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哈密顿原理

（二）哈密顿原理
质点系的运动是一个客观存在的事实，力学的任务是对运动作出正确的描述。矢量力学的理论是指出一切真实运动所应服从的规律，并以此为依据，去论断各个具体运动的特征。可是分析力学并不这样。分析力学研究约束所允许的一切可能运动，设法在可能运动所构成的集合中把真实运动挑选出来。由此可见，分析力学与矢量力学在思想方法
4. 变分运算的几个法则 A B A B
AB A B B A
A B A A B 2 B B d dA A dx dx
Adx
x1
x2
x2
x1
A dx
A
x
B
z
设质点在某一瞬时速度为v，则滑过ds路程的时间
dt=ds/v
没有摩擦，保守力场机械能守恒
v 2gz
曲线方程
（坐标为z时的质点速度）
z=z(x),
而曲线的元弧长：
2
ds
dz 1 dx dx
ds dt v
1 z dx , 2 gz
'2
T
xB
（一）变分法简介
变分法是研究泛函极值的一种数学理论，它是由力学中最速落径问题的诱导而发展起来的。由伊凡· 贝努力提出来的最速落径问题是这样一个问题.
1. 最速落径问题
不考虑摩擦力和空气阻力，在连接不在同一铅直线上的任意两定点A 和B（B低于A）的所有曲线中，无初速的质点在重力作用下沿哪一条曲线轨道从A滑到B所需时间最短？显然，下滑时间与曲线形状有关。

欧勒方程
如果 f 不显含自变量 x , 则欧勒方程有初积分 : f f - y' 常数. y '

哈密顿原理——科学美学的瑰旨琦意 ppt课件

• 科学不相信上帝，我们不清楚“第一推动力”问题只是因为我们科学知识不完善。第一推动一定由某种原理决定。这个可以成为“第一原理”。爱因斯坦晚年致力于“大统一场理论”研究，也是希望找到统概一切物理定律的“第一原理”，可惜，这是当时科学水平所不能及的。现在也远没有答案。
分析力学发展史
• 但是为什么称量子力学计算为第一性原理计算？大概是因为这种计算能够从根本上计算出来分子结构和物质的性质，这样的理论很接近于反映宇宙本质的原理，就称为第一性原理了。
• 正因为后者着眼于能量状况, 遂使哈密顿原理的适用性得以超出经典力学范畴。
衡形态、运动物体呈现优越的变化方式。
• 那末, 最小作用量原理, 或曰哈密顿原理, 也就显露出生动、丰富、瑰琦的臻美旨意。
• 诚然, 该原理是动力学原理而静止物体取特定的形态, 亦有与其相似的缘由。
最小作用量原理的臻美旨意
• 例如, 小液滴总是呈圆球形张在闭合金属丝架上的肥皂膜均为极小曲面其面积极小形态。此乃因为液面的表面能与其表面积成正比, 曲面不论封闭与否, 凡表面能极小以至表面积极小者才是其稳定平衡形态。
分析力学发展史
• 数学分析的进一步完善, 则促使力学体系得以拓宽。在牛顿和欧拉之成就基础上形成的拉格朗日一哈密顿力学体系,也明确地采用纯数学分析的完善表述形式, 其理论框架有所变更，此力学体系就称作分析力学。
• 《自然哲学之数学原理》于1687年问世；一百年以后, 拉格朗日出版了《分析力学》(1788年)。
分析力学发展史
• 成书之前二十年, 拉格朗日依据J.伯努利、达朗伯的工作成果, 便已从两条重要的力学原理—虚位移原理和达朗伯原理出发, 得出了动力学普遍方程。
• 拉格朗日等人选取广义坐标q作为独立变量, 引入所谓的拉格朗日函数L即拉氏量, 而由动力学普遍

