1第一节典型输入作用和时域性能指标

稳态过程的性能指标
（二）单调变化 单调变化响应曲线如图所示： 这种系统只用调节时间 t s来表示 快速性。 1. 上升时间 t： r
y
0.05 y (∞)
y (∞ )
或 0.02 y (∞ )
y (∞) 2
tr
td ts 指由稳态值的10%上升到稳态值的 指由稳态值的10%上升到稳态值的 10% 90%所需的时间 所需的时间。 90%所需的时间。 2. 延迟时间 td ： 输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间 所需的时间。 输出响应第一次达到稳态值的 所需的时间 3. 调节时间或过渡过程时间 t： s 当 y (t )和 y (∞ )之间的误差达到规定的范围之内[比如 5 % × y ( ∞ ) 或 2 % × y ( ∞ )]，且以后不再超出此范围的最小时间。
[提示]：上述几种典型响应有如下关系： 单位脉冲 函数响应
积分
微分
单位阶跃 函数响应
积分
微分
单位斜坡 函数响应
积分
微分
单位抛物线 函数响应
线性微分方程的解
四、线性微分方程的解 时域分析以线性定常微分方程的解来讨论系统的特性和性 能指标。设微分方程如下： an y ( n) (t ) + an−1 y ( n−1) (t ) + ... + a0 y(t ) = bm x( m) (t ) + bm−1 x( m−1) (t ) + ... + b0 x(t ) 式中，x(t)为输入信号，y(t)为输出信号。 我们知道，微分方程的解可表示为： y (t ) = y h (t ) + y p (t ) ，其 y 中， h (t) 为对应的齐次方程的通解，只与微分方程（系统本身的 特性或系统的特征方程的根）有关。对于稳定的系统，当时间趋 于无穷大时，通解趋于零。所以根据通解或特征方程的根可以分 析系统的稳定性。 yp (t)为特解，与微分方程和输入有关。一般来说，当时间趋 于无穷大时特解趋于一个稳态的函数。
y
瞬态过程
稳态过程
0
t
瞬态过程的性能指标（衰减振荡） 瞬态过程的性能指标（衰减振荡）
五、阶跃响应性能指标 通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过程 的时域性能指标。稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃响应 函数有衰减振荡和单调变化两种。 （一）衰减振荡： 具有衰减振荡的瞬态过程如图所示：
时域分析
什么是时域分析? 时域分析法——就是求解系统的时间响应，来分析系统的 稳定性、快速型和准确性。它是一种直接在时间领域内对系统 进行分析的方法。具体来说，就是以系统的微分方程或传递函 数为工具，在输入信号的作用下，求解输出的时间响应来分析 和评价系统的性能。 由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法， 所以时域分析具有直观和准确的优点。 在初值为零时，一般都利用传递函数进行研究，用传递函 数间接的评价系统的性能指标。具体是根据闭环系统传递函数 的极点和零点来分析系统的性能。此时也称为复频域分析。
第三章
控制系统时域分析法
前面我们已经学习了控制系统数学模型建立的方法。 前面我们已经学习了控制系统数学模型建立的方法。 建立了系统的数学模型后就可以对控制系统进行分析和计 在经典控制理论中所用的分析方法有：时域分析法、 算；在经典控制理论中所用的分析方法有：时域分析法、 根轨迹法、 根轨迹法、频域分析法 本章主要讨论时域分析法
本章主要内容
典型输入信号和时域性能指标 一阶系统分析 二阶系统分析 高阶系统分析 控制系统的稳定性分析 控制系统的稳态误差分析
第一节 典型输入信号和阶跃响应 性能指标
典型初始状态
一、典型初始状态 控制系统的时间响应不仅决定于系统的数学模型，而且 与系统的输入量和初始状态有关，为了研究系统的性能与系 统结构、参数之间的关系，就必须规定系统的初始状态。
x (t ) 1 2 x(t) = Ct 2 t
典型输入作用
[提示]：上述几种典型输入信号的关系如下： d d2 d3 1 2 Aδ (t ) = [ A × 1(t )] = 2 [ At ] = 3 [ At ] dt dt dt 2 正弦函数： 为频率。 ⒌ 正弦函数 x (t ) = ASin ω t ，式中，A为振幅， ω
max
在上述几种性能指标中， t p , t r , t s 表示瞬态过程进行的快慢，是快 速性指标；而 δ %, N 反映瞬态过 程的振荡程度，是振荡性指标。 其中 δ %和 t s 是两种最常用的性 能指标。
y (∞) y (∞) 2
0
0.05 y (∞) 0.02 y (∞)
或
t td tr tp ts
t →∞
瞬态过程的性能指标
⒌ 调节时间或过渡过程时间 ts： 当 y (t )和 y (∞ )之间的误差达到规定的范围之内[比如 5 % × y ( ∞ ) ts 或 2 % × y ( ∞ )]，且以后不再超出此范围的最小时间。即当 t ≥ ，
