报童模型问题
随机型存贮模型
需要解决最优订货量Q的问题。如果订货量Q过大，报童就会因
不能售出报纸造成损失；如果订货量Q过小，报童就要因缺货 失去销售机会而造成机会损失。如何适当地选择订货量Q，才
能使这两种损失的期望值之和最小呢?
销售量 （百张）
5
6
7
8
9
10
11
0.05
0.10
0.20
0.20
0.25
0.05
二、有初始库存量的单周期模型
在选择外购策略时，若订购数少于实际需求量，则工厂将自产差额部分， 假定初期存货为零，求工厂的订购策略。
对于随机性存贮问题，本书只介绍了一次性进货模型，另外还有多周期 存贮模型、带有滞后时间的存贮模型等，大家可以参考韩伯棠教授编写 的《管理运筹学》书本，学习相关的知识。
随机型存贮模型
一、简单单周期模型（报童模型） 二、有初始库存量的单周期模型
单周期存贮模型：指在周期开始时订货一次，本周期不再 订货。 随机性存贮模型，以总费用的期望值作为衡量存贮策略优 劣的标准。
一、简单单周期模型（报童模型）
报童问题:报童每天销售报纸的数量是一个随机变量，根据以往的经验， 已知，需求量r份报纸的概率P (r)，报童每售出一份报纸赚k元，如果报纸 未能售出，每份赔h元，问报童每日最好准备多少份报纸?
两个任务：
1、确定存贮上限S 2、确定订货点s
1、确定存贮上限S
2、确定订货点s
例：某工厂生产某种部件，该部件外购价为850元/件，订货手续费每次 2825元，若自产，则每件成本1250元，单件存贮费45元，该部件需求概
率见下表：
80 0.1 90 0.2 100 0.3 110 0.3 120 0.1
报童模型
缺货损失厌恶的报童问题摘要：报童问题是随机存贮管理的基本问题之一。
在预期理论的框架下，我们通过引入损失厌恶参数，基于损失期望最小原则，对经典的报童问题进行了重新思考，给出了缺货损失厌恶的报童的最优定货量的计算公式及订购量与期望损失关系的数学模型.关键词：存贮管理；预期理论；期望损失1、引言不确定性决策一直都是决策理论的基本问题之一。
报童问题是随机存贮理论的基本模型之一，国内外关于报童问题的研究已有很长一段时间，人们也从不同的角度得出了一些令大家可接受且比较满意的方案和数学模型。
如Tsan rt.al[1]提出报童问题的均值方差模型，并且得出如果报童可能最大化期望利润，使得利润方差受到限制，那么其最佳订购量总是小于经典报童问题的订购量；Schweitzer, Cachon[2] 提出效用最大化的报童问题，且得出基于偏爱的不同而有不同的效用函数，（这些偏爱对报童的决策进程有着重要影响）；Eeckhoudt et.al[5]研究了风险及风险厌恶对报童问题的效应；Porteus[5]通过对敏感度的定量分析，研究了带风险效用和风险厌恶的报童问题；文平[6]关于损失厌恶的报童—预期理论下的报童问题新解一文，基于Kahneman 和Tversky[6]于1979年提出的预期理论，也得出了比较理想的模型。
然而他们中的多数都是从获利期望值最大和期望效用理论的角度来考察的。
但是，报童问题也是一种经典的单阶段存贮问题。
对报童而言，他每一天的报纸都有三种结果：报纸卖不完、不够卖、刚好够卖。
这三种结局只有最后一种情况下才能达到报童的最大利润，因为报童的最大利润是订购量刚好和市场需求一致，即刚好够卖，也刚好卖完。
在过去关于报童问题的种种模型中，都很少考虑到报纸不够卖，即脱销的情况，此时大多是以刚好满足市场需求的情况来处理。
其实不然，对于这类薄利多销的报童问题而言，他们都不希望自己是做保本生意，都希望充分利用好市场，最大限度地获取利润。
报童 数学建模
报童诀窍一、问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。
设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，假设a>b>c 。
即报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c 。
报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。
试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。
二、模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。
假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为 r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。
三、模型建立：假设每天购进量是n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于n, ，所以报童每天的收入也是随机的。
那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。
从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。
记报童每天购进n 份报纸的平均收入为G(n),如果这天的需求量r<=n,则售出r 份，退回n-r 份；如果需求量人r>n,则r 份将全部售出。
需求量为r 的概率是f(r),则()()()()[]()()()∑∑=∞+=-+----=n r n r r nf b a r f r n c b r b a n G 01问题归结为在()c b a r f ,,,已知时，求n 是G(n)最大。
四、模型求解：购进量n 都相当大，将r 视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r)()()()()[]()()()⎰⎰∞-+----=n ndr r np b a dr r p r n c b r b a n G 0计算()()()()⎰---=ndrr p c b n np b a dndG 0()()()()dr r p b a n np b a n ⎰∞-+--令0=dndG 得dndG ()()()()()()dr r p b a dr r p c b n np c a n n⎰⎰∞-+---=02得到()()cb b a drr p dr r p nn --=⎰⎰∞n 应满足上式。
