弹性力学-第三章 应变分析

ε xy = 1 ( ∂u + ∂v )
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变分量的几何意义 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e 由式(3.9)得 由式(3.9)得X轴向相对伸长为 (3.9)
n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0
ε11 就是X方向的正应变,同理 ε 22, ε33 就是X方向的正应变,
分别为Y 分别为Y和Z方向的正应变 如图, 如图, 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0 设m为y轴向的单位基矢量即m=e2 轴向的单位基矢量即m=e O m1 = 0, m2 = 1, m3 = 0
y
ε nn = εijni⋅ ε ⋅ n11 =ε ijxni n j ε = n nj = ε = ε
ε x 1 γ ε ij = 2 yx 1 γ zx 2
εy
1 γ zy 2
对称张量 张量的剪切应变分量 ≠ 实际的剪切应变
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变与位移的关系（几何方程） 点的位移是u(x+dx，y)、 应变与位移的关系（几何方程） A点的位移是 点的位移是 ， 、 v(x+dx，y)， ， ，
y
∂u u+ dy ∂y
u+
B'
∂u dx ∂x
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
ε i′j′ = βi′i β j′jε ij
z
(3.15)
B
不考虑刚体位移,变形有如下两种 不考虑刚体位移 变形有如下两种 考察物体内任意一微小线段
A
l
A'
l'
B'
长度的相对改变 ⇒ 正（线）应变
l′ − l ε= l
x
z
y
方向的相对改变 ⇒ 剪（角）应变
(3.12)
∂u ∂v α xy = , α yx = ∂y ∂x ∂u ∂v ∆ϕ = α xy + α yx = + = 2ε xy ∂y ∂x 同理, 同理, ε 23 , ε 31 表示剪应变是角度变化的一半 ∂u ∂v ∆ϕ = α xy + α yx = + = 2ε xy = γ xy (3.14) ∂y ∂x 1 1 1 ε xy = γ xy , ε yz = γ yz , ε zx = γ zx γ xy , γ yz , γ zx 工程剪应变 2 2 2
1
B % A
B点,矢径
~ + d~ r r2
% P点位移 B
ϕ
dr2
% % dr1 ϕ % dr2
% P
A点位移 B点位移
u u + u∇ ⋅ dr1 u + u∇ ⋅ dr2
(b)
% d r1 = d r1 + u ∇ ⋅ d r1 % d r2 = d r2 + u ∇ ⋅ d r2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
§3-2
变形状态和应变张量
如果在某一点处,任意无穷短线段的长度变化能确定, 如果在某一点处,任意无穷短线段的长度变化能确定, 任意两条不同方向无穷短线段间夹角的变化能确定, 任意两条不同方向无穷短线段间夹角的变化能确定, 则这一点的变形状态也就能完全确定 A,无穷短线段 A,无穷短线段 长度的变化
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
则 % % dr1 ⋅ dr2 = (dr1 + u∇ ⋅ dr1 ) ⋅ (dr2 + u∇ ⋅ dr2 )
=dr1 ⋅ dr2 + dr2 ⋅ u∇ ⋅ dr1 + dr1 ⋅ ∇u ⋅ dr2 + (u∇ ⋅ dr1 ) ⋅ (u∇ ⋅ dr2 ) =dr1 ⋅ dr2 + dr1 ⋅ (u∇ +∇u) ⋅ dr2 + dr1 ⋅ (∇u ⋅ u∇) ⋅ dr2 =dr1 ⋅ dr2 + 2dr1 ⋅ G ⋅ dr2 单位矢量 n,m
B' y
O ′C ′ - OC εz = OC π γ xy = γ yx = − ∠B ′O ′A′ 2 π γ yz = γ zy = − ∠C ′O ′B ′ 2 π γ xz = γ zx = − ∠A′O ′C ′ 2
