2015届高三上学期期中考试数学(理)试题(含答案)

2014—2015学年第一学期期中考试 高三数学（理科） 试题卷满分[ 150]分 ，时间[120]分钟 2014年11月参考公式：柱体的体积公式:V Sh =( 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高)锥体的体积公式: 13V Sh =(其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高)台体的体积公式: ()1213V h S S =(其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积，h 表示台体的高)球的表面积公式: 24πS R =, 球的体积公式 34π3V R =(其中R 表示球的半径) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ▲ ）A ．{}|02x x ≤≤ B.{}|2x x ≤ C.{}|20x x -≤≤ D .∅ 2.函数()176log 221+-=x x y 的值域是 ( ▲ )A ．RB ．(]3,-∞-C ．[)+∞,3D ．(]3,0 3.已知m 为一条直线,βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ▲ ） A.若ββαα//,//,//m m 则 B.若,m αβα⊥⊥，则m β⊥ C.若ββαα⊥⊥m m 则,,// D. 若ββαα⊥⊥m m 则,//, 4.已知函数211()log ,(),()12x f x f a f a x -==-+若则=（ ▲ ） A ．2 B ．—2 C ．12 D ．—125.已知:11,:(2)(6)0p m x m q x x -<<+--<，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围为（▲）A ．35m << B. 35m ≤≤ C ．53m m ><或 D. 53m m ≥≤或 6.函数())cos 3(sin sin 21x x x x f +-=的图象向左平移3π个单位得函数()x g 的图象，则函数()x g 的解析式是 ( ▲ )A ． ()⎪⎭⎫⎝⎛-=22sin 2πx x g B ．()x x g 2cos 2=C ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=322cos 2πx x g D ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin 2πx x g7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足0,01817<>S S ,则17172211,,,a Sa S a S 中最大的项为（ ▲ ） A ．66a S B ．77a SC ．88a SD ．99a S8.已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是（ ▲ ）AB ．2CD9.已知B A ,是圆O ：122=+y x 上的两个点，P 是AB 线段上的动点，当AOB ∆的面积最大时，则2AP AP AO -⋅的最大值是（ ▲ ） A.1- B. 0 C.81 D.2110.设非空集合{}S x m x n =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下三个命题：①若1,m =则{}1S =；②若1,2m =-则114n ≤≤； ③若1,2n =则02m -≤≤．其中正确命题的是（ ▲ ）A.①B.①②C.②③D.①②③ 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11.若33cos sin =+αα，则=α2sin ▲ ． 12.如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的矩形,底边长为 2, 高为3,俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是_▲ ．13.若x ，y 满足不等式组0,2100,0,x y x y y ⎧-≥⎪--≤⎨+- 则2x ＋y 的最大值是__▲ ．14.已知向量,a b 满足1,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于__▲ ．15.设抛物线x y C 4:2=的焦点为F,过点F 的直线与抛物线C 交于B A ,两点,过AB 的中点M 作准线的垂线与抛物线交于点P,若32PF =,则弦长AB 等于__▲ ． 16.记数列{}n a 的前n 和为n s ，若n n s a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为d 的等差数列，则{}n a 为等差数列时,d 的值为▲ ．17.设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是___▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知函数21()sin cos sin (0)2f x x x x ωωωω=⋅+->，其相邻两个零点间的距离为2π． （1）求()f x 的解析式； （2）锐角ABC ∆中，1(),4,282A f AB ABC π+==∆的面积为6，求BC 的值．19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 中，)(3,1*11N n a a a a n nn ∈+==+ （1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足n n nn a nb ⋅⋅-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式12)1(-+<-n n n n T λ对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围.20. （本小题满分14分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1,60AD DC CB ABC ===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =. （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.21. （本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1)A -．(1)求椭圆的方程；(2)如果过点3(0,)5的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），○1求AM AN ⋅的值； ○2当AMN ∆为等腰直角三角形时，求直线MN 的方程．22. （本小题满分15分） 已知函数()2f x x x a x =-+．（1）当3a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）求所有的实数a ，使得对任意[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方；（3）若存在[4,4]a ∈-，使得关于x 的方程()()f x t f a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．