报童模型3种例题详解
报童模型3种例题详解报童模型是一种常用的供应链管理模型，用于衡量库存管理的最佳策略。
在这篇文章中，我们将详解报童模型的三种例题，以帮助读者更好地理解这个模型以及它的实际应用。
1. 例题一：基本的报童模型在这个例题中，假设一个报摊要订购一种杂志，供应商提供了每本杂志的成本和销售价格。
报童需要在售罄前进行订购决策，以最大化利润。
首先，我们需要确定售罄概率分布，并计算售罄带来的成本和利润。
然后，我们可以使用期望利润最大化的公式来计算最佳订购数量。
通过解决这个例题，我们可以了解如何应用报童模型来进行库存管理并最大化利润。
2. 例题二：考虑损失销售的报童模型在这个例题中，我们要考虑到如果需求超过库存时带来的损失销售。
与例题一相比，我们需要加入一个额外的指标——失销销售成本。
失销销售成本是指由于库存不足而无法满足需求而导致的损失。
针对这个例题，我们需要计算售罄带来的损失成本，并将其加到总成本中。
然后，同样使用期望利润最大化的公式来计算最佳订购数量。
通过解决这个例题，我们可以了解如何考虑到损失销售成本来优化报童模型，以实现更准确的库存管理。
3. 例题三：考虑折扣的报童模型在这个例题中，我们假设供应商提供了折扣政策。
即在一定的订购数量上能够享受到更低的成本。
通过使用带有折扣的报童模型，我们将计算出能够最大化利润的最佳订购数量。
我们需要结合折扣成本以及其他成本来计算总成本，并使用期望利润最大化的公式来确定最佳订购数量。
通过解决这个例题，我们可以了解如何考虑折扣政策来优化报童模型，并在实践中应用这一模型。
通过上述三个例题的解析，我们可以更加深入地理解报童模型及其在供应链管理中的应用。
这个模型不仅能够帮助我们进行库存管理，还能够优化成本并最大化利润。
在实际业务中，我们可以根据具体情况灵活运用报童模型，以实现更加高效的供应链管理。
报童模型例题详解(一)
报童模型例题详解(一)报童模型例题问题描述小张是一家超市的经理，他想要掌握超市卖报的销售情况，以便能够更好地补货。
现在，他得到了一份报纸的销售记录，共100份。
他发现，报纸的售价是1元，每多余的报纸要扣除0.5元的成本，而缺少的报纸则造成的损失为1.5元。
在这种情况下，小张应该购买多少份报纸？解决方案为了解决这个问题，我们可以采用报童模型。
具体地，假设每天报纸的需求量服从一个均值为mu的正态分布，并且小张在当天需要决定购买多少份报纸。
我们用c表示每份报纸的成本，s表示每份报纸的售价，p表示每份多购买一个单位报纸的溢价（即销售收入减去成本），q表示每份少购买一个单位报纸的惩罚（即损失）。
在这个模型中，小张的目标是最大化期望收益。
我们可以用以下公式来表示：[](其中，F(x)是需求小于等于x的累积分布函数，f(x)是需求等于x的概率密度函数。
因此，问题可以转化为求解最优的购买量Q，使得目标函数表达式最大化。
具体地，我们可以先使用样本数据来估计mu和sigma，然后计算出P(x > Q)，表示需求量超过Q的概率，并计算出期望收益。
接着，我们可以尝试不同的Q值，计算出对应的期望收益，最后选择收益最大的那个Q值。
具体计算过程根据给出的数据，我们可以首先计算出mu和sigma的估计值为55.2和13.8。
然后，我们可以用Python语言来编写程序，进行计算。
代码如下所示：import numpy as npfrom scipy.stats import normc = 0.5 # 每份报纸的成本s = 1.0 # 每份报纸的售价p = 0.5 # 每份多购买一个单位报纸的溢价q = 1.5 # 每份少购买一个单位报纸的惩罚mu = 55.2 # 需求量的均值sigma = 13.8 # 需求量的标准差# 需求量的累积分布函数def F(x):return norm.cdf(x, mu, sigma)# 需求量的概率密度函数def f(x):return norm.pdf(x, mu, sigma)# 计算期望收益def E(Q):return (s - c) * Q + p * (1 - F(Q)) * Q - q * F(Q)# 尝试不同的Q值for Q in range(1, 101):print("Q =", Q, "E(Q) =", E(Q))运行以上代码，我们可以得到一个表格，如下所示：Q = 1 E(Q) = -50.Q = 2 E(Q) = -49.Q = 3 E(Q) = -46.Q = 4 E(Q) = -43.Q = 5 E(Q) = -40.Q = 6 E(Q) = -36.Q = 7 E(Q) = -33.Q = 8 E(Q) = -30.Q = 9 E(Q) = -26.Q = 10 E(Q) = -23.Q = 11 E(Q) = -21.Q = 13 E(Q) = -17. Q = 14 E(Q) = -16. Q = 15 E(Q) = -16. Q = 16 E(Q) = -16. Q = 17 E(Q) = -17. Q = 18 E(Q) = -18. Q = 19 E(Q) = -20. Q = 20 E(Q) = -23. Q = 21 E(Q) = -26. Q = 22 E(Q) = -29. Q = 23 E(Q) = -33. Q = 24 E(Q) = -37. Q = 25 E(Q) = -42. Q = 26 E(Q) = -46. Q = 27 E(Q) = -51. Q = 28 E(Q) = -56. Q = 29 E(Q) = -61. Q = 30 E(Q) = -67. Q = 31 E(Q) = -72. Q = 32 E(Q) = -78. Q = 33 E(Q) = -84. Q = 34 E(Q) = -89. Q = 35 E(Q) = -95. Q = 36 E(Q) = -101. Q = 37 E(Q) = -108.Q = 39 E(Q) = -121. Q = 40 E(Q) = -128. Q = 41 E(Q) = -135. Q = 42 E(Q) = -142. Q = 43 E(Q) = -150. Q = 44 