20世纪的高考——1985年数学高考考试

20世纪的高考——1985年数学高考考试
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1985年数学高考试卷
理工农医类
一、本题公5个小题，每一个小题都给出代号为A ，B ，C ，D 四个结论，其中只有一个是正确结论。

把正确结论的代号写在题后的括号内。

（1）如果正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，那么四面体A ABD '-的体积是（ ）
A 、22a
B 、23a
C 、24a
D 、2
6
a
（2）tan 1x =是54
x π
=
的（ ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件
（3）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间(0,
)2
π
上的增函数，又是以π为周期的偶函数（ ）
A 、2
()y x x R =∈ B 、sin ()y x x R =∈ C 、cos 2()y x x R =∈ D 、sin 2()x
y e x R =∈
（4）极坐标方程sin (0)a a ρθ=>的图像是（ ）
（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数，共有（ ）
A 、96个
B 、78个
C 、72个
D 、64个
二、只要求直接写出结果 （1）求方程2sin()16
x π
+
=的解集；
（2）设1a ≤，求arccos arccos()a a +-的值；
（4）设665432
6543210(31)x a x a x a x a x a x a x a -=++++++，求6543210a a a a a a a ++++++的值；
（5）设函数()f x 的定义域是[0,1]，求函数2
()f x 的定义域 三、
（1）解方程40.2540.25log (3)log (3)log (1)log (21)x x x x -++=-++ （2）解不等式251x x +>+
四、如图，设平面AC 和BD 相交于BC ，它们所成的一个二面角为45°，P 为面AC 内一点，Q 为面BD 上一点，已知直线MQ 是直线PQ 在平面BD 内的射影，又设PQ 与平面BD 所成的角为β，CMQ θ∠=（090θ<<°°），线段PM 的长为a ，求线段PQ 的长
五、设O 为复平面的原点，1Z 和2Z 为复平面内的两个动点，并且满足：①1Z 和2Z 所丢应的复数的辐角分别为定值θ和θ-（02
π
θ<<）；②△12OZ Z 的面积为定值S ，求△12OZ Z 的重心Z 所对应的复数的模
的最小值
六、已知两点(2,2)P -，(0,2)Q 以及一条直线:l y x =，设长为2的线段AB 在直线l 上移动，如图，求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）
七、设1223(1)(1,2,)n a n n n =⋅+⋅+
++=
（1）证明不等式2
(1)(1)22
n n n n a ++<<对所有的正整数n 都成立； （2）设(1,2,)(1)n n a b n n n ==+，用极限定义证明：1
lim 2
n n b →∞=
八、设a ，b 是两个实数，{(,)|,,A x y x n y na b n ===+是整数}，2
{(,)|,315,B x y x m y m m ===+是整数}，2
2
{(,)|144}C x y x y =+≤是平面XOY 内的点集合，讨论是否存在a 和b 使得A B =∅（∅
表示空集）和(,)a b C ∈同时成立？
九、附加题，不计入总分
已知曲线3
2
6116y x x x =-+-，在它对应于[0,2]x ∈的弧段上求一点P ，使得曲线在该点的切线在y 轴上的截距最小，并求出这个最小值
答案： 一、（1）D ；（2）A ；（3）B ；（4）C ；（5）B 二、（1）{|[(1)1],}6
k x x k k Z π
π=+--∈；
（2）π；（3）(0,0)；（4）64；（5）[1,1]-； 三、（1）0x =；（2）5
{|2}2
x x -≤< 四、
2
sin sin 1sin a θβθ
+
五、
2
cot 3
S θ 六、2
2
2280x y x y -+-+= 七、（1）证明略；（2）证明略 八、不存在 九、6
文史类
一、本题公5个小题，每一个小题都给出代号为A ，B ，C ，D 四个结论，其中只有一个是正确结论。

把正确结论的代号写在题后的括号内。

（1）如果正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，那么四面体A ABD '-的体积是（ ）
A 、22a
B 、23a
C 、24a
D 、2
6
a
（2）tan 1x =是54
x π
=
的（ ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件
（3）设集合{0,1,2,4,5,7}X =，{1,3,6,8,9}Y =，{3,7,8}Z =，则集合()X Y Z 是（ ）
A 、{0,1,2,6,8}
B 、{3,7,8}
C 、{1,3,7,8}
D 、{1,3,6,7,8}
（4）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间(0,
)2
π
上的增函数，又是以π为周期的偶函数（ ）
A 、2
()y x x R =∈ B 、sin ()y x x R =∈ C 、cos 2()y x x R =∈ D 、sin 2()x
y e x R =∈
（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数，共有（ ）
A 、96个
B 、78个
C 、72个
D 、64个
二、只要求直接写出结果
（1）求函数2
41
x y x -=-的定义域；
（2）求圆锥曲线22
36210x y x y -++-=的离心率；
（3）求函数2
42y x x =-+-在区间[0,3]上的最大值和最小值；
（4）设665432
6543210(31)x a x a x a x a x a x a x a -=++++++，求6543210a a a a a a a ++++++的值；
（5）设i 是虚数单位，求6
(1)i +的值；
三、设211S =，2222121S =++ ，22222312321S =++++，…，222
221233n S n =+++
+++
2
2
21++，用数学归纳法证明：公式2(21)
3
n n n S +=
对所有正整数n 都成立
四、证明三角恒等式42
4232sin sin 25cos cos3cos 2(1cos )4
x x x x x x ++-=+ 五、
（1）解方程lg(3)lg(3)lg(1)log(21)x x x x --+=--+ （2）解不等式251x x +>+
六、设三棱锥V ABC -的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h ，求这个三棱锥底面内切圆半径
七、已知一个圆2
2
:412390C x y x y ++-+=和一条直线:3450l x y -+=，求圆C 关于直线l 对称的圆的方程
八、设首项为1，公比为(0)q q >的等比数列前n 项之和为n S ，又设1
n
n n S T S +=，1,2,n =，求lim n n T →∞
答案： 一、（1）D ；（2）A ；（3）C ；（4）B ；（5）B
二、（1）{|21}{|12}x x x x -≤<<≤（2）2；（3）最大值是2，最小值是2-；（4）64；（5）8i - 三、证明略 四、证明略
五、（1）0x =；（2）5
{|2}2
x x -≤< 六、cot h β
七、2
2
84190x y x y +-++=
八、1(01)lim 1(1)n n q T q q
→∞<≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩。