物理竞赛讲义(三)力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心
力矩-有固定转动轴物体的平衡PPT课件
力所在的平面与转轴不垂直
把力分解到沿转轴方向，和垂直转轴 方向。
沿转轴方向的力，不能使物体绕 轴转动，该力对转轴的力矩为0
-
5
转动平衡条件：M合=0 或： M顺=M逆
平衡条件： F 0 M0
平面力系： FX =0
Fy =0
M 0
该力矩可取任意垂直平面的直线为轴
-
12
❖如图：由五根轻杆和一个拉力器构
成的正方形框架，A、B、C、D四
处由铰链连接，各杆可以自由转动。
AC杆和BD杆交会处不连接。如果
调节拉力器，使它产生的拉力为T。
请分析各杆受力情况。A
B
AD杆受拉力，大小为T
-
6
已知：杆重G1=80N，物重G2=240N
θ=30°
求：钢绳对杆OB的拉力F1
F1lsin-G1
l 2
-G2l
0
A
由此得：F1=G21+si2nG2 560N B
ห้องสมุดไป่ตู้
-
F1
Θ O
G1
F3
7
mgR - F (2R) 0 F mg
2
R 2R
mg
F
-
8
应用转动平衡求解重心
如图所示，边长为a的均匀正方形木板，被 挖去一个半径为a/4的圆孔，圆孔的边缘 和正方形右边缘相切，圆心在对称轴PQ 上，求该木板剩余部分的重心。
力矩
有固定转动轴物 体的平衡
-
1
1．转动平衡：有固定转动轴的物体， 如果保持静止（或匀速转动状态），则 这个物体处于转动平衡状态
高二物理竞赛课件：力矩转动惯量定轴转动定律
面内
即：都在转动平面内
三、定轴转动定律
O’
对刚体中任一质量元 mi ω
Fi (外力)
fi (内力)
ri P
mi
fi
i
Fii
应用牛顿第二定律，可得： O
Fi fi miai
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
Fi sini fi sini miai miri
用ri 乘以上式左右两端：
Firi sini firi sini miri2
d r s是in转轴到力作用线
F1 F
的距离，称为力臂。
因为这个力矩与Z轴平行, 因此我们称这个力矩为力
转动 平面
r
F2
对转轴 Z 的力矩
我们将力对z轴的力矩记作Mz
（2） M Z rF2 sin F2d
d r s是in转轴到力作用线
F1 F
的距离，称为力臂。
（3）F1 对转轴的力矩为零 ，在定轴转动中不予考虑。
设刚体由N 个质点构成，对每个质点可写出上 述类似方程，将N 个方程左右相加，得：
N
N
N
Firi sini firi sini (miri2 )
i1
i1
i1
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
N
firi sini 0
i 1
得到：
N
N
Firi sini (miri2 )
的代数和 M z
.
Mz Jzβ
z
Fej
O rj mj
Fij
Mz
Jz Jz
d
dt
讨论：
（1） M 一定，J
β 转动惯量是转动
高中物理奥林匹克竞赛专题力矩 刚体定轴转动定律 (共15张PPT)
解：以转台和二人为研究对象，所受外力只有重
力及轴的支撑力，诸力对转轴的合力矩为零，所
以系统角动量守恒．各转动惯量分别为
J 1 m R2 ，2
JA
1 mR2 2
JB
1mR/22
2
以，地面为参照系，A处的人走动的角速度为
＋(v / R)，B处的人走动的角速度为
(2v1R)-(4v/R)
2
由角动量守恒定律
0
0
mg x k x 2
0 .2
2
J
2
4
0
2
12 .6 故： v R 1 .26 m / s
3、质量为M的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于 盘的固定光滑轴转动，转动惯量为Mr2/2，绕过盘的 边缘挂有质量为m，长为l的匀质柔软绳索（如 图）．设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧 绳长之差为S时，绳的加速度的大小．
大小： M z F2rsin F 2 d
方向：
M
方向:
z
OZ
3、总力矩的大小= 所有外力力矩的代数和
M
正方向的规定：促进转动的力矩为正
z
1
§3-3 力矩 刚体定轴转动定律
二、定轴转动定律
F=mam d v
dt
dp
F=
dt
牛二
类比法
M z J
J
dw dt
已知： m i : p 点质量
M
z