E(Q) = -158. Q = 45 E(Q) = -167. Q = 46 E(Q) = -176. Q = 47 E(Q) = -186. Q = 48 E(Q) = -196. Q = 49 E(Q) = -207. Q = 50 E(Q) = -219. Q = 51 E(Q) = -232. Q = 52 E(Q) = -246. Q = 53 E(Q) = -261. Q = 54 E(Q) = -277. Q = 55 E(Q) = -294. Q = 56 E(Q) = -312. Q = 57 E(Q) = -332. Q = 58 E(Q) = -354. Q = 59 E(Q) = -379. Q = 60 E(Q) = -406. Q = 61 E(Q) = -435. Q = 62 E(Q) = -467. Q = 63 E(Q) = -500.Q = 65 E(Q) = -565. Q = 66 E(Q) = -593. Q = 67 E(Q) = -616. Q = 68 E(Q) = -633. Q = 69 E(Q) = -642. Q = 70 E(Q) = -643. Q = 71 E(Q) = -636. Q = 72 E(Q) = -621. Q = 73 E(Q) = -601. Q = 74 E(Q) = -579. Q = 75 E(Q) = -555. Q = 76 E(Q) = -533. Q = 77 E(Q) = -514. Q = 78 E(Q) = -497. Q = 79 E(Q) = -483. Q = 80 E(Q) = -471. Q = 81 E(Q) = -458. Q = 82 E(Q) = -444. Q = 83 E(Q) = -430. Q = 84 E(Q) = -416. Q = 85 E(Q) = -402. Q = 86 E(Q) = -387. Q = 87 E(Q) = -373. Q = 88 E(Q) = -360. Q = 89 E(Q) = -346.Q = 91 E(Q) = -320.Q = 92 E(Q) = -307.Q = 93 E(Q) = -295.Q = 94 E(Q) = -283.Q = 95 E(Q) = -271.Q = 96 E(Q) = -259.Q = 97 E(Q) = -247.Q = 98 E(Q) = -236.Q = 99 E(Q) = -224.Q = 100 E(Q) = -213.从表格中，我们可以看到当Q等于70时，期望收益最大，为-643.45元。
报童模型3种例题详解
报童模型3种例题详解报童模型是运用到库存管理中的一种经典模型，用于确定最佳的库存订货量，以最小化库存成本和缺货成本。
下面详细解释三个报童模型的例题：例题1：某商店销售某种商品。
历史数据显示，每天的销售量为10件，每天订货的成本为2元/件，进货价为5元/件，若产品缺货，损失为10元/件。
假设商店每天只能订货一次，求最佳的订货量。
解答：该问题可以使用最小化库存成本和缺货成本的思路来解决。
设x为每次订货量。
当需求量大于等于订货量x时，每天的库存为x-10；当需求量小于订货量x时，每天的库存为0。
对于需求量小于订货量x的天数，损失的总成本为需求量与订货量之差乘以损失成本，即(10-x)*10元；对于需求量大于等于订货量x的天数，成本为每天订货的成本，即x*2元。
因此，总成本为(10-x)*10+x*2，我们的目标是求出该表达式的最小值。
对该表达式求导，得到10-2x，令其等于0，解得x=5。
由于x为整数，最佳的订货量设为5。
例题2：某商店销售某种商品。
该商品每天的需求量服从均值为10，标准差为2的正态分布，每天订货的成本为2元/件，进货价为5元/件，若产品缺货，损失为10元/件。
假设商店每天只能订货一次，求最佳的订货量。
解答：该问题可以使用报童模型的经典公式来解决。
设x为每次订货量。
根据正态分布的性质，需求量小于等于订货量x且大于等于0的概率为P(D ≤ x) = Φ((x-10)/2)，其中Φ为标准正态分布的累积分布函数。
对于需求量小于等于订货量x的天数，损失的总成本为需求量与订货量之差乘以损失成本，即(10-x)*10元；对于需求量大于订货量x的天数，成本为每天订货的成本，即x*2元。
因此，总成本为P(D ≤ x)(10-x)*10 + (1-P(D ≤ x))x*2，我们的目标是求出该表达式的最小值。
根据最小化总成本的目标，我们可以代入Φ((x-10)/2)并求导，得到关于x的一元二次方程。
解该方程，求得最佳的订货量。
报童问题模型
取n使
P1 a b P2 b c
P1~卖不完的概率，a-b ~售出一
份赚的钱
P1 P2
P2~卖超的概率，b-c ~退回一
份赔的钱
0
n
r
(ab )n , (bc)n
4、报童问题的推广与应用
在科学的管理方法和手段在管理实践中运用越来越多的今天 ，管理者同样需要考虑，怎样改进粗放的管理模式，才能提高企 业的管理水平，从而提高企业的效益。在管理实践中，我们会发 现，与报童问题类似的问题非常多，这样我们就可以将报童问题 的研究方法运用到实践中，通过科学的调查、计算，把过去经验 的管理方法，上升到科学的管理方法。
n
G ( n ) [ a ( b ) r ( b c ) n ( r )f( ] r ) ( a b ) n ( r ) f
r 0
r n 1
求n使G(n)最大
求 将r视为连续变量
f(r)p(r)(概率密) 度
解
G ( n ) 0 n [ a b ( ) r ( b c ) n ( r ) p ( r ] ) d n ( a r b ) n ( r ) d pr
报童问题模型
1、报童问题的提出 2、报童问题所属范畴 3、报童模型的建立与求解 4、报童模型的推广与应用
1、报童问题的提出
在日常生活中，经常会碰到一些季节性强、更新快、不易保 存等特点的物品，如海产、山货、时装、生鲜食品和报纸等，当 商店购进这些商品时，买的数量越多，价格越便宜获利越大。但 买得太多也可能卖不出去，需要削价处理，人力物力都受损；如 果进货太少，又可能发生缺货现象，失去销售机会而减少利润。
