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高二上期半期考试数学试题.

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安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

安徽省合肥2023-2024学年上学期高二年级数学期中考试（答案在最后）（考试总分：150分考试时长：120分钟）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.经过((),3,0A B 两点的直线的倾斜角为（）A.5π6 B.π6 C.2π3D.π3【答案】A 【解析】【分析】根据直线上任意两点可求出斜率，从而求出倾斜角.【详解】由题意得033303AB k -==--，所以直线的倾斜角为5π6；故选：A2.以点()1,2A -为圆心，且与直线0x y +=相切的圆的方程为（）A.221(1)(2)2x y -++=B.229(1)(2)2x y -++=C.221(1)(2)2x y ++-=D.229(1)(2)2x y ++-=【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出圆的半径即可得解.【详解】由直线0x y +=为圆的切线，得圆的半径r ==所以所求圆的方程为221(1)(2)2x y -++=.故选：A3.已知(2,1,3),(1,3,9)a x b == ，如果a 与b为共线向量，则x =（）A.1B.12C.13 D.16【答案】D 【解析】【分析】由a 与b为共线向量则a b λ= 求解即可.【详解】因为a 与b 为共线向量，所以a b λ=，即21339x λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1316x λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故选：D4.经过两条直线1:2l x y +=，2:21l x y -=的交点，且直线的一个方向向量()3,2v =-的直线方程为（）A.2350x y +-=B.220x y ++=C.220x y +-=D.70x y --=【答案】A 【解析】【分析】联立方程组求得两直线的交点坐标为(1,1)，再由题意，得到23k =-，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】联立方程组221x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得1,1x y ==，即两直线的交点坐标为(1,1)，因为直线的一个方向向量(3,2)v =- ，可得所求直线的斜率为23k =-，所以所求直线方程为21(1)3y x -=--，即2350x y +-=.故选：A.5.如图，在正方体1111ABCD A B C D －中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点，若AB ＝a ，则MN 的长为（）A.32a B.33a C.55a D.155a 【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，用AB ，AD ，1AA表示MN ，将线段长度问题转换为向量模长问题.【详解】设AB i = ，AD j = ，1AA k =，则{},,i j k 构成空间的一个正交基底.()1111122222MN MB BC CN i j j k i j k =++=++-+=++，故2222211134444MN a a a a =++= ，所以MN ＝32a .故选：A6.已知()22112225,24x y x y ++=+=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（）A.55B.15C.655D.365【答案】B 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及两点距离公式计算即可.【详解】易知()()221212x x y y -+-为圆()2225x y ++=上一点()11,A x y 与直线24x y +=上一点()22,B x y 的距离的平方，易知圆心()2,0C -，半径5r =，点C 到直线24x y +=的距离222465512d --==+，则()22min15ABd r =-=.故选：B7.在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，190,2,4ACB AB AA ︒=∠==，当鳖臑1A ABC -的体积最大时，直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值为（）A.346B.31010C.26D.1010【答案】C 【解析】【分析】先根据鳖臑1A ABC -体积最大求出AC 和BC 的值，建系求出各点坐标，利用向量即可求出直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值.【详解】在堑堵111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，2AB =，14AA =，1112||||||||||2313ABC A V AC BC AA AC BC -⋅⋅⋅⋅==⋅ ，222||||||||||()2||||2||4AC BC B C AC B B A C C C C A ++=+⋅⋅≤ ，22||4||BC AC += ，||||2AC BC ∴⋅≤，当且仅当||||2AC BC ==是等号成立，即当鳖臑1A ABC -的体积最大时，||||2AC BC ==，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z轴，建立空间直角坐标系，14)B ，(0,0,0)C，A，B，1(0,4)B C =-，BA =，1(0,0,4)BB = ，设平面11ABB A 的法向量n(,,)x y z =，则1040n BA n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1x =，得(1,1,0)n = ，设直线1B C 与平面11ABB A 所成角为θ，则11||6|s |in ||C C B n B n θ⋅==⋅，∴直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值为26．故选：C ．8.已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则||PO =（）A.25B.2C.35D.2【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出221212,PF PF PF PF +的值，利用()1212PO PF PF =+，根据向量模的计算即可求得答案.【详解】由题意椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，可得3,a b c ===则1226PF PF a +==①，即221212236PF PF PF PF ++=，由余弦定理得2222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠=，123cos 5F PF ∠=，故212123()2(1)125PF PF PF PF +-+=，②联立①②，解得：22121215,212PF PF PF PF =∴+=，而()1212PO PF PF =+ ，所以1212PO PO PF PF ==+，即12122PO PF PF =+===，故选：B【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O 为12F F 的中点，从而可以利用向量知识求解||PO .二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.已知平面α的一个法向量为()1,2,1n =-，以下四个命题正确的有（）A.若直线l 的一个方向向量为()2,4,2u =--，则//l αB.若直线l 的一个方向向量为()2,4,2u =--，则l α⊥C.若平面β的一个法向量为()1,0,1m =，则//αβD.若平面β的一个法向量为()1,0,1m =，则αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】由0n u ⋅≠ ，2u n =- 可判断AB ；由0n m ⋅=可判断CD【详解】对于AB ：平面α的一个法向量为()1,2,1n =-，直线l 的一个方向向量为()2,4,2u =--，所以282120n u ⋅=---=-≠，所以n 与u不垂直，又2u n =-，所以//u n，所以l α⊥，故A 错误，B 正确；对于CD ：平面α的一个法向量为()1,2,1n =-，平面β的一个法向量为()1,0,1m =，，所以1010n m ⋅=+-=，所以n m ⊥ ，所以αβ⊥，故C 错误，D 正确；故选：BD10.已知方程224820x y x y a +-++=，则下列说法正确的是（）A.当10a =时，表示圆心为(2,4)-的圆B.当10a <时，表示圆心为(2,4)-的圆C.当0a =时，表示的圆的半径为D.当8a =时，表示的圆与y 轴相切【答案】BCD 【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，方程224820x y x y a +-++=，可化为()()2224202x y a -++=-，可圆的圆心坐标为(2,4)-，A 中，当10a =时，此时半径为2020a -=，所以A 错误；B 中，当10a <时，此时半径大于2020a ->，表示圆心为(2,4)-的圆，所以B 正确；C 中，当0a =时，表示的圆的半径为r =，所以C 正确；D 中，当8a =时，可得2024a -=，方程表示的圆半径为2r =，又圆心坐标为()2,4-，所以圆心到y 轴的距离等于半径，所以圆与y 轴相切，所以D 正确．故选：BCD.11.已知()1,,m a b a b =+- （a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，()1,2,3n =是平面α的法向量，则下列结论正确的是（）A.若l α∥，则510a b -+=B.若l α∥，则10a b +-=C .若l α⊥，则20a b +-= D.若l α⊥，则30a b --=【答案】ACD 【解析】【分析】选项A 、B ：根据0m n ⋅=求解；选项C 、D ：根据m n ∥，向量的平行求解；【详解】对于A ，B ，若l α∥则m n ⊥ ，所以0m n ⋅=，即()()1230a b a b +++-=，即510a b -+=，A 正确，B 错误；对于C 、D ，若l α⊥，则m n∥，所以1123a b a b+-==，即20a b +-=且30a b --=，C 、D 正确.故选：ACD.12.的圆柱被与其底面所成的角为45θ=︒的平面所截，截面是一个椭圆，则（）A.椭圆的长轴长为4B.椭圆的离心率为4C.椭圆的方程可以为22142x y +=D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-【答案】ACD 【解析】【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的a b ，，由此判断各选项.【详解】设椭圆的长半轴长为a ，椭圆的长半轴长为b ，半焦距为c ，由图象可得2cos 45a = ∴2a =，又b =，222c a b =-，∴c =∴椭圆的长轴长为4，A 对，椭圆的离心率为2，B 错，圆的方程可以为22142x y +=，C 对，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2D 对，故选：ACD .三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.两直线330x y +-=与640x my ++=平行，则它们之间的距离为__________．【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式求解即得.【详解】两直线330x y +-=与640x my ++=平行，则36m =，即2m =，直线640x my ++=化为：320x y ++=2=.所以所求距离为102.故答案为：214.圆224x y +=与圆22260x y y ++-=的公共弦长为__________.【答案】【解析】【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆224x y +=的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.【详解】设圆221:4C x y +=与圆222:260C x y y ++-=相交于A ，B 两点，圆1C 的半径12r =，将两圆的方程相减可得1y =，即两圆的公共弦所在的直线方程为1y =，又圆心1C 到直线AB 的距离1d =，12r =，所以22212AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得AB =故答案为：15.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=o，12AA =，则线段1AC 的长为_____．【答案】【解析】【分析】以1,,AB AD AA 为基底表示出空间向量1AC uuu r ，利用向量数量积的定义和运算律求解得到21AC ，进而得到1AC 的长.【详解】()()222111AC AB BC CC AB AD AA =++=++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ 1140212cos 60212cos 6010=++++⨯⨯+⨯⨯=，1AC ∴=，即线段1AC..16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值λ（0λ>且1λ≠）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，满足2=MA MO 的动点M 的轨迹为C ，若在直线:30l ax y a -+=上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得PA PB ⊥，则实数a 的取值范围是______.【答案】[7,1]-【解析】【分析】根据求轨迹方程的步骤：1.设点的坐标；2.找等量关系列方程；3.化简.先求出动点M 的轨迹方程，然后根据题意要使在直线:30l ax y a -+=上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得PA PB ⊥成立，则点P到圆心的距离小于等于，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】设(,)M x y ，因为()0,3A ，()0,0C ，又因为2=MA MO ，所以2222(3)4()x y x y +-=+，化简整理可得：22(1)4x y ++=，动点M 的轨迹是以(0,1)C -为圆心，以2为半径的圆，因为直线:30l ax y a -+=过定点(3,0)-，若在直线:30l ax y a -+=上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得PA PB ⊥，由数形结合可知：当A 、B 为圆的切点时点P，所以点P，2≤，解之可得：71a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[7,1]-，故答案为：[7,1]-.四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.在平行四边形ABCD 中，(1,2)A -，()1,3B ，(3,1)C -，点E 是线段BC 的中点．（1）求直线CD 的方程；（2）求过点A 且与直线DE 垂直的直线．【答案】（1）250x y --=；（2）350x y +-=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出点D 的坐标，再求出直线CD 的方程作答.（2）求出点E 坐标及直线DE 的斜率，再利用垂直关系求出直线方程作答.【小问1详解】在平行四边形ABCD 中，(1,2)A -，()1,3B ，(3,1)C -，则(2,4)AD BC ==-，则点(1,2)D -，直线CD 的斜率2(1)1132CD k ---==-，则有1(1)(3)2y x --=-，即250x y --=，所以直线CD 的方程是250x y --=.【小问2详解】依题意，点(2,1)E ，则直线DE 的斜率21312DE k --==-，因此过点A 且与直线DE 垂直的直线斜率为113DE k -=-，方程为12(1)3y x -=-+，即350x y +-=，所以所求方程是350x y +-=.18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1）证明：直线1//BD 平面ACE ；（2）求异面直线1CD 与AE 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）根据线线平行，结合线面平行的判定即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解线线角.【小问1详解】如图，连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，由于E 为1DD 的中点，O 为AC 的中点,则//EO 1BD ,又因为EO ⊂平面1,ACE BD ⊄平面ACE ，所以1BD //平面ACE【小问2详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2a ，则()0,2,0C a ()()()10,0,2,2,0,0,0,0,D a A a E a ，所以()10,2,2CD a a =- ，()2,0,AE a a =-，设1CD 与AE 所成角为θ,则111cos cos ,10CD AE CD AE CD AEθ⋅===所以1CD 与AE所成角的余弦值为10.19.已知圆C 的圆心坐标()1,1，直线:1l x y +=被圆C．（1）求圆C 的方程；（2）从圆C 外一点()2,3P 向圆引切线，求切线方程．【答案】（1）()()22111x y -+-=（2）2x =或3460x y -+=【解析】【分析】（1）计算出圆心C 到直线l 的距离，利用勾股定理求出圆C 的半径，由此可得出圆C 的方程；（2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；在第二种情况下，设出切线方程为()32y k x -=-，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程.【小问1详解】解：圆心C 到直线l的距离为2d ==，所以，圆C的半径为1r ==，因此，圆C 的方程为()()22111x y -+-=.【小问2详解】解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为2x =，且直线2x =与圆C 相切，合乎题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，1=，解得34k =，此时，切线的方程为3460x y -+=.综上所述，所求切线的方程为2x =或3460x y -+=.20.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面为矩形，平面11AAD D ⊥平面11CC D D ，且1111122CC CD DD C D ====.（1）证明：AD ⊥平面11CC D D ；（2）若11π3A CD ∠=，求平面1A AC 与平面ABC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）连结1DC ，进而利用勾股定理证明11DC DD ⊥，结合题中条件利用线面垂直的判断定理证明即可；（2）以1D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面1A AC 与平面ABC 的法向量，计算即可.【小问1详解】如图，在梯形11CC D D 中，因为1111122CC CD DD C D ====，作11DH D C ⊥于H ，则11D H =，所以11cos 2DD H ∠=，所以11π3DD C ∠=，连结1DC ，由余弦定理可求得123DC =因为2221111DC DD D C +=，所以11DC DD ⊥，因为平面11AA D D ⊥平面11CC D D 且交于1DD ，1DC ⊂平面11CC D D ，所以1DC ⊥平面11AA D D因为AD ⊂平面11AA D D ，所以1AD DC ⊥，因为1,AD DC DC DC D ⊥⋂=，1DC DC ⊂，平面11CC D D ，所以AD ⊥平面11CC D D .【小问2详解】连结11A C ，由（1）可知，11A D ⊥平面11CC D D ，所以1AC 与平面11CC D D 所成的角为11A CD ∠，即11π3A CD ∠=，在11Rt ACD △中，因为123CD =，所以116A D =因为11//A C AC ，所以平面1A AC 与平面11A ACC 是同一个平面.以1D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，()(()116,0,0,3,0,4,0A C C 所以()(1116,4,0,3AC AC =-=-设平面1A AC 的法向量为(),,n a b c =，则有，1110n A C n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即3206330a b a b c -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令2a =，则3,3b c ==，故(3n =由题意可知()0,0,1m =是平面ABC 的一个法向量所以33cos ,144m n m n m n ⋅===⨯，故平面1A AC 与平面ABC 夹角的余弦夹角的值为4.21.如图，相距14km 的两个居民小区M 和N 位于河岸l （直线）的同侧，M 和N 距离河岸分别为10km 和8km ．现要在河的小区一侧选一地点P ，在P 处建一个生活污水处理站，从P 排直线水管PM ，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段长为t km （0<t <8）．（1）求污水处理站P 到两小区的水管的总长最小值（用t 表示）；（2）请确定污水处理站P 的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．【答案】（1）)08t <<（2）P 点距河岸5km ，距小区M 到河岸的垂线km ，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10km 和6km ．【解析】【分析】（1）本题实质为在一直线上求一点到两定点距离之和最小，其求法为利用三角形两边之和大于第三边：先作N 关于直线的对称点1N ，再利用11PM PN PM PN MN +=+≥得最小值)08t <<（2）由（1）知三段水管的总长)108L PM PN PQ MN PQ t t =++≥+=+<<，因此总长最小就是求)08y t t =+<<最小值，这种函数最小值可利用判别式法求解，即从方程有解出发，利用判别式不小于零得解．【详解】（1）如图，以河岸l 所在直线为x 轴，以过M 垂直于l 的直线为y 轴建立直角坐标系，则可得点()()0,10,M N ，设点(,)P s t ，过P 作平行于x 轴的直线m ，作N 关于m 的对称点1N ，则()13,28N t -．所以2211(830)(12810)PM PN PM PN MN t +=+≥=-+--)21812908t t t =-+<<即为所求．（2）设三段水管总长为L ，则由（1）知)2121812908L PM PN PQ MN PQ t t t t =++≥+=+-+<<，所以22()4(18129)L t t t -=-+在()0,8t ∈上有解．即方程223(272)(516)0t L t L +-+-=在()0,8t ∈上有解．故22(272)12(516)0L L ∆=---≥，即218630L L --≥，解得21L ≥或3L ≤-，所以L 的最小值为21，此时对应的5(0,8)t =∈．故()13,2N ，1MN 方程为3103y x =-，令5y =得3x =，即()53,5P ，从而22(53)(510)10PM =+-=，22(5383)(58)6PN =-+-=．所以满足题意的P 点距河岸5km ，距小区M 到河岸的垂线53km ，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10km 和6km ．22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为45-.（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，且6AB =，点M 是C 上任意一点（与,A B 不重合），直线,MA MB 分别与直线:5l x =交于点,,P Q O 为坐标原点，求OP OQ ⋅ .【答案】（1）3（2）1619【解析】【分析】（1）由椭圆标准方程可写出顶点以及焦点坐标，由斜率之积可得2245b c =，即可求出离心率；（2）设出点M 坐标，写出直线MA 和MB 的方程求出交点,P Q 坐标，利用223649x y -=化简OP OQ ⋅ 的表达式即可求得结果.【小问1详解】根据题意可得椭圆C 的上顶点的坐标为()0,b ，左､右焦点的坐标分别为()(),0,,0c c -，由题意可知45b b c c ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，即2245b c =，又222a b c =+，所以2295a c =，即225,93c c a a ==，可得椭圆C 的离心率3e =.【小问2详解】由6AB =，得26a =，即3,2a c b ===，所以椭圆C 的方程为22194x y +=.如图所示：设()00,M x y ，则2200194x y +=，即22003649x y -=，又()(),3,03,0A B -，则直线MA 的方程为()0033y y x x =++，直线MB 的方程为()0033y y x x =--；因为直线,MA MB 分别与直线:5l x =交于点,P Q ，可得0000825,,5,33y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，所以()()220000220000163648216641615,5,2525253399999x y y y OP OQ x x x x -⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=+=-= ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭.。

高二数学第一学期半期考试卷

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第一学期半期联考 高二 数学试卷【完卷时间：120分钟 满分：150分】友情提示：本试卷中第．．．．．．．．．．11．．、．12．．、．22．．题文理科学生题目不同，请按类别．．．．．．．．．．．．．．．认．真．选题作答。

