机械工程基础课件单元五直梁弯曲
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2.5直梁弯曲
M(+)
max
σ M为正:上压（负） (c)
σ+ max
下拉（正）
M(-)
M(-)
σ+ max
ym-ax
(b)
M为负:上拉（正） y+
max
下压（负）
(c)
σm-ax
σ在横截面上的分布规律——线性分布:中性轴上点正应力
为0，距中性轴越远的点正应力绝对值越大。
M 29 y
Iz
截面最大正应力σmax
y
2.使dx 微段有顺时针转动
趋势的剪力为正。
+m
Q
Q
m
dx
这样，在截面左侧向上的外力F 或右侧向下的 外力F 将产生正的剪力Q 。
外力F “左上右下”产生正的剪力Q 11
剪力正负号的规定
1.使dx 微段有 左端向下而右 端向上的相对错动时，横截 面 m-m 上的剪力为负 。
2.使dx微段有逆时针转动 趋势的剪力为负。
3.梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的 弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中 力偶的大小。
19
2.5.3纯弯曲时梁截面上的正应力
1.横力弯曲 既有弯矩，又有剪力（图中AC 段和BD 段 ） 2. 纯弯曲 只有弯矩而无剪力的弯曲（图中AB 段 ）
Ｐa
aＰ
CA
BD
Q
P
+x
P
-
P
M
Pa
-
x
实验观察
_m
弯矩为为负。
梁弯曲凸向上时，截面弯矩为负 m
（凸向上）
外力矩“左顺右逆”产生正的弯矩
13
例2-14 外伸梁AD 。计算E、B、C 截面上的内力。
梁的弯曲(工程力学课件)
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。
第5章梁弯曲内力
c,max 46.1MPa c
（5）C截面要不要校核？
t,max
2.5103 88103 7.64 106
28.8106 Pa 28.8MPa t
44
本章小结
一、知识点 1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力 2、明确剪力和弯矩的概念，及剪力和弯矩的正负号规定 3、熟练建立剪力方程、弯矩方程，绘制剪力图和弯矩图 4、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值和弯曲正应
分布载荷向上（q > 0），抛物线呈上凹形；
分布载荷向下（q < 0），抛物线呈下凹形。
3. 剪力Fs=0处，弯矩取极值。 4. 集中力作用处，剪力图突变；
集中力偶作用处，弯矩图突变 27
载荷集度、剪力和弯矩关系：
FS 图
q(x)=0的区间
水平线
q(x)=C的区间
集中力F作用处
力偶M作用 处
q(x)>0,斜直线，斜率>0 q(x)<0,斜直线，斜率<0
0 x l
ql
M x＝qx2 / 2 0 x l
依方程画出剪力图和弯矩图
x
ql 2 / 2 由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯
矩分别为
M
ql 2 / 8
FS max＝ql
M max＝ql 2 / 2 22
4
x
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
图示简支梁C点受集中力作用
FS－ x和 M－x 坐标系中。
7qa/4 qa （-） qa
x 5．根据微分关系连图线
81qa2/32Mq源自2（+）x
直梁的弯曲 PPT
AC段：
Q1 RA 935N
A
RA
a
P1
C l/2
P2 P3 b
D
E
B
RB
M1 RA x 935x
l
Q2 RA P CD段： 1 435N
M 2 RA x P x 125 1 ( x a) 435
Q3 RA P DE段： 1P 2 565N
剪力
a
A
1 1C
P
P
D
a
B
RA
x1 Q1
RB
M1
Y 0
Q1 RA P
RA
M1
