计算机组成原理2.2定点加减法运算

证明[ｘ]补＋[ｙ]补＝[ｘ＋ｙ]补
• (4)ｘ<0，ｙ<0，则ｘ＋ｙ<0 ∵[ｘ]补＝2＋ｘ，[ｙ]补＝2＋ｙ ∴[ｘ]补＋[ｙ]补 ＝2＋ｘ＋2＋ｙ ＝2＋(2＋ｘ＋ｙ) • (ｘ＋ｙ)是负数，而其绝对值又小于1， 那么(2＋ｘ＋ｙ)就一定是小于2而大于1 的数，进位”2”必丢失
。 相加两数都是负数，则其 和也一定是负数。
或用同余式表示为 [ｘ]补＝4＋ｘ
＋ [ｙ ]补
1.1011
[ｘ＋ｙ]补 1 0.0110
所以
ｘ＋ｙ＝＋0.0110
由以上两例看到，补码加法的 特点，一是符号位要作为数的一部 分一起参加运算，二是要在模2的意
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义下相加，即超过2的进位要丢掉。
2.2.2 补码减法
负数的减法运算也要设法化为
加法来做，其所以使用这种方法而
不使用直接减法，是因为它可以和
[例11] ｘ ＝＋0.1101，ｙ＝＋0.0110， 求ｘ－ｙ。
[解:] [ｘ]补＝ 0.1101 [－ｙ]补＝1.1010 [ｙ]补＝0.0110
[ｘ ]补
＋ [－ｙ]补 [ｘ－ｙ]补 所以
0.1101
1.1010 1 0.0111
ｘ－ｙ＝＋0.0111
2.2.3 溢出概念与检测方法
在定点小数机器中，数的表示范围
上式右边分为”2”和(2＋ｘ＋ｙ)两部分。 既然
又因(ｘ＋ｙ)<0，所以
[ｘ]补＋[ｙ]补＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]补 (mod 2)
至此我们证明了，在模2意义下，
任意两数的补码之和等于该两数之和
的补码。这是补码加法的理论基础，
其结论也适用于定点整数。
[例8] ｘ＝0.1001, ｙ＝0.0101,求ｘ＋ｙ
[ｘ＋ｙ]补=0.1000
两负数的和为正数
之所以发生错误，是因为运算
结果产生了溢出。两个正数相加，
结果大于机器所能表示的最大正数，
称为上溢。而两个负数相加，结果
小于机器所能表示的最小负数，称
为下溢。
为了判断“溢出”是否发生，可采 用两种检测的方法。第一种方法是采用 双符号位法，这称为“变形补码”或 “模4补码”，从而可使模2补码所能表 示的数的范围扩大一倍。变形补码定义 为： ｘ 2 ＞ｘ≥0 [ｘ]补＝ { (2.22) ４＋ｘ 0 ＞ｘ≥ - 2
为| ｘ |<1。在运算过程中如出现大于1
的现象，称为“溢出”。在定点机中，
正常情况下溢出是不允许的。
机器定点小数表示
[例12] ｘ＝＋0.1011， ｙ＝＋0.1001，求ｘ ＋ｙ。
[ｘ＋ｙ]补=1.0100 两正数的和为负数
[例13] ｘ ＝－0.1101， ｙ ＝－0.1011，求 ｘ ＋ｙ。
• (1)当ｘ﹥0，ｙ﹥0时，有ｘ＋ｙ﹥0
• 根据数据补码的定义
• [ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]补 (mod 2)
证明[ｘ]补＋[ｙ]补＝[ｘ＋ｙ]补
• (2)当ｘ﹥0，ｙ﹤0，有ｘ＋ｙ>0， 或ｘ＋ｙ<0两种情况 • 根据补码定义[ｘ]补=x，[ｙ]补=2+ｙ • [ｘ]补＋[ｙ]补=x+2+y=2+(x+y) • 当ｘ＋ｙ>0时，有
常规的加法运算使用同一加法器电
路，从而简化了计算机的设计。
