专题1.6 三角函数模型的简单应用重难点题型(举一反三)(解析版)

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【高中数学经典】三角函数的诱导公式重难点题型(举一反三)

【高中数学经典】三角函数的诱导公式重难点题型(举一反三)

【高中数学】三角函数的诱导公式重难点题型【举一反三系列】三角函数的诱导公式【知识点1诱导公式】【知识点2诱导公式的记忆】诱导公式一: sin(α+2kπ) = Sin a ,cos(α + 2kπ) = COSα, taιι(α + 2kπ) = xana ,其中 k ∈Z 诱导公式二: sin(∕r + G) = -Sin a,cos(∕r+α) =—COSα, tan(∕r+α) = tana,其中keZ 诱导公式三: sin(-a) =-Sina, cos(-a) = COSa , tan(-a) = -taιιa ,其中k ∈Z诱导公式四:cos(∕F -a) = -cosa, taιι(^∙-a) = -tana,其中k ∈Z 诱导公式五: Sin π ——a 2 COS π ——a 2 = Sina ,其中R ∈Z诱导公式六:Sin π —+a 2 COS —+a =-sinα ,其中k ∈Z U 丿记忆11诀“奇变偶不变,符号看象限”,意思是说角k-90 ±a(k 为常整数)的三角函数值:当k 为奇数 时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k 为偶数时,函数名不变,然后α的三角函数值前面加上当视Q 为锐角 时原函数值的符号.【考点1利用诱导公式求值】【方法点拨】对任意角求三角函数值,一般遵循“化负为正,化大为小”的化归方向,但是在具体的转化 过程中如何选用诱导公式,方法并不唯一,这就需要同学们去认真体会,适当选择,找出最好的途径,完 成求值.【例1】(2018秋•道里区校级期末)已知点P(l,l)在角Q 的终边上,求下列各式的值.T 、 COS (Λ^ + α)sin(^∙ - a)(I )------------------------------------- ;tan(∕r + α) + sin 2 (彳-a)sin(- + α)cos(- 一 a) (II) 、 2 、——召——cos^ a - sm^ a + tan(;T - a)【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得smα, cosα, Sna 的值,再利用诱导公式即可求得要 求式子的值.【答案】解:∙.∙角α终边上有一点P(l,l),.x = l , y = l , r =|OP I= √7,Sill CL = — = _ , COS Ct = — = — , tan Ct — -- = It r 2 r 2 X([) cos(∕r + α)sin(%-α)、 -、,兀、 tan(^∙ + α) + sιn^ (― 一 a) ./3∕r 3π([[)SInq-+Q )COS (T _Q ) _ (γosα)(-smα) cos 2 a - sin 2 a + tan(∕r -a) cos 2a - sin 2a 一 tan a【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.【变式1-1】 (2019春•龙潭区校级月考)己知tan(^+ «) = -!,求下列各式的值:-COSa ∙smα ton a + cos 2(x(]) 2COS (Λ∙-α)-3sin(∕r+ α)4cos(α - 2πy ) + sin(4∕r - a)(2) siιι(α-7π)cos(a + 5π).【分析】(1)由诱导公式化简后,原式分子分母除以cosα,利用同角三角函数间的基本关系化简,将tana 的值代入计算即可求出值;(2)由诱导公式化简后,原式分母“1”化为sin 2a + ∞s 2a,然后分子分母除以∞s 2a,利用同角三角函数间的基本关系化简,>'J tana 的值代入计算即可求出值.【答案】解:∙.∙tan(∕r + a) = tana =-扌,【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键,属于基本知识的 考查.【变式1-21(2018春•陆川县校级月考)若COSa = - , a 是第四象限角,求sm(d_2”) + sin(--3∕τ)cos(-3”) 3 COS (龙-a)-COS (-Λ∙ - a) COS(a - 4π)的值.【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子,可得结果.【答案】解:∙.∙cosa =扌,a 是第四象限角,- -sina = 一JI-COS 订=_£ ,Sin(Q - 2π) + siιι(-a -3π)cos(a- 3π) _ Sillcr + Siila ・(一COS a) _ Sin a(l- COS a) _3 3 _ ∙√5 cos(∕r — a)-cos(-x-a)cos(a-4;F) — CoSa+ cosa∙cosa COSa(COSa — 1) 亠(一 1) 2【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式,属于基础题.【变式1-3】 (2019春•沈阳校级月考)己知SlnQ 是方程5√-7x-6 = 0的根,求sin(-a -—龙)∙sin(- π 一 a)∙tan 2 (2π - a) 4 5【分析】把SinQ 代入到方程中解出即可求出Sina 的值进而求出tan'a 的值,然后把所求的式子利用诱导公 式及同角三角函数间的基本关系进行化简,将tan j 的值代入即可求出值.【答案】解:∙.∙sinα是方程SJC-IX-6 = O 的根,二Sina = -O 或Sina = 2 (舍).5+iτ . ■> 9 “16 , 9∣ √ sm^ α = —, cos^ a = — => taιι^ a = —• 25 25 16(1) 2 COS (Λ∙ -Qf)-3 sin(π + a)4cos(α - 2π) + sin(4∕r - a) 3sinα-2cosα 4cosα-siιια 3 tail α - 2 4-tana(2) sin(α — 7π)cos(α + 5π) = Sm a COS a =SlnQCOSa SUra + COS I atanatan 2a + l 的值.「•原式=∞s α∙(-COS α)∙tan^ aSin α∙(- Sin a)∙cos2 asin2 aCOSa•(—COS α) •—____________ COS-CLSill α∙(- Sill α)∙cos2a1cos2a=sec^ a = l +tail" α = l + —=—16 16【点睛】此题要求学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值,解这道题的思路是利用已知求出正切函数的平方,所求的式子也要化为关于正切函数平方的关系式.【考点2利用诱导公式化简】【方法点拨】灵活应用诱导公式,应用的原则是:负化正,大化小,化到锐角就终了taιι(Λ∙ - α)cos(2∕τ —α)sin(-α + —)【例2】(2019秋•颍泉区校级期中)化简: ------------- ------ —-------- .cos(-α - π) sm(-∕r - a)【分析】由已知利用诱导公式即可化简得解.tan(∕r —α)cos(2∕r - α)sin(-α + —) 【答案]解: -------- ------ ---------- 一一cos(_a 一π)sιn(-π一a)(一tan a) COS ◎(一COS a) _ -------------------------- =—1.(一COSa)SiiIa【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用,属于基础题.【变式2-1] (2019春•兰考县校级期末)化简:sιn(4—⑵ CoS(I■ + ◎) tan(5 一Q) + a) COS(2Λ,-a)sin(3τr —a) sin(- + O)【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可.【答案】解sin(4Λ∙-α)cos(-÷α) _ tan(5Λ∙-a) _ sin(-αχ-Sina) _ -tana _ Sin Z a十1 I-Sin Z aSm(爭+ a)cos0-a) sm(3^-a)sin(^÷ a) " <-cosa>cos<-a> SInaCoS八CoSF 品- cos2【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用,考查计算能力.sin(8 - 5Λ∙)COS( ------- θ)cos(lπ一θ)【变式2・2】(2019春•东莞市校级期末)化简----------------- F -------------------------sin(8 - #) sin(-3^∙ - θ)【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子,可得结果.【答案】解:sin(8 —5π) cos(-壬一 &)cos(7∕r —θ) Sin(^ - π >cos(y + &)・cos(/r -θ)Sin(O -夢)sin(-3;T — 6)-Sin(^- —8)∙sin(∕r - θ)-siu8»(-sin&)・(一cos8) .;---- =—Sln σ • COS8∙sin θ【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式,要特别注意符号的选取,这是解题的易错点,属于基础题.【变式2-3】(2019春•西安月考)化简:血Sr)SIn(-2—&)CoS(6”也cos(8 - π)siιι(5Λ∙ + θ)【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式,可得结果.r M tan(2∕r-8)sin(-2 広一 &) COS(6兀一&) - tan 0∙(-Sill ^)∙cos θ sin 8L ⅛ 杀J W • ----------------------------------------------- = ----------------------------- =-------- = t∩ιι θ ‘COS(O - π)sin(5∕r + θ)- COS 8・(一Sm θ) COS θ【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于基础题.【考点3诱导公式在函数中的应用】cos(- + x) cos(-x) siιι(- - x)【例3】(2019春•怀化期末)已知/(X) = 一 -------------------- - -- 2——sm(-Λ- - X)CoS(2/T - x)(I )化简/(x);(II)若X是第三象限角,且tmιx = 2,求/⑴的值.【分析】(【)由己知利用诱导公式即可化简得解;(II)由tanx=2,可得SinX=2cosx,根据角的范围利用同角三角函数基本关系式即可求解.【答案】解:([)∕α)=Eτ∙(⅜χ.SillACOSX(II) ∙.∙ta∏Λ = 2, ..sinx = 2COSΛ'» 代Asin3 x+cos2 x = l,得:5cos2 x = l,∙.∙x是第三彖限角,.■- /(X) = COSX = --Y .【点睛】本题主要考查了诱导公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.【变式3-1】(2019春•大武口区校级期末)己知./(«) =—)su,cos(";)_ sin(-^- - a) cos(y + a) sin(- + a)(1)化简/(«):(2)若/(a) = *,求3sin2α-4siιιαcosof + 5cos2a的值.【分析】(1)直接利用诱导公式化简求解即可.(2)求出正切函数值,利用同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式,代入求解即可.【答案】解:(1)弘)=一Smgm"(Yθsα)=toιm-COS a∙(- Sm QXOS a3 f(a)=-,可得:taιια = -,r . “° 3siιF α — 4sinαcosα + 5cos% 3tan 2α-4taιια + 53SIn- α-4sιnαCOS a + Scos~a = ----------------- ; -------; ----------- = ------------ ; ---------- ,siιι^ a + cos~a taιι^ α + l 将tanα =丄代入, 3Jg得 3siιι2 α-4siιιαCOS a + 5cos 1a = 一 •5 【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用,考查转化思想以及计算能力•【变式3-2】 (2018秋•红塔区校级期末)己知/(α)=泅(2兀一Q )述S + ?COS (FF )cos (∕r - a ) tan (3;T - a )(1) 将/(◎)化为最简形式;(2) f (a )- f (rγ + α) = » 且 Qe (O ,兀),求 tana 的值.【分析】(1)由题意利用诱导公式,化简所给的式子,可得结果.(2)由题意可得Sina+cosa 的值,再利用同角三角函数的基本关系,求得Sina-CoSa 的值,可得Sina 的 COSa 的值,从而求得tana 的值.【答案】解:(1)由题意可得,f(a) = (~SmQf)tanQfeCOSQf) =Sinα . (-cos α)(-taιια)(2) f(a)-f(rγ + Qf) = Sina-Sm(^ + α) = Sinα + COSa = 4©»] 24平方可得 1 + 2SinaCOSQ = ----- .. 2siιιαcosα = -一<0, 25 25π 49 7因为α e (0,兀),所以 α∈(-,Λ-) ∙ SinQ-COSa>0 , (Sina-COSa)2 =1-2SmaCOSa =—,所以SinQ-COSQ = E ②, 由①②可得:Sma = —,cosα = --,5 5 4 结果.(2)利用诱导公式化简要求的式子为sin&-cos0>0,再计算(Sin^-CoS^)2的值,可得要求式子的值.4所以taιια =——• 3【点睛】本题主要考查利用诱导公式,同角三角函数的基本关系,属于基础题.【变式0 (沁秋•汕头校级期中)己知函数蚀少二:(穿1 (1)若 f(θ)×siii — -COS^ = 0,求SineCOSe 的值.(2)若/(B)MosO= £ ,且彳v&v 普,求/(2019Λ--θ)-∞S (2018Λ∙-θ)的值; 【分析】 (1)由题意利用诱导公式求得诚=2,再根据SineCOSe = sin8cos8 sin 2 8+cos' θ总’计算求得【答案】解:(I)函数fg = (SE • +迓哄E = SIn“OS"S1∏Λ∙=若 f(0)×siιι--COS θ = sin&・--COSe = 0 •则 tan 。

2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用学案(含解析)新人教A版必修4

2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用学案(含解析)新人教A版必修4

1.6 三角函数模型的简单应用考试标准课标要点学考要求高考要求三角函数模型的实际应用c c知识导图学法指导1.应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立适当的三角函数模型.2.在建立三角函数模型时,要注意从数据的周而复始的特点以及数据的变化趋势这两个方面来考虑.1.三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题,根据题意建立三角函数模型,再求出相应的三角函数在某点处的函数值,进而使实际问题得到解决.步骤可记为:审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题.这里的关键是建立数学模型,一般先根据题意设出代表函数,再利用数据求出待定系数,然后写出具体的三角函数解析式.2.三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据,做出相应的“散点图”,通过观察散点图并进行数据拟合,从而获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.状元随笔解答三角函数应用题应注意四点(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用,阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景,领悟其中的数学本质,列出等量或不等量的关系.(2)在建立变量关系这一关键步骤上,要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题.(3)实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多门学科的知识才能完成,因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助解决问题.(4)实际问题通常涉及复杂的数据,因此往往需要用到计算机或计算器.[小试身手]1.判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”)(1)解答三角函数应用题的一般步骤:审题、建模、求解、检验、还原.( ) (2)在解决实际问题时,利用收集的数据作散点图,可精确估计函数模型.( ) (3)若函数y =a sin x +1在x ∈[0,2π]上有两个不同零点,则实数a 的取值范围是[-1,1].( )(4)已知某地区某一天从4~16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x -54π+20,x ∈[4,16],则该地区在这一时段的温差为20 ℃.( )答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√2.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某商场的人流量满足函数F (t )=50+4sin t2(t ≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A .[0,5]B .[5,10]C .[10,15]D .[15,20]解析:由2k π-π2≤t 2≤2k π+π2,k ∈Z ,知函数F (t )的增区间为[4k π-π,4k π+π],k ∈Z .当k =1时,t ∈[3π,5π],而[10,15]⊆[3π,5π],故选C.答案:C3.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球,它们做上下自由振动,已知它们在时间t (s)时离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由下列两式确定:s 1=5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t +π6,s 2=5cos ⎝⎛⎭⎪⎫2t -π3. 则在时间t =2π3时,s 1与s 2的大小关系是( )A .s 1>s 2B .s 1<s 2C .s 1=s 2D .不能确定解析:当t =2π3时,s 1=-5,s 2=-5,所以s 1=s 2.答案:C4.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过12周期后,乙的位置将传播至( )A .甲B .乙C .丙D .丁解析:相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期,故选C. 答案:C类型一 三角函数在物理中的应用例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动,它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (cm)与时间t (s)的函数关系式为:h =3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t +π4.(1)求小球开始振动的位置;(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间; (3)经过多长时间小球往返振动一次? (4)每秒内小球能往返振动多少次?【解析】 (1)令t =0,得h =3sin π4=322,所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322cm 处.(2)由题意知,当h =3时,t 的最小值为π8,即小球第一次上升到最高点的时间为π8 s.当h =-3时,t 的最小值为5π8,即小球第一次下降到最低点的时间为5π8s.(3)T =2π2=π,即经过约π s 小球往返振动一次.(4)f =1T =1π,即每秒内小球往返振动1π次.令t =0解1→令h =±3解2→问题3即求周期T→问题4即求频率f T的倒数方法归纳处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.跟踪训练1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s =4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t +π3,t ∈[0,+∞).用“五点法”做出这个函数的简图,并回答下列问题:(1)小球在开始振动(t =0)时的位移是多少?(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少? (3)经过多长时间小球往复振动一次? 解析:列表如下,t-π6 π12 π3 7π12 5π6 2t +π30 π2 π 3π2 2π sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t +π3 0 1 0 -1 0 s4-4描点、连线,图象如图所示.(1)将t =0代入s =4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t +π3,得s =4sin π3=23,所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和-4 cm. (3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是πs.解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义,易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系.类型二 三角函数在实际生活中的应用例2 已知某海滨浴场的海浪高度是时间t (h)的函数,记作y =f (t ).下表是某日各时的浪高数据.t (h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据,求出函数y =A cos ωt +b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8时到晚上20时之间,有多长时间可供冲浪者进行运动?【解析】 (1)依题意,得T =12,A =y max -y min2=0.5,b =y max +y min 2=1,所以ω=2π12=π6,故y =12cos π6t +1.(2)令y =12cos π6t +1>1,则2k π-π2<π6t <2k π+π2(k ∈Z ),所以12k -3<t <12k +3(k ∈Z ),又因为8<t <20,所以令k =1,可得9<t <15, 所以从9点到15点适合对冲浪爱好者开放,一共有6个小时.根据已知数据,借助散点图草图,确定解析式,利用三角不等式求范围,确定时间. 方法归纳解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2 如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O 距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题:(1)求出你与地面的距离y 与时间t 的函数关系式; (2)当你第四次距离地面60.5米时,用了多少时间?解析:(1)由已知可设y =40.5-40cos ωt (t ≥0),由已知周期为12分钟,可知ω=2π12,即ω=π6.所以y =40.5-40cos π6t (t ≥0).(2)令y =40.5-40cos π6t =60.5,得cos π6t =-12,所以π6t =23π或π6t =43π,解得t =4或t =8,故第四次距离地面60.5米时,用时为12+8=20(分钟).(1)由已知可得解析式. (2)利用y =60.5解t. 类型三 根据数据拟合函数例3 某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24,单位:小时)的函数,记作y =f (t ),下面是某日水深的数据.t /小时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y /米10.013.09.97.010.013.09.97.010.0(1)试根据以上数据,求出函数y =f (t )的近似解析式;(2)一般情况下,船舶航行时,船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?【解析】 (1)由已知数据,描出曲线如图:易知函数y =f (t )的周期T =12,振幅A =3,b =10, ∴ω=2πT =π6,∴y =3sin π6t +10.(0≤t ≤24)(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5米, 由y ≥11.5,得3sin π6t +10≥11.5,∴sin π6t ≥12.①∵0≤t ≤24,∴0≤π6t ≤4π.②由①②得π6≤π6t ≤5π6或13π6≤π6t ≤17π6.化简得1≤t ≤5或13≤t ≤17.∴该船最早能在凌晨1时进港,下午17时出港,在港内最多可停留16小时. 由表格画出曲线图,由图可求A ,b ,由周期T 可求ω,即求y =A sin ωt+b. 方法归纳在处理曲线拟合和预测的问题时,通常需以下几个步骤 (1)根据原始数据,绘出散点图;(2)通过散点图,做出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线; (3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.跟踪训练3 已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数,其中0≤t ≤24,记y =f (t ),下表是某日各时的浪高数据:t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测,y =f (x )的图象可近似地看成是函数y =A cos ωt +b 的图象. (1)根据以上数据,求其最小正周期、振幅及函数解析式;(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?解析:(1)由表中数据可知,T =12,所以ω=π6.又t =0时,y =1.5,所以A +b =1.5;t =3时,y =1.0,得b =1.0,所以振幅A 为12,函数解析式为y =12cos π6t +1(0≤t ≤24).(2)因为y >1时,才对冲浪爱好者开放,所以y =12cos π6t +1>1,cos π6t >0,2k π-π2<π6t <2k π+π2(k ∈Z ),即12k -3<t <12k +3(k ∈Z ).又0≤t ≤24.所以0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24,所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动,即9<t <15.根据表格,确立y =A cos ωt+b 的模型,求出A ,T ,b ,推出ω,利用t =0时,y 为1.5,t =3,y =1.0,求出b ,即可求出拟合模型的解析式.1.6[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I =3sin 100πt ,t ∈[0,+∞),则电流I 变化的周期是( )A.150B .50 C.1100D .100 解析:T =2π100π=150.答案:A2.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x +φ+k .据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A .5B .6C .8D .10解析:由图可知-3+k =2,则k =5,∴y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x +φ+5,∴y max=3+5=8.答案:C3.某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测,发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格,单位:元)与第x 季度之间近似满足y =500sin(ωx +φ)+9 500(ω>0),已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.x 1 2 y10 0009 500则此楼群在第3季度的平均单价大约是( ) A .10 000元 B .9 500元 C .9 000元 D .8 500元解析:因为y =500sin(ωx +φ)+9 500(ω>0),所以当x =1时,500sin(ω+φ)+9 500=10 000;当x =2时,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500,即⎩⎪⎨⎪⎧sin 2ω+φ=0,sin ω+φ=1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2ω+φ=m π,m ∈Z ,ω+φ=π2+2n π,n ∈Z .易得3ω+φ=-π2+2k π,k ∈Z .又当x =3时,y =500sin(3ω+φ)+9 500,所以y =9 000. 答案:C4.如图,单摆离开平衡位置O 的位移s (单位:cm)和时间t (单位:s)的函数关系为s =6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt +π6,则单摆在摆动时,从最右边到最左边的时间为( ) A .2 s B .1 s C.12 s D.14s 解析:由题意,知周期T =2π2π=1(s),从最右边到最左边的时间是半个周期,为12s.答案:C5.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f (x )=A sin(ωx +φ)+b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x 为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A .f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x -π4+7(1≤x ≤12,x ∈N *)B .f (x )=9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x -π4(1≤x ≤12,x ∈N *)C .f (x )=22sin π4x +7(1≤x ≤12,x ∈N *)D .f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x +π4+7(1≤x ≤12,x ∈N *)解析:令x =3可排除D ,令x =7可排除B ,由A =9-52=2可排除C ;或由题意,可得A =9-52=2,b =7,周期T =2πω=2×(7-3)=8,∴ω=π4. ∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x +φ+7.∵当x =3时,y =9, ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4+φ+7=9, 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4+φ=1.∵|φ|<π2,∴φ=-π4.∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x -π4+7(1≤x ≤12,x ∈N *).答案:A二、填空题(每小题5分,共15分)6.设某人的血压满足函数式p (t )=115+25sin(160πt ),其中p (t )的血压(mmHg),t 为时间(min),则此人每分钟心跳的次数是________.解析:T =2π160π=180(分),f =1T =80(次/分).答案:807.有一小球从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s (单位:cm)关于时间t (单位:s)的函数解析式是s =A sin(ωt +φ),0<φ<π2,函数图象如图所示,则φ=________.解析:根据图象,知⎝ ⎛⎭⎪⎫16,0,⎝ ⎛⎭⎪⎫1112,0两点的距离刚好是34个周期,所以34T =1112-16=34. 所以T =1,则ω=2πT=2π.因为当t =16时,函数取得最大值,所以2π×16+φ=π2+2k π,k ∈Z ,又0<φ<π2,所以φ=π6.答案:π68.某城市一年中12个月的月平均气温y 与月份x 的关系可近似地用函数y =a +A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x -6(x =1,2,3,…,12)来表示.已知6月份的月平均气温最高,为28 °C,12月份的月平均气温最低,为18 °C,则10月份的月平均气温为________ °C.解析:根据题意得28=a +A,18=a +A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π612-6=a -A ,解得a =23,A =5,所以函数y =23+5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x -6,令x =10,得y =23+5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π610-6=23+5cos 2π3=20.5.答案:20.5三、解答题(每小题10分,共20分)9.弹簧振子以O 为平衡位置,在B ,C 两点间做简谐运动,B ,C 相距20 cm ,某时刻振子处在B 点,经0.5 s 振子首次到达C 点,求:(1)振动的振幅、周期和频率;(2)弹簧振子在5 s 内通过的路程及位移. 解析:(1)设振幅为A ,则2A =20 cm , 所以A =10 cm.设周期为T ,则T2=0.5 s ,所以T =1 s ,所以f =1 Hz.(2)振子在1 s 内通过的距离为4A ,故在5 s 内通过的路程s =5×4A =20A =20×10=200(cm).5 s 末物体处在B 点,所以它的位移为0 cm.10.交流电的电压E (单位:V)与时间t (单位:s)的关系可用E =2203sin (100πt +π6)来表示,求:(1)开始时电压;(2)电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间. 解析:(1)当t =0时,E =1103(V), 即开始时的电压为1103V.(2)T =2π100π=150(s),即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为2203V ,当100πt +π6=π2,即t =1300s 时第一次取得最大值.[能力提升](20分钟,40分)11.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针位置为P (x ,y ).若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32,12,当秒针从P 0(注:此时t =0)开始走时,点P 的纵坐标y 与时间t 的函数解析式可以是( )A .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t +π6B .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π60t -π6C .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π30t +π6D .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π30t -π3 解析:由题意知,函数的周期为T =60,∴|ω|=2π60=π30.设函数解析式为y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫±π30t +φ.∵初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32,12,∴t =0时,y =12,∴sin φ=12,∴φ可取π6,∴函数解析式可以是y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫±π30t +π6.又由秒针顺时针转动可知,y 的值从t =0开始要先逐渐减小,故y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π30t +π6,故选C.答案:C12.一半径为6米的水轮如图,水轮圆心O 距离水面3米,已知水轮每分钟转动4圈,水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒.解析:过O 作水平面的垂线,垂足为Q ,如图所示由已知可得OQ =3,OP =6, 则cos∠POQ =12,即∠POQ =60°,则水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°,即13个周期,又由水轮每分钟转动4圈,可知周期是15秒,故水轮上点P 从水中浮现时开始到第一次达到最高点的用时为5秒. 答案:513.心脏跳动时,血压在增加或减少,血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压,血压计上的读数就是收缩压、舒张压,读数120/80 mmHg 为标准值,设某人的血压满足方程式P (t )=115+25sin(160πt ),其中P (t )为血压(mmHg),t 为时间(min),试回答下列问题:(1)求函数P (t )的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)画出函数P (t )的草图;(4)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值进行比较.解析:(1)由于ω=160π代入周期公式T =2πω,可得T =2π160π=180(min),所以函数P (t )的周期为180min.(2)函数P (t )的频率f =1T=80(次/分),即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表:t /min 0 1320 1160 3320 180 P (t )/mmHg11514011590115描点、连线并左右扩展得到函数P (t )的简图如图所示.(4)此人的收缩压为115+25=140(mmHg),舒张压为115-25=90(mmHg),与标准值120/80 mmHg 相比较,此人血压偏高.14.某帆板集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24,单位:时)呈周期性变化,每天t 时刻的浪高数据的平均值如下表:t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(2)从y =at +b ,y =A sin(ωt +φ)+b ;y =A tan(ωt +φ)中选一个合适的函数模型,并求出该模型的解析式;(3)如果确定在一天内的7时到19时之间,当浪高不低于0.8米时才进行训练,试安排恰当的训练时间.解析:(1)散点图如图所示,(2)由(1)知,选择y =A sin(ωt +φ)+b 较合适. 令A >0,ω>0,|φ|<π.由图知,A =0.4,b =1,T =12,所以ω=2πT =π6.把t =0,y =1代入y =0.4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t +φ+1,得φ=0.故所求拟合模型的解析式为y =0.4sin π6t +1(0≤t ≤24).(3)由y =0.4sin π6t +1≥0.8,得sin π6t ≥-12,则-π6+2k π≤π6t ≤7π6+2k π(k ∈Z ),即12k -1≤t ≤12k +7(k ∈Z ),注意到t ∈[0,24],所以0≤t ≤7,或11≤t ≤19,或23≤t ≤24, 再结合题意可知,应安排在11时到19时训练较恰当.。

