高数教案_函数连续性8

课 题: 函数连续性 目的要求：

掌握函数连续的充要条件及应用 初步掌握间断点的分类及示例 掌握闭区间上连续函数的性质及应用 会利用函数连续性求极限 教学重点：

掌握函数连续的充要条件及应用 教学难点：

掌握函数连续的充要条件及应用 教学课时：2

教学方法： 讲练结合 教学内容与步骤： 函数的连续性

从图上可看出, ϕ(x )在x 0间断. 但 f (x )在x 0连续. ϕ(x )在x 0的极限不存在, 而

00lim ()().x x f x f x →=

定义1. 设f (x )在x 0的某邻域U(x 0)内有定义. 且0

0lim ()().x x f x f x →=则称f (x )在x 0连续, x 0称为f (x )的连续点. 否则称f (x )在x 0间断, x 0称为f (x )的间断点, 或称为不连续点.

因为：0

0lim cos cos x x x x →=：余弦函数在任何点x 0处连续

连续的δ-ε 语言描述：若对∀ε >0, ∃δ>0,使得当|x -x 0|<δ时, 对应的函数值f (x )满足| f (x ) - f

(x 0) |<ε，则称f (x )在x 0处连续.

注: 与极限定义比较, 将"a "换成" f (x 0)"

证：00lim ()lim 0x x f x x ++→→==因，00lim ()lim()0x x f x x --→→=-=，00

lim ()lim ||0x x f x x →→==故 又因为f (0)=0.从而：0

lim ()(0)x f x f →= ()||0f x x x ==故在处连续

定义：设f (x )在x 0的某右邻域0()U x +(某左邻域0()U x -

)内有定义, 若0

0lim ()()x x f x f x +→=,则称函数在 0x 处右连续, 若0

0lim ()()x x f x f x -→=,则称函数在 0x 处左连续. 定理1. f (x )在x 0处连续⇔ f (x )在x 0左连续且右连续.

上例证明：00lim ()lim 0x x f x x ++→→==因=f(0)，00

lim ()lim()0x x f x x --→→=-==f(0), ()||0f x x x ==故在处连续

注：判断x 0处连续的步骤：1，x 0处是否有定义，2，左右极限是否存在，3，左右极限是

否相等，4，极限值是否等于函数值. 到某一步不成立时，不执行下一步骤。

()f x 在区间内连续：

如果()f x 在区间(,)a b 内每一点都是连续的，就称()f x 在区间(,)a b 内连续，记作 f (x )∈C (a , b ).若()f x 在(,)a b 内连续，在x a =处右连续，在x b =处左连续，

则称()f x 在[,]a b 上连续，记作 f (x )∈C [a , b ]. 连续函数的图形是一条连续不断的曲线．

f (x )在x 0处连续的增量描述：

函数的增量 设函数()y f x =在点 0x 的某邻域上有定义，当自变量 x 由 0x 变到0x x

+∆时，函数 y 相应由0()f x 变到0()f x x +∆，函数相应的增量为00()()y f x x f x ∆=+∆-.

其几何意义如右图所示．

定义1 设函数()y f x =在点 0x 的某邻域内有定义，如果自变量的增量0x x x ∆=-趋于

零时，对应的函数增量也趋于零，即 ：[]0000

lim lim ()()0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-= 则称函数()f x 在点0x 是连续的．

定义 (间断点的分类) 设 0x 为()f x 的一个间断点，如果当0x x →时， ()f x 的左、右

极限都存在，则称0x 为()f x 的第一类间断点；否则，称 0x 为()f x 的第二类间断点． 对

第一类间断点还有

(1)当0lim ()x x f x -→与0

lim ()x x f x +→均存在，但不相等时，称 0x 为()f x 的跳跃间断点； (2)当0

lim ()x x f x →存在，但不等于()f x 在 0x 处的函数值时，称0x 为()f x 的可去间断点． 若0

lim ()x x f x →=∞，则称 0x 为()f x 的无穷间断点，无穷间断点属第二类间断点． 例 设()21,1,1x x f x x x ≤⎧=⎨+>⎩

，，讨论()f x 在1x =处的连续性．如果是断点指出是哪一类。 解 因为 2

11lim ()lim 1x x f x x --→→== , 11lim ()lim(1)2x x f x x ++→→=+=, 即1

lim ()x f x →不存在．所以1x =是第一类间断点，且为跳跃间断点．（如下左图）

.

练习 设()4

,01,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

，， 讨论()f x 在0x =处的连续性．如果是断点指出是哪一类 解：因为4

00lim ()lim 0x x x f x x →→==；(0)1f =即0

lim ()(0)x f x f →≠． 所以0x =是()f x 的第一类间断点，且为可去间断点．（如上右图）.

例 3 21()(1)f x x =

-在1x =处没有定义，且211lim (1)

x x →=∞-，则称1x =为()f x 的无穷间断点． 连续函数的基本性质：

定理. 若f (x ), g (x )在点 x 0处连续, 则：(1) af (x )+bg (x )在x 0处连续, 其中a , b 为常数. (2) f

(x ) ·g (x )在x 0连续 (3) 当 g (x 0)≠0时,0()()

f x x

g x 在 连续 定理 设若y =f [ϕ(x )]由 y =f (u ), u =ϕ(x )复合而成. 若u =ϕ(x )在x 0连续, u 0=ϕ(x 0), 而y =f (u )在

u 0连续, 则复合函数y =f [ϕ(x )]在x 0连续.

推论. 若lim[ϕ(x )] =A . 且 y =f (u )在 u =A 连续, 则： lim f [ϕ(x )] = f [lim ϕ(x )] 练习：1limsin 1x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭求

解： 1limsin 1x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1sin lim 1x x x →∞⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

sin .e = 练习： 求极限0ln(1)lim x x x

→+． 解 故100ln(1)lim lim ln(1)x x x x x x

→→+=+10ln[lim(1)]ln e 1x x x →=+==． 练习（难）

：求lim )x x →+∞

arccos[lim )]x x →+∞=

arccos lim x ⎛

⎫= ⎝

1πarccos lim arccos 23x ⎡⎤⎢⎥⎢===⎢⎢⎣

定理 若y =f (x )在区间I 上严格单调增加(减少)且连续, 则其反函数x =f

–1(y )在相应区间上严格单调增加(减少) 且连续。

初等函数及幂指函数的连续性

定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的

求初等函数的连续区间就是求其定义区间．关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑

每一段函数的连续性外 ，还必须讨论分界点处的连续性．

补充：称形如y =[f (x )]g(x )的函数为幂指函数, 其中f (x )>0.

根据对数恒等式 y =e ln y , y >0, 有[f (x )]gx = e g (x ) ·ln f (x ),

因此, 当f (x ), g (x )均连续时, [f