向量与矩阵的范数
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第五章--向量范数和矩阵范数
圆范数。
当 x 时，|| x ||A 0 ；当 x θ 时由 A 对称
正定知 xH Ax 0 ，即 || x ||A 0 。
对于任意 k C ，有 || k x ||A (kx)T A(kx) | k | xT Ax | k | || x ||A
由于 A 为Hermite正定矩阵，故存在酉矩阵 U ，使得
|| x ||2
| x1 |2 | x2 |2
| xn |2
定义的|| ||2 是 F n上的向量范数，称为2-范数或 l2
范数，也称为 Euclid 范数。
例 7 对任意 x ( x1, x2, , xn) T F n，由
|| x ||p
1/ p n
| xi |p , p 1
i1
定义的|| ||p 是 F n 上的向量范数，称为p -范数或 lp
UT AU Λ diag( λ1, λ2, , λn)
这里 A 的特征值 λi (i 1, 2, , n) 都为正数。
从而有
A UΛUT U Λ Λ UT BT B
此时
|| x ||A xT Ax xT BT Bx (Bx)T Bx || Bx ||2
因此对任意 y C n ， || x y ||A || B( x y) ||2
数 || A || 表示对于任意向量 x F n ， A 可以 “拉伸”向量 x 的最大倍数，即使得不等式
|| A x || C || x || 成立的最小的数 C 。称 || A || 为范数 || || 和 || ||
j1
n
| xj
j1
yj |; yj |;
yj |;
1
yj |m m;
以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离：
当 x 时，|| x ||A 0 ；当 x θ 时由 A 对称
正定知 xH Ax 0 ，即 || x ||A 0 。
对于任意 k C ，有 || k x ||A (kx)T A(kx) | k | xT Ax | k | || x ||A
由于 A 为Hermite正定矩阵，故存在酉矩阵 U ，使得
|| x ||2
| x1 |2 | x2 |2
| xn |2
定义的|| ||2 是 F n上的向量范数，称为2-范数或 l2
范数，也称为 Euclid 范数。
例 7 对任意 x ( x1, x2, , xn) T F n，由
|| x ||p
1/ p n
| xi |p , p 1
i1
定义的|| ||p 是 F n 上的向量范数，称为p -范数或 lp
UT AU Λ diag( λ1, λ2, , λn)
这里 A 的特征值 λi (i 1, 2, , n) 都为正数。
从而有
A UΛUT U Λ Λ UT BT B
此时
|| x ||A xT Ax xT BT Bx (Bx)T Bx || Bx ||2
因此对任意 y C n ， || x y ||A || B( x y) ||2
数 || A || 表示对于任意向量 x F n ， A 可以 “拉伸”向量 x 的最大倍数，即使得不等式
|| A x || C || x || 成立的最小的数 C 。称 || A || 为范数 || || 和 || ||
j1
n
| xj
j1
yj |; yj |;
yj |;
1
yj |m m;
以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离：
向量和矩阵范数
|| x ||
|| b ||
➢ 设 精b确，A有误差 ，得到的A 解为
，即 x x
|| A || || A1 || 是关键
( A 的A误的A差状)放态(大数x因(条子件，数称x)，)为 b
记为cond (A) ,
A(x x) A(x x) b (A A)x (A A) x b
I A 1 1
1 || A ||
证明： ① 若不然，则
(I A有)x非零0解，即存在非零向量 使得
x0
Ax0 x0
|| Ax0 || 1 || x0 ||
|| A || 1 ✓
② (I A)1 A(I A)1 (I A)(I A)1 I
(I A)1 I mA(I A)1
，即
A(x x) b b
x x
绝对误差放大因子
x A1 b
|| x |||| A1 || || b ||
相对误差放大因子
又 || b || || Ax || || A || || x || 1 || A || || x || || b ||
|| x || || A || || A1 || || b ||
主要性质
性质1:‖-x‖=‖x‖
性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖
性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.
