工程力学:第三章 空间问题的受力分析
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。CDB平面与水平
面间的夹角
,物重
。如起重杆的重量不计,试求
起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解:取起重杆AB与 重物为研究对象。
取坐标轴如图所示。 由已知条件知:
列平衡方程 解得
§3-3 力对轴的矩 力F对z轴的矩就是分力Fxy 对点O的矩, 即
力对轴的矩是力使刚体绕该 轴转动效果的度量、是一个 代数量。
空间力偶系平衡的必要和充分条件是:该力偶系的合力偶矩等 于零,亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零,即
由上式,有 欲使上式成立,必须同时满足
空间力偶系未知量)
空间力偶系平衡的必要和充分条件为:该力偶系中所有各力偶 矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
§3-5 空间任意力系的平衡方程
可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程
注:1.与平面力系相同,空间力系的平衡方程也有其它的形式。 2.六个独立的平衡方程,求解六个未知量。 3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的 平衡规律,例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意 力系等平衡方程。
例:设物体受一空间平行力系作用。 令z轴与这些力平行,则
绝对值: 该力在垂直于该轴的平面上的投影对于 这个平面与该轴的交点的矩的大小。
正负号: 从z轴正端来看,若力的这个投影使物体绕该轴 按逆时针转向转动,则取正号,反之取负号。
也可按右手螺旋规则来确定其正负号,如图所 示,姆指指向与z轴一致为正,反之为负。
当力与轴在同一平面时,力对该轴的矩等于零:
(1)当力与轴相交时 (此时h=0);
(三个方程,可 求解三个未知量)
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为:该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
例3—3 如图所示,用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在
地面上,而B端则用绳CB和DB拉住,两绳分别系在墙上的点C和D,
连线CD平行于x轴。已知:CE=EB=DE,
根据合力矩定理
§3-4 空间力偶
1.力偶矩以矢量表示,空间力偶等效条件
平面力偶理论
只要不改变力偶矩的大小和力 偶的转向,力偶可以在它的作 用面内任意移转;
空间力偶理论
只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向,力偶可以在它 的作用面内任意移转;并且作用面可以平行移动。
空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素 (1)力偶矩的大小; (2)力偶作用面的方位; (3)力偶的转向。
第三章 空间问题的受力分析
空间力系:力的作用线是空间分布的力系。 空间汇交力系 空间力偶系 空间任意力系
§3-1 力在空间直角坐标轴上的投影
一、力在直角坐标轴上的投影 a)一次投影法(直接投影法)
b) 二次投影法(间接投影法) 当力F与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时
投影 力F
坐标平面 Oxy上,力矢 量Fxy
解:取长方体刚板为研 究对象,各支杆均为二 力杆,设它们均受拉力。
解得
(压力)
解得 解得
解得
§3-6 重心
1.重心的概念及其坐标公式
重力是一个分布力系,可视为空间平行力系。
一般所谓重力,就是这个空间平行力系的合力。
重心:不变形的物体(刚体)在地表面无论怎样放置,其平 行分布重力的合力作用线通过的此物体—个确定的点。
合力偶矩矢的解析表达式为
合力偶矩矢的大小
方向余弦
例3—5 工件如图所示,它的四个面上同时钻五个孔,每个孔
所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x、y、
z轴上的投影 、 、 ,并求合力偶矩矢的大小和方向。
解:先将作用在四个面上的力偶用力偶 矩矢量表示,并将它们平行移到点A
合力偶矩矢的大小和方向余弦为
力的平移定理 空间任意力系
空间汇交力系 空间力偶系
空间汇交力系合成一力,作用线通过点O, 其大小和方向等于力系的主矢,即
空间力偶系合成为一力偶,等于各附加力偶矩矢的矢量和,又 等于原力系各力对于点O之矩的矢量和,即原力系对点O的主矩
力系主矢的大小 方向余弦 力系对点O的主矩的大小 方向余弦
空间任意力系平衡的必要和充分条件是:这力系的主矢和 对于任一点的主矩都等于零,即
空间力偶用一个矢量,力偶矩矢M表示:
矢的长度表示力偶矩的大小 矢的方位与力偶作用面的法线 方位相同, 矢的指向与力偶转向的关系服 从右手螺旋规则。
注:力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定。
2.空间力偶系的合成与平衡条件 任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶,合力偶矩矢 等于各分力偶矩矢的矢量和,即
(2)当力与轴平行时
(此时
)。
力对轴的矩的单位为N·m
例3—4 手柄ABCE在平面Axy内,在D处作用一个力F,如图 所示,它在垂直于y轴的平面内,偏离铅直线的角度为 。如 果CD=a,杆BC平行于x轴,杆CE平行于y轴,AB和BC的长 度都等于l。试求力F对x、y和z三轴的矩。 解:将力F沿坐标轴分解
z轴上投影
x和y 轴上投 影
二、力沿直角坐标轴的分解
以 、 、 表示力F沿直角坐标 轴x、y、z的正交分量
力F在坐标轴上的投影和力沿坐标轴 的正交分矢量间的关系可表示为:
力F的 大小
方向余弦
例3—1 如图所示的圆柱斜齿轮,其上受啮合力 的作用。已
知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) 和压力角 ,以求力 沿 x、y
重心在工程实际中具有重要的意义。如重心的位置会影 响物体的平衡和稳定。
通过平行力系的合力可以推导物体重心的坐标公式。这些 公式也可用于确定物体的质量中心、面积形心和液体的压 力中心等。
和z轴的分力。 解:先将力Fn向z轴和Oxy平面投影,得
再将力 向x、y轴投影,得
则力 沿各轴的分力为
§3-2 空间汇交力系的合成与平衡
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和,合力的作用线 通过汇交点。
合力的大小 方向余弦
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为:该力系的合力等于零, 即
空间汇交力系 的平衡方程
自动满足。 因此,空间平行力系只有三个平衡方 程,即:
例3—7 如图所示的三轮小车,自重P=8kN,作用于点E,载
荷
,作用于点C。求小车静止时地面对车轮的反力。
解:以小车为研究对象。
解得
例3—10 如图所 示均质长方板由 六根直杆支持于 水平位置,直杆 两端各用球铰链 与板和地面连接。 板重为P,在A处 作 用 一 水 平 力 F, 且 F=2P。 求 各 杆 的内力。