这就产生一个问题：订货量过多，出现过剩，会造成损失； 订货量少，又可能会失去销售机会，影响利润，那么应该如何确 定订货策略呢？将这一现象具体到报童销售报纸上，就引发了报 童问题：
报童问题模型 ppt课件
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这就产生一个问题：订货量过多，出现过剩，会造成损失； 订货量少，又可能会失去销售机会，影响利润，那么应该如何确 定订货策略呢？将这一现象具体到报童销售报纸上，就引发了报 童问题：
报童问题：
报童每天需订购多少份报纸？
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问 报童售报：(零售价) a > (购进价) b > (退回价) c 题 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
报童问题模型
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1、报童问题的提出 2、报童问题所属范畴 3、报童模型的建立与求解 4、报童模型的推广与应用
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1、报童问题的提出
在日常生活中，经常会碰到一些季节性强、更新快、不易保 存等特点的物品，如海产、山货、时装、生鲜食品和报纸等，当 商店购进这些商品时，买的数量越多，价格越便宜获利越大。但 买得太多也可能卖不出去，需要削价处理，人力物力都受损；如 果进货太少，又可能发生缺货现象，失去销售机会而减少利润。
每天购进多少份使收入最大？
分 购进太多卖不完退回赔钱 析 购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量
存在一个合适的 购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入
等于每天收入的期望
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2、报童问题所属范畴
单周期随机型存贮模型
这种单周期购入—售出（报纸、日历、杂志，各种季节性货物、时 装），并且超出该购入—售出周期商品就会严重贬值的存贮问题，存 贮论中统称为卖报童问题。 这类问题的库存控制策略是以利润期望最大为目标，确定一次购入的 经济订货批量。
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4、报童问题的推广与应用
报童问题模型
§2 报 童 问 题 模 型[问题的提出] 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回．设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，应该自然地假设为a >b>c ．这就是说，报童售出一份报纸赚a -b ，退回一份赔b-c ．报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱．请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入．[问题的分析及假设] 众所周知，应该根据需求量确定购进量．需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是),2,1,0)(( r r f ．有了)(r f 和a ，b ，c ，就可以建立关于购进量的优化模型了．假设每天购进量为n 份，因为需求量r 是随机的，r 可以小于n ，等于n 或大于n ，致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入．从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入．[模型的建立及求解] 记报童每天购进n 份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r ≤n ，则他售出r 份，退回n-r 份；如果这天的需求量r>n ，则n 份将全部售出．考虑到需求量为r 的概率是)(r f ，所以问题归结为在)(r f ，a ，b ，c 已知时，求n 使G(n)最大．通常需求量r 的取值和购进量n 都相当大，将r 视为连续变量更便于分析和计算，这时概率)(r f 转化为概率密度函数)(r p ，(1)式变成计算令0 dndG .得到使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(3)式．因为01)(dr r p ，所以(3)式又可表为根据需求量的概率密度)(r p 的图形很容易从(3)式确定购进量n ．在图2中用1P ，2P 分别表示曲线)(r p 下的两块面积，则(3)式可记作因为当购进n 份报纸时， n dr r p P 01)(是需求量r 不超过n 的概率，即卖不完的概率：n dr r p P )(2是需求量r 超过n 的概率，即卖完的概率，所以（3）式表明，购进的份数 应该使卖不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔b-c 之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多.。
报童数学建模
报童数学建模 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】报童诀窍一、问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。
设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，假设a>b>c 。
即报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c 。
报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。
试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。
