×4-7×11=7数论解析：根据99的整除特征（右起两位一段，各段和是99的倍数）99 （AB+53+8）根据大小范围，AB 只能是38解析：末尾不定用“试除”这个数肯定是 9×17×5=765的倍数14999÷765=19 (464)14999-464=14535所以末三位是535解析：根据质数的末尾的特殊性，发现，只有n 的个位是5的时候，才能保证其他数也都是质数。
2015年学而思综合能力测评【四年级】数学试卷【解析】
2. 三国时期曹刘大战，曹操派张辽率领精英小分队率先出发．已知张辽一行共 36 人，张辽自己住 1 个帐篷，其余人每 5 人住 1 个帐篷．那么，一共需要__________个帐篷．
【考点】应用题 【难度】☆ 【答案】8 【分析】 (36 1) 5 1 8
3. 如图，已知梯形 ABCD 中， CD 10 ，梯形 ABCD 的高是 4，那么阴影部分的面积是__________．
□□ □1
□□
93 11
93
93 1 0□□
93 1023
7. 学而思准备成立“滑滑社团”，要求必须至少会滑冰、滑雪中的一项，才有资格成为团员．已知有 2015 名符合上述要求的人前来报名，其中不会滑冰的有 406 人，不会滑雪的有 460 人．那么，其 中两种运动都会的有__________人．
3~5
6~8
9~11
乙
0~100
100~200
200~300
300~400
第一次超越 第二次超越 第三次超越
精细计算，甲分别在乙前三次停时进行了三次超越，当甲第三次超越乙时，甲一共跑了 300 40 7.5 分钟（甲停丙也停），则丙一共走了 7.5 60 450 米
五．计算题（每题 8 分，共 16 分） 17. 计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果：
18. 计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果： （1） 4.355.3 0.435 57 43.5
（2） 2 x 1 3x 23
【考点】提取公因数、解方程 【难度】☆☆ 【答案】4.35、 x 5 【分析】（1） 4.35 5.3 0.435 57 43.5 4.35 (5.3 5.7 10) 4.351 4.35
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119 118 1 2 11 190 ；下证无论如何分割，A 值为 190 不变： 方法一：找规律：2 尺的木头 A 1 不变，3 尺的木头 A 3 不变，4 尺的木头 A 6 不变，5
2013 年第三届全国学而思综合能力测评（学而思杯）
数学试卷（四年级）详解
一． 填空题（每题 5 分，共 20 分） 1. 请计算：3、5、7、9、11、13 这 6 个数的平均数是__________． 【考点】计算，平均数 【难度】☆ 【答案】8 【分析】公式法： (3 5 7 9 11 13) 6 8 ；或移多补少找到平均值 8.
故丙追上乙时，丙跑了 16 圈，乙跑了 15 圈，甲跑了 18 圈 5400 米.
5
16. A、B、C、D 四个队进行循环赛，即每两个队都比赛一场，每场比赛中，胜队得 3 分，负队得 0 分，平局则各得 1 分，每个队只知道自己 3 场比赛的情况． 裁判说：你们的得分互不相同； A 说：虽然我不知道你们的得分，但我肯定是第一； B 说：那我一定是第二，而且我知道 A 得了多少分； C 说：A 说话之前我就知道我是第三． 根据以上信息，这四个队的得分从高到低组成的四位数是__________．
【考点】行程问题，相遇问题 【难度】☆☆ 【答案】220 【分析】第二次走路，两人相遇在中点，说明两人速度相同，为 20 4 24 米每分；故在第一次走路
时，甲速为 24 米每分，乙速为 20 米每分，两人 5 分钟后相遇，故全长为 (20 24) 5 220 米.