参考答案三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分） 解：（1）)42sin(222cos 212sin 21)(πωωω-=-=x x x x f …………………3分 由题可知，122,,22=⇒=∴=∴=ωπωππTT T ………………………5分 )42s i n (22)(π-=∴x x f …………………………………………………7分 （2）22sin ,21sin 22,21)82(=∴=∴=+A A A f π 又由锐角ABC ∆知，角A 为锐角，4π=∴A …………………………9分62sin 421sin 21==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∆AC A AC A AC AB S ABC 23=∴AC ……………………………………………………………12分 10cos 2222=⋅⋅⋅-+=∴A AC AB AC AB BC10=∴BC ……………………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（2）12-=n n n b122102121)1(213212211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T n n n n n T 2121)1(2122112121⨯+⨯-++⨯+⨯=- ， 两式相减得 n n n n n n T 222212121212121210+-=⨯-++++=- 1224-+-=∴n n n T1224)1(--<-∴n n λ若n 为偶数，则3,2241<∴-<∴-λλn若n 为奇数，则2,2,2241->∴<-∴-<-∴-λλλn32<<-∴λ（2）由（I ）可建立分别以直线,,CA CB CF 为轴轴轴，z y x ,的如图所示空间直角坐标系，令)30(≤≤=λλFM ，则)0,0,3(),0,0,0(A C ，()()1,0,,0,1,0λM B∴ ()()1,1,,0,1,3-=-=λ 设()z y x n ,,1=为平面MAB 的一个法向量， 由⎩⎨⎧=⋅=⋅0011BM n n 得⎩⎨⎧=+-=+-03z y x y x λ取1=x ，则()λ-=3,3,11n ，…………8分 ∵ ()0,0,12=n 是平面FCB 的一个法向量 ∴1212||cos ||||n n n n θ⋅===⋅…10分∵0λ≤≤∴当0λ=时，θcos有最小值7， 当λ=θcos 有最大值12。

∴ 1cos 72θ⎤∈⎥⎣⎦…………………14分21. （本小题满分15分）解：（1）因为椭圆经过点(0,1)A -1b =，因为ce a ===2a =， 所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）○1若过点3(0,)5的直线的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件．所以直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，则MN 的方程为35y kx =+，把35y kx =+代入椭圆方程得222464(14)0525k x kx ++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则1212222464,5(14)25(14)k x x x x k k +=-⋅=-++，1212266()55(14)y y k x x k +=++=+，221212122391009()52525(14)k y y k x x k x x k -+⋅=⋅+++=+，因为(0,1)A -，所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++26105(14)k ++=+ ○2由○1知：90MAN ∠=，如果AMN ∆为等腰直角三角形，设MN 的中点为P ，则 AP MN ⊥，且P 22123(,)5(14)5(14)k k k -++若0k =，则3(0,)5P ，显然满足AP MN ⊥，此时直线MN 的方程为35y =；若0k ≠，则2208112APk k k k+=-=-，解得k =MN的方程为35y x =+，即530y -+=530y +-=．综上所述：直线MN 的方程为35y =530y -+=530y +-=．22. （本小题满分15分）解：（1）由22-,,()5,3x x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+<⎪⎩≥3得函数的单调递增区间为5-2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，和()+∞3，；（2）由题意得对任意的实数[1,2]x ∈，()()f x g x <恒成立， 即1x x a -<，当[1,2]x ∈恒成立，即1x a x -<，11x a x x -<-<，11x a x x x-<<+， 故只要1x a x-<且1a x x <+在[1,2]x ∈上恒成立即可，在[1,2]x ∈时，只要1x x -的最大值小于a 且1x x +的最小值大于a 即可，而当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，1x x -为增函数，max 132x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫+=-> ⎪⎝⎭，1x x +为增函数，min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以322a <<；（3）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()f x t f a =不可能有三个不等的实数根； 则当(2,4]a ∈时，由22(2),,()(2),x a x x a f x x a x x a⎧+-⎪=⎨-++<⎪⎩≥得x a ≥时，2()(2)f x x a x =+-对称轴22a x a -=<，则()f x 在[,)x a ∈+∞为增函数，此时()f x 的值域为[(),)[2,)f a a +∞=+∞，x a <时，2()(2)f x x a x =-++对称轴22a x a +=<， 则()f x 在2,2a x +⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦， ()f x 在2,2a x a +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦；由存在(2,4]a ∈，方程()()2f x t f a ta ==有三个不相等的实根，则2(2)22,4a ta a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即存在(2,4]a ∈，使得2(2)1,8a t a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭即可，令2(2)14()488a g a a a a +⎛⎫==++⎪⎝⎭， 只要使()max ()t g a <即可，而()g a 在(2,4]a ∈上是增函数，()max 9()(4)8g a g ==， 故实数t 的取值范围为91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭； 同理可求当[4,2)a ∈--时，t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述，实数t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭．。