数用补码表示时，减法运算的公式 为：
[Ｘ－ｙ]补＝[ｘ]补－[ｙ]补＝[ｘ]补＋[－ｙ]补 (2.18)
只要证明[－ｙ]补＝－[ｙ]补，上式即得 证。 现证明如下：
∵[ｘ＋ｙ]补＝[ｘ]补＋[ｙ]补
∴[ｙ]补＝[ｘ＋ｙ]补－[ｘ]补 ∴[－ｙ]补 ＝[ｘ－ｙ]补－[ｘ]补
2.2 定点加法、减法运算
定点加减法运算包括原码、反
码、补码三种带符号的加减运算
补码加减运算实现起来最方便
2.2.1补码加法
• 负数用补码表示后，运算器里只需要 一个加法器 补码加法的公式是：
[ｘ]补＋[ｙ]补＝[ｘ＋ｙ]补 (mod 2)
(2.17)
证明[ｘ]补＋[ｙ]补＝[ｘ＋ｙ]补
• 假设采用定点小数表示，因此证 明的先决条件是： • ︱ｘ︱﹤1，︱ｙ︱﹤1， ︱ｘ＋ｙ︱﹤1
(mod 2)
(2.19a)
∵[ｘ－ｙ]补＝[ｘ＋(－ｙ)]补＝[ｘ]补＋[－ｙ]补
(2.19b)
将式(2.19a)与(2.19b)相加，得
[－ｙ]补＋[ｙ]补
＝[ｘ＋ｙ]补＋[ｘ－ｙ]补－[ｘ]补－[ｘ]补
＝[ｘ＋ｙ＋ｘ－ｙ]补－[ｘ]补－[ｘ]补
＝[ｘ＋ｘ]补－[ｘ]补－[ｘ]补＝0
故 [－ｙ]补＝－[ｙ]补
• [ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]补(mod 2)
[ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋2＋ｙ＝2＋(ｘ＋ｙ)
证明[ｘ]补＋[ｙ]补＝[ｘ＋ｙ]补
• 当ｘ＋ｙ<0时，2 ＋ (ｘ＋ｙ) < 2， 又因(ｘ＋ｙ)<0，
• [ｘ]补＋[ｙ]补＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]补 (mod 2)
• (3)ｘ<0，ｙ>0，这种情况和第2种 情况一样
[－Y]补＝[ [Y]补 ]变补
写成运算表达式，则为
[－ｙ]补＝﹁[ｙ]补＋2－n (2.21)
其中符号﹁表示对[ｙ] 补 作包括符号 位在内的求反操作，2 －n 表示最末位
的1。
[ 例 10] 已 知 ｘ 1 ＝ － 0.1110 ， ｘ 2 ＝ ＋ 0.1101，求：[ ｘ 1] 补 ,[－ ｘ 1] 补 ,[ ｘ 2] 补 ,[－ ｘ2]补。 [解:] [ｘ1]补＝1.0010 [－ｘ1]补＝ ﹁ [ｘ1]补＋ 2－4 ＝0.1101 ＋0.0001 ＝0.1110 [ｘ2]补＝0.1101 [－ｘ2]补＝ ﹁ [ｘ2]补＋ 2－4 ＝ 1.0010 ＋0.0001 ＝1.0011
(mod 2)
(2.20)
从[ ｙ ] 补 求[－ ｙ ] 补 的法则是：对 [ｙ]补连同符号位一起求反，最末位加 “1”(定点小数中这个1实际上是2－n)， 即可得到[－ｙ]补。 [－ｙ]补被称为[ｙ]补的机器负数， 由[ ｙ ] 补 求[－ ｙ ] 补 的过程称为对[ ｙ ] 补
变补(求补)，表示为：
[解:]
[ｘ]补 ＝0.1001, [ｙ]补＝0.0101
[ｘ ]补
＋ [ｙ ]补 所以
0.1001
0.0101
[ｘ＋ｙ]
补
0.1110
ｘ＋ｙ＝0.1110
[ 例9] ｘ ＝＋0.1011， ｙ ＝－0.0101， 求ｘ＋ｙ。
[解:] [ｘ]补 ＝0.1011， [ｙ]补＝1.1011
[ｘ ]补 0.1011