二、模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。
假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。
三、模型建立：假设每天购进量是n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于n,，所以报童每天的收入也是随机的。
那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。
从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。
记报童每天购进n 份报纸的平均收入为G(n),如果这天的需求量r<=n,则售出r份，退回n-r 份；如果需求量人r>n,则r 份将全部售出。
需求量为r 的概率是f(r),则问题归结为在()c b a r f ,,,已知时，求n 是G(n)最大。
四、模型求解：购进量n 都相当大，将r 视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r)计算令0=dn dG 得dn dG ()()()()()()dr r p b a dr r p c b n np c a n n ⎰⎰∞-+---=02 得到()()c b b a dr r p dr r p n n--=⎰⎰∞0 n 应满足上式。
()10=⎰∞dr r p 使报童日平均收入达到最大的购进量为()ca b a dr r p n --=⎰0 根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n 在图中用p1,p2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则cb b a P P --=21 O nr因为当购进n 份报纸时，()dr r p P n ⎰=01是需求量r 不超过n 的概率； ()dr r p P n ⎰∞=2是需求量r 超过n 的概率，既卖完的概率，所以上式表明，购进的份数n 应使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔的钱b-c 之比。
报童问题模型
§ 2报童问题模型［问题的提出］报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回.设报纸每份的购进价为b,零售价为a，退回价为c,应该自然地假设为a>b>c.这就是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c •报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱•请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入.［问题的分析及假设］众所周知，应该根据需求量确定购进量•需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r 0,1,2, ) •有了f(r)和a , b, c, 就可以建立关于购进量的优化模型了.假设每天购进量为n份，因为需求量r是随机的，r可以小于n,等于n或大于n,致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入.从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入.［模型的建立及求解］记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r < n,则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量r>n ,则n份将全部售出.考虑到需求量为r的概率是f(r)，所以问题归结为在f (r) , a, b, c已知时，求n使G(n)最大.通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率f (r)转化为概率密度函数p(r), (1)式变成计算第163页^ = (a-b)npM-f <b-c)p(r)dr—(a -6) + (a - b) p( r)dr J H令dG 0.得到 dnI p{r)dr Joa-bI />(r Jdr 由 C J n使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(3)式.因为° p(r)dr 1，所以(3)式又可表为 />(r)dr - a - a c 根据需求量的概率密度 p(r)的图形很容易从(3)式确定购进量 n .在图2中用R , P 2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则(3)式可记作Pi _ a ~ b P tb - cn 因为当购进n 份报纸时，p 1 o p(r )dr 是需求量r 不超过 n 的概率，即卖不完的概率：P 2p(r)dr 是需求量r 超过n 的概率，即卖完n 的概率，所以(3)式表明，购进的份数 应该使卖不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a-b 与退回一份赔 b-c 之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱 之比越大时，报童购进的份数就应该越多第164页=-(b - c) />( r)dr +J 0 (4)。
报童问题——精选推荐
报童问题关于报童问题的分析摘要本⽂讨论了单周期的随即贮存模型——报童问题。
通过运⽤插值拟合等基本模型，运⽤概率论与数理统计、数值积分等背景知识，得出每天报纸需求量的概率分布，建⽴报童收益模型，以达到报童最⼤收益为⽬的，使报童每天的买进量与需求量尽可能地吻合，以使损失最少，收益最⼤。
在问题⼀中，⾸先求出概率分布)(r f 。
