三棱锥的外接球
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2
c a
b
3.三视图的投影规律：
长对正，高平齐，宽相等.
课堂探 究
问题1：长方体或正方体的体对角线和体心与它的外接球有什么关 系？
答： （1）体对角线等于外接球的直径；
（2）体心和球心重合.
问题2：边长为2的正方体的外接球的表面积为多少？
解：体对角线 l 3a2 12 2 3
则外接球的半径 r 3
重点、难点：
重点：三棱锥的外接球的还原方法；外接球半径的求法. 难点：“切割”和“整体与局部”思想的理解.
复习回 顾 1.球的表面积和体积公式（半径为 r ）：
（1）球的表面积公式： S 4r 2 4 （2）球的体积公式： V r 3 3
r
2.长方体与正方体的体对角线：
（1）长方体的体对角线： l a 2 b2 c 2 （2）正方体的体对角线： l 3a
高考总复习之专题突破
§专题复习：三棱锥的外接球
石屏一中
朱雪清
学习导 航
学习目标：
（1）知识与技能目标：通过本节复习，能够熟悉的掌握三棱 锥的外接球的表面积和体积的求法. （2）过程与方法目标：在探究三棱锥的外接球的过程中，体 会“切割”、“化归”及“局部和整体”的思想.
（3）情感、态度与价值观目标：通过本节复习,培养数形结合 的思想，抽象概括能力及创新意识.
所以，外接球的表面积 为S 4r 2
3 . 2
课堂探 究
类型一：正四面体的外接球问题
方法：把正四面体补充成正方体.
在等腰梯形 ABCD中，AB 2CD 2，DAB 60 , E为AB的中点，将 ADE
与BEC分别沿ED, EC向上折起，使 A, B重合于点P，则三棱锥 P DCE的外接
d
R
r
复习回 顾
类型四：平面截球的三棱锥外接球问题
方法：设球心到截面的距离为 d ，球的半径为 R，截面圆的半径为
r ，则有
R2 d 2 r 2 .
一个空间几何体的三视 图如图所示，则该几何 体的外接球的表面积
为
4
P 正视图
1 1 1 1
侧视图
俯视图
A B
O
C
复习回 顾
类型四：平面截球的三棱锥外接球问题
所以，外接球的表面积 为S 4r 2 12
课堂探 究
问题3：假如一个正方体的8个顶点都在同一个球的球面上，那么 任意选出4个顶点，这4个顶点还在该球的球面上吗？
A D
答： 在
B
C
问题4：正四面体有什么特征？在正方体中能否切割出一个正 四面体？
A D
（ 1 ）正四面体的所有棱长 都相等； 答： （2）正四面体的四个面都 是全等的等边三角形 .
球的体积为
D
6 8
C
D P（A）
C A E B E
课堂探 究
类型二：三垂直的四面体的外接球问题
方法：把该四面体补充成正方体或者长方体.
三棱锥P ABC中，侧棱AB, AC, AP两两垂直， ABC, ACP, APB的
面积分别为
P
2 3 6 ， ， ，则该三棱锥外接球的 表面积为 2 2 2
1.球的表面积公式和体积公式：
（1）球的表面积公式： S 4r 2 4 （2）球的体积公式： V r 3 3
2.四种类型的三棱锥的外接球问题求解：
类型一：正四面体的外接球问题 类型二：三垂直的四面体的外接球问题 类型三：双垂直的四面体的外接球问题 类型四：平面截球的三棱锥外接球问题
课堂探 究
r ，则有
R2 d 2 r 2 .
如图所示的三棱锥 D ABC的四个顶点均在球 O的球面上， ABC
源自文库
和DBC所在的平面互相垂直， AB 3，AC 3, BC CD BD 2 3,
则球O的表面积为
16
D
O C O1 B
A
课堂探 究
类型四：平面截球的三棱锥外接球问题
6
A C
B
课堂探 究
类型三：双垂直的四面体的外接球问题
方法：把该四面体补充成正方体或者长方体.
三棱锥P ABC中，PA 平面ABC，AC CB, AC CB 1 ，PA 3,
则该三棱锥的外接球的 表面积为
P
5
A B
C
课堂探 究
类型三：双垂直四面体的外接球问题
方法：把该四面体补充成正方体或者长方体.
