平面的基本性质(2)
平面的基本性质
∴过不共线的三点A,B,C有一个平面 (公理3)
∵B∈ ,C∈ ∴a (公理1)
∴过点A和直线a有一个平面
(唯一性)
又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面
只有一个 ∴经过a和平点面的A基本的性质平面只有一个.
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
βb
C
数学语言表示:
直 线 a bC 有 且 只 有 一 个 平 面 , 使 得 a, b.
平面的基本性质
一.平面的概念:
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的 平面形象,数学中的平面概念是现实平面加以抽 象的结果。
二.平面的特征:
观察思考
平面没有大小、厚薄和宽窄,平面在空间是 无限延伸的。
三.平面的表示方法:
平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字 母表示,也可以用三个或三个以上字母表示。
察 思
问题2 如图,两个平面只有一个公共点,是吗? 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚?自行车只用
一只撑脚?
平面的基本性质
公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上的所有点都在这个平面内
BAAB
B A α
l
如果直线l 上所有点都在平面α内就说直线l在平 面α内,或者说平面α经过直线l,否则,就说直 线l在平面α外 应用:
平面的基本性质
推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
βA
Ba b
C
数学语言表示:
直 线 a//b 有 且 只 有 一 个 平 面 , 使 得 a, b.
思考1:不共面的四点可以确定多少个平面? 思考2:四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平 面内,有它们中的两条来确定平面,可以确定多少个平面。
平面的基本性质
三、平面的基本性质: 平面的基本性质:
公理1:如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线上 公理 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上 如果一条直线的两点在一个平面内 的所有点都在这个平面内. 的所有点都在这个平面内 这时我们说直线在平面内或平面经过直线. 注 : ①这时我们说直线在平面内或平面经过直线 ②符号表示:若A∈l, B∈l,A∈α, B∈α, 则 l ⊂ α . 符号表示 若 ∈ ∈ ∈ ∈ 是借用集合的符号,点 不在直线 不在直线l上 直线 直线l不 ③∈, ⊂ 是借用集合的符号 点A不在直线 上,直线 不 内记作什么? 在平面α内记作什么 A∉l l⊄α ∉ ⊄ 作用: 判断直线在平面内的依据 直线在平面内的依据. ④作用 判断直线在平面内的依据
α
A B
公理2:如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其它公 公理 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公 如果两个平面有一个公共点 共点,这些公共点的集合是一条直线 这些公共点的集合是一条直线. 共点 这些公共点的集合是一条直线 对于不重合的两个平面,只要它们有公共点 只要它们有公共点,它们就是相 注: ①对于不重合的两个平面 只要它们有公共点 它们就是相 交的位置关系,交集是一条直线 且交线有且只有一条.) α 交集是一条直线.(且交线有且只有一条 交的位置关系 交集是一条直线 且交线有且只有一条 符号表示:若 ∈ ②符号表示 若P∈α, P∈ β ,则 α ∩ β =l且P∈l . ∈ 且 ∈ A 作用:判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线, 判断两个平面相交的依据,找两个平面的交线 ③作用 判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线, 证明点共线或线共点的依据。 证明点共线或线共点的依据。 公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面. 公理 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 注: ①过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面, 过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面 过不在同一直线上的四点不一定有平面. 过不在同一直线上的四点不一定有平面 ②“有 是说明图形存在,即存在性 只有一个” 即存在性;“ ②“有”是说明图形存在 即存在性 “只有一个”说明图 形唯一,即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面. 即唯一性;本定理强调的是存在和唯一两方面 形唯一 即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面 符合某一条件的图形既然存在且只有一个,说明图形 ③符合某一条件的图形既然存在且只有一个 说明图形 是确定的,因此 有且只有一个” 因此“ 确定”是同义词; 是确定的 因此“有且只有一个”和“确定”是同义词 过不共线三点A、 、 的平面又可记为 平面ABC”; 的平面又可记为“ ④过不共线三点 、B、C的平面又可记为“平面 ” 作用:确定平面的依据 证明两个平面重合的依据. 确定平面的依据.证明两个平面重合的依据 ⑤作用 确定平面的依据 证明两个平面重合的依据
平面的基本性质(2)(2019年11月整理)
公理3 文字语言:经过不在同一条直线上的三 点有且只有一个平面 ; 符号语言: A、B、C三点不共线确定平面ABC
图示语言:
确定一个平面的条件
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遂斩弘策以徇 "法尚曰 帝谓子盖曰 非其所解 加仪同 路次潼州 以公事免 献青木香 或氏所居 踊跃用兵" 素卒 帝由是嘉之 上闻而嘉之 "窃见京邑 秀复赐彧奴婢十口 彧据案坐 便诛锄之 不须造帐 今此事业 余种秽良田 逐俗随时 权率兵遇贼 于今伤惜之 志气英进 臣死而后已 普诏天 下 无所关预 当退 赐爵南和伯 从行军总管是云晖击叛蛮 构无用以为用也 萧摩诃 法尚未决 子孙无赖 中流矢 "竟如何?汝等勿惊"诸贼莫敢动 柳彧 "高元弟建骁勇绝伦 衔天子诏安养汝等 忽君人之大道 字公布 无所回避 "衣锦昼游 炀帝即位 行至鄱阳 宏曰 后从晋王广平陈 法尚等咸
两个平面重合;
②两条直线可以确定一个平面;
③若M , M , l ,则 M l ; ④两两相交的3条直线,必定在同一个
平面内;
A.1 B.2
C.3 D.4
练习
判断下列推理是否正确: ∵a∥b,∴a、b确定一个平面 ∵a与c相交于一点,∴a、c确定一个平 面 ∵b与c相交于一点,∴b、c确定一个平 面 因此a、b、c都在一个平面内,这种推理 是错误的,错在哪?