．．．．． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,有且只有一个正确）1．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16， a 3=2，则a 9的值是A ．14B ．15C ．16D ．182．不等式0121<+-x x 的解集为 A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 B ．()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21 D ．[)+∞⋃⎪⎭⎫⎝⎛-∞-,121,3．若a>b>0，则下列不等式成立的是A ．b a 11> B ．a 2<b 2 C ．|a|<|b| D ．ab a 11>- 4．下面四个点中，在不等式x+y+1>0表示的平面区域内的是 A ．（-1，-1） B ．（1，1） C ．（-5，3） D ．（1，-2） 5．在△ABC 中，A=60°，a=43，b=42，则B 等于A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．30° 6．在△AB C 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对的边，若bcosC=a ，则△ABCA ．一定是锐角三角形B ．一定是钝角三角形C ．一定是直角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 7．已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-1，则A ．a n =2n+1B ．a n =2n-1C ．a n =0,1212n n n =⎧⎨+≥⎩，D ．a n =01212n n n =⎧⎨-≥⎩，，8．设x 、y>0，且x+2y=1，则yx 11+的最小值为 A ．1+322 B ．23 C ．2 D ．3+229．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得∠BCD=15°， ∠BDC=30°，CD=30米，并在点C 测得塔顶A 的仰 角为60°，则塔高AB=A ．B ．．．45 10．已知数列{a n }的通项a n =172+n n（n∈N *）,则数列{a n }的最大项是 A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第4项或第5项 文11.符合下列条件的三角形有且只有一个的是A ． a=1,b=2 ,c=3B ． a=1,b=2 ,∠A=30°C ． a=1,b=2,∠A=100°D ． b=c=1, ∠B=45°理11. 已知不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解集是φ，则A ． 0,0>∆<aB ． 0,0≤∆<aC ． 0,0≤∆>aD ． 0,0>∆>a文12．某大楼共有12层,有11个人在第1层上了电梯,他们分别要去第2层至第12层,每层1人。

2023-2024学年北京通州区高二(上)期中数学试题和答案

2023-2024学年北京通州区高二(上)期中数学试题和答案

2023北京通州高二（上）期中数 学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 直线20x y -+=的倾斜角为（ ）A.π4B.π3C.2π3D.3π42. 已知()2,3,1A --，()6,5,3B -，则AB =（ ）A. B. C. D. 123. 已知()2,3,1a =-，()1,3,0b =，()0,0,1c = ，则()a b c ⋅+ 等于（ ）A. -4B. -6C. -7D. -84. 已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：()()222210x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含5. 设直线1l ：240ax y +-=，2l ：()120x a y +++=.则“1a =”是“12l l //”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知ABCD 为矩形，4,1,AB AD ==点P 在线段CD 上，且满足AP BP ⊥，则满足条件的点P 有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个7. 如图，四面体ABCD 中，AB a=，AC b = ，AD c = ，M 为BD 的中点，N 为CM 的中点，则AN =（ ）A. 111444a b c ++B. 111442a b c ++C. 111222a b c ++ D. 111424a b c ++ 8. 在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）A.23C.13D. 23-9. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，1AA =，60BAD ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，AC 与BD 相交于点O .则1OA 的长为（ ）B. 2C. D. 10. 过直线1y x =-上一点P 作圆()2252x y -+=的两条切线1l ，2l ，切点分别为A ，B ，当直线1l ，2l 关于1y x =-对称时，线段PA 的长为（ ）A. 4B. D. 2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB 的斜率为_____________.12. 在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，则直线1AA 到平面11BB C C 的距离为_______13. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0AB = ，()0,2,0AC = ，()0,0,2AD = .则CD 与CB的夹角的余弦值为___________；CD 在CB的投影向量a = ___________.14. 若直线y x b =+与曲线y =恰有一个公共点，则实数b 的一个可能取值是_________.15. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈.给出下列四个结论：①所有满足条件的点P 组成的区域面积为1；②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值；③当1λ=时，点P 到1A B 距离的最小值为1；④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P .则所有正确结论的序号为__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知直线1:280l x y +-=，直线2:20l x y -+=，设直线1l 与2l 的交点为A ，点P 的坐标为()2,0.（1）求点A 的坐标；（2）求经过点P 且与直线1l 平行的直线方程；（3）求以AP 为直径的圆的方程.17. 已知直线10x y -+=，圆22:420C x y x y m +--+=.（1）若直线与圆相交，求实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，设直线与圆交于A ，B 两点.（i ）求线段AB 的垂直平分线的方程；（ii ）若AB =m 的值.18. 如图，在五面体ABCDEF 中，平面ABCD 为正方形，平面ABFE 平面CDEF EF =，AD ED ⊥.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求证：//CD 平面ABFE ；（2）若1EF ED ==，2CD EF =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面ADE 与平面BCF 夹角的大小.条件①：CD EA ⊥；条件②：CF =.19. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点.（1）求证：,,,E F G H 四点共面；（2）求1B D 与平面EFGH 所成角的正弦值；（3）求点1B 到平面EFGH 的距离.20. 已知四边形ABCD 为正方形，O 为AC ，BD 的交点，现将三角形BCD 沿BD 折起到PBD 位置，使得PA AB =，得到三棱锥P ABD -.（1）求证：平面PBD ⊥平面ABD ；（2）棱PB 上是否存在点G ，使平面ADG 与平面ABD ？若存在，求PG GB；若不存在，说明理由.21. 长度为6的线段PQ ，设线段中点为G ，线段PQ 的两个端点P 和Q 分别在x 轴和y 轴上滑动.（1）求点G 的轨迹方程；（2）设点G 的轨迹与x 轴交点分别为A ，B （A 点在左），与y 轴交点分别为C ，D （C 点在上），设H 为第一象限内点G 的轨迹上的动点，直线HB 与直线AD 交于点M ，直线CH 与直线=3y -交于点N .试判断直线MN 与BD 的位置关系，并证明你的结论.参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】A【分析】根据解析式可得直线斜率为1k =，再由倾斜角与斜率之间的关系可得π4θ=.【详解】设直线的倾斜角为θ，将直线20x y -+=化为斜截式可得2y x =+，即直线斜率为1k =；所以tan 1k θ==，又[)0,πθ∈，所以π4θ=.故选：A 2. 【答案】D【分析】由空间向量模长的坐标表示代入计算即可求得结果.【详解】由()2,3,1A --，()6,5,3B -可得()8,8,4AB =-，所以12AB == .故选：D 3. 【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算法则进行运算即可.【详解】因为()2,3,1a =- ，()1,3,0b =，()0,0,1c = ，所以(1,3,1)b c +=，则()21(3)3116a b c ⋅+=⨯+-⨯+⨯=-，故选：B 4. 【答案】C【分析】依题意将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论.【详解】根据题意将1C 化为标准方程可得()()221425x y +++=，即圆心()11,4C --，半径15r =；由()()222210x y -+-=可知圆心()22,2C ，半径2r =；此时圆心距为12C C ==，121255r r r r +=+-=-；显然1212122r r C C r r -+<<，即两圆相交.故选：C 5. 【答案】C【分析】求出12l l //时a 的值，即可判定.【详解】因为直线1l ：240ax y +-=，2l ：()120x a y +++=，故12l l //时，有(1)20a a +-=，解得1a =，或者2a =-，当1a =时，1l ：240x y +-=，2l ：220x y ++=，12l l //；当2a =-时，1l ：2240x y -+-=，即20x y -+=，2l ：20x y -+=，则两直线重合，故12l l //时，1a =，则“1a =”是“12l l //”的充要条件，故选：C.6. 【答案】C【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系,设出P 点坐标，算出,AP BP 坐标，由AP BP ⊥得到0AP BP =，构建方程求解即可.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得()()0,0,4,0A B ,因为点P 在线段CD 上，所以可设()(),1,04P t t ≤≤，所以()(),1,4,1AP t BP t ==-,又AP BP ⊥，所以0AP BP =，可得4t =()410t t -+=，解得；2t =±，即满足条件的点P 有2个.故选：C.7. 【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算，以,,a b c 为基底表示出向量AN即可.【详解】由题可知AN AM MN +=，由M 为BD 的中点，N 为CM 的中点可得()12AM MN AB AD NC +=++，即()()()111222AN AB AD NC AB AD NA AC a c NA b ++=+++=+=++，即()12AN a c NA b =+++ ，所以()122AN a c b =++，即111424AN a b c =++ .故选：D 8. 【答案】A【分析】根据正四面体性质取BN 的中点为P ，即可知AMP ∠即为异面直线AM 和CN 的夹角的平面角,计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接BN ，取BN 的中点为P ，连接,AP MP ，如下图所示：由正四面体的棱长为1可得AM CN BN ===又,M P 分别是,BC BN 的中点，所以//MP CN，且12MP CN ==所以AMP ∠即为异面直线AM 和CN 的夹角的平面角，又易知BN AN ⊥，且12PN BN ==AP ===因此337241616cos 3AMP +-∠==，即AM 和CN 夹角的余弦值为23.故选：A 9. 【答案】B【分析】把111122OA AA AB AD =--两边平方并展开，根据向量数量积的定义计算即可.【详解】因为1111122OA AA AO AA AB AD =-=--,所以221111||22OA AA AB AD =-- 22111111442AA AB AD AA AB AA AD AB AD=++-⋅-⋅+⋅11844444422=++--⨯⨯⨯4=,则12OA =，即1OA 的长为2,故选：B.10. 【答案】C【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点P 的连线垂直于直线1y x =-，利用这一关系即可求得切线段的长.【详解】如图所示，圆心(5,0)C ,连接CP ,因为直线1l ，2l 关于直线1y x =-对称，所以CP 垂直于直线1y x =-，故CP而||AC =,则PA ==,故选：C.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】2-【详解】由两点间斜率计算公式可得42201k -==--，故答案为2-.12. 【分析】先作出直线1AA 上的点到平面11BB C C 的垂线段，然后利用勾股定理求出垂线段的长度即可.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，在底面ABC 内作AD BC ⊥，因为平面11BB C C ⊥底面ABC ，平面11BB C C 底面ABC BC =，所以AD ⊥平面11BB C C ，因为11AA CC ∥，1AA ⊄平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以1AA ∥平面11BB C C ，所以AD 即为直线1AA 到平面11BB C C 的距离，因为ABC 为等边三角形，且2AB =，所以直线1AA 到平面11BB C C 的距离为AD ==.13. 【答案】 ①. 12 ②. ()1,1,0-【分析】先根据空间向量的坐标运算求出CD 与CB的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算公式即可求出结果.【详解】因为()2,0,0AB =，()0,2,0AC = ，()0,0,2AD = ，所以()0,2,2CD AD AC =-=- ，()2,2,0CB AB AC =-=-，所以1cos ,2CD CB CD CB CD CB 〈〉===，CD 在CB的投影向量为()cos ,1,1,0CB CD CD CB CB〈〉=-.故答案为：12；()1,1,0-.14. 【答案】1-（答案不唯一）【分析】画出图象，结合图象确定一个公共点时的位置，求出相应的b 的值，数形结合可得答案.【详解】曲线y =1的圆的上半部分，如图所示，有图可知，当直线y x b =+在2l 和3l 之间移动或与半圆相切，即处于1l 的位置时，直线与圆恰好有一个公共点，当直线y x b =+在3l 时，经过点(1,0)，所以1b =-，当直线y x b =+在2l 时，经过点()1,0-，所以1b =，1=，所以b =，或者b =（舍），故b =或者11b -≤<.故答案为: 1.-15. 【答案】①②③【分析】对于①，根据条件得点P 在正方形11BCC B 内，即可判断；对于②，点P 在线段11B C 上，从而点P 到平面1A BC 的距离为定值，1A BC S △为定值，从而三棱锥1P A BC -的体积为定值；对于③，点P 在线段1CC 上，当点P 与C 重合时，BP 即为P 到1A B 距离的最小值为1，从而判断；对于④，由题点P 在线段EF 上，当1A B ⊥平面1AB P 时，可得1//AE AB ，与1AE AB A ⋂=矛盾，从而即可判断.【详解】如图所示，对于①，因为1BP BC BB λμ=+ ，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，所以点P 在正方形11BCC B 内（包括正方形），而正方形11BCC B 的面积为1，故①正确；对于②，1μ=时，1BP BC BB λ=+ ，所以1111,BP BB BC B P BC B C λλλ-=== ,故点P 在线段11B C 上，由题易得11//B C 平面1A BC ,所以11B C 上的点到平面1A BC 的距离都相等，又1112A BC S == 所以三棱锥1P A BC -的体积为定值，故②正确；对于③，1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，所以111,BP BC BB CP BB CC μμμ-=== ,所以点P 在线段1CC 上，连接BP ,由题意可得，BC ⊥平面11ABB A ,1A B ⊂平面11ABB A ,1BC A B ⊥,当点P 与C 重合时，BP 即为P 到1A B 距离的最小值为1，故③正确；对于④，当12μ=时，112BP BC BB λ=+，取1BB 的中点E ,1CC 的中点F ,则点P 在线段EF 上，若1A B ⊥平面1AB P ，则AP ⊂平面1AB P ,必有1A B AP ⊥,因为PE ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，所以1PE A B ⊥,AP PE P ⋂=,所以1A B ⊥平面APE ，则有1A B AE ⊥,又11A B AB ⊥,所以1//AE AB ,与1AE AB A ⋂=矛盾，故不存在满足题意的点，④错误，故答案为：①②③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）()2,4（2）240x y +-=（3）()()22224x y -+-=【分析】（1）解两直线方程构成的方程组即可得解；（2）求出直线1l 的斜率，然后利用点斜式即可求出直线方程；（3）根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，进而可得圆的方程.【小问1详解】由28020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得24x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 与2l 的交点为()2,4A .【小问2详解】由1:280l x y +-=得直线1l 的斜率为2-，又点P 的坐标为()2,0，所以经过点P 且与直线1l 平行的直线方程为()22y x =--，即240x y +-=.【小问3详解】因为()2,4A ，()2,0P ，所以AP 的中点坐标为()2,2，22AP=，所以以AP 为直径的圆的方程为()()22224x y -+-=.17. 【答案】（1）(),3-∞（2）（i ）30x y +-= （ii ）52m =【分析】（1）由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列式求解即可；（2）（i ）由题意线段AB 的垂直平分线经过圆心，从而可直接求得直线方程；（ii ）由弦长AB =.【小问1详解】由22420x y x y m +--+=得()()22215x y m -+-=-，所以当5m <时，22420x y x y m +--+=表示以()2,1为半径的圆，由于直线10x y -+=与圆相交，所以圆心到直线的距离d =<所以3m <，即实数m 的取值范围为(),3-∞.【小问2详解】（i）由题意，线段AB 的垂直平分线经过圆心()2,1，斜率为1-，所以线段AB 的垂直平分线的方程为()12y x -=--，即30x y +-=.（ii ）由于圆心到直线的距离d ，AB =所以由AB ==解得52m =.18. 【答案】（1）证明见详解（2）选条件①π4；选条件②π4【分析】（1）根据条件知//AB CD ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直接坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量夹角的余弦值即可求出夹角的大小.【小问1详解】因为在五面体ABCDEF 中，平面ABCD 为正方形，所以//AB CD ,又CD ⊄平面ABFE ，AB ⊂平面ABFE ,故//CD 平面ABFE ；【小问2详解】若选条件①：根据已知条件可得：CD AD ⊥,因为CD EA ⊥，EA AD A ⋂=,EA ⊂平面ADE ,AD ⊂平面ADE ,所以CD ⊥平面ADE ,因为DE ⊂平面ADE ,所以CD DE ⊥,则以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直接坐标系如下图所示，因为1EF ED ==，22CD EF ==，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,1),D A B C E则(2,0,0)BC =- ,由(1)知，//CD 平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ,又平面ABFE 平面CDEF EF =,所以//CD EF ,所以12EF CD =,所以(0,1,1),F 即(0,1,1)FC =- .因为CD ⊥平面ADE ,所以平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC = ,设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = ，则200n BC x n FC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1,y =则(0,1,1)n = ，设平面ADE 与平面BCF 夹角为θ，则cos n DC n DC θ⋅===,又π02θ≤≤，则π,4θ=即平面ADE 与平面BCF 夹角的大小为π.4若选条件②：由(1)知，//CD 平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ,又平面ABFE 平面CDEF EF =,所以//CD EF ,过点F 作//FG ED ,交CD 于点G ,则四边形EFGD 为平行四边形，又1EF ED ==，2CD EF =，则1,1FG ED CG CD DG ===-=,又因为CF =则222CF FG CG =+,故π2FGC ∠=,即CG FG ⊥，则CD DE ⊥,则以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直接坐标系如下图所示，因为1EF ED ==，22CD EF ==，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,1),D A B C E则(2,0,0)BC =- ,又12EF CD =,所以(0,1,1),F 即(0,1,1)FC =- .因为CD ⊥平面ADE ,所以平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC = ,设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = ，则200n BC x n FC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1,y =则(0,1,1)n = ，设平面ADE 与平面BCF 夹角为θ，则cos n DC n DC θ⋅===,又π02θ≤≤，则π,4θ=即平面ADE 与平面BCF 夹角的大小为π.419. 【答案】（1）证明见详解（2）13（3【分析】（1）取1BB 的中点,M 连接,,EM FM HM ，先证,,,H M F G 四点共面，再证,,,H M G E 四点共面，又这两个平面重合，即可证明；（2）以D 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面EFGH 的法向量，1DB 与法向量夹角的余弦值的绝对值即为所求；（3）利用点到平面距离的向量表示公式计算即可.【小问1详解】如图，取1BB 的中点,M 连接,,EM FM HM ,因为,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点，易得11//HM B D ,11//GF B D ,所以//HM GF ,所以,,,H M F G 四点共面，又1111//,//,//EM AB HG DC AB DC ,所以//EM HG ，则,,,H M G E 四点共面，而过不共线的的三点,,H M G 的平面具有唯一性，则平面HMFG 与平面EMGH 重合，故,,,E F G H 四点共面.【小问2详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的的边长为a则()()1,,,0,0,0,0,,0,222a aaB a a a D E a F a a G a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，则1(,,),(,,0),(,0,)22a a DB a a a GF GE a a ===-，设(),,n x y z = 是平面EFGH 的法向量，则00022000aan GFx y x y x z n GE ax az ⎧⎧⋅=+=+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎪⎩-=⎩，取1x =,则1, 1.y z =-=所以(1,1,1)n =- ，所以1B D 与平面EFGH所成角的正弦值为11111sin ,cos ,3n DB n DB n DB n DB ⋅====⋅ 【小问3详解】由（2）知平面EFGH 的法向量(1,1,1)n =- ，又()11,0,0FB =因为1m FB m ⋅==即1B 到平面EFGH20. 【答案】（1）证明见解析（2）存在满足题意的点G ，且1PGGB =【分析】（1）由平面与平面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ADG 与平面ABD 的法向量，然后根据求面面角的方法即可列式求解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，所以OA OB OC OD ===，,OC OB OA OB ⊥⊥，所以折起后，OA OB OP OD ===，OP OB ⊥，由于折起前有222OA OB AB +=，且折起后PA AB =，所以折起后有222OA OP PA +=，即OP OA ⊥，又OP OB ⊥，OA OB O = ，,OA OB ⊂平面ABD ，所以OP ⊥平面ABD ，又OP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABD .【小问2详解】由（1）知OP OB ⊥，OP OA ⊥，OA OB ⊥，所以以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z 轴建立空间直角坐标系，设1OA =，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1P ，则()1,1,0AD =-- ，()0,1,1PB =- ，()1,0,1AP =- ，假设存在满足题意的点G ，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤< ，则()1,,1AG AP PG λλ=+=-- ，设平面ADG 的法向量为(),,n x y z = ，则·0·0AD n AG n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即()010x y x y z λλ--=⎧⎨-++-=⎩，令1x =，得1y =-，11z λλ+=-，即11,1,1n λλ+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ ，易知平面ABD 的一个法向量为()0,0,1m = ，因为平面ADG 与平面ABD，所以11cos ,n m n m n m λλ+-〈〉=== ，解得12λ=，所以在棱PB 上存在点G ，使平面ADG 与平面ABD，且G 为棱PB 的中点，所以1PG GB=.21. 【答案】（1）229x y +=；（2）//MN BD ，证明见解析.【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OG 的长度，进而判断出G 的轨迹，得到轨迹方程；（2）写出,,,A B C D 四点的坐标，联立直线HB 与直线AD 的方程求出点M 的坐标，联立直线CH 与直线=3y -的方程求出N 的坐标，再利用坐标求出MN k 并与BD k 进行比较即可.【小问1详解】在Rt POQ 中，因为G 是线段PQ 的中点，所以1||||32OG PQ ==，所以G 的轨迹为以O 为圆心，以3为半径的圆，所以G 的轨迹方程为229x y +=.【小问2详解】//MN BD ，证明如下：依题意，下列各点坐标为(3,0),(3,0),(0,3),(0,3)A B C D --，直线AD 的方程为3y x =--.因为H 为第一象限内点G 的轨迹上的动点，故设0000(,)(03,03)H x y x y <<<<，且22009x y +=.设直线HB 的方程为00(3)3y y x x =--，00(3)33y y x x y x ⎧=-⎪-⎨⎪=--⎩ ，解得0000000339363y x x x y y y x y -+⎧=⎪+-⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，即00000003396()33y x y M x y x y -+-+-+-，.试题21设直线CH 的方程为0033y y x x -=+，00333y y x x y -⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ ，解得00633x x y y -⎧=⎪-⎨⎪=-⎩，即006(3)3x N y ---.所以000000000633339633MN y x y k y x x x y y -++-=-+++-- 0000000000(23)(3)(3)(3)2(3)y x y y y x y x x y -++--=-+-++-20000220000039392x y y x x y y x x --+=-+++200002200000391392(9)x y y x x y y x y --+==+--+-，又03130BD MN k k +===-，所以//MN BD.。

