大学物理第 13 章 第 2 次课 -- 理想气体的等温过程和绝热过程..
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即
方程两边积分得, ln V ln p 常数 由此可得理想气体的绝热过程方程为
ln( pV ) 常数
(15)
pV 常数c 将理想气体的物态方程 pV RT 代入(15)式, 得
TV 1 常数c'
(16) (17)
p 1T 常数c' '
(15)式、(16)式和(17)式统称为理想气体的绝热过程方程. 简称绝热方程.
6 /12
上海师范大学
将
Cp,m R CV ,m , C p,m / CV ,m 代入上式, 简得
C p ,m dV dp CV, m V p
§13.4 理想气体的等温过程和绝热过程 (CV ,m R) dV dp CV, m V p
dV dp 0 V p
书上的例 3 请大家自己阅读 !
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11 /12
作业:
pp255-258
13-1; 13-18; 13-19
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12 /12
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13 /12
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14 /12
p p1
1( p1 ,V1 , T )
( p2 ,V2 ,T )
2
V2 V
开始时气体与恒温源的温度相同. 当气缸上的活塞向右缓慢地有一微小移动, 则气 体缓慢地膨胀,气体向外做功, 气体的温度有微 小降低. 气体温度略低于热源的温度T.
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恒 温 热 源 T
1 /12
这样, 将有热量从恒温热源传入气体, 从而使气体的温度维持不变.
§13.4
即
理想气体的等温过程和绝热过程
(1)
由于等温过程中, 气体的温度不变, 因此气体的内能保持不变.
dE 0
dQT dWT pdV
因此, 根据热力学第一定律, 一微小等温过程中, 吸收 的热量全部用于对外做功. 即 (2)
p p1
p2
1( p1 ,V1 , T )
( p2 ,V2 ,T )
解 1）等温过程做的功
T 273.15 20 293.15K , R 8.31J mol K
V 由等温过程做功公式 WT RT ln 2 V1
1 1
p2
p2 '
p
2 T2
T2' T1
得
Q0
W12' RT ln
V2' 0.1V1 5 8.31 293.15ln V1 V 4 1 11866.5 (2.302) 2.8010 J
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(10)
dE CV , m dT
m' M
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§13.4
理想气体的等温过程和绝热过程
源自文库
dW CV ,mdT
理想气体经绝热过程从体积V1膨胀到V2, 对外界做功为
W dW CV ,mdT CV ,m (T2 T1 )
V1
V2
T2
2
V1
o
dV
V2 V
等温过程中, 气体对外所做的功等于p-V 图上等温曲线下面的面积. 在宏观等温过程中气体体积由V1改变为V2时, 气体对外界所做的功为,
WT dW pdV
V1 V1
V2
V2
(3)
根据理想气体的状态方程
pV RT
p
RT
V
V2
(为摩尔数 )
(4)
可得, 摩尔气体体积由V1改变为V2时, 气体对外界所做的功为,
(6)
(7)
由(2)式(5)式和(6)式, 可得理想气体在等温过程由于体积膨胀而吸收的热量为
V2 p1 QT WT RT ln RT ln V1 p2
WT, QT的符号取决于气体是膨胀还是被压缩. (8)式表明:
(8)
(i) 当气体膨胀(V2>V1, p2<p1)时, WT>0, QT>0, 表示气体从恒温热源吸收的热 量全部用于对外做功. (ii) 当气体被压缩 (V2<V1, p2>p1)时, WT<0, QT<0, 表示气体对外界所做的功全 部以热量的形式传给恒温热源. 由(8)式可以计算等温过程中理想气体所吸收的热量或对外界所做的功. 理想气体在等温过程中, 要从恒温热源吸收热量, 或向恒温热源放出热量. 如果理想气体在状态发生变化的过程中,与外界没有热量交换, 情况会怎么样?