11哈密顿原理

牛顿三定律基础理论力的独立作用原理基本物理量基本方程研究特点
r F
d dt
r mv
r r (m v ) = F
L
d ∂L ∂L = 0 ⋅ − dt ∂ q ∂q
个体逐个研究（每个质点）矢量运算+几何出现约束，直观
整体研究（自由度）标量运算+代数 3 不出现约束，抽象
绪论
4
§11-1. 力学系统的约束与广义坐标一自由度与约束
&1, y &1 , z &n , y &n , z &1 ,..., x &n ; t) = 0 fβ(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn; x (β = 1,2,…,s)
7
如果在约束方程中不显含时间t,既约束不随时间而改变,这种约束称为定常约束. 如果在约束方程中显含时间t , 既约束随时间而改变, 这种约束称为非定常约束. 如左图圆周的半径随时间改变 , 约束方程为x2 + y2 = (r + at)2
δr
B B
δr A dr A
对于非定常约束 , 由于它的位置或形状随时间而改变 ,而虚位移与时间无关 , 实位移却与时间有关 ,所以微小的实位移不再是虚位移之一.
11
！虚位移是假想的，瞬时的，无限小的，符合约束条件的位置变更。 ※ 两者区别：实位移虚位移实际的只有一个需要时间假想的不止一个瞬时的
x i= xi (q1,q2,…,qk) yi = yi (q1,q2,…,qk) zi = zi (q1,q2,…,qk)
(i =1,2,…,n)
显然质点Mi的矢径ri也可表示为广义坐标的函数 ri=ri(q1,q2,…,qk) (i =1,2,…,n)