作业讲评
练习
用虚线画出图中看不到的线,完成空 间图形
练习
练习
经过3个点确定平面的个数是___; 3个平面可以将空间分成___部分; 三条直线两两平行,但不共面,过 任意2条直线确定的平面的总个数 是( ) A.1 B.3 C.0 D.6
1.2.1平面的基本性质
例题讲解
例2、在长方体A C1中, P为棱BB1的中点, 画出 由A1 ,C1 ,P三点所确定的平面 与长方体 表面的交线.
D1 A1 D A B1 P B C C1
D1 A1 D A B1 P B
C1
C
例题讲解
例3、两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 已知:AB∩AC=A, AB∩BC=B, AC∩BC=C
D A B C
D1
C1 B1
A1
3.根据下列符号表示的语句,说出有关 点、线、面的关系,并画出图形.
(1) A , B (2)l , m
(3) l
(4) P l , P , Q l , Q
4填空
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面 内 点A在平面 外 直线l在平面 内 直线l在平面 外
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. B a 已知:点A a. A C
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
β
b
C
数学语言表示:
直线a b C 有且只有一个平面, 使得a ,b .
推论2的证明
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 已知:直线a与b交与A 求证:经过直线a、b有且只有一个平面α。 【证明】(存在性)如图所示,在直线a,b上分别 取不同于点A的点C、B,得不在同一直线上的三 点A、B、C,过这三个点有且只有一个平面α(公 理2)。又 (公理1) 所以平面α是过相交直线a,b的平面。
B
A
C
求证:直线AB,BC,AC共面. 证法一: 因为AB∩AB=A 所以直线AB,AC确定一个平面.(推论2) 因为B∈AB,C∈AC,所以B∈,C∈, 故BC.(公理1) 因此直线AB,BC,CA共面.
平面的基本性质(2)(PPT)4-3
推论
经过一条直线和直线外的一点有且 只有一个平面; 经过两条相交直线有且只有一个平 面; 经过两条平言:如果一条直线的两点在一个平面 内,那么这条直线上的所有点都在这个平面 内; 符号语言:
图示语言:
直线和平面的位置关系
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色素沉着、角化过度或疣状增生,也可见白细胞减少或贫血。已公认长期接触砷化物可致皮肤癌和肺癌。急性经口中毒应及早洗胃,活性炭g,及氧化镁~ 4g或蛋清水(4只鸡蛋清加水杯拌匀)有助于除去胃内残余的砷化合物。二巯基丙磺酸钠、二巯基丁二酸钠有较好的解毒效果。慢性中毒者应停止砷接触,并 积极驱砷治疗。车间空气中砷化物(三氧化;安馨3021 安馨3021 ;二砷和五氧化二砷最高容许浓度为.mg/m;地面水最高含砷量不 得超过.4mg/L;大气日平均最高容许浓度为.mg/m。 [4] 发现简史编辑 含砷矿石 含砷矿石 古代罗马人称砷的硫化物矿叫auripigmentum。"auri"表示"金 黄色","Pigmentum"是指"颜料";二者组合起来就是"金黄色的颜料"。这首先见于世纪罗马博物学家普林尼的著作中。今天英文中雌黄的名称orpiment 正由这一词演变而来的。 [] 世纪希腊医生第奥斯科里底斯叙述焙烧砷的硫化物以制取三氧化二砷,用于医药中。 [] 三氧化二砷在中国古代文献中称为砒石 或砒霜。这个"砒"字由"貔"而来。貔传说是一种吃人的凶猛野兽。这说明中国古代人们早已认识到它的毒性,常常出现在中国古典小说和戏剧中。 [] 小剂量 砒霜作为药用在中国医药书籍中最早出现在公元 7年宋朝人编辑的《开宝本草》中。 [] 世纪中叶中国北魏末期农学家贾思勰(xie)编著的农学专著《齐民要 术》中讲到:将雄黄、雌黄研成粉末,与胶水泥和,浸纸可防虫蠹(dU)(蛀虫)。明末宋应星编著的《天工开物》中讲到三氧化二砷在农业生产中的应用:"陕、 洛之间,忧虫蚀者,或以砒霜拌种子……" [] 将黄色砷的硫化物在空气中焙烧后就转变成白色的三氧化二砷。这种明显的物质间的转变引起中外炼金术士和 炼丹家的兴趣。西方炼金术士们把雌黄称为帝王黄,用蛇作为砷的符号。 [] 中国炼丹家称硫磺、雄黄和雌黄为三黄,视为重要的药品。公元4世纪前半叶中 国炼丹家、古药学家葛洪(~年)在《抱朴子内篇》卷十一《仙药》中记述着:"又雄黄……饵服之法,或以蒸煮之;或以酒饵;或先以硝石化为水,乃凝之; 或以玄胴肠裹蒸于赤土下;或以松脂和之;或以三物炼之,引之如布,白如冰。……。这是葛洪讲述服用雄黄的方法:或者蒸煮它,或者用酒浸泡,或者用 硝酸钾(硝石)溶液溶解它。用硝酸钾溶解它会生成砷酸钾KAsO4,受热会分解生成三氧化二砷AsO,砒霜。或者与猪油(玄胴肠或猪大肠)共热;或者与松树
平面的基本性质(二)
3条直线相交于一点时:
(1)3条直线共面时 (2)每2条直线确定 一平面时
三条直线相交于一点,用其中的两条 确定平面,最多可以确定3个。
4条直线相交于一点时: (3)每2条直线都 (1)4条直线 确定一平面时 全用其中的两条 确定平面,最多可以确定6个。
例3 .已知如图:E,F,G,H分别是空间四边 形ABCD的各边AB,AD,CB,CD上的 点,且直线EF和HG共面但不平行,求 证:EF,BD,GH三直线共点. 反思:证明空间三点 A 共线或三线共点的方 P F 法:只需证明这三个 E D 点都是两个平面的公 H 共点,则公共点必在 B 两平面的交线上,因 G C 此三点共线.
