弹性力学-第三章 应变分析
弹性力学_第三章_应变状态分析
第三章应变状态分析知识点位移与变形正应变纯变形位移与刚性转动位移应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组体积应变变形协调方程变形协调方程证明变形与应变分量切应变几何方程与应变张量位移增量的分解应变张量应变状态特征方程变形协调的物理意义变形协调方程的数学意义多连域的变形协调一、内容介绍本章讨论弹性体的变形,物体的变形是通过应变分量确定的。
因此,首先确定位移与应变分量的基本关系-几何方程。
由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的,因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系,才能完全确定一点的变形。
对于一点的应变分量,在不同坐标系中是不同的。
因此,应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。
这个关系就是应变分量的转轴公式;根据转轴公式,可以确定一点的主应变和应变主轴等。
当然,由于应变分量满足二阶张量变化规律,因此具体求解可以参考应力状态分析。
应该注意的问题是变形协调条件,就是位移的单值连续性质。
假如位移函数不是基本未知量,由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的,因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。
这在数学上,就是应变分量必须满足变形协调方程。
在弹性体的位移边界,则必须满足位移边界条件。
二、重点1、应变状态的定义:正应变与切应变;应变分量与应变张量;2、几何方程与刚体转动;3、应变状态分析和应变分量转轴公式;4、应变状态特征方程和应变不变量;主应变与应变主轴;5、变形协调方程与位移边界条件。
§3.1 位移分量与应变分量几何方程学习思路:由于载荷的作用或者温度的变化,物体内各点在空间的位臵将发生变化,就是产生位移。
这一移动过程,弹性体将同时发生两种可能的变化:刚体位移和变形位移。
变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。
弹性体的变形通过微分六面体单元描述,微分单元体的变形分为两个部分,一是微分单元体棱边的伸长和缩短;二是棱边之间夹角的变化,分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
由于是小变形问题,单元变形可以投影于坐标平面分析。
岩土弹塑性力学教学课件(共13章)第3章_应变状态
§3.1 应变状态11
• 三个刚性转动分量及6个应变分量合在一起,才全 面反映了物体变形
xyz x y z xy yz zx
B
B’’ 刚性转动
B’’’
B’
变形
A 刚性平动 A`
§3.1 应变状态12
• 工程应变: ln l0
l0
变形后长度 原始长度
不适用于大变形
• 自然应变/对数应变:
在塑性变形较大时,用-曲线不能真正代表加载和变形的状态。
x y z
• ——弹性体一点的体积改变量
• 引入体积应变有助于简化公式。
• 大于零表示体积膨胀,小于零体积压缩。
• 注意:土力学中塑性体应变符号约定相反。
§3.2 主应变与应变主方向8
应变Lode参数: 为表征偏量应变张量的形式,引入应变Lode参数:
22 3 1 3
1
(1.66)
如果两种应变状态με 相等,表明它们所对应的应变莫尔圆 相似,也即偏应变张量的形式相同。
Vz y
;
zx
Vz x
Vx z
;
§3.3 应变率张量 2
小变形情况下,应变速率分量与应变分量间存在如下关系:
x
Vx x
du x dt
d dt
u x
x
u x
y
Vy y
dv y dt
d v
dt
y
y
v y
z
Vz z
z
dw dt
d w dt z
z
w z
线应变速率
j
Vj,i )
(1.56)
§3.3 主应变与应变主方向 4
由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响,因
弹性力学_第三章应变.ppt
v
B"
B
u u dx x
线素AB的转角为: BB tg AB
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后,还将发生变形。物体的 变形状态,一般有两种方式来描述: 1、给出各点的位移;2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移,用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正,沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下,弹性体受力以后,各点 的位移并不是定值,而是坐标的函数。
变形的度量——应变
