1哈密顿原理-新版.pdf

牛顿质点动力学

1 牛顿第二定律dt

d p f

从三个方面来应用：

全局性研究：对称性、守恒律、稳定性；局部研究：平均值、动量定理、动能定理；瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性；

2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题；

3 从动力学观点上升到能量的观点。哈密顿原理、保守力及其势

4 五大类典型模型概括：

一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）；

哈密顿原理的文字表述如下：

保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中，

真实运动的主函数具有

稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于0。二种建模方法：动力学方法、能量法；

三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部）求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）

；

四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）；五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式）

哈密顿原理、对称性和稳定性

1.拉格朗日函数和哈密顿量拉格朗日函数

L

对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量

),,(t q q L i i 来描述，其中i q 是广义坐标，i

q dt dq i /是广义速

度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上

运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有

,两

个，其中cos sin R x

，cos ,sin sin R z

b R y

；一

般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐

标一样广义坐标的选取也不是唯一的。

在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势

能之差；U

T L 哈密顿量H

物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在

保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和

),,(t p q H i i =U T

（i=1，2…s ）

其中)(/i i

q L p 是广义动量，哈密顿量是广义坐标和

广义动量的函数，在直角坐标下对于质点运动的广义动量可写成

v p

m 。作用量I

定义为

21

t t Ldt

I

其中，积分上下限是质点初末态I q 、F q 对应的时间。

2.哈密顿原理及轨道稳定性

哈密顿原理指出：当系统由I q 演化到F q ，其真实的轨

道总是满足作用量

I

取极值的条件。具体来讲，当给予广义

坐标和速度一个无穷小扰动i q 、)/(dt dq i ，而作用量十分

稳定，不受扰动，即δ

I

=0。因此哈密顿原理的实质就是轨

道的稳定性原理，质点从I q 运动到F

q 总是选择一条最稳定

的轨道。

其次，I 在扰动下是不变量，所以哈密顿原理也是一个对称性原理；总之哈密顿原理是物理学的最高原理

。

考察空间平移的对称性，设一个系统由两个粒子组成，它们只限于在具有空间平移对称性的x 轴上运动，设两粒子坐标

为x1和x2，系统的势能),(21x x E E P P

，当体系发生一平

移

x 时，两粒子坐标变为：

x x x x x x 2

2

1

1

,，但两

粒子的相对距离未变，即x x x x x x

1

2

1

2

，空间平移

对称性意味着势能与x 无关。此外，两粒子在相互作用势能

下，所受的力

x

E x x x

E x E f P P P 1

1

1

x

E x x x

E x E f P P P 2

2

2

所以02

1

f f ，即作用力等于反作用力的牛顿第三定律成

立，故有动量守恒。

一般可以表述为：系统的哈密顿量在空间坐标平移下保持不变，称系统具有空间平移对称性，

它对应着动量守恒律。

3.哈密顿正则方程

当以变数),(i i p q 为参数时，由哈密顿原理可以得到一组哈密顿正则方程：

i i q H dt dp //i

i p H dt dq //例如一个一维弹簧振子的哈密顿量

2

/2/2

2

kx m

p H

正则方程为:

kx

x

H dt dp //m

p p H dt dx ///其中m p dt

dx //即动量的定义，而kx dt dp /是一维简

谐振子的牛顿方程；一般情况下，

哈密顿正则方程组的第一

个方程是牛顿方程，第二个方程是动量的定义。

例1、弹簧连接体：如右图所示，用轻弹簧联接的两个质量同为m 的滑块放置在光滑的水平桌面上，试用能量法建立动

力学方程。解：系统的动能

m

P m

P T

2/2/2

22

111

x m P 、22

x m P 分别为两滑块的动量

系统的弹性势能2

1

2)

(2

1l x x k U

，

其中

k 是弹簧的劲度系数，

l 是弹簧的原长；

哈密顿量

正则方程

引力势模型

m

P P H dt

dx l x x k x H

dt

dP m P P H dt dx l x x k x H dt dP 22

21

2

2

21111211),

(,)(2

1

222

2

1

)

(2

122l x x k m

P

m P

H

m

1

x 2

x k

l

图2-3-10

Java 学件弹簧连接体

图2-3-11

Java 学件行星运动