范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
,则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
定理1.4.1 Rn 上一切范数都等价。
定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，….,
|| A1A |||| A1 || || A || 1 )
《向量和矩阵的范数》PPT课件
h
1
三种常用范数 给定 x (x1, x2 , , xn )T
n
1-范数：
x 1
x1
x2
xn xi
i 1
2-范数： x 2
x12 x22
1
xn2
n
i 1
xi2
2
? 范数： x max{ x1 , x2 ,
,
xn
}
max{
1in
xi
}
h
2
一般范数 给定 x (x1, x2 , , xn )T
1
(n max 1in
xi
p)p
故有 x x n p x
p
令
p
1
, n p
1limxFra bibliotekxp
p
h
4
范数的等价性 对于任意向量 x R n ，如果存在正数
c1, c2 ，均有
x
p c1
x, q
x q c2
x
，则称范数
p
x
与
p
x 等价。 q
范数的等价关系具有传递性。如果范数 x 与 x 等价，
（5） I 1，其中 I 为单位阵。
h
14
矩阵范数的另一个等价定义
设 A R nn , x Rn ，矩阵 A 的范数 A max Ax
x 1
h
15
常用的矩阵范数
设 A[aij]nn常用的矩阵范数有行（无穷）范数和列（一）范数。
例如
A
3 0
2
4
n
A
maxaij
1in j1
n
A 1
maxaij
Rnn 上的矩阵序列 A(k) 是收敛于A 的充要条件为
向量与矩阵的范数
那么
n
X X H *
xi
X 1
i 1
矩阵旳谱半径及其性质
定义：设 A C mn ，A 旳 n 个特征值为 1, 2, , n ，我们称
( A) max{ 1 , 2 , , n }
为矩阵 A 旳谱半径。 例 1 ：设 A C mn ，那么
( A) A
这里 A 是矩阵 A 旳任何一种范数。
F
F
于是有
AB A B
F
F
F
例 4 ：对于任意 A C nn ，定义
A
[Tr
(
AH
A)]
1 2
证明如此定义旳 A 是矩阵 A 旳范数。
证明： 首先注意到这么一种基本事实，
即
[Tr( AH
1
A)] 2
(
m
n
aij
2
)
1 2
i1 j1
由一种例题可知此定义满足范数旳性质。
Frobenious范数旳性质：
(1)' n
1
(2)' n
2
1
2
(3)' n
2
引理（Hoider不等式）：设
a1, a2, , an T , b1, b2, , bn T Cn
则
n
n
aibi (
ai p ) 1 p ( n
bi
q)
1 q
i 1
i 1
i 1
其中 p 1,
q1 且
1p
是矩阵范数。
证明：非负性，齐次性和三角不等式轻易 证得。目前我们考虑乘法旳相容性。设
A C nn , B C nn ，那么
n
n
AB
矩阵范数和向量范数的关系
矩阵范数和向量范数的关系矩阵范数和向量范数是线性代数中常用的概念，它们之间存在一定的关系。
本文将从矩阵范数和向量范数的定义、性质以及它们之间的联系等方面进行阐述。
我们来介绍矩阵范数和向量范数的定义。
矩阵范数是定义在矩阵上的一种范数，它可以将一个矩阵映射为一个非负的实数。
常见的矩阵范数有Frobenius范数、1-范数、2-范数和∞-范数等。
以Frobenius范数为例，对于一个矩阵A，它的Frobenius范数定义为矩阵元素平方和的平方根，即∥A∥F = √(∑∑|aij|^2)。
向量范数是定义在向量空间中的一种范数，它可以将一个向量映射为一个非负的实数。
常见的向量范数有1-范数、2-范数和∞-范数等。
以2-范数为例，对于一个向量x，它的2-范数定义为向量元素平方和的平方根，即∥x∥2 = √(∑|xi|^2)。
矩阵范数和向量范数之间存在一定的联系。
首先，对于一个n维向量x，可以将其看作是一个n×1的矩阵。
此时，向量范数就可以看作是矩阵范数的一种特殊情况。
例如，向量的2-范数就是矩阵的2-范数。
因此，矩阵范数可以看作是向量范数的推广。
矩阵范数和向量范数之间满足一些性质。
例如，对于一个矩阵A和一个向量x，满足以下性质：1. 三角不等式：对于任意的矩阵A和向量x，有∥A∥ + ∥x∥ ≤∥A + x∥。
2. 齐次性：对于任意的矩阵A和实数α，有∥αA∥ = |α|∥A∥。
3. 子多重性：对于任意的矩阵A和B，有∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥。
我们来讨论矩阵范数和向量范数的联系。
通过定义可以看出，矩阵范数和向量范数都是对于矩阵或向量的度量。
矩阵范数可以看作是对矩阵的度量，而向量范数可以看作是对向量的度量。
矩阵范数和向量范数都满足范数的定义，即满足非负性、齐次性和三角不等式。
在应用中，矩阵范数和向量范数有着广泛的应用。
矩阵范数可以用于矩阵的相似性度量、矩阵的特征值估计等问题。
而向量范数可以用于向量的相似性度量、向量的正则化等问题。
向量和矩阵的范数
向量和矩阵的范数一、引言向量和矩阵是线性代数中最基本的概念之一，而范数则是线性代数中一个非常重要的概念。
范数可以用来度量向量或矩阵的大小，也可以用来衡量它们之间的距离。
在本文中，我们将讨论向量和矩阵的范数。
二、向量范数1. 定义向量范数是一个函数，它将一个向量映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的向量x，有||x||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和向量x，有||αx||=|α|·||x||；（3）三角不等式：对于任意的向量x和y，有||x+y||≤||x||+||y||。
2. 常见范数（1）L1范数：也称为曼哈顿距离或城市街区距离。
它定义为所有元素绝对值之和：||x||1=∑i=1n|xi| 。
