高中空间几何所有证明题图形汇总

空间几何证明
1、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。

2、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．
3、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.
求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1
AC ⊥面11AB D ．
A
E
D 1
C
B 1
D
C
B
A
S
D
C
B
A
D 1
O
D
B
A
C 1
B 1
A 1
C
N M P C B
A
4、正方体''''ABCD A B C D -中， 求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；
（2）''BD ACB ⊥平面.
5、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．
6、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，
3AN NB =
（1）求证：MN AB ⊥；
（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。

A A
B 1 B
C 1
C D 1
D G
E F
7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG .
8、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .
9、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ；
（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．
10、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．
（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；
11、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ， 作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ． 求证：AH ⊥平面BCD ．
3. 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。

考点：线面平行的判定
4. 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥
又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥
又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定
5. 证明：（1）连结11A C ，设11111
A C
B D O ⋂=，连结1AO ∵ 1111ABCD A B
C
D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形
∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =
11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴⊂
∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D
（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111
A C
B D ⊥∵， 1111B D A
C C ∴⊥面 1
11AC B D ⊥即 同理可证11A C AD ⊥， 又1111
D B AD D ⋂=
∴1A C ⊥面11AB D
考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 考点：线面垂直的判定
7. 证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ． 同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．
而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．
(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．
从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．
考点：线面平行的判定（利用平行四边形）
9. 证明：（1）取PA 的中点Q ，连结,MQ NQ ，∵M 是PB 的中点，
∴//MQ BC ，∵ CB ⊥平面PAB ，∴ MQ ⊥平面PAB
∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ，取 AB 的中点D ，连结 PD ，∵,PA PB =∴PD AB ⊥，又3AN NB =，∴BN ND =[来源:学§科§网] ∴//QN PD ，∴QN AB ⊥，由三垂线定理得MN AB ⊥
（2）∵90APB ∠=，,PA PB =∴1
22
PD AB ==，∴1QN =，∵MQ ⊥平面PAB .∴MQ NQ ⊥，且
1
12
MQ BC ==，∴2MN =
考点：三垂线定理
10. 证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D G
EB ∴四边形1D GBE 为平行四边形，1D E ∥GB
又1D E ⊄平面BDG ，GB ⊂平面BDG ∴1D E ∥平面BDG
1EF D E E
⋂=，∴平面1D EF ∥平面BDG
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线） 证明：（1）设AC BD O ⋂=，
∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1A C ∥EO
又1
AC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴1A C ∥平面BDE （2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ⊥ 又BD AC ⊥，
1AC AA A
⋂=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1A AC
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定
12.证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥ 又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角
在Rt PAD ∆，42PD =Rt DCE ∆中，22DE =在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠= 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形
13. 证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD
（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，
PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥
（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥
∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角
在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴045PBG ∠=
考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）
14. 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥．
∵AD BD =，∴DF AB ⊥． 又CF
DF F =，∴AB ⊥平面CDF ．
∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B ⋂=， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．
∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E ⋂=，
∴ AH ⊥平面BCD ．
考点：线面垂直的判定。