人教版高中数学【必修四】[三角函数模型的简单应用_知识点整理及重点题型梳理]_提高

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人教版高中数学必修四知识点梳理)巩固练习重点题型(常考知识点三角函数模型的简单应用【学习目标】1.熟练掌握三角函数的性质,会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题;2.利用三角形建立数学模型,解决实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.【要点梳理】要点一:三角函数模型的建立程序收集数据画散点图选择函数模型检验求函数模型用函数模型解决实际问题要点二:解答三角函数应用题的一般步骤解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步:审题、建模、解模、结论.(1)审题三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言,阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景,领悟其中的数学本质,在此基础上分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题.(2)建模根据搜集到的数据,找出变化规律,运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式,在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题,实现问题的数学化,即建立三角函数模型.其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式.(3)解模利用所学的三角函数知识,结合题目的要求,对得到的三角函数模型予以解答,求出结果.(4)结论将所得结论转译成实际问题的答案,应用题不同于单纯的数学问题,既要符合科学,又要符合实际背景,因此,有时还要对于解出的结果进行检验、评判.要点诠释:实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多门学科的知识才能完成,因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助解决问题.【典型例题】类型一:三角函数周期性的应用例1.(2015春福建安溪县期末)某港口的水深y(米)时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,下(∴b=13+7因此T=πω,6t+10(0≤t≤24)6t+10≥11.5面是每天时间与水深的关系表:经过长期观测,y=f(t)可近似的看成是函数y=Asinω+b(1)根据以上数据,求出y=f(t)的解析式;(2)若船舶航行时,水深至少要11.5米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以完全的进出该港?【思路点拨】(1)由表中数据可以看到:水深最大值为13,最小值为7,求出b和A;再借助于相隔9小时达到一次最大值说明周期为12求出ω即可求出y=f(t)的解析式;(2)把船舶安全转化为深度f(t)≥11.5,即3sin 出船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港.2π9t+10≥11.5;再解关于t的三角不等式即可求【答案】(1)f(t)=3sin π6t+10(0≤t≤24);(2)1∶00~5∶00),(13∶00~17∶00)【解析】(1)由表中数据可以看到:水深最大值为13,最小值为7,13-7=10,A==322且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12,2π=12,ω=6故f(t)=3sinπ(2)要想船舶安全,必须深度f(t)≥11.5,即3sinπ∴sin π6t≥1ππ5π,2kπ+≤t≤+2kπ2666解得:12k+1≤t≤5+12k,k∈Z又0≤t≤24当k=0时,1≤t≤5;当k=1时,13≤t≤17;故船舶安全进港的时间段为(1∶00~5∶00),(13∶00~17∶00).【总结升华】本题主要考查三角函数知识的应用问题.解决本题的关键在于求出函数解析式.求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期,最大最小值等.举一反三:【变式1】如图,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=A s inωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,23);赛道的后一部分为折线段MNP.为保护参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.求A,ω的值和M,P两点间的距离.ω,∴ω=6x,x∈[0,4].)【答案】(1)略(2)y=7sin ⎪+12.4(1≤x≤365,x∈N*)(3)121天【答案】23π56【解析】依题意,有A=23,T4精品文档用心整理=3,又T=2ππ6.∴y=23sinπ∴当x=4时,y=23sin2π3=3.∴M(4,3.又P(8,0),∴MP=(8-4)2+(0-3)2=42+32=5(km).类型二:三角函数模型在天气中的应用例2.下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表:(时间近似到0.1小时)日期日期位置序号x白昼时间y(小时)1月1日15.62月28日5910.23月21日8012.44月27日11716.45月6日12617.36月21日17219.48月13日22516.49月20日26312.410月25日2988.512月21日3555.4(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标,白昼时间y为纵坐标,在给定坐标(如下图)中画出这些数据的散点图;(2)试选用一个形如y=A s in(ωx+ϕ)+t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系;(注:①求出所选用的函数关系式;②一年按365天计算)(3)用(2)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时?【思路点拨】先作散点图,结合图象求出y=A s in(ωx+ϕ)+t中的A,ω,ϕ,t,最后利用函数模型,解不等式可得.⎛2π⎝365x-323π730⎫⎭【解析】(1)如图所示.(2)由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y=A s in(ωx+ϕ)+t,∴y=7sin ⎪+12.4(1≤x≤365,x∈N*).(3)由y>15.9,得sin ⎪>,12x-由题中图形知函数的最大值为19.4,最小值为5.4,即y max=19.4,y min=5.4,由19.4-5.4=14,得A=7;由19.4+5.4=24.8,得t=12.4.又T=365,∴ω=2π365.∴ϕ=-232π32π323π161π65π(ϕ等于-,-,-,-均可).73073730365146⎛2π⎝365x-323π730⎫⎭⎛2πx323π-⎝365730⎫1⎭2∴π6<2πx323π5π-<3657306,365323365⨯5323+<x<+1242⨯64,∴112≤x≤232.∴该地大约有121天白昼时间大于15.9小时.【总结升华】现实生产、生活中,周期现象广泛存在,三角函数还是刻画周期现象的重要数学模型,在解决实际问题时要注意搜集数据,作出相应的“散点图”,通过观察散点图并进行函数拟合,而获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决实际问题.举一反三:【变式1】(2015秋湖北荆门期末)通常情况下,同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象.2015年1月下旬荆门地区连续几天最高温度都出现在14时,最高温度为14℃;最低温度出现在凌晨2时,最低温度为零下2℃.(1)请推理荆门地区该时段的温度函数y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π,t∈[0,24))的表达式;(2)29日上午9时某高中将举行期末考试,如果温度低于10℃,教室就要开空调,请问届时学校后勤应该送电吗?【答案】(1)y=8sin(π2π3)+6;(2)应该开空调【解析】(1)∵最高温度为14℃,最低温度为零下2℃.∴A=11[14-(-2)]=8,b=[14+(-2)]=6,22∵函数的周期T=24,∴ω=2ππ= 2412ππ2π由⋅2+ϕ=-+2kπ,|ϕ|<π,可得ϕ=-1223π2π∴函数表达式为y=8sin(x-123)+6;π2ππ(2)当x=9时,y=8sin(⋅9-)+6=8sin+61231212<sins=4sin 2t+⎪,t∈[0,+∞).(1)将t=0代入s=4sin 2t+⎪,3=23cm.∵sinππ6,∴y=8sinπ12+6<8sinπ6+6=10,温度低于10℃,满足开空调的条件,所以应该开空调.类型三:三角函数模型在物理学中的应用例3.已知弹簧上挂着小球做简谐运动时,小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化规律为:⎛π⎫⎝3⎭用五点法作出这个函数在一个周期内的简图,并回答下列问题:(1)小球在开始运动(t=0)时,离开平衡位置的位移是多少?(2)小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少?(3)经过多少秒,小球往复运动一次?【答案】(1)23(2)-4(3)3.14【解析】列表如下:t0π12π37π125π62t+sπ3π323π24π3π2-42π0作图(如图).⎛⎝π⎫3⎭得s=4sinπ以竖直向上作为位移的正向,则小球开始运动时的位移是23cm,方向为正向.(2)由题图可知,小球上升到最高点离开平衡位置的位移是-4cm,负号表示方向竖直向下.(3)由于这个函数的周期T=2π=π,所以小球往复运动一次所需的时间为π≈3.14s.反映在图2象上,正弦曲线在每一个长度为π的区间上,都完整地重复变化一次.【总结升华】(1)注意简谐运动中自变量的范围为[0,+∞).α (t ) = sin ⎛ 2t + ⎪ .4 时, α 的值是多少?并指出小球的具体位置;= sin 2 ⨯ + ⎪ = sin π = 0 ,这时小球恰好在平衡位置; 4时, α⎝ 4 ⎭ 2 ⎝ 4 2 ⎭ 2(3)令 t=0,得 sin 2t +2 ⎭⎪ 的最大值为 1.故 α (t ) 有最大值 【答案】(1) I = 300sin 100π t + π ⎫⎪ (2)629-- ⎪ =ω = T ⇒ ω =(2)正确理解并识记简谐运动周期、频率、振幅的概念以及实际意义是解决本题的关键. 举一反三:【变式 1 】一个单摆,如图所示,小球偏离铅垂线方向的角为α rad , α 与时间 t 满足关系式1 π ⎫2 ⎝ 2 ⎭(1)当 t =π(2)单摆摆动的频率是多少?(3)小球偏离铅垂线方向的最大摆角是多少?【答案】(1)0(2)【解析】1 1 (3) π 2(1)当 t =π ⎛ π ⎫ 1 ⎛ π π ⎫ 1⎪(2)因为单摆摆动的周期T = 2π 1 1= π ,所以频率 f = = ;2 T π摆角是 12rad .⎛⎝π ⎫ 1 2 rad ,即小球偏离铅垂线方向的最大例 4.如图所示,表示电流 I 与时间 t 的关系式 I = A s in(ω t + ϕ)(A >0,ω > 0 )在一个周期内的图象.(1)试根据图象写出 I = A s in(ω t + ϕ) 的解析式;(2)为了使 I = A s in(ω t + ϕ) 中 t 在任意一段1100s 时间内 I 能同时取得最大值|A|和最小值-|A|,那么正整数 ω 的最小值为多少?【思路点拨】由图象,可求出 A, T , ω,φ ,因此可写出解析式.(2)要满足题意,则必须 T <1100,解之可得.⎛ ⎝3 ⎭【解析】(1)由图可知,A=300,周期 T =1 ⎛ 1 ⎫ 1 60 ⎝ 300 ⎭ 50,∴ 2π 2π T= 100π .当 t = -1ω t + ϕ = 0,即 ϕ = -ω t = -100π ⎛ ⎪= 故图象的解析式为 I = 300sin100π t + ⎪ . 精品文档 用心整理1 ⎫ π时, 300⎝ -300 ⎭3.⎛⎝π ⎫ 3 ⎭(2)要使 t 在任意一段 1 1s 的时间内能同时取得最大值和最小值,必须使得周期T < .100 100即 2π ω <1 100⇒ ω > 200π ⇒ ω > 628.3 .由于 ω 为正整数,故 ω 的最小值为 629.【总结升华】由三角函数的图象求解析式的方法是:根据函数图象性质,结合“五点法”作图时的对应关系,分别确定 A , ω , ϕ .。

必修四三角函数模型的简单应用(附答案)

必修四三角函数模型的简单应用(附答案)

三角函数模型的简单应用[学习目标] 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.2.实际问题抽象为三角函数模型.知识点一 利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中,周期现象广泛存在,潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换,甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化,而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型.利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下: (1)收集数据,画出“散点图”;(2)观察“散点图”,进行函数拟合,当散点图具有波浪形的特征时,便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决;(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的,需要具体情况具体分析. 思考1 三角函数的周期性y =A sin(ωx +φ) (ω≠0)的周期是T =2π|ω|;y =A cos(ωx +φ) (ω≠0)的周期是T =2π|ω|;y =A tan(ωx +φ) (ω≠0)的周期是T =π|ω|.思考2 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b .根据图象可知,一天中的温差是 ;这段曲线的函数解析式是y = 答案 20℃ 10sin(π8x +3π4)+20,x ∈[6,14]知识点二 三角函数模型在物理学中的应用在物理学中,当物体做简谐运动时,可以用正弦型函数y =A sin(ωx +φ)来表示运动的位移y 随时间x 的变化规律,其中:(1)A 称为简谐运动的振幅,它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移; (2)T =2πω称为简谐运动的周期,它表示物体往复运动一次所需的时间;(3)f =1T =ω2π称为简谐运动的频率,它表示单位时间内物体往复运动的次数.题型一 三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I 与时间t 的关系为I =A sin(ωt +φ).(1)如图所示的是I =A sin(ωt +φ)(ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象,根据图中数据求I =A sin(ωt +φ)的解析式;(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内,电流I =A sin(ωt +φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?解 (1)由图知A =300,设t 1=-1900,t 2=1180,则周期T =2(t 2-t 1)=2⎝⎛⎭⎫1180+1900=175. ∴ω=2πT=150π.又当t =1180时,I =0,即sin ⎝⎛⎭⎫150π·1180+φ=0, 而|φ|<π2,∴φ=π6.故所求的解析式为I =300sin ⎝⎛⎭⎫150πt +π6. (2)依题意,周期T ≤1150,即2πω≤1150(ω>0),∴ω≥300π>942,又ω∈N *, 故所求最小正整数ω=943.跟踪训练1 一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,小球来回摆动时,离开平衡位置的位移S (单位:cm)与时间t (单位:s)的函数关系是:S =6sin(2πt +π6).(1)画出它的图象; (2)回答以下问题:①小球开始摆动(即t =0),离开平衡位置是多少? ②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少?③小球来回摆动一次需要多少时间? 解 (1)周期T =2π2π=1(s).列表:(2)①小球开始摆动(t =0),离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 题型二 三角函数模型在生活中的应用例2 某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24,单位:小时)的函数,下面是水深数据:+B 的图象.(1)试根据数据表和曲线,求出y =A sin ωt +B 的解析式;(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间)解 (1)从拟合的曲线可知,函数y =A sin ωt +B 的一个周期为12小时,因此ω=2πT =π6.又y min =7,y max =13, ∴A =12(y max -y min )=3,B =12(y max +y min )=10.∴函数的解析式为y =3sin π6t +10 (0≤t ≤24).(2)由题意,得水深y ≥4.5+7, 即y =3sin π6t +10≥11.5,t ∈[0,24],∴sin π6t ≥12,π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π+π6,2k π+5π6,k =0,1, ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17],所以,该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港. 若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16小时.跟踪训练2 如图为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8 m ,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈,图中OA 与地面垂直,以OA 为始边,逆时针转动θ角到OB ,设B 点与地面距离为h . (1)求h 与θ之间的函数关系式;(2)设从OA 开始转动,经过t 秒后到达OB ,求h 与t 之间的函数解析式,并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少?解 (1)以圆心O 为原点,建立如图所示的坐标系,则以Ox 为始边,OB 为终边的角为θ-π2.故B 点坐标为(4.8cos(θ-π2),4.8sin(θ-π2)).∴h =5.6+4.8sin(θ-π2),θ∈[0,+∞).(2)点A 在圆上转动的角速度是π30,故t 秒转过的弧度数为π30t ,∴h =5.6+4.8sin(π30t -π2),t ∈[0,+∞).到达最高点时,h =10.4 m.由sin(π30t -π2)=1.得π30t -π2=π2,∴t =30. ∴缆车到达最高点时,用的时间最少为30秒.利用三角函数线证明三角不等式例3 心脏跳动时,血压在增加或减少,血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压,血压计上的读数就是收缩压、舒张压,读数120/80 mmHg 为标准值,设某人的血压满足方程式P (t )=115+25sin(160πt ),其中P (t )为血压(mmHg),t 为时间(min),试回答下列问题: (1)求函数P (t )的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)画出函数P (t )的草图;(4)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值进行比较分析 (1)利用周期公式可以求出函数P (t )的周期;(2)每分钟心跳的次数即频率;(3)用“五点法”作出函数的简图;(4)此人的收缩压、舒张分别是函数P (t )的最大值和最小值,故可求出此人的血压在血压计上的计数.解 (1)由于ω=160π,代入周期公式T =2πω,可得T =2π160π=180(min),所以函数P (t )的周期为180min.(2)函数P (t )的频率f =1T =80(次/分),即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表:(4)此人的收缩压为115+25=140(mmHg),舒张压为115-25=90(mmHg),与标准值120/80 mmHg 相比较,此人血压偏高.1.函数y =|sin 12x +13|的最小正周期为( )A .2πB .πC .4π D.π22.一根长l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s =3cos ⎝⎛⎭⎫g l t +π3,其中g 是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s 时,线长l = cm.3.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y =a +A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x -6) (x =1,2,3,…,12,A >0)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的平均气温值为 ℃.4.如图所示,一个摩天轮半径为10 m ,轮子的底部在地面上2 m 处,如果此摩天轮按逆时针转动,每30 s 转一圈,且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式;(2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.一、选择题1.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O 的距离s cm 和时间ts 的函数关系式为s =6sin(100πt +π6),那么单摆来回摆一次所需的时间为( )A.150 sB.1100s C .50 s D .100 s 2.电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I =5sin(100πt +π3),则当t =1200 s 时,电流强度I 为( )A .5 AB .2.5 AC .2 AD .-5 A3.如图所示,设点A 是单位圆上的一定点,动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P 所旋转过的弧AP 的长为l ,弦AP 的长为d ,则函数d =f (l )的图象大致是( )4.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I =A sin(ωt +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示,则当t =1100秒时,电流强度是( )A .-5安B .5安C .5 3 安D .10安5.如图,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P 0(2,-2),角速度为1,那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )二、填空题6.函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x +π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23,34内,则正整数m 的值是 .7.设偶函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML =90°,KL =1,则f (16)的值为 .8.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ,秒针均匀地绕点O 旋转,当时间t =0时,点A 与钟面上标12的点B 重合,将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数,则d = ,其中t ∈[0,60].9.已知f (x )=sin(ωx +π3)(ω>0),f (π6)=f (π3),且f (x )在区间(π6,π3)上有最小值,无最大值,则ω= . 三、解答题10.如图所示,某地夏天从8~14时的用电量变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b (0<φ<π2).(1)求这一天的最大用电量及最小用电量; (2)写出这段曲线的函数解析式.11.如图,一个水轮的半径为4 m ,水轮圆心O 距离水面2 m ,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数; (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间?12.已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作:y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:(1)根据以上数据,求函数y=A cos ωt+b的最小正周期T,振幅A及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?当堂检测答案1.答案 A 2.答案g 4π2解析 T =2πg l=1,∴ g l =2π,∴l =g 4π2. 3.答案 20.5解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a +A =28,a -A =18, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a =23,A =5,∴y =23+5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x -6),当x =10时,y =23+5×⎝⎛⎭⎫-12=20.5. 4.解 (1)设在t s 时,摩天轮上某人在高h m 处.这时此人所转过的角为2π30 t =π15 t ,故在t s 时,此人相对于地面的高度为h =10sinπ15t +12(t ≥0). (2)由10sin π15t +12≥17,得sin π15t ≥12,则52≤t ≤252.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.课时精练答案一、选择题1.答案 A2.答案 B解析 当t =1200时,I =5sin(π2+π3)=5cos π3=2.5. 3.答案 C解析 d =f (l )=2sin l 2. 4.答案 A解析 由图象知A =10,T 2=4300-1300=1100, ∴ω=2πT=100π,∴I =10sin(100πt +φ). (1300,10)为五点中的第二个点, ∴100π×1300+φ=π2. ∴φ=π6,∴I =10sin(100πt +π6), 当t =1100秒时,I =-5安. 5.答案 C解析 ∵P 0(2,-2),∴∠P 0Ox =π4, 按逆时针转时间t 后得∠POP 0=t ,∠POx =t -π4, 此时P 点纵坐标为2sin(t -π4), ∴d =2|sin(t -π4)|.当t =0时,d =2,排除A 、D ; 当t =π4时,d =0,排除B. 二、填空题6.答案 26,27,28解析 ∵T =6πm ,又∵23<6πm <34, ∴8π<m <9π,且m ∈Z ,∴m =26,27,28.7.答案 34解析 取K ,L 中点N ,则MN =12, 因此A =12.由T =2得ω=π. ∵函数为偶函数,0<φ<π,∴φ=π2, ∴f (x )=12cos πx ,∴f (16)=12cos π6=34. 8.答案 10sin πt 60解析 将解析式可写为d =A sin(ωt +φ)的形式,由题意易知A =10,当t =0时,d =0,得φ=0;当t =30时,d =10,可得ω=π60,所以d =10sin πt 60. 9.答案 143解析 依题意,x =π6+π32=π4时,y 有最小值, ∴sin(π4·ω+π3)=-1, ∴π4ω+π3=2k π+3π2(k ∈Z ). ∴ω=8k +143(k ∈Z ),因为f (x )在区间(π6,π3)上有最小值,无最大值,所以π3-π4<πω, 即ω<12,令k =0,得ω=143. 三、解答题10.解 (1)最大用电量为50万kW·h ,最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8~14时的图象是y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象,∴A =12×(50-30)=10,b =12×(50+30)=40. ∵12×2πω=14-8,∴ω=π6.∴y =10sin ⎝⎛⎭⎫π6x +φ+40. 将x =8,y =30代入上式,又∵0<φ<π2,∴解得φ=π6. ∴所求解析式为y =10sin ⎝⎛⎭⎫π6x +π6+40,x ∈[8,14].11.解 (1)如图所示建立直角坐标系,设角φ⎝⎛⎭⎫-π2<φ<0是以Ox 为始边,OP 0为终边的角.OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60=π6.则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t .由题意可知水轮逆时针转动,得z =4sin ⎝⎛⎭⎫π6t +φ+2.当t =0时,z =0,得sin φ=-12,即φ=-π6.故所求的函数关系式为z =4sin ⎝⎛⎭⎫π6t -π6+2.(2)令z =4sin ⎝⎛⎭⎫π6t -π6+2=6,得sin ⎝⎛⎭⎫π6t -π6=1,令π6t -π6=π2,得t =4,故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.12.解 (1)由表中数据知周期T =12,∴ω=2πT =2π12=π6,由t =0,y =1.5,得A +b =1.5.由t =3,y =1.0,得b =1.0.∴A =0.5,b =1,∴y =12cos π6t +1.(2)由题意知,当y >1时才可对冲浪者开放,∴12cos π6t +1>1, ∴cos π6t >0,∴2k π-π2<π6t <2k π+π2,k ∈Z , 即12k -3<t <12k +3,k ∈Z .①∵0≤t ≤24,故可令①中k 分别为0,1,2,得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间,有6个小时时间可供冲浪者运动,即上午9∶00至下午3∶00.。