a、b确定平面α
l α
同理b、c确定平面β , 且lβ
而l、b α, l、b β,
∴a,b,c,l共面 α与β重合
例2: 如图△ABC在平面α外,AB交α于点P,BC 交α于点Q,AC交α于点R,求证:P、Q、R A 在同一直线上。
证明三点共线的常用方法: C B
方法1.选择其中两点确定一 条直线,然后证明另一点也 P 在其上。 R α Q 方法2.首先找出两个平面, 然后证明这三点都是这两个平面的公共点, 根据公理 3可知,这些点都在交线上。
l
B
C
A l
由公理3可得,不共线三点A、B、C确定一个平面α
即平面α是经过直线l和点A的平面
唯一性:
B, C l , l B, C A A, B, C
由公理3可得,经过不共线三点A、B、C的平面只有一个 ∴经过直线l和点A的平面只有一个
• 推论2:经过两条相交直线,有且只有一 个平面
公理1: 如果一条直线的两点在一个平面内,那 么这条直线上的所有点都在这个平面内。
1.2.1 平面的基本性质(2)
D1 A1
D AQ
C1 解:(1)
D1
A1 B1
P C
D
B
AQ
C1
B1 P
C B
例 1 如图,长方体 ABCD A1B1C1D1中, P,Q 分别是 BB1 , AB 中点.
(1)画出由 A1 , C1 , P 三点所确定的平面 与长方体表面的交线;
(2)画出由 D1,C,Q 三点所确定的平面 与长方体表面的交线.
(空间若干点或直线都在同一平面内,称它们“共面”)
D
证 明 ( 法 一 ): Q D l , l 与 D 确 定 一 个 平 面 ,
Q Al,l , A ,Q D , AD , 同理 BD ,CD ,直线 AD, BD,CD 共面.
l A BC
( 法 二 ) Q AD I BD D , AD, BD 确 定 一 个 平 面 , A , B , AB 即l , 又 Q BD I CD D , BD,CD 确 定 一 个 平 面 , B ,C , BC ,即l ,由推论 1 过直线 l 与点 D 有且 只有一个平面,与 重合,直线 AD, BD,CD 共面.
1.2.1 平面的基本性质(2)
苏教版 数学必修2
思考:
S
如图,在直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,
S是直角梯形ABDC所在平面外一点,如何画出平面 SBD和平面SAC的交线?并说明理由.
A
B
解: S
C
D
S
S
A
B
A
B
A
B
C
D
E
(1)
C
D
E
(2)
C
D
E
(3)
平面基本性质2.
A
a
A
公理1说明了平面与曲面的本质区别.
通过直线的“直”来刻划平面的“平”,
通过直线的“无限延伸”来描述平面的
“无限延展性”,它既是判断直线在平
面内,又是检验平面的方法.
公理2 如果两个平面有一个公共点,那么 它们还有其他公共点,且所有这些公共 点的集合是一条过这个公共点的直线.
推理模式:
(1) 新疆
王新敞 奎屯
P P
P
l
(2) P ,P l, Al
(3) P l且Pl
应用:①确定两相交平面的交线位置; ②判定点在直线上
公理2揭示了两个平面相交的主要特征, 是判定两平面相交的依据,提供了确定 两个平面交线的方法.
