工程力学：第三章 空间问题的受力分析
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可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程
注：1.与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。 2.六个独立的平衡方程，求解六个未知量。 3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的 平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意 力系等平衡方程。
例：设物体受一空间平行力系作用。 令z轴与这些力平行，则
z轴上投影
x和y 轴上投 影
二、力沿直角坐标轴的分解
以 、 、 表示力F沿直角坐标 轴x、y、z的正交分量
力F在坐标轴上的投影和力沿坐标轴 的正交分矢量间的关系可表示为：
力F的 大小
方向余弦
例3—1 如图所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力 的作用。已
知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) 和压力角 ，以求力 沿 x、y
空间力偶用一个矢量，力偶矩矢M表示：
矢的长度表示力偶矩的大小 矢的方位与力偶作用面的法线 方位相同， 矢的指向与力偶转向的关系服 从右手螺旋规则。
注：力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定。
2．空间力偶系的合成与平衡条件 任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢 等于各分力偶矩矢的矢量和，即
自动满足。 因此，空间平行力系只有三个平衡方 程，即：
例3—7 如图所示的三轮小车，自重P＝8kN，作用于点E，载
荷
，作用于点C。求小车静止时地面对车轮的反力。
解：以小车为研究对象。
解得
例3—10 如图所 示均质长方板由 六根直杆支持于 水平位置，直杆 两端各用球铰链 与板和地面连接。 板重为P，在A处 作 用 一 水 平 力 F， 且 F=2P。 求 各 杆 的内力。
解：取长方体刚板为研 究对象，各支杆均为二 力杆，设它们均受拉力。
解得
（压力）
解得 解得
解得
§3-6 重心
1．重心的概念及其坐标公式
重力是一个分布力系，可视为空间平行力系。
一般所谓重力，就是这个空间平行力系的合力。
重心：不变形的物体(刚体)在地表面无论怎样放置，其平 行分布重力的合力作用线通过的此物体—个确定的点。
力的平移定理 空间任意力系
空间汇交力系 空间力偶系
空间汇交力系合成一力，作用线通过点O， 其大小和方向等于力系的主矢，即
空间力偶系合成为一力偶，等于各附加力偶矩矢的矢量和，又 等于原力系各力对于点O之矩的矢量和，即原力系对点O的主矩
力系主矢的大小 方向余弦 力系对点O的主矩的大小 方向余弦
空间任意力系平衡的必要和充分条件是：这力系的主矢和 对于任一点的主矩都等于零，即
和z轴的分力。 解：先将力Fn向z轴和Oxy平面投影，得
再将力 向x、y轴投影，得
则力 沿各轴的分力为
§3-2 空间汇交力系的合成与平衡
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线 通过汇交点。
合力的大小 方向余弦
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系的合力等于零， 即
空间汇交力系 的平衡方程
重心在工程实际中具有重要的意义。如重心的位置会影 响物体的平衡和稳定。
通过平行力系的合力可以推导物体重心的坐标公式。这些 公式也可用于确定物体的质量中心、面积形心和液体的压 力中心等。
绝对值： 该力在垂直于该轴的平面上的投影对于 这个平面与该轴的交点的矩的大小。
正负号： 从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴 按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。
也可按右手螺旋规则来确定其正负号，如图所 示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零：
(1)当力与轴相交时 (此时h＝0)；
根据合力矩定理
§3-4 空间力偶
1．力偶矩以矢量表示，空间力偶等效条件
平面力偶理论
只要不改变力偶矩的大小和力 偶的转向，力偶可以在它的作 用面内任意移转；
空间力偶理论
只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶可以在它 的作用面内任意移转；并且作用面可以平行移动。
空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素 (1)力偶矩的大小； (2)力偶作用面的方位； (3)力偶的转向。
合力偶矩矢的解析表达式为
合力偶矩矢的大小
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方向余弦
例3—5 工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔
所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x、y、
z轴上的投影 、 、 ，并求合力偶矩矢的大小和方向。
解：先将作用在四个面上的力偶用力偶 矩矢量表示，并将它们平行移到点A
合力偶矩矢的大小和方向余弦为
空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等 于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即
由上式，有 欲使上式成立，必须同时满足
空间力偶系的平衡方程
（三个独立的平衡方 程，求解三个未知量）
空间力偶系平衡的必要和充分条件为：该力偶系中所有各力偶 矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
§3-5 空间任意力系的平衡方程
（三个方程，可 求解三个未知量）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
例3—3 如图所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在
地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，
连线CD平行于x轴。已知：CE=EB＝DE，
第三章 空间问题的受力分析
空间力系：力的作用线是空间分布的力系。 空间汇交力系 空间力偶系 空间任意力系
§3-1 力在空间直角坐标轴上的投影
一、力在直角坐标轴上的投影 a)一次投影法（直接投影法）
b) 二次投影法（间接投影法） 当力F与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时
投影 力F
坐标平面 Oxy上，力矢 量Fxy
。CDB平面与水平
面间的夹角
，物重
。如起重杆的重量不计，试求
起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解：取起重杆AB与 重物为研究对象。
取坐标轴如图所示。 由已知条件知：
列平衡方程 解得
§3-3 力对轴的矩 力F对z轴的矩就是分力Fxy 对点O的矩， 即
力对轴的矩是力使刚体绕该 轴转动效果的度量、是一个 代数量。
(2)当力与轴平行时
(此时
)。
力对轴的矩的单位为N·m
例3—4 手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图 所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为 。如 果CD＝a，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长 度都等于l。试求力F对x、y和z三轴的矩。 解：将力F沿坐标轴分解