T1 300K , p1 501.013105 Pa;
p2 1.013105 Pa
得
1 1 p1 T1 p2 T2
氮气为双原子气体, 由表13-1查得 =1.40
由绝热过程的过程方程
p T
1
常数
1 1 p1 p2 由此得 T1 T2
T2 T1 (
V1 1 ) V2
293.15(10)0.41 753.5K
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§13.4
理想气体的等温过程和绝热过程
T1 293.15K , T2 753.5K, CV ,m 20.44J mol1 K 1
由绝热过程做功公式 W CV ,m (T2 T1 ) 得
在p-V图上, 绝热过程是一条双曲线, 称为绝热线. 如右图. 1. 绝热做功 由于绝热过程中, 没有热量传递, 即
p1
1
p2
( p2 ,V2 , T2 )
2
V1 dV
dQ O
因此, 由热力学第一定律可得
o
(9)
V2 V
dQ dW dE 0
即
dW dE
dW CV , m dT
pV RT 求微分, 得
(14)
pdV Vdp RdT
得
即
CV ,mdT pdV 中消去dT 将(14)式代入绝热做功表达式 dW
CV ,m pdV CV, mVdp RpdV (CV ,m R) pdV CV, mVdp
(CV ,m R) dV CV, m dp V p
由于 = Cp,m/CV,m >1, 因此绝热线的斜率大于等温线的斜率.
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§13.4
理想气体的等温过程和绝热过程
例1 设有 5 mol 的氢气，最初的压强为1.03105 Pa、温度为200C，求在下列
过程中，把氢气压缩为原体积的 1/10 需作的功: 1）等温过程， 2）绝热过程 . 3）经这两过程后，气体的压强各为多少？
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§13.4
理想气体的等温过程和绝热过程
例2
氮气液化， 把氮气放在一个绝热的汽缸中.开始时,氮气的压强为50个
标准大气压、温度为300K; 经急速膨胀后,其压强降至 1个标准大气压, 从而使氮气液化. 试问此时氮的温度为多少 ?
解 将氮气视为理想气体, 其液化过程近似看成绝热过程.
§13.4
理想气体的等温过程和绝热过程
前一节讨论了理想气体可以通过等体过程或等压过程从一个状态变化到另一个状态.
理想气体还可以通过等温过程或绝热过程从一个状态变化到另一个状态.
一、等温过程
等温过程就是温度不变的热力学过程. 即 T 常数
即在温度不变化的情况下, 系统状态发生变化的过程. m' RT 常数 p2 等温过程的状态方程 pV M 在p-V图上, 等温过程是一条双曲线, 称为等温线. 如右图所示. o V 1 等温过程也是理想的准静态过程. 如右下图所示是一理想的等温过程: 理想气体密闭在气缸里. 气缸底部与温度为T的恒温热源相接触.
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§13.4
理想气体的等温过程和绝热过程
三 、绝热线和等温线
p-V图上, 等温线绝热线都是双曲线, 二者有区别吗 ? 有 !! 二个过程中, 压强随体积的变化快慢不同. 即两条曲线的斜率不同. 1. 等温过程曲线的斜率 等温过程方程 求导数得 曲线斜率为
p
pA
papT
T C Q0
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(14)
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§13.4 2. 绝热过程的物态方程 理想气体的物态方程:
理想气体的等温过程和绝热过程
pV RT
V R 常数 等压过程: T p
p R 常数 等体过程: T V 等温过程: pV 常数
绝热过程中, 状态参量p,V,T都发生变化, 能否写出两个量之间的变化关系? 对理想气体的物态方程
p1
2'
T C
V2 V2' V1 10
T1 1
V1 V
负号表示外界对气体做功. 2）绝热过程做的功
o
氢气为双原子气体, 表查13-1得 =1.41, CV,m= 20.44 J· mol-1· K-1 . 由绝热过程方程 由此可得,
TV
1
常数c'
得
T1V1
1
T2V2
1
由此得
V1 V p2 ' p1 ( ) 1.013105 1 1.013106 Pa 0.1V1 V2
对绝热过程, 由过程方程 pV 常数得 p1V1 p2V2
V1 V1 1.41 5 ) 1.013 10 5 (10)1.41 2.604 10 6 Pa 由此得 p2 p1 ( ) 1.013 10 ( 0.1V V2
即
1 p p2 1 2 T2 T1 1 T1 ( ) p1 p1
1 (1.40 1) /1.40 p2 ( 1) / 300 ( ) 300 (0.02) 0.2857 T2 T1 ( ) 50 p1
300 0.327 98.1K
(11)
根据理想气体物态方程
pV RT,
T1
得
(12)
T2 T1
p2V2 p1V1 p2V2 p1V1 R R R
又因为定体热容与定压热容有下列关系
C p,m CV ,m R
将(12)式和(13)式代入(11)式, 可得理想气体绝热过程所做的功为
(13)
p1V1 p2V2 CV ,m ( p V p V ) W CV ,m ( ) 1 1 2 2 C C R p ,m V ,m 1 p1V1 p2V2 ( p1V1 p2V2 ) C p ,m / CV ,m 1 1
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§13.4
理想气体的等温过程和绝热过程
二、绝热过程
绝热过程: 理想气体状态发生变化的过程中, 气体与外界没有热量传递. 绝热过程是一种理想过程, 实际的过程不可能是真正的绝热过程. 但在状态的变化过程中, 如果系统与外界的热传递很小, 以致可以忽略, 则这
种过程可以近似地视为绝热过程. 如汽车发动机气缸中气体的膨胀就可以近 p ( p1 ,V1 , T1 ) 似地看成是绝热过程.