高考数学专题复习《三角函数模型》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)

高考数学专题复习《三角函数模型》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
A. 的最小正周期为 B. 在 上单调递减C. 的图象关于直线 对称D. 的图象关于点 成中心对称

解:根据 的部分图象,可得 , ,所以 .结合五点法作图,可得 ,所以 ,故 .由题意,把 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍,再向右平移 个单位长度,可得 的图象,故 的最小正周期为 ,故A错误;当 时, , 不单调递减,故B错误;令 ,得 ,不是最值,故 的图象关于点 对称,但不关于直线 对称,故C错误,D正确.
考点三 函数 <m></m> 图象与性质的综合应用
命题角度1 函数零点问题
例3 已知函数 ,其中常数 .
(1)令 ,将函数 的图象向左平移 个单位,纵坐标变为原来的2倍,再向上平移1个单位,得到函数 的图象,求函数 的解析式;
(2) 若 在 上单调递增,求 的取值范围;
[答案] 由 , ,得 , ,因此函数 的单调递增区间为 , ,又 ,所以 ,即 解得 .所以 的取值范围是 .
1.函数
(1)匀速圆周运动的数学模型 如图,点 从 <m></m> 开始,逆时针绕圆周匀速运动 (角速度为 ),则点 距离水面的高度 与时间 的函数 关系式为 ________________.
4.5 三角函数模型 2023.10.30


变式1(2)(2021年全国乙卷)把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 <m></m> 倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移 <m></m> 个单位长度,得到函数 的图象,则 ( )
A. B. C. D.

变式1(3)将函数 的图象向左平移 个单位,得到函数 的图象,函数 的图象关于直线 <m></m> 对称,记函数 .

2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《三角函数模型的简单应用》(含答案解析)

2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《三角函数模型的简单应用》(含答案解析)

1.6 三角函数模型的简单应用学习目标1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点 利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中,周期现象广泛存在,潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换,甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述? 答案 三角函数模型.梳理:(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤: 第一步:阅读理解,审清题意.读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字,理解题目所反映的实际背景,在此基础上分析出已知什么、求什么,从中提炼出相应的数学问题. 第二步:收集、整理数据,建立数学模型.根据收集到的数据找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式,将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题,即建立三角函数模型,从而实现实际问题的数学化.第三步:利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步:将所得结论转译成实际问题的答案. (2)三角函数模型的建立程序 如图所示:类型一 三角函数模型在物理中的应用例1.已知电流I 与时间t 的关系为I=Asin(ωt+φ).(1)如图所示的是I=Asin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式;(2)如果t 在任意一段1150的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言,其中,读图、识图、用图是数形结合的有效途径.跟踪训练1.一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,当小球来回摆动时,离开平衡位置的位移S(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是S=6sin(2πt+π6).(1)画出它的图象; (2)回答以下问题:①小球开始摆动(即t=0),离开平衡位置是多少? ②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少? ③小球来回摆动一次需要多少时间?类型二 三角函数模型在生活中的应用例2.某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米,直径长是98米,匀速旋转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时,那么:(1)当此人第四次距离地面692米时用了多少分钟?(2)当此人距离地面不低于(59+4923)米时可以看到游乐园的全貌,求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌?解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行: (1)认真审题,理清问题中的已知条件与所求结论; (2)建立三角函数模型,将实际问题数学化;(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题,求得数学模型的解; (4)根据实际问题的意义,得出实际问题的解; (5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.跟踪训练2.如图所示,一个摩天轮半径为10 m ,轮子的底部在距离地面2 m 处,如果此摩天轮按逆时针转动,每30 s 转一圈,且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式;(2)在摩天轮转动的一圈内,大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.1.一根长l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s=3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g lt +π3,其中g 是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s 时,线长l=________ cm.2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a +Acos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x -6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的平均气温为________℃.3.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为α(rad),并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角,左侧时α为负角.α作为时间t(s)的函数,近似满足关系式α=Asin(ωt+π2),其中ω>0.已知小球在初始位置(即t=0)时,α=π3,且每经过π s 小球回到初始位置,那么A=________;α关于t 的函数解析式是____________________.4.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-2sin(π12t +π3),t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.2.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图,选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验. 课时作业一、选择题1.如图所示为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为-5 cmC.该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D.该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零2.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b ⎝⎛⎭⎪⎫A>0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x 为月份), 已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元, 根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )A.f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x -π4+7(1≤x≤12,x∈N *)B.f(x)=9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x -π4(1≤x≤12,x∈N *)C.f(x)=22sin π4x +7(1≤x≤12,x∈N *)D.f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x +π4+7(1≤x≤12,x∈N *)3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某商场的人流量满足函数:F(t)=50+4sin t2(t≥0),则人流量是增加的时间段为( )A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]4.如图为一半径为3 m 的水轮,水轮圆心O 距离水面2 m ,已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈,水轮上的点P 到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则有( )A.ω=2π15,A=3 B .ω=152π,A=3 C.ω=2π15,A=5 D .ω=152π,A=55.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x +φ+k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.106.一观览车的主架示意图如图所示,其中O 为轮轴的中心,距地面32 m(即OM 长),巨轮的半径长为30 m ,AM=BP=2 m ,巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置,经过t 分钟,该吊舱P 距离地面的高度为h(t) m ,则h(t)等于( )A.30sin(π12t -π2)+30B.30sin(π6t -π2)+30C.30sin(π6t -π2)+32D.30sin(π6t -π2)7.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s=6sin(100πt+π6),那么单摆来回摆一次所需的时间为( )A.150 s B.1100s C.50 s D.100 s二、填空题8.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+π6)(A>0,ω≠0)的图象如图所示,则当t=150秒时,电流强度是________安.9.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin(160πt),其中p(t)为血压(mmHg),t 为时间(min),则此人每分钟心跳的次数是________.10.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0~24时的变化情况, 则水面高度h 关于时间t 的函数解析式为________________.11.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ,秒针均匀地绕点O 旋转,当时间t=0时, 点A 与钟面上标12的点B 重合,将A 、B 两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d=________, 其中t∈[0,60].12.设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f(16)的值为________.三、解答题13.如图,一个水轮的半径为4 m ,水轮圆心O 距离水面2 m ,已知水轮每分钟转动5圈, 如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数; (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间?四、探究与拓展14.有一冲击波,其波形为函数y=-sin πx2的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰,则正整数t 的最小值是( )A.5B.6C.7D.815.如图所示,某地夏天从8~14时的用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(0<φ<π2).(1)求这一天的最大用电量及最小用电量; (2)写出这段曲线的函数解析式.答案解析例1.根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式;(2)解:(1)由图可知A=300,设t 1=-1900,t 2=1180,则周期T=2(t 2-t 1)=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180+1900=175.∴ω=2πT =150π.又当t=1180时,I=0,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150π·1180+φ=0,而|φ|<π2,∴φ=π6. 故所求的解析式为I=300sin ⎝⎛⎭⎪⎫150πt+π6. (2)依题意知,周期T≤1150,即2πω≤1150(ω>0),∴ω≥300π>942,又ω∈N *,故所求最小正整数ω=943.跟踪训练1.解:(1)周期T=2π2π=1(s).t 0 16 512 23 11121 2πt+π6 π6 π2 π 3π2 2π 2π+π66sin(2πt+π6)36-63描点画图:(2)①小球开始摆动(即t=0),离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 例2.解:(1)如图,建立平面直角坐标系,设此人登上摩天轮t 分钟时距地面y 米,则α=2π18t=π9t.由y=108-982-982cos π9t=-49cos π9t +59(t≥0).令-49cos π9t +59=692,得cos π9t=12,∴π9t=2kπ±π3,故t=18k±3,k∈Z ,故t=3,15,21,33.故当此人第四次距离地面692米时用了33分钟.(2)由题意得-49cos π9t +59≥59+4923,即cos π9t≤-32.故不妨在第一个周期内求即可,所以5π6≤π9t≤7π6,解得152≤t≤212,故212-152=3. 因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌.跟踪训练2.解:(1)设在t s 时,摩天轮上某人在高h m 处.这时此人所转过的角为2π30 t=π15t ,故在t s 时,此人相对于地面的高度为h=10sin π15t +12(t≥0).(2)由10sin π15t +12≥17,得sin π15t≥12,则52≤t≤252.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.1.答案:g 4π2解析:∵T=2πgl=1,∴ g l =2π,∴l=g4π2.2.答案:20.5解析:由题意可知A=28-182=5,a=28+182=23,从而y=5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x -6)+23. 故10月份的平均气温值为y=5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4+23=20.5.3.答案:π3,α=π3sin(2t +π2),t∈[0,+∞);解析:∵当t=0时,α=π3,∴π3=Asin π2,∴A=π3.又∵周期T=π,∴2πω=π,解得ω=2.故所求的函数解析式是α=π3sin(2t +π2),t∈[0,+∞).4.解:(1)因为f(t)=10-2sin(π12t +π3),又0≤t<24,所以π3≤π12t +π3<7π3,-1≤sin(π12t +π3)≤1.当t=2时,sin(π12t +π3)=1;当t=14时,sin(π12t +π3)=-1.于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.故实验室这一天的最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃. (2)依题意,当f(t)>11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin(π12t +π3),故有10-2sin(π12t +π3)>11,即sin(π12t +π3)<-12.又0≤t<24,因此7π6<π12t +π3<11π6,即10<t<18.故在10时至18时实验室需要降温.1.答案:D解析:该质点的振动周期为T=2×(0.7-0.3)=0.8(s),故A 是错误的;该质点的振幅为5 cm , 故B 是错误的;该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度是零,故C 是错误的.故选D. 2.答案:A解析:令x=3可排除D ,令x=7可排除B ,由A=9-52=2可排除C.或由题意,可得A=9-52=2,b=7,周期T=2πω=2×(7-3)=8,∴ω=π4.∴f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x +φ+7. ∵当x=3时,y=9,∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4+φ+7=9,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4+φ=1. ∵|φ|<π2,∴φ=-π4.∴f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x -π4+7(1≤x≤12,x∈N *).3.答案:C解析:由2kπ-π2≤t 2≤2kπ+π2,k∈Z 知,函数F(t)的增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z .当k=1时,t∈[3π,5π],而[10,15]⊆[3π,5π],故选C.4.答案:A解析:由题目可知最大值为5,所以5=A×1+2⇒A=3.T=15 s ,则ω=2π15.故选A.5.答案:C解析:由题干图易得y min =k -3=2,则k=5.∴y max =k +3=8. 6.答案:B解析:过点O 作地面的平行线作为x 轴,过点O 作x 轴的垂线,作为y 轴,过点B 作x 轴的垂线BN交x 轴于N 点,如图,点A 在圆O 上逆时针运动的角速度是2π12=π6,所以t 分钟转过的弧度数为π6t.设θ=π6t ,当θ>π2时,∠BON=θ-π2,h=OA +BN=30+30sin(θ-π2),当0<θ<π2时,上述关系式也适合.故h=30+30sin(θ-π2)=30sin(π6t -π2)+30.7.答案:A8.答案:5解析:由图象可知A=10,周期T=2×(4300-1300)=150, ∴ω=2πT =100π,∴I=10sin(100πt+π6),当t=150秒时,I=10sin(2π+π6)=5(安). 9.答案:80;解析:T=2π160π=180(分),f=1T=80(次/分). 10.答案:h=-6sin π6t ,t∈[0,24] 解析:根据题图设h=Asin(ωt+φ),则A=6,T=12,2πω=12,∴ω=π6. 点(6,0)为“五点”作图法中的第一点,∴π6×6+φ=0,∴φ=-π, ∴h=6sin(π6t -π)=-6sin π6t ,t∈[0,24]. 11.答案:10sin πt 60解析:将解析式可写为d=Asin(ωt+φ)的形式,由题意易知A=10,当t=0时,d=0,得φ=0;当t=30时,d=10,可得ω=π60,所以d=10sin πt 60. 12.答案:34解析:取K ,L 的中点N ,则MN=12,因此A=12.由T=2得ω=π. ∵函数为偶函数,0<φ<π,∴φ=π2,∴f(x)=12cos πx,∴f(16)=12cos π6=34. 13.解:(1)如图所示建立直角坐标系,设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2<φ<0是以Ox 为始边,OP 0为终边的角.OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60=π6,则OP 在时间t(s)内所转过的角为π6t. 由题意可知水轮逆时针转动,得z=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t +φ+2. 当t=0时,z=0,得sin φ=-12,即φ=-π6.故所求的函数关系式为z=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t -π6+2. (2)令z=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t -π6+2=6,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t -π6=1,令π6t -π6=π2,得t=4, 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.14.答案:C ;15.解:(1)最大用电量为50万kW·h,最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8~14时的图象是y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象,∴A=12×(50-30)=10,b=12×(50+30)=40. ∵12×2πω=14-8,∴ω=π6.∴y=10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x +φ+40.将x=8,y=30代入上式, 又∵0<φ<π2,∴φ=π6. ∴所求解析式为y=10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x +π6+40,x∈[8,14].。

人教A数必修4能力提升:1.6 三角函数模型的简单应用(含答案解析)[ 高考]

人教A数必修4能力提升:1.6 三角函数模型的简单应用(含答案解析)[ 高考]

1.有一冲击波,其波形为函数y =-sin(π2x )的图象,若其区间[0,t ]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t 的最小值是( )A .5B .6C .7D .8解析:选C.由y =-sin(π2x )的图象知,要想在区间[0,t ]上至少有2个波峰,必须使区间[0,t ]的长度不小于2T -T 4=7T 4,即t ≥74·2πω=74·2ππ2=7,故选C. 2.据市场调查,某种商品每件的售价按月呈f (x )=A sin(ωx +φ)+B ⎝⎛⎭⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x 为月份),已知3月份达到最高价8千元,7月份价格最低为4千元,则f (x )=________.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A +B =8,-A +B =4,解得A =2, B =6. 周期T =2(7-3)=8,∴ω=2πT =π4. ∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫π4x +φ+6. 又当x =3时,y =8,∴8=2sin ⎝⎛⎭⎫3π4+φ+6.∴sin ⎝⎛⎭⎫3π4+φ=1,取φ=-π4. ∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫π4x -π4+6.答案:2sin ⎝⎛⎭⎫π4x -π4+63.已知方程sin(x +π3)=m 2在[0,π]上有两个解,求实数m 的取值范围. 解:函数y =sin(x +π3),x ∈[0,π]的图象如图所示,方程sin(x +π3)=m 2在[0,π]上有两个解等价于函数y 1=sin(x +π3),y 2=m 2在同一平面直角坐标系中的图象在[0,π]上有两个不同的交点, ∴32≤m 2<1,即实数的取值范围为3≤m <2. 4.已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24,单位:小时)的函数,记作:y =f (t )(1)根据以上数据,求出函数y =A cos ωt +b 的最小正周期T ,振幅A 及函数表达式;(2)根据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?解:(1)由表中数据,知周期T =12,∴ω=2πT =π6. 由t =0,y =1.5,得A +b =1.5.又由t =3,y =1.0,得b =1.0,∴A =0.5,b =1.0,即振幅为12. ∴y =12cos π6t +1. (2)由题意知,当y >1时才对冲浪者开放,∴12cos π6t +1>1,∴cos π6t >0, ∴2k π-π2<π6t <2k π+π2,即12k -3<t <12k +3. ∵0≤t ≤24,∴令k 分别为0,1,2,得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24,∴在规定时间上午8∶00时至晚上20∶00时之间有6个小时可供冲浪者进行活动,即上午9∶00至下午15∶00.。

高中奥数举一反三 三角函数问题

高中奥数举一反三   三角函数问题

高中奥数举一反三三角函数问题高中奥数举一反三:三角函数问题介绍三角函数是数学中重要的概念,广泛应用于各个领域。

在高中奥数竞赛中,三角函数问题常常出现,考察学生对三角函数的理解和运用能力。

本文将重点讨论高中奥数中的三角函数问题,以便帮助学生更好地准备竞赛。

正文1. 三角函数的基本概念三角函数包括正弦、余弦和正切等基本函数。

其中,正弦函数(sin)表示一个角的正弦值,余弦函数(cos)表示一个角的余弦值,正切函数(tan)表示一个角的正切值。

这些函数与角的边长比例相关。

2. 三角函数的性质- 正弦函数和余弦函数是周期函数,周期为360度或2π弧度。

- 正弦函数在0度和180度时取最大值1,在90度时取最小值-1。

- 余弦函数在0度和360度时取最大值1,在180度时取最小值-1。

- 正切函数在0度和180度时无定义,其他角度的正切值可能是正数、负数或无穷大。

3. 常见的三角函数问题类型在高中奥数竞赛中,三角函数问题的形式多种多样,但常见的类型包括:- 求角度:已知三角函数值,求对应角度。

- 求三角函数值:已知角度,求对应的三角函数值。

- 利用三角函数的性质解题:根据已知条件,运用三角函数的性质求解。

4. 解决三角函数问题的方法解决三角函数问题的关键是要熟悉三角函数的定义和性质,并掌握解决不同类型问题的方法。

以下是一些解题策略:- 使用特殊角度的三角函数值,如30度、45度和60度等。

- 利用三角函数的定义和性质进行变形、代入和联立方程等运算。

- 利用三角恒等式简化复杂的三角函数表达式。

- 结合图形进行推理和解题。

5. 案例分析以下是一个三角函数问题的案例:已知正弦函数sin(x)在90度时取最小值-1,求角度x的值。

解答:根据问题中给出的信息,我们知道sin(90度) = -1。

由此可知,角度x为90度。

结论通过研究和讨论高中奥数中的三角函数问题,我们深入了解了三角函数的基本概念和性质,掌握了解决不同类型问题的方法。

【高中数学经典】三角函数的诱导公式重难点题型(举一反三)

【高中数学经典】三角函数的诱导公式重难点题型(举一反三)