RA Q1 0
P
Q1
P
RB
弯矩
M 0
M1 RA x1 Px1
求2-2截面内力：以右段为对象 剪力Y 0
RA Q2 P 0
Q2 P RA 0 M2 P a
M ydA
A
弯矩阻止该截面在外力矩作用下所发生的进一步转 动，并且力图恢复梁的原形。
二、剪力和弯矩的计算
剪力计算法则：梁任一横截面上的剪力等于 该截面一侧（左侧或右侧都可）所有横向外力的 代数和。 截面左侧向上的外力和截面右侧向下的外力 取正值；截面左侧向下的外力和截面右侧向上的 外力取负值。 P P Q Q Q Q P P Q=-P<0 Q=-P<0 Q=P>0 Q=P>0
M 0 Y 0
A
RB a 5Fa F 2a RAa 0
RB RA F
RB 2 F RA F
y F 1A2 1 2
Me =5Fa a
3 4 3 4 B
1_第五章章 直梁抗弯强度计算
第二节
剪力和弯矩
图5-8 外伸梁
解1)求支座反力： 取整梁为研究对象，设FA、ＦB方向向上，列 平衡方程
第二节
剪力和弯矩
2)求各截面的剪力和弯矩：1-1截面左侧(图5-8b)，得 二、剪力图和弯矩图 (1)绘制梁内力图的基本方法和步骤 1)求支座反力。
第二节
剪力和弯矩
5M9.t作用处，以及分布载荷 的分布规律变化处(对均布载荷而言，
5M18.tif
3.组合截面惯性矩、平行移轴公式
第三节
(1)平行移轴公式
梁弯曲时横截面上的应力
工程上，梁常用的横截面形状，除了有简单的矩
形、圆形截面外，还有一些比较复杂的形状,这些截面可以看成由简 单截面组合而成。 (2)组合截面惯性矩的计算 由惯性矩定义可知，组合截面对某轴的
惯性矩等于各简单形状截面对同一轴惯性矩之和。
第四节
梁弯曲时的强度计算
图5-26 改善载荷的布置
2.选择合理的截面形状
(1)根据抗弯截面系数与截面面积的比值Wz/A选择截面
梁的承载能
力与抗弯截面系数Wz成正比，而用料的多少又与截面面积A成正比， 所以合理的截面形状应该是在截面积相同的情况下具有较大的抗弯 截面系数。
第四节
梁弯曲时的强度计算
表5-2 /A比值
第四节
梁弯曲时的强度计算
5M22.tif
解1)作弯矩图(图5-22b)。截面B有最大的负弯矩值，截面C有最大 正弯矩值。
第四节
3)校核强度。
梁弯曲时的强度计算
2)计算截面形心的位置及对中性轴的惯性矩。
二、提高梁弯曲强度的措施 1.降低最大弯矩值M (1)合理布置梁的支座 以简支梁受均布载荷作用为例(图5-23a),跨中
《直梁的弯曲》课件
《直梁的弯曲》PPT课件
本课程将帮助您理解直梁的弯曲，包括定义、应用案例，以及实际应用中的 受力分析等方面。
直梁的定义
1 形态多样
2 材料广泛
直梁可以是长方形、圆形、 梯形、等腰三角形，还可 以是不规则截面，具有很 强的适应性。
直梁可以是钢、木材、混 凝土等多种材料，根据实 际情况选用不同材料可以 使得设计更加符合实际。
3 用途广泛
直梁用于桥梁工程、建筑 工程、机械制造等领域， 是一项非常重要的工程基 础。
采用欧拉-伯努利梁理论
基本假设
梁的截面上任意点的平面仍保 持平面状态，不发生大变形。
导出方程
欧拉-伯努利梁理论是从平衡方 程、应变-位移关系和恒定体积 原理出发导出的。
适用范围
该理论假设梁的变形很小，仅 适用于杆件长度较大、截面尺 寸较小的杆件。
2
跨河大桥建设
建设跨河大桥需要使用钢梁，而钢梁又需要经过精准的计算和设计，方能达到给定的跨度和 承重能力。
3
机械制造中的应用
在机械制造行业，还会使用直梁的弯曲原理来进行设计和计算，准确的计算对机械的使用寿 命和安全性大有裨益。
结论与展望
弯曲问题解决
通过本课程，您已经了解了直梁的弯曲和相关 应用，能够对各种弯曲问题做出准确的分析。
梁受力分析
弯矩分析
计算梁的弯曲应变，通过弯矩分 析得到相关参数。
轴力分析
梁受到压力和张力作用，分析力 的产生和传递。
剪力分析
梁受到剪力的作用，分析梁受剪 切变形带来的影响。
应用案例分析
1
地铁路基工程
地铁是当今城市中交通工具使用最频繁的，而交通干道、大楼和其他设施往往会影响到地铁， 需要使用直梁解决问题。