一个物体受作用力后,其内部质点不仅要发生相对位置的改 变(产生了位移),而且要产生形状的变化(产生了变形)。 物体的变形程度用应变来度量,物体在某一时刻的形态与早先 的形态(一般指初始状态或未变形的状态)之间的差别就是物 体在该时刻的应变。物体变形时,其体内各质点在各方向上都 会有应变。
AB、AD的正应变 x 、 y :
C'
D" D '
D C
dy
u
A
A'
B'
v v dx x
v
B"
B
u u dx x
dx 0 图 2-5
x
线素AB的正应变为: u (u dx)u u x x dx x 同理,AD的正应变为: v (v dy) v v y y dy y
§3-1 变形与应变概念
刚体位移:物体内部各点位置变化,但仍保持初始状态相对 位置不变(即其体内任意两点之间距保持不变)。
弹性力学课件第三章应变理论
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法,通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分,建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中,有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观,易于编程实现,特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义,特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中,应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应, 可以评估流体的流动特性和机械性能,为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难,需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时,难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论,以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论,对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法,如有限元法,对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
弹性力学_第三章 应变
§3-1 变形与应变概念
z A R u r A'
y x
u(x、y、z) = rx Rx v(x、y、z) = ry Ry w(x、y、z) = rz Rz
由于外部因素作 用(荷载或温度改 变等)引起物体内 部各质点位置的改 变称位移。 物体内任意一点 的位移,用它在x、 y、z三个坐标轴上 的投影u、v、w来 表示。以沿坐标轴 正方向的为正。
x
A dx 0
图 2-5
v u xy x y
应变分量与位移分量的关系
以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况
u x x
v y y
v u xy x y
同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况,可得:
变形的度量——应变
外力作用下,物体各点发生位移,但是某点位移的大 小并不能确定该处应力的大小,它与物体的整体约束有关。
应变反映局部各点相对位置的变化,与应力直接相关,变
形体力学中弹性力学对这种关系作了最为简化的假设,在 各向同性线弹性的条件下,弹性常数只有两个。 1、正应变 2、切应变
x
xy
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面,方向余弦(l1=l,l2=m,l3=n) 斜平面上应变向量qN的三个分量: qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系,称 为几何方程,也称为 柯西(Cauchy)关系。
第三章:弹性力学-应变分析
o
x
2 2
略去高阶项
s s 2( sxsx s ys y )
根据
s s 2( sxsx s ys y )
2
2
s x
s y
u u sx sy x y
v v sx s y x y
sxsx sysy 0
u v u v sx x sx y s y sy x sx y s y 0
u 2 u v v 2 sx sx s y s y 0 x y y x
由于 sx 、sy 的任意性,
u v 0 x y
u v 0 y x
同理,当在oyz和oxz平面讨论时,可得
u w w v w 0 0 z x y z z
' 0
另外,由
s sx sx s sy sy
' x
' y
可知,矢量s’相对s的变化量为
sx = s sx
' x
' ' ( x ' x ) ( x x ) ( x ' x ) ( x = = 0 0 0 x0 )
' ' y0 ) s y = s 'y s y = ( y' y0 ) ( y y0 ) = ( y' y) ( y0
