专题1.6 三角函数模型的简单应用重难点题型(举一反三)(解析版)

专题1.6三角函数模型的简单应用重难点题型【举一反三系列】

【知识点1 三角函数模型的建立程序】

收集数据画散点图选择函数模型

检验求函数模型

用函数模型解决实际问题

【知识点2 解答三角函数应用题的一般步骤】

解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论．

（1）审题

三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．

（2）建模

根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．

（3）解模

利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果．

（4）结论

将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判．

要点诠释：

实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．

【考点1 三角函数模型在航海中的应用】

【例1】（2019秋•潮阳区期末）某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：

t03691215182124

y10139.97101310.1710经过长期观测，y＝f（t）可近似的看成是函数y＝A sinωt+b

（1）根据以上数据，求出y＝f（t）的解析式；

（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？

【分析】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，求出b和A；再借助于相隔12小时达到一次最大值说明周期为12求出ω即可求出y＝f（t）的解析式；

（2）把船舶安全转化为深度f（t）≥11.5，即；再解关于t的三角不等式即可求出船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港．

【答案】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，

∴＝10，

且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12，

因此，，

故（0≤t≤24）

（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即

∴，

解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z

又0≤t≤24

当k＝0时，1≤t≤5；

当k＝1时，13≤t≤17；

故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）．

【点睛】本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期，最大最小值等．

【变式1-1】（2019•怀化二模）受日月引力的作用，海水会发生涨落，这种现象叫潮汐．在通常情况下，船在海水涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后返回海洋．某港口水的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作：y＝f（t），下表是该港口在某季每天水深的数据：

t（h）03691215182124

y（m）10.013.19.97.010.113.010.07.010.0

经过长期观察y＝f（x）的曲线可以近似地看做函数y＝A sinωt+k的图象．

（Ⅰ）根据以上数据，求出函数y＝f（t）的近似表达式；

（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰到海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？

【分析】（Ⅰ）函数y＝f（t）可以近似地看做y＝A sinωt+k，由数据知它的周期T＝12，振幅A＝3，k ＝10，从而可得函数解析式；

（Ⅱ）该船进出港口时，水深应不小于6.5+5＝11.5m，而在港口内，永远是安全的，由此可得结论．【答案】解：（Ⅰ）∵函数y＝f（t）可以近似地看做y＝A sinωt+k，

∴由数据知它的周期T＝12，振幅A＝3，k＝10…（3分）

∵，∴．

故…（6分）

（Ⅱ）该船进出港口时，水深应不小于6.5+5＝11.5m，而在港口内，永远是安全的，

由得…（9分）

∴，∴12k+1≤t≤12k+5（k∈N），

在同一天内，取k＝0.1，则1≤t≤5或13≤t≤17…（11分）

故该船最早能在凌晨1时进港，最迟在下午17时离港，在港口内最多停留16小时．…（12分）

【点睛】本题考查三角函数模型的建立，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

【变式1-2】（2019秋•涵江区校级月考）某港口的水深y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，下表是该港口某一天从0：00时至24：00时记录的时间t与水深y的关系：

t（h）0：003：006：009：0012：0015：00

y（m）9.912.910.07.110.013.0

（Ⅰ）经长时间的观察，水深y与t的关系可以用正弦型函数拟合，求出拟合函数的表达式；

（Ⅱ）如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，船舶安全航行时船底与海底的距离不少于4.5m．那么该船在什么时间段能够进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港所需时间）；

（Ⅲ）若某船吃水深度为8m，安全间隙（船底与海底的距离）为2.5．该船在3：00开始卸货，吃水深度以每小时0.5m的速度减少，该船在什么时间必须停止卸货，驶向较安全的水域？

【分析】（Ⅰ）根据数据，，可得A＝3，h＝10，由T＝15﹣3＝12，可求ω＝将点（3，13）代入可得ϕ＝0，从而可求函数的表达式；

（Ⅱ）由题意，水深y≥4.5+7，即3sin t+10≥11.5，从而可求t∈[1，5]或t∈[13，17]；

（Ⅲ）设在时刻x船舶安全水深为y，则y＝10.5﹣0.5（x﹣3）（x≥3），若使船舶安全，则10.5﹣0.5（x﹣3）≥3sin x+10，从而可得3≤x≤7，即该船在7：00必须停止卸货，驶向较安全的水域．【答案】解：（Ⅰ）根据数据，，

∴A＝3，h＝10，