哈密顿原理

§7-4 哈密顿原理人们为了追求自然规律的统一、和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律.牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架.哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架.哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义.一、变分法简介1. 函数的变分.自变量为x 的函数表示为)(x y y =.函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化.函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起的.这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ.与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下:)()0,(),(*x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成()()()x x y x y y εηε=−=0,,δ*在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动.q t d d →函数的微分.在曲线I 附近, 存在着许多相邻曲线, 这些曲线都满足力学系统的约束条件, 称为可能运动曲线,它们的方程表示为()()()t t q t q εηε+=0,,*在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ,()()()t t q t q q εηεδ=−=0,,*与q d 不同, q δ与时间变化无关, 称为等时变分. r δ和αq δ都是等时变分.变分的运算法则在形式上与微分运算法则相同. 下面列出几条变分法则.设1y 和2y 是自变量x 的两个函数, 则()2121δδδy y y y +=+()122121δδδy y y y y y +=22211221δδδy y y y y y y −= 现给出第3式的证明:()22222211122122211121*2121δηεηεηεηεηε+−=−++=− =y y y y y y y y y y y y y y22211221δδδy y y y y y y −= 等时变分还有两个重要性质:(1)变分与微分的运算可以交换, 即δ和d 的运算可交换;(2)变分和微商在运算上可以交换, 即δ和t d /d 的运算可交换.首先证明性质(1):设力学系统的1=s ,q . 曲线 I 表示系统的真实运动, 曲线 II 表示与曲线I 邻近的系统的可能运动.Q Q P ′→→, Q ′点的纵坐标为()q q q q d δd +++. Q P P ′→′→, Q ′点的纵坐标成为()q q q q δd δ+++. 于是 ()()q q q q q q q q δd δd δd +++=+++()()q q δd d δ=证明完毕.下面证明性质(2): 因为()()()()2d d δd d δd d d δt t q q t t q −=由于等时变分, ()()0δd d δ==t t . 所以上式可写成()()q t t q t q δd d d d δd d δ==证明完毕.在变分法中, 除等时变分外, 还有全变分. 全变分是由于函数自变量和函数形式的共同变化引起的, 用q ∆表示.()()0,,*x y x x y y −∆+=∆εx xy y y ∆+=∆d d δ 2. 泛函的变分与泛函取极值的条件---欧拉方程.若变量J 由一组函数()x y y i i =, n i ,,2,1 =的选取而确定, 则变量J 称为函数()t y y i i =的泛函, 记作()()()],,,[21x y x y x y J n .泛函J 由n 个函数的形式确定, 是函数形式的函数.泛函与函数的概念不同, 函数中的自变量是数；而对于泛函, 处于自变量地位的是可以变化的函数的形式.举例说明：Oxy 平面中有B A ,两个固定点, 连接两固定点间的曲线的长度L 由下式确定, ()x x y L AB x x d d /d 12∫+= 显然, L 依赖于函数()x y y =的选取, 若函数()x y 的形式发生变化, 则曲线的形状随之变化, 曲线的长度也跟着改变. 长度L 就是函数()x y的泛函.研究形式最简单的泛函及其变分, 该泛函只依赖一个函数()()[]x x x y x y F J x x d ,,10∫′= 或 ()()()()()[]x x x x y x x y F J x x d ,0,,0,10∫′+′+=ηεεηε 其中()()x x y x y d d =′被积函数()()[]x x y x y F ,,′的形式是已知的, 积分的上下限是固定的. 当函数()x y 在形式上发生变化时, 泛函就会发生变化, 这种由于函数形式的变化引起泛函的变化(线性部分)称为泛函的变分,记作J δ.现将被积函数()()()()[]x x x y x x y F F ,0,,0,ηεεη′+′+=在0=ε处展开(只保留线性部分)()()()()[]x x x y x x y F ,0,,0,ηεεη′+′+()()[]()()x y F x y F x x y x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂+′===00,, 可见函数的变分为()()()()[]()()[]x x y x y F x x x y x x y F F ,,,0,,0,δ′−′+′+=ηεεη()()x y F x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂===00 y y F y y F ′ ′∂∂+ ∂∂===δδ00εεF 的变分是在0δ=x 的情况下进行的. 在力学中, x 为时间t , 这种变分是等时变分.现将J δ写成()()()()[]()()[]∫∫′−′+′+=1010d ,,d ,0,,0,δx x x x x x x y x y F x x x x y x x y F J ηεεη ()()()()[]()()[]{}∫′−′+′+=10d ,,,0,,0,x x x x x y x y F x x x y x x y F ηεεη∫=10d δx x x F 上式表明当积分变量与变分无关时, 变分算符和积分算符可以交换.在数学中, 变分法的基本问题是通过求泛函的极值(极大值, 或极小值, 或稳定值)去寻找函数)(x y . 泛函中的函数)(x y 的形式需不断改变, 直到J 达到极值. 当J 为极值时, )(x y 就是我们所要寻找的函数.泛函取极值的必要条件是满足欧拉方程. 推出欧拉方程:与函数极值条件类似, 处于极值的泛函, 其变分一定为零, 即()()[]x x x y x y F J x x d ,,δδ10∫′= ()()[]x x x y x y F x x d ,,δ10∫′= 0d δδ10= ′′∂∂+∂∂=∫x y y F y y F x x 考虑到()y x y δd d δ=′, 并对上式中的第二项采用分部积分法()x y y F x y y F x x y x y F x y y F x x x x x x d δd d δd d d δd d d δ101010∫∫∫ ′∂∂− ′∂∂=′∂∂=′′∂∂ 积分上下限是固定的, 即要求各函数曲线有相同的端点, 0δδ10==x x y y , 所以上式第一项 0δd δd d 1010=′∂∂= ′∂∂∫x x x x y y F x y y F x 故0d δ)d d (10=′∂∂−∂∂∫x y y F x y F x xεη=y δ, 由于η是任意函数, 所以y δ也是任意的. 