高中数学_三角函数公式大全

三角公式汇总

一、任意角的三角函数

在角α的终边上任取．．

一点),(y x P ，记：2

2y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r

x

=αcos 正切：x

y

=αtan 余切：y x =αcot

正割：x

r

=

αsec 余割：y

r =

αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式

倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。 商数关系：αααcos sin tan =

，α

α

αsin cos cot =。 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式

⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限）

⑵

απ

+2、απ

-2

、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，

前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）

四、和角公式和差角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+

βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- βαβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+

β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=

-

五、二倍角公式

αααcos sin 22sin =

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*

α

α

α2tan 1tan 22tan -=

二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）

αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-

六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）

ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α

α

α2

tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．

来表示。 七、和差化积公式

2

cos

2

sin

2sin sin β

αβ

αβα-+=+ …⑴

2

sin

2

cos

2sin sin β

αβ

αβα-+=- …⑵ 2

cos

2

cos

2cos cos β

αβ

αβα-+=+ …⑶ 2

sin

2

sin

2cos cos β

αβ

αβα-+-=- …⑷

了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：

2sin 2cos 2cos 2sin

22sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=⎪⎭

⎫

⎝⎛-++= 2sin 2cos 2cos 2sin

22sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=⎪⎭⎫

⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。

2sin 2sin 2cos 2cos

22cos cos βαβαβαβαβαβαα-+--+=⎪⎭⎫

⎝⎛-++= 2sin 2sin 2cos 2cos

22cos cos βαβαβαβαβαβαβ-++-+=⎪⎭⎫

⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。

八、积化和差公式

[])sin()sin(2

1

cos sin βαβαβα-++=⋅ [])sin()sin(2

1

sin cos βαβαβα--+=⋅ [])cos()cos(2

1

cos cos βαβαβα-++=

⋅ [])cos()cos(2

1

sin sin βαβαβα--+-

=⋅ 我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

九、辅助角公式

)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （）

其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，

2

2sin b a b +=

ϕ，2

2cos b a a +=

ϕ，a

b =

ϕtan 。 十、正弦定理

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB

C ∆外接圆半径） 十一、余弦定理

A bc c b a cos 2222⋅-+=

B ac c a b cos 2222⋅-+=

C ab b a c cos 2222⋅-+=

十二、三角形的面积公式 高底⨯⨯=∆2

1ABC S

B ca A bc

C ab S ABC sin 2

1sin 2

1sin 2

1===∆（两边一夹角）

R abc

S ABC 4=

∆（R 为ABC ∆外接圆半径） r c

b a S ABC ⋅++=

∆2

（r 为ABC ∆内切圆半径） ))()((c p b p a p p S ABC ---=∆…海仑公式（其中

c

b a p ++=

）

x

α

x