方法：设球心到截面的距离为 d ，球的半径为 R，截面圆的半径为
r ，则有
R2 d 2 r 2 .
一个空间几何体的三视 图如图所示，则该几何 体的外接球的表面积
为
16 3
P
正视图
3
侧视图 O
1
俯视图
1
1
A
B O1 C
课堂探 究
类型四：平面截球的三棱锥外接球问题
方法：设球心到截面的距离为 d ，球的半径为 R，截面圆的半径为
52 9
B.20 C .8
A.
D.
52 3
方法：设球心到截面的距离为 d ，球的半径为 R，截面圆的半径为
r ，则有
R2 d 2 r 2 .
三个半径均为 3的球O1, O2 , O3与半径为 1 的球I两两外切，则以 O1, O2 , O3和I为四个顶点的三棱锥外 接球的半径为
I
4
O2 O1 O4 O O3 O O1
O4
课堂小 结
如图是一个空间几何体 的三视图，则该几何体 的外接球的表面积为
8
正视图 2
侧视图
1 2 1
俯视图 P
2
2
A B
C
复习回 顾
类型四：平面截球的三棱锥外接球问题
方法：平面截球的截面是圆，设球心到截面的距离为 d ，球的半径为 R ，截面 圆的半径为 r ，则有 R 2 d 2 r 2 . 注：（1）圆的直径所对的圆周角等于90°； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （3）等边三角形三线合一，重心是中线的三等分点.
B
（3）正四面体的对棱互相 垂直. 能在正方体中切割出一 个正四面体，如图所示 .
C
课堂探 究
问题5：棱长为 1的正四面体的外接球的表面积为多少？
A D
解：把正四面体补充成 一个正方体，如图所示 ， 已知正四面体的棱长为 1，由勾股定理可得：
B
C
2 正方体的棱长为 ， 2 3a 2 6 外接球的半径 r ， 2 4
如下图所示，在正三棱 锥P ABC中，E、F分别是PA, AB的中点， CEF 90 , 若AB 2, 则该三棱锥的外接球的 表面积为 4
P E
A F C
B
直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面 上，若AB AC AA 1 2
BAC 120 , 则此球的表面积等于 B
c a
b
3.三视图的投影规律：
长对正，高平齐，宽相等.
课堂探 究
问题1：长方体或正方体的体对角线和体心与它的外接球有什么关 系？
答： （1）体对角线等于外接球的直径；
（2）体心和球心重合.
问题2：边长为2的正方体的外接球的表面积为多少？
解：体对角线 l 3a2 12 2 3
则外接球的半径 r 3
重点、难点：
重点：三棱锥的外接球的还原方法；外接球半径的求法. 难点：“切割”和“整体与局部”思想的理解.
复习回 顾 1.球的表面积和体积公式（半径为 r ）：
（1）球的表面积公式： S 4r 2 4 （2）球的体积公式： V r 3 3
r
2.长方体与正方体的体对角线：
（1）长方体的体对角线： l a 2 b2 c 2 （2）正方体的体对角线： l 3a
高考总复习之专题突破
§专题复习：三棱锥的外接球
石屏一中
朱雪清
学习导 航
学习目标：
（1）知识与技能目标：通过本节复习，能够熟悉的掌握三棱 锥的外接球的表面积和体积的求法. （2）过程与方法目标：在探究三棱锥的外接球的过程中，体 会“切割”、“化归”及“局部和整体”的思想.
（3）情感、态度与价值观目标：通过本节复习,培养数形结合 的思想，抽象概括能力及创新意识.
所以，外接球的表面积 为S 4r 2
3 . 2
课堂探 究
类型一：正四面体的外接球问题
方法：把正四面体补充成正方体.
在等腰梯形 ABCD中，AB 2CD 2，DAB 60 , E为AB的中点，将 ADE
与BEC分别沿ED, EC向上折起，使 A, B重合于点P，则三棱锥 P DCE的外接
d
R
r
复习回 顾
类型四：平面截球的三棱锥外接球问题
方法：设球心到截面的距离为 d ，球的半径为 R，截面圆的半径为
r ，则有
R2 d 2 r 2 .