dL dt
r
M
a
S
解：选坐标如图所示，任一时刻圆盘两侧的绳长
分别为x1、x2 选长度为x1、x2的两段绳和绕着绳 的盘为研究对象．设a为绳的加速度，β为盘的
角加速度，r为盘的半径，为绳的线密度，且在
高二物理竞赛课件：力矩和转动定律
1 mgl
2
例2）现有一质量为m，半径为R的匀质薄圆盘在 平面内以角速度ω转动，求摩擦力产生的力矩。
dr 解： 取细圆环为质元
ωr
dm
ds
m
R2
2rdr
dM r dF rgdmk
rg
m
R2
2rdrk
M
R
dM g
m 2r 2dr 2 gmR
0
R 2
3
(二）转动定律
要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个 类似于牛顿定律的、确定刚体在外力矩作用下运动状
力矩和转动定律
力矩和转动定律
——寻求类似于牛顿定律、确定刚体 在外力矩作用下运动状态发生变化的 规律——转动定律。
（一）刚体定轴转动的力矩 1 .对固定点的力矩 M r F
2 .对固定转轴的力矩 （1）力垂直于转轴
M
F
Or
d
Pr
这种情况相当于质点绕固定点
O 转动的情形, 可用上面公式.
（2）力与转轴不垂直
FN
FN
i
ri Fi Mi
i
注意: (a) M合
i ri
Fi
i
i
(b) 以上公式中, 力都应理解为垂直于转轴的分量, 下同.
(4) 若作用在刚体各处的力是连续分布的，可将
刚体分割成很多小质元，先求作用在每个质
元上的元力矩，再对所有元力矩求和
M合 r dF
(5) 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,即
在以角速度ω作定轴转动的刚体内, 取
质元 mi , 则其对OZ 轴的角动量为
ΔLi ri Δmivi ri Δmiri Δmi ri2ω
高中物理竞赛力矩和力矩平衡知识点讲解
高中物理竞赛力矩和力矩平衡知识点讲解力矩是表示力对物体产生转动作用的物理量，是物体转动转动状态改变的原因。
它等于力和力臂的乘积。
表达式为：M=FL，其中力臂L是转动轴到F的力线的（垂直）距离。
单位：Nm 效果：可以使物体转动.正确理解力矩的概念力矩是改变转动物体的运动状态变化的物理量，门、窗等转动物体从静止状态变为转动状态或从转动状态变为静止状态时，必须受到力的作用。
但是，我们若将力作用在门、窗的转轴上，则无论施加多大的力都不会改变其运动状态，可见转动物体的运动状态的变化不仅与力的大小有关，还受力的方向、力的作用点的影响。
力的作用点离转轴越远，力的方向与转轴所在平面越趋于垂直，力使转动物体运动状态变化得就越明显。
物理学中力的作用点和力的作用方向对转动物体运动状态变化的影响，用力矩这个物理量综合表示，因此，力矩被定义为力与力臂的乘积。
力矩概括了影响转动物体运动状态变化的所有规律，力矩是改变转动物体运动状态的物理量。
力矩是矢量，在中学物理中，作用在物体上的力都在同一平面内，各力对转轴的力矩只能使物体顺时针转动或逆时针转动，这样，求几个力矩的合力就简化为代数运算。
力对物体的转动效果使物体转动改变的效果不仅跟力的大小有关，还跟力臂有关，即力对物体的转动效果决定于力矩。
①当臂等于零时，不论作用力多么大，对物体都不会产生转动作用。
②当作用力与转动轴平行时，不会对物体产生转动作用，计算力矩，关键是找力臂。
需注意力臂是转动轴到力的作用线的距离，而不是转动轴到力的作用点的距离。
大小一定的力有最大力矩的条件：①力作用在离转动轴最远的点上；②力的方向垂直于力作用点与转轴的连线。
力矩的计算：①先求出力的力臂，再由定义求力矩M＝FL如图中，力F 的力臂为LF=Lsin θ 力矩M ＝F •L sin θ②先把力沿平行于杆和垂直于杆的两个方向分解，平行于杆的分力对杆无转动效果，力矩为零；平行于杆的分力的力矩为该分力的大小与杆长的乘积。
力矩定轴转动定理课件高中物理竞赛
2m R2 r
3dr
2m R2
1 4
r4
R m R2 1 mR2
02
2
3.2 力矩 定轴转动定理
例题2
求长度为 L，质量为m的均匀细棒对下列各轴的 转动惯量：① 轴过棒端并与棒垂直；② 轴过棒中点 并与棒垂直；③ 轴过离棒中点h远处一点并与棒垂直。
z
x dx
o
L
z
z
dx
dx
x
x
x
o
o x
x
L
L
得 Lz J
3.2 力矩 定轴转动定理
J miri2 称为刚体对z轴的转动惯量
i
刚体定轴转动的角动量等于刚体对转轴的转动惯 量与转动角速度的乘积。
Lz J
刚体定轴转动的角动量定理的微分形式