可见, 要使上式成立, 必须0d d =′∂∂−∂∂y F x y F 这就是欧拉方程.可推广到多个函数为变量的泛函中去, 该泛函取极值的欧拉方程为0d d =′∂∂−∂∂ββy F x y F l ,,2,1 =β l 代表函数的个数.3. 变分问题.凡是与求泛函极值有关的问题都称做变分问题. 下面列举3个曾在变分法的发展中起过重要影响的变分问题.(1) 最速落径问题. 通过求泛函极值, 得知竖直平面内不在同一铅垂线上的两个固定点之间的多条曲线中, 能使质点以最短时间从高位置点到低位置点自由滑下的曲线是旋轮线(又称摆线).(2) 短程线问题. 已知曲面方程, 用求泛函极值的方法, 可得出曲面上两固定点之间长度最短的线.(3) 等周问题. 将泛函求极值, 可得知一平面内, 长度一定的封闭曲线, 所围面积最大的曲线是圆.例题6 最速落径问题.(有兴趣者自学)二、哈密顿原理1. 位形空间、真实运动曲线和可能运动曲线.在分析力学中, 由s 个广义坐标s q q q ,,,21 组成的s 维空间称为位形空间.系统某一时刻的位形(即由广义坐标确定的系统的位置)与该空间中的一点相对应. 当位形随时间变化时(时间t 为参数), 位形点就会发生变化而形成一条曲线.用位形空间研究完整系的运动, 不用顾及约束对系统运动的影响. 因为空间由s 个广义坐标轴组成, 每一个广义坐标都可以自由变化. 位形空间中的任何一条曲线, 都表示系统在完整约束下的一种可能的运动过程.设s t q q ,,2,1),( ==ααα代表系统的真实运动, 则由它们决定的曲线称为真实运动曲线.由于函数)(t q q αα=形式发生变化而在真实曲线邻近出现的曲线称为可能运动曲线.2. 完整有势系统的哈密顿原理.哈密顿原理是分析力学中的积分变分原理, 它巧妙地运用泛函求极值的方法, 将真实运动从约束允许的一切可能运动中挑选出来.哈密顿原理是一条力学公理.首先, 定义一个称为作用量的泛函:()∫=10d ,,t t t t q q L S αα 式中的L 称为拉格朗日函数, 定义为V T L −=T 是力学系统相对惯性系的动能),,(t qq T T αα =; 势能),(t q V V α=. 拉格朗日函数是ααqq ,和t 的函数, ),,(t qq L L αα =. 假定位形空间中有两个固定点A 和B , 与A 点相对应的时刻是0t , 与B 点相对应的时刻是1t .两个固定点之间, 存在着由s t q q ,,2,1),( ==ααα决定的真实运动曲线.两固定点B A ,间还存在许多与真实运动曲线邻近的可能运动曲线, 它们是由q q q δ*+=αα s ,,2,1 =α0δδ10====t t t t q q αα s ,,2,1 =α决定的.作用量是依赖于函数)(t q α的泛函. 在位形空间的两个固定点间有许多可能运动轨道, 其中有一条是真实的. 哈密顿原理就是通过变分法中求泛函(在此指作用量)极值的方法, 将真实运动从这许多的可能运动中挑选出来的.哈密顿原理的内容是: 受完整约束的有势系, 在位形空间中, 相同时间内通过两位形点间的一切可能运动曲线中, 真实运动曲线使作用量取极值. (极值为极小值, 故此原理又称为哈密顿最小作用量原理)在哈密顿原理中, 一切可能运动必须具有以下共同的特点:(1) 都是同一系统在相同的约束条件下的可能运动;(2) 都是在时刻0t 和时刻1t 之间相同时间间隔内完成的运动;(3) 在位形空间中有相同的起点和终点, 即 0δδ10====t t t t q q ααs ,,2,1 =α哈密顿原理的数学表述:在位形空间内, 当s q q t t t t ,,2,1,0δδ10 =====ααα时, 对于受完整约束的有势系, 其真实运动使 ()0,,δδ10==∫t t t q q L S αα 综上所述, 当作用量泛函取极值时, 与该作用量所对应的位形空间曲线就是真实运动的曲线, 描绘该曲线的s 个函数)(t q q αα=就是真实运动的运动学方程.拉格朗日函数V T L −=是力学系统的特征函数.如果确定了系统的拉格朗日函数, 则通过哈密顿原理, 就可导出力学系统的动力学方程.由欧拉方程可以得到分析力学中有势系的普遍方程---拉格朗日方程, 我们将在下一章讨论这个问题.[拉格朗日函数不是惟一确定的. 设f 是一个任意广义坐标和时间的函数, 即),(t q f f α=, 设),(d d t q f tL L α+=′, 则∫∫=′1010d d t t t t t L t L δδ. 证明了在原有拉格朗日函数上加上一项广义坐标和时间的任意函数对时间的全微商, 是不会改变系统的运动方程的. 这种不变性称做规范变换不变性, 它对于现代理论物理的研究有重要意义.]例题 7 质量为m 的质点, 在重力场中以与水平线成α角的初速率v 抛射, 根据哈密顿原理, 求质点的运动微分方程.解在抛射体运动的平面内, 以铅垂方向为y 轴, 建立直角坐标系Oxyz , 以y x ,作为质点的广义坐标. 拉格朗日函数为()mgy y x m L −+=2221 作用量为()t mgy y x m t L S t t t t d 21d 101022∫∫ −+== 根据哈密顿原理, 真实运动使()[]0d δδδδ10=−+=∫t y mg y y m x x m S t t ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t x x m x x m t x tx m t x x m ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t y y m y y m t y ty m t y y m 由于在10,t t 时刻, 0δδ==y x , 因此 ()[]∫=+−−=100d δδδt t t y mg y m x x m S 又因x δ和y δ是相互独立的, 所以要使上式成立, 必须0=xm 0=+mg ym 3. 一般完整系的哈密顿原理.对一般完整系, 主动力常含有非有势力, 上述哈密顿原理不再适用, 但可以将有势系的哈密顿原理的表达式经修改后推广到一般完整系中:即在位形空间中, 一般完整系的真实运动使0d δδ101= +∫∑=t q Q T t t S ααα 式中T 是系统的动能, αQ 是与广义坐标αq 对应的广义力.[ααq r F Q i ni i ∂∂⋅=∑= 1] 在下一章里, 我们将会根据一般完整系的哈密顿原理, 推导出一般完整系普遍适用的动力学方程, 即一般形式的拉格朗日方程.在物理学的研究中, 对于我们重要的是有势系的哈密顿原理.哈密顿原理具有统一的、简洁完美的形式, 即具有坐标变换的不变性, 从而使哈密顿原理具有很大的普适性.哈密顿原理——有限自由度——无限自由度.哈密顿原理——物理学其他领域.哈密顿原理还可用于创建新的理论, 根据实验结果和假设构造出拉格朗日函数, 便可用哈密顿原理导出运动方程, 其正确性由实践检验.哈密顿原理是作为公理提出的, 并未推证. 它们的正确性由原理演绎出的推论在实践中的检验而得到证实. ——完全不依赖牛顿定律, 它的适用条件也完全不受牛顿定律适用条件的限制, 其普适性比牛顿的运动定律大得多.。