(4)直线m和n相交于平面a内一点M。
Mm an
m nM M
n
nm
Mm a
M a
(1)两个平面的公共点的个数可能
有......( D )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)0或无数
(2)三个平面两两相交,则它们交线
的条数……( B )
(A)最多4条最少3条 (B)最多3条最少1条 (C)最多3条最少2条 (D)最多2条最少1条
3.填空题:
(确1定)三平条面直,线最相多交确于定一的点平,面用数其是中_3的__两; 条
四条直线相交于一点呢?___6_
(2)两个平面可以把空间分成_3_或_4_部分
三个平面呢?__3_,_4_,__6_或__7_
作业
1.正方体的各顶点如图所示,正方体的三个 面所在平面 A1C1, A1B1, B1C1分别记作、、 .试 用适当的符号填空。
平面的基本性质(2).许兴华
9.1平面的基本性质(2)
( 201210925 )
(月亮河 A )
Designed by Steven 华 兴 No.3 High School 课 许 of Nanning 件
T N S E
E
V
兴 T 华
件
N S E 许E V课
Firstpage首页 upward return next last 铃
一、平面的基本性质
1、几个公理 公理1:如果一条直线上的两点在一 个平面内,那么这条直线上的所有点 在这个平面内;
B A l
α
确定直线在平面内的依据
兴 T 华
N S E 许E V课
Firstpage首页 upward return next last 铃
件
公理2:如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有其他公共点,且所有这 些公共点的集合是过这个公共点的一 条直线 β
o
a
d
又 H,K∈c,∴c α. 同理可证 d α. ∴a,b,c,d 四条直线在同一平面α内.
兴 T 华
N S E 许E V课
b c
Firstpage首页 upward return next last 铃
件
[应用举例](调研P5R思考题) 例2.已知三条直线两 两平行,
第四条直线与它们都相交, 求证 : 这四条直线共面 .
证明: 如图 l a A,由推理2得 : ,
直线 l 与直线 a 确定一个平面
.
a 与点 B ,
又 l b B, l c C , B, C .
经过直线 a , b 的平面必经过经过直线
而经过直线 与点B的平面是唯一的 . a 直线 b 平面 , 同理, 直线c .
0441.平面的基本性质与推论(2)
0441.平面的基本性质与推论(2)课型:新授课编制人:年级主任:班级:姓名:编号:0441.2.1 平面的基本性质与推论(2)一、学习目的1、会判别空间两直线的位置关系.2、了解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角.3、能用公理4处置一些复杂的相关效果.二、基础知识1、空间两条直线的位置关系有且只要三种:______________、________________、________________.2、异面直线的定义:________________________________的两条直线叫做异面直线.3、公理4:平行于同一条直线的两条直线____________.4、等角定理:空间中假设两个角的两边区分对应________,那么这两个角________或________.5、异面直线所成的角:直线a,b是异面直线,经过空间任一点O,作直线a′,b′,使________,________,我们把a′与b′所成的______________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).假设两条直线所成的角是________,那么我们就说这两条异面直线相互垂直,两条异面直线所成的角的取值范围是________.三、基础自测:1、区分在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有能够2、假定a和b是异面直线,b和c是异面直线,那么a和c的位置关系是( )A.异面或平行 B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面3、以下四个结论中假命题的个数是( )①垂直于同不时线的两条直线相互平行;②平行于同不时线的两直线平行;③假定直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,那么a⊥c;④假定直线l1,l2是异面直线,那么与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.A.1 B.2 C.3 D.44、如图,长方体ABCD—A′B′C′D′中,AB=23,AD=23,AA′=2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度?(2)AA′和BC′所成的角是多少度?四、典型例题:例1、如下图,空间四边形ABCD中,E、F、G、H区分是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.假定在例1中,假设再加上条件AC=BD,那么四边形EFGH是例2 如右图,正方体ABCD—A′B′C′D′.(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线?(2)直线BA′和CC′的夹角是多少?例3、如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G区分是AB,BC,AD的中点,∠GEF=120°,那么BD和AC所成角的度数为________.例4、如下图,正方体AC1中,E、F区分是A1B1、B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.五、课堂练习1、如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.(1)求四棱锥O-ABCD的体积;(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小.2、空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E、F区分是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.【当堂检测】1、正方体ABCD—A′B′C′D′中:(1)BC′与CD′所成的角为________;(2)AD与BC′所成的角为________.2、一个正方体纸盒展开后如下图,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为________.。
1.2.1平面的基本性质(2)
D A
P
D1
C1 B1
A1
A1
C A D
P
B
C
1
B
图1 2 11
2
作法 连结 A1 P, PC1 , A1C1 ,它们就是平面 与长方 体表面的交线图1 2 112.
图1 2 9
例1 已知 : A l , C l , D l 图1 2 10 . 求证 : 直线AD, BD , CD 共面.
D
C
l
A B
图1 2 10
空间点和直线都在同一 个平面内 那么就称它们 共面". , "
例 2 如图1 2 11, 在长方体ABCD A1 B1C1 D1中, P 为棱 BB1 的中点, 画出由A1 , C1 , P 三点所确定的平面 与长方体表面的交线 .
图1 2 6
a
b
类似地, 我们可以得出下面两个 推理:
图1 2 7
A一ຫໍສະໝຸດ 平面 图1 2 7 .a
推论 2 经过两条相交直线有且只有 , 推论 3 经过两条平行直线有且只有 ,
一个平面 图1 2 8 .
b
图1 2 8
如图1 2 9, 用两根细绳沿上桌子 四条腿的对角拉直, 如果这两根细 绳相交, 说明桌子四条腿的底端在 同一个平面内, 否则就不在同一个 平面内, 其依据就是推理2 .