再设定每天报纸的买进量是定值，并将其代⼊建⽴好的报童收益模型中求出平均收益最⼤值，得出nr r f =)(，7358.33)(=n MaxG ，200=n 。
在问题⼆中，即将第⼀问中的概率分布)(r f 转化为概率密度)(r p ，在matlab ⼯具箱⼦cftool 中计算得出此时概率密度为正态分布，将问题⼀模型中的求和转化为积分，通过对⽬标通过数值积分等⼿段得出报童每天不同买进量下每天平均收⼊，从⽽分析得出每天的最优报纸进货量n 。
其中2)98.54)1.190(()(--=x er p ，=)(n G 672.84，=n 207。
关键词随即贮存，概率分布，概率密度，平均收益，数值积分1、问题重述1.１问题背景在实际⽣产⽣活过程中，经常会遇到⼀些随时间、地点、背景不同⽽发⽣变化的事物，例如报纸的销售的问题。
如果报纸的销售量⼩于需求量，则会给报童带来缺货损失，失去⼀部分潜在客户，⼀部分报纸失销（为简化计算，在本模型中我们忽略缺货损失）；如果报纸的销售量⼤于需求量，则会导致⼀部分报纸被退回报社，给报童造成⼀部分退货损失，减少盈利。
所以在实际考虑中，应使报纸的购⼊量尽可能地吻合需求量，减少报童的损失，获得更⼤的盈利。
１.２报童获利途径报童以每份0.3元的价格买进报纸，以0.5元的价格出售。
当天销售不出去的报纸将以每份0.2元的价格退还报社。
根据长期统计，假设已经得到了159天报纸需求量的情况。
对现有数据分析，得出报童每天最佳买进报纸量，使报童的平均总收⼊最⼤。
１.３问题提出现在需⽤数学建模解决以下问题：问题1：若将据报纸需求量看作离散型分布，试根据给出统计数据，求出报纸需求量的分布律，并建⽴数学模型，确定报童每天买进报纸的数量，使报童的平均总收⼊最⼤？问题2：若将据报纸需求量看作连续型分布，试根据给出的统计数据，进⾏分布假设检验，确定该报纸需求量的分布，并建⽴数学模型，确定报童每天买进报纸的数量，使报童的平均总收⼊最⼤？２、模型假设（１）假设报童在以后的⽇⼦⾥需求量概率分布概率密度遵循这159天的规律（２）假设不考虑缺货损失（３）假设报童进报纸量达到⼀定数量后不会产⽣贮存等其他费⽤（４）假设报童每天都能买进计算出来的应进报纸量３、符号说明r报纸需求量(rf报纸需求量概率密度（离散型）)p报纸需求量概率密度（连续型）(r)n每天报纸买进量)(n G 报童每天购进n 份报纸的平均收⼊ )(n g报童⼀天的利润收⼊1p n r <时的概率 2p n r >时的概率 i s 每天卖出报纸量 i b每天退回报纸量４、问题分析单周期随机贮存在实际⽣产⽣活中经常遇到，单周期即只订⼀次（缺时也不订），期后可处理余货；随机因素是需求和拖后时间，统计规律为历史资料。
6-报童问题解析
co Prob [Y X ] . cu co
*
缺货成本= Cu = 单位销售额-单位成本 过量成本 ＝Co ＝原始单位成本-单位残值 该解法就是确定X的值 使Y 大于 X 的概率等于 “临界比率”。 注意到 X* 会随着 cu 增加而增加。 X* 会随着 co 增加而减少。
邱灿华 同济大学经济与管理学院
报童问题
一名报童以每份0.20元的价格从发行人那里订购 报纸，然后再以0.50元的零售价格出售。但是， 他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量， 而只是根据以前的经验，知道需求量具有均值为 50份、标准偏差为12份的正态分布。那么他应 当订购多少份报纸呢？
Qiu canhua, Tongji University
*
根据正态表， z = 1.34 ，因此， X* = 30 + 1.34(10) = 43.4. 您应当在下午5点16分出发。
Qiu canhua, Tongji University
超额预售机票问题
一家航空公司发现，一趟航班的持有机票而未登 机（“不露面”）的人数具有平均值为20人、标 准偏差为10人的正态分布。根据这家航空公司的 测算，每一个空座位的机会成本为100美元。乘客 确认票后但因满座不能登机有关的罚款费用估计 为400美元。该航空公司想限制该航班的“超额预 订”。飞机上共有150个座位。确认预订的截止上 限应当是多少？
co 0.40 Prob [Y X ] 0.8. co cu 0.40 0.10
*
查正态分布表得 z = -0.84. 所以应留 X* = 50 - 0.84(12) = 40，或应卖 53 - 40 = 13 份给另一报贩。
Qiu canhua, Tongji University
运营管理(第十一章报童模型)备考题及答案
运营管理Operation Management（第十一章报童模型）习题单选题1.报童模型考虑的成本有订货过多成本和（）。
A仓储成本；B运输成本；C订货过少损失机会成本；D多次订货成本；2.某大型水压机备件使用的历史记录如下，用该历史数据来估算一台新安装水压机的备件使用情况。
缺货成本包括停工费用与专用订货成本，平均为4000元/单位缺货。
备件成本为1000元/个，未用备件残值为0。
没有使用过备件的频率为0.2；使用了1件的频率为0.4；使用了2件的频率为0.3；使用了3件的频率为0.1；使用了4件的频率为0；则最优储备水平为（）。
A 1B 2C 3D 43.某甜品店的新鲜的小烤饼属于当天生产当天销售的产品，而隔夜后则降价处理。
下表是根据历史数据整理的每天销售量及概率。
每打甜饼售价5元，成本为3元，其中包括了处理和运输费用。
如果当天卖不完，就要做隔夜货处理，价格下降为2元。
各需求及需求概率如下：180，0.05；200，0.1；220，0.2；240，0.3；260，0.2；280，0.1；300，0.05；则最优决策量是多少？A 240；B 260；C 280；D 300；4.某花童以每枝0.1美元的价格从花市批发鲜花，然后再以0.4美元的零售价格出售。
但是，她在订购第二天的鲜花时不能确定实际的需求量，而只是根据以前的经验，知道需求量具有均值为60枝、标准偏差为15枝的正态分布。
那么他应当订购多少枝鲜花呢？A 55；B 60；C 70；D 75；5.假设你作为资金筹集者出售南瓜，以0.85美元/个从当地农民那里收购，再以2美元/个出售。
剩余卖不出去的南瓜只能白白送到庆祝晚会上，所以没有残损价值。
求在南瓜的需求正态分布于均值300，标准差为25时的最佳订购量（）。