高等动力学第4章_哈密顿原理

第四章哈密顿原理
4.1 泛函与变分、欧拉方程
4.2 哈密顿原理
4.3 由哈密顿原理推导动力学方程
概述
1. 哈密顿原理是变分原理的一种，是分析力学的基本原理，可以作为整个理论的基础。

2. 变分原理提供了将真实运动与在相同条件下的可能运动相区分的准则。

所谓的相同条件由不同的原理所规定。

3. 更加适于发展近似方法。

复合函数：设函数x(t) 是自变量t 的函数，而函数f(x) 是x 的函数，则f[x(t)] 是复合函数。

泛函：如果函数x(t) 的形式可在一定范围内变化，称为自变函数，而F(x) 定义在自变函数x 上，其值随自变函数的形式不同而变化，则称F(x) 为定义在函数集{x} 上的泛函。

自变函数x 的容许集称为泛函F 的定义域。

区别：泛函F 的值依赖于函数x 的形式，而函数f 的取值依赖于自变量t 的值。

上述哈密顿原理具有一个强的约束条件，即系统在有限动力学过程的始末位形给定。

实际的系统运动是一个渐进的动力学过程，其末了的位形是难以事先确定的。

需要放松上述哈密顿原理对于系统始末位形给定的限制，得到哈密顿原理更一般的形式。

哈密顿原理

哈密顿原理文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]牛顿质点动力学1 牛顿第二定律 dtd pf从三个方面来应用：全局性研究：对称性、守恒律、稳定性；局部研究：平均值、动量定理、动能定理；瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性；2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题；3 从动力学观点上升到能量的观点。

哈密顿原理、保守力及其势4 五大类典型模型概括：一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）；二种建模方法：动力学方法、能量法；三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部）求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）；四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）；五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。

（科学计算技术与研究式的学习模式）哈密顿原理、对称性和稳定性1.拉格朗日函数和哈密顿量拉格朗日函数L对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t qq L i i 来描述，其中i q 是广义坐标，=i qdt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中ϕθcos sin R x =，θϕθcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。

在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差；U T L -=哈密顿量H物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和),,(t p q H i i =U T +（i=1，2…s ）其中)(/i i qL p ∂∂=是广义动量，哈密顿量是广义坐标和广义动量的函数，在直角坐标下对于质点运动的广义动量可写成v p m =。

《哈密顿原理》PPT课件

则 d , H 0
dt t
反之，若 , H 0 则 C
t
是正则方程的一个运动积分，因为有
dt
dq1 H
dq2 H
p1 p2
dqs H
dp1 H
dp2 H
ps
q1
q2
dps H
2q3 s

q
(1)c, 0, c为常数 (2), , 0
n
n
(3)如 j ,则, , j
振动解要求 l 为纯虚数，要做到这一点势能V>0. 令 l il
s
q Aleilt Aleilt , 1, 2, , s
l 1
s
q al coslt bl sinlt , 1, 2, , s
l 1
上式中 l 叫简正频率，共有s个。
6
3.简正坐标
T
1 2
s
a q q
1
V
V0
s 1
V q
q 0
1 s 2V 2 1 q q
1
q q
0
高级项
取 V0 0 对保守系 V 0
q
略去高级项
1 s 2V
1s
V
2
1 1
q
q
q q 0
2 1 c q q
1
2
在稳定约束下，动能只是速度的二次函数
T
1 2
s
a q q
1
1
也展开为泰勒级数
j 1
j 1
(4), ,
(5)
t
,
t
,
,
t
(6) ,, ,, , , 0
1,如
(7) q , p 0,如

