回归分析北师大版

百万元)之间有如下的对应关系：x 2 4 6 8( Nhomakorabea)
y
30
40
50
70
判断x与y之间是否存在线性相关关系．
解：画出(x，y)的散点图，如图所示，由图可知x，y呈现 线性相关关系．
－ x ＝5，－ y ＝47.5， x2 i ＝120，
i＝1 4 4
4
y2 i ＝9 i＝1

900， xiyi＝1 080，
1．(2011· 辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：
万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年 饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线 性回归方程：y＝0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家 庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万
n
2
＊ r 值越大，误差 Q 越小，则变量的线性相关程度
就越高； r 值越接近于0，Q 越大，线性相关程度就
越低。 ＊ 当 r 0 时，两变量正相关；当 r 0 时，两变量 负相关；当 r 0 时，两变量线性不相关。
4．对四对变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组 数，r是相关系数，且已知：
拓展思考
相关系数r越大，变量间的线性关系就越 强，那么r的值究竟大到什么程度就认为线性 关系较强？？
相关系数
n (xi -x)(yi -y) i=1 r= n n 2 2 (xi -x) × (yi -y) i=1 i=1
ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常， r∈[-1,-0.75]——负相关很强; r∈[0.75,1]——正相关很强; r∈[-0.75,-0.3]——负相关一般; r∈[0.3, 0.75]——正相关一般; r∈[-0.25, 0.25]——相关性较弱;
i＝1
i＝1
x － y xiyi－4－
4
r＝
4 2 2 2 － xi －4－ x y2 － 4 y i i＝1 i＝1

4

1 080－4×5×47.5 ＝ 120－4×529 900－4×47.52 ≈0.982 7. 故 x 与 y 之间存在线性相关关系.
复习回顾
＊ 线性相关系数r及性质：
正相关
负相关
思考交流
对于课本P73给出的例题，变量的线性相关系数r 如何求？ 我们知道，相关系数的计算公式为：
r
x y
i 1 i 2 2 x n x i i 1 n
n
i
nx y
2 2 y n y i i 1
n
n 2 i n
n
2 x y 要求r，只需求出相关的量： xi yi ， ， i ，
（3）写回归直线方程 y a bx，并用方程进 行预测说明.
新课探究
任何数据，不管它们的线性相关关系如何，都
可以用最小二乘法求出线性回归方程，为使建立的
线性回归方程有意义，在利用最小二乘法求线性回 归方程之前，先要对变量间的线性相关关系作个判 断，通常可以作散点图。但在某些情况下，从散点 图中不容易判断变量间的线性关系，另外，如果数
据量较大时，画散点图比较麻烦，此时我们有没有
其他方法来刻画变量之间的线性相关关系呢？
新课探究
为解决这个问题，我们可通过计算线性相关系数
r，来判断变量间相关程度的大小，计算公式为：
r lxy lxxl yy
( x x )( y y )
i 1 i i 2 ( x x ) i i 1 n 2 ( y y ) i i 1 n
yi
0 3 4 5 4 3 0 19
x
2 i
y
0 9
2 i
xi yi
0 -12 -12 0 12 12 0 0
25 16 9 0 9 16 25 100

16 25 16 9 0 75
由表可知：
2 2 x 1 00 ， y i i 75 ， xi yi 0 ，
n
n
n
i 1
i 1
(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程．
解：(1)散点图如图．
(2)由散点图可知，y 与 x 呈相关关系，设线性回归方程 为 y＝bx＋a.
5 2 － 经计算， 得－ x ＝6， y ＝210.4， xi ＝220， xiyi＝7 i＝1 i＝1

5

790.
7 790－5×6×210.4 ∴b＝ ＝36.95， 2 220－5×6 a＝210.4－36.95×6＝－11.3. ∴线性回归方程为 y＝36.95x－11.3.
相关关系的测度
（相关系数取值及其意义）
完全负相关 无线性相关 完全正相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
小结
＊ 线性相关系数r：
r
x y
i 1 i
n
i
nx y
2 2 y n y i i 1 n
，其中 1 r 1 。
x nx
i 1 2 i
x 和 y 。
i 1
i 1
i 1
由数据表，经过计算，可知（P77）：
2 2 y x 17633 x y 20040 i i ， i ， i 22790，
i 1
i 1
n
n
n
i 1
330 291 66 ，可得 x 58.2 ， y 5 5
r
20040 5 58.2 66
相关系数
1.计算公式
r=
(x
i=1
n
i
- x)(yi - y)
2
(x
i=1
n
i
- x)
(y
i=1
n

2
x y
i 1 i
n
i
nxy
i
- y)
x
i 1
n
2 i
nx
2
y
i 1
n
2 i
ny 2
2．相关系数的性质 (1)|r|≤1； (2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近 于0，相关程度越小． 问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们 的相关程度怎样呢？
就越高； r 值越接近于0，Q 越大，线性相关程度就
越低。 相关系数r的性质
当 r 0 时， b 0 ，两变量的值总体上呈现同
时增加的趋势，则称两变量正相关；
当 r 0 时， b 0 ，一变量增加，另一变量有 减小的趋势，则称两变量负相关； 当 r 0 时，则称两变量线性不相关。
y＝bx ＋a
( xi x)( yi y ) xi yi nx y i 1 i 1 b n n 2 2 2 ( x x ) x n ( x ) i i i 1 i 1 a y bx 1 n 1 n y yi x xi 其中 n i 1 n i 1
新课讲解
下表按年份给出了1981~2001年我国出口贸易 量（亿美元）的数据，根据此表你能预测2008年我 国的出口贸易量么？
回归分析的基本思想及其初步应用
3.1.1
回归分析
回顾复习 问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？ 不相关 1、两个变量的关系
函数关系
线性相关 相关关系
非线性相关 相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定 时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量 之间的关系。
思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？
答案：C
复习回顾
＊ 用线性回归方程进行回归分析： （1）画散点图；
（2）求回归系数 a , b ：
b
(x
i 1 n
n
i
x )( yi y )
2 ( x x ) i i 1

x y
i 1 n i i 1
n
i
nx y
2 2 x n x i
a y bx
r
x y
i 1 i
n
i
nx y
2 2 y n y i i 1 n
x nx
i 1 2 i
n
，其中 1 r 1 。
2
＊ r 值越大，变量的线性相关程度就越高； r 值越接近于0，线性相关程度就越低。
＊ 当 r 0 时，两变量正相关； 当 r 0 时，两变量负相关； 当 r 0 时，两变量线性不相关。
①n＝7，r＝0.953 3；②n＝15，r＝0.301 2；
③n＝17，r＝0.499 1；④n＝3，r＝0.995 0. 则变量y和x线性相关程度最高的两组是 A．①和② C．②和④ 程度越高，故选B. 答案：B B．①和④ D．③和④ ( )
解析：相关系数r的绝对值越大，变量x，y的线性相关
5．某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额y(单位：
i 1
x 0 ，y 2.71，则可得
r 0 7 0 2.71 100 7 0 2 75 7 2.712 0
你发现什么了？？ r=0，则变量间并不存在线性相关关系。即此时 建立线性回归方程是没有意义的。
实际上，从散点图上我们也可以验证这一点：
易看出，几个样本点都落在同一个半圆上，而不 是条状分布，此时建立线性回归方程无任何意义，这 与相关系数r的计算结果相一致。
n

x y nxy
i 1 i i 2 2 x nx i i 1 n 2 2 y ny i i 1 n
n
新课探究
据前面的分析，回归系数 a , b 使得误差