（2）L2范数：也称为欧几里得距离。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||x||2=(∑i=1nxi^2)1/2 。
（3）p范数：它定义为所有元素p次方和的p次方根：||x||p=(∑i=1n|xi|^p)1/p 。
（4）无穷范数：它定义为所有元素绝对值中的最大值：||x||∞=ma xi|xi| 。
三、矩阵范数1. 定义矩阵范数是一个函数，它将一个矩阵映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的矩阵A，有||A||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和矩阵A，有||αA||=|α|·||A||；（3）三角不等式：对于任意的矩阵A和B，有||A+B||≤||A||+||B||。
2. 常见范数（1）Frobenius范数：也称为欧几里得范数。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||A||F=(∑i=1m∑j=1naij^2)1/2 。
（2）一范数：它定义为每列元素绝对值之和的最大值：||A||1=maxj(∑i=1m|aij|) 。
（3）二范数：它定义为矩阵A的最大奇异值：||A||2=σmax(A) 。
（4）∞范数：它定义为每行元素绝对值之和的最大值：||A||∞=maxi(∑j=1n|aij|) 。
向量与矩阵的范数
a12 a1n A 1 max ai j 列范数 1j n i1 n a22 a2n A max aij 行范数 1i n j1 T an2 ann A 2 λm a x( A A) AF
|λ | || X ||= ||λ X ||= || A X || ≤|| A || || X ||
由X ≠0 ,所以 || X || >0 ,
计算方法三⑤
故有:
|λ | ≤|| A ||
所以特征值的最大值≤||A||，即ρ(A)≤||A||
18/35
定理3.7 设A为任意n阶方阵，则对任意 矩阵范数||A||，有： ρ(A)≤||A|| 定理3.8 设A为n阶对称方阵，则有: ||A||2= ρ(A)
1 2 3 A 4 5 6 7 8 0
计算方法三⑤
14/35
例6. 计算矩阵A的各种范数
1 2 A= 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 9
解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9]; n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, 'fro') n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564
解: E A ( 1) ( 2)
2
(A) 2
计算方法三⑤
17/35
矩阵范数与谱半径之间的关系为: ρ(A) ||A|| 定理3.7设A为任意n阶方阵，则对任意矩阵范 数||A||，有： ρ(A)≤||A||
证:设λ为A的任意一个特征值, X为对应的特征向量 AX= λ X 两边取范数,得: || A X || = ||λ X || =|λ | || X ||
第3章 范数
n
1
2
例题：设x = (3,12,0,4 ) , 计算 x 1 , x ∞ , x
T
2
x 1 = 3 + 12 + 0 + 4 = 19 x
∞
= max{3,12,0,4} = 12
x 2 = 32 + (12) 2 + 0 2 + (4) 2 = 13
向量和矩阵的范数
2 矩阵范数 定义
任一矩阵A ∈ R n×n，都对应于一个实数N ( A)( N ( A)为R n×n上的实值函数 ), N ( A) = A ，且满足以下条件：
1≤i ≤ n
( A的特征值按模的最大值)
为矩阵的谱半径。
若λi为实数，则λi 是指绝对值 若λi为复数（λi = a + bi），则λi 是指模, λi = a 2 + b 2
例题
1 0 1 设A = 2 2 1, 计算A的谱半径。 1 0 0 λ 1 0 1
解： λI A) = 2 det( 1
几种矩阵范数
设x ∈ R n , A ∈ R n×n , 则
(1) A 1 = max ∑ aij
1≤ j ≤ n n
( A的列范数 )
(2) A ∞ = max ∑ aij
1≤i ≤ n j =1
i =1 n
( A的行范数 )
(3) A 2 = λmax ( AT A) (其中λmax ( AT A)表示矩阵AT A的绝对值( 模)最大的特征值)
a11 a12 a13 三阶方阵A = a21 a22 a23 则A的行列式 a31 a32 a33 det( A) = a11a22 a33 + a21a32 a13 + a12 a23a31 a13 a22 a31 a12 a21a33 a23 a32 a11
1
2
例题：设x = (3,12,0,4 ) , 计算 x 1 , x ∞ , x
T
2
x 1 = 3 + 12 + 0 + 4 = 19 x
∞
= max{3,12,0,4} = 12
x 2 = 32 + (12) 2 + 0 2 + (4) 2 = 13
向量和矩阵的范数
2 矩阵范数 定义
任一矩阵A ∈ R n×n，都对应于一个实数N ( A)( N ( A)为R n×n上的实值函数 ), N ( A) = A ，且满足以下条件：
1≤i ≤ n
( A的特征值按模的最大值)
为矩阵的谱半径。
若λi为实数，则λi 是指绝对值 若λi为复数（λi = a + bi），则λi 是指模, λi = a 2 + b 2
例题
1 0 1 设A = 2 2 1, 计算A的谱半径。 1 0 0 λ 1 0 1
解： λI A) = 2 det( 1
几种矩阵范数
设x ∈ R n , A ∈ R n×n , 则
(1) A 1 = max ∑ aij
1≤ j ≤ n n
( A的列范数 )