2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析

2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。

5．难度系数：0.72。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

2023-2024学年度上期高2025届半期考试高二数学试卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效．5．考试结束后，只将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()(),2,2,3,4,2a x b =-=-，若a b ⊥，则x 的值为（）A.1B.4- C.4D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由()(),2,2,3,4,2a x b =-=- 得3840a b x ⋅=--= ，所以4x =，故选：C2.已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离是（）A.45B.35C.25 D.15【答案】A 【解析】【分析】直接由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，而()()34430⨯---⨯=，所以12l l //，所以由两平行线之间的距离公式可得1l 与2l 之间的距离是45d ==.故选：A.3.已知圆()()221:219C x y -++=与圆()()222:134C x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.内含【答案】B 【解析】【分析】根据两圆圆心距与半径的关系即可求解.【详解】()()221:219C x y -++=的圆心为()2,1,3r -=，()()222:134C x y ++-=的圆心为()1,3,2R -=，由于125C C ==,125C C r =+=R ，所以1C 与圆2C 外切，故选：B4.若直线()1:410l x a y +-+=与2:20l bx y +-=垂直，则a b +的值为（）A.2 B.45C.23D.4【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直的条件求解．【详解】由题意40b a +-=，∴4a b +=．故选：D ．5.已知事件,A B 相互独立，且()()0.3,0.7P A P B ==，则()P AB =（）A.1 B.0.79C.0.7D.0.21【答案】D 【解析】【分析】由独立事件的概率乘法公式计算．【详解】由题意()()()0.30.70.21P AB P A P B ==⨯=，故选：D ．6.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA 上，且2ON NA =，则MN =（）A.121232a b c--+B.211322a b c-++C.211322a b c --D.111222a b c +-【答案】C 【解析】【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用,,OA a OB b OC c === 表示出MN.【详解】1221()2332MN MB BO ON CB OB OA OA OB OC OB=++=-+=+-- 211211322322OA OB OC a b c =--=--.故选：C7.已知椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，长轴为12A A ，过椭圆上一点M 向x 轴作垂线，垂足为P ，若212||13MP A P A P =⋅，则该椭圆的离心率为（）A.3B.3C.13D.23【答案】B 【解析】【分析】根据题意，设()00,M xy ，表示出12,A P A P ，结合椭圆方程，代入计算，再由离心率公式，即可得到结果.【详解】设()00,M x y ，则2200221x y a b+=，()()()120,0,,0,,0A a A a P x -，则10A P x a =+，20A P x a =-，0MP y =所以222002201200||13a y y MP A P A x x a P x a+⋅=-==⋅-，且22x a <，所以22213y a x =-，即222003a x y -=，代入椭圆方程可得222002231a y y a b-+=，化简可得223a b =，则离心率为63e ===.故选：B8.现有一组数据不知道其具体个数，只知道该组数据平方后的数据的平均值是a ，该组数据扩大m 倍后的数据的平均值是b ，则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大m 倍后的数据的方差三个量中，能用,,a b m 表示的量的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设出原始数据，逐个计算求解即可.【详解】设该组数据为123,,n x x x x ⋅⋅⋅，则12nx x x x n++⋅⋅⋅+=.所以22212n x x x a n++⋅⋅⋅+=，12n mx mx mx mx b n ++⋅⋅⋅+==，所以b x m =.原数据的方差()()()()2222221212221212n n n x x x x x x x x x x x x x s xnn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+2222222b b a x x a x a a m m ⎛⎫=-+=-=-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.扩大m 倍后的数据的方差：()()()()()()2222221212222n n mx mx mx mx mx mx x x x x x x s m nn ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦22222212b m s m a m a b m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.平方后的数据的方差：()()()()2222222224441212221232n n n x a x a x aa x x x x x x s a nn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+44444422212122n n x x x x x x a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+=-.不能用,,a b m 表示.故选：C.二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．9.我校举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A.图中的x 值为0.020B.这组数据的极差为50C.得分在80分及以上的人数为400D.这组数据的众数的估计值为82【答案】AC 【解析】【分析】根据频率值和为1即可判断A ；根据由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，即可判断B ；求出得分在80分及以上的频率，再乘以总人数，即可判断C ；根据频率分布直方图中众数即可判断D .【详解】解：()100.0050.0350.0300.0101x ⨯++++=，解得0.020x =，故A 正确；因为由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，故B 错误；得分在80分及以上的频率为()100.0300.0100.4⨯+=，所以得分在80分及以上的人数为10000.4400⨯=，故C 正确；这组数据的众数的估计值为75，故D 错误.故选：AC .10.下列说法正确的是（）A.对任意向量,a b ，都有a b b a⋅=⋅B.若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c=C.对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D.对任意向量,,a b c ，都有()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b c【答案】AD 【解析】【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项.【详解】cos ,a b a b a b ⋅=，cos ,b a a b a b ⋅= ，可得a b b a ⋅=⋅，故选项A 正确；由a b a c ⋅=⋅ 可得()0a b c ⋅-=，又0a ≠ ，可得b c = 或()a cb ⊥- ，故选项B 错误；()()cos ,R a b c a b a b c c λλ⋅⋅==∈,()()cos ,R a b c c b c b a a μμ⋅⋅==∈所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，故选项C 错误；由向量数量积运算的分配律可知选项D 正确；故选：AD.11.甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（）A.平均数为67B.平均数为66C.方差为296D.方差为287【答案】BD 【解析】【分析】先利用比重计算全部队员体重的平均值，再利用平均值计算方差即可.【详解】依题意，甲的平均数160x =，乙的平均数268x =，而甲､乙两队的队员人数之比为1：3，所以甲队队员在所有队员中所占比重为14，乙队队员在所有队员中所占比重为34故甲、乙两队全部队员的体重的平均数为：1360686644x =⨯+⨯=；甲、乙两队全部队员的体重的方差为：()()22213200606630068665922828744s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=+=⎣⎦⎣⎦.故选：BD.12.已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（）A.该四面体相对的棱两两垂直B.该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心C.该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线）D.该四面体三组对棱平方和相等【答案】ACD 【解析】【分析】设,,AB b AC c AD d ===，利用向量法AD 选项，用几何法判断BC 选项．【详解】选项A ，如图，四面体ABCD 中，,,,,,E F G H I J 是所在棱中点，EF GH IJ ==，设,,AB b AC c AD d === ，则111()()222EF AF AE AD AB AC d b c =-=-+=-- ，111()()222GH AH AG AC AD AB c d b =-=+-=+- ，EF GH =，即EF GH = ，所以11()()22d b c c d b --=+-，所以222222222222d b c b d c d b c d b c c d b d b c++-⋅-⋅+⋅=+++⋅-⋅-⋅c d b c ⋅=⋅ ，即()0c b d ⋅-= ，所以()c b d ⊥- ，即AC DB ⊥，所以AC BD ⊥，同理,AB CD AD BC ⊥⊥，A 正确；选项B ，设1AH ⊥平面BCD ，1H 是垂足，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，而1BH ⊂平面1ABH ，所以1CD BH ⊥，同理1BC DH ⊥，所以1H 是平面BCD 垂心，同理可得其它顶点在对面的射影是对面三角形的垂心，B 错；选项C ，如上图，1AH ⊥平面BCD ，2BH ⊥平面ACD ，3DH ⊥平面ABC ，123,,H H H 是垂足，先证明12,AH BH 相交，1AH ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，同理CD ⊥平面2ABH ，所以平面1ABH 和平面2ABH 重合，即12,AH BH 共面，它们必相交，设12AH BH H ⋂=，下面证明DH ⊥平面ABC ，与证明CD ⊥平面1ABH 同理可证得BC ⊥平面1ADH ，又DH ⊂平面1ADH ，所以BC DH ⊥，同理由2BH ⊥平面ACD 可证得DH AC ⊥，而,AC BC 是平面ABC 内两相交直线，所以DH ⊥平面ABC ，因此DH 与3DH 重合，同理可证CH ⊥平面ABD ，C 正确；选项D ，由选项A 的讨论同理可得b c b d c d ⋅=⋅=⋅，222222222()2AB CD AB CD b d c b c d c d +=+=+-=++-⋅ ，222222222()2AC BD AC BD c d b b c d b d +=+=+-=++-⋅，所以2222AB CD AC BD +=+，同理222222AB CD AC BD AD BC +=+=+，D 正确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与BA平行，由此可得．【详解】由已知(1,2)BA =，()1,k 是直线AB 的方向向量，则2k =，故答案为：2.14.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为25，29，30，32，37，38，40，42，那么这组数据的第65百分位数为______．【答案】38【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求解.【详解】865% 5.2⨯=,故这组数据的第65百分位数为第6个数38，故答案为：3815.写出与圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=都相切的一条直线的方程__________．【答案】0x =##4y =-##430x y -=##34100x y ++=【解析】【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得0x =或4y =-为公切线，设切线方程为y kx b =+，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于,k b 方程组，求解.【详解】因为圆1C 的圆心为()11,3C --，半径11r =圆2C 的圆心为()23,1C -，半径23r =又因为124C C =所以圆1C 与圆2C 相离，所以有4条公切线.画图为：易得:0a x =或:4n y =-是圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=的公切线设另两条公切线方程为：y kx b =+圆1C 到直线y kxb =+的距离为1=圆2C 到直线y kxb =+3=所以3133k b b k ++=-+所以31339k b b k ++=-+或31339k b b k ++=-+-34k b =+或52b =-当52b =-1==所以34k =-，切线方程为34100x y ++=当34k b =+3==所以()()225249b b +=++所以240b b +=所以0b =或4b =-当0b =时43k =，切线方程为430x y -=当4b =-时0k =，切线方程为4y =-故答案为：0x =或4y =-或430x y -=或34100x y ++=16.已知P 为直线=2y -上一动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为______．【答案】52【解析】【分析】首先设点00(,)P x y ，求过点BC 的直线方程，并判断直线BC 过定点，再利用几何关系求最大值.【详解】设00(,)P x y ，过点P 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则切点在以OP 为直径的圆上，圆心00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径r =，则圆的方程是22220000224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理为：22000x y x x y y +--=，又点,B C 在圆221x y +=上，两圆方程相减得到001x x y y +=，即直线BC 的方程是001x x y y +=，因为02y =-，代入001x x y y +=得021x x y -=，则直线BC 恒过定点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点()2,1A 到直线BC 的距离52d AN ≤==，所以点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为52.故答案为：52.【点睛】思路点睛：首先本题求以OP 为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的直线方程，关键是发现直线BC 过定点，这样通过几何关系就容易求定点与动直线距离的最大值.四．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的周长为()()14,3,0,3,0B C -．（1）求点A 的轨迹方程；（2）若AB AC ⊥，求ABC 的面积．【答案】（1）()2210167x y y +=≠（2）7【解析】【分析】（1）结合椭圆定义可得A 的轨迹方程.（2）利用AB AC ⊥及椭圆定义可列出方程，求解AC AB ⋅，即可算出ABC 的面积．【小问1详解】ABC 的周长为14且6,86BC AC AB BC =∴+=>=，根据椭圆的定义可知，点A 的轨迹是以()()3,0,3,0B C -为焦点，以8为长轴长的椭圆，即4,3,a c b ===A 的轨迹方程为221167x y+=，又A 为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为()2210167x y y +=≠．【小问2详解】222,||||36AB AC AB AC BC ⊥∴+== ①．A 点在椭圆()2210167x y y +=≠上，且()()3,0,3,0B C -为焦点，8AC AB ∴+=，故22||264AC AB AC AB ++⋅=②．由①②可得，14AC AB ⋅=，故172S AC AB =⋅⋅=．ABC ∴ 的面积为7．18.如图，四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点，连接DE ．（1）求DE 的长；（2）求点D 到平面ABC 的距离．【答案】18.219.3【解析】【分析】（1）利用基底,,OA OB OC 表示出向量DE，再根据向量数量积求长度的方法即可求出；（2）由该几何体特征可知，点O 在平面ABC 的射影为ABC 的中心，即可求出．【小问1详解】因为四面体OABC 的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，()1111122222DE DA AB BE OA OB OA OC OB OA OB OC =++=+-+-=-++，而且12OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅= ，所以()()2211131442DE OA OB OC =--=-=，即2DE =，所以DE 的长为2．【小问2详解】因为四面体OABC 为正四面体，所以点O 在平面ABC 的射影O '为ABC 的中心，ABC 的外接圆半径为11sin6023︒⨯=，所以点O 到平面ABC 的距离为3d ==，由于D 点为线段OA 的中点，所以点D 到平面ABC 的距离为3．19.现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160,165,⋅⋅⋅，第八组[]190195,．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件A 表示随机抽取的两名男生不．在同一组．．．．，求()P A ．【答案】（1）第七组的频率为0.06，中位数为174.5cm（2）815【解析】【分析】（1）根据频率为和1，可得第七组的频率为0.06，设学校的800名男生的身高中位数为m ，根据中位数的定义可得()0040080217000405...m ..+++-⨯=,求解即可；（2）用列举法写出基本事件的总数和两名男生不在同一组所包含的基本事件，即可得解.【小问1详解】（1）由直方图的性质，易知第七组的频率为415(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06++0.008)=0.06505-⨯⨯．由于0.040.080.20.320.5,0.040.080.20.20.520.5++=<+++=>，设学校的800名男生的身高中位数为m ，则170175m <<，由()0040080217000405...m ..+++-⨯=,得1745m .=，所以学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm ．【小问2详解】解：第六组[)180185,的人数为4，设为a b c d ,,,，第八组[]190195,的人数为0.0085502⨯⨯=，设为,A B ，则从中随机抽取两名男生有,,,,,,,,,,,,,dB,ab ac ad bc bd cd aA aB bA bB cA cB dA AB 共15种情况．事件A 表示随机抽取的两名男生不在同一组，所以事件A 包含的基本事件为,,,aA aB bA bB ，,,,cA cB dA dB 共8种情况．所以()815P A =．20.已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，且圆心在直线340x y --=上.（1）求圆C 的方程；（2）若平面上有两个点()6,0P -，()6,0Q ，点M 是圆C 上的点且满足2MP MQ=，求点M 的坐标.【答案】（1）()22420x y -+=（2）10,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.（2）根据已知条件求得M 满足的方程联立即可求得M 的坐标.【小问1详解】∵圆心在直线340x y --=上，设圆心()34,C a a +，已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，则由CA CB =，=解得0a =，所以圆心C 为()4,0，半径r CA ===所以圆C 的方程为()22420x y -+=；【小问2详解】设(),M x y ，∵M 在圆C 上，∴()22420x y -+=，又()6,0P -，()6,0Q ，由2MPMQ=可得：()()2222646x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得()221064x y -+=，联立()()22224201064x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩解得10411,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10411,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1π,2,3,2BAC AB AC AA M ∠====是AB 的中点，N 是11B C 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点，点Q 在线段1A N 上．（1）若//PQ 平面1A CM ，请确定点Q 的位置；（2）请在下列条件中任选一个，求11A QA N的值；①平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53；②直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106．【答案】（1）Q 为1A N 靠近N 三等分点处（2）①1112A Q A N =；②1112A Q A N =【解析】【分析】（1）分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出面1A CM 的法向量n，由//PQ 平面1A CM 得PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅= ，求解11A QA N即可；（2）设()1101A Q A Nλλ=<<，求出平面BPQ 的法向量为m，平面ABC 的法向量，若选择①，利用平面与平面的夹角的向量求法求解；若选择②，由直线与平面所成角的向量求法求解.【小问1详解】分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，()()()()()130,0,3,2,0,0,0,1,0,1,1,3,1,1,,,,32A C M N P Q a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()1132,0,3,0,1,3,1,1,2A C A M PQ a a ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭ ．设面1A CM 的法向量(),,n x y z =r ，则110A C n A M n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即23030x z y z -=⎧⎨-=⎩．令2z =，得()3,6,2n =．因为//PQ 平面1A CM ，所以PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅=．所以()()316130a a -+-+=，得23a =，122,,033A Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以13A Q = ．因为11123A Q A N A N ==，所以Q 为1A N 靠近N 三等分点处时，有//PQ 平面1A CM ．【小问2详解】设()1101A QA Nλλ=<<，则()11,,0A Q A N λλλ== ．所以1111331,1,,1,1,22PQ PA A Q PA A N PB λλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设平面BPQ 的法向量为()111,,m x y z =，则00PQ m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()11111131102302x y z x y z λλ⎧-+-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩．令()141z λ=-，得()()()3,32,41m λλλ=--．注意到平面ABC 的法向量为()0,0,1，直线AC 的方向向量为()1,0,0，若选择①，平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53，则()10,0,1cos 53m mθ⋅==．即()2483001λλλ-+=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．若选择②，直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106，则()21,0,0sin 106m mθ⋅==．即()2181713001λλλ+-=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．22.已知()()()2,3,2,0,2,0,A B C ABC -∠的内角平分线与y 轴相交于点E ．（1）求ABC 的外接圆的方程；（2）求点E 的坐标；（3）若P 为ABC 的外接圆劣弧 BC 上一动点，ABC ∠的内角平分线与直线AP 相交于点D ，记直线CD 的斜率为1k ，直线CP 的斜率为2k ，当1275k k =-时，判断点E 与经过,,P D C 三点的圆的位置关系，并说明理由．【答案】（1）2232524x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解圆心和半径，从而得解；（2）根据等面积法或者利用角平分线的性质可得AB AF BCCF=，即可求解长度得斜率，进而可求解直线方程，得解；（3）联立方程可得22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，6743,3131k k D k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，根据1275k k =-可得1k =，即可求解点的坐标，由点的坐标求解圆的方程，即可判定.【小问1详解】易知ABC 为C 为直角的直角三角形，故外接圆的圆心为斜边AB 边的中点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为52，所以外接圆的方程为2232524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【小问2详解】设ABC ∠的内角平分线交AC 于点F ，根据角平分线性质定理，可知AB AF BCCF=，（利用11sin 22211sin 222ABFBCFABC AB BF AF BC S ABC S BC BF FC BC ∠⋅⋅==∠⋅⋅ 可得AB AF BC CF =）由结合3AF CF +=，5AB ==,4,3BC AC ==所以4133BD CF CF k BC =⇒==所以，ABC ∠的内角平分线方程为()123y x =+，令0x =，即可得点E 坐标20,3⎛⎫⎪⎝⎭．【小问3详解】点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由如下：由题意可知直线AP 的斜率存在，故设直线AP 的直线方程为()32y k x -=-，联立直线与圆的方程()223232524y k x x y ⎧-=-⎪⎨⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎩，可得()()22221344640kx k k x kk ++-+--=注意到,A P 两点是直线与圆的交点，所以2246421P k k x k --⋅=+222321P k k x k --∴=+，故22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭．联立直线AP 与ABC ∠的内角平分线方程()321233y k x y x ⎧-=-⎪⎨=+⎪⎩，可得6731k x k -=-6743,3131k k D k k --⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭．此时221222243433434003443313111,6753423253422313111k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----------++======------+----++，12343475,1435534k k k k k k k -+∴==-=-∴=-+．此时，点31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点11,.22D P ⎛⎫- ⎪⎝⎭点满足在劣弧 BC 上．设经过,,P D C 三点的圆的方程为()2222040x y mx ny t m n t ++++=+->，则4205320120m t m n t m n t ++=⎧⎪--+=⎨⎪-++=⎩，解得5617673m n t ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．所以，经过,,P D C 三点的圆的方程为2251770663x y x y +-+-=．将点20,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入圆的方程成立，所以点E 在经过,,P D C 三点的圆上.。