3
12. 有形状、长短都完全一样的红筷子、黑筷子、白筷子各 25 根．在黑暗中，至少应摸出__________ 根筷子，才能保证摸出的筷子至少有 8 双（每两根同色的筷子视为 1 双）．
要得到 7 分或 9 分才可断定自己是第一； 再考虑 B：若 B 为 6 分（2 胜 1 负），则 B 一定输给 A，但无法断定 ABCD 是 9630 还是 7631
（即 B 不能知道 A 的分数），故 B 不是 6 分，B 是 5 分或 4 分；下证 B 不可能是 4 分： 若 B 得 4 分（1 胜 1 平 1 负），其中若 B 与 A 平，则 B 可由 A 的话推知 A 胜了 C、D，此时
4
方法三：数形结合：如下图，分割木头方法对应分割图形面积的方法，乘积对应矩形面积， 可见无论如何分割，结果都是1 2 3 19 190 .
15. 甲、乙、丙 3 人在周长是 300 米的环形跑道上同时同地同向出发．甲第一次追上乙时，甲、乙恰 好都回到出发点，此时丙距离出发点 100 米；过了一会，甲第一次追上丙时，乙跑了 7 圈多一些．那 么，丙第一次追上乙时，甲总共跑了__________米．
【考点】行程问题，环形跑道问题 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】5400 【分析】“丙距离出发点 100 米”和“乙跑了 7 圈多一点”是本题的关键突破口；
甲要追丙 1 圈 300 米，才能第一次追上丙，“丙距离出发点 100 米”说明甲追了丙 100 米或 200 米（分别对应丙在出发点之后 100 米和丙在出发点之前 100 米），但若只追了 100 米，则甲还 要跑目前圈数的 2 倍才能追上丙，同时乙也将跑 2 倍圈数，即乙将跑整数圈，就不会出现“乙跑 了 7 圈多一点”了；这说明甲乙碰面时，甲已经领先丙 200 米；
尺的木头 A 10 不变，……，20 尺的木头 A 190 不变（可用第二数学归纳法严谨证明通项公式 为 n(n 1) 2 ，但小学阶段只要找到规律即可）；
方法二：转化问题：20 个人每轮分两组握手，每一轮握手之后，组内再分成两组，互相握手， 直至每组最后一轮握手时组内都只有 1 个人，求总握手次数；组与组之间的握手次数正是两组人 数相乘，故这个问题的结果与题目的结果相同，但这个握手问题其实就是每两人都握了一次手， 故结果是 C220 190 ，故 A 190 ；
这说明乙又跑了（甲乙碰面时）已跑的圈数的一半后，出现“乙跑了 7 圈多一点”，故“7 圈 多一点”为 7.5 圈；
故甲追上乙时，乙跑了 5 圈 1500 米，甲跑了 6 圈 1800 米，丙跑了1800 200 1600 米，故 甲、乙、丙的速度比为1800 :1500 :1600 18 :15 :16 ；
14. 阿凡提在地主家做长工．地主家有一根长为 20 尺的木头，阿凡提每次将木头锯成长度是整数尺的 两段，并计算这两段长度的乘积．最后，阿凡提将木头锯成 20 段长度是 1 尺的小段，并得到了 19 个乘积，他将这些乘积相加得到 1 个数 A，地主会给他 A 个金币做为工资．那么，A 等于 __________．
7. 如果 3m 31 33 35 37 39 ，那么 m =__________．
【考点】计算，乘方运算 【难度】☆☆ 【答案】25 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 31 33 35 37 39 313579 325 ，故 m 25 .
2. 在一个神奇的地方，有一排奇怪的雕塑，这些雕塑都是由巧克力构成的，第一个雕塑由 3 块巧克 力组成，第二个雕塑由 6 块巧克力组成，第三个雕塑由 9 块巧克力组成，以此类推，每个雕塑都 比前一个多 3 块巧克力．那么，第__________个雕塑恰好由 2013 个巧克力组成．
【考点】计算，数列 【难度】☆ 【答案】671 【分析】第 n 个雕塑由 3n 块巧克力构成，故由 2013 块巧克力构成的是第 2013 3 671 个雕塑.