(2) A ∞ = max ∑ aij
1≤i ≤ n j =1
i =1 n
( A的行范数 )
(3) A 2 = λmax ( AT A) (其中λmax ( AT A)表示矩阵AT A的绝对值( 模)最大的特征值)
a11 a12 a13 三阶方阵A = a21 a22 a23 则A的行列式 a31 a32 a33 det( A) = a11a22 a33 + a21a32 a13 + a12 a23a31 a13 a22 a31 a12 a21a33 a23 a32 a11
向量和矩阵的范数
证明:略
第一章 绪论
例4 设矩阵A与矩阵B是对称的，求证
常用的矩阵范数
第一章 绪论
n
(1)
A
1
max 1 jn i1
aij
A的每列绝对值之和大 的值 最, 称A的列范数
n
(2)
A
max
j1
aij
A的每行绝对值之和大 的值 最, 称A的行范数
(3)
A
2
ma(xATA)
称A的2范数
其中 ma(xATA)为ATA的特征值的绝大 对值 值的最
例2
对于某种向 x和 量算 范子 数A范 , 数
AxA x
而
Ax x x
因此
x A x
即 所以
A
(A) A
第一章 绪论
即矩A阵 的谱半径不超任 过何 矩一 阵种 的算子范数
定理1. 设是Rnn上的一种算,子 A范 Rnn数 ,
若 A 满A 足 1,则 IA 非奇 ,且异
(I A)1 1 1 A
1 jn i1
aij
ma {2,x5,2}5 1jn
n
A
max
1in
j1
aij
m{a3,4 x,2}4 1in
A 2 ma(xATA)
第一章 绪论
因此先A求 TA的特征值
第一章 绪论
1 1 0 1 2 0 2 0 1
AT A
2 0
2 1
1 1
1 0
2 1
1 1
0 1
9 1
1 2
A2
容易计算 使用最广泛
计算较复杂
对矩阵元素的 变化比较敏感
性质较好 使用最广泛
向量范数和矩阵范数
向量范数和矩阵范数在数值计算、线性代数和机器学习等领域中具有广泛的应用，它们可 以用于衡量向量和矩阵的大小、距离和相似度等概念。
2. L1范数：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的L1范数定义为 ||x||1 = |x1| + |x2| + ... + |xn|。它表示向量各个元素的绝对值之和。
向量范数和矩阵范数
3. 无穷范数（L∞范数）：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的无穷范数定义为 ||x||∞ = max(|x1|, |x2|, ..., |xn|)。它表示向量各个元素的绝对值的最大值。
矩阵范数是对矩阵进行度量或衡量的方式，它是一个将矩阵映射到非负实数的函数。常见 的矩阵范数有谱范数、F范数和1-范数。
1. 谱范数：对于n×n矩阵A，它的谱范数定义为 ||A||2 = max(σ)，其中σ是A的特征值的 模的最大值。谱范数衡量了矩阵的最大特征值的大小，表示矩阵的最大奇异值。
向量范数和矩阵范数
2. F范数：对于m×n矩阵A，它的F范数定义为 ||A||F = √(∑∑|aij|^2)，其中aij表示A的第i 行第j列的元素。F范数衡量了矩阵所有元素的平方和的平方根。
3. 1-范数：对于m×n矩阵A，它的1-范数定义为 ||A||1 = max(∑|aij|)，其中∑表示对所有 列求和。1-范数衡量了矩阵列向量绝对值之和的最大值。
向量范数和矩阵范数
向量范数是对向量进行度量或衡量的方式，它是一个将向量映射到非负实数的函数。常见 的向量范数有欧几里得范数（L2范数）、L1范数和无穷范数（L∞范 ..., xn)，它的欧几里得范数定义为 ||x||2 = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。它表示向量的长度或大小，也可以理解为向量的2范数。
2. L1范数：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的L1范数定义为 ||x||1 = |x1| + |x2| + ... + |xn|。它表示向量各个元素的绝对值之和。
向量范数和矩阵范数
3. 无穷范数（L∞范数）：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的无穷范数定义为 ||x||∞ = max(|x1|, |x2|, ..., |xn|)。它表示向量各个元素的绝对值的最大值。
矩阵范数是对矩阵进行度量或衡量的方式，它是一个将矩阵映射到非负实数的函数。常见 的矩阵范数有谱范数、F范数和1-范数。
1. 谱范数：对于n×n矩阵A，它的谱范数定义为 ||A||2 = max(σ)，其中σ是A的特征值的 模的最大值。谱范数衡量了矩阵的最大特征值的大小，表示矩阵的最大奇异值。
向量范数和矩阵范数
2. F范数：对于m×n矩阵A，它的F范数定义为 ||A||F = √(∑∑|aij|^2)，其中aij表示A的第i 行第j列的元素。F范数衡量了矩阵所有元素的平方和的平方根。
3. 1-范数：对于m×n矩阵A，它的1-范数定义为 ||A||1 = max(∑|aij|)，其中∑表示对所有 列求和。1-范数衡量了矩阵列向量绝对值之和的最大值。
向量范数和矩阵范数
向量范数是对向量进行度量或衡量的方式，它是一个将向量映射到非负实数的函数。常见 的向量范数有欧几里得范数（L2范数）、L1范数和无穷范数（L∞范 ..., xn)，它的欧几里得范数定义为 ||x||2 = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。它表示向量的长度或大小，也可以理解为向量的2范数。
第五章 向量与矩阵的范数
A
F
= ( ∑∑ aij )
2 i =1 j =1
X
2
= ( ∑ xi )
i =1
n
2 12
= (X X )
H
12
根据Hoider不等式可以得到 不等式可以得到 根据
AX ≤
m 2 2
=
n
∑ ∑
i =1
m
n
2
j =1
a ij x
n
j
≤
2 j
∑
m
i =1
( ∑ a ij x j ) 2