本课程将帮助您理解直梁的弯曲，包括定义、应用案例，以及实际应用中的 受力分析等方面。
直梁的定义
1 形态多样
2 材料广泛
直梁可以是长方形、圆形、 梯形、等腰三角形，还可 以是不规则截面，具有很 强的适应性。
直梁可以是钢、木材、混 凝土等多种材料，根据实 际情况选用不同材料可以 使得设计更加符合实际。
3 用途广泛
直梁用于桥梁工程、建筑 工程、机械制造等领域， 是一项非常重要的工程基 础。
采用欧拉-伯努利梁理论
基本假设
梁的截面上任意点的平面仍保 持平面状态，不发生大变形。
导出方程
欧拉-伯努利梁理论是从平衡方 程、应变-位移关系和恒定体积 原理出发导出的。
适用范围
该理论假设梁的变形很小，仅 适用于杆件长度较大、截面尺 寸较小的杆件。
2
跨河大桥建设
建设跨河大桥需要使用钢梁，而钢梁又需要经过精准的计算和设计，方能达到给定的跨度和 承重能力。
3
机械制造中的应用
在机械制造行业，还会使用直梁的弯曲原理来进行设计和计算，准确的计算对机械的使用寿 命和安全性大有裨益。
结论与展望
弯曲问题解决
通过本课程，您已经了解了直梁的弯曲和相关 应用，能够对各种弯曲问题做出准确的分析。
梁受力分析
弯矩分析
计算梁的弯曲应变，通过弯矩分 析得到相关参数。
轴力分析
梁受到压力和张力作用，分析力 的产生和传递。
剪力分析
梁受到剪力的作用，分析梁受剪 切变形带来的影响。
应用案例分析
1
地铁路基工程
地铁是当今城市中交通工具使用最频繁的，而交通干道、大楼和其他设施往往会影响到地铁， 需要使用直梁解决问题。
05-直梁的弯曲
第四章 直梁的弯曲
§4.1 弯曲概念和梁的分类
梁的弯曲实例与概念
梁的弯曲实例与概念
梁的弯曲实例与概念
受力特点 在构件的纵向对称平面内，受到垂直于梁的轴线的力 或力偶作用，使构件的轴线在此平面内弯曲为曲线， 这样的弯曲称为平面弯曲； 外力彼此相距较远。
以弯曲变形为主要变形形式的杆件称为梁。
x
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l 2.写出弯矩方程
AC CB
3.依方程画出弯矩图
M x1 ＝Fbx1 / l
0 x1 a a x2 l
M x2 ＝Fal x2 / l
y
q
例4、简支梁受均布载荷作用试写 出弯矩方程，并画出弯矩图。 B
x
A x
FAY
C
a
M
b
A
FAY
x1
C
l
x2
B
FBY
解：1．确定约束力
M ＝0， M ＝0
A B
Ma / l
FAy＝M / l FBy＝ -M / l
Mb/ l
2．写出弯矩方程
AC
M x1 ＝Mx1 / l M x2 ＝ Mx2 / l
0 x1 a 0 x2 b
+
0.5qa2
0.5qa2
x
例题分析
欲使设备受力情况最好，就必须选择a与L的比例，使 得外伸段和中间段的两个最大弯矩的绝对值相等，即： 0.5qa2＝qL(L-4a)/8 a＝0.207L 因此设计时通常取外伸梁长度a=0.2L，即卧式容器的支 座应布置在梁的0.2L处。
§4.3 纯弯曲时梁的正应力及 正应力强度条件
M M
+
§4.1 弯曲概念和梁的分类
梁的弯曲实例与概念
梁的弯曲实例与概念
梁的弯曲实例与概念
受力特点 在构件的纵向对称平面内，受到垂直于梁的轴线的力 或力偶作用，使构件的轴线在此平面内弯曲为曲线， 这样的弯曲称为平面弯曲； 外力彼此相距较远。
以弯曲变形为主要变形形式的杆件称为梁。
x
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l 2.写出弯矩方程
AC CB
3.依方程画出弯矩图
M x1 ＝Fbx1 / l
0 x1 a a x2 l
M x2 ＝Fal x2 / l
y
q
例4、简支梁受均布载荷作用试写 出弯矩方程，并画出弯矩图。 B
x
A x
FAY
C
a
M
b
A
FAY
x1
C
l
x2
B
FBY
解：1．确定约束力
M ＝0， M ＝0
A B
Ma / l
FAy＝M / l FBy＝ -M / l
Mb/ l
2．写出弯矩方程
AC
M x1 ＝Mx1 / l M x2 ＝ Mx2 / l
