机械工程基础课件单元五直梁弯曲
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剪力图为一倾斜直线
直梁弯曲
q B x
(0 x l )
A
FRA
l
FRB
ql x=0 处 ， FS 2 ql x= l 处 , FS 2
绘出剪力图
ql/2
+
ql/2
单元五
x qlx qx 2 M ( x ) FRA x qx 2 2 2
弯矩图为一条二次抛物线
直梁弯曲
直梁弯曲
a A l
F
B
F
x
0 ,
FRAx 0
FRAxA FRAy
F
B
Fa M A 0 , FRB l F (l a ) Fy 0 , FRAy l
FRB
单元五
F (l a ) Fy 0 , FS FRAy l M C 0 , M FRAy x
剪力 弯曲构件内力 弯矩
直梁弯曲
FRAxA
FRAy
x
求内力——截面法
m
F
B
m
FRB
1.弯矩
M FRAy M
FS M
C
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截 面的内力偶矩.
F
2. 剪力
FS
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截 面的内力.
FS
C
FRB
单元五
2.内力的符号规定 （1）剪力符号
直梁弯曲
+
FS
m
使dx 微段有左端向上而右端向下的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段 有顺时针转动趋势的剪力为正. 使dx微段有左端向下而右端向上的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微 段有逆时针转动趋势的剪力为负.
FS
m
-
m
dx
FS
m
dx
单元五
（2）弯矩符号
直梁弯曲
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
F
F
l
悬臂梁
F
l
单元五
梁的力学模型的简化
直梁弯曲
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
集中力
（2）载荷类型 集中力偶 分布载荷 （3） 支座的类型 可动铰支座
A A
A
A
FRA
单元五
A
直梁弯曲
固定铰支座
FRAy
A A
FRAx A
固定端 FRy FRx M
单元五
5. 2 梁的内力及内力图
1.内力计算 例5.1 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
q
B
FRA FRB
ql 2
FRA
x
l
FRB
（2）列剪力方程和弯矩方程.
ql FS ( x ) FRA qx qx (0 x l ) 2 x qlx qx 2 M ( x ) FRA x qx (0 x l ) 2 2 2
单元五
ql FS ( x ) qx 2
FRA
ql/2
x
l
FRB
ql M max 8
2
+
ql/2
但此截面上 FS= 0 两支座内侧横截面上剪力绝 对值为最大
单元五
5.2.2 剪力和弯矩方程
q
直梁弯曲
剪力图和弯矩图
x
x
l
剪力方程： 描述梁的剪力沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
FS FS x
弯矩方程： 描述梁的弯矩沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
M M x
单元五
剪力图和弯矩图
直梁弯曲
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相
应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图
FS(x) M(x)
x FS 图的坐标系
M 图的坐标系
剪力图：正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
弯矩图：机械行业规定上正下负，土木行业规定下正上负
x
O
O
单元五
直梁弯曲
例5.3如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此 F 梁的剪力图和弯矩图.
A B
解: 列出梁的剪力方程 和弯矩方程
x l
FS ( x ) F M ( x ) Fx
(0 x l ) F S (0 x l )
M F
x
F SA左 0 F SA右 F
x
单元五
此梁的剪力图和弯矩图.
解：（1） 求支反力 A
直梁弯曲
例5.4图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作
② 所有外力均作用于同一纵向对称面内 ③ 梁的轴线弯成一条位于外力所在同一纵向对称面内的平面曲线
对称弯曲又称为平面弯曲
材料力学主要讨论直梁的对称弯曲
单元五
纵向对称面
直梁弯曲
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
F
梁的计算简图和分类 梁的计算简图：
简支梁
F
外伸梁 梁的分类：
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
-
m
m
（受压）
例5.2 试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩 解： 计算支座反力 截取右侧梁段， 画受力图，假设剪力和弯矩均为正 由平衡方程
q
F
y
0,
FS ql /2 ql /4 0
ql/2
l
l /4
单元五
一、弯曲概念
直梁弯曲
5.1 平面弯曲及工程实例
弯曲受力特点： 受横向外力或位于纵向平面内的外力偶作用
弯曲变形特点： 杆的轴线由直线弯成曲线 主要承受弯曲变形的杆称为梁
F
A B A
Me
B
单元五
直梁弯曲
厂房立柱
单元五
直梁弯曲
厂房行车
单元五
直梁弯曲
车床轴
单元五
对称弯曲：
直梁弯曲
① 梁至少具有一个纵向对称面
直梁弯曲
q
ql l ql l 3 ql 2 2 4 4 8 32
l
l /4
FS
M
C
q
二、求剪力、弯矩的简便方法
l /4
ql/2
源自文库
1. 剪力等于截面一侧所有横向外力的代数和
2. 弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心的矩的代数和 注意： 外力既包含载荷又包含支座反力，故在用简便方法计算 剪力和弯矩时，一般应首先求出梁的支座反力
(0 x l )
q A B
x 0， M 0 x l, M 0
FRA
x
l
FRB
dM ( x ) ql qx 0 令 dx 2
得驻点
l x 2
M max M
l x 2
+
ql 8
2
ql 8
2
l/2
弯矩的极值 绘出弯矩图
单元五
q A
B
直梁弯曲
由图可见，此梁在跨中截面上 的弯矩值为最大
得剪力
FS ql /2 ql /4 ql /4
ql/2
FS
y
q
C
由平衡方程
M
x
M
M
C
0,
ql l ql l M 0 2 4 4 8
O
l /4
ql/2
得弯矩
ql l ql l 3 ql 2 2 4 4 8 32
单元五
剪力： FS ql /2 ql /4 ql /4 弯矩： M
直梁弯曲
q B x
(0 x l )
A
FRA
l
FRB
ql x=0 处 ， FS 2 ql x= l 处 , FS 2
绘出剪力图
ql/2
+
ql/2
单元五
x qlx qx 2 M ( x ) FRA x qx 2 2 2
弯矩图为一条二次抛物线
直梁弯曲
直梁弯曲
a A l
F
B
F
x
0 ,
FRAx 0
FRAxA FRAy
F
B
Fa M A 0 , FRB l F (l a ) Fy 0 , FRAy l
FRB
单元五
F (l a ) Fy 0 , FS FRAy l M C 0 , M FRAy x
剪力 弯曲构件内力 弯矩
直梁弯曲
FRAxA
FRAy
x
求内力——截面法
m
F
B
m
FRB
1.弯矩
M FRAy M
FS M
C
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截 面的内力偶矩.