哈密顿算符运算原理

哈密顿算符可以表示为物理量的函数，通过测量这些物理量可以获得系统的状态信息。
哈密顿算符的历史与发展
起源
哈密顿算符起源于19世纪初的经典力学，最初用来描述质点的运
动规律。
发展
随着量子力学的兴起，哈密顿算符被广泛应用于描述微观粒子的
运动状态和能量变化。
当前研究
目前，哈密顿算符在仍然占据重要地位，是探索物质世界基本规律的重要工具之
详细描述
在求解哈密顿算符的演化方程时，可以将问题转化为求某个泛函的极值问题。通过变分法，可以将偏微分方程转化为欧拉方程或变分方程，从而简化求解过程。
05 哈密顿算符的运算实例
一维谐振子的哈密顿算符运算
总结词
一维谐振子的哈密顿算符运算涉及到对位置和动量的平方和运算，以及能量表达式的求解。
详细描述
一。
02 哈密顿算符的基本运算
哈密顿算符的矩阵表示
01
哈密顿算符在量子力学中通常表示为矩阵形式，其元素对应于系统的能量和动量。
02
在矩阵表示中，哈密顿算符的矩阵元素由系统波函数的性质决
定，反映了系统内部相互作用和能量传递的关系。
哈密顿算符的矩阵形式对于计算系统的能量和波函数具有重要
03
意义，是理解和描述量子系统的重要工具。
哈密顿算符的演化方程
1
哈密顿算符的演化方程是薛定谔方程，描述了量子系统的状态随时间的变化。
2
薛定谔方程是一个偏微分方程，将系统的波函数与时间关联起来，通过求解该方程可以获得系统在不同时刻的状态。
3
哈密顿算符的演化方程是量子力学中的基本方程之一，对于理解量子系统的动力学行为和演化规律具有重要意义。
总结词

哈密顿原理的推导

(7)
i r ri d q j dt q j
(8)
ri r d d ri i i i mi ai mi r mi r q j dt q dt q j j
(5)
将(7)式和(8)式代入(5)式中得：
ri ri q j j 1 q j
k
(i 1,2,, n)
已知动力学普遍方程为：
将其展开后得：
n n i 1 i i i 1
( F m a ) r 0
i 1 i i i i
n
F r m a
i
i
ri 0
(2)
(2)式中第一项表示主动力系在质点系虚位移中的元功的和，可以写为广义坐标的形式为：
V (11b) 0 q j
将(11b)式乘以dt，并从t1到t2作定积分，有： t 2 k d L L q j q j dt 0 t1 j 1 dt q j q j
dq d ( ) (q) dt dt
(b) 在积分的上、下限不变的条件下，函数对
自变量的积分的变分，等于该函数的变分对该自
变量的积分。即：
qdt qdt
t1 t1
t2
t2
(2) Hamilton原理：
a)作用：提出了质点系的真实运动与在质点系真实运动邻近，且为约束所能允许的可能运动的区分准则。
中任一质点Mi的位置，
显然，如果约束是非定常的，则矢径ri是广义坐标和时间的矢
量函数：
ri ri (q1 , q2 ,, qk , t )
(i 1,2,n)
(1)

第18章_哈密顿原理

第18章_哈密顿原理第⼋章哈密顿原理（Hamilton’s Principle ）⼀、泛函和变分的概念1．最速落径问题如图1，A 、B 是同⼀铅垂⾯上的两点，A ⾼于B ，不考虑阻⼒，试确定连接A 、B 的⼀条曲线，使初速为零的质点m 从A ⾄B ⾃由下滑所需时间最短。

设路径曲线为 y = y (x )，并设22)()(dy dx ds +=为曲线微段的弧长，则 dx dty dt dy dx dtds v 222)(1)()('+=+==另⼀⽅⾯，由动能定理可得gy v 2=，所以dx gyy dx v y dt 2)(1)(122'+='+=上式积分，得时间T 为'+=adx gyy x y T 022)(1)]([ （1）选取不同的y (x )必有不同的T 值，T 随函数y (x )的变化⽽变化。