【高中数学】三角函数的诱导公式重难点题型【举一反三系列】【知识点1 诱导公式】诱导公式一:sin(2)sin k απα+=,cos(2)cos k απα+=,tan(2)tan k απα+=,其中k Z ∈ 诱导公式二: sin()sin παα+=-, cos()cos παα+=-,tan()tan παα+=,其中k Z ∈ 诱导公式三: sin()sin αα-=-, cos()cos αα-=,tan()tan αα-=-,其中k Z ∈ 诱导公式四:sin()sin παα-=, cos()cos παα-=-,tan()tan παα-=-,其中k Z ∈诱导公式五:sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭, cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,其中k Z ∈ 诱导公式六:sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭, cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,其中k Z ∈ 【知识点2 诱导公式的记忆】记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,意思是说角90k α⋅±(k 为常整数)的三角函数值:当k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k 为偶数时,函数名不变,然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.【考点1 利用诱导公式求值】【方法点拨】对任意角求三角函数值,一般遵循“化负为正,化大为小”的化归方向,但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式,方法并不唯一,这就需要同学们去认真体会,适当选择,找出最好的途径,完成求值.【例1】(2018秋•道里区校级期末)已知点(1,1)P 在角α的终边上,求下列各式的值. (Ⅰ)2cos()sin()tan()sin ()2παπαππαα+-++-;(Ⅱ)2233sin()cos()22cos sin tan()ππααααπα+--+-. 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得sin α,cos α,tan α的值,再利用诱导公式即可求得要求式子的值.【答案】解:角α终边上有一点(1,1)P ,1x ∴=,1y =,||r OP ==sin 2y r α∴==,cos 2x r α==,tan 1yxα==, ∴(Ⅰ)22cos()sin()cos sin 1tan 3tan()sin ()2cos παπαααπααπαα+--===-+++-; (Ⅱ)222233sin()cos()(((cos )(sin )1222211cos sin tan()tan 2122cos sin ππααααααπαααα+-⨯--===--+-----. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.【变式1-1】(2019春•龙潭区校级月考)已知1tan()2πα+=-,求下列各式的值:(1)2cos()3sin()4cos(2)sin(4)παπααππα--+-+-;(2)sin(7)cos(5)απαπ-+.【分析】(1)由诱导公式化简后,原式分子分母除以cos α,利用同角三角函数间的基本关系化简,将tan α的值代入计算即可求出值;(2)由诱导公式化简后,原式分母“1”化为22sin cos αα+,然后分子分母除以2cos α,利用同角三角函数间的基本关系化简,将tan α的值代入计算即可求出值.【答案】解:1tan()tan 2παα+==-,∴(1)2cos()3sin()3sin 2cos 3tan 274cos(2)sin(4)4cos sin 4tan 9παπαααααππαααα--+--===--+---;(2)222sin cos tan 2sin(7)cos(5)sin cos 15sin cos tan ααααπαπααααα-+====-++. 【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键,属于基本知识的考查.【变式1-2】(2018春•陆川县校级月考)若2cos 3a =,a 是第四象限角,求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)a a a a a a ππππππ-+--------的值.【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子,可得结果. 【答案】解:2cos 3a =,a是第四象限角,sin a ∴=,∴51sin(2)sin(3)cos(3)sin sin (cos )sin (1cos )53321cos()cos()cos(4)cos cos cos cos (cos 1)()33a a a a a a a a a a a a a a a ππππππα-+---+--====------+--.【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式,属于基础题.【变式1-3】(2019春•沈阳校级月考)已知sin α是方程25760x x --=的根,求2233sin()sin()tan (2)22cos()cos()cos ()22αππαπαππααπα-----+-的值. 【分析】把sin α代入到方程中解出即可求出sin α的值进而求出2tan α的值,然后把所求的式子利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系进行化简,将2tan α的值代入即可求出值.【答案】解:sin α是方程25760x x --=的根,∴3sin 5α=-或sin 2α=(舍).故29sin 25α=,22169cos tan 2516αα=⇒=.∴原式22222222sin cos (cos )cos (cos )tan 1925cos sec 1tan 1sin (sin )cos sin (sin )cos cos 1616αααααααααααααααα--=====+=+=-- 【点睛】此题要求学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值,解这道题的思路是利用已知求出正切函数的平方,所求的式子也要化为关于正切函数平方的关系式. 【考点2 利用诱导公式化简】【方法点拨】灵活应用诱导公式,应用的原则是:负化正,大化小,化到锐角就终了【例2】(2019秋•颍泉区校级期中)化简:3tan()cos(2)sin()2cos()sin()ππαπαααππα---+----.【分析】由已知利用诱导公式即可化简得解.【答案】解:3tan()cos(2)sin()(tan )cos (cos )21cos()sin()(cos )sin ππαπααααααππααα---+--==------.【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用,属于基础题.【变式2-1】(2019春•兰考县校级期末)化简:9sin(4)cos()tan(5)211sin()cos(2)sin(3)sin()22ππααπαππαπαπαα-+--+--+.【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可. 【答案】解:222229sin(4)cos()tan(5)sin()(sin )tan 112111(cos )cos()sin cos cos cos sin()cos(2)sin(3)sin()22sin sin cos ππααπααααααππααααααααπαπαα-+------=-=+==---+--+. 【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用,考查计算能力.【变式2-2】(2019春•东莞市校级期末)化简sin(5)cos()cos(7)23sin()sin(3)2πθπθπθπθπθ-------.【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子,可得结果. 【答案】解:sin(5)cos()cos(7)sin()cos()cos()sin (sin )(cos )22sin 33cos sin sin()sin(3)sin()sin()22ππθπθπθθπθπθθθθθππθθθπθθπθ-----+----===-------.【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式,要特别注意符号的选取,这是解题的易错点,属于基础题.【变式2-3】(2019春•西安月考)化简:tan(2)sin(2)cos(6)cos()sin(5)πθπθπθθππθ-----+.【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式,可得结果. 【答案】解:tan(2)sin(2)cos(6)tan (sin )cos sin tan cos()sin(5)cos (sin )cos πθπθπθθθθθθθππθθθθ------===-+--,【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于基础题. 【考点3 诱导公式在函数中的应用】【例3】(2019春•怀化期末)已知3cos()cos()sin()22()sin()cos(2)x x x f x x x ππππ+--=--- (Ⅰ)化简()f x ;(Ⅱ)若x 是第三象限角,且tan 2x =,求()f x 的值. 【分析】(Ⅰ)由已知利用诱导公式即可化简得解;(Ⅱ)由tan 2x =,可得sin 2cos x x =,根据角的范围利用同角三角函数基本关系式即可求解. 【答案】解:(Ⅰ)(sin )cos (cos )()cos sin cos x x x f x x x x--==.(Ⅱ)tan 2x =,sin 2cos x x ∴=,代入22sin cos 1x x +=,得:25cos 1x =,x 是第三象限角, ∴()cos f x x ==. 【点睛】本题主要考查了诱导公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.【变式3-1】(2019春•大武口区校级期末)已知sin()sin cos().()3sin()cos()sin()222f πααπααπππααα++=-++(1)化简()f α;(2)若1()3f α=,求223sin 4sin cos 5cos αααα-+的值.【分析】(1)直接利用诱导公式化简求解即可.(2)求出正切函数值,利用同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式,代入求解即可. 【答案】解:(1)sin sin (cos )()tan cos (sin )cos f αααααααα--==--.(2)1()3f α=,可得:1tan 3α=,222222223sin 4sin cos 53tan 4tan 53sin 4sin cos 5sin tan 1cos cos cos ααααααααααααα-+-+-+==++, 将1tan 3α=代入,得22183sin 4sin cos 55cos αααα-+=. 【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用,考查转化思想以及计算能力. 【变式3-2】(2018秋•红塔区校级期末)已知sin(2)tan()cos()()cos()tan(3)f παπααπαπαπα-+--=--.(1)将()f α化为最简形式; (2)若31()()25f f παα-+=,且(0,)απ∈,求tan α的值. 【分析】(1)由题意利用诱导公式,化简所给的式子,可得结果.(2)由题意可得sin cos αα+的值,再利用同角三角函数的基本关系,求得sin cos αα-的值,可得sin α的cos α的值,从而求得tan α的值.【答案】解:(1)由题意可得,(sin )tan (cos )()sin (cos )(tan )f ααααααα--==--.(2)331()()sin sin()sin cos 225f f ππαααααα-+=-+=+=①, 平方可得112sin cos 25αα+=,∴242sin cos 025αα=-<, 因为(0,)απ∈,所以(,)2παπ∈,sin cos 0αα->,249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=,所以7sin cos 5αα-=②,由①②可得:43sin ,cos 55αα==-,所以4tan 3α=-.【点睛】本题主要考查利用诱导公式,同角三角函数的基本关系,属于基础题. 【变式3-3】(2018秋•汕头校级期中)已知函数(sin tan )cos ()1cos()x x xf x x +=+-.(1)若()sincos 06f πθθ⨯-=,求sin cos θθ的值.(2)若1()cos 8f θθ=,且344ππθ<<,求(2019)cos(2018)f πθπθ---的值; 【分析】(1)由题意利用诱导公式求得tan 2θ=,再根据222sin cos tan sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθ==++,计算求得结果.(2)利用诱导公式化简要求的式子为sin cos 0θθ->,再计算2(sin cos )θθ-的值,可得要求式子的值.【答案】解:(1)函数(sin tan )cos sin cos sin ()sin 1cos()1cos x x x x x xf x x x x++===+-+,若1()sincos sin cos 062f πθθθθ⨯-=-=,则tan 2θ=, 222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθ∴===++. (2)1()cos sin cos 8f θθθθ==,且344ππθ<<, (2019)cos(2018)sin(2019)cos(2018)sin cos 0f πθπθπθπθθθ∴---=---=->,23(sin cos )12sin cos sin cos 4θθθθθθ-=-=∴-=,即(2019)cos(2018)f πθπθ---=【点睛】本题主要考查三角恒等变换,诱导公式的应用,属于基础题. 【考点4 分类讨论思想】 【例4】化简:4141sin()cos()()44n n n Z παπα-+-+-∈. 【分析】对n 分当2n k =与21()n k k Z =+∈讨论,利用诱导公式化简求值即可. 【答案】解:4141sin()cos()sin()cos()4444n n n n πππαπαπαπα-+-+-=--++-, 当2()n k k Z =∈时,上式sin()cos()sin[()]cos()044244πππππαααα=-++-=---+-=;当21()n k k Z =+∈时,上式35sin()cos()sin()cos()cos()cos()0444444ππππππαααααα=-+-=+--=---=. 【点睛】本题考查运用诱导公式化简求值,分类讨论是关键,是基本知识的考查. 【变式4-1】(2019春•集宁区校级月考)设k 为整数,化简sin()cos[(1)]sin[(1)]cos()k k k k παπαπαπα---+++.【分析】分k 为偶数和奇数两种情况,分别利用诱导公式进行化简求值. 【答案】解:当k 为偶数时,sin()cos[(1)]sin()(cos )1sin[(1)]cos()sin cos k k k k παπαααπαπααα-----==-+++-.当k 为奇数时,sin()cos[(1)]sin cos 1sin[(1)]cos()sin (cos )k k k k παπαααπαπααα---==-+++-,综上可得,sin()cos[(1)]1sin[(1)]cos()k k k k παπαπαπα---=-+++.【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题. 【变式4-2】(2019•广东模拟)化简sin()cos()cos[(1)]n n n παπαπα+-+-,n Z ∈.【分析】利用诱导公式化简.应分当n 为偶数时和为奇数时两种情况.因为这两种情况正余函数的正负值不同.【答案】解:当2()n k k Z =∈时,原式sin cos sin cos αααα==--;当21()n k k Z =-∈时,原式(sin )(cos )sin cos αααα--==.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用.注意三角函数的正负号的判断. 【变式4-3】已知222cos ()sin ()()()cos [(21)]n x n x f x n Z n x πππ+-=∈+-,(1)化简()f x 的表达式; (2)求502()()20101005f f ππ+的值. 【分析】(1)看n 为奇数和偶数时,分别根据诱导公式化简整理,最后综合可得答案. (2)把2010x π=和5021005π代入函数解析式,利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求得答案. 【答案】解:(1)当n 为偶数,即2n k =,()k Z ∈时,2222222222cos (2)sin (2)cos sin ()cos (sin )()sin cos [(221)]cos ()(cos )k x k x x x x x f x x k x x x ππππ+---====⨯+---,()n Z ∈ 当n 为奇数,即21n k =+,()k Z ∈时2222222222222cos [(21)]sin [(21)]cos [2()]sin [2()]cos ()sin ()(cos )sin ()sin ,()cos {[2(21)1]}cos [2(21)()]cos ()(cos )k x k x k x k x x x x x f x x n Z k x k x x x ππππππππππππ+++-+++-+--=====∈⨯++-⨯++--- 2()sin f x x ∴=;(2)由(1)得225021004()()sin sin 2010100520102010f f ππππ+=+ 2222sin sin ()sin cos ()120102201020102010πππππ=+-=+=【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系和诱导公式化简求值.在利用诱导公式时注意根据角的范围,确定三角函数的正负. 【考点5 利用诱导公式进行证明】【例5】(2019春•凉州区校级月考)证明下列等式:(1)2cos()2sin(2)cos(2)sin 5sin()2πααππααπα---=+ (2)tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin()cos()22παπαπααππαα----=-++【分析】(1)利用诱导公式对等号左边分子和分母进行化简,最后约分即可求得答案.(2)利用诱导公式对等号左边分子和分母进行化简,注意符号的判断.【答案】证明:(1)左边2cos()sin 2sin(2)cos(2)sin cos sin 5cos sin()2παααππααααπαα-=--===+右边. (2)左边tan(2)sin(2)cos(6)tan (sin )cos tan 33cos sin sin()cos()22παπαπαααααππαααα------===-=-++右边.【点睛】本题主要考查了诱导公式的化简求值.可采用“奇变偶不变,正负看象限”的口诀记忆. 【变式5-1】(2019秋•岳池县校级月考)求证: (1)22sin()cos 1tan(9)112sin tan()1πθθπθθπθ+-++=-+-; (2)2tan sin cos (tan sin )tan sin sin θθθθθθθθ+=-. 【分析】(1)原式左边利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简,右边利用诱导公式化简,得到两结果相等,即可得证;(2)原式左边与右边分别利用同角三角函数间的基本关系化简,整理后得到两结果相等,即可得证. 【答案】证明:(1)左边2222sin cos 1(sin cos )(sin cos )tan 1sin cos tan 1tan 1(sin cos )cos sin )(sin cos )tan 1cos sin 1tan tan 1cos sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ---+++----+=======-+------; 右边tan(8)1tan 1tan 1tan 1ππθθθθ++++==--, ∴左=右,得证;(2)左边2sin sin sin cos sin sin (1cos )1cos sin cos sin θθθθθθθθθθθ===---,右边22sin cos (sin )sin (1cos )sin cos 11cos sin cos θθθθθθθθθθ++===--,∴左=右,得证.【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系,以及运用诱导公式化简求值,熟练掌握基本关系是解本题的关键.【变式5-2】已知A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角,求证: (1)cos(2)cos A B C A ++=-; (2)sincos 22B C A +=;(3)3tantan44A B Cπ++=-. 【分析】(1)由已知条件利用cos()cos παα+=-进行证明. (2)由已知条件利用sin()cos 2παα-=进行证明.(3)由已知条件利用tan()tan παα-=-进行证明. 【答案】证明:(1)A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角,A B C π∴++=,cos(2)cos()cos A B C A A π∴++=+=-, cos(2)cos A B C A ∴++=-.(2)A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角,A B C π∴++=,sin sin()sin()cos 22222B C A A Aππ+-∴==-=, sincos 22B C A+∴=. (3))A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角,A B C π∴++=,3tan tan tan()tan4444A B C C Cππππ+--+∴==--=-. 3tantan44A B Cπ++∴=-. 【点睛】本题考查三角函数的证明,是基础题,解题时要认真审题,注意三角形内角和定理和诱导公式的合理运用.【变式5-3】设8tan()7a πα+=,求证:1513sin()3cos()37720221sin()cos()77a a ππααππαα++-+=+--+.【分析】由条件利用诱导公式求得tan()7a πα+=,再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系化简等式的左边为tan()37tan()17παπα++++,再把tan()7a πα+=,从而得到要证的等式的右边.【答案】证明:8tan()tan()77a ππαα+=+=,∴1513sin()3cos()sin()3cos()sin()3cos()tan()3377777772022681sin()cos()sin()cos()sin()cos()tan()17777777a a πππππππαααααααπππππππααααααα++-+++++++++====+--+--++++++, 故要证的等式成立.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用,属于基础题.【考点6 角的灵活拆分问题】【例6】已知1sin 3β=,sin()1αβ+=,求sin(23)αβ+的值. 【分析】由已知sin()1αβ+=,得22k παβπ+=+,再将2αβ+化为2()αββ++,利用三角函数的诱导公式求解.【答案】解:sin()1αβ+=,22k παβπ∴+=+. 又1sin 3β=, 1sin(23)sin[2()]sin 3αβαβββ∴+=++=-=-. 【点睛】本题考查了三角函数求值,利用整体代入是常用的技巧,是基础题.【变式6-1】已知3cos(75)5α︒+=,且75α︒+是第四象限角,求cos(105)sin(105)sin(15)ααα︒-+-︒+︒-的值.【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin(75)α︒+的值,利用诱导公式即可化简求值. 【答案】解:3cos(75)5α︒+=,且75α︒+是第四象限角,4sin(75)5α∴︒+=-, cos(105)sin(105)sin(15)ααα∴︒-+-︒+︒-cos(75180)sin(75180)sin(7590)ααα=︒+-︒++︒-︒-︒+-︒cos(75)sin(75)cos(75)ααα=-︒+-+︒+︒+343()555=---+ 45=. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,诱导公式的综合应用,属于基础题.【变式6-2】已知1cos(55)3α-︒=-,且α为第四象限角,求sin(125)α+︒的值. 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin(55)α-︒的值,再利用诱导公式求得sin(125)α+︒的值.【答案】解:1cos(55)3α-︒=-,且α为第四象限角,55α∴-︒为第三象限角,sin(55)3α∴-︒==-.sin(125)sin(55180)sin(55)ααα∴+︒=-︒+︒=--︒= 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,诱导公式的应用,属于基础题.【变式6-3】(2019秋•秀屿区校级月考)(1,3班做)已知1sin()43πα-=,则5cos()4πα+的值等于( )A .13-B .13 C .3- D .3【分析】直接对函数的关系式利用诱导公式变换求出结果. 【答案】解:已知1sin()43πα-=, 故:5cos()cos[()]cos()sin[()]44424πππππαπααα+=++=-+=--+1sin()sin()443ππαα=--=-=.故选:B .【点睛】本题考查的知识要点:三角函数诱导公式的应用及相关的运算问题.。

高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用(1)练习(含解析)新人教A版必修4(2

高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用(1)练习(含解析)新人教A版必修4(2

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1.6 三角函数模型的简单应用(一)一、选择题:1。

如图所示的是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是()A.该质点的运动周期为0。

7 sB.该质点的振幅为5 cmC.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大D.该质点在0。

3 s和0.7 s时运动速度为零【答案】B【解析】由题图可知,该质点的振幅为5 cm。

故选B.2.与图中曲线对应的函数解析式是()A.y=|sin x|B.y=sin |x|C.y=-sin |x|D.y=-|sin x|【答案】C【解析】注意题图所对的函数值正负,因此可排除选项A,D.当x∈(0,π)时,sin |x|>0,而图中显然是小于零,因此排除选项B,故选C.3. (2016·烟台高一检测)车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin错误!(0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位是分,则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A.[0,5] B.[5,10]C.[10,15] D.[15,20]【答案】C【解析】当10≤t≤15时,有错误!π〈5≤错误!≤错误!〈错误!π,此时F(t)=50+4sin 错误!是增函数,即车流量在增加.故应选C.4.(2016·杭州二中期末)一种波的波形为函数y=-sin π2x的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是( )A.5 B.6C.7 D.8【答案】C【解析】函数y=-sin错误!x的周期T=4且x=3时y=1取得最大值,因此t≥7。

【数学】人教A版必修4精练精析16三角函数模型的简单应用(人教A版必修四)

【数学】人教A版必修4精练精析16三角函数模型的简单应用(人教A版必修四)

[精练精析]1.6三角函数模型的简单应用素能综合检测2.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为:s=6sin(2πt+),那么单摆来回摆动一次所需的时间为()(A)2π s (B)π s(C)0.5 s (D)1 s【解析】选 D.单摆来回摆动一次所需时间为该函数的最小正周期,∵ω=2π,∴T==1 (s). Zxxk4.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是()学科二、填空题(每题4分,共8分)5.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(其中0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b,根据以上数据,函数的解析式为_______.学科6.若函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且只有两个不同的交点,则k的取值范围是______.【解析】f(x)其图象如图所示,若有两个交点,则1<k<3.答案:1<k<3 学。

科。

网Z。

X。

X。

K]三、解答题(每题8分,共16分)7.如图,点P是半径为r cm的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度ωrad/s做圆周运动,求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系,并求点的运动周期和频率.【解析】当质点P从点P0转到点P位置时,点P转过的角度为ωt,则∠POx=ωt+φ.由任意角的三角函数得点P的纵坐标为学.科.网Z.X.X.K]y=rsin(ωt+φ),即为所求的函数关系式.点P的运动周期为T=频率f=学科8.(思维拓展题)某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦曲线变化.(1)画出种群数量关于时间变化的图象;(2)求出种群数量作为时间t的函数表达式(其中t以年初以来经过的月份数为计量单位).【解析】(1)种群数量关于时间变化的图象如图所示.(2)设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωt+α)+b.由已知平均数量为800,最高数与最低数差为200,数量变化周期为12个月,[探究创新]学.科.网Z.X.X.K]9.(10分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=,此矩形沿地面上一直线滚动,在滚动过程中始终与地面垂直,设直线BC与地面所成角为θ,矩形周边上最高点离地面的距离为f(θ).求:(1)θ的取值范围;学,科,(2)f(θ)的解析式;(3)f(θ)的值域.。

三角函数的应用(1个知识点4种题型1个易错点1种中考考法)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册

三角函数的应用(1个知识点4种题型1个易错点1种中考考法)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册

专题04三角函数的应用(1个知识点4种题型1个易错点1种中考考法)【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.解直角三角形的应用(重点、难点)【方法二】实例探索法题型1.方向角问题题型2.坡度、坡角问题题型3.方案决策问题题型4.一题多解——求建筑物的高【方法三】差异对比法易错点:对俯角的意义理解错误【方法四】仿真实战法考法.解直角三角形的应用-坡角问题【方法四】成果评定法【学习目标】1.进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用。