0 x1 a 0 x2 b
+
0.5qa2
0.5qa2
x
例题分析
欲使设备受力情况最好，就必须选择a与L的比例，使 得外伸段和中间段的两个最大弯矩的绝对值相等，即： 0.5qa2＝qL(L-4a)/8 a＝0.207L 因此设计时通常取外伸梁长度a=0.2L，即卧式容器的支 座应布置在梁的0.2L处。
§4.3 纯弯曲时梁的正应力及 正应力强度条件
M M
+
机械设备基础 直梁的弯曲课件
强度条件的验证
强度条件的验证是通过实验和实际运行来检验机械设备是否满足强度条件的一种 方法。
在验证过程中，需要对机械设备的各个部分进行详细检测和监测，以确保各部分 材料的应力分布和大小符合设计要求。同时，还需要对机械设备的运行情况进行 实时监测，及时发现和解决潜在的安全隐患，以保证机械设备的安全稳定运行。
最小应变
应变分布规律
在直梁弯曲时，横截面上的应变从最 大值向最小值逐渐减小，中性轴处为 零，离中性轴越远，应变越大。
在直梁弯曲时，横截面上的最小应变 出现在中性轴上，其值为零。
03 直梁弯曲的强度条件
强度条件的定义
强度条件是指机械设备在正常工作时 ，各部分材料所承受的应力必须在材 料的许用应力范围之内，以保证机械 设备的安全运行。
课程目标
掌握直梁弯曲的基本 原理和计算方法。
培养学生的实践能力 和创新思维，为后续 专业课程和实际工作 打下基础。
了解直梁弯曲在机械 设备设计中的应用。
02 直梁的弯曲原理
直梁的弯曲定义
01
02
03
直梁的弯曲
当直梁受到垂直于其轴线 的力作用时，梁会发生弯 曲变形，轴线将形成一个 拱形。
平面弯曲
最小正应力
在直梁弯曲时，横截面上的最小正 应力出现在中性轴上，其值为零。
应力分布规律
在直梁弯曲时，横截面上的正应力 从最大值向最小值逐渐减小，中性 轴处为零，离中性轴越远，正应力 越大。
直梁弯曲的应变分布
最大应变
在直梁弯曲时，横截面上的最大应变 出现在离中性轴最远的点上，其值等 于弯矩除以横截面对中性轴的剪切惯 性矩。
感谢您的观看
THANKS
04 直梁弯曲的刚度条件
刚度条件的定义
相关主题
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单元五
一、弯曲概念
直梁弯曲
5.1 平面弯曲及工程实例
弯曲受力特点： 受横向外力或位于纵向平面内的外力偶作用
弯曲变形特点： 杆的轴线由直线弯成曲线 主要承受弯曲变形的杆称为梁
F
A B A
Me
B
单元五
直梁弯曲
厂房立柱
单元五
直梁弯曲
厂房行车
单元五
直梁弯曲
车床轴
单元五
对称弯曲：
直梁弯曲
① 梁至少具有一个纵向对称面
FRA
ql/2
x
l
FRB
ql M max 8
2
+
ql/2
但此截面上 FS= 0 两支座内侧横截面上剪力绝 对值为最大
F
F
l
悬臂梁
F
l
单元五
梁的力学模型的简化
直梁弯曲
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
集中力
（2）载荷类型 集中力偶 分布载荷 （3） 支座的类型 可动铰支座
A A
A
A
FRA
单元五
A
直梁弯曲
固定铰支座
FRAy
A A
FRAx A
固定端 FRy FRx M
单元五
5. 2 梁的内力及内力图
1.内力计算 例5.1 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
单元五
5.2.2 剪力和弯矩方程
q
直梁弯曲
剪力图和弯矩图
x
x
l
剪力方程： 描述梁的剪力沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
FS FS x
弯矩方程： 描述梁的弯矩沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
M M x
单元五
剪力图和弯矩图
直梁弯曲
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相
q
B
FRA FRB
ql 2
FRA
x
l
FRB
（2）列剪力方程和弯矩方程.