这些可变化的函数称为⾃变函数，⽽随⾃变函数⽽变的量称为该⾃变函数的泛函。

最速落径问题可归结为如下数学命题：在0 [ x [ a 的区间内找⼀个函数y (x )，它满⾜边界条件====b y a x y x 时，当时，当00 并使（1）式所给泛函T [y (x )]取极⼩值。

变分法就是研究在各种不同的边界和约束下，各种泛函取极值的必要充分条件。

2．⾃变函数的变分如图2，将⾃变函数曲线 y = y (x ) 作微⼩变更，得到另⼀曲线y * = y * (x )，⽽ y * = y * (x ) = y (x ) + δ y (x )其中δ y 称为⾃变函数的变分。

下⾯推导d 、δ交换法则。

由图2，有dyy y dy y y yy y yy '+=+=+==321δ若从点3向上算，有)()(334dy y dy y dy y dy y y y y δδδδ+++=+++=+= 若从点2向上算，有)()(224y d dy y y y y d y y dy y y δδδδ+++=+++=+= ⽐较以上两式，得)()(dy y d δδ= （2）因此，⾃变函数变分、微分的运算顺序可交换。

哈密顿原理的推导 ppt课件

q j

0
21
ppt课件
k
j 1

d
dt
T q j

T q j

V q j

q j

0
引入拉格朗日函数L=T-V(质点系动能与势能之差，称为动势)，则上式可表示为：
k
j 1
d dt

L q j

q j
的两个关系式:
q j dt q j
(1)
ri

ri t

k ri j1 q j
q j
(ri ri (q1, q2,,t) (6)
q j 称为广义速度，为广义坐标对时间的变化率，
因 ri 和 ri 仅是广义坐标和时间的函数，与广义 t q j
速度 q j 无关，

L q j
q j

0
(11a)
22
ppt课件
广义力：Q j

V q j
代入(11a)式中，而拉格朗日
函数L=T-V(质点系的动能与势能之差又称为动势)
(11a)式又可以写为：
k
j 1
d dt

L q j
q
j

L q j
q j
量函数：
11
ppt课件
r i

r i
(q1
,
q2
,,
qk
,
t
)
(i 1,2,n) (1)
n为质点的数目，为了将质点系中质点Mi 的虚位移δri表示为广义坐标的变分 q j ( j 1,2,, k，) 求(1)式的变分：

哈密顿图pdf

31
小结
• 欧拉图 Easy – 充要条件 • 哈密顿图 Hard – 必要条件 – 充分条件
32
13
无向半哈密顿图的充分条件
• 定理8.7: 设G是n(2)阶无向简单图, 若对G中任意不相邻顶点u与v有 d(u)+d(v)n-1 则G是半哈密顿图. • 证: 只需证明 (1) G连通 (2) 由极大路径可得圈 (3) 由圈可得更长路径
14
定理8.7证明(1)
• (1) G连通: uv( (u,v)E w((u,w)E(w,v)E )
18
无向哈密顿图的充分条件二
• 推论2: 设G是n(3)阶无向简单图,若对G中任意顶点 u有 d(u)n/2 则G是哈密顿图. #
• 定理8.8: 设u,v是无向n阶简单图G中两个不相邻顶点,且d(u)+d(v)n, 则 G是哈密顿图 G(u,v)是哈密顿图. #
19
有向半哈密顿图的充分条件
vi-1
vi
定理8.10证明(2)
• 则 C’=v1v2…vi-1vvi…vkv1 是长度为k+1的圈.
vi-1 v vi v
vi-1 vi
24
定理8.10证明(2)
• 否则, 令 V1={vV(D-C) | uV(C), <u,v>E(D) } V2={vV(D-C) | uV(C), <v,u>E(D) } 则 V1,V2, V1V2 = .
7
无向哈密顿图的必要条件
• 定理8.6: 设G=<V,E>是无向哈密顿图, 则对V的任意非空真子集V1有 p(G-V1) |V1|。 • 证明：设C是G中任意哈密顿回路, 当V1中顶点在C 中都不相邻时, p(C-V1)=|V1|最大; 否则, p(C-V1)<|V1|. C是G的生成子图, 所以p(G-V1)P(C-V1)|V1|. #