Mz
dLz dt
刚体对转轴的转动惯量恒定
Mz
J
d
dt
J
3.2 力矩 定轴转动定理
M z J 刚体对轴的转动定理
J r2dm m
刚体的转动惯量与下列因素有关：
❖ 刚体的质量 ❖ 刚体的质量分布 ❖ 转轴的位置
3.2 力矩 定轴转动定理
几种常见刚体的转动惯量：
细棒 2 力矩 定轴转动定理
L
2 力矩 定轴转动定理 §2-5给出了质点系角动量定理微分形式：
m
整个刚体对转轴的角动量
J 1 mL2 3
刚体的质量
ห้องสมุดไป่ตู้
M M zk L Lzk
对刚体定轴转动有
Mz
dLz dt
3.2 力矩 定轴转动定理
刚体中任一质量元 mi 对转动轴角动量大小为
Liz rimiυi 方向相同
高中物理竞赛 专题5：力矩及物体的平衡 (精品)
2.求力臂作图
L甲 D
若OP D
L乙
D 2
D L丙 2
L丁 0
L甲 L乙 L丙 L丁 垂直与杠杆的施力 , 力臂最大 , 转动效果最好
3.范例解说
欲施力將一圆柱（r=10cm）推上楼梯，如图：
①标出物体转动時的转轴（支点）位置。 ②如图的四个力F1、F2、F3、F4，其力臂依序为： L1＝ 10 cm；L2＝ 20 cm ,L3＝ 如图cm ；L4＝ cm 。 如图
F F F1
L M＝FL sin L
F2
M＝F1L ＝FL sin
五、合力矩的意义
1.合力矩的意义： 当物体同时受到几个力产生的力矩时，合力矩 为 順逆力矩之和 。 （1）如果力矩的方向相同，转动效果会增強。 （2）力矩的方向不同，转动效果会減弱。 （3）当順时针方向的力矩和逆时针方向的力矩大 小相等，则合力矩为零，对物体的转动效果也 为零，原本静止的物体 不会转动 。
A6B6上一点，这一点与此薄片中点
的距离等于它与小突起A6的距离，
平板上，现设板向上运动而棒AB匀速转动，则木板
对棒的弹力如变化？
FN
B
Ff G
A
4.如图，均匀细杆AB质量为M，A端装有转轴，B端 连接细线通过光滑滑轮和质量为m的重物C相连，若杆 AB呈水平，细线与水平方向夹角为 时恰能保持静止， 则M与m的关系是_____，杆对轴A的作用力大小为 ______。
1.2 力矩及物体的平衡
一、影响转动的因素探讨
O 转轴 OO’
A B C
在门 C 位置上施力，门很容易转动。
O’
二、力臂的定义
1.力臂的定义：
竞赛力矩平衡(定轴问题)
F
后
M
前
L
解：（1）如图图所示，当立方体向前翻滚时，以B
点为转动轴，根据力矩平衡的条件可知，当力 臂最大时，施加的力最小，则施加的力F应垂
直于BC
Mg
F
L F 22L
2Mg
4
若不发生相对滑动，此时应满足
(sin45)cos45MgFF
F
C
前
M B
G
1
3
（2）如图所示，当立方体向后翻滚时，以A点为转 动轴，根据力矩平衡条件可知，当力臂最大时，施加
面间的摩擦系数相等。
体向1．前或试向求后翻O转A，棒立顶方体点不所与平受面作发用生相力对的大小与方向；
M比N较2N．（5若）式在与O1（22A121棒）式的，中即可点得固棒定与地一面质间的量也为m的小球，再求其顶端所受作
3．固定小球后，要使体系保持静止，则棒与地面之间的摩擦系数至
T (125 160x)tan15
有固定转轴物体 的平衡问题
1．如图所示，质量为m的运动员站在质量为m的均匀长板AB的 中点，板位于水平地面上，可绕通过A点的水平轴无摩擦转动，板 的B端系有轻绳，轻绳的另一端绕过两个定滑轮后，握在运动员的
手中，当运动员用力拉绳子时，滑轮的两侧的绳子都保持在竖直方 向，则要使板的B端离开地面，运动员作用于绳的最小拉力是多少？
FhhNhNa()12111
②
NhFhhNa21122
() ③
而F为弹簧的弹力，由胡克定律可得
FkdaL
(2)④
由①②③④四式可得
k
()haM1222 1.2410N/m4
hdhhdaL112()(2)
1
N2
N1D N2
高中物理竞赛辅导资料四：力、力矩、平衡
高中物理竞赛辅导资料四：力、力矩、平衡（一）重力重力大小G=mg，方向竖直向下。
一般来说，重力是万有引力的一个分力，静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力，但向心力极小。
（二）弹力当物体在外力作用下发生形变时，其内部产生的反抗外力作用而企图恢复形变的力叫弹力。
胡克弹力的大小由F=k△x确定。