F
2. 剪力
FS
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截 面的内力.
FS
C
FRB
单元五
2.内力的符号规定 （1）剪力符号
直梁弯曲
+
FS
m
使dx 微段有左端向上而右端向下的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段 有顺时针转动趋势的剪力为正. 使dx微段有左端向下而右端向上的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微 段有逆时针转动趋势的剪力为负.
FS
m
-
m
dx
FS
m
dx
单元五
（2）弯矩符号
直梁弯曲
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
F
F
l
悬臂梁
F
l
单元五
梁的力学模型的简化
直梁弯曲
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
集中力
（2）载荷类型 集中力偶 分布载荷 （3） 支座的类型 可动铰支座
A A
A
A
FRA
单元五
A
直梁弯曲
固定铰支座
FRAy
A A
FRAx A
固定端 FRy FRx M
单元五
5. 2 梁的内力及内力图
1.内力计算 例5.1 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
q
B
FRA FRB
ql 2
FRA
x
l
FRB
（2）列剪力方程和弯矩方程.
ql FS ( x ) FRA qx qx (0 x l ) 2 x qlx qx 2 M ( x ) FRA x qx (0 x l ) 2 2 2
单元五
ql FS ( x ) qx 2
FRA
ql/2
x
l
FRB
ql M max 8
2
+
ql/2
但此截面上 FS= 0 两支座内侧横截面上剪力绝 对值为最大
单元五
5.2.2 剪力和弯矩方程
q
直梁弯曲
剪力图和弯矩图
x
x
l
剪力方程： 描述梁的剪力沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
FS FS x
弯矩方程： 描述梁的弯矩沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
M M x
单元五
剪力图和弯矩图
直梁弯曲
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相
应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图
FS(x) M(x)
x FS 图的坐标系
M 图的坐标系
剪力图：正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
弯矩图：机械行业规定上正下负，土木行业规定下正上负
x
O
O
单元五
直梁弯曲
例5.3如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此 F 梁的剪力图和弯矩图.
A B
解: 列出梁的剪力方程 和弯矩方程
x l
FS ( x ) F M ( x ) Fx
(0 x l ) F S (0 x l )
M F
x
F SA左 0 F SA右 F
x
单元五
此梁的剪力图和弯矩图.
解：（1） 求支反力 A
直梁弯曲
例5.4图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作
② 所有外力均作用于同一纵向对称面内 ③ 梁的轴线弯成一条位于外力所在同一纵向对称面内的平面曲线
对称弯曲又称为平面弯曲
材料力学主要讨论直梁的对称弯曲
单元五
纵向对称面
直梁弯曲
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
F
梁的计算简图和分类 梁的计算简图：
简支梁
F
外伸梁 梁的分类：
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
-
m
m
（受压）
例5.2 试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩 解： 计算支座反力 截取右侧梁段， 画受力图，假设剪力和弯矩均为正 由平衡方程
q
F
y
0,
FS ql /2 ql /4 0
ql/2
l
l /4
单元五
一、弯曲概念
直梁弯曲
5.1 平面弯曲及工程实例
弯曲受力特点： 受横向外力或位于纵向平面内的外力偶作用
弯曲变形特点： 杆的轴线由直线弯成曲线 主要承受弯曲变形的杆称为梁
F
A B A
Me
B
单元五
直梁弯曲
厂房立柱
单元五
直梁弯曲
厂房行车
单元五
直梁弯曲
车床轴
单元五
对称弯曲：
直梁弯曲
① 梁至少具有一个纵向对称面
直梁弯曲
q
ql l ql l 3 ql 2 2 4 4 8 32
l
l /4
FS
M
C
q
二、求剪力、弯矩的简便方法
l /4
ql/2
源自文库
1. 剪力等于截面一侧所有横向外力的代数和
2. 弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心的矩的代数和 注意： 外力既包含载荷又包含支座反力，故在用简便方法计算 剪力和弯矩时，一般应首先求出梁的支座反力
(0 x l )
q A B
x 0， M 0 x l, M 0
FRA
x
l
FRB
dM ( x ) ql qx 0 令 dx 2
得驻点
l x 2
M max M
l x 2
+
ql 8
2
ql 8
2
l/2
弯矩的极值 绘出弯矩图
单元五
q A
B
直梁弯曲
由图可见，此梁在跨中截面上 的弯矩值为最大
得剪力
FS ql /2 ql /4 ql /4
ql/2
FS
y
q
C
由平衡方程
M
x
M
M
C
0,
ql l ql l M 0 2 4 4 8
O
l /4
ql/2
得弯矩
ql l ql l 3 ql 2 2 4 4 8 32
单元五
剪力： FS ql /2 ql /4 ql /4 弯矩： M