哈密顿力学

§5-3 正则方程
1.从拉格朗日方程到正则方程
统计物理、电动力学和量子力学等理论物理学科中对力学的描述更多的是采用哈密顿正则方程的形式。
根据哈密顿函数的定义
d H d L s p q & s(q & a d p a p a d q & a ) d L
1
a 1
d dt q & L q L =0
d dx
f y
'
f y
0
欧勒方程
例：求最速落径方程
解：已知
f
1 y '2 ， 2gy
根据欧勒方程
d f
dx
y
-
f 0. y
f 1 1 y '2 y 3 / 2 ; f 1 (1 y '2 ) 1/ 2 y
y 2 2g
y 2gy
d
dx
1 2gy
(1
y
'2 ) 1/ 2
Q qt1 qt2 0
t1 t2s1qL d dtq & L qdt0
Qq 是任意的
d dt q & L q L 0
(1,2...s)
三. 哈密顿原理的意义
➢哈密顿原理在理论上具有特别重要的意义, 它是建立在描述体系运动总体效果----积分形式的基础之上，与采用什么样的广义坐标（坐标系）无关，因此只要适当引进拉格朗日函数（对相互作用需要建立模型得到势函数或力函数，进而得到拉格朗日函数）,就容易推广应用拉格朗日方程和正则方程,并建立整个分析力学的体系.
T [ y ( x ) ] x2 f ( y , y ', x ) d x 可以证明泛函 T [ y ( x ) ] 取极值的条件是其 x1

哈密顿原理

pk
L qk
函 L L(q,q,t)
数
形式
k
H pk
pk H
qk
H pk
q, p,t
H H (q, p,t)
k
L qk
qk
L
例1、用哈密顿正则方程研究一维谐振子的运动。
解：设振子的质量为m，劲度系数为k，沿x轴运动，并且伸长量为x。则其动能和势能分别为：
T 1 mx2 V1kx21m2x2 ( k )
哈密顿原理
2.多自由度力学体系的小振动
考虑一个完整、稳定、保守的力学体系在平衡位置附近的微小振动，设平衡位置的广义坐标为零，可以将势能展为泰勒级数
VV 0s 1 q V 0q 1 2 s 1 1 q 2 V q 0q q 高级项
取 V0 0 对保守系 V 0
(2)、哈氏正则方程同受理想约束的完整具势组的拉氏方程是等价的，应用条件都是对惯性系中。
4．正则方程中的初积分
(1)、广义能量积分
证明：dH H
HH(q,p,t)
dt t
H k
q H kq kk
p H k p k H t
q
k
HH
k qkpk k
H H H ( )
pk qk t
2
22
m
LTV1m x 21m 2x2
22
பைடு நூலகம்
广义动量：
p
L x
mx
体系的哈密顿函数：H
pxL
p2 m
( p2 1m2x2)
2m 2
p2 1m2x2
2m 2
H p2 1m2x2
2m 2 根据哈密顿正则方程可得：
x H p p m

哈密顿算符运算原理

学习电动力学课程的主要意义是：学习电动力学课程的主要意义是：
在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁场有关的问题。
例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等，例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等，都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、 X射线和射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共射线和γ射线等都是在不同波长范围内的电磁波射线和射线等都是在不同波长范围内的电磁波，同的规律。因此，同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实验都有重大的意义。验都有重大的意义。
点。
P2 P1
r l
r ∆l 为p2和p1之间的距离，从p1沿 l 到p2的增量为
∆ϕ = ϕ ( p 2 ) − ϕ ( p1 )
若下列极限
∆ϕ ϕ ( p2 ) − ϕ ( p1 ) lim = lim ∆l →0 ∆l ∆l →0 ∆l
∂ϕ r 存在，则该极限值记作 ϕ (x ) ，称之为标量场 ∂l 在 P r p1处沿l 的方向导数。
本章主要内容
标量场的梯度算符
矢量场的散度高斯定理矢量场的旋度斯托克斯定理在正交曲线坐标系中运算的表达式二阶微分算符格林定理
标量场的梯度， §0-1 标量场的梯度，∇ 算符 Gradient of Scalar Field, Operator
∇
1、场的概念、场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。

1哈密顿原理

牛顿质点动力学1 牛顿第二定律 dtd p f 从三个方面来应用：全局性研究：对称性、守恒律、稳定性；局部研究：平均值、动量定理、动能定理；瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性；2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题；3 从动力学观点上升到能量的观点。

（科学计算技术与研究式的学习模式）哈密顿原理、对称性和稳定性1.拉格朗日函数和哈密顿量拉格朗日函数L对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t qq L i i 来描述，其中i q 是广义坐标，=i q dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中ϕθcos sin R x =，θϕθcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。