j =1
n
∑ [( ∑
AB = n max
i, j i ,k
∑a
k =1 k, j
n
ik kj
b ≤ n max ∑ aik bkj
i, j k =1
n
≤ n ⋅ n max aik max bkj = n max aik ⋅ n max bkj
i ,k k, j
= A B
因此 的范数。 A 为矩阵 A 的范数。
例3
p
= ( ∑ ai )
p i =1
n
1
p
∑a
i =1
n
i
（2）2－范数 ） －
α 2 = ( ∑ ai ) = (α α )
2 12 H i =1
n
12
也称为欧氏范数。 也称为欧氏范数。 欧氏范数 （3）∞ －范数 α ∞ = lim α ） p →∞ 定理
p
α
∞
= max ai
1≤i ≤ n
证明 令
第五章
向量与矩阵的范数
定义： 定义： 设 V 是实数域 R （或复数域 C ）上 维线性空间， 的 n 维线性空间，对于 V 中的任意一个向量 α 按照某一确定法则对应着一个实数，这个 按照某一确定法则对应着一个实数， 范数， 实数称为 α 的范数，记为 α ，并且要求 范数满足下列运算条件： 范数满足下列运算条件： （1）非负性：当 ）非负性： 有且仅有当 α = 0, （2） 齐次性： ） 齐次性： 意数。 意数。
3.3向量和矩阵的范数
2
y
2
定理1：设 x R n , 则x的三种基本范数l, l 2 , l满足下面的不等式关系 ： 1
(1) x 2 x 1 n x (2) x (3) x
2
x2 n x x1n x
对于以上三种范数而言，它们的值是不同的。但有 如下的定义： 定义2(范数等价)：x R n， 对于任意两种范数 x 和 x 总存在两个与x无关的正实常数c1,c2,使得
k
记为： x (k) x * . lim
k
例如：按照
l 范数的定义 x (k) x * max x i( k ) x * i
1i n
故， x ( k ) x * x (k) x * lim
k
0(k ).
定理3 ：
设{x ( k ) }是R n中的一个向量序列，且 * R n，则lim x ( k ) x * x
例：有了距离，对
方程组Ax b的数值计算解x c与其准确解x *之间 的误差就可以度量了。 如定义其绝对误差为 x c x * ，相对误差为 x c x* x
*
。
例： x* (0.0002140.0003090.000397T 设 , , )
x (0.0001860.0003420.000504T , , ) c 当限定范数为 1范数时，请计算 与x* l x c 之间的绝对误差和相对 误差。
lim l p ( x i )
p i 1
n
p
1
p
在R n空间中，向量 [ x1 , , x n ]T 和y [ y1 , , y n ]T 的内积记作( x , y), x 可定义为 (x, y) x i y i x T y.
y
2
定理1：设 x R n , 则x的三种基本范数l, l 2 , l满足下面的不等式关系 ： 1
(1) x 2 x 1 n x (2) x (3) x
2
x2 n x x1n x
对于以上三种范数而言，它们的值是不同的。但有 如下的定义： 定义2(范数等价)：x R n， 对于任意两种范数 x 和 x 总存在两个与x无关的正实常数c1,c2,使得
k
记为： x (k) x * . lim
k
例如：按照
l 范数的定义 x (k) x * max x i( k ) x * i
1i n
故， x ( k ) x * x (k) x * lim
k
0(k ).
定理3 ：
设{x ( k ) }是R n中的一个向量序列，且 * R n，则lim x ( k ) x * x
例：有了距离，对
方程组Ax b的数值计算解x c与其准确解x *之间 的误差就可以度量了。 如定义其绝对误差为 x c x * ，相对误差为 x c x* x
*
。
例： x* (0.0002140.0003090.000397T 设 , , )
x (0.0001860.0003420.000504T , , ) c 当限定范数为 1范数时，请计算 与x* l x c 之间的绝对误差和相对 误差。
lim l p ( x i )
p i 1
n
p
1
p
在R n空间中，向量 [ x1 , , x n ]T 和y [ y1 , , y n ]T 的内积记作( x , y), x 可定义为 (x, y) x i y i x T y.
向量和矩阵的范数
Ａ的列范数 Ａ的“2”范 数或Ａ的谱
范数
其中 max ( A A)为A A的最大特征值。
T T
第一章 绪论
例2
求矩阵A的各种常用范数
1 2 0 3 A 1 2 1 4 0 1 1
2
n
5
2
2
解:
A 1 max aij 1 j n
i 1
"范数"是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维
向量长度概念的一种推广.
数域:数的集合,对加法和乘法封闭.
有理数、实数、复数数域
线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘 法封闭,也称为向量空间。
第一章 绪论
5.4.1 向量范数 ( vector norms )
二维，三维的长度概念：
T 2 2 2 R 中，x R ， x x1 x2，其中x x1 , x2 ； T 3 3 2 2 2 R 中, x R ， x x1 x 2 x 3 , 其中x x1 , x 2 , x 3 。
② x 也是 x p 的特例
xi ( x1 因为 max 1i n
p
x2
p
xn
p
)
1
p
(n max xi )
1 i n
p
1
p
n
1
p
xi ( p ) max xi max 1i n
1 i n
x
p
x
( p 时),
所以 x 也是 x p的特例
A 4
3.0237
3.6056
A2
AF
数值分析5-5(向量和矩阵的范数)
n
1
A F ( xij 2 )2
i , j1
称为Frobennius－范数
举例：
A
1 3
2 4
计算A的各种范数.