a)当劲度系数分别为k1、k2…的若干弹簧串联使用时，等效弹簧的劲度系数为：b)当劲度系数分别为k1、k2…的若干弹簧并联使用时，等效弹簧的劲度系数为：例一：一根重力不计的弹簧一端固定，挂上重100N的物体时伸长了30cm，若把弹簧减去2/3，再把100N物体挂在弹簧下端，则弹簧伸长了多少？劲度系数变为多少？（三）摩擦力1、摩擦力方向一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。
方向沿接触面的切线且阻碍物体间相对运动或相对运动趋势。
2、滑动摩擦力的大小由公式f=μN计算。
3、静摩擦力的大小是可变化的，无特定计算式，一般根据物体运动性质和受力情况分析求解。
其大小范围在0＜f≤f m之间。
（四）力矩力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。
记为M=FL，单位“牛·米”。
一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。
力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂例二：.如图所示是一根弯成直角的杆，它可绕O点转动.杆的OA段长30cm，AB段长40cm.现用F=10N的力作用在杆上，要使力F对轴O逆时针方向的力矩最大，F应怎样作用在杆上?画出示意图，并求出力F的最大力矩.（五）共点力作用下物体平衡条件：这些力的合力为零，即ΣF=0。
例三：如图所示，质量m =5kg 的物体，置于倾角θ=30°的粗糙斜面块上，用一平行于斜面的大小为30N 的力推物体，使其沿斜面向上匀速运动.求地面对斜面块M 的静摩擦力.（六）三力汇交原理：若一个物体受三个非平行力作用而处于平衡状态，则这三个力必为共点力。
高中物理竞赛辅导力学部分专用讲义
高中物理《竞赛辅导》力学部分目录第一讲：力学中的三种力第二讲：共点力作用下物体的平衡第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心第四讲：一般物体的平衡、稳度第五讲：运动的基本概念、运动的合成与分解第六讲：相对运动与相关速度第七讲：匀变速直线运动第八讲：抛物的运动第九讲：牛顿运动定律（动力学）第十讲：力和直线运动第十一讲：质点的圆周运动、刚体的定轴转动第十二讲：力和曲线运动第十三讲：功和功率第十四讲：动能定理第十五讲：机械能、功能关系第十六讲：动量和冲量第十七讲：动量守恒《动量守恒》练习题第十八讲：碰撞《碰撞》专题练习题第十九讲：动量和能量《动量与能量》专题练习题第二十讲：机械振动《机械振动》专题练习第二十一：讲机械波第二十二讲：驻波和多普勒效应第一讲： 力学中的三种力【知识要点】（一）重力重力大小G=mg ，方向竖直向下。
一般来说，重力是万有引力的一个分力，静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力，但向心力极小。
（二）弹力1．弹力产生在直接接触又发生非永久性形变的物体之间(或发生非永久性形变的物体一部分和另一部分之间)，两物体间的弹力的方向和接触面的法线方向平行，作用点在两物体的接触面上．2．弹力的方向确定要根据实际情况而定．3．弹力的大小一般情况下不能计算，只能根据平衡法或动力学方法求得．但弹簧弹力的大小可用．f=kx(k 为弹簧劲度系数，x 为弹簧的拉伸或压缩量)来计算 ．在高考中，弹簧弹力的计算往往是一根弹簧，而竞赛中经常扩展到弹簧组．例如：当劲度系数分别为k 1,k 2,…的若干个弹簧串联使用时．等效弹簧的劲度系数的倒数为：nk k k 1...111+=，即弹簧变软；反之．若以上弹簧并联使用时，弹簧的劲度系数为：k=k 1+…k n ，即弹簧变硬．(k=k 1+…k n 适用于所有并联弹簧的原长相等；弹簧原长不相等时，应具体考虑) 长为0L 的弹簧的劲度系数为k ，则剪去一半后，剩余2L 的弹簧的劲度系数为2k （三）摩擦力 1．摩擦力一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。
高二物理竞赛力矩转动惯量定轴转动定律PPT(课件)
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
目录
第一章 力和运动
第二章 运动的守恒量和守恒定律
第三章 刚体和流体的运动
第四章 相对§论3-1基刚础体模型及其运动 第五章 气体§动3-2理力论矩 转动惯量 定轴转动定律 第六章 热力§学3-3基定础轴转动中的功能关系
第七章 静止§电3-4荷定的轴电转场动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