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
1 γ xy 2 1 γ xz 2 1 γ yz 2 εz
l
B l' A 90
0
B'
γ = 90 − α
0
A' C
α y
x
C'
第三章 应变分析 §3-3 应变张量
应变张量的进一步解释
三个方向线元的应变决定该点的应变状态 取与坐标轴相平行的三个方向
z C' C
εx = εy =
O ′A′ - OA OA O ′B ′ - OB OB
A' O x A
O' B
(3.10)变为 (3.10)变为
∆ϕ sin ϕ + (ε1 + ε 2 )cosϕ = 2n ⋅ ε ⋅ m = 2εij ni mj (3.11)
若dr1和dr2垂直
ϕ = 90o
∆ϕ = 2ε ij ni m j
1 ε = (u∇+∇u) 2
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
= dr ⋅ dr + 2dr ⋅ ( u∇ ) ⋅ dr + ( u∇ ⋅ dr ) ⋅ ( u∇ ⋅ dr )
= dr 2 + dr ⋅ (u∇ + ∇u) ⋅ dr + dr ⋅ (∇u ⋅ u∇) ⋅ dr (a) 关系式 dr ⋅ u∇ ⋅ dr = dr ⋅ ∇u ⋅ dr
(3.9)
α xy
% dr2
% dr1
dr2
α yx
dr1
x
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
由式(3.12)得 由式(3.12)得dr1和dr2间直角的减小量为 (3.12)
∆ϕ = 22ε ij nm j j = 2ε 12 = 2ε xy ∆ϕ = ε ij ni i m
上式表示剪应变是角度变化的一半 图中: 图中:
% V
% P
% r
~ P ~ 点的位移u P点到 P 点的位移u u = ui e i 则: ~ = r + u r (3.1a) ~ = x +u xi 或 i i (3.1b)
r = xi e i ~ = ~e r xi i
表示u u, v, w 表示u的分量
第三章 应变分析 §3-1
位移场
u1 = u , u2 = v, u3 = w
几何方程
(3.12)
ε 张量包含了变形的全部信息,称为Cauchy应变张量 张量包含了变形的全部信息,称为Cauchy应变张量 Cauchy
(3.8a) (3.8b)
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
§3-3 由下式可知
应变张量的进一步解释
1 ε = (u∇+∇u) 2
二阶对称张量 1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) εij = ε ji 2 ε11 = ε x ,ε22 = ε y ,ε33 = ε z 正应变分量 ε12 = ε xy,ε23 = ε yz,ε31 = ε zx 剪应变分量
引入二阶对称张量G 引入二阶对称张量G 1 G = (u∇ + ∇u + ∇u ⋅ u∇) 2 1 Gij = (ui , j + u j ,i + uk ,i uk , j ) 2 则式(a) (a)为 则式(a)为 (3.5a) (3.5b)
(3.6) dr的长度变化完全由张量 确定。 G被称为 的长度变化完全由张量G确定 被称为Lagrange 的长度变化完全由张量 确定。 被称为 拉格朗日）应变张量。在分析大变形问题时， （拉格朗日）应变张量。在分析大变形问题时，会用到 Lagrange应变张量。 应变张量。 应变张量
% dr 2 = dr 2 + 2dr ⋅ G ⋅ dr = (1 + 2n ⋅ G ⋅ n)dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
只讨论小变形问题,忽略高阶项 只讨论小变形问题 忽略高阶项 式(3.6) 为 其中
∇u ⋅ u∇
(3.7)
% dr 2 = (1 + 2n ⋅ ε ⋅ n)dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
ε n = n ⋅ ε ⋅ n = ε ij ni n j
B,两无穷短线段间夹角的变化 B,两无穷短线段间夹角的变化 P点,矢径 A点,矢径