对应于刚体转动的相对位 移张量,必为反对称张量。 任何一个二阶张量都可以唯 一分解成一个对称张量和一 个反对称张量 纯变形
ui , j u j ,i
反对称部分
ui, j
1 1 (u i , j u j , i ) (u i , j u j , i ) 2 2
弹性力学_3-应变分析
相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况, 相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况,既包含 了因刚体位移产生的相对位移, 了因刚体位移产生的相对位移,又包含了因变形位移产生的 相对位移; 相对位移; 相对位移张量一般为非对称张量。 相对位移张量一般为非对称张量。
二. 转动张量
设 PA = ds , PA1 = ds1 1 若为刚体位移, 若为刚体位移,则 ds = ds1
z A
r u′ r u
A1
(ds)2 = (dx1)2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 = dxi dxi (ds1)2 = (dxi +δui )(dxi +δui ) ≈ dxi dxi + 2δuidxi
∴ δui dxi = 0 ⇒ dxui, j dxj = 0 i
展开
x O
P
P1 y
1. 体积应变 由正交三线元可构成一微元体, 由正交三线元可构成一微元体, 考察变形前后微元体体积的变化。 考察变形前后微元体体积的变化。 变形前微元体体积 变形后微元体边长
x P z
t dz
dy s
r
O
dx
y
1 1 ∂w ∂v ε23 = ε32 = γ yz = + 2 2 ∂y ∂z
∂w ε33 = εz = ∂z
应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同, 应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同, 工程切应变是角应变分量的2 但工程切应变是角应变分量的2倍,故一点应变状态可 由应变张量描述 几何方程可表示为
∂u3 ∂u1 ∂u2 dx1dx1 + dx2dx2 + dx3dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂u3 ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 +( + )dx1dx2 + ( + )dx2dx3 + ( + )dx3dx1 = 0 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3
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第五章
线性弹性本构关系
不考虑热效应,克定律。 1、应变能密度和本构关系: ★格林公式 ij
W ,其中 W 是应变能,指外力在准静态过程中所做的功全部转化为由 ij
于变形而储存在弹性体内的能量。 2、广义胡克定律: ij Eijkl kl ,其中 Eijkl 为一个四阶张量,称为弹性系数或弹性模量张量。 4、各向同性弹性体:材料沿所有方向的弹性性质都是相同的,在数学上,即应力应变关系 的分量形式与坐标系无关。 令 C12 , C11 C12 / 2 ,称为 Lame(拉梅)系数
第八章 平面问题的极坐标解答
ui ui , 在S(位移边界)上 u
3、叠加原理:基本方程和边界条件都是线性的,叠加原理成立。对于大变形问题、材料非 线性问题和边界条件非线性的小变形问题,叠加原理不成立。 4、解的存在性和唯一性:逆解法和半逆解法。 5、★位移解法:以位移作为基本未知函数,在基本方程中消去应变张量和应力张量,可导 出仅用位移表示的方程组。 ,i 2ui fi 0 Lame Navier方程:
u v 1 u v , y , xy x y 2 y x
1 x x 1 y E1 1 物理方程: y y 1 x E1 1 1 xy xy E1
4
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1150899 陈力畅
第七章 平面问题的直角坐标解答
1、平面应变问题: u u x, y ,v v x, y ,w 0 等截面柱形物体;柱体所受的体积力和侧面所受的面力都平行于 Oxy 平面,且它们的分 布沿 z 方向不变。 几何方程: x
第六章
西南交通大学杨帆XXXSB弹性力学第三章
平面应力问题的几何方程和位移
空间几何方程
w u w v w zx 0 zy 0 z ( x, y ) x z y z z u v v u x ( x, y ) y ( x, y ) xy ( x, y ) x y x y
平面应力问题的应力
板面的力学边界条件
t z : 2
Tx 0 Ty 0 Tz 0
zx 0 zy 0 z 0
因为板很薄,假设:板面的零应力在板内部也为零,非零 应力沿板厚不变化 t t zx zy z 0
2 z 2 :
x x ( x, y ), y y ( x, y ), xy xy ( x, y )