ql FS ( x ) FRA qx qx (0 x l ) 2 x qlx qx 2 M ( x ) FRA x qx (0 x l ) 2 2 2
单元五
ql FS ( x ) qx 2
(0 x l )
q A B
x 0， M 0 x l, M 0
FRA
x
l
FRB
dM ( x ) ql qx 0 令 dx 2
得驻点
l x 2
M max M
l x 2
+
ql 8
2
ql 8
2
l/2
弯矩的极值 绘出弯矩图
单元五
q A
B
直梁弯曲
由图可见，此梁在跨中截面上 的弯矩值为最大
② 所有外力均作用于同一纵向对称面内 ③ 梁的轴线弯成一条位于外力所在同一纵向对称面内的平面曲线
对称弯曲又称为平面弯曲
材料力学主要讨论直梁的对称弯曲
单元五
纵向对称面
直梁弯曲
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
F
梁的计算简图和分类 梁的计算简图：
简支梁
F
外伸梁 梁的分类：
直梁弯曲
q
ql l ql l 3 ql 2 2 4 4 8 32
l
l /4
FS
M
C
q
二、求剪力、弯矩的简便方法
l /4
ql/2
1. 剪力等于截面一侧所有横向外力的代数和
2. 弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心的矩的代数和 注意： 外力既包含载荷又包含支座反力，故在用简便方法计算 剪力和弯矩时，一般应首先求出梁的支座反力
m
使dx 微段有左端向上而右端向下的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段 有顺时针转动趋势的剪力为正. 使dx微段有左端向下而右端向上的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微 段有逆时针转动趋势的剪力为负.
FS
m
-
m
dx
FS
m
dx
单元五
（2）弯矩符号
直梁弯曲
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
A B
解: 列出梁的剪力方程 和弯矩方程
x l
FS ( x ) F M ( x ) Fx
(0 x l ) F S (0 x l )
M F
x
F SA左 0 F SA右 F
x
单元五
此梁的剪力图和弯矩图.
解：（1） 求支反力 A
直梁弯曲
例5.4图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作
剪力图为一倾斜直线
直梁弯曲
q B x
(0 x l )
A
FRA
l
FRB
ql x=0 处 ， FS 2 ql x= l 处 ,2
+
ql/2
单元五
x qlx qx 2 M ( x ) FRA x qx 2 2 2
弯矩图为一条二次抛物线
直梁弯曲
应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图
FS(x) M(x)
x FS 图的坐标系
M 图的坐标系
剪力图：正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
弯矩图：机械行业规定上正下负，土木行业规定下正上负
x
O
O
单元五
直梁弯曲
例5.3如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此 F 梁的剪力图和弯矩图.
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
-
m
m
（受压）
例5.2 试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩 解： 计算支座反力 截取右侧梁段， 画受力图，假设剪力和弯矩均为正 由平衡方程
q
F
y
0,
FS ql /2 ql /4 0
ql/2
l
l /4
直梁弯曲
a A l
F
B
F
x
0 ,
FRAx 0
FRAxA FRAy
F
B
Fa M A 0 , FRB l F (l a ) Fy 0 , FRAy l
FRB
单元五
F (l a ) Fy 0 , FS FRAy l M C 0 , M FRAy x
得剪力
FS ql /2 ql /4 ql /4
ql/2
FS
y
q
C
由平衡方程
M
x
M
M
C
0,
ql l ql l M 0 2 4 4 8
O
l /4
ql/2
得弯矩
ql l ql l 3 ql 2 2 4 4 8 32
单元五
剪力： FS ql /2 ql /4 ql /4 弯矩： M
剪力 弯曲构件内力 弯矩
直梁弯曲
FRAxA
FRAy
x
求内力——截面法
m
F
B
m
FRB
1.弯矩
M FRAy M
FS M
C
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截 面的内力偶矩.
F
2. 剪力
FS
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截 面的内力.
FS
C
FRB
单元五
2.内力的符号规定 （1）剪力符号
直梁弯曲
+
FS
一、弯曲概念
直梁弯曲
5.1 平面弯曲及工程实例
弯曲受力特点： 受横向外力或位于纵向平面内的外力偶作用
弯曲变形特点： 杆的轴线由直线弯成曲线 主要承受弯曲变形的杆称为梁
F
A B A
Me
B
单元五
直梁弯曲
厂房立柱
单元五
直梁弯曲
厂房行车
单元五
直梁弯曲
车床轴
单元五
对称弯曲：
直梁弯曲
① 梁至少具有一个纵向对称面
FRA
ql/2
x
l
FRB
ql M max 8
2
+
ql/2
但此截面上 FS= 0 两支座内侧横截面上剪力绝 对值为最大
F
F
l
悬臂梁
F
l
单元五
梁的力学模型的简化
直梁弯曲
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
集中力
（2）载荷类型 集中力偶 分布载荷 （3） 支座的类型 可动铰支座
A A
A
A
FRA
单元五
A
直梁弯曲
固定铰支座
FRAy
A A
FRAx A
固定端 FRy FRx M
单元五
5. 2 梁的内力及内力图
1.内力计算 例5.1 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
单元五
5.2.2 剪力和弯矩方程
q
直梁弯曲
剪力图和弯矩图
x
x
l
剪力方程： 描述梁的剪力沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
FS FS x
弯矩方程： 描述梁的弯矩沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
M M x
单元五
剪力图和弯矩图
直梁弯曲
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相
q
B
FRA FRB
ql 2
FRA
x
l
FRB
（2）列剪力方程和弯矩方程.