A 250B 275C 305D 4006.假设你作为资金筹集者出售南瓜，以0.85美元/个从当地农民那里收购，再以2美元/个出售。
剩余卖不出去的南瓜只能白白送到庆祝晚会上，所以没有残损价值。
报童模型的解题步骤
报童模型的解题步骤嘿，咱今儿来聊聊报童模型的解题步骤哈！你说这报童模型，就好像是生活中的一场小冒险。
想象一下，报童每天要决定进多少报纸，进少了，那可能好多人买不着，就少挣钱啦；进多了呢，卖不掉可就亏啦！这可真是个头疼的事儿呢。
第一步呢，咱得搞清楚需求的情况。
就像你要知道每天大概有多少人会来买报纸呀，这可不能瞎猜，得有点根据才行。
然后呢，计算成本和收益。
这报纸进价多少呀，卖出去能赚多少呀，心里得有个数。
接着呀，就得考虑各种可能性啦。
要是进多了会咋样，进少了又会咋样。
这就好比你去参加一个比赛，得想好各种可能出现的情况。
再之后呢，要找到一个平衡点。
不能太保守，也不能太冒进，就像走钢丝一样，得稳稳的。
比如说吧，你要是只想着少进点，万一来了好多人买，你不就傻眼啦？可要是进太多，堆在那卖不出去，那不就浪费啦？这可真得好好琢磨琢磨。
这报童模型的解题步骤啊，其实就跟咱过日子一样。
你得算计着花多少钱，能挣多少钱，不能稀里糊涂的。
咱就说找工作吧，你得考虑这个工作的收入咋样，工作强度大不大，有没有发展前途。
这不就和报童考虑进多少报纸一个道理嘛！还有买东西的时候，你得想想这东西值不值那个价，买了以后用处大不大。
报童模型虽然看起来是个小小的模型，可这里面的道理大着呢！它告诉我们做事情要有规划，要考虑各种情况，不能一拍脑袋就决定。
咱生活中很多事情都可以用报童模型的思路来想想。
比如投资呀，创业呀，都得好好算计一下风险和收益。
所以啊，可别小看了这报童模型的解题步骤，学会了它，说不定能让咱在生活中少走好多弯路呢！怎么样，是不是觉得挺有意思的？好好琢磨琢磨吧！。
报童模型
某批发商准备订购一批圣诞树供圣诞节期间销售。
该批发商对包括订货费在内的每棵圣诞树要支付$2,树的售价为$6。
未售出的树只能按$1出售。
如果他知道节日期间圣诞树需求量的概率分布，问该批发商应该订购多少树？一名报童以每份元的价格从发行人那里订购报纸，然后以元的价格售出。
但是，他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量，而根据以前的经验，他知道需求量具有均值为50份、标准差为12份的正态分布。
那么，他应当订购多少份报纸呢？假定报童已53份报纸，而另一报贩愿以每份元买入，有多少买多少。
那么，报童应当卖给该报贩多少份报纸呢？基本思路：单周期库存问题决策侧重于定货批量，没有订货时间决策问题；订货量等于需求预测量；库存控制的关键：确定或估计需求量；预测误差的存在导致二种损失（成本）：欠储（机会）成本：需求量大于订货量导致缺货而造成的损失；超储（陈旧）成本：需求量小于订货量导致超储而造成的损失；机会成本或超储成本对最佳订货量的确定起决定性的作用。
（1）期望损失最小法比较不同订货量下的期望损失，取期望损失最小的订货量作为最佳订货量。
已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件则：单件机会成本：Cu=P – C单件超储成本：Co=C-S当订货量为Q时，期望损失为：式中P(d)为实际需求量为d时的概率某商店挂历需求的分布率：已知，进价为C=50元/每份，售价P=80元/每份。
降价处理S=30元/每份。
求该商店应该进多少挂历为好。
（2）期望利润最大法比较不同订货量下的期望利润，取期望利润最大的订货量作为最佳订货量。
已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件则：单件收益：Cu=P - C单件超储成本：Co=C-S当订货量为Q时，期望利润为：式中P(d)为实际需求量为d时的概率某商店挂历需求的分布率：（3）边际分析法考虑：如果增加一个产品订货能使期望收益大于期望成本，那么就应该在原订货量的基础上追加一个产品的订货。
报童模型——物流案例
关于确定订货量的参考方法——报童模型引言：报童模型的引入：公司目前采用的订货策略是根据现有的资金最大限度的采购原蜜，对于其科学性，我们暂时保留意见，下面我们将引入一种更加有说服力的确定订货量的方法——报童模型。
一、已知数据：年销量/产量output=5000吨; 年产值sales=14250万；利税B=777万；年库存总费用H=700万；单位原蜜购买成本c=9000元/吨；二、使用报童模型求解小蜜蜂工厂原蜜订货量问题的几点假设：1、假设小蜜蜂工厂的库存模型为单周期的。
依据：虽然由表中可以看出小蜜蜂每年的采购次数为5次，但是实际上这5次采购是发生在全国5个不同的采购基地，并且是花种花期都不同，故可以将其分开来单独处理。
(例如五月份采购入库的是洋槐花蜜，需满足全年的洋槐花蜜的需求)。
2、由于市场上蜂蜜行业的现状是供不应求，因此工厂存货过多导致的超储成本主要是库存维持成本，而不是传统意义上的对多余库存作处理价售出而造成的损失；3、若工厂存货不足，则导致欠储成本。
基于综合因素的考虑，我们假定欠储成本包括两个部分：一是机会损失，即本应该获得的利润损失（=售价—成本）；二是由缺货引起的商家信誉受损或客户流失造成的损失(用x表示)。
三、无预算约束的报童模型公式: F(q*)=c u/(c u+c o)其中，F(X)为蜂蜜需求分布函数（可能是正态分布函数，也可能是负指数分布等），c u 表示欠储成本，c o表示超储成本。
根据假设：欠储成本=机会利润损失+客户流失损失(c u=p-c+x);超储成本=库存维持费用(h)处理后的报童模型公式：F(q*)= (p-c+x) /( p-c+x+h)即q*=F-1[(p-c+x) /( p-c+x+h)]单位库存费用h=年库存总费用/平均库存水平=4098元/(年*吨)；单位产品平均售价p=年产值/年销量=28500元/吨；1、缺货不存在客户流失的情况（更符合实际情况，因蜂蜜目前属于供不应求产品，即x=0）直接将数据带入公式计算，查需求分布函数值表，最后可求得最优订货量。
报童模型推导过程
报童模型推导过程引言报童模型是运筹学中的一个经典问题，用来研究在确定需求不确定的情况下，如何进行订货决策以最大化利润或最小化成本。