p2
p2 '
p
2 T2
T2' T1
Q0
W12 CV ,m (T2 T1 ) 5 20.44 (753.5 293.15)
4.705104 J
负号表示外界对气体做功.
p1
2'
T C
V2 V2' V1 10
T1 1
V1 V
o
3）末态的压强 对等温过程, 由过程方程 pV RT 得 p1V1 p2'V2' p2'V2
WT pdV
V1
V2
V2
RT
V
V1
dV RT
V1
dV V2 RT ln V V1
(5)
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§13.4 由(4)式可得, 将(6)式代入(5)式, 得
理想气体的等温过程和绝热过程
p1V1 p2V2 常数
V2 p 1 V1 p2 V p WT RT ln 2 RT ln 1 V1 p2
A C B
V
pV C ' pdV Vdp 0
( dp p )T A dV VA
o
下标T表示等温过程.
V A V V B
2. 绝热过程曲线的斜率 绝热过程方程 求导数得 A点曲线斜率为 (
pV C pV 1dV V dp 0
下标Q表示绝热过程.
dp p ) Q A dV VA
方程两边积分得, ln V ln p 常数 由此可得理想气体的绝热过程方程为
ln( pV ) 常数
(15)
pV 常数c 将理想气体的物态方程 pV RT 代入(15)式, 得
TV 1 常数c'
(16) (17)
p 1T 常数c' '
(15)式、(16)式和(17)式统称为理想气体的绝热过程方程. 简称绝热方程.
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将
Cp,m R CV ,m , C p,m / CV ,m 代入上式, 简得
C p ,m dV dp CV, m V p
§13.4 理想气体的等温过程和绝热过程 (CV ,m R) dV dp CV, m V p
dV dp 0 V p
书上的例 3 请大家自己阅读 !
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作业:
pp255-258
13-1; 13-18; 13-19
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p p1
1( p1 ,V1 , T )
( p2 ,V2 ,T )
2
V2 V
开始时气体与恒温源的温度相同. 当气缸上的活塞向右缓慢地有一微小移动, 则气 体缓慢地膨胀,气体向外做功, 气体的温度有微 小降低. 气体温度略低于热源的温度T.
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这样, 将有热量从恒温热源传入气体, 从而使气体的温度维持不变.
§13.4
即
理想气体的等温过程和绝热过程
(1)
由于等温过程中, 气体的温度不变, 因此气体的内能保持不变.