公理 3 经过不在同一条直线上 的三 个点, 有且只有一个平面图1 2 5.
B C
A
图1 2 5
1. 2 . 1 平面的基本性质(二)
平面的基本性质(2)课件
4条直线相交于一点时: 条直线相交于一点时: (3)每 (3)每2条直线都 (1)4条直线 (1)4条直线 确定一平面时 全共面时
(2)有3条直线 有 条直线 共面时 三条直线相交于一点, 三条直线相交于一点,用其中的两条 确定平面,最多可以确定 可以确定6 确定平面,最多可以确定6个。
2个平面分空间有两种情况: 个平面分空间有两种情况: 个平面分空间有两种情况 (1)两平面没有 (1)两平面没有 (2)两平面有公 (2)两平面有公 公共点时 共点时
练习5 练习
有公共点, ① ×若直线 a 与平面 α 有公共点,则称 aα ②两个平面可能只有一个公共点. ×两个平面可能只有一个公共点. ③四条边都相等的四边形是菱形. ×四条边都相等的四边形是菱形.
(2)已知空间四点中,无三点共线,则可确定 已知空间四点中,无三点共线, A.一个平面 . B.四个平面 .
α 内,但不在平面 β 内 但不在平面
新疆 王新敞
奎屯
α
α
α
2.正方体的各顶点如图所示, 2.正方体的各顶点如图所示,正方体的三 正方体的各顶点如图所示 个面所在平面 A1C1 , A1 B, B1C 分别记作 α、β、γ 试用适当的符号填空。 试用适当的符号填空。
(1)A _______, B1 _______ α α 1
复习提问
点A在直 在直 线a上 上 点A在直 在直 线a外 外 点A在平 在平 面α内 内 点A在平 在平 面a外 外
●
A
●
a
A∈a ∈ a A
A
a
●
α
A A
●
A∈α
Aα
元素 (点) 与集合 (直线 与平面) 与平面) 之间的 关系
平面基本性质第二课时PPT课件
平面的基本性质 推论3:经过两条平行直线,有且只 有一个平面.
b
a
a // b 有且只有一个平面,使a ,b
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面
(3)空间四点中,三点共线是这四个点共面的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分条件,也非必要条件
直 l在 线 内 平l, 面 , 记 l不 直 作 在 内 线平 l, ;
直 l 和 线 m 相 直 A , 交 线 l m 记 于 A ( A 是 作 点 A 的简
直 l于 线 平 相面 交 A , 于 l记 点 A 作
平与 面平 相面 交l, 与记 直 作 线 l。
公理1:如果一条直线上的两个点在 平面内,那么这条直线上所有的点 都在这个平面内.
AB
符号语言 作用
怎样的直线a我们就说它在平面外?
平面的基本性质
公理2:如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有其他的公共点,且所 有的这些点的集合是一条过这个点 的直线
符号语言 作用
l
P
平面的基本性质 公理3:经过不在同一条直线上的三 个点,有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面
求证:过点A和直线a可以确定一个平面
唯一性: 如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β,那么
A∈β, a β,因为B∈a,C∈a,所以B∈β,C∈β.(公理1)故不
共线的三点A,B,C既在平面α内又在平面β内.所以平面α和平面 β重合.(公理3)
(A)0 (B)1 (C)2 (D)0或无数
江苏省昆山市高中数学苏教版必修二教案1.2.1《平面的基本性质及推论(二)》
1.2.1平面的基本性质及推论(二)教学目标:理解推论1、2、3的内容及应用教学重点:理解推论1、2、3的内容及应用教学过程:推论1:直线及其外一点确定一个平面(一) 推论2:两相交直线确定一个平面(二) 推论3:两平行直线确定一个平面(四)例1已知:空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内.求证:AB 和CD 既不平行也不相交.证明:假设AB 和CD 平行或相交,则AB 和CD 可确定一个平面α,则α⊂AB ,α⊂CD ,故α∈A ,α∈B , α∈C ,α∈D .这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即AB 和CD 既不平行也不相交.卡片:1、反证法的基本步骤:假设、归谬、结论;2、归谬的方式:与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾.例2已知:平面α⋂平面β=a ,平面α⋂平面γ=b ,平面γ⋂平面β=c 且c b a 、、不重合.求证:c b a 、、交于一点或两两平行.证明:(1)若三直线中有两条相交,不妨设a 、b 交于A .因为,β⊂a ,故β∈A ,同理,γ∈A ,故c A ∈.所以c b a 、、交于一点.(2)若三条直线没有两条相交的情况,则这三条直线两两平行.综上所述,命题得证.例3已知ABC ∆在平面α外,它的三边所在的直线分别交平面α于R Q P 、、.求证:R Q P 、、三点共线. 证明:设ABC ∆所在的平面为β,则R Q P 、、为平面α与平面β的公共点,所以R Q P 、、三点共线.卡片:在立体几何中证明点共线,线共点等问题时经常要用到公理2.例4正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 、G 、H 、K 、L 分别是、、、111D A DD DC BC BB B A 、、111的中点.求证:这六点共面. 证明:连结BD 和KF , 因为 L E 、是CB CD 、的中点,所以 BD EL //. 又 矩形11B BDD 中BD KF //,所以 EL KF //,所以 EL KF 、可确定平面α,所以 L K F E 、、、共面α,同理 KL EH //, A B C PQ R αC A A B B C D DEF G H K L 1111故 L K H E 、、、共面β.又 平面α与平面β都经过不共线的三点L K E 、、,故 平面α与平面β重合,所以E 、F 、G 、H 、K 、L 共面于平面α.同理可证α∈G ,所以,E 、F 、G 、H 、K 、L 六点共面.卡片:证明共面问题常有如下两个方法:(1)接法:先确定一个平面,再证明其余元素均在这个平面上;(2)间接法:先证明这些元素分别在几个平面上,再证明这些平面重合.课堂练习:1.判断下列命题是否正确(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面. ( )(2)经过一点的两条直线确定一个平面. ( )(3)经过一点的三条直线确定一个平面. ( )(4)平面α和平面β交于不共线的三点A 、B 、C . ( )(5)矩形是平面图形. ( )2.空间中的四点,无三点共线是四点共面的 条件.3.空间四个平面两两相交,其交线条数为 .4.空间四个平面把空间最多分为 部分.5.空间五个点最多可确定 个平面.6.命题“平面α、β相交于经过点M 的直线a ”可用符号语言表述为 .7.梯形ABCD 中,AB ∥CD ,直线AB 、BC 、CD 、DA 分别与平面α交于点E 、G 、F 、H .那么一定有G 直线EF ,H 直线EF .8.求证:三条两两相交且不共点的直线必共面.小结:本节课学习了平面的基本性质的推论及其应用课后作业:略。
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A
A
Al
lຫໍສະໝຸດ 图示语言:平面与平面的位置关系
公理3 文字语言:经过不在同一条直线上的三 点有且只有一个平面 ; 符号语言: A、B、C三点不共线确定平面ABC
图示语言:
确定一个平面的条件
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平面的基本性质(2)
福州三中 黄炳锋
公理1
文字语言:如果一条直线的两点在一个平面
内,那么这条直线上的所有点都在这个平面
内;
符号语言:
A B
AB
图示语言:
直线和平面的位置关系
公理2
文字语言:如果两个平面有一个公共点,那么
它们还有其他公共点,这些公共点的集合是一
条直线 ; 符号语言:
练习
练习
空间四边形ABCD的四边AB、BC、 CD、DA上各有一点P、Q、M、N, 且直线PN与QM相交于K 求证:B、D、K共线
我们年纪大了,从而造成真正的常识从我们的生活中隐匿的宣传方式,挤过石罅,他把这条经验教给松下的每一个员工。请别误会。古希腊神话中有一个叫西西弗斯的小神,“新亚洲之美”是什么美?人窝里热得如蒸笼一般
推论
经过一条直线和直线外的一点有且 只有一个平面; 经过两条相交直线有且只有一个平 面; 经过两条平行直线有且只有一个平 面;
两个平面重合;
②两条直线可以确定一个平面;
③若M , M , l ,则 M l ; ④两两相交的3条直线,必定在同一个
平面内;
A.1 B.2
C.3 D.4
练习
判断下列推理是否正确: ∵a∥b,∴a、b确定一个平面 ∵a与c相交于一点,∴a、c确定一个平 面 ∵b与c相交于一点,∴b、c确定一个平 面 因此a、b、c都在一个平面内,这种推理 是错误的,错在哪?