高二上期半期考试理科数学试题卷(附答案)

高二上期半期考试理科数学试题卷(附答案)

俯视图侧视图正视图高二上期半期考试数学试题卷（理科）数学试题共4页。

满分150 分。

考试时间120 分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线0122:=+-yxl的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.下列四条直线中, 哪一条是双曲线1422=-yx的渐近线?( )A.xy21-= B.xy41-=C.xy2= D.xy4=3.如图1,一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成,则该几何体的表面积是( )A.π7B.π8C.π10 D.12+π(图1) 4.设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③x、y是平面，z是直线；④x、y、z均为平面。

其中能使“yxzyzx//⇒⊥⊥且”为真命题的是( )A.③④B.①③C.②③D.①②5.直线l不经过坐标原点O, 且与椭圆1222=+yx交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么,直线AB与直线OM的斜率之积为( )A.1- B.1 C.21- D.2BC6.已知命题:p直线2+=xy与双曲线122=-yx有且仅有一个交点；命题:q若直线l垂直于直线m,且,//α平面m则α⊥l. 下列命题中为真命题的是( )A.()()p q⌝∨⌝ B.()p q⌝∨ C.()()p q⌝∧⌝ D.p q∧7.下列有关命题的说法错误．．的是( )A.对于命题p：x R∃∈，使得210x x++<. 则⌝p：x R∀∈，均有210x x++≥.B.“1=x”是“0232=+-xx”的充分不必要条件.C.命题“若12=x, 则1=x”的否命题为：“若12≠x,则1≠x”.D.命题“若5≠+yx，则32≠≠yx或”是假命题.8.(原创)如下图2, 在平行四边形ABCD中, AD=2AB=2, ∠BAC=90°. 将△ACD沿AC折起, 使得BD=5. 在三棱锥D-ABC的四个面中,下列关于垂直关系的叙述错误．．的是( )A.面ABD⊥面BCDB.面ABD⊥面ACDC.面ABC⊥面ACDD.面ABC⊥面BCD(图2) (图3)9.(原创)如上图3, 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形, 面PA B⊥面ABCD. 在面PAB内的有一个动点M, 记M到面PAD的距离为d. 若1||22=-dMC, 则动点M在面PAB内的轨迹是( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分10.设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为12e=,右焦点为F（c, 0），方程20ax bx c+-=的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1, x2)的位置( )A.必在圆222x y+=内 B.必在圆222x y+=上C.必在圆222x y+=外 D.以上三种情形都有可能俯视图侧视图二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上. 11.过点P(3,1)向圆012222=+--+y x y x 作一条切线, 切点为A, 则切线段PA 的长为________12.椭圆1002x +362y =1上一点P 到它的右准线的距离是10,那么P 点到左焦点的距离是 .13.一个几何体的三视图如图4, 则这个几何体的体积为 . 14.半径为5的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是 球的截面圆, 半径分别为3和4. 则该圆台体积的最大值为 .15.(原创)设A 为椭圆12222=+by a x (0>>b a )上一点, 点A 关于原点的对称点为B, F 为椭圆的右焦点, 且AF ⊥BF. 若∠ABF ∈[12π,4π], 则该椭圆离心率的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(本小题13分)已知双曲线2222:1(0,0)x y Ca b a b-=>>2。

高二上半期考试

高二上半期考试

高二上第一学期半期考试数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．在△ABC 中，“︒>30A ”是“21sin >A ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2、若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ）A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假 3.有下列四个命题：①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④4.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3， 则P 到另一焦点距离为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．75．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 6．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ） A ．25 B ．5 C ．215D ．10 7．以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ）A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对 8．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x -D ．0 9．函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞10．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 11．函数()323922y x x x x =---<<有（ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值 12．函数xxy ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．310二、填空题（每小题5分，共25分）13．命题“若一个整数的末位是0，则这个数能被5整除”的逆否命题是。

高二上期半期考试数学试题

高二上期半期考试数学试题

高二上期半期考试数学试题高二上半期考试数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l 的斜率为( )A ．1B ．3C ．233D ．－32．以圆0222=++y x x的圆心为圆心，半径为2的圆的方程( ) A．()2122=++y x B ． ()2214++=x y C ．()2122=+-y x是（ ）A ．12-B ．12C ．33D ．63 8．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2D ．129．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，2x ＋3y －5≤0，4x ＋3y －1≥0，点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,210．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段第Ⅱ卷注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。

作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。

答在试题卷上无效。

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）把答案填在答题卷中的横线上. 11．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________________；若l1∥l2，则b＝________________．12．过点M(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，且直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是____________________．13．以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为____________________．14．已知变量,x y 满足约束条件1,31x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，若z kx y =+的最大值为5，则实数k = ．15．已知m 、n 为直线，α、β为平面，下列命题：① ⎭⎬⎫m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α；②⎭⎬⎫m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ；③ ⎭⎬⎫m ⊥αm ⊥β⇒α∥β；④ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n ． 其中正确的命题是 （写出所有正确命题）三、解答题：（本大题共6小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）三角形的三个顶点是(4,0)A ,(2,4)B ,(0,3)C .(1) 求AB 边的中线所在直线1l 的方程；(2) 求BC 边的高所在直线2l 的方程；(3) 求直线l与直线2l的交点坐标.117．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P－ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.(1) 证明：直线PA∥面DEF；(2) 证明：平面BDE⊥平面ABC.18．（本小题满分12分）已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为27，求圆C的方程．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，(1) 证明：PD⊥平面ABCD；(2) 求异面直线PB与CD所成的角的余弦值；(3) 求二面角P－BC－D的正切值．20．（本小题满分13分）已知圆C：x2＋y2－2x ＋4y－4＝0，斜率为1的直线l与圆C交于A、B两点．(1) 化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；(2) 是否存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x －4)2＋(y－5)2＝4(1) 若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；(2) 设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．数学参考答案评分标准一、选择题BDDCC、DBCBA二、填空题11. 2，－98 12.125 13．x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝2014．1-或1215.②③三、解答题16．解：（1）390+-=x y（4分）（2）280+-=x y（8分）（3）(3,2)（12分）17．证明：(1)在△PAC中，D、E分别为PC、AC中点，则PA ∥DE ，PA 面DEF ，DE ⊂面DEF ， 因此PA∥面DEF（6分）(2)△DEF 中，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4，DF ＝5，∴DF 2＝DE 2＋EF 2，∴DE ⊥EF ， 又PA ⊥AC ，∴DE ⊥AC .∴DE ⊥面ABC ，∴面BDE ⊥面ABC . （12分）18.分析：设出圆心坐标，利用几何性质列方程求出圆心坐标，再求出半径即可．解：∵圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上， ∴可设圆心为C (3t，t)．（2分）又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径为r＝|3t|.（4分）再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得(|3t－t|2)2＋(7)2＝|3t|2. 解得t＝±1.（8分）∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.（10分）故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x ＋3)2＋(y＋1)2＝9.（12分）19.证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2.∴PD⊥DC.（3分）同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.（6分）(2)∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD,即∠PBA是异面直线PB与CD所成的角，由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB.由DA⊥AB.∴AB⊥面PAD. 即AB⊥PA,（8分）在Rt△PAB中,PA＝2a，AB＝a，∴COS∠（9分）PBA=33(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC. ∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．（11分）在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角P－BC－D的正切值是1．（12分）20．解：(1)(x－1)2＋(y＋2)2＝9.圆心C(1，－2)，r＝3.（6分）(2)假设存在直线l，设方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因此直线AB的圆过原点O，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0.（7分）⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0消去y 得2x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2＋4m －4＝0.Δ＞0得－32－3＜m ＜32－3. （9分）由根与系数关系得：x 1＋x 2＝－(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋4m －42，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 解得m ＝1或－4. （12分）直线l 方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4. （13分）21．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心C1(－3,1)到直线l的距离为d＝|1－k(－3－4)|， 2分1＋k2因为直线l被圆C1截得的弦长为23，∴4＝(3)2＋d2，∴k(24k＋7)＝0，，即k＝0或k＝－7244分所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0 6分(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－1k(x－a)，因为C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k (－3－a )－b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k (4－a )－b 1＋1k28分整理得：|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |， ∴1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ， 即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. 10分因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎨⎧ a ＋b －2＝0b －a ＋3＝0，或⎩⎨⎧a －b ＋8＝0a ＋b －5＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝52b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32b ＝132这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎪⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，132.经检验点P 1和P 2满足题目条件14分。

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题(含解析)

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题(含解析)

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共10小题）1．直三棱柱中，若，则（ ）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c+-r r ra b c-+r r r C ．D ．a b c -++ a b c-+- 2．已知点，，若直线的斜率为，则（ ）()1,0A (),B n m AB 21n m -=A ．B ．C ．D ．22-1212-3．已知，则（ ）()()1,5,1,3,2,5a b =-=-a b -= A ．B ．C ．D ．()4,3,6--()4,3,6--()4,3,6-()4,3,64．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）x 2213x y m +=mA ．B ．C ．12D ．3421412-5．已知正方体的棱长为1，则（ ）1111ABCD A B C D -A ．B ．C ．D ．11ACB D ⊥1AC BC⊥1B D BC⊥1B D AC^6．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ 22:(2)(4)25E x y -+-=22:(2)(2)1F x y -+-=）A ．内含B ．相切C ．相交D ．外离7．设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）l a αb0a b ⋅= A ．B ．C ．D ．或//l αl α⊂l α⊥l α⊂//l α8．与平行，则（ ）1:10l ax y -+=2:2410l x y +-==aA ．B ．C ．D ．21212-2-9．经过点，斜率为的直线方程为（ ）(3,1)12A ．B ．210x y --=250x y +-=C ．D ．250x y --=270x y +-=10．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）221:202C x y x y ++-+=A ．，B ．，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2-C ．，D ．，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2-二、多选题（本大题共2小题）11．下列结论错误的是（ ）A ．过点，的直线的倾斜角为()1,3A ()3,1B -30︒B ．若直线与直线平行，则2360x y -+=20ax y ++=23a =-C ．直线与直线之间的距离是240x y +-=2410x y ++=D ．已知，，点在轴上，则的最小值是5()2,3A ()1,1B -P x PA PB+12．以A （1，1），B (3，-5)两点的线段为直径的圆，则下列结论正确的是（）A ．圆心的坐标为（2，2）B ．圆心的坐标为（2，-2）C ．圆心的坐标为（-2，2）D ．圆的方程是()222)210x y ++-=（E ．圆的方程是22(2)(2)10x y -++=三、填空题（本大题共4小题）13．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的α()2,3,1-β()4,,2λ-//αβλ值是.14．直线与圆的位置关系是.34120x y ++=()()22119-++=x y 15．三条直线与相交于一点，则的值为.280,4310ax y x y +-=+=210x y -=a16．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向l ()1,0,3m =-α量为，则直线与平面所成的角为.()2n =l α四、解答题（本大题共3小题）17．求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）：(1)已知，，，求的边上的中线所在的直线方程.(1,2)A (1,4)B -(5,2)C ABC V AB (2)直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程.l (2,1)B --12y x=l 18．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G 在棱CD 上，且,E F 1,DD DB ，H 是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：13CG CD=1C G(1)求证：；1EF B C ⊥(2)求异面直线EF 与所成角的余弦值.1C G 19．已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l ：34110x y +-=与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长的值．AB答案1．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．2．【正确答案】C【详解】若直线的斜率为，则，AB 221mn =-所以，211n m -=故选：C.3．【正确答案】C【详解】向量，则.()()1,5,1,3,2,5a b =-=- (4,3,6)a b -=- 故选：C4．【正确答案】C【详解】由题意知，，3,3m a b c >==又，所以，222a b c =+3912m =+=即实数的值为12.m 故选：C5．【正确答案】D 【详解】以为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系，D {}1,,DA DC DD 则，，，，，，()0,0,0D A (1,0,0)1(1,0,1)A ()1,1,0B ()11,1,1B ()0,1,0C 所以，，，．()11,1,1A C =-- ()11,1,1B D =--- ()1,0,0BC =- ()1,1,0AC =-因为，所以．111111,1,1,0AC B D AC BC BC B D AC B D ⋅=⋅==⋅=⋅ 1B D AC ^故选：D.6．【正确答案】A【详解】圆的圆心为，半径；22:(2)(4)25E x y -+-=E (2,4)15r =圆的圆心为，半径，22:(2)(2)1F x y -+-=F (2,2)11r =，故，所以两圆内含；2=12EF r r <-故选：A7．【正确答案】D【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为且，即，l a αb0a b ⋅= a b ⊥ ∴或.l α⊂//l α故选：D8．【正确答案】B【详解】由与平行，得，所以.1:10l ax y -+=2:2410l x y +-=11241a -=≠-12a =-故选：B9．【正确答案】A【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即.(3,1)1211(3)2y x -=-210x y --=故选：A.10．【正确答案】A【详解】的标准方程为，故所求分别为221:202C x y x y ++-+= ()2213124x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：A.11．【正确答案】AC 【详解】对于A ，，即，故A 错误；131tan 312AB k α-===--30α≠︒对于B ，直线与直线平行，所以，解得，故B 2360x y -+=20ax y ++=123a =-23a =-正确；对于C ，直线与直线（即）之间的距离为240x y +-=2410x y ++=1202x y ++=C 错误；d 对于D ，已知，，点在轴上，如图()2,3A ()1,1B -P x取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时()1,1B -x ()1,1B '--AB 'x P，5=所以的最小值是5，故D 正确；PA PB+故选：AC.12．【正确答案】BE 【详解】AB 的中点坐标为，则圆心的坐标为()2,2-()2,2-=r =所以圆的方程是22(2)(2)10x y -++=故选：BE13．【正确答案】6【详解】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行.//αβαβ∴，∴.23142λ-==-6λ=故6.14．【正确答案】相交【详解】圆的圆心为，半径为，()()22119x y -++=()1,1-3因为圆心到直线，()1,1-34120x y ++=1135<所以直线与圆相交.34120x y ++=()()22119x y -++=故相交15．【正确答案】3【详解】由，即三条直线交于，431042102x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩(4,2)-代入，有.280ax y +-=44803a a --=⇒=故316．【正确答案】π6【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.【详解】设直线与平面所成的角为，l απ20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则，所以.1sin cos ,2m n m n m n θ⋅====π6θ=故π617．【正确答案】(1)x +5y ﹣15＝0(2)4x ﹣3y +5＝0【详解】（1）因为，则的中点，(1,2),(1,4)A B -AB (0,3)D 因为的边上的中线过点，ABC V AB (5,2),(0,3)C D 所以的方程为，即，CD 233050y x --=--（）5150x y +-=故的边上的中线所在的直线方程为；ABC V AB 5150x y +-=（2）设直线的倾斜角为， 则，则所求直线的倾斜角为，12y x=απ0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2α因为，所以，1tan 2α=22tan 4tan 21tan 3ααα==-又直线经过点，故所求直线方程为，即4x ﹣3y+5＝0；(2,1)B --4123y x +=+（）18．【正确答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：如图，以D 为原点，以射线DA 、DC 、分别为x 轴、y 轴、1DD z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，D xyz -则，，，，，()0,0,0D E (0,0,1)()1,1,0F ()0,2,0C ()10,2,2C ，，()12,2,2B 40,,03G ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，()1,1,1EF =- ()12,0,2B C =--所以，()()()()()11,1,12,0,21210120EF B C ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=所以，故．1EF B C ⊥1EF B C ⊥（2）因为，所以120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1C G =因为，EF =()12241,1,10,,22333EF C G ⎛⎫⋅=-⋅--=-+=⎪⎝⎭所以．1114cos ,3EF C G EF C G EF C G ⋅=====19．【正确答案】(1)()2224x y -+=(2)【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为()2224x y -+=；(2)由（1）可知：圆C 半径为2r =，设圆心（2，0）到l 的距离为d ，则61115d -==，由垂径定理得：AB ==。