| y ( t ) − y ( ∞ ) |≤ ∆ % × y ( ∞ ), ∆ = 2 或 5 有： ⒍ 振荡次数N： 在调节时间内，y(t)偏离 y (∞ ) 的振荡次数。 7. 稳态误差ess： y 当时间t趋于无穷大时，系统单位阶 y ess＝1-y(∞) 跃响应的稳态值与输入量1(t)之差。
y
ymax
⒈ 延迟时间 td： 输出响应第一次达到稳态 值的50%所需的时间。
y (∞) y (∞) 2
0
0.05 y (∞) 0.02 y (∞)
或
t td tr tp ts
瞬态过程的性能指标（衰减振荡） 瞬态过程的性能指标（衰减振荡）
⒉ 上升时间 tr ： 输出响应第一次达到稳态值y(∞)所 需的时间。
B s2
x (t ) x(t) = Bt
t
其拉氏变换后的像函数为： L [ x ( t )] =
⒋ 抛物线函数 抛物线函数（加速度阶跃函数）： 0, t < 0 C=1时称为单位抛 x (t ) = 1 2 物线函数。 2 Ct , t ≥ 0 其拉氏变换后的像函数为：
L [ x ( t )] = C s3
典型输入作用
实际单位脉冲函数：
0, t < 0 和 t > ∆ δ ∆ (t ) = 1 , , 0<t<∆ ∆
1 ∫−∞ δ ∆ (t ) dt = ∆ × ∆ = 1,
∞
1 ∆
δ ∆ (t )
δ 当∆ → 0时， ∆ (t ) = δ (t )
阶跃函数： ⒉ 阶跃函数
0, t < 0 x (t ) = A, t ≥ 0
脉冲函数： ⒈ 脉冲函数 理想单位脉冲函数： [定义]：
0 δ (t ) = ∞ t≠0 t=0
，且
∫
δ ( t ) dt = 1，其积分面积为1。 −∞
L [δ ( t )] = 1
∞
其拉氏变换后的像函数为：
δ (t)
δ (t −τ )
0
τ
出现在 t = τ 时刻，积分面积为A的理想脉冲函数定义如下： ∞ 0, t ≠ τ A δ (t − τ ) = 且 ∫−∞ Aδ (t − τ ) dt = A ∞ , t = τ
0
∆
t
x (t ) A阶跃幅度，A=1 称为单位阶跃函数， A 记为1（t）。
t
A 其拉氏变换后的像函数为： L [ x ( t )] = s
阶跃函数是自控系统在实际工作条件下经常遇到的一种外作用 形式，在研究系统暂态性能时，一般采用阶跃函数为输入。
典型输入作用
斜坡函数（速度阶跃函数）： ⒊ 斜坡函数 0, t < 0 B=1时称为单位斜 x (t ) = Bt , t ≥ 0 坡函数。
t = 0− 时 规定控制系统的初始状态均为零状态，即在
& && c(0− ) = c(0− ) = c (0− ) = L = 0
上式表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的， 被控制量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。
典型输入信号
二、典型输入信号
将输入信号规定为统一的典型形式，称之为典型输入信号， 将输入信号规定为统一的典型形式，称之为典型输入信号，这些 信号是数学上加以理想化的一些基本的输入函数， 信号是数学上加以理想化的一些基本的输入函数，易于理论分析与计 主要有：阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数、 算。主要有：阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数、脉冲函数和正弦函 数。
t
小 结
典型输入信号及其之间的关系 线性微分方程的解 瞬态响应和稳态响应 瞬态响应的性能指标(有衰减振荡和单调变化之分)
最大超调量和振荡次数反映了暂态过程振荡激烈程度； 调节时间反映了系统的快速性； 稳态误差反映了系统稳态工作时的控制精度，是衡量系 统稳态性能的指标； 一般以最大超调量、调整时间、稳态误差衡量响应系统 的平稳性快速性和稳态精度。
y
ymax
y (∞) y (∞) 2
0.05 y (∞) 0.02 y (∞)
或
⒊ 峰值时间 t p： 输出响应超过稳态值达到第一个 峰值ymax所需要的时间。
ymax − y (∞) δ%= × 100% y (∞ )
0
t td tr tp ts
⒋ 最大超调量（简称超调量） δ %：
式中：y max --输出响应的最大值； y (∞ ) = lim y (t ) --稳态值；
线性微分方程的解
综上所述，对于稳定的系统，对于一个有界的输入，当时间 趋于无穷大时，微分方程的全解将趋于一个稳态的函数，使系统 达到一个新的平衡状态。工程上称为进入稳态过程。 。 系统达到稳态过程之前的过程称为瞬态过程。瞬态分析是分 析瞬态过程中输出响应的各种运动特性。理论上说，只有当时间 趋于无穷大时，才进入稳态过程，但这在工程上显然是无法进行 的。在工程上只讨论输入作用加入一段时间里的瞬态过程，在这 段时间里，反映了主要的瞬态性能指标。 如某系统的单位阶跃响 应曲线如图所示：