x
w 0 x w u zx 0 x z w v yz 0 y z
z
独立位移和应变 u ( x, y ), v( x, y ), x ( x, y ), y ( x, y ), xy ( x, y ) 独立几何方程
平面应变问题的物理方程和应力
2
1 2 独立物理方程 x E
xy 2(1 ) xy xy E
平面应变问题的平衡方程
x ( x, y ) yx ( x, y ) zx 2 u ( x, y ) Fx x y z t 2 xy ( x, y ) y ( x, y ) zy 2 v ( x, y ) Fy x y z t 2 xz yz z ( x, y ) 2w Fz 2 x y z t
平面应变问题的位移、应变和几何方程
所有横截面都是对称平面 对称面的法向位移为零 w 0
弹性力学第3章—应变
Siui, j S j = 0
S是任意线段,因此上式成立的条件是S各分量的系数为零,即
ui , j + u j ,i = 0
因此刚体位移所对应的相对位移张量是反对称张量,反之亦成立
3.1 变形与应变的概念
应变张量的物理意义:
1.拉压应变(线应变)
应变张量反映了物体的变形,因此变形导致的线段矢量 变化量为
3.3 主应变、应变偏量及其不变量
主应变与主方向:
3 2 ′ε n ′ε n − I 3 ′ =0 εn − I1 − I2
上述方程的三个实根即为主应变 ε1 , ε 2 , ε 3 ,进一步可以求 得主方向,以及剪应变的三个极值。
γ 1 = ± (ε 2 − ε 3 )
γ 2 = ± (ε1 − ε 3 )
1 1 ui , j = ( ui , j + u j ,i ) + ( ui , j − u j ,i ) 2 2
即
ui , j = ε ij + ωij
对称部分称为应变张量,反映物体的变形
1 ε ij = ( ui , j + u j ,i ) 2 反对称部分称为转动张量,反映物体的刚体位移
1 ωij = ( ui , j − u j ,i ) 2
3.1 变形与应变的概念
微线段的刚体位移:
刚体位移时,矢量在位移前后的长度(模)相等
S′ =
(Si + δSi )(Si + δSi ) =
δSi = ui , j S j
Si Si = S
化简并略去高阶小量后得到 2SiδSi = 0 联合右式 得到 展开后,即为
2 2 2 2 2 2 2 u1,1S12 + u2,2 S2 + u3,3S3 + ( u1,2 + u2,1 ) S12 S2 + ( u2,3 + u3,2 ) S2 S3 + ( u3,1 + u1,3 ) S3 S1 = 0
第三章-各向异性弹性力学基础
6个独立等式:
2 x 2 y 2 xy
y 2 x2 xy
2 y 2 z 2 yz
z2 y2 yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
( zx xy yz ) 2 2 x
x y z x yz
( xy yz zx ) 2 2 y
y z x y zx
( yz zx xy ) 2 2 z
2(1 23 )
故只有5个独立常数:
E1, E2 , 21(或 12), G12 , G(23 或 23)
即:
S11 S12 S12 0 0 0
S21 S 22 S 23
0
0
0
S021
S 23 0
S 22 0
0 S 44
0 0
0
0
0
0
0
0
S 66
0
0 0 0 0 0 S66
由工程应变形式的展开式为:
1轴沿纤维方向,并有 ij ji ,而是
ij ji 即 ij 没有对称性。
E j Ei
Sij 可展开为:
四、横观同性(5个弹性常数)
纤维在横截面内随机排列的,宏观而言, 其在横向的所有方向的弹性性能相同,则称为 横向同性。由于横向同性,则在2-3平面内应为 各向同性,则有
G23
E2
1 S13 3; 2 S23 3; 3 S33 3;
4 23 0 5 31 0 6 12 S36 3
此公式说明:当沿弹性主轴拉伸时,除纵向伸 长、横向收缩外,还会引起与主轴垂直的面内 剪应变,且弹性主轴方向不变。
三、正交各向异性(9个弹性常数)
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。(有三个互相正交的弹性对称面) 取 x1, x2 , x3 为三个正交弹性主轴,如图所示:
《弹塑性力学》第三章 应变分析
ij的分量必须满足的方程称为变形协调方程
或相容方程。
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22
§3-5 变形协调条件(相容条件)
变形协调方程共有六个,可由几何方程直 接导出。即:
2x22112x12222x221x21
11
u1 x1
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33
问题?
P x1
x2
23
5
§3-2 应变张量和转动张量
应变张量和转动张量是描述一点变形 和刚体转动的两个非常重要的物理量,本 节将讨论一下它们与位移之间关系,在讨 论之前,先介绍一下相对位移矢量和张量.