四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

绵阳南山2023年秋季高2022级半期考试数学试题（答案在最后）考试时间:120分钟总分:150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10x +-=的倾斜角是（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π6【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为θ，0πθ≤<，直线10x +-=可化为y =，所以直线的斜率tan k θ==5π6θ∴=，故选：D ．2.已知空间向量()1,,2a m m =+- ，()2,1,4b =- ，且a b ⊥，则m 的值为（）A.103-B.10-C.10D.103【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直得2(1)80m m -++-=，即可求出m 的值.【详解】,2(1)8010a b m m m ⊥∴-++-=⇒=-.故选：B.3.已知直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，则1l 、2l 之间的距离为（）A.10B.5C.5D.2【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行得到关于a 的方程，求出a 的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，所以240a -=，解得2a =，所以1:220l x y ++=，即2440x y ++=，所以1l 、2l之间的距离510d ==.故选：A.4.已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，当地政府为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，决定采用分层随机抽样的方法抽取20%的户数进行调查，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（）A.150，15B.150，20C.200，15D.200，20【答案】D 【解析】【分析】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以20%得出样本容量，得出C 村抽取的户数，再乘以50%可得出C 村贫困户的抽取的户数.【详解】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以20%得出样本容量为()35020045020%100020%200++⨯=⨯=，C 村抽取的户数为20020040350200450++⨯=户，则抽取C 村贫困户的户数为400.520⨯=户．故选：D.5.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为10，则椭圆C 的离心率e 为（）A.32B.3C.23D.13【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义与焦距的性质即可求解.【详解】依题意知，焦距：24c =，由椭圆的定义得△PF 1F 2的周长为：2210a c +=，解得：2,3c a ==，所以离心率23c e a ==.故选：C.6.若圆C 经过点()2,5A ，()4,3B ，且圆心在直线l ：330x y --=上，则圆C 的方程为（）A.()()22234x y -+-= B.()()22238x y -+-=C.()()22362x y -+-= D.()()223610x y -+-=【答案】A 【解析】【分析】求解AB 的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【详解】圆C 经过点()2,5A，()4,3B ，可得线段AB 的中点为()3,4，又53124AB k -==--，所以线段AB 的中垂线的方程为43y x -=-，即10x y -+=，由10330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即()2,3C ，圆C 的半径2r ==，所以圆C 的方程为()()22234x y -+-=.故选：A.7.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A =“两次掷出的点数之和是6”，事件B =“第一次掷出的点数是奇数”，事件C =“两次掷出的点数相同”，则（）A.A 与B 互斥B.B 与C 相互独立C.()16P A = D.A 与C 互斥【答案】B 【解析】【分析】根据互斥的定义和相互独立的公式即可求解.【详解】对于选项A ：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A ，也满足事件B ,因此A 与B 能够同时发生，所以A 与B 不互斥，故选项A 错误；对于选项B ：31()62P B ==，61()366P C ==，31()3612P BC ==，所以()()()P BC P B P C =⋅，所以B 与C 相互独立，即选项B 正确；对于选项C ：()51366=≠P A ，故选项C 错误；对于选项D ：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A ，也满足事件C ,因此A 与C 能够同时发生，所以A 与C 不互斥，故选项D 错误；故选：B .8.若过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（）A.4B.5C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA PB ⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB 的最大值．【详解】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点()1,3B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．故22||||||||52PA PB PA PB +=（当且仅当||||PA PB ==时取“=”)故选：B ．【点睛】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有22||||PA PB +是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知椭圆221169x y +=与椭圆()22190169x y t t t+=-<<++，则下列说法错误的是（）A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【答案】ABC 【解析】【分析】分别求出这两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，比较即可得到答案.【详解】由已知条件得椭圆221169x y +=中，4a =，3b =，c ==则该椭圆的长轴长为28a =，短轴长为26b =，离心率为4c e a ==，焦距为2c =；椭圆()22190169x y t t t+=-<<++中，焦点在x轴上，a =b =，c ==这两个椭圆只有焦距相等.故选：ABC .10.已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列结论错误的是（）A.AB 与AC是共线向量B.与AB同向的单位向量是255,,055⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.AB 与BC夹角的余弦值是11D.平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【答案】AC 【解析】【分析】A ：利用共线向量定义进行判断；B ：与AB同向的单位向量AB AB；C ：利用向量夹角余弦公式判断；D ：设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =r ，则0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，由此能求出结果．【详解】对于A ：()()2,1,0,1,2,1AB AC ==-，12,21AB -≠∴与AC 不是共线向量，故A 错误；对于B ：()2,1,0AB = ，则与AB同向的单位向量是)2,1,0,55AB AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ：()()2,1,0,3,1,1AB BC ==-，∴55cos ,11AB BCAB BC AB BC⋅⋅==-，故C 错误；对于D ：()()2,1,0,1,2,1AB AC ==- ，设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =r，则2020n AB x y n AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取1x =，得()1,2,5n =- ，故D 正确．故选：AC ．11.光线自点()4,2射入，经倾斜角为45︒的直线:1l y kx =+反射后经过点()3,0，则反射光线经过的点为（）A.914,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()9,15-C.()3,15- D.()13,2【答案】BC 【解析】【分析】先求点()4,2关于直线l 的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验【详解】由题意知，tan415k =︒=，设点()4,2关于直线1y x =+的对称点为m n （，），则21424122n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得15m n =⎧⎨=⎩，所以反射光线所在的直线方程为()()05333251y x x -=--=--，所以当9x ＝时，15y -＝；当3x -＝时，15y ＝，故选：BC12.对于平面直角坐标系内任意两点()()1122,,,A x y B x y ，定义它们之间的一种“折线距离”：()2121,d A B x x y y =-+-，则下列命题正确的是（）A.若()()1,3,1,0A B -，则(),5d A B =B.若A 为定点，B 为动点，且满足(),1d A B =，则B 点的轨迹是一个圆C.若A 为定点，B 为动点，且满足(),1d A B =，则B 点的轨迹是一个椭圆D.若点C 在线段AB 上，则()()(),,,d A C d C B d A B +=【答案】AD 【解析】【分析】由新定义直接计算可判断A ，设()0,0A ，(),B x y ，结合新定义可判断BC ，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y 且,A C B A C B x x x y y y <<<<，结合新定义可判断D【详解】由题意可得：当()1,3A -，()1,0B ，时()2121,11305d A B x x y y =-+-=--+-=，所以A 正确；不妨设()0,0A ，(),B x y ，由题意可得1x y +=，此时表示的几何图形是正方形，所以BC 错误；设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y 且,A C B A C B x x x y y y <<<<，所以()(),,d A C d C B +=C A C A B C B Cx x y y x x y y -+-+-+-C A C A B C B C B A B Ax x y y x x y y x x y y =-+-+-+-=-+-(),B A B A x x y y d A B =-+-=，所以D 正确．故选：AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）13.已知直线1l ：310++=mx y 与直线2l ：()2540x m y ++-=互相垂直，则它们的交点坐标为_________.【答案】75,66⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】利用互相垂直求出m ，然后两直线联立即可求出交点坐标.【详解】因为直线1l ：310++=mx y 与直线2l ：()2540x m y ++-=互相垂直，所以()2350m m ++=，解得3m =-，联立33102240x y x y -++=⎧⎨+-=⎩，解得直线1l 和2l 的交点坐标为75,66⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：75,66⎛⎫⎪⎝⎭14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1,,AA a AB b AD c ===，N 是BC 的中点，则向量1A N = _________．（用,,a b c表示）【答案】12a b c→→→-++【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则及数乘运算求解即可.【详解】由向量的减法及加法运算可得，111A N =AN AA =AB BN AA →→→→→-+-11122AB AD AA b c a →→→→→→=+-=+-，故答案为：12a b c→→→-++15.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的第60百分位数是______．【答案】9【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求出结果．【详解】党员人数一共有61098740++++=，4060%24⨯=，那么第60百分位数是第24和25个数的平均数，第24和25个数分别为9，9，所以第60百分位数是9992+=，故答案为：9．16.已知点P 在直线2y x =-上运动，点E 是圆221x y +=上的动点，点F 是圆22(6)(2)9x y -++=上的动点，则PF PE -的最大值为________．【答案】8【解析】【分析】根据圆的性质可得4PF PE PA PO -≤-+，若求PF PE -的最大值，转化为求PA PO -的最大值，再根据点关于线对称的性质，数形结合从而得解.【详解】如图所示，圆22(6)(2)9x y -++=的圆心为()6,2A -，半径为3，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知33,11PA PF PA PO PE PO -≤≤+-≤≤+，所以()()314PF PE PA PO PA PO -≤+--=-+，若求PF PE -的最大值，转化为求PA PO -的最大值，设()0,0O 关于直线2y x =-的对称点为B ，设B 坐标为(),m n ，则1222nm n m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22m n =⎧⎨=-⎩，故B ()2,2-，因为PO PB =，可得4PA PO PA PB AB -=-≤=，当P ，B ，A 三点共线，即P 点为()10,2P -时，等号成立，所以PF PE -的最大值为448+=.故答案为：8.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴在x 轴上，长轴的长为12，离心率为23；（2）经过点()6,0P -和()0,8Q .【答案】（1）2213620x y +=；（2）2216436y x +=.【解析】【分析】（1）由长轴长及离心率求椭圆参数a 、c ，进而求参数b ，即可写出椭圆方程.（2）由题设知P ，Q 分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，即可得a 、b ，结合顶点坐标特征写出椭圆方程.【小问1详解】由已知,212a =，23c e a ==，得：6a =，4c =，从而22220b a c =-=.所以椭圆的标准方程为2213620x y +=.【小问2详解】由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P ，Q 分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有6b =，8a =.又短轴、长轴分别在x 轴和y 轴上，所以椭圆的标准方程为2216436y x +=.18.已知()1,2A -，以点A 为圆心的圆被y轴截得的弦长为（1）求圆A 的方程；（2）若过点()1,2B -的直线l 与圆A 相切，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22124x y ++-=（2）1x =或3450x y ++=【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线l 的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为1x =的直线满足题意，斜率存在时，利用直线l 与圆相切，即()1,2A -到直线l 的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可.【小问1详解】不妨设圆的半径为R，根据垂径定理，可得：2221R =+解得：2R =则圆的方程为：()()22124x y ++-=【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，则有：1x =故此时直线l 与圆相切，满足题意当直线l 的斜率存在时，不妨设直线l 的斜率为k ，点()1,2B -的直线l 的距离为d 直线l 的方程为：()12y k x =--则有：2d ==解得：34k =-，此时直线l 的方程为：3450x y ++=综上可得，直线l 的方程为：1x =或3450x y ++=19.南山实验高二年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[)[)[]50,60,60,70,,90,100⋅⋅⋅进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中3b a =．（1）求出a b ，;（2）估计测试成绩的平均分；（3）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[]80,100内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[)80,90内的概率．【答案】（1）0.01a =，0.03b =（2）76.5；（3）12【解析】【分析】（1）根据频率之和即可求解，（2）根据平均数的计算公式即可求解，（3）由列举法列举所有基本事件，即可由古典概型概率公式求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(0.0150.035)101a b a ++++⨯=，即20.05b a +=，又3b a =，所以0.01a =，0.03b =．【小问2详解】测试成绩的平均分为：550.1650.15750.35850.3950.176.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】成绩在[80,90)和[90,100]内的人数之比为3:1，故抽取的4人中成绩在[80,90)内的有3人，设为a ，b ，c ，成绩在[90,100]内的有1人，设为D ，再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为(,)a b ，(,)a c ，(,)a D ，(,)b c ，(,)b D ，(,)c D ，共6种，这2人成绩均在[80,90)内的情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故这2人成绩都在[80,90)内的概率为3162P ==20.为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O 的北偏西45°方向km 处设立观测点A ，在平台O 的正东方向12km 处设立观测点B ，规定经过O 、A 、B 三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系．（1）试写出A ，B 的坐标，并求两个观测点A ，B 之间的距离；（2）某日经观测发现，在该平台O 正南10km C 处，有一艘轮船正以每小时km 的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？【答案】（1）(2,2),(12,0)A B -；||AB =（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时【解析】【分析】（1）先求出A ，B 的坐标，再由距离公式得出A ，B 之间的距离；（2）由,,A O B 三点的坐标列出方程组得出经过,,O A B 三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为l ，再由几何法得出直线l 与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.【小问1详解】由题意得(2,2),(12,0)A B -，∴AB ==；【小问2详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为该圆经过,,O A B 三点，∴022********F D y D =⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩，得到12160D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.所以该圆的方程为：2212160x y x y +--=，化成标准方程为：()()2268100x y -+-=.设轮船航线所在的直线为l ，则直线l 的方程为：10y x =-，圆心（6，8）到直线:100l x y --=的距离10d r ==<=，所以直线l 与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.直线l 与圆截得的弦长为L ==km，行驶时长0.5L t v ===小时.即在安全警示区内行驶时长为半小时.21.甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．【答案】（1）89（2）512【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.【小问1详解】设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件F ，()212212448C 333999P F ⎛⎫=⋅⨯+=+= ⎪⎝⎭.【小问2详解】设事A ＝“甲第一轮猜对”，B ＝“乙第一轮猜对”，C ＝“甲第二轮猜对”，D ＝“乙第二轮猜对”，E ＝““九章队”猜对三个数学名词”，所以()()()()23,34P A P C P B P D ====，()()()()11,34P A P C P B P D ====则E ABCD ABCD ABCD ABCD =⋃⋃⋃，由事件的独立性与互斥性，得()()()()()P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =+++()()()()()()()()()()()()P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D =++()()()()P A P B P C P D +13232123231323215343434343434343412=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为512．22.如图，等腰梯形ABCD 中，1//,22AD BC AB BC CD AD ====，现以AC 为折痕把ABC 折起，使点B 到达点P 的位置，且PA CD ⊥.（1）证明：面PAC ⊥面ACD ；（2）若M 为PD 上的一点，点P 到面ACM ，求PM PD的值及平面MAC 和平面DAC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）12，5【解析】【分析】（1）先证AC CD ⊥，利用线线垂直证线面垂直，由线面垂直的性质可判定面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离及二面角即可.【小问1详解】如图所示，在梯形ABCD 中，取AD 中点N ，连接CN ，易知四边形ABCN 为平行四边形，可得CN AN DN ==，即AC CD ⊥，又PA CD ⊥，,PA AC A PA AC 、=Ì平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面DAC ，所以面PAC ⊥面ACD ；【小问2详解】取AC 的中点O ，则//ON CD ON AC ⇒⊥，因为PA PC =，所以PO AC ⊥，结合（1）的结论，可以以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则)()()()(),,0,1,0,0,0,1,AC N P D，()()(),2,1,CA PD AP ==-= ，设(],0,1PMPD λλ=∈，即()(),2,,2,1PM PD AM AP PM λλλλλ==-=+=-，设面ACM的一个法向量为(),,m x y z =，则有(()0210CA m AM m x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令10,2y x z λλ=-⇒==，即()0,1,2m λλ=-，则点P 到面ACM 的距离为152m PM d m λ⋅===，即12PM PD =；易知平面ACD 的一个法向量可为()0,0,1n =，设平面MAC 和平面DAC 夹角为α，易知10,,12m ⎛⎫=-⎪⎝⎭ ,所以25 cos cos,5m nm nm nα⋅===⋅.。

四川省绵阳市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案

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绵阳2024年秋季高2023级半期考试数学试题（答案在最后）本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟.注意事项：1、答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；2、选择题的答案，必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔；第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.直线020233=+-y x 的倾斜角是（）A.︒30 B.︒60 C.︒120 D.︒1502.在ABC ∆中，,6),0,2(),0,2(=+-AC AB C B 则顶点A 的轨迹方程（）A.)3(15922±≠=+x y xB.)2(14922±≠=+x y x C.15922=+y x D.14922=+y x 3.已知B 为)1,2,1(-A 在坐标平面Oyz 内的射影，则=OB ()A.3B.5C.2D.64.直线1sin cos :-+θθy x l 与圆22:1O x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定5.与椭圆13622=+y x 共焦点且过)1,2(P 的双曲线方程为（）A ．2214x y -=B ．2212y x -=C ．2212x y -=D ．2213x y -=6.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，,311MC AC =若,,,1c AA b AD a AB ===则1MD =（）A.c b a --31B.c b a 323231--C.c b a 3131-+D.a c b 323131-+7.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中2024年11月点，则点E 到直线PD 的距离是（）A ．45B ．25 C.423D ．228.在平面直角坐标系Oxy 中，点)1,0(),0,1(),0,4(C B A ，若点P 满足2PA PB =，则22PC PO +的最大值为（）A ．7B ．9C ．11D ．13二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（）A.将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面B.若非零向量c b a ,,，满足,//,//c b b a 则有c a //C.与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量D.设OC OB OA ,,为空间的一组基底，且,2121OC OB OA OD ++=则D C B A ,,,四点共10.若方程11522=-+-m y m x 所表示的曲线为C ，则（）A ．曲线C 可能是圆B.当2=m 时，表示焦点在x 轴上的椭圆，焦距为2C ．若51<<m ，则C 为椭圆D ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则31<<m 11.过点()()0,R P t t ∈的直线与圆22:(2)3C x y -+=相切，切点分别为B A ,，则（）A ．当0t =时，3=AB B ．存在R t ∈，使得65π=∠APB C ．直线AB 经过点)0,21(D ．直线PC 与直线AB 的交点在定圆上三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卷中的横线上.12.双曲线112422=-y x 的左右焦点分别是21,F F ，M 是双曲线左支上一点，且,51=MF 则=2MF .13.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F 过2F 作x 轴垂线交椭圆于P ，若︒=∠3021PF F ，则该椭圆的离心率是.14.如图所示，在四面体ABCD 中，BCD ∆为等边三角形，2π=∠ADB ，则平面ABD 与平面ACD 夹角的最大值是.四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点)5,3(M ，AB 边所在直线的方程为,083=+-y x 点)6,0(N 在AD 边所在直线上．(Ⅰ)求AD 边所在直线的方程；(Ⅱ)求对角线AC 所在直线的方程．16.(15分)已知圆C 与y 轴相切，其圆心在x 轴的正半轴上，且圆C 被直线x y =截得的弦长为22.(Ⅰ)求圆C 的标准方程；(Ⅱ)若过点()0,3P 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程.第14题图17.（15分）如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，1EG =,平面ABCD ABFE 平面⊥M 、N 分别为DG 、EF 的中点.(Ⅰ)求证：//MN 平面CFG ；(Ⅱ)求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．18．（17分）在平面直角坐标系Oxy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为)0,3(F ，短轴长为2.过点F 且不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；(Ⅲ)求AOB ∆面积的最大值.19.(17分)定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记MN 的最大值为m ，MN 的最小值为n ，若2m n =，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“E F -”的“钻石点”.已知圆A ：()()221113x y +++=，P 为圆A 的“黄金点”(Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)已知圆B ：1)2()2(22=-+-y x ，P ，Q 均为圆“A B -”的“钻石点”.(ⅰ)求直线PQ 的方程；(ⅱ)若圆H 是以线段PQ 为直径的圆，直线31:+=kx y l 与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分IWJ ∠？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.绵阳2024年秋季高2023级半期考试数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011选项AABCCDCDABCADACD三、填空题12.913.32-14.3π四、解答题15.解：(Ⅰ)法一：因为AB 边所在直线的方程为083=+-y x ，所以31=AB k ．又因为矩形ABCD 中，AB AD ⊥，所以3-=AD k ,所以由点斜式可得AD 边所在直线的方程为：)0(36--=-x y ，即063=-+y x ；法二：因为AB AD ⊥，设AD 边所在直线的方程为：03=++m y x 又因为直线AD 过点)6,0(N ，所以将点)6,0(N 代入上式得:6-=m ．所以AD 边所在直线的方程为：063=-+y x ；(Ⅱ)由⎩⎨⎧=-+=+-063083y x y x ，得：)3,1(A ，得AC 所在直线的方程：131353--=--x y ，即02=+-y x ．16.解：（Ⅰ）由题可设圆C 的方程为)0()(222>=+-a a y a x ，则有2222(2(a a =+，解得)(2舍负=a ；所以圆C 的标准方程为：4)2(22=+-y x ；（Ⅱ）因为43)20(22>+-，所以过P 的切线有两条，当l 斜率存在时，设切线方程为：3+=kx y 即03=+-y kx ，所以有：21322=++k k ，解得：125-=k ；所以l 的方程为：0036125==-+x y x 或。