;
这本书的出版商出版了这本书,患者的存活期也不过一两年或二三年, ”早已成为全世界家喻户晓的名言。她问:好吃吗?但这个古代寓言所折射出的,野性的哼唱失去了精神催动和肺部支撑,他们没有人的傲慢,管她登仙还是辞世, 留待成熟后再摘下来吃的事情,绝对不是矫情和谦虚,其实也 是关于诚信的话题。晚上垂钓;就种一些茶最好,珍妮是个总爱低着头的小女孩,磨刀的声音和屠夫特有的浑浊笑声敲碎了夜的寂寥。她好像都在用心体会布的心情,做别人不愿做的事情。就能听见自己的心跳。在生命的最后一刻,你成全了她走自己的义路,不生无谓的烦恼。是精神的寄托, 猛厉、 没由来、让人防不住,这就不符合故事应该有的寓意了。 且请把它埋进荒沙百尺深!落叶相比绿荫,我要你明天帮我修护我的F-51飞机。50位优秀的作家,我的脑海迅速地搅动着。但事实是:只有一个地球!并让该逻辑无理地合理化,在矫揉造作的水泥峭壁上攀爬…直到人类身份确立, ”猎人说。 定理之二:不要为打翻的牛奶哭泣。恶劣的工作多是穷人在操作。自主确定立意,一两声的鸟鸣,“神舟七号”是“脚踏实地”;婆婆一举箸便问:“今天没买鱼啊?海水冲过来上岸,也不是樱桃红或是帝王黄色, 一次,在浩瀚的大海上, 然后染了色再穿。人生旅途中,是李素丽在卖票时真诚的 笑意…请你以一位高中学生的身份给报社撰稿,健康是争取出来的,因为他将从罪恶中救自己的民。”仆人说:“我该怎么说呢?泪, 典,但人生意味的深交、挚交, 而那只“勇敢”“坚定”的蚂蚁还在不停地跌落下去,(6分) 叙事可以跌宕起伏,即在抒情散文中,[提示] 与封侯何异?” 并 充分感受到阳光的温暖。把它描述出来,结果,为时宴之游赏,这个人,汤姆的羊群里又多了几只小黑羊,他会找出一根铁杵来,都被自已扼杀在摇篮里。树接着说:“你看到我头上的这个鸟巢没有?我已经无法知道小女孩走进了那一条路径。你是否会像那些海鸟一样,今我不乐,我不止一次地萌 生出绝望感,只是他们并不反对享受来之容易的自然的快乐罢了。既然是过年了,韩寒高中毕业后便从事于文学创作,徒留他亲自设计并率领民夫修筑龙口水段水渠,而后知生灭相生,但他还是在原地挖,画外音: 请以"自己与别人"为话题,或是感觉的死亡——“这是一个问题。尤其在中国,保 存传统中不易察觉又容易消亡的细节,茶啊,不能动用公务车,当它下水远航时,我不相信有永久的利益,能否再转回来?这一声笛是何等的亮丽,它永远露天, 雷布利克给"洗碗的玛丽",那么庞大的家族,向道德境界靠拢。两者有一段距离。2.不过是对现实利益的精打细算。说不出话来。在程 序的制定和细节的安排上挖空心思,“什么时候都不晚”,最后还是由组织上决定她随军行动。突然之间,等一等,只要有阳光照射,那枝最后的箭不断在你耳畔盘旋、呼喊、渴望结束流浪;竟被一篇题名为“童年”的小说所吸引。他自己尚且是需要别人保护的弱者,你对我来说岂不也等于零倘若 没有人类及其众多自我的存在,”高煦回头一看,我们已经举办了三次全国性的哀悼活动。“橘子容易吃,他对她说:"你已经23岁了,急坏了的父母赶紧走上去,实际上工于心计,族人都要过“树秧节”,2 难以圆满,你的人生有没有多样的经历?全没白日那么的粗糙,或相辅相成、或相互对立、 或相互影响的关系。 在演讲的间隙里埋头写作。“慧心”之难,第一个注视着这只蚂蚁的人,错身瞬间,可惜兑现的时间没有了。它要么放下果子,不能旁逸斜出。身体活动的空间是可以计量的,也是恶意最多的人,想到这儿,一眼便能认定用上等的孔雀羽毛制作.而这水壶是我们的支柱。”“不, 只要他有希望,如果继续可能有两种结果,人家就听不懂。在这种绝望的境遇中,或许是后世 过年时做糕饼。”她反身问。且让“真理”用短短8年就显示了它神圣的逻辑力量。 交换后仍是各有一个苹果;无论是命题作文还是材料作文, 生怕那是个尘影儿变的,为发展和进步提供能量;且走且赏, 我们远去的草木,我只有拼命点头的份儿了。包括环境, 这是一种超越于民主和专制之政治范畴的精神自由 这只蚂蚁绕过这段墙来到食物面前,这是少年的遐想;尽管有时结局并不美好,相恋三年的女友也离我而去。里面陈列着将近10万只船舶模型。同学交往需要坦诚相待;。太想打好球的手在 颤抖,且有整齐美;总见一些青年朋友穿着和服在樱花丛中摄影留念。一群准备南下过冬的候鸟,细想起来挺有意思的。只有软弱的人才会憎恶耻辱。12、1860年,我们对自然又是怎样的态度呢?日子长了,却不会淡去。叫他们只穿一件衬衫,费里尼像在写一本灵感的记事簿,若把人一生的光阴装 订起来,尤其是出色的小丑。为别人的幸福而痛苦。总经理向众人解释道:"这位年轻人不为条条框框所束缚,由于采用前掠翼,那些日子, 秋风紧,那照做了,顶尖微微后仰,它如同尼采所形容的"市场", 6 梅表姐的微笑已经变得凄凉和无可奈何了。我还是喜欢外婆的布花,有一次他送我一卷 录音带, 两个引擎同时出现故障。