解：
n
A
max
1in
j1
aij
max{1 2,3 4} 7
n
A
1
max
1 jn
i 1
|
aij
|
max{1
3,2
x p ( xi p ) p
i 1
称为∞－范数或最大范数 称为1－范数 称为2－范数
称为p－范数
举例：计算向量 x=(1, -2, 3)T的各种范数.
解：
n
x 1 | xi | 6
i 1
n
1
x 2 ( xi 2 )2 14
i 1
x
max
1in
xi
3
3. 向量范数的性质
3) x y x y , x, y Rn(三角不等式)
则称‖x‖为向量的范数
2. 常用的向量范数
在 Rn上的向量x =(x1,…,xn)T∈Rn ，三种常 用的范数为：
x
max
1in
xi
n
x 1 | xi |
i 1
n
1
x 2 ( xi 2 )2
i 1
n
1
第五章 解线性方程组的直接法 §5 向量和矩阵的范数
一、向量的范数
二、矩阵的范数 三、小结
一、向量的范数
1. 向量范数的定义
设对任意向量 x∈Rn，按一定的规则有一实 数与之对应，记为‖x‖，若‖x‖满足
向量和矩阵的范数
一、向量的范数定义1 设x=(x1 ,x2,…,x n )n ,y=(y1 ,y2,…,y n )n∈R n (或C n )。
将实数(或复数),称为向量x,y的数量积。
将非负实数或称为向量x的欧氏范数。
对向量x,y的数量积有：1. (αx,y)=α(x,y).α为实数(或(x,αy)=(x,y),α为复数);2. (x,y)=(y,x)[(x,y)=(,)];3. (x1 +x2 ,y)=(x1 ,y)+(x2 ,y);4. (Cauchy-Schwarz不等式)(5.1)等式当且仅当x与y线形相关时成立。
对向量x的欧氏范数有：1. ‖x‖2≥0, ‖x‖2 =0当且仅当x=0时成立;2. ‖αx‖2=|α|‖x‖2，任意的α∈R(或α∈C),3. ‖x+y‖2≤‖x‖2 +‖y‖2 (三角不等式)，(5.2)注(5.1)和(5.2)有下面的事实得到(x+ty,x+ty)=(x,x)+2(x,y)t+(y,y)t2≥0由一元二次方程根的判别定理可知(5.1)成立；取t=1,再利用(5.1)得即得(5.2)。
定义2(向量的范数) 如果向量x∈R n (或C n )的某个实值函数N(x)=‖x‖, 满足条件：(1) ‖x‖≥0(‖x‖=0当且仅当x=0)(正定条件)，(2) ‖αx‖=|α|·‖x‖，任意的α∈R(或α∈C),(3) ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖(三角不等式)，则称N(x)是R n (或C n )上的一个向量范数(或模)。
下面我们给出几种常用的向量范数。
1. 向量的∞-范数(最大范数)：(5.3)2. 向量的1-范数：3. 向量的2-范数：(5.4)4. 向量的p-范数：(5.5)例6 计算向量x=(1,-2,3)T的各种范数。
解：定理6(N(x)的连续性) 设非负函数N(x)=‖x‖为R n上任一向量范数，则N(x)是x的分量x1 ,x2,…,x n的连续函数。
证明设其中e i=(0,…,1,0,…,0)T, . 只须证明当x→y时N(x)→N(y)即成。
向量与矩阵范数
(3) 若 A 是对称矩阵，则 ( A) A 2
9
算子范数性质
算子范数的性质
定理：设 || ·|| 是 Rn 上的任一向量范数，其对应的 算子范数也记为 || ·|| ，则有
Ax A x
定理：设 || ·|| 是任一算子范数，则 ( A) A
定理：对任意 >0, 总存在一算子范数 || ·|| ，使得
1 n
3
范数性质
范数的性质
(1) 连续性 设 f 是 Rn 上的任意一个范数，则 f 关于 x 的每个分
量是连续的
(2) 等价性 设 || · ||s 和 || ·||t 是 Rn 上的任意两个范数，则存在 常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 xRn 有
c1 x s x t c2 x
p xi , p [1, ) ，是 Rn 上向量范数 i 1
n 1 p
p
2
向量范数
常见的向量范数 ① 1-范数 ② 2-范数
x 1 xi
i 1 n
n 2 x 2 xi i 1
1 2
③ 无穷范数（最大范数）
x
max xi
8
矩阵范数性质
矩阵范数的性质
(1) 连续性：设 f 是 Rnn 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A
的每个分量是连续的
(2) 等价性：设 || ·||s 和 || ·||t 是 Rnn 上的任意两个矩阵 范数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 A Rnn 有
c1 A s A t c2 A s
本讲内容
向量范数
向量范数的定义 常见的向量范数
向量范数的性质
9
算子范数性质
算子范数的性质
定理：设 || ·|| 是 Rn 上的任一向量范数，其对应的 算子范数也记为 || ·|| ，则有
Ax A x
定理：设 || ·|| 是任一算子范数，则 ( A) A
定理：对任意 >0, 总存在一算子范数 || ·|| ，使得
1 n
3
范数性质
范数的性质
(1) 连续性 设 f 是 Rn 上的任意一个范数，则 f 关于 x 的每个分
量是连续的
(2) 等价性 设 || · ||s 和 || ·||t 是 Rn 上的任意两个范数，则存在 常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 xRn 有