注：1.与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。 2.六个独立的平衡方程，求解六个未知量。 3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的 平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意 力系等平衡方程。
例：设物体受一空间平行力系作用。 令z轴与这些力平行，则
z轴上投影
x和y 轴上投 影
二、力沿直角坐标轴的分解
以 、 、 表示力F沿直角坐标 轴x、y、z的正交分量
力F在坐标轴上的投影和力沿坐标轴 的正交分矢量间的关系可表示为：
力F的 大小
方向余弦
例3—1 如图所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力 的作用。已
知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) 和压力角 ，以求力 沿 x、y
空间力偶用一个矢量，力偶矩矢M表示：
矢的长度表示力偶矩的大小 矢的方位与力偶作用面的法线 方位相同， 矢的指向与力偶转向的关系服 从右手螺旋规则。
注：力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定。
2．空间力偶系的合成与平衡条件 任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢 等于各分力偶矩矢的矢量和，即
自动满足。 因此，空间平行力系只有三个平衡方 程，即：
例3—7 如图所示的三轮小车，自重P＝8kN，作用于点E，载
荷
，作用于点C。求小车静止时地面对车轮的反力。
解：以小车为研究对象。
解得
例3—10 如图所 示均质长方板由 六根直杆支持于 水平位置，直杆 两端各用球铰链 与板和地面连接。 板重为P，在A处 作 用 一 水 平 力 F， 且 F=2P。 求 各 杆 的内力。
解：取长方体刚板为研 究对象，各支杆均为二 力杆，设它们均受拉力。
解得
（压力）
解得 解得
解得
§3-6 重心
1．重心的概念及其坐标公式
重力是一个分布力系，可视为空间平行力系。
一般所谓重力，就是这个空间平行力系的合力。
重心：不变形的物体(刚体)在地表面无论怎样放置，其平 行分布重力的合力作用线通过的此物体—个确定的点。
力的平移定理 空间任意力系
空间汇交力系 空间力偶系
空间汇交力系合成一力，作用线通过点O， 其大小和方向等于力系的主矢，即
空间力偶系合成为一力偶，等于各附加力偶矩矢的矢量和，又 等于原力系各力对于点O之矩的矢量和，即原力系对点O的主矩
力系主矢的大小 方向余弦 力系对点O的主矩的大小 方向余弦
空间任意力系平衡的必要和充分条件是：这力系的主矢和 对于任一点的主矩都等于零，即
和z轴的分力。 解：先将力Fn向z轴和Oxy平面投影，得
再将力 向x、y轴投影，得
则力 沿各轴的分力为
§3-2 空间汇交力系的合成与平衡
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线 通过汇交点。
合力的大小 方向余弦
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系的合力等于零， 即
空间汇交力系 的平衡方程
重心在工程实际中具有重要的意义。如重心的位置会影 响物体的平衡和稳定。
通过平行力系的合力可以推导物体重心的坐标公式。这些 公式也可用于确定物体的质量中心、面积形心和液体的压 力中心等。
绝对值： 该力在垂直于该轴的平面上的投影对于 这个平面与该轴的交点的矩的大小。
正负号： 从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴 按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。
也可按右手螺旋规则来确定其正负号，如图所 示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零：
(1)当力与轴相交时 (此时h＝0)；
根据合力矩定理
§3-4 空间力偶
1．力偶矩以矢量表示，空间力偶等效条件
平面力偶理论
只要不改变力偶矩的大小和力 偶的转向，力偶可以在它的作 用面内任意移转；
空间力偶理论
只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶可以在它 的作用面内任意移转；并且作用面可以平行移动。
空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素 (1)力偶矩的大小； (2)力偶作用面的方位； (3)力偶的转向。
合力偶矩矢的解析表达式为
合力偶矩矢的大小
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方向余弦
例3—5 工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔
所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x、y、
z轴上的投影 、 、 ，并求合力偶矩矢的大小和方向。
解：先将作用在四个面上的力偶用力偶 矩矢量表示，并将它们平行移到点A
合力偶矩矢的大小和方向余弦为
空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等 于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即
由上式，有 欲使上式成立，必须同时满足
空间力偶系的平衡方程
（三个独立的平衡方 程，求解三个未知量）
空间力偶系平衡的必要和充分条件为：该力偶系中所有各力偶 矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
§3-5 空间任意力系的平衡方程
（三个方程，可 求解三个未知量）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
例3—3 如图所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在
地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，
连线CD平行于x轴。已知：CE=EB＝DE，
第三章 空间问题的受力分析
空间力系：力的作用线是空间分布的力系。 空间汇交力系 空间力偶系 空间任意力系
§3-1 力在空间直角坐标轴上的投影
一、力在直角坐标轴上的投影 a)一次投影法（直接投影法）
b) 二次投影法（间接投影法） 当力F与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时
投影 力F
坐标平面 Oxy上，力矢 量Fxy
。CDB平面与水平
面间的夹角
，物重
。如起重杆的重量不计，试求
起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解：取起重杆AB与 重物为研究对象。
取坐标轴如图所示。 由已知条件知：
列平衡方程 解得
§3-3 力对轴的矩 力F对z轴的矩就是分力Fxy 对点O的矩， 即
力对轴的矩是力使刚体绕该 轴转动效果的度量、是一个 代数量。
(2)当力与轴平行时
(此时
)。
力对轴的矩的单位为N·m
例3—4 手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图 所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为 。如 果CD＝a，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长 度都等于l。试求力F对x、y和z三轴的矩。 解：将力F沿坐标轴分解