dE 0
dQT dWT pdV
因此, 根据热力学第一定律, 一微小等温过程中, 吸收 的热量全部用于对外做功. 即 (2)
p p1
p2
1( p1 ,V1 , T )
( p2 ,V2 ,T )
解 1）等温过程做的功
T 273.15 20 293.15K , R 8.31J mol K
V 由等温过程做功公式 WT RT ln 2 V1
1 1
p2
p2 '
p
2 T2
T2' T1
得
Q0
W12' RT ln
V2' 0.1V1 5 8.31 293.15ln V1 V 4 1 11866.5 (2.302) 2.8010 J
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dE CV , m dT
m' M
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理想气体的等温过程和绝热过程
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dW CV ,mdT
理想气体经绝热过程从体积V1膨胀到V2, 对外界做功为
W dW CV ,mdT CV ,m (T2 T1 )
V1
V2
T2
2
V1
o
dV
V2 V
等温过程中, 气体对外所做的功等于p-V 图上等温曲线下面的面积. 在宏观等温过程中气体体积由V1改变为V2时, 气体对外界所做的功为,
WT dW pdV
V1 V1
V2
V2
(3)
根据理想气体的状态方程
pV RT
p
RT
V
V2
(为摩尔数 )
(4)
可得, 摩尔气体体积由V1改变为V2时, 气体对外界所做的功为,
(6)
(7)
由(2)式(5)式和(6)式, 可得理想气体在等温过程由于体积膨胀而吸收的热量为
V2 p1 QT WT RT ln RT ln V1 p2
WT, QT的符号取决于气体是膨胀还是被压缩. (8)式表明:
(8)
(i) 当气体膨胀(V2>V1, p2<p1)时, WT>0, QT>0, 表示气体从恒温热源吸收的热 量全部用于对外做功. (ii) 当气体被压缩 (V2<V1, p2>p1)时, WT<0, QT<0, 表示气体对外界所做的功全 部以热量的形式传给恒温热源. 由(8)式可以计算等温过程中理想气体所吸收的热量或对外界所做的功. 理想气体在等温过程中, 要从恒温热源吸收热量, 或向恒温热源放出热量. 如果理想气体在状态发生变化的过程中,与外界没有热量交换, 情况会怎么样?
T1 300K , p1 501.013105 Pa;
p2 1.013105 Pa
得
1 1 p1 T1 p2 T2
氮气为双原子气体, 由表13-1查得 =1.40
由绝热过程的过程方程
p T
1
常数
1 1 p1 p2 由此得 T1 T2
T2 T1 (
V1 1 ) V2
293.15(10)0.41 753.5K
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理想气体的等温过程和绝热过程
T1 293.15K , T2 753.5K, CV ,m 20.44J mol1 K 1
由绝热过程做功公式 W CV ,m (T2 T1 ) 得
在p-V图上, 绝热过程是一条双曲线, 称为绝热线. 如右图. 1. 绝热做功 由于绝热过程中, 没有热量传递, 即
p1
1
p2
( p2 ,V2 , T2 )
2
V1 dV
dQ O
因此, 由热力学第一定律可得
o
(9)
V2 V
dQ dW dE 0
即
dW dE
dW CV , m dT
pV RT 求微分, 得
(14)
pdV Vdp RdT
得
即
CV ,mdT pdV 中消去dT 将(14)式代入绝热做功表达式 dW
CV ,m pdV CV, mVdp RpdV (CV ,m R) pdV CV, mVdp
(CV ,m R) dV CV, m dp V p
由于 = Cp,m/CV,m >1, 因此绝热线的斜率大于等温线的斜率.
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理想气体的等温过程和绝热过程
例1 设有 5 mol 的氢气，最初的压强为1.03105 Pa、温度为200C，求在下列
过程中，把氢气压缩为原体积的 1/10 需作的功: 1）等温过程， 2）绝热过程 . 3）经这两过程后，气体的压强各为多少？
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例2
氮气液化， 把氮气放在一个绝热的汽缸中.开始时,氮气的压强为50个
标准大气压、温度为300K; 经急速膨胀后,其压强降至 1个标准大气压, 从而使氮气液化. 试问此时氮的温度为多少 ?
解 将氮气视为理想气体, 其液化过程近似看成绝热过程.
§13.4
理想气体的等温过程和绝热过程
前一节讨论了理想气体可以通过等体过程或等压过程从一个状态变化到另一个状态.
理想气体还可以通过等温过程或绝热过程从一个状态变化到另一个状态.