4. 右图中，共有__________个三角形． 【考点】组合，几何计数 【难度】☆☆ 【答案】8 【分析】单个三角形有 4 个，由 2 个三角形组成的三角形有 3 个，由 4 个三角形组成的三角形有 1 个.
1
二． 填空题（每题 6 分，共 24 分） 5. 如右图，算式中不同的汉字代表不同的数字，已知：“级=5”，那么
180 2 90 ；下面构造一种看书方法，来证明 90 可以达到：把故事编为 1～100 号，甲读 1～70 号，乙读 71～90 号以及 1～40 号，丙读 41～90 号；这样 1～90 号故事都是恰被两人读过；
综上，答案为 90.
2
三． 填空题（每题 7 分，共 28 分）
AE
D
9. 如右图，正方形 ABCD 的边长为 12 厘米，正方形 DEFG 的边长为 8 厘米，
日历表上用“
”圈出 5 个数，并计算出它们的和，和最大是
__________．
【考点】计算，数表，日历问题
【难度】☆☆
【答案】115
【分析】十字形越靠下，圈住的数之和越大；由已知条件易得这个月的 30 日是周一，故当十字圈住
30、24、23、22、16 日时，可得到最大和，为 30 24 23 22 16 23 5 115 .
B 会考虑 ABCD 有可能是 7460 或 7406，故 B 无法断定自己是第二；若 B 输给 A，则 B 会考虑 ABCD 有可能是 7450 或 7405，故 B 无法断定自己是第二；综上，若 B 是 4 分，则无法断定自己 是第二；
故 B 得 5 分（1 胜 2 平），听到 A 的话后能断定自己第二； 再重新考虑 A：A 已经不可能是全胜战绩了，故 A 得 7 分（2 胜 Байду номын сангаас 平）； 综上，答案为 7531.
【考点】组合，抽屉原理和最不利原则 【难度】☆☆☆ 【答案】18 【分析】摸出 7 双筷子之后，又把三种颜色的筷子各摸出 1 根，此时已摸出 2 7 3 17 根筷子，但没
有摸出 8 双，这是最不利情况；之后无论摸出哪根筷子，都将摸出 8 双筷子，故答案为17 1 18 .
四． 填空题（每题 8 分，共 32 分） 13. 将 1 至 5 分别填入图中的圆圈内，使得两条线段上 3 个数的和相等．那
3. 右图中，相邻两个格点的距离为 1，那么阴影部分的面积是__________． 【考点】几何，格点与割补 【难度】☆☆ 【答案】12 【分析】可使用毕克公式直接求出： 9 8 2 1 12 ；或使用分割的方法，
阴影部分面积为： (2 2 2) 4 2 2 12 .
【分析】由平方差公式： a b a ba b b2 a2 b2 b2 a2 ，
故原式 102102 102102 102 100 10 1000 .
10个102
11. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行．如果乙每分钟行 20 米，甲、乙两人 5 分钟后 相遇；如果乙每分钟比原来快 4 米，甲、乙两人在 A、B 两地中点相遇．那么，A、B 两地相距 __________米．
8. 甲、乙、丙三人读同一本故事书，这本故事书里一共有 100 个故事，甲已经读了 70 个故事，乙已 经读了 60 个故事，丙已经读了 50 个故事，则恰好被甲乙丙 3 人中两人读过的故事最多有 __________个．
【考点】组合，构造与论证 【难度】☆☆☆ 【答案】90 【分析】三人共读了 50 60 70 180 个故事（有重复）；故被读了 2 遍的故事理论上的最大值为
“学而思”代表的三位数是__________． 【考点】数字谜 【难度】☆☆ 【答案】892 【分析】“更”= 1，故“进”= 0；十位必然向百位进位了，故“学”= 8，进而“而”= 9；此时可知
个位没有向十位进位，“思 5 步 ”只能为“ 2 5 7 ”；综上，答案为 892.
6. 4 月有 30 天．某年 4 月有 5 个星期一，5 个星期日，如图，在该月
H 是正方形 DEFG 的中心（对角线的交点），那么，阴影部分的面积是