J
T1 T2
T1' T2'
m
a r
a m2 m1 g M r / r
m2
m1
1 2
m
m1 参考：P117、P35
mr
a m2
T1
T2
T1
T2
m1
a
a
G1
m2
G2
27
例题 3-4 dm r d dr e m e R2
解: 阻力矩：M rdmg g rr d dr e
v
推导：
切向加速度 向心加速度
a dv d r dr
dt dt
dt
9
例题
0 t 2 n t 0
0t
1t2
2
2
N
v r sin 90
at r an 2r
0
O
an r
v
a
at
10
例题
d (at bt 3 ct 4 ) a 3bt 2 4ct 3
dt
d d (a 3bt2 4ct3 ) 6bt 12ct2
定轴转动定律
1
J 15 6 第九章 电磁感应 电磁场理论
总质量相同，质量分别离轴越远，J 越大。
F 平行转轴的力不产生转动效果，
2020山大附中高中物理竞赛辅导课件04刚体的转动(共13张PPT)(2)
转动起作用
二.定轴转动定律
对Pi：
F ifi m iai
F的i 法向分力作用线通过转
轴，其力矩为零
z
ri
Pi
Fi
因为内力矩之和为零
Mz Fitri miri2
i
i
----外力对转轴z的力矩
Mz
i
miri2 Jz
Jz
d
dt
----刚体的定轴转动定律
切向： Fitfitmiaitmiri
8 、世界不会在意你的自尊，人们看的只是你的成就。在你没有成就以前，切勿过分强调自尊。 5. 超越自己，向自己挑战，向弱项挑战，向懒惰挑战，向陋习挑战。 4. 努力吧，飞向属于自己的明天! 1 、伟大的成就，来自为远大的目标所花费的巨大心思和付诸的最大努力。 1. 凡是值得做的事那就一定要做好，记住，三分天注定七分靠打拼! 7 、有了梦想，就应该迅速有力地实施。坐在原地等待机遇，无异于盼天上掉馅饼。毫不犹豫尽快拿出行动，为梦想的实现创造条件，才是梦 想成真的必经之路。
2020 高中物理竞赛
辅导课件
山大附中物理竞赛教研组 编
（含物理竞赛真题练习）
§4-3 力矩、刚体定轴转动定律
一.力矩
F对O 的力矩 M0rF
在起定作轴用转，F动中对，转只轴有的F力矩 M zrF
z
F//
F
Od r
F
P
大小 MzFrsin Fd
方向沿z轴
----与转轴平行的力矩对刚体的定轴
两边同乘以ri
Fitri fitri miri2
对整个刚体求和
F ir ti fir ti m iri2
i
i
i
[例1]在半径分轻绳，各挂质量为m1、m2的
2019-2020年高中物理竞赛《力矩平衡条件及其应用》名师专题辅导讲义导学案
2019-2020年高中物理竞赛《力矩平衡条件及其应用》名师专题辅导讲义导学案 基本知识：1、相反）2、一般物体受力平衡的条件：（1）合外力等于0，即：F（2）所有力对任意转动轴的合力距为0（力矩平衡）力对某一点的力矩的代数和为00.基本练习：1． 如图：BO 是一根质量均匀的横梁，重量G 1＝80N ，BO 的一端安在B点，可绕通过B 点且垂直于纸面的轴转动，另一端用钢绳AO 拉着横梁保持水平，与钢绳的夹角o30=θ，在横梁的O 点挂一个重物，重要G 2＝240N ，则钢绳对横梁的拉力F 1 N 。
2．如图所示，OAB 是一弯成直角的杠杆，可绕过O 点垂直于纸面的轴转动，杆OA 长30cm ，AB 段长为40cm ，杆的质量分布均匀，已知OAB 的总质量为7kg ，现在施加一个外力F ，使杆的AB 段保持水平，则该力作用于杆上 点， F 的最小值为 N 。
3．一辆汽车重1.2×104N ，使它的前轮压在地秤上，测得的结果为6.7×103N ，汽车前后轮之间的举例是 2.7m ，则汽车重心的位置距离前轮与地面接触点的水平距离为m 。
4．如图，一块均匀木板MN 长L ＝15m ，G 1＝400N ，搁在相距8m 的两个支架A 、B 上，MA ＝NB ，重G 2＝600N 的人从A 向B 走去，则人走到距离A 支架1.6m 处时，木板对A 支架的压力是 N ，对B 支架的压力是 N ；人走过B 点 m 后木板会翘起来。
5．如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平。
O 点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。