2.能够把实际问题转化数学问题,能够借助计算器进行有关s'j函数的计算,并能够进一步对结果的意义进行说明,提高解决实际问题的能力。

3.能利用解直角三角形的有关知识,解决测量、航海、工程技术等生活中的实际问题。

重难点:把实际问题转化为直角三角形问题,通过解直角三角形形达到求解的目的。

【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.解直角三角形的应用(重点、难点)1.水平线:水平面上的直线以及和水平面平行的直线.2.铅垂线:垂直于水平面的直线,我们通常称为铅垂线.3.在测量时,如图,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,视线在水平线下方的角叫做俯角.4.如图,坡面的铅垂高度(h )和水平宽度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i ,即h i l=.坡度通常写成1:m 的形式,如i =1︰1.5.5.坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i 与坡角α之间的关系:h i tan lα==.知识延伸※1.方向角:以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向,旋转到目标的方向线所成的小于90°的角,通常表达成北(南)偏东(西)*度.若正好为45°,则表示为西(东)南(北)方向.2.方位角:从标准方向的北端起,顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角.方位角θ的取值范围为0360θ≤< .【例1】.(2023秋•成都期中)如图,一座古塔座落在小山上(塔顶记作点A ,其正下方水平面上的点记作点)B ,小李站在附近的水平地面上,他想知道自己到古塔的水平距离,便利用无人机进行测量,但由于某些原因,无人机无法直接飞到塔顶进行测量,因此他先控制无人机从脚底(记为点)C 出发向右上方(与地面成45︒,点A ,B ,C ,O 在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O 点处,再调整飞行方向,继续匀速飞行8秒到达塔顶,已知无人机的速度为5米/秒,75AOC ∠=︒,(求小李到古塔的水平距离即BC 的长.(结果精确到1m 1.41≈ 1.73)≈【分析】过点O作OD BC⊥,交BC的延长线于点D,过点O作OE AB⊥,垂足为E,根据题意可得:40AO=米,20OC=米,OE BD=,//OE BD,从而可得45EOC OCD∠=∠=︒,进而可得30AOE∠=︒,然后在Rt OCD∆中,利用锐角三角函数的定义求出CD的长,再在Rt AOE∆中,利用锐角三角函数的定义求出OE的长,从而求出BD的长,最后利用线段的和差关系进行计算,即可解答.【解答】解:过点O作OD BC⊥,交BC的延长线于点D,过点O作OE AB⊥,垂足为E,由题意得:8540AO=⨯=(米),4520OC=⨯=(米),OE BD=,//OE BD,45EOC OCD∴∠=∠=︒,75AOC∠=︒,30AOE AOC EOC∴∠=∠-∠=︒,在Rt OCD∆中,2cos452022CD OC=⋅︒=⨯=),在Rt AOE∆中,3cos304032OE AO=⋅︒=⨯=(米),3OE BD∴==),310221BC BD CD∴=-=-≈(米),∴小李到古塔的水平距离即BC的长约为21米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.【例2】.(2023秋•盘州市期中)某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物,其纵断面ACFE如图所示.AE为台面,AC垂直于地面,AB表示平台前方的斜坡.斜坡的坡角ABC∠为43︒,坡长AB为2m.为保障安全,又便于装卸货物,决定减小斜坡AB的坡角,AD是改造后的斜坡(D在直线BC上),坡角ADC∠为31︒.求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD.(结果精确到0.1)m【参考数据:sin430.68︒=,cos430.73︒=,tan430.93︒=;sin310.52︒=,cos310.86︒=,tan310.60︒=】【分析】首先在Rt ABC∆中,求出AC的长,再在Rt ADC∆,由tanACADCCD∠=,即可求出CD的长.【解答】解:在Rt ABC∆中,sinAC ABCAB∠=,sin4320.68 1.36() AC AB m∴=⋅︒=⨯=,在Rt ADC∆中,tanAC ADCCD ∠=,∴1.362.3()tan310.60ACCD m ==≈︒,∴斜坡AD底端D与平台AC的距离CD约为2.3m.【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是利用三角函数知识解直角三角形.【例3】.(2023秋•九龙坡区校级月考)如图,海岸边上有三个观测站A,B,C,观测站B在观测站A的东北方向,观测站C在观测站B的正东方向,观测站B,C之间的距离为30海里.某天,观测站A,B,C同时收到一艘轮船在D处发出的求救信号,经分析,D在观测站C的南偏东15︒方向,在观测站B的东南方向,在观测站A的正东方向.(1)求CD的长度.(结果精确到个位)(2)目前只有观测站A与B配备了搜救艇,搜救艇航速为30海里/时.收到求救信号后,因观测站B的搜救艇在检修,接到任务后不能马上出发,需30分钟后才能出发,而且必须先去C处,才能再去D处(在C 处停留时间可忽略不计);而观测站A的搜救艇接到任务后可马上出发,并直接到达D处.请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达D 1.414≈ 1.732)≈【分析】(1)过点C 作CE BD ⊥于点E ,利用方向角的意义,等腰直角三角形的性质和含30︒角的直角三角形的性质解答即可;(2)过点B 作BF AD ⊥于点F ,利用(1)的结论和等腰直角三角形的判定与性质求得AD 的长度,通过比较两个搜救艇到达D 处所需的时间解答即可.【解答】解:(1)由题意得://AD BC ,45CBD ∠=︒,9015105BCD ∠=︒+︒=︒,30BC =海里.过点C 作CE BD ⊥于点E ,如图,则CBE ∆为等腰直角三角形,45BCE ∴∠=︒,21522BE CE ===(海里),60DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠=︒,30CDE ∴∠=︒,2242CD CE ∴==≈(海里);(2)观测站A 的搜救艇可以更快到达D 处.理由:由(1)知:152BE =海里,22156DE CD CE =-=(海里),(152156)BD BE DE ∴=+=海里.过点B 作BF AD ⊥于点F ,由题意得:45NAB BAD ∠=∠=︒,//BF AN ,45ABF ∴∠=︒,45DAF ∠=︒ ,90ABD ∴∠=︒,ABD ∴∆为等腰直角三角形,23030382AD BD ∴==+≈(海里).∴观测站A 的搜救艇到达D 处需要8230 2.73÷=(小时). 观测站B 的搜救艇到达D 处需要:1(3042)300.5 2.4 2.92++÷=+=(小时),∴观测站A 的搜救艇可以更快到达D 处.【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用,方向角,直角三角形的边角关系定理,特殊角的三角函数值,利用已知条件恰当的添加辅助线,构造直角三角形是解题的关键.【方法二】实例探索法题型1.方向角问题1.(2023•高碑店市模拟)如图为东西流向且河岸平行的一段河道,点A ,B 分别为两岸上一点,且点B 在点A 正北方向,由点A 向正东方向走a 米到达点C ,此时测得点B 在点C 的北偏西55︒方向上,则河宽AB 的长为()A .tan 55a ︒米B .cos55a ︒米C .tan 35a ︒米D .tan 55a ︒米【分析】连接AB ,BC ,根据三角函数的定义即可得到结论.【解答】解:连接AB ,BC ,由题意得,90BAC ∠=︒,55ABC ∠=︒,AC a =米,tan tan 55AC ABC AB ∴∠=︒=,tan 55tan 55AC a AB ∴==︒︒,【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.2.(2023•金东区二模)如图,小明在C 处看到西北方向上有一凉亭A ,北偏东35︒的方向上有一棵大树B ,已知凉亭A 在大树B 的正西方向,若50BC =米,则AB 的长等于()米.A .5050sin 35cos35-︒︒B .5050sin 35cos35+︒︒C .50(cos35sin 35)︒-︒D .50(cos35sin 35)︒+︒【分析】过点C 作CD AB ⊥,垂足为D ,先在Rt BCD ∆中,利用锐角三角函数的定义求出BD ,CD 的长,然后在Rt ADC ∆中,利用锐角三角函数的定义求出AD 的长,从而利用线段的和差关系进行计算,即可解答.【解答】解:过点C 作CD AB ⊥,垂足为D ,在Rt BCD ∆中,35BCD ∠=︒,50BC =米,sin 3550sin 35BD BC ∴=⋅︒≈︒(米),cos 4550cos 35CD BC =⋅︒=︒(米),在Rt ADC ∆中,45ACD ∠=︒,tan 4550cos 35AD CD CD ∴=⋅︒==︒(米),50cos3550sin 3550(cos35sin 35)AB AD BD ∴=+=︒+︒=︒+︒米,【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.3.(2023秋•徐汇区期末)如图,一段东西向的限速公路MN 长500米,在此公路的南面有一监测点P ,从监测点P 观察,限速公路MN 的端点M 在监测点P 的北偏西60︒方向,端点N 在监测点P 的东北方向,那么监测点P 到限速公路MN 的距离是米(结果保留根号).【分析】过点P 作PA MN ⊥于点A ,则90PAM PAN ∠=∠=︒,设PA x =米,证PAN ∆是等腰直角三角形,得NA PA x ==米,再由锐角三角函数定义得MA =米,然后由MA NA MN +=,求出250x =-,即可得出结论.【解答】解:如图,过点P 作PA MN ⊥于点A ,则90PAM PAN ∠=∠=︒,设PA x =米,由题意可知,60MPA ∠=︒,45NPA ∠=︒,PAN ∴∆是等腰直角三角形,NA PA x ∴==米,tan tan 60MAMPA PA∠==︒= ,MA ∴==(米),500MA NA MN +== ,∴500x +=,解得:250x =-,即监测点P 到限速公路MN 的距离是250)-米,故答案为:250)-.【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.4.(2023春•沙坪坝区校级期中)在公园里,同一平面内的五处景点的道路分布如图所示,经测量,点D 、E 均在点C 的正北方向且600CE =米,点B 在点C 的正西方向,且BC =点B 在点A 的南偏东60︒方向且400AB =米,点D 在点A 1.414≈, 1.732≈ 2.449)≈.(1)求道路AD 的长度(精确到个位);(2)若甲从A 点出发沿A —D —E 的路径去点E ,与此同时乙从点B 出发,沿B —A —E 的路径去点E ,其速度为40米/分钟.若两人同时到达点E ,请比较谁的速度更快?快多少?(精确到十分位)【分析】(1)过点A 作AF CB ⊥,交CB 的延长线于点F ,过点A 作AG DC ⊥,垂足为G ,根据题意可得:AF CG =,AG CF =,然后在Rt AFB ∆中,利用锐角三角函数的定义求出AF ,BF 的长,从而求出CF 的长,再在Rt ADG ∆中,利用锐角三角函数的定义求出AD 的长,即可解答;(2)利用(1)的结论可求出EG 的长,再在Rt AGE ∆中,利用勾股定理可求出AE 的长,然后在Rt ADG ∆中,利用锐角三角函数的定义求出DG 的长,从而求出甲和乙的路程,最后进行计算即可解答.【解答】解:(1)过点A 作AF CB ⊥,交CB 的延长线于点F ,过点A 作AG DC ⊥,垂足为G ,由题意得:AF CG =,AG CF =,在Rt AFB ∆中,60BAF ∠=︒,400AB =米,∴1cos604002002AF AB=⋅︒=⨯=(米),sin60400BF AB=⋅︒=⨯(米),200CG AF∴==米,BC=∴CF BF BC=+=+=(米),∴AG CF==米,在Rt ADG∆中,904545DAG∠=︒-︒=︒,∴980cos45AGAD==︒(米),∴道路AD的长度约为980米;(2)600CE=米,200CG=米,400EG CE CG∴=-=(米),在Rt AGE∆中,AG=米,∴800AE=(米),在Rt ADG∆中,45DAG∠=︒,∴tan45DG AG=⋅︒=),∴甲的路程400)AD DE AD DG EG=+=+-=米,乙的路程4008001200AB AE=+=+=(米),乙的速度为40米/分钟,∴乙所用的时间12003040==(分钟),∴甲所用的时间也是30分钟,∴甲的速度42.4=≈(米/分钟),42.440 2.4∴-=(米/分钟),∴若两人同时到达点E,甲的速度更快,快2.4米/分钟.【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,勾股定理的应用,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.5.(2023秋•沙坪坝区校级月考)如图,五边形ABCDE 是某公园的游览步道,把公园的五个景点连接起来,为方便游览,增设了步道AC .经勘测,90BAE ∠=︒,景点C 在景点A 的东北方向,且在景点B 的南偏东60︒方向的800米处,景点D 在景点C 的正南方向500米处,150AED ∠=︒ 1.414≈ 1.732)≈(1)求景点A 与景点E 的距离;(结果精确到1米)(2)甲、乙两人同时从景点A 出发,选择相反的路线依次游览其余四个景点,最后回到景点A ,两人在各景点处停留时间忽略不计.其中甲的游览路线是A B C D E A →→→→→,甲游览的平均速度是100米/分,乙游览的平均速度是80米/分.请通过计算说明在游览过程中,甲、乙谁先到达景点C ?【分析】(1)延长AE ,CD 交于点G ,连接AC ,过点C 作CF AB ⊥于点F ,利用含30︒角的直角三角形的性质,等腰直角三角形的性质解答即可;(2)利用(1)的结论分别计算出甲,乙两人的走的路程,再计算出到达点C 的时间即可.【解答】解:(1)延长AE ,CD 交于点G ,连接AC ,过点C 作CF AB ⊥于点F ,如图,由题意得:800BC =米,500CD =米,60ABC ∠=︒,景点C 在景点A 的东北方向,45BAC CAG ∴∠=∠=︒.在Rt BFC ∆中,60B ∠=︒ ,30BCF ∴∠=︒,400BF ∴=(米),CF ==(米).90AFC ∠=︒ ,45BAC ∠=︒,AF FC ∴==),AC ∴==),45CAG ∠=︒ ,90G ∠=︒,2AG GC AC ∴===(米),500)DG CG CD ∴=-=米,150AED ∠=︒ ,30DEG ∴∠=︒,21000)DE DG ∴==米,(1200EG ∴==-米,1200359AE AG EG ∴=-=-≈(米).答:景点A 与景点E 的距离359米.(2)乙先到达景点C ,理由:由(1)知:4008001893AB AF BF =+=++≈(米),35910005001245AE DE CD ++=++=(米),∴甲到达点C 所有的时间为189310018.93÷=(分),乙到达点C 所有的时间为12458015.56÷≈(分),18.9315.56> ,∴乙先到达景点C .【点评】本题主要考查了直角三角形的应用,含30︒角的直角三角形的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理,方向角,近似数和有效数字,恰当的构造直角三角形是解题的关键.6.(2023秋•九龙坡区校级期中)如图,五边形ABCDE 是一个公园沿湖的健身步道(步道可以骑行),BD 是仅能步行的跨湖小桥.经勘测,点B 在点A 的正北方935米处,点E 在点A 的正东方,点D 在点B 的北偏东74︒,且在点E 的正北方,90C ∠=︒,800BC =米,600CD =米.(参考数据:sin 740.96︒≈,cos 740.27︒≈,tan 74 3.55)︒≈(1)求AE 的长度(结果精确到1米);(2)小明和爸爸在健身步道锻炼,小明以200米/分的速度从点A 出发沿路线A B C D E A →→→→→的方向骑行,爸爸以150米/分的速度从点B 出发沿路线B D E A →→→的方向跑步前行.两人约定同时出发,那么小明和爸爸谁先到达A 点?请说明理由.【分析】(1)过点B 作BF DE ⊥,垂足为F ,根据垂直定义可得90BFE BFD ∠=∠=︒,再根据题意可得:74GBD ∠=︒,90A E ∠=∠=︒,从而可得四边形ABFE 是矩形,进而可得AB FE =,AE BF =,//AB EF ,然后利用平行线的性质可得74GBD BDF ∠=∠=︒,在Rt BCD ∆中,利用勾股定理求出BD 的长,再在Rt BFD ∆中,利用锐角三角函数的定义求出BF 的长,即可解答;(2)在Rt BFD ∆中,利用锐角三角函数的定义求出DF 的长,从而求出DE 的长,然后进行计算,比较即可解答,【解答】解:(1)如图:过点B 作BF DE ⊥,垂足为F ,90BFE BFD ∴∠=∠=︒,由题意得:74GBD ∠=︒,90A E ∠=∠=︒,∴四边形ABFE 是矩形,935AB FE ∴==米,AE BF =,//AB EF ,74GBD BDF ∴∠=∠=︒,90C ∠=︒ ,800BC =米,600CD =米1000BD ∴===(米),在Rt BFD ∆中,sin 7410000.96960BF BD =⋅︒≈⨯=(米),960BF AE ∴==米,AE ∴的长度约为960米;(2)爸爸先到达A 点,理由:在Rt BFD ∆中,74BDF ∠=︒,1000BD =米,cos 7410000.27270DF BD ∴=⋅︒≈⨯=(米),935EF = 米,9352701205DE DF EF ∴=+=+=(米),∴小明从点A 出发沿路线A B C D E A →→→→→的方向骑行需要的时间450022.5200200AB BC CD DE AE ++++===(分钟),爸爸从点B 出发沿路线B D E A →→→的方向跑步前行需要的时间316521.1150150BD DE EA ++===(分钟),21.1 分钟22.5<分钟,∴爸爸先到达A 点.【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,矩形的判定与性质,勾股定理的应用,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.7.(2023秋•沙坪坝区校级月考)如图,小明家A 和商店C 都在地铁站D 的正西方向,小亮家B 在地铁站的西北方,且在小明家北偏东15︒方向.一天,小明和小亮相约去地铁站坐地铁,小明到离家4千米的商店C 时,小亮家B 恰在商店C 的北偏西30︒方向. 1.41≈, 2.45)≈(1)求小明和小亮家的距离(保留根号);(2)小明从商店出发继续前往地铁站,此时小亮也从家出发乘坐公交车沿BD 方向前往地铁站,其中小明的步行速度为每小时8千米,公交车的行驶速度为每小时25千米,谁先到达地铁站呢?请说明理由.【分析】(1)过点A 作AE BC ⊥,垂足为E ,根据题意可得:75BAC ∠=︒,60BCA ∠=︒,从而利用三角形内角和定理可得45ABC ∠=︒,然后在Rt AEC ∆中,利用锐角三角函数的定义求出AE 和CE 的长,再在Rt ABE ∆中,利用锐角三角函数的定义求出AB 的长,即可解答;(2)过点B 作BF AC ⊥,垂足为F ,在Rt ABE ∆中,利用锐角三角函数的定义求出BE 的长,从而求出BC 的长,然后在Rt BCF ∆中,利用锐角三角函数的定义求出BF 和CF 的长,再在Rt BFD ∆中,利用锐角三角函数的定义求出DF 和BD 的长,从而求出CD 的长,最后进行计算即可解答.【解答】解:(1)过点A 作AE BC ⊥,垂足为E,由题意得:901575BAC ∠=︒-︒=︒,903060BCA ∠=︒-︒=︒,18045ABC BAC BCA ∴∠=︒-∠-∠=︒,在Rt AEC ∆中,4AC =千米,1cos 60422CE AC ∴=⋅︒=⨯=(千米),3sin 60432AE AC =⋅︒=⨯=(千米),在Rt ABE ∆中,2326sin 4522AE AB ===︒,∴小明和小亮家的距离为26千米;(2)小明先到达地铁站,理由:过点B 作BF AC ⊥,垂足为F,在Rt ABE ∆中,45ABE ∠=︒,AE =千米,tan 45AE BE ∴==︒,2CE =千米,(2BC BE CE ∴=+=+千米,在Rt BCF ∆中,60BCF ∠=︒,sin 60(2(32BF BC ∴=⋅︒=+⨯=+千米,1cos 60(2(12CF BC =⋅︒=+⨯=千米,在Rt BFD ∆中,904545BDF ∠=︒-︒=︒,(3tan 45BF DF ∴==︒千米,sin 45BF BD ==︒千米,3(12CD DF CF ∴=-=++=(千米), 小明的步行速度为每小时8千米,公交车的行驶速度为每小时25千米,∴小明到达地铁站需要的时间210.2584===(小时),小亮到达地铁站需要的时间0.27=(小时),0.25 小时0.27<小时,∴小明先到达地铁站.【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.题型 2.坡度、坡角问题8.(2023•秦都区校级模拟)菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯,如图,把电梯坡面的坡角由原来的37︒减至30︒,已知原电梯坡面AB 的长为8米,更换后的电梯坡面为AD ,点B 延伸至点D ,求BD 的长.(结果精确到0.1米.参考数据:sin 370.60︒≈,cos 370.80︒≈,tan 370.75︒≈,3 1.73)≈【分析】根据正弦的定义求出AC ,根据余弦的定义求出BC ,根据正切的定义求出CD ,结合图形计算,得到答案.【解答】解:在Rt ABC ∆中,8AB =米,37ABC ∠=︒,则sin 80.60 4.8AC AB ABC =⋅∠≈⨯=(米),cos 80.80 6.40BC AB ABC =⋅∠≈⨯=(米),在Rt ADC ∆中,30ADC ∠=︒,则 4.88.30tan tan 3033AC CD ADC ===≈∠︒(米),8.30 6.40 1.9BD CD BC ∴=-=-≈(米),答:BD 的长约为1.9米.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题,掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.题型3.方案决策问题9.(2023秋•大东区期末)如图1是某越野车的侧面示意图,折线段ABC 表示车后盖,已知1AB m =,0.6BC m =,123ABC ∠=︒,该车的高度 1.7AO m =.如图2,打开后备箱,车后盖ABC 落在AB C ''处,AB '与水平面的夹角27B AD '∠=︒.(1)求打开后备箱后,车后盖最高点B '到地面l 的距离;(2)若小明爸爸的身高为1.83m ,他从打开的车后盖C 处经过,有没有碰头的危险请说明理由.(结果精确到0.01m ,参考数据:sin 270.454︒≈,cos 270.891︒≈,tan 270.510︒≈3 1.732)≈【分析】(1)过点B E AD '⊥于E ,根据正弦的定义求出B E ',进而求出车后盖最高点B '到地面l 的距离;(2)过点C '作C F B E '⊥'于点F ,根据题意求出60C B F ∠''=︒,根据余弦的定义求出B F ',再求出点C '到地面l 的距离,比较大小证明结论.【解答】解:(1)如图2,过点B E AD '⊥于E ,在Rt △AB E '中,1AB AB m '==,27B AD ∠'=︒,sin B E B AE AB '∠'=',sin 1sin 270.454()B E AB B AE m ∴'='⋅∠'=⨯︒≈,∴点B '到地面l 的距离为:0.454 1.7 2.154 2.15()m +=≈,答:车后盖最高点B '到地面l 的距离约为2.15m ;(2)没有碰头的危险,理由如下:如图2,过点C '作C F B E '⊥'于点F ,在Rt △AB E '中,27B AD ∠'=︒,则902763AB E ∠'=︒-︒=︒,123AB C ABC ∠'=∠=︒ ,60C B F ∴∠''=︒,0.6B C BC m ''== ,1cos 0.60.3()2B F BC C B F m ∴'=''⋅∠''=⨯=,∴点C '到地面l 的距离为:2.150.3 1.85()m -=,1.85 1.8> ,∴没有碰头的危险.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题,正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.题型4.一题多解——求建筑物的高10.(2023秋•长春期末)在综合与实践活动中,要利用测角仪测量塔的高度.如图,塔AB 前有一座高为3m 的观景台DE ,已知30DCE ∠=︒,点E 、C 、A 在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B 的仰角为45︒,在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为27︒.求塔AB 的高度.【参考数据:tan 270.5︒=,3 1.7=】.【分析】根据题意可得:DE EC ⊥,然后在Rt DEC ∆中,利用含30度角的直角三角形的性质得333CE DE m ==,过点D 作DF AB ⊥,垂足为F ,设AB h =m ,根据题意得:(33)DF EA h m ==,3DE FA m ==,则(3)BF h m =-,然后在Rt BDF ∆中,利用锐角三角函数的定义求出BF 的长,从而列出关于h 的方程,进行计算即可解答.【解答】解:由题意得:DE EC ⊥,在Rt DEC ∆中,30DCE ∠=︒,90DEC ∠=︒,3DE m =,∴333CE DE m ==,BA EA ⊥ ,在Rt ABC ∆中,45BCA ∠=︒,AB h =m ,tan 45AB AC h m ∴==︒,∴)AE EC AC h m =+=,过点D 作DF AB ⊥于点F ,由题意得:3DE FA m ==,)DF EA h m ==,AB h = m ,(3)BF AB AF h m ∴=-=-,在Rt BDF ∆中,27BDF ∠=︒,tan 270.5(33)BF DF h m ∴=⋅︒=+,∴3)h h -=,∴611.1h =+=,11.1AB m ∴=,∴塔AB 的高度约为11.1m .【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角,熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键.11.(2023秋•闵行区月考)如图,AB ,CD 表示两栋建筑,小明想利用建筑CD 玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB 的高度,首先他在建筑AB 的底部A 处用测角仪测得其顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点E 的仰角为α,然后他沿AC 前进了10米到达点F 处,再用测角仪测得建筑AB 的顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点G 的仰角为β,已知1tan 3α=,1sin 3β=,测角仪置于水平高度1.5米的M 、N 处.试求建筑AB 的高度.【分析】延长BE .BG 分别交MN 的延长线于M ',N ',MM '于CD 相交于H ,设NH xm =,则(10)MH x m =+,(210)N M x m '=+,(220)MM x m '=+,在Rt △MM B '中,1tan (210)3BM MM x α='=+ ,在Rt △MN B '中,tan BM MN β=' ,根据1sin 3β=求得2tan 4β=,于是得到210)4BM x =+,列方程解得30235x =+,于是得到1[2(30235)20] 1.5(20231.5)3AB m =⨯+++=+.【解答】解:延长BE .BG 分别交MN 的延长线于M ',N ',MM '于CD 相交于H ,设NH xm =,则(10)MH x m =+,(210)N M x m '=+,(220)MM x m '=+,在Rt △MM B '中,1tan (220)3BM MM x α='=+ ,在Rt △MN B '中,tan BM MN β=' ,1sin 3β=,22cos 3β∴=,2tan 4β∴=,210)BM x ∴=+,∴12(220)10)34x x +=+,解得:30235x =,1[2(30235)20] 1.5(20231.5)3AB m ∴=⨯+++=+.答:建筑AB 的高度为(20231.5)m .【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角,解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形,利用三角函数的知识求解.【方法三】差异对比法易错点:对俯角的意义理解错误12.(2023秋•诸城市期中)如图,数学兴趣小组用无人机测量一幢楼AB 的高度.小亮站立在距离楼底部94米的D 点处,操控无人机从地面F 点,竖直起飞到正上方60米E 点处时,测得楼AB 的顶端A 的俯角为30︒,小亮的眼睛点C 看无人机的仰角为45︒(点B 、F 、D 三点在同一直线上).求楼AB 的高度.(参考数据:小亮的眼睛距离地面1.7米,3 1.7)≈【分析】过点C 作CG EF ⊥,垂足为G ,延长BA 交HE 于点I ,根据题意可得:BI EH ⊥, 1.7GF CD ==米,CG DF =,EI BF =,60EF IB ==米,94BD =米,从而可得58.3EG =米,然后在Rt EGC ∆中,利用锐角三角函数的定义求出CG 的长,从而求出IE 的长,再在Rt AIE ∆中,利用锐角三角函数的定义求出AI 的长,最后利用线段的和差关系进行计算,即可解答.【解答】解:如图:过点C 作CG EF ⊥,垂足为G ,延长BA 交HE 于点I ,由题意得:BI EH ⊥, 1.7GF CD ==米,CG DF =,EI BF =,60EF IB ==米,94BD =米,60 1.758.3EG EF FG ∴=-=-=(米),在Rt EGC ∆中,45ECG ∠=︒,58.3tan 45EG CG ∴==︒(米),58.3CG DF ∴==米,9458.335.7IE BF BD DF ∴==-=-=(米),在Rt AIE ∆中,30AEI ∠=︒,tan 3035.7AI IE ∴=⋅︒=⨯(米),6039.77AB IB IA ∴=-=-≈(米),∴楼AB 的高度约为39.77米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.【方法四】仿真实战法考法.解直角三角形的应用-坡角问题1.(2023•淄博)如图,与斜坡CE 垂直的太阳光线照射立柱AB (与水平地面BF 垂直)形成的影子,一部分落在地面上,另一部分落在斜坡上.若2BC =米,8.48CD =米,斜坡的坡角32ECF ∠=︒,则立柱AB 的高为米(结果精确到0.1米).科学计算器按键顺序计算结果(已取近似值)0.5300.8480.625【分析】延长AD 交BF 于点H ,根据余弦的定义求出CH ,进而求出BH ,再根据正切的定义计算,得到答案.【解答】解:如图,延长AD 交BF 于点H ,在Rt CDH ∆中,8.48CD =米,32DCH ∠=︒,cos CD DCH CH ∠=,8.4810cos 0.848CD CH DCH ∴=≈=∠(米),10212BH CH BC ∴=+=+=(米),90CDH ∠=︒ ,32DCH ∠=︒,903258DHC ∴∠=︒-︒=︒,AB BF ⊥ ,905832BAH ∴∠=︒-︒=︒,在Rt ABH ∆中,tan BH BAH AB ∠=,1219.2tan 0.625BH AB BAH ∴=≈=∠(米),故答案为:19.2.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题,熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.2.(2023•十堰)如图所示,有一天桥高AB 为5米,BC 是通向天桥的斜坡,45ACB ∠=︒,市政部门启动“陡改缓”工程,决定将斜坡的底端C 延伸到D 处,使30D ∠=︒,则CD 的长度约为()(参考数据:1.414≈ 1.732)≈A .1.59米B .2.07米C .3.55米D .3.66米【分析】由90BAC ∠=︒,45ACB ∠=︒,得45ABC ACB ∠=∠=︒,则5AC AB ==米,由90BAD ∠=︒,30D ∠=︒,得60ABD ∠=︒,则tan 603AD AB =︒=,所以3AD AB =,则3 3.66CD AD AC AB AC =-=-≈米,于是得到问题的答案.【解答】解:在Rt ABC ∆中,90BAC ∠=︒,45ACB ∠=︒,45ABC ACB ∴∠=∠=︒,5AC AB ∴==米,在Rt ABD ∆中,90BAD ∠=︒,30D ∠=︒,60ABD ∴∠=︒,∴tan tan 603AD ABD AB=∠=︒=,3AD AB ∴=,3 1.73255 3.66CD AD AC AB AC ∴=-=-≈⨯-≈(米),CD ∴的长度约为3.66米,故选:D .【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、等腰直角三角形的判定、锐角三角函数与解直角三角形等知识,推导出3AD AB =是解题的关键.3.(2023•深圳)爬坡时坡面与水平面夹角为α,则每爬1m 耗能(1.025cos )J α-,若某人爬了1000m ,该坡角为30︒,则他耗能()(参考数据:3 1.732≈,2 1.414)≈A .58J B .159J C .1025J D .1732J【分析】根据题意可得:他耗能1000(1.025cos30)=⨯-︒,进行计算即可解答.【解答】解:由题意得:某人爬了1000m ,该坡角为30︒,则他耗能1000(1.025cos30)1000(1.025159()J =⨯-︒=⨯-≈,故选:B .【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题,准确熟练地进行计算是解题的关键.4.(2023•辽宁)暑假期间,小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要登顶600m 高的山峰,由山底A 处先步行300m 到达B 处,再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处.已知点A ,B ,D ,E ,F 在同一平面内,山坡AB 的坡角为30︒,缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53︒(换乘登山缆车的时间忽略不计).(1)求登山缆车上升的高度DE ;(2)若步行速度为30/m min ,登山缆车的速度为60/m min ,求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟(结果精确到0.1)min .(参考数据:sin 530.80︒≈,cos 530.60︒≈,tan 53 1.33)︒≈【分析】(1)根据直角三角形的边角关系求出BM ,进而求出DE 即可;(2)利用直角三角形的边角关系,求出BD 的长,再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可.【解答】解:(1)如图,过点B 作BM AF ⊥于点M ,由题意可知,30A ∠=︒,53DBE ∠=︒,600DF m =,300AB m =,在Rt ABM ∆中,30A ∠=︒,300AB m =,11502BM AB m EF ∴===,600150450()DE DF EF m ∴=-=-=,答:登山缆车上升的高度DE 为450m ;(2)在Rt BDE ∆中,53DBE ∠=︒,450DE m =,sin DE BD DBE∴=∠4500.80≈562.5()m =,∴需要的时间t t t =+步行缆车300562.53060=+19.4()min ≈,答:从山底A 处到达山顶D 处大约需要19.4分钟.【点评】本题考查解直角三角形的应用,掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.5.(2023•大庆)某风景区观景缆车路线如图所示,缆车从点A 出发,途经点B 后到达山顶P ,其中400AB =米,200BP =米,且AB 段的运行路线与水平方向的夹角为15︒,BP 段的运行路线与水平方向的夹角为30︒,求垂直高度PC .(结果精确到1米,参考数据:sin150.259︒≈,cos150.966︒≈,tan150.268)︒≈【分析】过点B 作BD PC ⊥,垂足为D ,过点B 作BE AC ⊥,垂足为E ,根据题意可得:CD BE =,然后分别在Rt ABE ∆和Rt BDP ∆中,利用锐角三角函数的定义求出BE 和DP 的长,从而利用线段的和差关系进行计算,即可解答.【解答】解:过点B 作BD PC ⊥,垂足为D ,过点B 作BE AC ⊥,垂足为E ,由题意得:CD BE =,在Rt ABE ∆中,15A ∠=︒,400AB =米,sin154000.259103.6BE AB ∴=⋅︒≈⨯=(米),103.6CD BE ∴==米,在Rt BDP ∆中,30PBD ∠=︒,200BP =米,11002DP BP ∴==(米),204PC PD DC ∴=+≈(米),∴垂直高度PC 约为204米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.【方法五】成果评定法一、单选题A .10tan 40⋅︒米B 【答案】A 【分析】本题主要考查解直角三角形,熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.【详解】解:∵ABC 为直角三角形,A .170m【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用,矩形的性质与判定,过点四边形ABED 是矩形,得到可求出答案.【详解】解:如图所示,过点由题意得AB CD AD ∥,∴AB AD ⊥,又∵BE CD ⊥,∴四边形ABED 是矩形,∴10m DE AB AD ==,在Rt EBC 中,tan α=∴105m CE =,∴115m CD DE CE =+=故选D .4.(2023上·四川资阳则AC的长是()A.53米B【答案】A【分析】本题考查了坡比计算,熟练掌握定义是解题的关键.【详解】∵堤高5BC=米,迎水坡∴:5:1:==BC AC AC解得53AC=(米),故选A.5.(2023上·山西长治·九年级校联考期末)该支架三个脚长度相同且与地面夹角相同.如图∠脚AB的长为2米,BA.2tan70︒米B.2sin【答案】B【分析】本此题主要考查了解直角三角形的应用,直接利用锐角三角函数关系得出。