该模型可以应用于各种销售场景，如零售业、餐饮业等。
本文将详细介绍报童模型的推导过程，以帮助读者更好地理解该模型的基本原理和应用方法。
问题描述在介绍推导过程之前，我们首先来明确报童模型的问题描述和假设条件。
假设一个报摊要在每天早上采购某种报纸供应给顾客，报纸当日的需求是随机的，报刊杂志店的利润等于报纸售价与进货价之间的差值，当售出的报纸数量超过需求时，超过的部分将无法销售并造成损失。
问题描述如下： - 每天早上只能进行一次订货，订货量为Q， - 报纸的需求量是随机的且服从已知的概率分布，可以假设为离散分布， - 报纸进货价格为C，售价为P，超过需求的报纸不可退还，且销售价格与需求量无关。
根据以上描述，我们的目标是通过确定订货量Q来使得期望利润最大化或者期望成本最小化。
推导过程为了求解最优的订货量Q，我们需要先通过数学推导建立相应的模型。
第一步：建立利润函数我们假设需求的概率分布为离散变量，其中每个需求量和对应的概率分别为d和P(d)。
那么对于每个可能的需求量d，利润可以表示为售价P与进货价C之差乘以实际售出的报纸数量min(d,Q)。
因此，对于每个订货量Q，我们可以计算出对应的利润。
定义利润函数f(Q)为：f(Q)=P⋅min(d,Q)−C⋅Q第二步：计算期望利润为了得到期望利润，我们需要计算利润函数对应于每个可能的需求量的加权平均值。
因此，期望利润E(Q)可以表示为：(d)⋅f(Q)E(Q)=∑Pd第三步：求解最优订货量我们的目标是通过求解最优订货量Q来使期望利润最大化或者最小化。
针对最大化期望利润的情况，我们需要对利润函数求导并找到使导数等于0的订货量。
第四步：求导计算对利润函数f(Q)进行求导，我们得到：df(Q)=P⋅I(Q>d)−CdQ其中，I(Q > d)为指示函数，当Q > d时取值为1，否则为0。
2.3报童问题模型
demand uncertainty order placed (and delivered) before demand is known unmet demand is lost unsold inventory at the end of the period is discard (or salvaged at lower value)
Demand d(i) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Probability p(i) 0.01 0.02 0.04 0.08 0.09 0.11 0.16 0.20 0.11 0.10 0.04 0.02 0.01 Cumulative Prob. P(i) = Pr( D < d(i) ) 0.01 0.03 0.07 0.15 0.24 0.35 0.51 0.71 0.82 0.92 0.96 0.98 0.99
0 n
n
结果解释Βιβλιοθήκη p ( r ) dr a b p ( r ) dr b c
0 n
n
p(r )dr P , p(r )dr P
0 1 n
n
2
p(r)
取n 使
P a b 1 P2 b c
P1~卖不完的概率，a-b ~售出一 份赚的钱
P2~卖超的概率，b-c ~退回一 份赔的钱
15
16 17
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0.02
0.01 0.01
0.98
0.99 1.00
0.02
0.01 0.00
13-17
LLBean: Expected Profit
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问 题
报童模型
报童售报：(零售价) a > (购进价) b > (退回价) c 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 每天购进多少份使收入最大？ 购进太多→卖不完退回→赔钱 → → 购进太少→不够销售→赚钱少 应根据需求确定购进量 每天需求量是随机的 每天收入是随机的 存在一个合 适的购进量
分 析
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望
准 备 建 模
调查需求量的随机规律——每天 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2… • 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) 日平均收入为 • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
r≤n
售出r , 退回n − r
n ∞
∞
dG =0 dn
∫ p ( r ) dr = a − b b − c ∫ p ( r ) dr
0 Байду номын сангаас n
n
结果解释
n
∫ p ( r ) dr = a − b b − c ∫ p ( r ) dr
0 ∞ n
n
∫ p(r )dr = P , ∫ p(r )dr = P
0 1 n
∞
2
取n使
P1 a −b = P2 b − c
∞
G(n) = ∫0 [(a −b)r −(b −c)(n − r)]p(r)dr+ ∫n (a −b)np(r)dr
n dG = (a − b)np(n) − ∫0 (b − c) p(r )dr − (a − b)np(n) dn
+ ∫n (a − b) p(r )dr = −(b − c) ∫0 p(r )dr + (a − b) ∫n p(r )dr
赚(a − b)r , 赔(b − c)(n − r )
r>n
n r =0
售出n, 赚(a − b)n
r =n+1
G(n) = ∑[(a − b)r − (b − c)(n − r)] f (r ) +
求n使G(n)最大
∑ (a − b)nf (r)
∞
求 解
将r视为连续变量
n
f (r ) ⇒ p (r ) (概率密度）
p(r)
a-b ~售出一份赚的钱 b-c ~退回一份赔的钱
P1 0 n P2 r
(a − b) ↑⇒ n ↑, (b − c) ↑⇒ n ↓