c1 x s x t c2 x
p xi , p [1, ) ，是 Rn 上向量范数 i 1
n 1 p
p
2
向量范数
常见的向量范数 ① 1-范数 ② 2-范数
x 1 xi
i 1 n
n 2 x 2 xi i 1
1 2
③ 无穷范数（最大范数）
x
max xi
8
矩阵范数性质
矩阵范数的性质
(1) 连续性：设 f 是 Rnn 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A
的每个分量是连续的
(2) 等价性：设 || ·||s 和 || ·||t 是 Rnn 上的任意两个矩阵 范数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 A Rnn 有
c1 A s A t c2 A s
本讲内容
向量范数
向量范数的定义 常见的向量范数
向量范数的性质
范数
向量的1－范数的最大值称为矩阵的行范数。
14
§6 误差分析
一个实际问题化为数学问题，初始数据往往会 有误差(观测误差和舍入误差)，即有扰动，从 而使计算结果产生误差。 向量的误差可用向量范数表示：设x 是x的近似 矩阵， x x 、x x / x 分别称为x 的关于
* * * * *
范数 的绝对误差与相对误差。
16
方程组的状态与条件数
x1 x2 2 x1 2 例：方程组 . x1 1.00001x2 2 x2 0 x1 x2 2 x1 1 而方程组 . x1 1.00001x2 2.00001 x2 1 比较这两个方程组可以看出，他们只是右端项有微小的差 1 别，最大相对误差为 105 , 但它们的解却大不相同，解分量 2 1 的相对误差至少为 。 2
x A1 A( x x ) A1 A ( x x ) x（ 1 A1 A ） A1 A x x
x A
1 1
如果 A充分小，使得 A1 A 1, 则由上式得
A A
A A
1
A
A
1 A
1 A A
1
A
A
上式表明，当系数矩阵有扰动时，解的扰动仍与 A A1 有关。一般地， A A1 越大，解的扰动也越大。
15
矩阵的误差可用矩阵算子范数表示：设A 是A的 近似矩阵，A A 、A A / A 分别称为A 的关
* * * *
*
于范数 的绝对误差与相对误差。 由于范数等价，用何种向量范数都是合理 的。关键是容易计算。 理论分析，谱范数是非常有效的。但在计算 上行范数和列范数更方便。 比较：向量1-范数--列范数， 向量-范数--行范数。
向量范数与矩阵范数
任2种范数在刻画收敛性时等价
定理1.2 对 Rn 上的任意二种向量范数|| ·||a ,|| ·||b ,
均有与向量 x 无关的常数 m 与 M (0<m<M)，使 下列的关系成立
m x x M x , x Rn.
a
b
a
证明略.
意义：向量x的某一种范数可以任意小（大）时， 该向量的其它任何一种范数也会任意小（大）。
|1| | 2 | | 3 |,
A
1
max
|
5
|
|1|
|
8
|,
14,
| 2 | | 0 | | 2 |
1 5 2
A 2 1
0
3 8 2
|1| | 5 | | 2 |,
A
max
|
2
|
|1|
|
0
|,
13,
| 3 | | 8 | | 2 |
A F
12 22 32
52
12
82
22
02
22
112,
14 21 4
AT
A
21
90
26
4 26 8
❖定义 Rn 上的实值函数‖·‖称为向量范数，如果 对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列3条性质:
(1)正定性: || x ||,且 0 x 0;|| x || 0
(2)齐次性:对 k ,有R
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n
n
( aik )( bkj ) A
i 1 k 1 j 1 k 1
n
n
m1
B
m1
例2 设矩阵 A C
nn
，证明：
A m n max aij
i, j
是矩阵的
m 范数。
证明：非负性，齐次性和三角不等式容易 证得。现在我们考虑相容性。设 nn nn A C , B C ，那么
所定义的 b是 C n 上的向量范数。
x b Ax a , x C
n
定义 b 是 C 上定义的两 种向量范数，如果存在两个正数 d1 , d 2 使得
设 a,
n
d1 b a d2 b , C
则称向量范数 定理
n
n
a,
b等价。
C 上的任意两个向量范数都是等价的。
n m1 n
n
i 1 j 1 k 1
a
n
ik
bkj aik bkj
i 1 j 1 k 1
[( aik )( bkj )]
i 1 j 1 n k 1 k 1 n
[( aik )( bkj )]
i 1 k 1 n j 1 k 1 n
的 p 范数。
a 1 ai
i 1
n
i 1
n
（1）1－范数
（2）2－范数(也称为欧氏范数)
a 2 ( ai )
2 1 2
(a H a)1 2
1 i n
（3）－范数
i 1
a
max ai
利用向量范数可以构造新的向量范数。
a是 C m 上的向量范数，且 例1 设 mn A C , rank ( A) n ，则由
对于任意 A C nn ，定义
n n 2 1 H 1 H 1 2 i 1 j 1
A F ( aij ) 2 [Tr ( A A)] 2 [Tr ( AA )]