一个空间几何体的三视 图如图所示，则该几何 体的外接球的表面积
为
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P 正视图
1 1 1 1
侧视图
俯视图
A B
O
C
复习回 顾
类型四：平面截球的三棱锥外接球问题
所以，外接球的表面积 为S 4r 2 12
课堂探 究
问题3：假如一个正方体的8个顶点都在同一个球的球面上，那么 任意选出4个顶点，这4个顶点还在该球的球面上吗？
A D
答： 在
B
C
问题4：正四面体有什么特征？在正方体中能否切割出一个正 四面体？
A D
（ 1 ）正四面体的所有棱长 都相等； 答： （2）正四面体的四个面都 是全等的等边三角形 .
球的体积为
D
6 8
C
D P（A）
C A E B E
课堂探 究
类型二：三垂直的四面体的外接球问题
方法：把该四面体补充成正方体或者长方体.
三棱锥P ABC中，侧棱AB, AC, AP两两垂直， ABC, ACP, APB的
面积分别为
P
2 3 6 ， ， ，则该三棱锥外接球的 表面积为 2 2 2
1.球的表面积公式和体积公式：
（1）球的表面积公式： S 4r 2 4 （2）球的体积公式： V r 3 3
2.四种类型的三棱锥的外接球问题求解：
类型一：正四面体的外接球问题 类型二：三垂直的四面体的外接球问题 类型三：双垂直的四面体的外接球问题 类型四：平面截球的三棱锥外接球问题
课堂探 究
r ，则有
R2 d 2 r 2 .
如图所示的三棱锥 D ABC的四个顶点均在球 O的球面上， ABC
源自文库
和DBC所在的平面互相垂直， AB 3，AC 3, BC CD BD 2 3,
则球O的表面积为
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O C O1 B
A
课堂探 究
类型四：平面截球的三棱锥外接球问题
6
A C
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课堂探 究
类型三：双垂直的四面体的外接球问题
方法：把该四面体补充成正方体或者长方体.
三棱锥P ABC中，PA 平面ABC，AC CB, AC CB 1 ，PA 3,
则该三棱锥的外接球的 表面积为
P
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A B
C
课堂探 究
类型三：双垂直四面体的外接球问题
方法：把该四面体补充成正方体或者长方体.
方法：设球心到截面的距离为 d ，球的半径为 R，截面圆的半径为
r ，则有
R2 d 2 r 2 .
一个空间几何体的三视 图如图所示，则该几何 体的外接球的表面积
为
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P
正视图
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侧视图 O
1
俯视图
1
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A
B O1 C
课堂探 究
类型四：平面截球的三棱锥外接球问题
方法：设球心到截面的距离为 d ，球的半径为 R，截面圆的半径为
52 9
B.20 C .8
A.
D.
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方法：设球心到截面的距离为 d ，球的半径为 R，截面圆的半径为
r ，则有
R2 d 2 r 2 .
三个半径均为 3的球O1, O2 , O3与半径为 1 的球I两两外切，则以 O1, O2 , O3和I为四个顶点的三棱锥外 接球的半径为
I
4
O2 O1 O4 O O3 O O1
O4
课堂小 结
如图是一个空间几何体 的三视图，则该几何体 的外接球的表面积为
8
正视图 2
侧视图
1 2 1
俯视图 P
2
2
A B
C
复习回 顾
类型四：平面截球的三棱锥外接球问题
方法：平面截球的截面是圆，设球心到截面的距离为 d ，球的半径为 R ，截面 圆的半径为 r ，则有 R 2 d 2 r 2 . 注：（1）圆的直径所对的圆周角等于90°； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （3）等边三角形三线合一，重心是中线的三等分点.
B
（3）正四面体的对棱互相 垂直. 能在正方体中切割出一 个正四面体，如图所示 .
C
课堂探 究
问题5：棱长为 1的正四面体的外接球的表面积为多少？
A D
解：把正四面体补充成 一个正方体，如图所示 ， 已知正四面体的棱长为 1，由勾股定理可得：
B
C
2 正方体的棱长为 ， 2 3a 2 6 外接球的半径 r ， 2 4
如下图所示，在正三棱 锥P ABC中，E、F分别是PA, AB的中点， CEF 90 , 若AB 2, 则该三棱锥的外接球的 表面积为 4
P E
A F C
B
直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面 上，若AB AC AA 1 2
BAC 120 , 则此球的表面积等于 B