工程力学：第三章 空间问题的受力分析

。CDB平面与水平
面间的夹角
，物重
。如起重杆的重量不计，试求
起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解：取起重杆AB与 重物为研究对象。
取坐标轴如图所示。 由已知条件知：
列平衡方程 解得
§3-3 力对轴的矩 力F对z轴的矩就是分力Fxy 对点O的矩， 即
力对轴的矩是力使刚体绕该 轴转动效果的度量、是一个 代数量。
空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等 于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即
由上式，有 欲使上式成立，必须同时满足
空间力偶系未知量）
空间力偶系平衡的必要和充分条件为：该力偶系中所有各力偶 矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
§3-5 空间任意力系的平衡方程
可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程
注：1.与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。 2.六个独立的平衡方程，求解六个未知量。 3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的 平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意 力系等平衡方程。
例：设物体受一空间平行力系作用。 令z轴与这些力平行，则
绝对值： 该力在垂直于该轴的平面上的投影对于 这个平面与该轴的交点的矩的大小。
正负号： 从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴 按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。
也可按右手螺旋规则来确定其正负号，如图所 示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零：
(1)当力与轴相交时 (此时h＝0)；
（三个方程，可 求解三个未知量）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
例3—3 如图所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在
地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，
连线CD平行于x轴。已知：CE=EB＝DE，
根据合力矩定理
§3-4 空间力偶
1．力偶矩以矢量表示，空间力偶等效条件
平面力偶理论
只要不改变力偶矩的大小和力 偶的转向，力偶可以在它的作 用面内任意移转；
空间力偶理论
只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶可以在它 的作用面内任意移转；并且作用面可以平行移动。
空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素 (1)力偶矩的大小； (2)力偶作用面的方位； (3)力偶的转向。
第三章 空间问题的受力分析
空间力系：力的作用线是空间分布的力系。 空间汇交力系 空间力偶系 空间任意力系
§3-1 力在空间直角坐标轴上的投影
一、力在直角坐标轴上的投影 a)一次投影法（直接投影法）
b) 二次投影法（间接投影法） 当力F与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时
投影 力F
坐标平面 Oxy上，力矢 量Fxy
解：取长方体刚板为研 究对象，各支杆均为二 力杆，设它们均受拉力。
解得
（压力）
解得 解得
解得
§3-6 重心
1．重心的概念及其坐标公式
重力是一个分布力系，可视为空间平行力系。
一般所谓重力，就是这个空间平行力系的合力。
重心：不变形的物体(刚体)在地表面无论怎样放置，其平 行分布重力的合力作用线通过的此物体—个确定的点。
合力偶矩矢的解析表达式为
合力偶矩矢的大小
方向余弦
例3—5 工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔
所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x、y、
z轴上的投影 、 、 ，并求合力偶矩矢的大小和方向。
解：先将作用在四个面上的力偶用力偶 矩矢量表示，并将它们平行移到点A
合力偶矩矢的大小和方向余弦为
力的平移定理 空间任意力系
空间汇交力系 空间力偶系
空间汇交力系合成一力，作用线通过点O， 其大小和方向等于力系的主矢，即
空间力偶系合成为一力偶，等于各附加力偶矩矢的矢量和，又 等于原力系各力对于点O之矩的矢量和，即原力系对点O的主矩
力系主矢的大小 方向余弦 力系对点O的主矩的大小 方向余弦
空间任意力系平衡的必要和充分条件是：这力系的主矢和 对于任一点的主矩都等于零，即
空间力偶用一个矢量，力偶矩矢M表示：
矢的长度表示力偶矩的大小 矢的方位与力偶作用面的法线 方位相同， 矢的指向与力偶转向的关系服 从右手螺旋规则。
注：力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定。
2．空间力偶系的合成与平衡条件 任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢 等于各分力偶矩矢的矢量和，即
(2)当力与轴平行时
(此时
)。
力对轴的矩的单位为N·m
例3—4 手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图 所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为 。如 果CD＝a，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长 度都等于l。试求力F对x、y和z三轴的矩。 解：将力F沿坐标轴分解
z轴上投影
x和y 轴上投 影
二、力沿直角坐标轴的分解
以 、 、 表示力F沿直角坐标 轴x、y、z的正交分量
力F在坐标轴上的投影和力沿坐标轴 的正交分矢量间的关系可表示为：
力F的 大小
方向余弦
例3—1 如图所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力 的作用。已
知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) 和压力角 ，以求力 沿 x、y
重心在工程实际中具有重要的意义。如重心的位置会影 响物体的平衡和稳定。
通过平行力系的合力可以推导物体重心的坐标公式。这些 公式也可用于确定物体的质量中心、面积形心和液体的压 力中心等。
和z轴的分力。 解：先将力Fn向z轴和Oxy平面投影，得
再将力 向x、y轴投影，得
则力 沿各轴的分力为
§3-2 空间汇交力系的合成与平衡
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线 通过汇交点。
合力的大小 方向余弦
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系的合力等于零， 即
空间汇交力系 的平衡方程
自动满足。 因此，空间平行力系只有三个平衡方 程，即：
例3—7 如图所示的三轮小车，自重P＝8kN，作用于点E，载
荷
，作用于点C。求小车静止时地面对车轮的反力。
解：以小车为研究对象。
解得
例3—10 如图所 示均质长方板由 六根直杆支持于 水平位置，直杆 两端各用球铰链 与板和地面连接。 板重为P，在A处 作 用 一 水 平 力 F， 且 F=2P。 求 各 杆 的内力。