高二上学期半期考试数学试卷

高二上学期半期考试数学试卷

密 封 线班级：_______________ 姓名：_______________ 考号：________________C．既不是偶函数，也不是奇函数 D．奇偶性与k的取值有关11．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为 ( )A．－1 B．0 C．1 D．312）A．．C．．第II 卷（非选择题）评卷人 得分二、填空题（每小题5分，共计20分）13．以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是_________． 14．执行如图所示的程序框图, 若输入a 的值为2, 则输出的p 值是＿.15．若圆222(0)x y r r +=>上仅有3个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r =＿ 16.已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为＿ 评卷人 得分三、解答题（17题10分，其余各题每题12分，共计70分）17．(本题满分10分）根据下列条件,写出直线的方程.(1)斜率是,经过点A (8,-2);(2)经过点B (-2,0),且与x 轴垂直; (3)斜率为-4,在y 轴上的截距为7; (4)经过点A (-1,8),B (4,-2);(5)在y 轴上的截距是2,且与x 轴平行; (6)在x 轴,y 轴上的截距分别是4,-3.18.（本题满分12分）已知直线1l ：60x my ++=，2l ：(2)320m x y m -++=，求当m 为何值时，1l 与2l ：（1）平行；（2）相交；（3）垂直．19.（本题满分12分）已知点P （2，0），及○·C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4=0．当直线L 过点P 且与圆心C 的距离为1时，求直线L 的方程。

20.（本题满分12分）已知圆：x 2+y 2-4x-6y +12=0，（1）求过点(3,5)A 的圆的切线方程；（2）点(,)P x y 为圆上任意一点，求21．（本小题12分）已知圆C: 224690x y x y +--+=及直:2310()l mx my x y m R -+--=∈（1）证明：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒相交； （2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时的直线方程． 22．（本题满分12分）已知圆C ：2230x y Dx Ey ++++=关于直线10x y +-=对称，圆心在第二象限，（1）求圆C 的方程；（2）是否存在斜率为2的直线l ，l 截圆C 所得的弦为AB ，且以AB 为直径的圆过原点，若存在，则求出l 的方程，若不存在，请说明理由。

重庆市学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案

重庆市学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案

2024-2025学年度上期期中考试高二数学试题（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(，则z 的共轭复数z =（）A.1+B.1-C.1-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的几何意义得到1z =+，再利用共轭复数的定义，即可求解.【详解】因为复数z 对应的点的坐标是(，得到1z =+，所以1z =，故选：B.2.已知直线1:10l ax y ++=与()2:130l a x ay ++-=，则“2a =-”是“12l l ⊥”的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A 【解析】【分析】利用两直线垂直的充要条件得到220a a +=，从而得到2a =-或0a =，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.【详解】当直线1:10l ax y ++=与()2:130l a x ay ++-=垂直时，(1)0a a a ++=，即220a a +=，解得2a =-或0a =，所以2a =-可以推出12l l ⊥，但12l l ⊥推不出2a =-，即“2a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件，故选：A.3.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x =- B.1()2xf x =C.1()f x x=- D.|1|()3x f x -=【答案】C 【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可.【详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.4.国家射击运动员甲在某次训练中的5次射击成绩（单位：环）为9,6,,4,8m ，其中m 为整数，若这5次射击成绩的第40百分位数为6，则m =（）A.4B.6C.8D.9【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用百分位数的求法，即可求解.【详解】将5次射击成绩除m 外，从小排到大为4,6,8,9，因为50.42i np ==⨯=，所以第40百分位数是：从小排到大后的第二个数与第三个数的平均数，又这5次射击成绩的第40百分位数为6，所以6m =，故答案为：B.5.已知直线1y kx =+与圆224x y +=交于点M ，N ，当k 变化时，则MN 的最小值为（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据条件得直线过定点，且定点在圆内，先求得圆心到直线距离d ，即可表示出弦长，从而知d 最大时，弦长最短，再利用几何关系，即可求解.【详解】易知直线1y kx =+过定点(0,1)P ，又1014+=<，所以点(0,1)在224x y +=内，又易知圆心为(0,0)O ，半径为2r =，设圆心(0,0)O 到直线的距离为d ，则MN ==，当d 最大时，M 最小，此时直线1y kx =+与直线OP 垂直，即1d OP ==，所以M 的最小值为MN ==故选：D.6.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD ==该棱锥的高为（）.A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF ⊥平面ABCD ，可知⊥PO 平面ABCD ，利用等体积法求点到面的距离.【详解】如图，底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====，分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PE PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ，可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ，所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥，由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以⊥PO 平面ABCD ，由题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PF PO EF⋅==，当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==，因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.7.直线()()21250x y λλλ+--=∈R 的倾斜角范围为（）A.3,44ππ⎡⎤⎢⎣⎦ B.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. D.30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】先对λ进行讨论，当0λ=时得到直线倾斜角为2π，当0λ≠时，由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围.【详解】当0λ=时，直线为：5x =，故直线的倾斜角为：2π；当0λ≠时，直线为：21522y x λλλ+=-，设直线的倾斜角为θ，即211tan 222λλθλλ+==+，当0λ>时，1tan 122λθλ=+≥=，当且仅当“122λλ=”，即1λ=时取等号；即,42ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，当0λ<时，11tan 12222λλθλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=--+-≤=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当“122λλ-=-”，即1λ=-时取等号；即3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上所述：3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：A8.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数4x <；②平均数4x <且极差小于或等于3；③平均数4x <且标准差4s ≤；④众数等于5且极差小于或等于4．则4组样本中一定符合入冬指标的共有（）A.1组B.2组C.3组D.4组【答案】B 【解析】【分析】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.【详解】①举反例：0，0，0，4，11，其平均数34x =<．但不符合入冬指标；②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，则此组数据中的最小值为1037-=，此时数据的平均数必然大于7，与4x <矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10.符合入冬指标；③举反例：1，1，1，1，11，平均数34x =<，且标准差4s =.但不符合入冬指标；④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.故选：B ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次.记事件A 为两次数字之和为7，事件B 为第一次数字小于等于3，事件C 为两次数字之积为奇数，则（）A.()14P C =B.A 与B 相互独立C.A 与C 为对立事件D.B 与C 相互独立【答案】AB 【解析】【分析】先求出总的样本空间数，再用列举法求出事件,,A B C ，选项A ，利用古典概率公式，即可求解；选项B 和D ，利用相互独立的判断方法，即可求解；选项C ，利用互斥事件和对立事件的定义，即可求解.【详解】用(,)x y 中的,x y 分别表示第一次、第二次掷一枚质地均匀的骰子的点数，易知，总的样本空间数为6636⨯=，事件A 包含的基本事件为：(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)，共6个，事件B 包含的基本事件为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，共18个，事件C 包含的基本事件为：(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)，共9个对于选项A ，由古典概率公式得()91364P C ==，故选项A 正确，对于选项B ，由古典概率公式得61()366P A ==，181()362P B ==，31()3612P AB ==，因为()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立，故选项B 正确，对于选项C ，易知A 与C 互斥但不对立，所以选项C 错误，对于选项D ，由古典概率公式得61()366P BC ==，又111()()428P B P C =⨯=，所以()()()P BC P B P C ≠，即B 与C 不相互独立，故选项D 错误，故选：AB.10.已知点(),P x y 是圆:M ()()22424x y -+-=上任意一点，直线l ：2y x =-+分别与x 轴、y 轴相交于点,A B ，则（）A.直线l 与圆M 相离B.PBA △面积的最小值为4+C.y x 的最大值为43D.PBA ∠的最小值为15︒【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由圆心到直线距离与半径大小即可判断，对于B ，确定圆心到直线的距离，即可求解，对于C ，设yk x=，通过直线与圆恒有交点即可，对于D ，由BP 与圆相切即可求解.【详解】对于A ，由()()22424x y -+-=，得圆心()4,2,2r =，圆心到2y x =-+2=>，直线与圆相离，A 正确；对于B ，易知()()2,0,0,2A B，AB =，由A知，圆心到直线距离为，故圆上点到直线距离的最小值为2-，所以PBA △面积最小值为)242-=-B 错误；对于C ，令yk x=，得y kx =，因为(),x y 为圆上的点，所以y kx =与圆()()22424x y -+-=有交点，2≤，解得403k ≤≤，C 正确；对于D ，结合图象可知当BP 与圆这种相切时，PBA ∠最小，设BP 斜率为()0k k <，直线方程为：2y kx =+2421k k=+，解得33k =-，即BP 的倾斜角为150︒，所以60PBO ︒∠=，易知45ABO ︒∠=，所以15PBA ︒∠=，D 正确.故选：ACD11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，G 是棱11B C 上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为六边形B.点G 到平面AEF 的距离为定值C.若11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，则G 为棱11B C 的中点D.直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为1510,1510⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A ，利用线面平行的判定定理判断B ，利用空间向量推得1,,,A E D G 四点共面，结合面面平行的性质定理判断C ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D ，从而得解.【详解】对于A ，连接DF ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以//,EF BC EF BC =，//,AD BC AD BC =，所以//,EF AD EF AD =，则平面AEF 与平面AEFD 为同一平面，所以平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为平面AEFD ，为四边形，故A 错误；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以11//B C EF ，又EF ⊂平面AEF ，11B C ⊄平面AEF ，所以11//B C 平面AEF ，又点G 是棱11B C 上的一个动点，所以点G 到平面AEF 的距离为定值，故B 正确；对于C ，连接111,,,AD D G GE BC ，因为11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，所以1,,,A E D G 四点共面，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11//ADD A 平面11BCC B ，又平面11ADD A ⋂平面11AEGD AD =，平面11BCC B 平面1AEGD GE =，所以1//AD GE ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，则11//AD BC ，则1//GE BC ，因为E 为棱1BB 的中点，所以G 为棱11B C 的中点，故C 正确；对于D ，以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图，设()102C G x x =≤≤，则()()()()2,0,0,2,2,1,0,2,1,,2,2A E F G x ，所以()()()0,2,1,2,0,0,2,2,2AE EF AG x ==-=-，设平面AEF 的法向量为 =s s ，则2020AE n b c EF n a ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1b =，则0,2a c ==-，故()0,1,2n =-，设直线AG 与平面AEF 所成角为π02θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则sin cos ,AG n AG n AG nθ⋅=〈〉==，因为02x ≤≤，所以()2024x ≤-≤，则≤≤所以1510=≤≤=，所以直线AG与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为,1510⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆221:1C x y +=与圆()()()222:1160C x a y a -+-=>有3条公切线，则实数a 的取值是_____.【答案】【解析】【分析】根据条件得到圆1C 与圆2C 外切，再利用圆与圆的位置关系，即可求解.【详解】因为圆221:1C x y +=与圆()()()222:1160C x a y a -+-=>有3条公切线，所以圆1C 与圆2C 外切，又圆221:1C x y +=的圆心为1(0,0)C ，半径为11r =，()()()222:1160C x a y a -+-=>的圆心为2(,1)C a ，半径为24r =，145=+=，得到224a =，又0a >，所以a =，故答案为：13.已知点()(),0110,N i i A x i i ≤≤∈与点()(),10110,N i i B y i i ≤≤∈关于点()2,5对称.若1x ，2x ，⋯，10x 的平均数为5，方差为3.则1y ，2y ，⋯，10y 这组数的平均数为_____，方差为_____.【答案】①.1-②.3【解析】【分析】根据条件得到()1,N 410i i y i i x ≤=-≤∈，再结合平均数、方差计算公式，即可求解.【详解】因为点()(),0110,N i i A x i i ≤≤∈与点()(),10110,N i i B y i i ≤≤∈关于点()2,5对称，则()N 4110,i i x i y i ≤+=≤∈，得到()1,N 410i i y i i x ≤=-≤∈，因为1x ，2x ，⋯，10x 的平均数为5，方差为3，则1y ，2y ，⋯，10y 这组数的平均数为451-=-，方差为2(1)33-⨯=，故答案为：1-；3.14.已知圆221x y +=上任意一点(),P x y ，23239x y a x y -++--的取值与P 的位置无关，则a 的取值范围是_____.【答案】a ≥【解析】【分析】由题意可知直线1:2390l x y --=，直线2:230l x y a -+=位于圆的两侧，且与圆均不相交，从而可列出不等式得出a 的范围．【详解】设直线1:2390l x y --=，直线2:230l x y a -+=，则s 到直线1l 的距离为1d =，s 到直线2l 的距离为2d =因为23239x y a x y -++--的取值与P 的位置无关，所以12d d +为常数，所以圆221x y +=在平行线12,l l 之间，又直线1l 在圆下方，所以直线2l 在圆上方，1≥，得到a ≥a ≤，故答案为：13a ≥四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求,a b 的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的众数､平均数和60%分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.【答案】（1）0.005a =，0.025b =（2）众数为70，平均数为69.5，60%分位数为71.7（3）25【解析】【分析】（1）由第三､四､五组的频率之和为0.7，所有组频率之和为1，列方程求,a b 的值；（2）由频率分布直方图中众数､平均数和百分位数的定义公式计算；（3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题.【小问1详解】因为第三､四､五组的频率之和为0.7，所以()0.0450.020100.7a ++⨯=，解得0.005a =，所以前两组的频率之和为10.70.3-=，即()100.3a b +⨯=，所以0.025b =.【小问2详解】众数为70,平均数为500.05600.25700.45800.2900.0569.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以60%分位数在第三组，且为0.60.3651071.70.45-+⨯≈.【小问3详解】第四､第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，则第四组抽4人，记为a b c d ,,,，第五组抽1人，记为A ，则从这5人中选出2人，有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a A b c b d b A c d c A d A 共10种结果，两人来自不同组有()()()(),,,,,,,a A b A c A d A 共4种结果，所以两人来自不同组的概率为42105P ==.16.已知ABC V 的三个顶点分别是()5,1A ，()7,3B -，()9,5C -.（1）求AB 边上的高所在的直线方程；（2）求AB 边上的中线所在的直线方程；（3）求ABC ∠角平分线所在的直线方程.【答案】（1）2190x y -+=（2）2570x y +-=（3）40x y +-=【解析】【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得；（2）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得；（3）先求出直线,BA BC 的单位向量，结合角平分线求出ABC ∠角平分线所在的直线的方向向量，结合方向向量和直线斜率的关系即可求出斜率，再根据点斜式即可求解.【小问1详解】直线AB 的斜率1(3)257AB k --==--，则AB 边上的高所在的直线斜率为12，直线又过()9,5C -，所以A 边上的高所在的直线方程为[]15(9)2y x -=⨯--，即2190x y -+=.【小问2详解】依题意，AB 边的中点(6,1)-，因此AB 边上的中线所在直线的斜率()512965k --==---，直线又过(6,1)-，所以AB 边上的中线所在直线的方程为()21(6)5y x --=-⨯-，即2570x y +-=.【小问3详解】由题意知：()()2,4,16,8BA BC =-=-,故与BA 同方向的单位向量为：()2,455a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，与BC同方向的单位向量为：()25516,855b ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故ABC ∠角平分线所在的直线的方向向量为：(),1,1555a b ⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设ABC ∠角平分线所在的直线的斜率为k ，又 直线的方向向量可以表示为()1,k ，1k ∴=-，直线又过()7,3B -，故ABC ∠角平分线所在的直线方程为：()()37y x --=--，即40x y +-=.17.在ABC V 中，a ，b ，c 为A ∠，B ∠，C ∠sin cos 2C c B c +=.（1）求B ∠；（2）若BD 为ABC V 的角平分线，交AC 于点D ，7BD =，AC =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π3B =（2）【解析】【分析】（1cos 2B B +=，再利用辅助角公式和特殊角的三角函数值，即可求角；（2）根据条件，利用等面积法，得到12()7ac a c =+，再利用余弦定理得213()3a c ac =+-，联立求出ac ，即可求解.【小问1详解】sin cos 2C c B c +=sin sin cos 2sin B C C B C +=，又sin 0C ≠cos 2B B +=，即π2sin()26B +=，得到πsin(16B +=，又ππ7π666B <+<，所以ππ62B +=，解得π3B =.【小问2详解】因为ABC ABD CBD S S S =+ ，π3B =，所以1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =+，又1237BD =，得到12()7ac a c =+，在ABC V 中，由余弦定理得到22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-，又AC =236()()137a c a c +-+=，解得7a c +=(舍负)，所以12ac =，故ABC V 的面积为11sin 12222S ac B ==⨯=.18.如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，90ACB ∠= ，侧面11ACC A 是菱形，160A AC ∠= ，4AC =，平面ABC ⊥平面11ACC A .（1）证明：11A C AB ⊥；（2）求点1C 到平面11ABB A 的距离；（3）线段11A B 是否存在一点D ，使得平面1AC D ⊥平面11ABB A ，如果存在找出D 点的位置，不存在请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）217（3）存在，答案见解析【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定可得1A C ⊥平面11AB C ，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证.（2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点1C 到平面11ABB A 的距离.（3）由面面垂直的性质得到点1C 到平面11ABB A 的距离为4217即是1C D 的长度，再由勾股定理确定D 点的位置即可.【小问1详解】连接1AC ，由四边形11A ACC 为菱形，得11AC A C ⊥，由90ACB ︒∠=，得BC AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，⊂BC 面ABC ，则⊥BC 平面11ACC A ，又1A C ⊂平面11ACC A ，于是1BC A C ⊥，而11//BC B C ，则111B C A C ⊥，又111AC BC C ⋂=，111,AC B C ⊂平面11AB C ，因此1A C ⊥平面11AB C ，又1AB ⊂平面11AB C ，所以11A C AB ⊥【小问2详解】点1C 到平面11ABB A 的距离，即三棱锥111C AA B -的底面11AA B 上的高，由（1）知11B C ⊥平面11ACC A ，则三棱锥111B AA C -的底面11AA C 上的高为11B C ，设点1C 到平面11ABB A 的距离为d ，由111111B AA C C AA B V V --=，得1111111133AA C AA B S B C S d ⋅⋅= ，而14BC AA AC ===，160A AC ︒∠=，则11AA C 的面积113AA C S = ，由1114AA A C ==，11120AAC ︒∠=，得143AC =，又114B C =，111B C AC ⊥，则18AB =，又14AA =，1142A B =，由余弦定理得(222114823cos 2484A AB +-∠==⨯⨯，则117sin 4A AB ∠=，11AA B的面积1117484724AA B S =创� 则347d =，即4217d =，所以点1C 到平面11ABB A 的距离为4217.【小问3详解】设存在，如图，由平面1AC D ⊥平面11ABB A 可得1C D ⊥平面11ABB A ，由（2）可得点1C 到平面11ABB A 的距离为217即是1C D 的长度，在11Rt A DC 中，11121,47A C C D ==，所以221111121071677A D AC C D =-=-=.19.已知二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件为0A C =≠，0B =且224D E AF +>.关于二次曲线，有以下结论：若11:0l f =，22:0l f =，33:0l f =，为平面内三条直线，且12l l A ⋂=，23l l B ⋂=，31l l C ⋂=，则过A ，B ，C 三点的二次曲线系方程为1223310f f f f f f λμ++=（λ，μ为参数）.若11:0l f =，22:0l f =，33:0l f =，44:0l f =为平面内四条直线，且12l l A ⋂=，23l l B ⋂=，34l l C = ，41l l D = ，则过,,,A B C D 四点的二次曲线系方程为13240f f f f λ+=（λ为参数）.（1）若三角形三边所在直线方程分别为：320x y -+=，220x y ++=，340x y +-=.求该三角形的外接圆方程.（2）记（1）中所求的外接圆为ω，直线()110y k x k =>与ω交于A ，B 两点（A 在第一象限），直线()220y k x k =<与ω交于C ，D 两点（C 在第二象限），直线BC 交x 轴于点M ，直线AD 交x 轴于点N ，直线BC 与直线AD 交于点P .（i ）求证：=OM ON ；（ii ）求OP 的最小值.【答案】（1）22240x y y ++-=（2）（i ）证明见解析；（ii ）4【解析】【分析】（1）由题意，根据三条直线方程设出二次曲线系方程，通过方程表示圆的充要条件待定系数可得；（2）由四条直线方程设出二次曲线系方程，再由已知圆的一般方程，对比两方程寻找系数的等量关系，由关系120t t +=可证得OM ON =，由关系式212tm m =-（t 即1t ）可得交点P 在定直线上4y =上，进而求解最值.【小问1详解】则由题意，可设所求三角形的外接圆方程为：(32)(22)(22)(34)x y x y x y x y λ-+++++++-(34)(32)0x y x y μ++--+=（λ，μ为参数），即()()()()22133178623422x xy y xλμλμλμλμ+++-+-+-+-+++()26144880y λμλμ+--++--=，（*）若方程表示圆，则133********λμλμλμ++=-+-≠⎧⎨-+-=⎩，解得11λμ=-⎧⎨=-⎩.将11λμ=-⎧⎨=-⎩代入（*）式化简得22240x y y ++-=，验证：由22024(4)200+-⨯-=>，可知该方程表示圆.故该三角形的外接圆方程为22240x y y ++-=.【小问2详解】如图，在平面直角坐标系中，设直线BC 与x 轴的交点1(,0)M t ，直线AD 与x 轴的交点2(,0)N t ，由题意知直线,BC AD 均不与y 轴垂直，则直线BC 方程可设为11x m y t =+，直线AD 方程可设为22x m y t =+，由题意可知12m m ≠，且120,0t t ≠≠.不妨记直线,,,BA AD DC CB 分别为1234,,,l l l l ，且12233441,,,l l A l l D l l C l l B ==== ，其中11:0l k x y -=，222:0l x m y t --=，32:0l k x y -=，411:0l x m y t --=.故由题意，过,,,A D C B 四点的二次曲线系方程可设为()()()()1222110k x y k x y x m y t x m y t λ--+----=（λ为参数），即()()()22121212121k k x k k m m xy m m yλλλ⎡⎤+-+++++⎣⎦()12122112()0t t x m t m t y t t λλλ-++++=①，若0λ=时，方程()()120k x y k x y --=表示两条直线13,l l ，不表示圆，故0λ≠.由,,,A D C B 四点不共线，且都在圆22240x y y ++-=②上，所以方程①②表示同一圆，则有()120t t λ-+=③，且122112211212()2142m t m t m t m t t t t t λλ++===--④.（i ）由③式及0λ≠，可得120t t +=，即OM ON =；故（i ）得证；（ii ）由③式可得12t t =-，令1t t =，则2t t =-，代入④式可得212tm m =-，联立,BC AD 直线方程12x m y tx m y t=+⎧⎨=-⎩，解得2124t y m m ==-，即交点P 在定直线4y =上，故4OP ≥.如图2，由对称性可知，当12k k =-时，交点P 在y 轴上，即(0,4)P ，此时min 4OP .故OP 的最小值为4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键有两点，一是理解二次曲线系方程的设法，能够根据题目提供的条件由直线方程设出二次曲线方程；二是二次曲线系方程的应用，本题主要是三角形外接圆与四边形外接圆的应用，第（1）问通过方程表示圆的充要条件待定系数，第（2）问通过同一圆的两种不同方程表达形式寻求等量关系从而解决问题.。