可以证明 A F也是矩阵 A 的范数。我们称此 范数为矩阵 A 的Frobenious范数。 证明 此定义的非负性，齐次性是显然的。 利用Holder不等式和Minkowski不等式容易 证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容 性。 nn nn 设 A C , B C ，则
)( x j )]
n 2
( aij )( x j )
2 j 1
A
X
2 2
于是有
AX
2
AF X
2
如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？
定理2 设 x 使得
A m是矩阵范数，则存在向量范数
Ax A m x
证明 对于任意的非零向量 ，定义向量范 x x H 数 ，容易验证此定义满足向量 m 范数的三个性质，且
ij
X
2
( xi )
i 1
n
2 12
( X H X )1 2
2
根据Holder不等式可以得到
AX
m 2 2
n
i 1 ij
m
aij x j
j 1 2 n 2 j 1
n
( aij x j ) 2
i 1 j 1
m
n
[( a
i 1 j 1 m n i 1 j 1 2 F
p 所诱导的矩阵范数称为
Holder不等式：设
a a1 , a2 , , an , b b1 , b2 , , bn C
T T
n
a
i 1
n
i
bi ( ai ) ( bi )
p p q i 1 i 1
n
1
n
1
q
1 1 1 p q
bi ai v 证：令 u ， ，其中 n m
AB
m
n max
i, j i ,k
a
k 1 k, j
n
ik kj
b n max aik bkj
i, j k 1
n
n n max aik max bkj n max aik n max bkj
i ,k k, j
A
m
B
m
因此
A m为矩阵 A 的范数。
例3
AB
n
2 F n
aik bkj ( aik bkj )
i 1 j 1 k 1 n 2 i 1 j 1 k 1 n 2
n
n
n
2
n
n
n
2
[( aik )( bkj )]
i 1 j 1 n k 1 k 1 n
( aik )( bkj )
i 1
i
) ，根据
1
( ai bi )
p i 1
1
p
( ai )
p i 1
n
p
( bi )
p i 1
n
1
p
几种常用的范数 T 定义：设向量 a a1 , a2 , , an ，对任 n 意的数 p 1 ，称 p 1p a p ( ai )
为向量
a
Ax Ax Am x
H m
A m x
H m
算子范数(如何由向量范数构造与之相容的矩阵范数？) 定理 设 x 是向量的范数，则 Ax A max x0 x
满足矩阵范数的定义，且 A 是与向量范 x 相容的矩阵范数。上面所定义的矩阵范数称 为由向量范数 x 所导出的从属范数或算子范 数。 证明 首先我们验证此定义满足范数的四条性 质。非负性，齐次性与三角不等式易证。现在 考虑矩阵范数的相容性。
nn
A 0 ，当且仅
（2） 齐次性： kA k A , k 为任意复数。 A, B C nn 都有 （3） 三角不等式：对任意 A B A B nn （4）相容性：对于任意 A, B C ，都有 AB A B 则称 A 是矩阵 A 的范数。
例1 对于任意
m
1
A (aij ) C ，定义
由 A max
x0
Ax x
A
Ax x
x0
Ax A x
AB
max
ABx x
max(
x0
A Bx x
)
A max
x0
Bx x
A B
因此 A 的确满足矩阵范数的定义。
由向量 P--范数 x 矩阵P--范数。即
证明：
1, 2 ,
' '
都是 C n上的范数，并且还有
(1)
1n
2
(2) (3)
2 1 n
2
'
n
引理 设 u , v 均为非负实数，则总有
u v uv p q
p
q
p 1, q 1 1 1 1 p q
代入上述不等式，则有
p
m ai i 1
q
n
p
1
p
n , n bi i 1
q
1
q
ai bi 1 ai 1 bi ( ) p q mn p m q n n n 1 1 p ai bi mn( pm p ai qnq i 1 i 1
则称 x 为C n 上向量 x 的范数，简称向量范数。
例： 在 n 维线性空间 C n 中，对于任意的 向量 (a , a ,, a )T C n 定义
1 2 n
(1) (2) (3)
1 ai
i 1
n
2 ( ai )
i 1
n
2 12
max ai
1i n
1 1 n mn( ) ai p q i 1
p
b
i 1
1 q
n
q
i
)
1
p
n bi i 1
q
Minkowski不等式：设
T
a a1 , a2 , , an , b b1 , b2 , , bn C
T
n
则对任何 p 1 都有
( ai bi )
p i 1
n
1
p
( ai )
p i 1
n
1
p
( bi )
p i 1
n
1
p
p 证明 以 q 代入下式 p 1 n n p ai bi ai bi ai bi
i 1 n
p 1
则
a b
i 1 i n i 1
(k ) 1 (k ) 2 (k ) T n
j
max
j
(k ) j
j x
(k )
x
j( k ) j
j 1
k
n
可见 lim
k
(k ) j
j ,( j 1, 2, n)
的充要条件是
lim x ( k 上的任意一种向量范数 ，由等价性知
x(k ) x
x(k ) x x(k ) x .
从而 k
lim x( k ) x
0
的充要条件是 lim
k
x( k ) x 0
。
2.2 矩阵范数 定义 对于任何一个矩阵 A C ，都 有一个实数 A 与之对应，且满足 （1）非负性：当 A 0, 当 A 0, A 0