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6
§3-2 应变张量和转动张量
2.1 相对位移矢量和相对位移张量
PQ 平 移P'Q'' 伸 长 + P 转 'Q 动 '
djxejdr——(b)
将(b)式代入(a)式,得
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§3-2 应变张量和转动张量
duui,jeiejdr
根据商法则 duUdr
令
U u i,je iej U ie jiej
为一个二阶张量——相对位移张量
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§3-2 应变张量和转动张量
2.2 应变张量和转动张量
相对位移张量 ui,j 包含了变形和刚体转动, 为了将两者分开,对 ui,j 进行整理,张量分成 对称和反对称张量之和。
U ij u i,j1 2 (u i,j u j,i) 1 2 (u i,j u j,i)
或 Uijui,j ijij
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弹性力学第三章:应变分析
y
x
正应变
微元体棱边的相对伸长度
棱边夹角之间的变化
x y z
剪应变
z
将平行六面体 分别投影到3 个坐标面上
M A o m x a
B
y
b
z
M点在Ox轴的位移分量为
u ( x, y, z )
M点在Oy轴的位移分量为 M A o
v ( x, y , z )
B y A点和B点相应的位移分别为
u ( x dx, y, z )
2 2 z ' xl32 y m3 z n3 xyl3m3 yz m3n3 zxn3l3 3 T 3
x ' y ' 2 xl1l2 2 y m1m2 2 z n1n2 xy (l1m2 m1l2 )
dy u m’
a’ a
u x
同理
v m
o
dx
x
v y y
w z z
u
u dy y
y b
b’’
1 tan 1
v v dx v x u dx dx x
u u dx x
b’
2
dy u m’
a’’ m
o
a’
a dx
x
顺次轮换 x, y, z 和
u , v, w
可得其他两个切应变分量
yz
w v y z
xz
u w z x
当 xy , yz , zx 大于零, 表示角度缩小, 反之则表示角度扩大 综上所述。可以得到以下6个关系式
u w v x , yz x y z v u w y , zx y z x w w u z , xy z x y
弹性力学徐芝纶第三章详解
在数学上,x',y',z' 必为x,y,
z的单值连续函数
y
x
位移函数具有三阶连续导数
二、应变
对于微分单元体的变形,将分 为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变 二是棱边之间夹角的变化 (剪)切应变
符号规定: 伸长为正,缩短为负 直角变小为正,直角变大为负
正应力 剪应力
正应变 剪应变
v x
u y
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
上式为剪应变的几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
这六式为几何方程(柯西方程)
四、转角方程
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
3-3 一点应变状态、应变张量
一、应变张量
与应力张量相同,应变张量也是二阶对称张量
则,a点的位移为:
u u dx x
v v dx x
b点的位移为:
u u dy y
v v dy y
x
M
' a' 'Ma Ma
(dx
u dx) x
dx
dx
u x
(dy v dy) dy
y
M 'b''Mb Mb
y dy
v y
同理:
x
u x
y
v y
z
w z
第三章 杆件横截面上的应力应变分析
第三章杆件横截面上的应力应变分析利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量,但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果,仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。
如用同一种材料制成粗细不同的两根杆,在相同的拉力作用下,两杆的轴力是相同的,当拉力增大时,细杆必定先被拉断。
这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关,还与横截面面积有关,因此还必须引入内力集度的概,即应力的概念。
本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律,导出了应力计算公式,为后面对杆件进行强度计算打下了基础。
第一节应力、应变及其相互关系一、正应力、剪应力观察图3-1a所示受力杆件,在截面上围绕K点取微小面积,其上作用有微内力,于是在上内力的平均集度为:(3-1)亦称为面积上的平均应力。
一般来说截面上的内力并不均匀分布,因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。
当ΔA趋向于零时,的大小方向都将逐渐趋于某一极限。
(3-2)式中,p称为K点的应力,它反映内力系在K点的强弱程度。