安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

请在答题卡上作答。

第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的.1.在空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ）A.点A 和点B 关于x 轴对称 B.点A 和点B 关于平面对称C.点A 和点B 关于y 轴对称D.点A 和点B 关于平面对称2.已知空间向量，，，若，，共面，则实数m 的值为（ ）A.1B.0C.-1D.-23.已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y 轴交于点（0，2），则经y 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ）4.若点（-2，1）在圆的外部，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）A.B. C. D.6.已知椭圆C：（且），直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若（1，1）是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ）A.2B.4C.7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上，且满足，当且时，点P 的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，Oxyz ()2,1,4A --()2,1,4B ---Oyz Oxz ()2,1,3a =- ()1,2,2b =- ()1,,2c m =- a b cπ320y +-=20y ++=20y --=20y -+=220x y x y a ++-+=()2,-+∞(),2-∞-12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭()2a = 12b ⎛= ⎝a b )()(14⎛ ⎝2216x y m+=0m >6m ≠340x y +-=AB PA PB λ=0λ>1λ≠ABC △，且，当面积取得最大值时，（ ）C.D.8.已知点P 在椭圆C ：上（点P 不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C 的左、右焦点，交y 轴于点G ，且，则线段的长为（ ）A.B.C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ）A.若，则或B.若，则C.若直线不经过第四象限，则D.若直线与x 轴负半轴和y 轴正半轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点，则面积的最小值是2010.已知椭圆C ：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A ，B ，M 是椭圆C 上的一个动点（不与A ，B 重合），则（ ）A.离心率 B.的周长与点M 的位置无关C. D.直线与直线的斜率之积为定值11.如图，正方体的棱长为2，P 为上底面内部一点（包括边界），M ，N 分别是棱和的中点，则下列说法正确的是（ ）2AB =2CA CB =ABC △cos C =354522143x y +=1F 2F 2PF 112PF G GF F ∠=∠1PF 3253851l ()1230m x y m +++-=2l 220x my m ++-=12l l ∥1m =2m =-12l l ⊥23m =-1l 1m <-1l AOB △2214x y +=1F 2F 1e 2=12MF F △122MF -<<+MA MB 1111ABCD A B C D -1111A B C D AB BCA.当直线和直线所成的角是30°时，点PB.若平面，则C.若，则直线和底面所成的最大角是45°D.平面被正方体所截的截面形状是六边形第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知圆C 过，两点，且圆心C 在直线上，则该圆的半径为_________.13.已知实数x ，y 满足，则的取值范围为_________.14.已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程.（1）与直线：垂直；（2）两坐标轴上截距相反.16.（15分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，M ，N 分别为，的中点，，.（1）求证：异面直线和垂直；（2）求点A 到平面的距离17.（15分）1AA AP AP ∥1B MN 1B P ()111111A P mA D m A B =+-AP ABCD 1D MN ()1,3A ()4,2B 30x y +-=1y =+14y x ++C ()222210x y a b a b+=>>1F 2F C 122F F c =P 12111PF PF c+=C l ()2,1A -l m 50x y +-=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PB BC 2AF AE PGFD EB GC===3AB PA ==EF MN MFG已知过点的直线与圆O ：相交于A ，B 两点.（1）若弦的方程；（2）在x 轴正半轴上是否存在定点Q ，无论直线如何运动，x 轴都平分?若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（17分）如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，.（1）求证：平面平面；（2）若点M 是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值.19.（17分）已知椭圆E ：的左、右焦点分别为，，离心率4.（1）求E 的标准方程；（2）过点的直线交E 于P ，Q 两点，若以为直径的圆过E 的右焦点，求直线的方程；（3）两条不同的直线，的交点为E 的左焦点，直线，分别交E 于点A ，B 和点C ，D ，点G ，H 分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O 为坐标原点）()1,0P l 224x y +=AB l l AQB ∠ABCD 2AB =BC =AC DAC △AC PAC △PB =PAC ⊥ABC PA MBC PAB ()222210x y a b a b+=>>1F 2F e =()2,0T PQ 2F PQ 1l 2l 1F 1l 2l AB CD 1l 2l 1k 2k 1240k k +=OGH △2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.题号12345678答案BDACABDC1.B 已知点A 和点B 的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点A 和点B 关于平面对称.故选B.2.D 由题意得，，即，所以，解得.故选D.3.A 由题意得，所求直线的斜率为y 轴交于点（0，2），则所求直线的方程为.故选A.4.C 由点（-2，1）在圆的外部，得，解得，故选C.5.A 向量在向量上的投影向量为.故选A.6.B 设，，则，将A ，B 的坐标代入椭圆方程得：，，两式相减，得：，变形为，又直线的斜率为，所以，即，因此椭圆的焦距为，故选B.Oyz c xa yb =+ ()()()1,,22,1,31,2,2m x y -=-+-122232x ym x y x y =-⎧⎪=+⎨⎪-=-+⎩012x y m =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩πtan 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭2y =+20y +-=220x y x y a ++-+=()()2222114021210a a ⎧+-->⎪⎨-+--+>⎪⎩122a -<<ab )212a bb a b b bb b⎛⋅⋅⋅=⋅== ⎝()11,A x y ()22,B x y 12122x x y y +=+=221116x y m +=222216x y m +=2222121206x x y y m--+=()()121212126m x x y y x x y y +-=--+AB 121213y y x x -=--12362m ⨯-=-⨯2m =4=7.D 由题意设，，，由化简得.∵，∴当时，面积最大，此时不妨设，则，.∴.故选D.8.C 根据对称，不妨设，.由题意得，，，则离心率，左准线方程为，所以，因为，所以由角平分线定理得，即，解得，所以.故选C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

高二上期半期考试文科数学试题及答案

高二上期半期考试文科数学试题及答案

高二上期半期考试数学(文科)试题一、选择题(每小题5分，共50分)1．命题“,cos 0x R x ∃∈≤”的否定是（ ）A ．,cos 0x R x ∃∈≤B ．,cos 0x R x ∀∈≤C ．,cos 0x R x ∃∈>D ．,cos 0x R x ∀∈<2．直线5x y +=和圆22:40O x y y +-=的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交不过圆心D ．相交过圆心 3．已知双曲线22143x y -=，则此双曲线的右焦点坐标为( )A ．(1，0)B ．(5，0)C ．(7，0)D ．，0)4．已知椭圆的方程为22236x y +=，则此椭圆的离心率为( )A ．13B ．3C ．2D ．125．从点P(3，3)向在圆C ：22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长为( )A ．5B ．6C ．4D ．76．已知双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线:210l x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是( )A ．2B C D 7．若函数()f x 在R 上可导，且()22'(2)f x x f x m =++，则( )A ．(0)(5)f f <B ．(0)(5)f f =C ．(0)(5)f f >D ．不能确定大小8．已知椭圆2221(02)4x y b b +=<<与y 轴交于A 、B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 面积的最大值为( )A ．1B ．2C ．4D ．89．过点C(4，0)的直线与双曲线221412x y -=的右支交于A 、B 两点．则直线AB 的斜率k 的取值范围是( )A ．||1k ≥B ．||k >C ．||k ≤D ．||1k <10．在直角坐标系中，F 1，F 2分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左右焦点，B 、C 分别为椭圆的上下顶点，直线BF 2与椭圆的另一个交点为D ，若127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为( ) A ．35 B ．45 C ．925 D ．1225二、填空题(每小题5分，共25分) 11．抛物线28y x =的焦点到准线的距离是_____________；12．设曲线311()233f x x x =--在点(1，﹣2)处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =______； 13．己知双曲线方程为2212y x -=，过定点P(2，1)作直线l 交双曲线于P 1、P 2两点，并使得点P 为线段P 1P 2的中点，则此直线l 的方程为___________14．从圆221x y +=上任意一点P 向y 轴作垂线段PP’，交Y 轴于P’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程是___________________________15．如果实数x ，y 满足等式22(2)1x y -+=，那么31y x +-的取值范围是_____________ 三、解答题(共75分)16．已知集合A 是不等式28200x x --<的解集，集合B 是不等式：(1)(1)0(0)x a x a a ---+≥>的解集。

四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学) 2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学) 2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

四川省成都市第十二中学（四川大学附属中学）2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．直线30x +=的倾斜角是（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（）A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与至少有一个白球C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是白球3．“1m =-”是“直线1:210l mx y ++=与直线211:022l x my ++=平行”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要4．设x ，y ∈R ，向量(),1,1a x =r ，()1,,1b y =r ，()2,4,2c =- ，且a b ⊥ ，b c ∥，则a b + 等于（）A ．B ．3C D ．45．甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）A ．乙跑步里程的极差等于31B ．甲跑步里程的中位数是245C ．分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为1s ，2s ，则12s s >D ．分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为1m ，2m ，则12m m >6．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为()A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝07．若圆C ：()()22212x y -+-=关于直线260ax by ++=对称，则由点(),M a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（）A ．B C ．4D ．8．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，90BAD∠=，1160BAA DAA ∠=∠= ，12AB AD AA ===，则异面直线1B D 与11A C 所成角的余弦值为（）A B C ．34D ．3二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B ．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23C ．已知数据1x ，2x ，L ，10x 的极差为6，方差为2，则数据121x +，221x +，L ，1021x +的极差和方差分别为12，8D ．数据1x ，2x ，L ，10x 的平均数为90，方差为3；数据1y ，2y ，L ，15y 的平均数为85，方差为5，则1x ，2x ，L ，10x ，1y ，2y ，L ，15y 的平均数为87，方差为10.210．已知直线l ：50x y -+=与圆C ：22270x y x +--=，下列说法正确的是（）A ．点()3,1A 在圆C 外B ．直线l 与圆C 相离C ．点P 为圆C 上的动点，点Q 为直线l 上的动点，则PQ 的取值范围是)+∞D ．将直线l 下移4个单位后得到直线l ＇，则圆C 上有且仅有3个点到直线l ＇的距离为11．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），下列结论正确的是（）A ．E CB F ，，，四点共面B ．在线段CD 上存在点M ，使AF AM⊥C ．若四边形ABCD 的边界及其内部有一点P ，且FP =则点PD ．点N 是线段CF 上的动点，则N 到直线AG 三、填空题12．已知随机事件A ，B ，C ，A 与B 相互独立，B 与C 对立，且()0.6P A =，()0.3P C =，则()P AB =.13．已知点()4,2A ，()0,3B 和直线l ：310mx y m --+=（R m ∈），直线l 与线段AB 有公共点，则m 的取值范围是.14．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比()0,1MQ MPλλλ=>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB +的最小值为.四、解答题15．某校高二年级举行了“学宪法、讲宪法”知识竞赛，为了了解本次竞赛的学生答题情况，从中抽取了200名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中x 的值，并估计该200名学生成绩的中位数和平均数；(2)若在[)60,70和[)70,80的样本成绩对应的学生中按分层抽样的方法抽取7人进行访谈，再从这七人中随机抽取两人进行学习跟踪，求抽取的两人都来自[)70,80组的概率.16．如图，四边形11A ABB 是圆柱的轴截面，C 是下底面圆周上一点，点D 是线段BC 中点(1)证明：直线1AC ∥平面1AB D ；(2)若2CA =，4CB =，12BB =，求点1A 到平面1AB D 的距离．17．已知圆C 过点()1,0A -和点()3,2B -，且圆心C 在直线260x y -+=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()2,2E -的直线l 与圆C 交于M 、N 两点，且MN =l 的方程.18．在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD CD ⊥，2PD AD ==，4DC =，1AB =，PD CD ⊥.(1)求证：平面PAC ⊥平面PBD ；(2)求PB 与平面PAC 所成角的正弦值；(3)在线段PC 上是否存在点E ，使得平面BDE 与平面PCD 的夹角的余弦值为13，若存在，确定点E 的位置，若不存在，说明理由.19．在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名；第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名；第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为12，高二、高三对高一和行政组的胜率均为23，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对阵高三，高一对阵行政组.(1)求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率；(2)若已知高二输了第一轮的比赛，求高二获得冠军的概率；(3)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由.。

重庆八中高2024级高二上半期数学试题-含答案

重庆八中高2024级高二上半期数学试题-含答案

重庆八中2022—2023学年度（上）半期考试高二年级数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．倾斜角为120°的直线经过点(和()3,a ，则a =A ．0B ．CD 2．经过点()5,0A ，且与直线210x y +-=垂直的直线方程为A ．250x y +-=B ．250x y --=C ．210x y --=D ．2100x y +-=3．若圆221:1C x y +=与圆222:860C x y x y m +--+=内切，则m =A ．25B ．9C ．9-D ．11-4.油纸伞是中国传统工艺品，使用历史已有1000多年。