一、等温过程
等温过程就是温度不变的热力学过程. 即 T 常数
即在温度不变化的情况下, 系统状态发生变化的过程. m' RT 常数 p2 等温过程的状态方程 pV M 在p-V图上, 等温过程是一条双曲线, 称为等温线. 如右图所示. o V 1 等温过程也是理想的准静态过程. 如右下图所示是一理想的等温过程: 理想气体密闭在气缸里. 气缸底部与温度为T的恒温热源相接触.
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三 、绝热线和等温线
p-V图上, 等温线绝热线都是双曲线, 二者有区别吗 ? 有 !! 二个过程中, 压强随体积的变化快慢不同. 即两条曲线的斜率不同. 1. 等温过程曲线的斜率 等温过程方程 求导数得 曲线斜率为
p
pA
papT
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§13.4 2. 绝热过程的物态方程 理想气体的物态方程:
理想气体的等温过程和绝热过程
pV RT
V R 常数 等压过程: T p
p R 常数 等体过程: T V 等温过程: pV 常数
绝热过程中, 状态参量p,V,T都发生变化, 能否写出两个量之间的变化关系? 对理想气体的物态方程
p1
2'
T C
V2 V2' V1 10
T1 1
V1 V
负号表示外界对气体做功. 2）绝热过程做的功
o
氢气为双原子气体, 表查13-1得 =1.41, CV,m= 20.44 J· mol-1· K-1 . 由绝热过程方程 由此可得,
TV
1
常数c'
得
T1V1
1
T2V2
1
由此得
V1 V p2 ' p1 ( ) 1.013105 1 1.013106 Pa 0.1V1 V2
对绝热过程, 由过程方程 pV 常数得 p1V1 p2V2
V1 V1 1.41 5 ) 1.013 10 5 (10)1.41 2.604 10 6 Pa 由此得 p2 p1 ( ) 1.013 10 ( 0.1V V2
即
1 p p2 1 2 T2 T1 1 T1 ( ) p1 p1
1 (1.40 1) /1.40 p2 ( 1) / 300 ( ) 300 (0.02) 0.2857 T2 T1 ( ) 50 p1
300 0.327 98.1K
(11)
根据理想气体物态方程
pV RT,
T1
得
(12)
T2 T1
p2V2 p1V1 p2V2 p1V1 R R R
又因为定体热容与定压热容有下列关系
C p,m CV ,m R
将(12)式和(13)式代入(11)式, 可得理想气体绝热过程所做的功为
(13)
p1V1 p2V2 CV ,m ( p V p V ) W CV ,m ( ) 1 1 2 2 C C R p ,m V ,m 1 p1V1 p2V2 ( p1V1 p2V2 ) C p ,m / CV ,m 1 1
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二、绝热过程
绝热过程: 理想气体状态发生变化的过程中, 气体与外界没有热量传递. 绝热过程是一种理想过程, 实际的过程不可能是真正的绝热过程. 但在状态的变化过程中, 如果系统与外界的热传递很小, 以致可以忽略, 则这
种过程可以近似地视为绝热过程. 如汽车发动机气缸中气体的膨胀就可以近 p ( p1 ,V1 , T1 ) 似地看成是绝热过程.
p2
p2 '
p
2 T2
T2' T1
Q0
W12 CV ,m (T2 T1 ) 5 20.44 (753.5 293.15)
4.705104 J
负号表示外界对气体做功.
p1
2'
T C
V2 V2' V1 10
T1 1
V1 V
o
3）末态的压强 对等温过程, 由过程方程 pV RT 得 p1V1 p2'V2' p2'V2
WT pdV
V1
V2
V2
RT
V
V1
dV RT
V1
dV V2 RT ln V V1
(5)
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§13.4 由(4)式可得, 将(6)式代入(5)式, 得
理想气体的等温过程和绝热过程
p1V1 p2V2 常数
V2 p 1 V1 p2 V p WT RT ln 2 RT ln 1 V1 p2
A C B
V
pV C ' pdV Vdp 0
( dp p )T A dV VA
o
下标T表示等温过程.
V A V V B
2. 绝热过程曲线的斜率 绝热过程方程 求导数得 A点曲线斜率为 (
pV C pV 1dV V dp 0
下标Q表示绝热过程.
dp p ) Q A dV VA