中国计量学院期末考试09-10高数A2.试卷答案

中国计量学院2009 ~ 2010 学年第二学期 《高等数学(A)（2）》课程考试试卷（B ）

参考答案及评分标准

开课二级学院：_____ ，学生班级： ，教师： 一、单项选择题（每小题3分, 共15分) 1．B 2．C 3．C 4．D 5．B 二、填空题（每小题3分，共15分) 1．12dx dy +

2．5

3

3．2(,)x f a b '

4．230+-=y z 5．18π 三、计算题(每题7分；共56分)

1．解： 设平面方程为 0+++=Ax By Cz D

根据题意有000+++=⎧⎪

-+=⎨⎪++=⎩

A B C D B C D A B C （4分）

所以有0=D ；::2:1:1=-A B C 所求平面方程为 20--=x y z （3分） 2．解：

21212()2()4,z z u z v u v x y x y x x

u x

v x

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=

+

=⋅+⋅=++-= （3分）

()21212()2(

)4.z z u z v

u v

x y x y y y

u y

v y

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=

+

=⋅+⋅-

=+--= （4分）

3解：D 是由2

2y x =及2

1y x =+所围成的闭区域 也就是{

}22

(,)11,21=-≤≤≤≤+D x y x x y x

（3分）

()

{}

2

2

2

2111

11

20

212

2

4

(2)(2)22322

1415

++-+=+==+-=

⎰⎰⎰

⎰

⎰⎰

⎰

x x x

x

D

x y dxdyD dx x y dy dx ydy

x x

dx （4分）

4．解：计算三重积分:zdxdydz Ω

⎰⎰⎰，其中Ω是由旋转抛物面22

1()2

z x y =

+及平面1z =所

围成的闭区域．

解： {}(,,)(,),01z x y z x y D z Ω=∈≤≤,其中z D ：222x y z +≤ (+2分)

故10

z

D zdxdydz zdz dxdy Ω

=

⎰⎰⎰⎰

⎰⎰12

22 3

z dz ππ

==

⎰

(+5分)

5．解： 设2

2

22

(,),(,)y x P x y Q x y x y

x y

=

=-

++，因为()()22

:111L x y -+-=，

所以22

0x y +≠，而且有

()

2

2

2

2

2

Q x y

P x

y

x

y

∂-∂=

=

∂∂+， .(3分)

故由格林公式得2

2

L

ydx xdy I x y

-=

+⎰

0xy D Q P dxdy x y ⎛⎫

∂∂=

-= ⎪∂∂⎝

⎭⎰⎰ .(4分)

6．解：计算⎰⎰∑

++dxdy z dzdx y dydz x 2

2

2

，∑是抛物面22y x z +=被平面1=z 所截下的有

限部分的下侧。 解：由对称性知：

2

2

0x dzdy y dxdz ∑

∑

=

=⎰⎰

⎰⎰

（3分）

3

20

10

5

2

π

θ

π-

=-=⎰

⎰

⎰⎰

∑

dr r d dxdy z .(4分)

7．解：2

1

1111()43

(1)(3)

213f x x x x x x x ⎛⎫=

=

=

- ⎪++++++⎝⎭

11111111221412214124x x x x ⎛

⎫ ⎪

⎛⎫ ⎪=-=- ⎪

--+-+-⎛⎫⎛

⎫ ⎪⎝⎭++

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭

. (3分) ()()

111

11111113, 1,351144

2884112

4

n

n

n

n

n n x x x x x x ∞

∞

==--⎛⎫

⎛⎫=

--<<=--<< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

+

+

∑∑

所以原式()()

1

111()11 4

284n

n

n

n

n n x x f x ∞

∞

==--⎛⎫

⎛⎫

=

--- ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

∑∑