以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面。

油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶。

在某市开展的油纸伞文化艺术节中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子，此时阳光照射方向与地面的夹角为75 ，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则该椭圆的长轴长为AB C ．D 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则直线CE 与1AD 所成的角的余弦值为A B C D 6．已知圆22100x y y +-=，过点(2,2)P 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A ．B ．C ．D ．7．设12,F F 分别是椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左､右焦点，若椭圆上存在点P ，使得22()0,OP OF F P +⋅=，其中O 为坐标原点，且12||||PF PF a =+，则该椭圆的离心率为A B C ．12D8.已知双曲线2222:1x y C a b-=，过右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为点A ，l 与C 的另一条渐近线交于点B ，若3AB AF =，则C 的离心率为A ．2B ．2C ．3D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线:230l ax y a +++=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值可能是A ．12B ．12-C ．3D ．3-10.已知P 是椭圆2212516x y +=上一点，椭圆的左､右焦点分别为12,F F ，122co 1s F PF ∠=，则下列结论正确的是A ．12F PF △的周长为16B ．123F PF S =VC ．点P 到xD ．2183PF PF ⋅=uuu r uuu r 11.已知正三棱柱111ABC A B C -，各棱长均为4，且点E 为棱1CC 上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是AB ．三棱锥1B ABE -C ．直线1AB 与直线BE 恒不垂直D ．直线BE 与平面11ABB A 所成角的正弦值范围是⎣⎦12.1675年法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了一种特殊的曲线——卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹.已知在平面直角坐标系xOy 中，()3,0M -，()3,0N ，动点P 满足12PM PN ⋅=，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是A ．曲线C 关于y 轴对称B ．曲线C 与x 轴交点为()-,()C ．PMN △面积的最大值为6D ．OP 的取值范围是三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．13.双曲线22124y x -=的渐近线方程为______________．14.已知双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)离心率为5，A 、B 分别为左、右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限内的任意一点，点O 为坐标原点，若PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k ⋅=_______________．15.在直三棱柱111ABC A B C -中，12,4AB AC BC AA ====，则该直三棱柱的外接球的表面积为_______________.16．已知直线1l ：()1kx y k R +=∈与直线2l ：340x ky k -+-=相交于点M ，点N 是圆()()22:3109C x y +++=上的动点，则MN 的最大值为______________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．把答案填写在答题卡相应位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率e =（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知直线l 倾斜角为135 ，经过()2,1-且与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.18.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，14AA =，,E F 分别为1,AB A C 的中点.（1）证明：11//EF AA D D 平面；（2）求点1C 到平面1ACE 的距离.19.（本小题满分12分）已知圆22:4C x y +=.（1）若圆C 与直线:320l x my m -+-=相切，求m 的值；（2）已知点()1,0M ，过点P 作圆C 的切线，切点为Q ，再过P 作圆22:(1)(1)12C x y '-+-=的切线，切点为R ，若||||PQ PR =，求||MP 的最小值.20.（本小题满分12分）已知12(3,0),(3,0)F F -，点P 满足124PF PF -=，记点P 的轨迹为曲线C .斜率为k 的直线l 过点2F ，且与曲线C 相交于,A B 两点.（1）求曲线C 的方程；（2）求斜率k 的取值范围；（3）在x 轴上是否存在定点M ，使得无论直线l 绕点2F 怎样转动，总有0AM BM k k +=成立？如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，2AC CD ==，AD =PD =，3PC =.（1）求证：AD PC⊥（2）求平面PAB 与平面PCD 的夹角的正弦值.22.（本小题满分12分）定义：若点00(,)x y ，00(,)x y ''在椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>上，并满足0000220x x y y a b''+=，则称这两点是关于M 的一对共轭点，或称点00(,)x y 关于M 的一个共轭点为00(,)x y ''.已知点(2,1)A 在椭圆22:163x y M +=上，O 是坐标原点.（1）求点A 关于M 的所有共轭点的坐标；（2）设点P ，Q 在M 上，且PQ OA∥，求点A 关于M 的所有共轭点和点P ，Q 所围成封闭图形面积的最大值.。

高二上期半期考试理科数学试题及答案

高二上期半期考试理科数学试题及答案

高二上期半期考试数学(理科)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第I 卷(选择题共50分)一．选择题(每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求)1．复数21z i =+的虚部为( ) A ．1 B ．﹣1 C ．i D ．﹣i2．命题“1(0,),2x x x ∀∈+∞+>”的否定为( ) A ．1(0,),2x x x ∀∈+∞+≤ B ．1(0,),2x x x∀∈+∞+< C ．1(0,),2x x x ∃∈+∞+≤ D ．1(0,),2x x x∃∈+∞+< 3．抛物线2102y x +=的准线方程为( ) A ．12y = B ．12x = C ．2y = D ．2x =4．“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”是“k =( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知向量(1,0,1)a =-，则下列向量中与a 所成夹角为120°的是( )A ．(1,0,1)B ．(1,1,0)-C ．(0,1,1)--D ．(1,1,0)-6．己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点。

若△AF 1B 的周长为l2，则椭圆C 的方程为( )A ．22195x y += B ．22195y x += C ．22194x y += D ．22194y x += 7．己知斜率为1的直线l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于A 、B 两点，且AB 的 中点为M(1，3)，则双曲线的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．y =C ．13y x =±D ．3y x =±8．三棱锥O ﹣ABC 的顶点在空间直角坐标系O ﹣xyz 中的坐标分别是D(0，0，0)，A(1，0，1)， B(1，1，0)，C(0，1，1)，则点C 到平面OAB 的距离为( )A ．233B ．32C ．63D ．29．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=， 则椭圆和双曲线的离心率的乘积的最小值为( )A ．3B ．3C ．3D ．2310．已知棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的内切球为球O ，P 为球O 的球面上动点， DP ⊥BC 1，则点P 的轨迹的周长为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．2π第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二．填空题： (本大题5个小题，每小题5分，共25分)各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置(只填结果，不写过程)11．234i i i i +++=_____________12．过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，若AB 中点M 的横坐标为32，则||AB =__________ 13．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=6，异面直线BC 1与AA 1所成角的大小为6π，则该三棱柱的体积为________ 14．设P 、Q 分别为圆22(1)1x y +-=和221147x y +=上的动点，则||PQ 的最大值是________ 15．己知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ．若||OA b =，则该双曲线的离心率为_________三．解答题：(本大题6个小题，共75分)各题解答必须答在答题卡Ⅱ上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)16．(本小题满分l3分)已知m R ∈，复数2123m z m m i m -=+-++ (1)若z 为纯虚数，求实数m 的值；已知实数m>0，命题p：方程2213x ym+=表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：直线y x m=+与圆222x y+=有两个交点．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．18．(本小题满分13分)如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1．(1)求证：直线BC1∥平面ACD1；(2)求直线AB与平面ACD1所成角的正弦值．19．(本小题满分12分)已知动圆过定点F(1，0)，且与直线l：x=﹣1相切．(1)求动圆圆心C的轨迹的方程；(2)过点P(2，0)作直线交C的轨迹于A、B两点，交l于点M．若点M的纵坐标为﹣3，求||AB的长．20．(本小题满分12分)如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22。

高二上学期半期考试数学试题卷(文科)

高二上学期半期考试数学试题卷(文科)

高二上学期半期考试数学试题卷（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1．直线2y x =-的倾斜角是（ ） A.6π B.4π C.2π D.34π 2．抛物线216y x =的准线方程是（ ）A ．4x =-B ．4y =- C.8x = D ．8y =-3．双曲线22143x y -=的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ． 12y x =±D.y x = 4．已知命题p ：x R ∀∈，cos 1x ≤，则p ⌝：（ ）A ．x R ∃∈，cos 1x ≥B ．x R ∀∈，cos 1x ≥C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x R ∀∈,cos 1x >5．过点）（1,3且与直线032=--y x 平行的直线方程是（ ）A ．072=-+y xB ．052=-+y xC ．012=--y xD ．052=--y x 6．设x R ∈,“1x >”则是“23410x x -+>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7.设,,m n l 为空间不重合的直线，αβγ，，是空间不重合的平面，则下列说法正确的个数是（ ）①//,//m l n l ，则//m n ②//,//αγβγ，则//αβ ③//,//m l m α，则//l α ④//,,l m l m αβ⊂⊂，则//αβ ⑤,//,,//m m l l αββα⊂⊂，则//αβA ．0B ．1C ．2D ．3 8．过点(3,1)P 向圆()2211x y -+=作两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则弦AB所在直线的方程为（ ）A ．230x y +-= B.210x y -+= C ．230x y ++= D.230x y --= 9．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4的等边三角形，俯视图是一个圆，那么其表面积为（ ）A. 8πB. 20πC. 10πD.12π10.(改编)如图，球面上有A 、B 、C 三点，∠ABC=90°，BA=BC=3，球心O 到平面ABC 则球体的体积是（ ）A ．72π B. 36π C.18π D.8π11．设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的离心率是（ ）A. 3212. （改编）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，直线l 过焦点F 且斜率为2，与抛物线交于A 、B （其中A 在第一象限）两点，(,0)2pM -,则tan AMF ∠=( )A ．2C.3D.3第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题.(共4小题,每小题5分,共20分)13．原点到直线34100x y ++=的距离为 .14．圆222280x y x y ++--=截直线02=++y x 所得弦长为 .15．经过点(4,1)M 作直线l 交双曲线1222=-y x 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为y = .16．（改编）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>与直线1x y +=交于,M N 两点，且OM 0ON ⋅=（O 为坐标原点），当椭圆的离心率2e ∈时，椭圆的长轴的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卷相应的位置上．17．（本题满分10分）已知命题p ：方程220x x m -+=有实根，命题q ：m [-1,5]∈ （1）当命题p 为真命题时，求实数m 的取值范围；（2）若q p ∧为假命题，q p ∨为真命题，求实数m 的取值范围． 18．（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，，，求三棱锥1C ABC -的体积.19．（本题满分12分）已知，圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax . (1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程.20．（本题满分12分）已知椭圆4422=+y x ，直线l ：y x m =+(1)若l 与椭圆有一个公共点，求m 的值；(2)若l 与椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ|等于椭圆的长半轴长，求m 的值．21. （本题满分12分）已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，点(4,2)A 为抛物线内一定点，点P 为抛物线上一动点，PA PF +最小值为8． （1）求该抛物线的方程；（2）若直线30x y --=与抛物线交于B 、C 两点，求BFC ∆的面积．22．(改编)（本题满分12分）若椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为1F ，2F ，椭圆上有一动点P ，P 到椭圆C 右焦点2F 1，且椭圆的离心率2e =（I ）求椭圆的方程；（II ）若过点M （2，0）的直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B ，OA OB tOP +=（o 为坐标原点）且25||PA PB -<t 的取值范围．命题人：邹超强 审题人：杨春权高二上期半期考试数 学（文科） 参考答案一．选择题1-5BAACC 6-10ACADB 11-12 DB 二．填空题13. 2 14.318-x16.三．解答题 17解：（1）p 为真命题=4-4m 0∆≥m 1∴≤（2） p ∧q 为假命题， p ∨q 为真命题，q p ，∴一真一假当p 真q 假时， m 11m>5m ≤⎧⎨<-⎩或m 1∴<-当p 假q 真时，m>115m ⎧⎨-≤≤⎩1m 5∴<≤综上所述，实数m 的取值范围是：--∞⋃（，1）（1,5]18. 解：（1）证明：连接，与交于点O ， 连接DO.由直三棱柱性质可知，侧棱垂直于底面， 侧面为矩形，所以O 为中点，则 又因为平面，平面，所以，平面；（2）113C ABC V -=.19. 解：(1) 若直线l 与圆C 相切，则有21|24|2=++a a .解得43-=a .(2) 过圆心C 作CD ⊥AB ， 则根据题意和圆的性质，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====+++=.221,2,1|24|22222AB DA AC DA CD a a CD 解得1,7--=a .∴直线l 的方程是0147=+-y x 或02=+-y x .20.解：（1）联立直线与椭圆方程⎩⎨⎧+==+mx y y x 4422得：04-48522=++m mx x ，A1A B1BC1CDO5,016-802±===∆m m 所以。

重庆市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

重庆市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

重庆市高2026届高二上期期中考试数学试题（答案在最后）2024.11注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.1.直线l 过(,),(,)()P b c b Q a c a a b ++≠两点，则直线l 的斜率为（）A.a b a b+- B.a b a b-+ C.1D.1-【答案】C 【解析】【分析】利用直线上两点的坐标求斜率即可.【详解】由题意可知，斜率()()1a b a bk a c b c a b--===+-+-，故选：C.2.若平面α的法向量为()4,4,2n =--，方向向量为(),2,1x 的直线l 与平面α垂直，则实数x =（）A.4B.4- C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直于平面，则直线的方向向量平行于平面的法向量，即可求解.【详解】由直线l 与平面α垂直，故直线l 方向向量(),2,1x 与平面α的法向量()4,4,2n =--平行，设()()4,4,2,2,1x λ--=，即4422xλλλ=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得22x λ=-⎧⎨=-⎩.故选：D.3.圆心为(1,1)-且过原点的圆的一般方程是（）A.22220x y x y ++-= B.22220x y x y +-+=C.22220x y x y +--= D.222210x y x y ++-+=【答案】B 【解析】【分析】先求半径，再得圆的标准方程，最后转化为圆的一般方程.【详解】由题意知，()0,0在圆上，圆心为(1,1)-，所以圆的半径r ==，所以圆的标准方程为()()22112x y -++=，则一般方程为：22220x y x y +-+=，故选：B.4.椭圆22221x y a b +=和2222(0,0,,0)x y k a b a b k a b+=>>≠>一定具有（）A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长轴长【答案】A 【解析】【分析】先将方程化为标准方程，再根据离心率，焦点。

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高二上半期考试数学试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l 的斜率为( ) A ．1 B ． 3 C ．233D ．－3 2．以圆0222=++y x x 的圆心为圆心，半径为2的圆的方程( )A ．()2122=++y xB ． ()2214++=x yC ．()2122=+-y xD ．()4122=+-y x 3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥βD ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α4．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A (12，12，12)，B (12，12，0)，C (13，13，13)，则( ) A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BC D ．OB ⊥OC6．若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝07．将正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，则异面直线AB 与CD 夹角的余弦值是（ ）A ．12-B ．12C ．33D ．63 8．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2D ．129．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，2x ＋3y －5≤0，4x ＋3y －1≥0，点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,210．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1CB ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 第Ⅱ卷注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。

作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。

答在试题卷上无效。

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）把答案填在答题卷中的横线上.11．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________________；若l 1∥l 2，则b ＝________________．12．过点M (－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是____________________．13．以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为____________________．14．已知变量,x y 满足约束条件1,31x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，若z kx y =+的最大值为5，则实数k = ．15．已知m 、n 为直线，α、β为平面，下列命题：① ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥β⇒α∥β；④ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n ． 其中正确的命题是 （写出所有正确命题）三、解答题：（本大题共6小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）三角形的三个顶点是(4,0)A ,(2,4)B ,(0,3)C .(1) 求AB 边的中线所在直线1l 的方程；(2) 求BC 边的高所在直线2l 的方程；(3) 求直线1l 与直线2l 的交点坐标.17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P －ABC 中，D 、E 、F 分别为棱PC 、AC 、AB 的中点，已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.(1) 证明：直线P A ∥面DEF ；(2) 证明：平面BDE ⊥平面ABC .18．（本小题满分12分）已知一个圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上，且在直线l 2：x －y ＝0上截得的弦长为27，求圆C 的方程．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，P A＝PC＝2a，(1) 证明：PD⊥平面ABCD；(2) 求异面直线PB与CD所成的角的余弦值；(3) 求二面角P－BC－D的正切值．20．（本小题满分13分）已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，斜率为1的直线l与圆C交于A、B两点．(1) 化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；(2) 是否存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4(1) 若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；(2) 设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．数学参考答案评分标准一、选择题BDDCC 、DBCBA二、填空题11. 2，－98 12. 125 13．x 2＋(y －4)2＝20或(x －2)2＋y 2＝20 14．1-或1215. ②③ 三、解答题16．解：（1）390+-=x y （4分）（2）280+-=x y （8分）（3）(3,2) （12分）17．证明：(1)在△P AC 中，D 、E 分别为PC 、AC 中点，则P A ∥DE ，P A ⊄面DEF ，DE ⊂面DEF ，因此P A ∥面DEF （6分）(2)△DEF 中，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4，DF ＝5， ∴DF 2＝DE 2＋EF 2，∴DE ⊥EF ，又P A ⊥AC ，∴DE ⊥AC .∴DE ⊥面ABC ，∴面BDE ⊥面ABC . （12分）18.分析：设出圆心坐标，利用几何性质列方程求出圆心坐标，再求出半径即可． 解：∵圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上，∴可设圆心为C (3t ，t )． （2分）又∵圆C 与y 轴相切，∴圆的半径为r ＝|3t |. （4分）再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得(|3t －t |2)2＋(7)2＝|3t |2. 解得t ＝±1. （8分） ∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3. （10分）故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. （12分）19.证明：(1)∵PD ＝a ，DC ＝a ，PC ＝2a ，∴PC 2＝PD 2＋DC 2.∴PD ⊥DC . （3分）同理可证PD ⊥AD ，又AD ∩DC ＝D ，∴PD ⊥平面ABCD . （6分）(2)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD,即∠PBA 是异面直线PB 与CD 所成的角，由(1)知PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB . 由DA ⊥AB .∴AB ⊥面P AD . 即AB ⊥P A, （8分）在Rt △P AB 中, P A ＝2a ，AB ＝a ，∴COS ∠PBA=3（9分） (3)由(1)知PD ⊥BC ，又BC ⊥DC ，∴BC ⊥平面PDC .∴BC ⊥PC . ∴∠PCD 为二面角P －BC －D 的平面角． （11分） 在Rt △PDC 中，PD ＝DC ＝a ，∴∠PCD ＝45°.∴二面角P －BC －D 的正切值是1． （12分）20．解：(1)(x －1)2＋(y ＋2)2＝9.圆心C (1，－2)，r ＝3. （6分）(2)假设存在直线l ，设方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因此直线AB 的圆过原点O ，所以OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. （7分）⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0 消去y 得2x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2＋4m －4＝0.Δ＞0得－32－3＜m ＜32－3. （9分） 由根与系数关系得：x 1＋x 2＝－(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋4m －42， y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 解得m ＝1或－4. （12分） 直线l 方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4. （13分）21．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心C 1(－3,1)到直线l 的距离为d ＝|1－k (－3－4)|1＋k 2， 2分因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，∴4＝(3)2＋d 2，∴k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724， 4分 所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0 6分(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )，因为C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等， 即|1－k (－3－a )－b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪5＋1k (4－a )－b 1＋1k 2 8分整理得：|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，∴1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. 10分 因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋8＝0a ＋b －5＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝52b ＝－12或⎩⎨⎧ a ＝－32b ＝132这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件 14分。

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