数学人教A版4成长训练:1.6三角函数模型的简单应用含解析

数学人教A版4成长训练:1.6三角函数模型的简单应用含解析

主动成长夯基达标1。

如图1—6-6所示是函数y=Asin(ωx+φ)+k 在一个周期内的图象,那么这个函数的解析式应为( )图1-6—6A.y=2sin (2x +6π)—1 B 。

y=2sin (2x+6π)-1C 。

y=3sin(2x+3π)—1D 。

y=3sin(2x+6π)-1解析:A=242+=3,k=242-=-1, T=65π+6π=π.∴ω=Tπ2=2. ∴y=3sin(2x+φ)-1.当x=3π时,2x+φ=π,∴φ=3π. ∴y=3sin(2x+3π)-1. 答案:C2.若f(x)=sin (ωx+φ)的图象(部分)如图1-6-7所示,则ω和φ的取值是…( )图1—6—7A.ω=1,φ=3π B 。

ω=1,φ=—3π C 。

ω=21,φ=6πD.ω=21,φ=—6π 解析:4T =32π-(-3π)=π,∴T=4π,A=1。

又T=ωπ2,∴ω=21。

∴y=sin(21x+φ)。

∴0=sin(—6π+φ)=0. ∴-6π+φ=kπ。

由图知k=0, ∴φ=6π。

故选C 。

答案:C3.设y=f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:经长期观察,函数y=f (t )的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象,下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A 。

y=12+3sin 6πt,t∈[0,24] B.y=12+3sin (6πt+π),t∈[0,24]C 。

y=12+3sin 12πt,t∈[0,24]D 。

y=12+3sin (12πt+6π),t∈[0,24]解析:根据时间t 与水深的关系,画出y=f(x )的图象.A=2915-=3,k=2915+=12,T=12,ω=122π=6π. ∴y=3sin 6πt+12,t∈[0,24]。

高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用分层训练含解析新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用分层训练含解析新人教A版必修4

三角函数模型的简单应用分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=3sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是( A )A. B.50 C. D.1002.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,劳动节某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin (t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的( C )A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]3.一种波的波形为函数y=-sin x的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是( C )A.5B.6C.7D.84.函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是( C )5.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为( A )A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+)B.f(x)=9sin (1≤x≤12,x∈N+)C.f(x)=2sinx+7(1≤x≤12,x∈N+)D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+)6.如图所示,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是( C )7.如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况,则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为y=-6sinx.8.某摩天轮建筑,其旋转半径50米,最高点距地面110米,运行一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮,则第7分钟时他距地面大约为85米.9.一根长a cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s=3cos,t∈[0,+∞),则小球摆动的周期为.10. (2018·福州高一检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,质点M,N间隔3分钟先后从点P 出发,绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圈周运动,则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,N运动的时间为37.5分钟.11.已知电流I与时间t的关系式为I=Asin(ωt+φ).(1)如图是I=Asin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象,根据图中数据求解析式.(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流I=Asin(ωT+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?【解析】(1)由图知,A=300,=-=,所以T=,所以ω=,由·+φ=0,得φ=.所以I=300sin;(2)因为t在任意一段秒内I都能取到最大值和最小值,所以T≤,ω≥300π>942,所以ω最小取值为943.12.已知某地一天从4~16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20,x∈[4,16].(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差.(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生存多长时间?【解析】(1)由函数易知,当x=14时函数取最大值,此时最高温度为30 ℃,当x=6时函数取最小值,此时最低温度为10 ℃,所以最大温差为30 ℃-10 ℃=20 ℃.(2)令10sin+20=15,得sin=-,而x∈[4,16],所以x=.令10sin+20=25,得sin=,而x∈[4,16],所以x=.故该细菌能存活的最长时间为-= (小时).B组提升练(建议用时20分钟)13.稳定房价是我国实施宏观调控的重点,国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如表所示:则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( C )A.10 000元B.9 500元C.9 000元D.8 500元14.(2018·沈阳高一检测)有一块半径为R(R是正常数)的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形的游泳池ABCD和其附属设施,附属设施占地形状是等腰△CDE,其中O为圆心,A,B在圆的直径上,C,D,E在半圆周上,如图.设∠BOC=θ,征地面积为f(θ),当θ满足g(θ)=f(θ)+R2sin θ取得最大值时,开发效果最佳,开发效果最佳的角θ和g(θ)的最大值分别为( B ) A.,R2 B.,R2C.,R2(1+)D.,R2(1+)15.如图所示是一弹簧振子作简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振子的位移,则这个振子振动的函数解析式是y=2sin.16.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,若将A,B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数,则d=10sin ,其中t∈[0,60].17.如图所示,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,2);赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.求A,ω的值和M,P两点间的距离.【解析】依题意,有A=2,=3,即T=12.又T=,所以ω=.所以y=2sinx,x∈[0,4].所以当x=4时,y=2sin=3.所以M(4,3).又P(8,0),所以MP===5(km).即M,P两点间的距离为5 km.18.如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?【解析】(1)如图所示建立直角坐标系,设角φ是以Ox为始边,OP0为终边的角.OP每秒钟内所转过的角为=.OP在时间t(s)内所转过的角为t=t.由题意可知水轮逆时针转动,得z=4sin+2.当t=0时,z=0,得sin φ=-,即φ=-.故所求的函数关系式为z=4sin+2.(2)令z=4sin+2=6,得sin=1,令t-=,得t=4,故点P第一次到达最高点大约需要4 s.C组培优练(建议用时15分钟)19.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如表,则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为y=-4cost.20.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入,为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系.(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?【解析】(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.根据上述分析可得, =12,故ω=,且解得根据分析可知,当x=2时,f(x)最小,当x=8时,f(x)最大,故sin=-1,且sin=1.又因为0<|φ|<π,故φ=-.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin+300.(2)由条件可知,200sin+300≥400,化简,得sin≥⇒2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.因为x∈N*,且1≤x≤12,故x=6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物.。

专题4 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲(举一反三)(新高考地区专用)(解析版)

专题4 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲(举一反三)(新高考地区专用)(解析版)

