高三二轮复习--数列

高三二轮复习-数列

【例1】S n为等差数列｛a n｝的前n项和，且a i= 1 ,S = 28.记b n = [lg a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]

=0 , [lg 99] = 1.

(1)求b i, b ii, b ioi；

⑵求数列｛b n｝的前1 000项和.

【例2】已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且有a i = 2,3S n= 5a n —a n-1 + 3S n-i(n>2).

(1)求数列｛a n｝的通项公式；

⑵若b n= (2n—1)a n，求数列｛b n｝的前n项和T n.

【例3】等比数列｛a n｝中，a i，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且在下

a i，a2，a3中的任何两个数不

表的同一列.

(1)求数列｛a n｝的通项公式；

⑵若数列｛b n｝满足：b n= a n+ ( —1)% a n，求数列｛b n｝的前n项和S n.

1

【例4】设等差数列｛a n｝的前n项和为S n, a22—3a7= 2,且—,S2 —3, S3成等比数列，n€ N*.

(1)求数列｛a n｝的通项公式；

2

⑵令b n= ，数列｛b n｝的前n项和为T n，若对于任意的n € N*，都有8T n<2入2+ 5入成立，求实数入的取值范

—n—n +2

围.

【例5】数列的综合问题

已知等差数列｛a n｝的公差为一1，且a2+a7+ a i2=— 6.

(1) 求数列｛a n｝的通项公式a n与前n项和S n；

(2) 将数列｛a n｝的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列｛b n｝的前3项，记｛b n｝的前n项和为T n,若存在m€ N*，使对任意n€ N*，总有S n

【例6】数列与其他的综合问题

设f n(x) = x+ x2+…+ x n—1，x> 0，n € N，n》2.

(1)求f n' (2)；

2 1 1 2

⑵证明：f n(X)在0厂内有且仅有一个零点(记为a n)，且0V a n—产~( )1

3 2 3 3

【例2】已知等差数列｛a n｝的公差d>0，其前n项和为S n,若S B= 12，且2a i, a2, 1 + a3成等比数列.

(1)求数列｛a n｝的通项公式；

1 1 1

⑵记b n= ——（n€ N*），且数列｛b n｝的前n项和为T n,证明：T n<-.

a n a n + 1 4 3

【例3】设n€ N*, x n是曲线y= x2n+2+ 1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标. (1)求数列｛X n｝的通项公式；

1

⑵记T n= X&3 …x2n—1,证明：T n> .

【例4】自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创

业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年

初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M,M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.

(1)求第n年年初M的价值a n的表达式；

a 1 + a2 +・・・+ a n

⑵设A n= ------- n 一，若A n大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年年初对M更新，证明：必须在

第九年年初对M更新.

练习

1. 设数列｛a n｝的前n 项和为S n,已知a i = 1, a2= 2,且a n+ 2= 3S n —S n +1 + 3, n € N

(1)证明：a n+ 2 = 3a n；

⑵求S n.

2. 已知正项数列｛a n｝的前n项和S n满足：4S n= (a n —1)(a n + 3)(n € N*).

(1)求a n；

⑵若b n= 2n• a n,求数列｛b n｝的前n项和T n.

3. 已知数列｛a n｝的前n项和S n满足Sn = a(S —a n + 1)(a为常数，且a>0)，且4a3是a1与2a2的等差中项.

(1)求｛a n｝的通项公式；

2n+ 1

⑵设b n= ——，求数列｛ b n｝的前n项和T n.

a n

4. 已知数列｛a n｝的前n项和为S n,且S n —1 = 3(a n—1), n€ N

(1)求数列｛a n｝的通项公式；

3 a b

⑵设数列｛b n｝满足a n 1 ( ) n n，若b n< t对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围.

2

5. 已知数列｛a n｝是等比数列，并且a1，a2+ 1, a3是公差为一3的等差数列.

(1)求数列｛a n｝的通项公式；

⑵设b n= a2n，记S n为数列｛ b n｝的前n项和，证明：

16 $＜亍

6. 设数列｛a n｝( n= 1,2,3，…)的前n项和$满足S n= 2a n—a1，且a1，a2+ 1，a3成等差数列.

(1)求数列｛a n｝的通项公式；

1 1

⑵记数列｛一｝的前n项和为T n，求使得|T n—1|< 1000成立的n的最小值.

a n

7. 已知数列｛a n｝的前n项和S n= 1+入a n,其中入工0.

(1)证明｛a n｝是等比数列，并求其通项公式；

31 ⑵若&求入.

7.已知数列｛a n｝的前n 项和为S n,且(a—1)S n= a(a n—1)(a >0)(n€ N*).

(1)求证数列｛a n｝是等比数列，并求其通项公式；

⑵已知集合 A = ｛x|x1 2 3+ a< (a + 1)x｝，问是否存在实数a,使得对于任意的n€ N*，都有S n€ A?若存在，求岀a 的取值范围；若不存在，说明理由.

1

8. 已知｛a n｝是公差为3的等差数列，数列｛ b n｝满足b1 = 1，b2= 3，a n b n+ 1+ b n+ 1 = nb n

3

(1)求｛a n｝的通项公式；

⑵求｛b n｝的前n项和.