北师大版勾股定理的应用

勾股定理的应用

知识梳理:

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．

题型一、关于路线最短问题

例1、有这样一个有趣的问题：如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm。在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点的食物，需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少（ 的值取3）

注：这个问题最终的解决，是把圆柱的侧面沿着它的一条母线剪开展成一个长方形，从而把曲面上的路线问题转化为平面上A、B两点间的路线问题。像这种，将空间问题转化为平面问题的方法，对发展我们的空间观念是很有好处的。

牛刀小试：

1、一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗蚂蚁要爬行的最短行程是多少

B

12

8

A 8

题型二、测量实际距离（求线段长度）

例2、在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高3米的小树，两树之间相距12米。今一只小鸟在其中一棵

树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少

小试牛刀：

.2.如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险

课堂巩固：

1、有一圆柱体高为10cm ，底面圆的半径为4cm ，AA 1、BB 1为相对的两条母线。在AA 1上有

一个蜘蛛Q ，QA =3cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1=2cm 。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm 。（π 3）

2. 如图是一个长方体长4、宽3、高12，则图 中阴影部分的三角形的周长为__________

3. 如图，一架米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将向外移多少米

第2题 12 A

B 1 A 1 B

Q P

A

B

C

D

A 1

B A

课后练习：

一．选择题

1．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A ．6、8、10 、12、13 、18、22 、12、15

2.如图:正方形A 的面积为36,正方形B 的面积为64,则正方形C 的面积为（ ）

3.一个直角三角形的一条直角边长为12cm,斜边长为15cm,则此直角三角形的面积为（ ） cm

2

cm

2

cm

2

cm

2

4.将直角三角形的三条边同时扩大4倍后,得到的三角形为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定

5.等腰三角形的一腰长为13,底边长为10,则它的面积为（ ）

6.如右图:已知AD 是△ABC 的高,AB=10,AD=8,BC=12,则△ABC 为（ ） A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.不能确定

7.等边三角形的边长是10,它的高的平方等于（ ） 8.三角形三边长分别为a

2

－b

2

、2ab 、a

2

＋b

2

（a ＞b ＞0）,则这个三角形为（ ）

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.不是直角三角形

9.已知：如图，在△ABC 中,D 是AC 的中点,∠C=90°,下列等式不成立的为（ ）

2

＋BC

2

=AB

2

2

＋BC

2

=BD

2

2

+BC

2

=BD

2

2

+BD

2

=AB

2

10. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则2

2

2

AB AC BC ++=______. 11 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .

12. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.

（第13题） （第14题） （第15题） 13. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵

树的顶端，小鸟至少要飞___________米.

14. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC =8，AD =5，则AC 等于______________. 15. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.

16. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2

.

二、解答题

1、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。某日早晨8:00甲先出发，他以6千米/时的速度向正东行走。1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向正北行走。上午10：00，甲、乙二人相距多远

2、如图所示，某地有A,B,C 三个村庄，C 村到B 村，A 村的距离分别为24千米，10千米，A,B 两村相距26千米，现要从C 村修一公路CD 到AB ，要求所修公路最短，请你在图上标出D 点的位置，并求出CD 的长。 A

B

D

E A B C D

第

16题图

7cm