导数的则运算和单调区间的求法

导数的四则运算和单调区间的求法（辅导二）

一、导数的运算：

1、 几个特殊函数的导函数公式：

2、 四则运算公式：

3、 复合函数求导公式 二、函数单调性的判断：

1、 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ’(x)>0（或f ’(x)<0） 仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b ）内可导的函数f(x)在（a,b ）上递增（或递减）的充要条件应是'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立，且f ’(x)在（a,b ） 的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ’(x 0)=0,甚至可以在无穷多个点处f ’(x 0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）

2、 求参数的取值范围时，应令'()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然 后检验参数的取值能否使f ’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ’(x)不恒为0，则由'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立解出的参数的取值范围确定。 三、典例选讲：

1、 求下列各函数的导数（其中a,b,c,n 为常数） (1)

1

y x

=+(2) 222

2x y x

=

+ (3)

3y =

(4)

(y x =+(5) ln y x x =

(6)

ln n

y x x = (7)

log a y = 解：

1

1log 2

2ln a y x y x a '=

=

(8)

251x

y x =

+

(9) sin cos y x x x =+

(10)

5sin

1cos

x y

x =

+

(11)

25

(1) y x =+

(12)

2

(23 y x =+

解：

2

22 6(236(23 y x x

'

'=+=+

233

==

（13

）y=

解：

22

y

'

'===

(14) y=

解：y

'

'==== (15) 2

log(1)

a

y x

=+

解：

2

22

(1)2

(1)ln(1)ln

x x

y

x a x a

'

+

'==

++

(16) y=

解：22

1

ln()

2

y a x

=-

，

22

2222

()

2()

a x x

y

a x a x

'

--

'==

--

(17) y=

解：ln(1ln(1

y=-

y'''

=-==

(18)2

1sin

y x x =

解：222111111112sin

cos ()2sin cos ()2sin cos y x x x x x x x x x x x x x

''=+=+-=-

(19) lg(y x =

解：y '

'=== (20) 1

cos n y x

=

解：1

1[(cos )]()(cos )

(cos )sin (cos )n

n n y x n x x n x x -----'''==-=

2、求函数的单调区间

（1）求函数y =x 2(1－x )3的单调区间.

思路分析：这是一个不含参数的高次多项式函数，按照利用导数求函数的单调区间的步骤进行。

解：y ′=［x 2(1－x )3］′=2x (1－x )3+x 2·3(1－x )2·(－1) =x (1－x )2［2(1－x )－3x ］=x (1－x )2·(2－5x )

令x (1－x )2(2－5x )＞0，解得0＜x ＜

52. ∴y =x 2(1－x )3的单调增区间是(0，5

2) 令x (1－x )2(2－5x )＜0，解得x ＜0或x ＞

52

且x ≠1.∵1x =为拐点， ∴y =x 2(1－x )3的单调减区间是(－∞，0)，(5

2

，+∞) 其函数的大致图像如下图：

（2）设函数f (x )=a x －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥--1，求f (x )的单调区间。

（3）设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ) 讨论f(x)的极值.

练习：1）设函数

R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．的取值范围求上为增函数在若a x f ,)0,()(-∞

2）设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；

（Ⅲ）当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．

（4）已知函数a

x ax x f 3

13)(23-

+-=.（Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.