专题4.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲1.正弦函数与余弦函数的图象(1)正弦函数的图象①根据三角函数的定义,利用单位圆,我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象,如图所示.②五点法观察图,在函数y=,x∈[0,2π]的图象上,以下五个点:,1),( π,0),(-1),(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.(2)余弦函数的图象①图象变换法作余弦函数的图象由诱导公式六,我们知道,而函数x∈R的图象可以通过正弦函数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度,就得到余弦函数的图象,如图所示.②五点法作余弦函数的图象类似于正弦函数图象的作法,从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出,要作出函数y=在[0,2]上的图象,起关键作用的五个点是:(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点,然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图,再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.(3)正弦曲线、余弦曲线正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.2.正弦函数与余弦函数的性质(1)周期函数①定义:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.②最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数与余弦函数的性质正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表:3.正弦型函数的性质的性质4.正切函数的性质与图象(1)正切函数的图象及性质(2)三点两线法作正切曲线的简图类比于正、余弦函数图象的五点法,我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-上的简图.5.余切函数的图象及性质正切函数的图象及性质:的图象先向右平移个单位长度,再以x轴为对称轴上下翻折,可得的图象.余切函数的图象与性质如下表:【题型1 三角函数的定义域和值域(最值)】【方法点拨】求与三角函数有关的函数的值域(最值)的常用方法有:(1)借助三角函数的有界性、单调性求解;(2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时,要考虑三角函数的周期性.【例1】(2022·甘肃·高二开学考试)函数f(x)=tan(x+π4)的定义域为()A.{x|x≠kπ+π4,k∈Z}B.{x|x≠2kπ+π4,k∈Z}C.{x|x≠kπ−π4,k∈Z}D.{x|x≠kπ,k∈Z}【解题思路】根据正切函数的定义域可得结果.【解答过程】因为x+π4≠kπ+π2,k∈Z,所以x≠kπ+π4,k∈Z.故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+π4,k∈Z}.故选:A.【变式1-1】(2022·四川省高三阶段练习(理))若x∈[π4,2π3],则函数f(x)=3sin x cos x+√3sin2x的值域为( ) A .[0,3√32]B .[0,√32] C .[0,√3]D .[0,3+√3]【解题思路】利用二倍角公式和辅助角公式化简原式为f (x )=√3sin(2x -π6)+√32,结合正弦函数的图像和性质,求解即可. 【解答过程】由题意,f (x )=3sin x cos x +√3sin 2x =32sin2x +√32(1-cos2x )=√3×(√32sin2x -12cos2x )+√32=√3×(cos π6sin2x -sin π6cos2x )+√32=√3sin(2x -π6)+√32,当x ∈[π4,2π3]时,有2x -π6∈[π3,7π6],当2x -π6=π2,即x =π3时,f (x )max =f (π3)=√3+√32=3√32; 当2x -π6=7π6,即x =2π3时,f (x )min =f (2π3)=0.即函数f (x )的值域为[0,3√32].故选:A.【变式1-2】(2022·福建省高二阶段练习)函数f (x )=sinx +cos (x +π6)的值域为( ) A .[−2,2]B .[−√3,√3]C .[−1,1]D .[−√32,√32] 【解题思路】利用两角和的余弦公式和辅助角公式进行化简,即可得到答案 【解答过程】解:函数f (x )=sinx +cos (x +π6)=sinx +√32cosx −12sinx =√32cosx +12sinx =cos (x −π6),∵x ∈R ,∴cos (x −π6)∈[−1,1],∴函数的值域为[−1,1], 故选:C .【变式1-3】(2022·全国·高一单元测试)若x ∈[−π3,2π3],则函数y =cos 2(x +π6)+sin (x +2π3)的最大值与最小值之和为( )A .12B .1C .74D .√2【解题思路】利用诱导公式可化简函数为y =(cos (x +π6)+12)2−14,根据余弦型函数值域的求法可求得cos(x+π6)∈[−√32,1],结合二次函数最值的求法可求得y的最大值和最小值,加和即可求得结果.【解答过程】y=cos2(x+π6)+sin(x+2π3)=cos2(x+π6)+sin(π2+x+π6)=cos2(x+π6)+cos(x+π6)=(cos(x+π6)+12)2−14,当x∈[−π3,2π3]时,x+π6∈[−π6,5π6],∴cos(x+π6)∈[−√32,1],∴当cos(x+π6)=1时,y max=94−14=2;当cos(x+π6)=−12时,y min=−14;∴y max+y min=2−14=74.故选:C.【方法点拨】证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法:(1)定义法:即对定义域内的每一个x值,看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立,若成立,则函数是周期函数且T是它的一个周期.(2)公式法:利用三角函数的周期公式来求解.(3)图象法:画出函数的图象,通过图象直观判断即可.【例2】(2023·广东·高三学业考试)函数f(x)=sin(x2−π4)的最小正周期是()A.π2B.πC.2πD.4π【解题思路】利用正弦函数的周期求解.【解答过程】f(x)的最小正周期为T=2π12=4π.故选:D.【变式2-1】(2023·广东·高三学业考试)函数f(x)=cos(12x+π6)的最小正周期为()A.π2B.πC.2πD.4π【解题思路】利用余弦型函数的周期公式进行求解.【解答过程】∵f(x)=cos(12x+π6),∴f(x)最小正周期T=2π12=4π.故A,B,C错误.故选:D.【变式2-2】(2022·甘肃临夏·高二期末(理))函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π,则f(π2)=()A.−√32B.−12C.12D.√32【解题思路】由周期求出ω,从而可求出f(x),进而可求出f(π2).【解答过程】因为函数f(x)的最小正周期为π,ω>0,所以ω=2ππ=2,得f(x)=cos(2x+π6),所以f(π2)=cos(2×π2+π6)=−cosπ6=−√32.故选:A.【变式2-3】(2022·广东佛山·高三阶段练习)在下列函数中,最小正周期为π且在(0,π2)为减函数的是()A.f(x)=sin|2x|B.f(x)=cos(2x+π6)C.f(x)=|cosx|D.f(x)=tan(2x−π4)【解题思路】根据三角函数的图像性质,逐个选项进行判断即可得出答案.【解答过程】对于A,f(x)=sin|2x|的图像关于y轴对称,在(0,π2)为增函数,不符题意,故A错;对于B,f(x)=cos(2x+π6)的最小正周期为π,x∈(0,π2),2x+π6∈(π6,7π6),不是减函数,不符题意,故B错;对于C,f(x)=|cosx|的最小正周期为π,在(0,π2)为减函数,符合题意,故C对;对于D,f(x)=tan(2x−π4)的最小正周期为π2,不符题意,故D错;故选:C.【题型3 三角函数的奇偶性】【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性相关知识,结合具体题目,灵活求解.【例3】(2022·广东·高三学业考试)若函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数,则φ可取一个值为()A.−πB.−π2C.π4D.2π【解题思路】根据偶函数的定义得φ=kπ+π2,k∈Z,结合选项可确定答案.【解答过程】∵函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数,∴f(−x)=f(x),即sin(−x+φ)=sin(x+φ).∴−x+φ=x+φ+2kπ或−x+φ+x+φ=π+2kπ,k∈Z.当−x+φ=x+φ+2kπ时,可得x=−kπ,不满足函数定义.当−x+φ+x+φ=π+2kπ时,φ=kπ+π2,k∈Z,若φ=kπ+π2=−π,解得k=−32∉Z,故A错误;若φ=kπ+π2=−π2,解得k =−1∈Z ,故B 正确; 若φ=kπ+π2=π4,解得k =−14∉Z ,故C 错误;若φ=kπ+π2=2π,解得k =32∉Z ,故D 错误;故选:B.【变式3-1】(2022·全国·高一)下列函数中,在其定义域上是偶函数的是( ) A .y =sinxB .y =|sinx |C .y =tanxD .y =cos (x −π2)【解题思路】根据奇偶性定义,结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.【解答过程】对于A ,∵y =sinx 定义域为R ,sin (−x )=−sinx ,∴y =sinx 为奇函数,A 错误;对于B ,∵y =|sinx |定义域为R ,|sin (−x )|=|−sinx |=|sinx |,∴y =|sinx |为偶函数,B 正确;对于C ,∵y =tanx 定义域为(kπ−π2,kπ+π2)(k ∈Z ),即定义域关于原点对称,tan (−x )=−tanx ,∴y =tanx 为奇函数,C 错误;对于D ,∵y =cos (x −π2)=sinx 定义域为R ,sin (−x )=−sinx ,∴y =cos (x −π2)为奇函数,D 错误. 故选:B.【变式3-2】(2022·北京高三阶段练习)函数f (x )=cos x +cos2x 是( ) A .奇函数,且最大值为2 B .偶函数,且最小值为-98 C .奇函数,且最小值为-98D .偶函数,且最大值为98【解题思路】利用函数奇偶性的定义可判断出函数f (x )的奇偶性,利用二次函数的基本性质可求得函数f (x )的最值.【解答过程】函数f (x )的定义域为R ,f (-x )=cos (-x )+cos (-2x )=cos x +cos2x =f (x ), 故函数f (x )为偶函数,因为-1≤cos x ≤1,则f (x )=2cos 2x +cos x -1=2(cos x +14)2-98, 所以,f (x )min =-98,f (x )max =2+1-1=2.故选:B.【变式3-3】(2022·广西·模拟预测(理))若将函数f (x )=sin2x −√3cos2x 的图象向右平移m (m >0)个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则m 的最小值是( ) A .π6B .π3C .2π3D .5π6【解题思路】首先对f (x )化简得到f (x )=2sin (2x −π3),再写出平移后的解析式y =2sin (2x −2m −π3),因为其为奇函数,则−2m −π3=k π,k ∈Z ,解出m 即可得到最小值.【解答过程】f (x )=sin2x −√3cos2x =2(12sin2x −√32cos2x)=2sin (2x −π3),向右平移m(m >0)个单位后得到函数y =2sin [2(x −m )−π3]=2sin (2x −2m −π3),由于是奇函数,因此,得−2m −π3=k π,k ∈Z ,m =−π6−k π2,k ∈Z.又∵m >0,则当k =−1时,m 的最小值是π3,故选:B.【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的对称性相关知识,结合具体题目,灵活求解.【例4】(2022·安徽·高三开学考试)函数f (x )=tan (2x −π3)的图象的一个对称中心为( ) A .(π12,0)B .(7π12,0)C .(−5π12,0)D .(−π12,0)【解题思路】根据正切型函数的对称中心为(k π2,0) k ∈Z ,求解即可. 【解答过程】由2x −π3=k π2,k ∈Z ,可得x =k π4+π6,k ∈Z ,当k =0时,x =π6,当k =1时,x =π4+π6=5π12,当k =2时,x =8π12=23π, 当k =−1时,x =−π4+π6=−π12, 当k =−2时,x =−4π12=−13π, 当k =−3时,x =−7π12,所以(−π12,0)为f (x )图象的一个对称中心, 故选:D.【变式4-1】(2022·河南·高三阶段练习(理))已知函数f (x )=2cos (ωx −π6)(ω>0)在[0,2π]内恰有三条对称轴,则ω的取值范围是( ) A .[43,116)B .(43,116]C .[1312,1912)D .(1312,1912]【解题思路】根据余弦函数的性质可得2π≤2ωπ−π6<3π,进而即得. 【解答过程】因为0≤x ≤2π, 所以−π6≤ωx −π6≤2ωπ−π6, 所以2π≤2ωπ−π6<3π, 解得1312≤ω<1912.故选:C.【变式4-2】已知函数f(x)=sin (12x −π6),则结论正确的是( )A .f (x )的图象关于点(5π3,0)中心对称B .f (x )的图象关于直线x =−π3对称C .f (x )在区间(−π,π)内有2个零点D .f (x )在区间[−π2,0]上单调递增【解题思路】A 、B 应用代入法判断对称轴和对称中心;C 、D 根据给定区间求12x −π6的范围,结合正弦型函数的性质求零点和单调性. 【解答过程】A :f(5π3)=sin (12×5π3−π6)=sin2π3≠0,故(5π3,0)不是对称中心,错误;B :f(−π3)=sin[12×(−π3)−π6]=−sin π3≠±1,故x =−π3不是对称轴,错误;C :在x ∈(−π,π),则12x −π6∈(−2π3,π3),故f(x)=0,可得12x −π6=0,所以x =π3为f (x )在(−π,π)内的唯一零点,错误;D :在x ∈[−π2,0],则12x −π6∈[−5π12,−π6],故f(x)=sin (12x −π6)递增,正确. 故选:D.【变式4-3】(2022·贵州·高三阶段练习(文))已知函数f (x )=2cos (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的相邻两条对称轴之间的距离为2π,且为奇函数,将f (x )的图象向右平移π3个单位得到函数g (x )的图象,则函数g (x )的图象( ) A .关于点(−5π3,0)对称B .关于点(π2,0)对称 C .关于直线x =−π3对称D .关于直线x =π2对称【解题思路】两个相邻对称轴的为半个周期,奇函数可以确定f (x )为正弦函数,由此条件得出f (x )的解析式,再根据平移得出g (x )的解析式,根据解析式写出对称中心和对称轴的通式即可得出答案.【解答过程】由相邻两条对称轴之间的距离为2π可知T2=2π,即T =4π,ω=2πT ,ω=12, 因为f (x )为奇函数,根据0<φ<π可知φ=π2,f (x )=2sin 12x , g (x )=2sin (12(x −π3))=2sin (12x −π6),对称中心:12x −π6=k π(k ∈Z ),x =2k π+π3(k ∈Z ),故A 正确,B 错误;对称轴:12x −π6=π2+k π(k ∈Z ),x =2k π+4π3(k ∈Z ),故C 、D 错误;故选:A.【方法点拨】三角函数的单调性问题主要有:三角函数的单调区间的求解、比较函数值的大小、根据三角函数的单调性求参数;结合具体条件,根据三角函数的图象与性质进行求解即可.【例5】(2022·江西·高三阶段练习(理))函数y =sin (π6−2x)(x ∈[0,π])为增函数的区间是( ) A .[0,π3]B .[π12,7π12]C .[π3,5π6]D .[5π6,π]【解题思路】根据三角函数单调性的求法求得正确答案. 【解答过程】y =sin (π6−2x)=−sin (2x −π6),2k π+π2≤2x −π6≤2k π+3π2,k π+π3≤x ≤k π+5π6,k ∈Z , 令k =0可的y =sin (π6−2x)(x ∈[0,π])的递增区间为[π3,5π6]. 故选:C.【变式5-1】(2022·河南信阳·一模(理))已知函数f (x )=2√3cos (x -π2)cos x -2sin 2x ,若f (x )在区间[m ,π4]上单调递减,则实数m 的取值范围( )A .[π6,π4]B .[π3,π2]C .[π6,π4)D .[π6,π3)【解题思路】利用三角恒等变换,化简三角函数,利用正弦型函数的单调性,建立不等式组,可得答案.【解答过程】f (x )=2√3cos (x -π2)cos x -2sin 2x =2√3sin x cos x -2·1-cos2x 2=√3sin2x -1+cos2x=2(√32sin2x +12cos2x)-1 =2sin (2x +π6)-1,由x ∈[m ,π4],则2x +π6∈[2m +π6,2π3],由题意,[2m +π6,2π3]⊆[π2,3π2],则π2≤2m +π6<2π3,解得π6≤m <π4. 故选:C.【变式5-2】(2022·江苏·高三阶段练习)已知a =log 168,b =πln0.8,c =sin2.5,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .c <a <b B .c <b <a C .a <b <cD .a <c <b【解题思路】由对数的运算法则求出a ,又πln0.8,sin2.5分别可看做y =πx ,y =sinx 的函数值,考虑构造指数函数和正弦函数,利用函数的单调性对其值进行估计,又因为ln0.8估值困难,故考虑利用与函数y =lnx 近似的有理函数y =1−1x 对其大小进行估值,最后求得答案.【解答过程】由题意,a =log 168=log 2423=34=0.75, 设f (x )=lnx +1x −1,则f ′(x )=1x −1x 2=x−1x 2,当0<x <1时,f ′(x )<0,函数f (x )在(0,1)上单调递减,当x >1时,f ′(x )>0,函数f (x )在(1,+∞)上单调递增,所以f (0.8)>f (1),即ln0.8+54−1>0,所以ln0.8>−14,因为函数y =πx 在(−∞,+∞)上单调递增,所以πln0.8>π−14,又(π−14)−4=π,(34)−4=25681≈3.16,所以(34)−4>(π−14)−4,因为y =x−4在(0,+∞)单调递减,所以34<π−14,所以πln0.8>34,故b >a , 因为3π4<2.5<5π6,函数y =sinx 在(π2,π)上单调递减,所以sin 5π6<sin2.5<sin3π4,所以12<sin2.5<√22,所以sin2.5<34,即c <a ,所以c <a <b , 故选:A.【变式5-3】(2022·内蒙古·高三阶段练习(文))若函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减,则ω的最大值为( )A .37 B .34C .14D .1【解题思路】由题知ωx +π4∈(π4,7π4ω+π4),再根据函数y =√2cosx 在(0,π)上单调递减可得7π4ω+π4≤π,进而解不等式求解即可.【解答过程】解:因为函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减,所以7π4≤12T =πω,解得0<ω≤47,因为x ∈(0,7π4),所以ωx +π4∈(π4,7π4ω+π4),因为函数y =√2cosx 在(0,π)上单调递减, 所以,函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减,则有7π4ω+π4≤π,解得ω≤37,所以ω的取值范围是ω∈(0,37],即ω的最大值为37. 故选:A.【方法点拨】解决正(余)弦型函数性质的综合应用问题的思路: (1)熟练掌握函数或的图象,利用基本函数法得到相应的函数性质,然后利用性质解题.(2)直接作出函数图象,利用图象形象直观地分析并解决问题. 【例6】已知函数f (x )=4sinxcos (x +π6)+1.(1)求f (x )的最小正周期及单调区间; (2)求f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值与最小值.【解题思路】(1)先利用三角恒等变换化简得到f (x )=2sin (2x +π6),从而利用T =2π|ω|求出最小正周期,再利用整体法求解函数的单调区间;(2)根据x ∈[−π6,π4]求出2x +π6∈[−π6,2π3],从而结合函数图象求出最大值为2,最小值为−1.【解答过程】(1)因为f (x )=4sinx (cosxcos π6−sinxsin π6)+1=2√3sinxcosx −2sin 2x +1 =√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6) 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π;令−π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π,k ∈Z ,解得:[−π3+k π,π6+k π],k ∈Z , 令π2+2k π≤2x +π6≤3π2+2k π,k ∈Z ,解得:[π6+k π,2π3+k π],k ∈Z ,单调增区间为[−π3+k π,π6+k π],k ∈Z ,单调减区间为[π6+k π,2π3+k π],k ∈Z ;(2)已知x ∈[−π6,π4],所以2x +π6∈[−π6,2π3],当2x +π6=π2,即x =π6时,f (x )取得最大值,最大值为2, 当2x +π6=−π6,即x =−π6时,f (x )取得最小值,最小值为-1, 所以f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值为2,最小值为−1.【变式6-1】(2022·陕西·高三阶段练习(文))已知函数f (x )=4sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)图象的一条对称轴为直线x =−π12,这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8.(1)求f (x );(2)求f (x )在[−π24,π4]上的值域.【解题思路】(1)先求出周期,由此求出ω的值,利用对称轴方程求出φ,即可得到函数的解析式;(2)根据自变量的范围求得4x −π6∈[−π3,5π6],根据正弦函数的取值求得函数的值域【解答过程】(1)因为函数f(x)图象的对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8, 所以T =π2,故ω=2πT=4,又f(x)的图象的一条对称轴方程为x =−π12, 则4×(−π12)+φ=π2+k π,k ∈Z ,即φ=5π6+k π,k ∈Z ,又|φ|<π2,所以φ=−π6, 故f(x)=4sin (4x −π6);(2)因为x ∈[−π24,π4],所以4x −π6∈[−π3,5π6],所以sin (4x −π6)∈[−√32,1],所以4sin (4x −π6)∈[−2√3,4], 故f (x )在[−π24,π4]上的值域为[−2√3,4].【变式6-2】(2021·天津·高一期末)已知函数f (x )=2√3cos 2(π2+x)-2sin(π+x )cos x -√3 (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间; (2)求f (x )在区间[π4,π2]上的最值;(3)若f (x 0-π6)=1013,x 0∈[3π4,π],求sin2x 0的值.【解题思路】(1)根据三角恒等变换可得f (x )=2sin (2x -π3),然后根据三角函数的性质即得;(2)根据正弦函数的性质即得;(3)由题可得sin (2x 0-2π3)=513,然后根据同角关系式及和差角公式即得. 【解答过程】(1)因为f (x )=2sin x cos x +2√3sin 2x -√3 =sin2x -√3cos2x =2sin (2x -π3). 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π,∵π2+2k π≤2x -π3≤3π2+2k π,k ∈Z ,∴5π12+k π≤x ≤11π12+k π,所以f (x )的单调递减区间为[5π12+k π,11π12+k π](k ∈Z);(2)由(1)知f (x )的单调递减区间为[5π12+k π,11π12+k π](k ∈Z),∵x ∈[π4,π2],∴f (x )在[π4,5π12]上单调递增,在[5π12,π2]上单调递减,又f (5π12)=2sin π2=2,f (π4)=2sin π6=1,f (π2)=2sin2π3=√3,故f (x )min =1,f (x )max =2; 另解:∵x ∈[π4,π2], ∴t =2x -π3∈[π6,2π3],∵y =sin t 在t ∈[π6,π2]单调递增,在[π2,2π3]上单调递减, ∴当t =π2时,(sin t )max =1,f (x )max =2×1=2, ∴当t =π6时,(sin t )min =12,f (x )min =2×12=1; (3)∵f (x 0-π6)=1013,∴sin (2x 0-2π3)=513, 由x 0∈[3π4,π],得2x 0-2π3∈[5π6,4π3],∴cos (2x 0-2π3)=-1213, ∴sin2x 0=sin [(2x 0-2π3)+2π3]=sin (2x 0-2π3)cos2π3+cos (2x 0-2π3)sin 2π3=513×(-12)+(-1213)×√32=-5+12√326. 【变式6-3】(2022·黑龙江·高三阶段练习)已知函数f (x )=[(1+√2)sin x -cos x]⋅[(1-√2)sin x -cos x]. (1)求f (x )的最小正周期T 和单调递减区间;(2)四边形ABCD 内接于⊙O ,BD =2,锐角A 满足f (3A4)=-1,求四边形ABCD 面积S 的取值范围.【解题思路】(1)利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得f (x )=√2cos (2x +π4),从而可求出最小正周期,再由2kπ≤2x +π4≤2kπ+π(k ∈Z )求出其单调区间,(2)由f (3A4)=-1,求得A =π3,再由圆的性质可得C =2π3,设AB =a ,AD =b ,BC =c ,CD =d ,分别在△ABD 和△CBD 中利用余弦定理结合基本不等式可得0<ab ≤4,0<cd ≤43,从而可求出四边形ABCD 面积S 的取值范围.【解答过程】(1)[(1+√2)sin x -cos x]⋅[(1-√2)sin x -cos x]=[(sin x -cos x )+√2sin x]⋅[(sin x -cos x )-√2sin x]=(sin x -cos x )2-2sin 2x =sin 2x -2sin x cos x +cos 2x -2sin 2x=1-2sin 2x -sin2x =cos2x -sin2x=√2cos (2x +π4), ∴f (x )=√2cos (2x +π4) ∴T =π.由2kπ≤2x +π4≤2kπ+π(k ∈Z ),得kπ-π8≤x ≤kπ+3π8(k ∈Z ),所以f (x )单调递减区间为[kπ-π8,kπ+3π8](k ∈Z ). (2)由于f (3A4)=-1,根据(1)得√2cos (2×3A 4+π4)=-1,∵0<A <π2,∴A =π3,C =2π3.分别设AB =a ,AD =b ,BC =c ,CD =d .因BD =2,分别在△ABD 和△CBD 中由余弦定理得a 2+b 2-2ab cos π3=4,c 2+d 2-2cd cos2π3=4,∴a 2+b 2=4+ab ,c 2+d 2=4-cd .∵a 2+b 2≥2ab ,c 2+d 2≥2cd ,等号在a =b =2,c =d =2√33时成立,∴4+ab ≥2ab ,4-cd ≥2cd ,解得0<ab ≤4,0<cd ≤43. ∴0<ab +cd ≤163.等号在a =b =2,c =d =2√33时成立,∵S =12ab sin A +12cd sin C =√34(ab +cd ), 所以S 的取值范围是(0,4√33].。