p是一个矢量,一般说既不与截面垂直,也不与截面相切。
通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量(图3-1b)。
称为正应力,称为切应力。
在国际单位制中,应力的单位是牛顿/米2(N/M2),称为帕斯卡,简称帕(Pa)。
由于这个单位太小,通常使用兆帕(MPa),1MPa = 106Pa。
二、正应变、切应变杆件在外力作用下,其尺寸或几何形状将发生变化。
若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体(当六面体的边长趋于无限小时称为单元体),六面体的棱边边长分别为Δx 、Δy 、Δz (图3-2 )。
把该六面体投影到xy平面(图3-2b)。
变形后,六面体的边长和棱边夹角都将发生变化(图3-2c)。
变形前长为Δx的线段MN,变形后长度为Δx+Δs。
相对变形(3-3)表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短,称为平均应变。
当Δx趋向于零,即点N趋向于M点时,其极限为(3-4)式中,ε称为M点沿x方向的线应变或正应变,ε为无量纲量。
弹性力学 (3)
之比相当小的平板,其定义范围一般为
此定义为薄板。 对于圆形薄板,其定义范围是指板的厚度与其直径D之比在上述 范围之内,即
作用在板上的载荷,总可以分解为两种作用形式,一种是平行于 中面的载荷、另一种是垂直于中面的载荷。对于平行于中面的载
荷,可以认为沿壁厚均匀分布,因而引起的应力、应变和位移, 可按平面应力问题处理;对于垂直中面的载荷(又称横向载荷), 将使薄板发生弯曲,它所引起的应力、应变和位移,可按薄板弯 曲问题进行计算。
第二节
圆板轴对称问题
圆板的几何形状、载荷和支承条件均对称于圆板中心轴,圆 板的内力和变形也是轴对称的,这类问题为圆板的轴对称问题。
由于轴对称性,圆板中的内力、变形、位移分量均为r的函 数,与 无关。
一、圆板轴对称弯曲的基本方程
由于轴对称,在微元体各截面上只有弯矩 M r , M 和剪力Qr 作用,且与 无关,仅是坐标 r 的函数。 1.平衡方程
薄板理论主要研究薄板在横向载荷作用下的应力、应变和位
移问题。在横向载荷作用下,平板内产生的内力分为薄膜力和弯 曲力,薄膜力使平板中面尺寸改变,弯曲力使平面产生双向弯曲 变形。薄板弯曲变形后,中面由平板变为曲面,称为薄板的弹性 曲面,而中面内各点在垂直于中面方向的位移 w ,称为挠度。如 果挠度w 远小于板厚S,可以认为弹性曲面内任意线段长度无变
(3-23)
将式(3-21)代入式(3-4),得周边简支实心圆板在任意半径 r处的应力表达式
(3-24)
在板中心 r 0 处
在板边缘 r R 处
可见,最大弯矩及相应的最大应力发生在板中心处,即
(3-25) (3-26)
由上分析可见,受轴对称均布载荷的圆平板有如下的应力和 变形特点: ①板内为二向应力状态,且沿板厚呈线性分布,均为弯曲应 力;应力沿半径方向的分布与周边支承方式有关;板内最大弯 2 R S 曲应力 max 与 成正比。 ②两种支承板,最大挠度均在板中心处,若取 0.3 ,周边 简支板的最大挠度约为固支板的4倍。 ③周边固支圆平板的最大应力为板边缘表面处的径向弯曲应 力;周边简支圆平板的最大应力为板中心表面处的两向弯曲应 力。周边简支板的最大弯曲应力约为因支板的1.65倍。 由此可见,周边固支板无论从强度还是从刚度,均比周边 简支板为好。
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(3.9)
α xy
% dr2
% dr1
dr2
α yx
dr1
x
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
由式(3.12)得 由式(3.12)得dr1和dr2间直角的减小量为 (3.12)
∆ϕ = 22ε ij nm j j = 2ε 12 = 2ε xy ∆ϕ = ε ij ni i m
上式表示剪应变是角度变化的一半 图中: 图中:
% dr 2 = dr 2 + 2dr ⋅ G ⋅ dr = (1 + 2n ⋅ G ⋅ n)dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
只讨论小变形问题,忽略高阶项 只讨论小变形问题 忽略高阶项 式(3.6) 为 其中
∇u ⋅ u∇
(3.7)
% dr 2 = (1 + 2n ⋅ ε ⋅ n)dr 2
ε x 1 γ ε ij = 2 yx 1 γ zx 2
εy
1 γ zy 2
对称张量 张量的剪切应变分量 ≠ 实际的剪切应变
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变与位移的关系(几何方程) 点的位移是u(x+dx,y)、 应变与位移的关系(几何方程) A点的位移是 点的位移是 , 、 v(x+dx,y), , ,
分别为Y 分别为Y和Z方向的正应变 如图, 如图, 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0 设m为y轴向的单位基矢量即m=e2 轴向的单位基矢量即m=e O m1 = 0, m2 = 1, m3 = 0
y
ε nn = εijni⋅ ε ⋅ n11 =ε ijxni n j ε = n nj = ε = ε
u是定义在V中的一个矢量场,即位移场.由连续性假定 是定义在V中的一个矢量场,即位移场.