一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m 1和m 2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m 1的小球与O 点的连线与水平线的夹角为a =60°。
两小球的质量比12m m 为 。
6．要使质量为m 的重球滚上台阶，作用力应该作用在球面上的力在什么地方、沿什么方向，才最省力？最小力为多少？ 答：7．如图1-58所示，A 、B 是两个完全相同的长方形木块，长为l ，叠放在一起，放在水平桌面上，端面与桌边平行．A 木块放在B 上，右端有4l伸出，为保证两图1-58块不翻倒，木块B 伸出桌边的长度不能超过（ ）(A)l /2 (B)3l /8 (C)l /4 (D)l /88．如图1-60所示，将粗细均匀、直径相同的均匀棒A 和B 粘合在一起，并在粘合处用绳悬挂起来，恰好处于水平位置而平衡，如果A 的密度是B 的两倍，那么A 的重力大小是B 的_______倍． 9．如图1-61所示，一个质量为m 、半径为R 的球，用长为R 的绳悬挂在L 形的直角支架上，支架的重力不计，AB 长为2R ，BC 长为R 32，为使支架不会在水平桌面上绕B 点翻倒，应在A 端至少加多大的力？10．棒AB 的一端A 固定于地面,可绕A 点无摩擦地转动,B 端靠在物C 上,物C 靠在光滑的竖直墙上,如图1-63所示.若在C 物上再放上一个小物体,整个装置仍保持平衡,则B 端与C 物之间的弹力大小将（ ）(A)变大 (B)变小 (C)不变 (D)无法确定11．如图1-64所示，质量为m 的运动员站在质量为m 的均匀长板AB 的中点，板位于水平地面上，可绕通过A 点的水平轴无摩擦转动，板的B 端系有轻绳，轻绳的另一端绕过两个定滑轮后，握在运动员的手中，当运动员用力拉绳子时，滑轮的两侧的绳子都保持在竖直方向，则要使板的B 端离开地面，运动员作用于绳的最小拉力是_________．12．如图1-65所示，半径是0.1m ，重为310N 的均匀小球，放在光滑的竖直墙和长为1m 的光滑木板（不计重力）OA 之间，木板可绕轴O 转动，木板和竖直墙的夹角为θ=60°，求墙对球的弹力和水平绳对木板的拉力．13．如图1-66所示，均匀杆AB 每米重为30N ，将A 端支起，在离A 端0.2m 的C 处挂一重300N 的物体，在B端施一竖直向上的拉力图1-61图1-64 图1-65图1—66 图1-63F ，使杆保持水平方向平衡，则杆长为多少m 时所需的拉力F 最小？最小值为多少N ？14．图1-67中是用电动砂轮打磨工件的装置，砂轮的转轴过图中O 点垂直于纸面，AB 是一长度m l 60.0=，质量kg m 50.01=的均匀刚性细杆，可绕过A 端的固定轴在竖直面（图中纸面）内无摩擦地转动，工件C 固定在AB 杆上，其质量kg m 5.12=，工件的重心、工件与砂轮的接触点P 以及O 点都在过AB 中点的竖直线上，P 到AB 杆的垂直距离m d 1.0=，AB 杆始终处于水平位置，砂轮与工件之间的动摩擦因数6.0=μ。
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郑梁梅高级中学高一物理竞赛辅导讲义
第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心
【知识要点】
（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。
（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。
记为M=FL ，单位“牛·米”。
一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。
（三）有固定转轴物体的平衡条件
作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。
即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。
（四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。
计算重心位置的方法：
1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。
2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。