A
dr1
P
(3.9)
已知张量ε 已知张量ε,就可求出任意方向微线段的相对伸长
r r+dr1 r+dr2
~ r ~ + d~ r r
弹性力学 主讲 邹祖军
第三章 应变分析
第二章 应变分析
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 §3-7 §3-8 §3-9 位移场 变形状态和应变张量 应变张量的进一步解释 微元体的刚体转动 主应变 体积应变 微小球体的变形 应变协调方程 球应变张量和偏应变张量
第三章 应变分析 §3-1
将上式代入(C) 将上式代入(C)
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
% (1 + ε1 )(1 + ε 2 ) cos ϕ = cos ϕ + 2n ⋅ G ⋅ m
~ 利用小变形,并记 ∆ϕ = ϕ − ϕ 利用小变形,
(3.10)
及下式
% cos ϕ = cos(ϕ − ∆ϕ ) = cos ϕ cos ∆ϕ + sin ϕ sin ∆ϕ ≈ ∆ϕ sin ϕ + cos ϕ
1 ε = (u∇+∇u) 2
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
几何方程
(3.8a) (3.8b)
εn表示n方向的无穷短线段的相对伸长即正应变 表示n % dr − dr d~ = dr + ε n dr r εn = dr
2 % dr 2 = (dr + ε n dr ) 2 = (1 + 2ε n + ε n )dr 2 ≈ (1 + 2ε n )dr 2
u是定义在V中的一个矢量场,即位移场.由连续性假定 是定义在V中的一个矢量场,即位移场.
~ ( x, y, z ), u ( x, y, z ) xi 必须是单值连续函数 i
假定u 有连续的三阶偏导数, 假定ui有连续的三阶偏导数,由小变形假定 u i , j << 1 故有
% % % ∂( x, y, z ) J= = ∂( x, y, y) 1 + ∂u ∂x
∂v ∂x ∂w ∂x ∂u ∂y ∂v 1 + ∂y ∂w ∂y ∂u ∂z ∂v ∂z
= 1 + ui,i + ui, j 的高阶项 > 0
(3.2) (3.3)
1 + ∂w ∂z
由数学分析可知
xi = x i ( ~ , ~ , ~ ) x y z
~ 单值性说明V 单值性说明V中的两个不同点不会变成 V 中的一个点
A
u + du
P点,矢径 A点,矢径
% A
r r+dr
dr方向的单位矢量 dr方向的单位矢量 d r = n dr
n = ni e i
~~ PA
dr
% dr = dr + du
P
Baidu Nhomakorabea
PA
u
% P
% dr = dr + du = dr + (u∇) ⋅ dr (3.4) % % % dr 2 = dr ⋅ dr = (dr + u∇⋅ dr) ⋅ (dr + u∇⋅ dr)
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2 展开
ε = ∂u , x ∂x ∂v ε y = ∂y , ∂w εz = , ∂z
2 ∂y ∂x 1 ∂v ∂w ε yz = ( + ) (3.13) 2 ∂z ∂y 1 ∂w ∂u ε zx = ( + ) 2 ∂x ∂z
A
dr1
P
(c)
dr1 , dr2
B % A
% B
相对伸长
ε1 , ε 2
ϕ
dr2
% % dr1 ϕ % % % dr2 dr1 ⋅ dr2 = drdr2 cosϕ = (1 + ε1 )(1 + ε 2 )drdr2 cosϕ, % % % % 1 1 dr1 ⋅ dr2 = drdr2 cosϕ, dr1 = ndr1, dr2 = mdr2 % 1 P
位移场
§3-1
位移场
刚体位移:若物体各点发生位移后, 刚体位移:若物体各点发生位移后,仍保持各点间的初始 相对距离,那么物体实际上只发生了刚体移动和转动. 相对距离,那么物体实际上只发生了刚体移动和转动. 变形:若物体各点发生位移后, 变形:若物体各点发生位移后, 改变了各点间的初始相对 距离,那么物体除发生刚体位移外,形状也产生了变化. 距离,那么物体除发生刚体位移外,形状也产生了变化. 如图,物体内P点的位置可用向径表示 如图,物体内P