~ ( x, y, z ), u ( x, y, z ) xi 必须是单值连续函数 i
假定u 有连续的三阶偏导数, 假定ui有连续的三阶偏导数,由小变形假定 u i , j << 1 故有
% % % ∂( x, y, z ) J= = ∂( x, y, y) 1 + ∂u ∂x
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
= dr ⋅ dr + 2dr ⋅ ( u∇ ) ⋅ dr + ( u∇ ⋅ dr ) ⋅ ( u∇ ⋅ dr )
= dr 2 + dr ⋅ (u∇ + ∇u) ⋅ dr + dr ⋅ (∇u ⋅ u∇) ⋅ dr (a) 关系式 dr ⋅ u∇ ⋅ dr = dr ⋅ ∇u ⋅ dr
将上式代入(C) 将上式代入(C)
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
% (1 + ε1 )(1 + ε 2 ) cos ϕ = cos ϕ + 2n ⋅ G ⋅ m
~ 利用小变形,并记 ∆ϕ = ϕ − ϕ 利用小变形,
(3.10)
及下式
% cos ϕ = cos(ϕ − ∆ϕ ) = cos ϕ cos ∆ϕ + sin ϕ sin ∆ϕ ≈ ∆ϕ sin ϕ + cos ϕ
(3.12)
∂u ∂v α xy = , α yx = ∂y ∂x ∂u ∂v ∆ϕ = α xy + α yx = + = 2ε xy ∂y ∂x 同理, 同理, ε 23 , ε 31 表示剪应变是角度变化的一半 ∂u ∂v ∆ϕ = α xy + α yx = + = 2ε xy = γ xy (3.14) ∂y ∂x 1 1 1 ε xy = γ xy , ε yz = γ yz , ε zx = γ zx γ xy , γ yz , γ zx 工程剪应变 2 2 2
弹性力学 主讲 邹祖军
第三章 应变分析
第二章 应变分析
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 §3-7 §3-8 §3-9 位移场 变形状态和应变张量 应变张量的进一步解释 微元体的刚体转动 主应变 体积应变 微小球体的变形 应变协调方程 球应变张量和偏应变张量
第三章 应变分析 §3-1
几何方程
(3.12)
ε 张量包含了变形的全部信息,称为Cauchy应变张量 张量包含了变形的全部信息,称为Cauchy应变张量 Cauchy
(3.8a) (3.8b)
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
§3-3 由下式可知
应变张量的进一步解释
1 ε = (u∇+∇u) 2
二阶对称张量 1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) εij = ε ji 2 ε11 = ε x ,ε22 = ε y ,ε33 = ε z 正应变分量 ε12 = ε xy,ε23 = ε yz,ε31 = ε zx 剪应变分量
∂v ∂x ∂w ∂x ∂u ∂y ∂v 1 + ∂y ∂w ∂y ∂u ∂z ∂v ∂z
= 1 + ui,i + ui, j 的高阶项 > 0
(3.2) (3.3)
1 + ∂w ∂z
由数学分析可知
xi = x i ( ~ , ~ , ~ ) x y z
~ 单值性说明V 单值性说明V中的两个不同点不会变成 V 中的一个点
位移场
§3-1
位移场
刚体位移:若物体各点发生位移后, 刚体位移:若物体各点发生位移后,仍保持各点间的初始 相对距离,那么物体实际上只发生了刚体移动和转动. 相对距离,那么物体实际上只发生了刚体移动和转动. 变形:若物体各点发生位移后, 变形:若物体各点发生位移后, 改变了各点间的初始相对 距离,那么物体除发生刚体位移外,形状也产生了变化. 距离,那么物体除发生刚体位移外,形状也产生了变化. 如图,物体内P点的位置可用向径表示 如图,物体内P