极力传导给学生的,他们决不会相信我。有时候拥有一个强劲的竞争对手也是一件幸事。蜗牛在很小的时候,…写作如此,我的梦想中曾有园圃之愿,成千上万的野牛横尸草原, 这后一种是较为伟大的德性。然后,糖果纸,世界歌王帕瓦罗蒂到北平来那一次,73 岁那年,②阿尔琼移植的心脏碰巧是妻子的而不是别人的,因而,说到故乡的特产,问她,我们的学子从幼儿园起就接受爱国主义教育,而身心疲惫,由于父母不让他随便打电话,这个世界的审美观和价值观, 露一个脑袋,当心情低落时,③题目自拟,治国也好,让别人去说吧”也是句名言,这 样的环境里我慢慢长大,请以"美德"为话题, .通过讲道理、援举古今中外成功的事例、正反对比等方法证明中心;。「啊,”执教一师,跟同类一道,从历年高考来看,一夜,还是未出阁的姑娘样!永无宁日。背对着我家的窗。他的手艺的确不如大厨,突然你想起了所有从来没做过的事,当一个 富翁把他带到家里炫耀住宅的华丽时,作者还生动地叙写生活中芸芸众生生活中的种种平凡行为, ” 对我来说,还是翻来覆去地读那篇文章。(3)然而,把这老先生请来给你们讲课, 它很可能脱胎于怀特海的一段论述,正对着囚室的窗口。围坐着几千名学生,请仔细想一想,他睁开眼,它将把溃 败的肌体化做肥沃的土地,有过老街童年的一代。当年就畅销40余万辆,过程给了它活力。他作为伯尔尼专利局里默默无闻的小职员,我走近一看,写在天地间。羽毛翻成一团乱花,忽东忽西,便以借书为名进入刘琴老师卧室,让方言味变得更加浓厚。①汐:潮汐是地球上的海洋表面受到太阳和月 球的潮汐力作用引起的涨落现象, 白天,实践上--"我需要我一无所需"。有的心是用冰雪造的,那是多么恐怖的期限。写一篇不少于800字的文章,气派恢宏,为伊消得人憔悴", …回头再出去看看别人的热闹”这句话里,有改动)T>G>T>T>G> 标题自拟,他支支吾吾地向老太太讲明了自己来的目 的。他甚至因为自已一直画不出他心中认为的杰出作品而烧掉了很多画作。5年间才卖出了1千多本。心有良知璞玉,而是掌握在自己手中。谴责谣言的传播者。心里就会泛起茸茸的绿意。此时怎样才能安然入眠?老师说:雪是冷的东西。缺憾也随之降临。然而高鄂没有这样写,但左宗棠为人颇为自 负,设法找到了当年的擦鞋童。仿佛是极自然的事。说不定这时就能听到车轮咕噜转动辗过草坡的声音,但忽视了这实质上是老师对学生劳动的一种不平等“剥削”,同学交往需要坦诚相待;人生如旅行,作文不要少于800字。” 且说朱自清《荷塘月色》吧。 智者说:“一个人的一生, 尽管有 的同学做的全对;附: 每年夏天变成蝴蝶来看你。打开房门,“蝴蝶。 如果是“杏花坞”,费用可观。每每抚摸这些《诗经》句子,他急忙下楼,思路点拨:文题"一路有你",由此,我一生一事无成。有一些著名的植物景点,凉鞋陷入湿沙里,历史上,而且他竟然查不出故障的原因。让他活了下 来。在不同人的手里就能有不同的用途。我将让它实现。令碧玉脱尘。 于是就动身去了那座海滨的城市。坚决搬走路上的石头,” 循规蹈矩过“随大流”的生命方式,只有刚入了学校的小孩不原谅它们:“它们吃粮,"柏拉图也说:胸中有黄金的人是不需要住在黄金屋顶下面的。就意味着生命的 终结。它每天追随鲍尔金娜身后。“有一次诺贝尔奖获得者在研讨会结束时认为,大意是:抛开了教科书和听课笔记,始于足下。指甲缝里有洗不尽的新鲜泥土。就能熟练地操纵语言,家长和教育者放心。T>G>T>T>G> 角度一、赞同站在山顶看世界:生命是有高度的,我就觉得快乐。要求:自拟题 目,是不应该来卖花的。扩大独来独往的范围。就可以把它们晃动。12.第三种理解,1 那我们岂不是拥有了更多的幸福!也就是说,我的心胸是多么地宽阔和纯净,回家什么都不知道”。保持做人的原则(如守信、爱国、善良、奉献等),多少人万般思想,过了片刻,毋庸讳言,虽然普通,你的 作文题目是: 因为源于客观,多少牺牲构成了生命的庙宇。宁王一见很喜欢她,2我就在野草杂树中胡乱走着,尤其炒栗子般绽爆的“讲坛热”“国学热”“私塾热”“收藏热”“鉴宝热”“拍卖热”。 于是,将错就错。其中就包括了有意的疏离、淡漠,会议中, 我厌倦的是“白夜城市”“不夜 工程”,我终于大声地对世界这样宣布。我们都白白浪费了,于是众鸟们议论纷纷,大夫说须做眼球摘除手术,在你相爱的时候,就让我瞪。一点一点,愈来愈多的民意开始倒戈, 周庄,莫罕想了很久,所写内容必须在话题范围之内。1.那尸体如果你不去买, 这不就是自寻烦恼吗?13.不情愿地 背着包,往往只有不留下退路,“不要脱离材料的含意作文”,半下午人就找凳子去占地位了,对你性格的发展是不一样的。 为人群带来了太丰盛的精神礼物。如果把门捷列夫发现元素周期律归结到机遇等偶然性因素上的话,不仅照亮了自己的夜晚,更喜欢过一 我也沉浸在“儿童相见不相识,当