3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m 1和m 2的A 、B 两质点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为： 212211m m x m x m x C ++= 212211m m y m y m y C ++= 一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系，
其重心C 位置由如下公式求得：
i i i C m x m x ∑∑= i i i C m y m y ∑∑= i
i i C m z m z ∑∑= 本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。
【典型例题】
【例题1】如图所示，光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球A 和B 两球之间连有弹簧，平衡时圆心O 与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为α和β，求两球质量之比。
y y y 2α β A B
O
【例题2】（第十届全国预赛）半径为R ，质量为m 1的均匀圆球与一质量为m 2的重物分别用细绳AD 和ACE 悬挂于同一点A ，并处于平衡。
如图所示，已知悬点A 到球心O 的距离为L ，若不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD 和竖直方向的夹角θ。
【例题3】（第十届全国决赛）用20块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块的长度为L ，横截面为4
L h =的正方形，求此桥具有的最大跨度（即桥孔底宽），试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。
【例题4】（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片A i B i （i=1，2…），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起B i 恰在碗口上，另一端小突起A i 位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m 的质点放在薄片A 6B 6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A 6的距离，则薄片A 6B 6中点所受的（由另一薄片的小突起A 1所施的）压力。
【练习】
1、如图所示，木棒的一端用一根足够短的绳子拴住悬挂在天花板上，另一端搁在滑动摩擦因数为μ的水平木板上，木板放在光滑的水平面上，若向右匀速拉出木板时的水平拉力为F 1，向左匀速拉出时的水平拉力为F 2，两种情况下，木棒与木板间的夹角均保持为θ不变，试比较F 1和F 2的大小？
12 3 B
2、如图所示，是一种手控制动器，a 是一个转动着的轮子，b 是摩擦制动片，C 是杠杆，O 是其固定转动轴，手在A 点施加一作用力F 时，b 将压紧轮子使轮子制动，若使轮子制动需要的力矩是一定的，则下列说法正确的是： A 、轮a 逆时针转动时，所需力F 小 B 、轮a 顺时针转动时，所需力F 小 C 、无论轮a 逆时针还是顺时针转动所需的力F 相同
D 、无法比较力F 的大小
3、两根等长的细线，一端拴在同一悬点O 上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为m 1和m 2，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为45和30°，如图所示。
则m 1 : m 2为多少？
4、如图所示，一个半径为R 的均质金属球上固定着一根长为L 的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。
由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为μ），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F 的水平拉力。
试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？
a b C
O A F。