1 ε = (u∇+∇u) 2
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
几何方程
(3.8a) (3.8b)
εn表示n方向的无穷短线段的相对伸长即正应变 表示n % dr − dr d~ = dr + ε n dr r εn = dr
2 % dr 2 = (dr + ε n dr ) 2 = (1 + 2ε n + ε n )dr 2 ≈ (1 + 2ε n )dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
则 % % dr1 ⋅ dr2 = (dr1 + u∇ ⋅ dr1 ) ⋅ (dr2 + u∇ ⋅ dr2 )
=dr1 ⋅ dr2 + dr2 ⋅ u∇ ⋅ dr1 + dr1 ⋅ ∇u ⋅ dr2 + (u∇ ⋅ dr1 ) ⋅ (u∇ ⋅ dr2 ) =dr1 ⋅ dr2 + dr1 ⋅ (u∇ +∇u) ⋅ dr2 + dr1 ⋅ (∇u ⋅ u∇) ⋅ dr2 =dr1 ⋅ dr2 + 2dr1 ⋅ G ⋅ dr2 单位矢量 n,m
% V
% P
% r
~ P ~ 点的位移u P点到 P 点的位移u u = ui e i 则: ~ = r + u r (3.1a) ~ = x +u xi 或 i i (3.1b)
r = xi e i ~ = ~e r xi i
表示u u, v, w 表示u的分量
第三章 应变分析 §3-1
位移场
u1 = u , u2 = v, u3 = w
ε xy = 1 ( ∂u + ∂v )
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变分量的几何意义 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e 由式(3.9)得 由式(3.9)得X轴向相对伸长为 (3.9)
n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0
ε11 就是X方向的正应变,同理 ε 22, ε33 就是X方向的正应变,
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
§3-2
变形状态和应变张量
如果在某一点处,任意无穷短线段的长度变化能确定, 如果在某一点处,任意无穷短线段的长度变化能确定, 任意两条不同方向无穷短线段间夹角的变化能确定, 任意两条不同方向无穷短线段间夹角的变化能确定, 则这一点的变形状态也就能完全确定 A,无穷短线段 A,无穷短线段 长度的变化
(3.10)变为 (3.10)变为
∆ϕ sin ϕ + (ε1 + ε 2 )cosϕ = 2n ⋅ ε ⋅ m = 2εij ni mj (3.11)
若dr1和dr2垂直
ϕ = 90o
∆ϕ = 2ε ij ni m j
1 ε = (u∇+∇u) 2
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
A
u + du
P点,矢径 A点,矢径
% A
r r+dr
dr方向的单位矢量 dr方向的单位矢量 d r = n dr
n = ni e i
~~ PA
dr
% dr = dr + du
P
PA
u
% P
% dr = dr + du = dr + (u∇) ⋅ dr (3.4) % % % dr 2 = dr ⋅ dr = (dr + u∇⋅ dr) ⋅ (dr + u∇⋅ dr)
l
B l' A 90
0
B'
γ = 90 − α
0
A' C
α y
x