ql FS ( x ) FRA qx qx (0 x l ) 2 x qlx qx 2 M ( x ) FRA x qx (0 x l ) 2 2 2
单元五
ql FS ( x ) qx 2
(0 x l )
q A B
x 0， M 0 x l, M 0
FRA
x
l
FRB
dM ( x ) ql qx 0 令 dx 2
得驻点
l x 2
M max M
l x 2
+
ql 8
2
ql 8
2
l/2
弯矩的极值 绘出弯矩图
单元五
q A
B
直梁弯曲
由图可见，此梁在跨中截面上 的弯矩值为最大
② 所有外力均作用于同一纵向对称面内 ③ 梁的轴线弯成一条位于外力所在同一纵向对称面内的平面曲线
对称弯曲又称为平面弯曲
材料力学主要讨论直梁的对称弯曲
单元五
纵向对称面
直梁弯曲
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
F
梁的计算简图和分类 梁的计算简图：
简支梁
F
外伸梁 梁的分类：
直梁弯曲
q
ql l ql l 3 ql 2 2 4 4 8 32
l
l /4
FS
M
C
q
二、求剪力、弯矩的简便方法
l /4
ql/2
1. 剪力等于截面一侧所有横向外力的代数和
2. 弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心的矩的代数和 注意： 外力既包含载荷又包含支座反力，故在用简便方法计算 剪力和弯矩时，一般应首先求出梁的支座反力
m
使dx 微段有左端向上而右端向下的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段 有顺时针转动趋势的剪力为正. 使dx微段有左端向下而右端向上的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微 段有逆时针转动趋势的剪力为负.
FS
m
-
m
dx
FS
m
dx
单元五
（2）弯矩符号
直梁弯曲
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
A B
解: 列出梁的剪力方程 和弯矩方程
x l
FS ( x ) F M ( x ) Fx
(0 x l ) F S (0 x l )
M F
x
F SA左 0 F SA右 F
x
单元五
此梁的剪力图和弯矩图.
解：（1） 求支反力 A
直梁弯曲
例5.4图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作
剪力图为一倾斜直线
直梁弯曲
q B x
(0 x l )
A
FRA
l
FRB
ql x=0 处 ， FS 2 ql x= l 处 ,2
+
ql/2
单元五
x qlx qx 2 M ( x ) FRA x qx 2 2 2
弯矩图为一条二次抛物线
直梁弯曲
应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图
FS(x) M(x)
x FS 图的坐标系
M 图的坐标系
剪力图：正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
弯矩图：机械行业规定上正下负，土木行业规定下正上负
x
O
O
单元五
直梁弯曲
例5.3如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此 F 梁的剪力图和弯矩图.
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
-
m
m
（受压）
例5.2 试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩 解： 计算支座反力 截取右侧梁段， 画受力图，假设剪力和弯矩均为正 由平衡方程
q
F
y
0,
FS ql /2 ql /4 0
ql/2
l
l /4
直梁弯曲
a A l
F
B
F
x
0 ,
FRAx 0
FRAxA FRAy
F
B
Fa M A 0 , FRB l F (l a ) Fy 0 , FRAy l
FRB
单元五
F (l a ) Fy 0 , FS FRAy l M C 0 , M FRAy x
得剪力
FS ql /2 ql /4 ql /4
ql/2
FS
y
q
C
由平衡方程
M
x
M
M
C
0,
ql l ql l M 0 2 4 4 8
O
l /4
ql/2
得弯矩
ql l ql l 3 ql 2 2 4 4 8 32
单元五
剪力： FS ql /2 ql /4 ql /4 弯矩： M
剪力 弯曲构件内力 弯矩
直梁弯曲
FRAxA
FRAy
x
求内力——截面法
m
F
B
m
FRB
1.弯矩
M FRAy M
FS M
C
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截 面的内力偶矩.
F
2. 剪力
FS
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截 面的内力.
FS
C
FRB
单元五
2.内力的符号规定 （1）剪力符号
直梁弯曲
+
FS