高中人教A版数学必修4:第16课时 三角函数模型的简单应用 Word版含解析

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第16课时 三角函数模型的简单应用课时目标1.能运用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的问题. 2识记强化(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式画图象;(3)将实际问题转化为与三角函数有关的简单函数模型;(4)利用收集到的相关数据作散点图进行函数拟合,从而得到三角函数模型.课时作业 一、选择题1.某人的血压满足函数式f (t )=24sin(160πt )+110,其中f (t )为血压,t 为时间,则此人每分钟心跳的次数为( )A .60B .70C .80D .90 答案:C解析:由于ω=160π,故函数的周期T =2π160π=180,所以f =1T =80,即每分钟心跳的次数为80.故选C.2.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离S cm 和时间t s 的函数关系为S =8sin ⎝⎛⎭⎫2πt +π3,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( ) A .2πs B .πs C .0.5 s D .1 s 答案:D解析:因为ω=2π,所以T =2πω=1.3.水平地面上发射的炮弹,初速度大小为v 0,发射角为θ,重力加速度为g ,则炮弹上升的高度y 与飞行时间t 之间的关系式为( )A .y =v 0tB .y =v 0sin θt -12gt 2C .y =v 0sin θtD .y =v 0cos θt 答案:B解析:竖直方向的分速度v 0sin θ,由竖直上抛运动的位移公式y =v 0sin θt -12gt 2,故选B.4.单位圆上有两个动点M 、N ,同时从P (1,0)点出发,沿圆周转动,M 点按逆时针方向转,速度为π6rad/s ,N 点按顺时针方向转,速度为π3rad/s ,则它们出发后第三次相遇时各自走过的弧度数分别为( )A .π,2πB .π,4πC .2π,4πD .4π,8π 答案:C解析:设M 、N 两点走过的弧长分别为l 1和l 2,自出发至第三次相遇,经过t 秒,则l 1=π6t ,l 2=π3t . ∴π6t +π3t =6π,∴t =12,∴l 1=2π,l 2=4π. 5.如图为2015年某市某天中6 h 至14 h 的温度变化曲线,其近似满足函数y =A sin(ωx+φ)+bA >0,ω>0,π2<φ<π的半个周期的图象,则该天8 h 的温度大约为( )A .16 ℃B .15 ℃C .14 ℃D .13 ℃ 答案:D解析:由题意得A =12×(30-10)=10,b =12×(30+10)=20.∵2×(14-6)=16,∴2πω=16,∴ω=π8,∴y =10sin ⎝⎛⎭⎫π8x +φ+20,将x =6,y =10代入得10sin ⎝⎛⎭⎫π8×6+φ+20=10,即sin ⎝⎛⎭⎫3π4+φ=-1,由于π2<φ<π,可得φ=3π4,∴y =10sin ⎝⎛⎭⎫π8x +3π4+20,x ∈[6,14].当x =8时,y =10sin ⎝⎛⎭⎫π8×8+34π+20=20-52≈13,即该天8 h 的温度大约为13 ℃,故选D. 6.一根长l 厘米的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s (厘米)和时间t (秒)的函数关系是:s =3cos ⎝⎛⎭⎫g l t +π3.已知g =980厘米/秒,要使小球摆动的周期是1秒,线的长度应当是( )A.980πcmB.245πcmC.245π2cmD.980π2cm 答案:C解析:由周期T =2πω=2π/gl=2πl g ,所以小球的摆动周期T =2π l g .由l =g ⎝⎛⎭⎫T 2π2,代入π=3.14,g =980,T =1,得l =980⎝⎛⎭⎫12π2=245π2cm. 二、填空题7.电流I (mA)随时间t (s)变化的函数关系是I =3sin100πt +π3,则电流I 变化的最小正周期、频率和振幅分别为______,______,______.答案:15050 3解析:最小正周期T =2π100π=150;频率f =1T=50;振幅A =3.8.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f (x )=A sin(ωx+φ)+B (A >0,ω>0,⎭⎫|φ|<π2的模型波动(x 为月份).已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元.根据以上条件可确定f (x )的解析式为________.答案:f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫π4x -π4+7(1≤x ≤12,x ∈N *)解析:由题意,可得A =9-52=2,B =7,周期T =2πω=2×(7-3)=8,∴ω=π4.∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫π4x +φ+7. ∵当x =3时,y =9,∴2sin ⎝⎛⎭⎫3π4+φ+7=9.即sin ⎝⎛⎭⎫3π4+φ=1. ∵|φ|<π2,∴φ=-π4.∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫π4x -π4+7(1≤x ≤12,x ∈N *).9.如图为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8 m ,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈,图中OA 与地面垂直,以OA 为始边,逆时针转动θ角到OB ,设B 点与地面距离是h ,则h 与θ间的函数关系式为______________________.答案:h =5.6+4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ-π2 解析:以O 为原点建立坐标系,如右图, 则以Ox 为始边,OB 为终边的角为θ-π2,故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫4.8cos ⎝⎛⎭⎫θ-π2,4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ-π2. ∴h =5.6+4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ-π2. 三、解答题10.交流电的电压E (单位:V)随时间t (单位:s)变化的关系式是E =2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt +π6,t ∈[0,+∞). (1)求开始时(t =0)的电压;(2)求电压的最大值和首次达到最大值的时间; (3)求电压的最大值重复出现一次的时间间隔.解:(1)当t =0时,E =2203×sin π6=1103,即开始时的电压为110 3 V .(2)电压的最大值为220 3 V.当100πt +π6=π2时,t =1300,即电压首次达到最大值的时间为1300 s.(3)T =2π100π=150,即电压的最大值重复出现一次的时间间隔为150s.11.电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I =A sin(ωt +φ)A >0,ω>0,|φ|<π2.(1)若I =A sin(ωt +φ)在一个周期内的图象如图所示,试根据图象写出I =A sin(ωt +φ)的解析式;(2)为了使I =A sin(ωt +φ)中的t 在任意一个1100s 的时间段内电流强度I 能取得最大值与最小值,那么正整数ω的最小值是多少?解:(1)由图,可知A =300.设t 0=-1300,t 1=1150,t 2=160.∵T =t 2-t 0=160-⎝⎛⎭⎫-1300=150,∴ω=2πT=100π,∴I =300sin(100πt +φ).将⎝⎛⎭⎫-1300,0代入解析式,得-π3+φ=2k π,k ∈Z , ∴φ=π3+2k π,k ∈Z .∵|φ|<π2,∴φ=π3,∴I =300sin ⎝⎛⎭⎫100πt +π3. (2)由题意,知2πω≤1100,∴ω≥200π,∴正整数ω的最小值为629.能力提升12.如图,设点A 是单位圆上的一定点,动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P 所旋转过的弧»AP 的长为l ,则函数d =f (l )的图象大致是( )答案:C解析:令»AP 所对的圆心角为θ,由|OA |=1,得l =θ.又∵sin θ2=d 2,∴d =2sin θ2=2sin l 2.∴d =f (l )=2sin l2(0≤l ≤2π),它的图象为C.13.节能环保日益受到人们的重视,水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题.某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的两个顶点A 、B 及CD 的中点P 处,AB =30 km ,BC =15 km ,为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与A 、B 等距离的一点O 处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO 、BO 、PO .设∠BAO =x (弧度),排污管道的总长度为y km.(1)将y 表示为x 的函数;(2)试确定O 点的位置,使铺设的排污管道的总长度最短,并求总长度的最短公里数(精确到0.01 km).分析:(1)直接由已知条件求出AO 、BO 、OP 的长度,即可得到所求函数关系式; (2)记p =2-sin xcos x,则sin x +p cos x =2,求出p 的范围,即可得出结论.解:(1)由已知得y =2×15cos x+15-15tan x ,即y =15+15×2-sin x cos x (其中0≤x ≤π4)(2)记p =2-sin x cos x ,则sin x +p cos x =2,则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪21+p 2≤1, 解得p ≥3或p ≤- 3由于y >0,所以,当x =π6,即点O 在CD 中垂线上离点P 距离为⎝⎛⎭⎫15-1533 km 处,y取得最小值15+153≈40.98 km.。

专题62 高中数学三角函数的应用(解析版)

专题62 高中数学三角函数的应用(解析版)

专题62 三角函数的应用1.三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用.2.解三角函数应用题的基本步骤:(1)审清题意;(2)搜集整理数据,建立数学模型; (3)讨论变量关系,求解数学模型; (4)检验,作出结论.题型一 三角函数模型在物理学中的应用1.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为s =6sin ⎝⎛⎭⎫2πt +π6,那么单摆摆动一个周期所需的时间为( ) A .2π s B .π s C .0.5 sD .1 s[解析]依题意是求函数s =6sin ⎝⎛⎭⎫2πt +π6的周期,T =2π2π=1,故选D. 2.如图所示,一个单摆以OA 为始边,OB 为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t (s)满足函数关系式θ=12sin ⎝⎛⎭⎫2t +π2,t ∈[0,+∞),则当t =0时,角θ的大小及单摆频率是________.[解析]当t =0时,θ=12sin π2=12,由函数解析式易知单摆周期为2π2=π,故单摆频率为1π.3.在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由s 1=5sin ⎝⎛⎭⎫2t +π6,s 2=10cos 2t 确定,则当t =2π3 s 时,s 1与s 2的大小关系是( )A .s 1>s 2B .s 1<s 2C .s 1=s 2D .不能确定[解析]当t =2π3时,s 1=5sin ⎝⎛⎭⎫4π3+π6=5sin 3π2=-5,当t =2π3时,s 2=10cos 4π3=10×⎝⎛⎭⎫-12=-5,故s 1=s 2. 4.一根长l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s =3cos ⎝⎛⎭⎫g l t +π3,其中g 是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s 时,线长l =__cm. [解析]由已知得2πg l=1,所以g l =2π,g l =4π2,l =g 4π2. 5.如图是弹簧振子做简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振动的位移,则这个振子振动的函数解析式是________.[解析]由题图可设y =A sin(ωt +φ),则A =2,又T =2(0.5-0.1)=0.8, 所以ω=2π0.8=52π,所以y =2sin ⎝⎛⎭⎫52πt +φ,将点(0.1,2)代入y =2sin ⎝⎛⎭⎫5π2t +φ中, 得sin ⎝⎛⎭⎫φ+π4=1,所以φ+π4=2k π+π2,k ∈Z ,即φ=2k π+π4,k ∈Z , 令k =0,得φ=π4,所以y =2sin ⎝⎛⎭⎫5π2t +π4. 6.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )=50+4sin t2(0≤t ≤20)给出,F (t )的单位是辆/分,t 的单位是分,则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A .[0,5]B .[5,10]C .[10,15]D .[15,20][解析]当10≤t ≤15时,有32π<5≤t 2≤152<52π,此时F (t )=50+4sin t2是增函数,即车流量在增加.故应选C.7.如图所示为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )A .该质点的振动周期为0.7 sB .该质点的振幅为-5 cmC .该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D .该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零[解析]该质点的振动周期为T =2×(0.7-0.3)=0.8(s),故A 是错误的;该质点的振幅为5 cm ,故B 是错误的;该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度是零,所以C 是错误的.故选D.8.如图表示电流I 与时间t 的关系I =A sin(ωt +φ)(A >0,ω>0)在一个周期内的图象,则该函数的解析式为( )A .I =300sin ⎝⎛⎭⎫50πt +π3B .I =300sin ⎝⎛⎭⎫50πt -π3C .I =300sin ⎝⎛⎭⎫100πt +π3D .I =300sin ⎝⎛⎭⎫100πt -π3 [解析]由图象得周期T =2⎝⎛⎭⎫1150+1300=150,最大值为300,图象经过点⎝⎛⎭⎫1150,0, 则ω=2πT =100π,A =300,∴I =300sin(100πt +φ).∴0=300sin ⎝⎛⎭⎫100π×1150+φ. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3+φ=0.取φ=π3,∴I =300sin ⎝⎛⎭⎫100πt +π3.9.如图,设点A 是单位圆上的一定点,动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P 所旋转过的弧AP 的长为l ,弦AP 的长为d ,则函数d =f (l )的图象大致是( )A B C D[解析]令AP 所对圆心角为θ,由|OA |=1,得l =θ,sin θ2=d 2,∴d =2sin θ2=2sin l2,即d =f (l )=2sin l2(0≤l ≤2π),它的图象为C.10.已知点P 是单位圆上的一个质点,它从初始位置P 0⎝⎛⎭⎫12,-32开始,按逆时针方向以角速度1 rad/s 做圆周运动,则点P 的纵坐标y 关于运动时间t (单位:s)的函数关系式为( )A .y =sin ⎝⎛⎭⎫t -π3,t ≥0 B .y =sin ⎝⎛⎭⎫t -π6,t ≥0 C .y =-cos ⎝⎛⎭⎫t -π3,t ≥0 D .y =-cos ⎝⎛⎭⎫t -π6,t ≥0 [解析]由题意,知圆心角∠POP 0的弧度数为t ·1=t ,则∠POx 的弧度数为t -π3,则由任意角的三角函数的定义,知点P 的纵坐标y =sin ⎝⎛⎭⎫t -π3,t ≥0,故选A. 11.如图所示,点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3 cm ,周期为3 s ,且物体向右运动到A 点(距平衡位置最远处)开始计时.(1)求物体离开平衡位置的位移x (cm)和时间t (s)之间的函数关系式; (2)求t =5 s 时,该物体的位置.[解析] (1)设位移x (cm)和时间t (s)之间的函数关系式为x =A sin(ωt +φ)(A >0,ω>0,0≤φ<2π), 则由振幅为3 cm ,周期为3 s ,可得A =3,T =2πω=3,得ω=2π3.又物体向右运动到A 点(距平衡位置最远处)开始计时,∴当t =0时,x =3sin φ=3,∴sin φ=1. ∵0≤φ<2π,∴φ=π2,从而所求的函数关系式是x =3sin ⎝⎛⎭⎫2π3t +π2=3cos 2π3t . (2)令t =5,得x =3cos 10π3=-1.5,故t =5 s 时,该物体在O 点左侧且距O 点1.5 cm 处.12.已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s =4sin ⎝⎛⎭⎫2t +π3,t ∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列问题. (1)小球在开始振动(t =0)时的位移是多少?(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少? (3)经过多长时间小球往复振动一次? [解析]列表如下:t -π6 π12 π3 7π12 5π6 2t +π30 π2 π 3π2 2π sin ⎝⎛⎭⎫2t +π3 0 1 0 -1 0 s4-4描点、连线,图象如图所示.(1)将t =0代入s =4sin ⎝⎛⎭⎫2t +π3,得s =4sin π3=23,所以小球开始振动时的位移是2 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和-4 cm. (3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π s .13.如图,弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化曲线是一个三角函数的图象.(1)经过多长时间,小球往复振动一次? (2)求这条曲线的函数解析式;(3)小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是多少? [解析] (1)由题图可知,周期T =2⎝⎛⎭⎫7π12-π12=π, 所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s.(2)可设该曲线的函数解析式为s =A sin(ωt +φ)(A >0,ω>0,0≤φ<2π),t ∈[0,+∞),从题图中可以看出A =4,T =2×⎝⎛⎭⎫7π12-π12=π.即2πω=π,即ω=2,将t =π12,s =4代入解析式, 得sin ⎝⎛⎭⎫π6+φ=1,解得φ=π3. 所以这条曲线的函数解析式为s =4sin ⎝⎛⎭⎫2t +π3,t ∈[0,+∞). (3)当t =0时,s =4sin π3=23(cm),故小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是2 3 cm.14.如图为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8 m ,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈,图中OA 与地面垂直,以OA 为始边,逆时针转动θ角到OB ,设B 点与地面距离为h .(1)求h 与θ之间的函数关系式;(2)设从OA 开始转动,经过t 秒后到达OB ;求h 与t 之间的函数解析式,并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少[解析] (1)以圆心O 为原点,建立如图所示的坐标系,则以Ox 为始边,OB 为终边的角为θ-π2.故B 点坐标为⎝⎛⎭⎫4.8cos ⎝⎛⎭⎫θ-π2,4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ-π2.∴h =5.6+4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ-π2,θ∈[0,+∞). (2)点A 在圆上转动的角速度是π30,故t 秒转过的弧度数为π30t ,∴h =5.6+4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t -π2,t ∈[0,+∞).到达最高点时,h =10.4 m.由sin ⎝⎛⎭⎫π30t -π2=1.得π30t -π2=π2,∴t =30. ∴缆车到达最高点时,用的时间最少为30秒.15.交流电的电压E (单位:V)与时间t (单位:s)的关系可用E =2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt +π6来表示,求: (1)开始时电压;(2)电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.[解析] (1)当t =0时,E =1103(V),即开始时的电压为110 3 V. (2)T =2π100π=150(s),即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ,当100πt +π6=π2,即t =1300s 时第一次取得最大值.16.如图所示,摩天轮的半径为40 m ,O 点距地面的高度为50 m ,摩天轮作匀速转动,每2 min 转一圈,摩天轮上点P 的起始位置在最高点.(1)试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度;(2)在摩天轮转动一圈内,有多长时间P 点距离地面超过70 m. [解析]建立如图所示的平面直角坐标系(1)设φ(0≤φ≤2π)是以Ox 为始边,OP 0为终边的角,OP 在t min 内转过的角为2π2t ,即πt ∴以Ox 为始边,OP 为终边的角为(πt +φ),即P 点纵坐标为40sin(πt +φ), ∴P 点距地面的高度为z =50+40sin(πt +φ),(0≤φ≤2π), 由题可知,φ=π2,∴z =50+40sin ⎝⎛⎭⎫πt +π2=50+40cosπt . (2)当50+40cosπt ≥70时,解之得,2k -13≤t ≤2k +13,持续时间为23min.即在摩天轮转动一圈内,有23min P 点距离地面超过70 m.题型二 三角函数模型的实际应用1.国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律:P =A sin ⎝⎛⎭⎫ωπt +π4+60(美元)(t (天),A >0,ω>0),现采集到下列信息:最高油价80美元,当t =150(天)时达到最低油价,则ω的最小值为________.[解析]因为A sin ⎝⎛⎭⎫ωπt +π4+60=80,sin ⎝⎛⎭⎫ωπt +π4≤1, 所以A =20,当t =150(天)时达到最低油价,即sin ⎝⎛⎭⎫150ωπ+π4=-1, 此时150ωπ+π4=2k π-π2,k ∈Z ,因为ω>0,所以当k =1时,ω取最小值,所以150ωπ+π4=32π,解得ω=1120.2.稳定房价是我国实施宏观调控的重点,国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格,单位:元)与第x 季度之间近似满足:y =500sin(ωx +φ)+9500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如下表所示:A .10000元B .9500元C .9000元D .8500元[解析]因为y =500sin(ωx +φ)+9500(ω>0),所以当x =1时,500sin(ω+φ)+9500=10000; 当x =2时,500sin(2ω+φ)+9500=9500,所以ω可取3π2,φ可取π,即y =500sin ⎝⎛⎭⎫3π2x +π+9500, 当x =3时,y =9000.3.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f (x )=A sin(ωx +φ)+b ⎝⎛⎭⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x 为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A .f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫π4x -π4+7(1≤x ≤12,x ∈N *)B .f (x )=9sin ⎝⎛⎭⎫π4x -π4(1≤x ≤12,x ∈N *) C .f (x )=22sin π4x +7(1≤x ≤12,x ∈N *) D .f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫π4x +π4+7(1≤x ≤12,x ∈N *) [解析]令x =3可排除D ,令x =7可排除B ,由A =9-52=2可排除C ;或由题意,可得A =9-52=2,b =7,周期T =2πω=2×(7-3)=8,∴ω=π4.∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫π4x +φ+7. ∵当x =3时,y =9,∴2sin ⎝⎛⎭⎫3π4+φ+7=9,即sin ⎝⎛⎭⎫3π4+φ=1.∵|φ|<π2,∴φ=-π4. ∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫π4x -π4+7(1≤x ≤12,x ∈N *). 4.动点A (x ,y )在圆x 2+y 2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知当时间t =0时,点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫12,32,则当0≤t ≤12时,动点A 的纵坐标y 关于t (单位:秒)的函数的单调递增区间是( )A .[0,1]B .[1,7]C .[7,12]D .[0,1]和[7,12][解析]由已知可得该函数具有周期性,其周期T =12,不妨设该函数为y =a sin(ωx +φ),(A >0,ω>0), ∴ω=2πT =π6.又∵当t =0时,A ⎝⎛⎭⎫12,32,∴y =sin ⎝⎛⎭⎫π6t +π3,t ∈[0,12]. 可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12].5.如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况,则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________________.[解析]设y 与x 的函数关系式为y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0),则A =6,T =2πω=12,ω=π6.当x =9时,y max =6.故π6×9+φ=π2+2k π,k ∈Z.取k =1得φ=π,即y =-6sin π6x .6.下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表: 月份 1 234 5 6 7 8 9 10 11 12 平均温度-5.9-3.3 2.29.315.120.322.822.218.211.94.3-2.4A .y =a cos πx6 B .y =a cos (x -1)π6+k (a >0,k >0)C .y =-a cos (x -1)π6+k (a >0,k >0)D .y =a cos πx6-3[解析]当x =1时图象处于最低点,且易知a =-5.9+22.82>0.故选C.7.如图,为一半径为3 m 的水轮,水轮圆心O 距离水面2 m ,已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈,水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y =A sin(ωx +φ)+2,则有( )A .ω=2π15,A =3B .ω=152π,A =3C .ω=2π15,A =5D .ω=152π,A =5[解析]由题目可知最大值为5,∴5=A ×1+2⇒A =3.T =15,则ω=2π15.故选A.8.一半径为6米的水轮如图,水轮圆心O 距离水面3米,已知水轮每分钟转动4圈,水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒.[解析]过O 作水平线的垂线,垂足为Q ,由已知可得:OQ =3,OP =6,则cos ∠POQ =12,即∠POQ =60°,则水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°,即13个周期,又由水轮每分钟转动4圈,可知周期是15秒,故用时为15×13=5秒.9.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y =a +A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x -6)(x =1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温值为________℃.[解析]由题意可知A =28-182=5,a =28+182=23.从而y =5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x -6)+23. 故10月份的平均气温值为y =5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4+23=20.5.10.如图一个水轮的半径为4 m ,水轮圆心O 距离水面2 m ,已知水轮每分钟转动5圈,当水轮上点P 从水中浮现(图中点P 0)时开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数; (2)求点P 第一次到达最高点需要多长时间?[解析] (1)如图,建立直角坐标系,设角φ⎝⎛⎭⎫-π2<φ<0是以Ox 为始边,OP 0为终边的角,OP 每秒钟所转过的弧度为5×2π60=π6,又水轮的半径为4 m ,圆心O 距离水面2 m ,所以z =4sin ⎝⎛⎭⎫π6t +φ+2. 当t =0时,z =0,得sin φ=-12,即φ=-π6.故所求的函数表达式为z =4sin ⎝⎛⎭⎫π6t -π6+2.(2)令z =4sin ⎝⎛⎭⎫π6t -π6+2=6,得sin ⎝⎛⎭⎫π6t -π6=1.取π6t -π6=π2,得t =4. 故点P 第一次到达最高点需要4 s.11.下表所示的是芝加哥1951~1981年的月平均气温().月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x 轴,x =月份-1,平均气温为y 轴建立直角坐标系. (1)描出散点图;(2)用正弦曲线去拟合这些数据; (3)这个函数的周期是多少? (4)估计这个正弦曲线的振幅A ;(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据? ①y A =cos πx 6;②y -46A =cos πx6; ③y -46-A=cos πx 6;④y -26A =sin πx6.[解析] (1)(2)根据表中数据画出散点图,并用曲线拟合这些数据,如图所示.(3)1月份的平均气温最低,为21.4 ,7月份的平均气温最高,为73.0 ,根据散点图知T2=7-1=6,所以T =12.(4)2A =最高气温-最低气温=73.0-21.4=51.6,所以A =25.8. (5)因为x =月份-1,所以不妨取x =2-1=1,y =26.0, 代入①,得y A =26.025.8>1≠cos π6,所以①不适合.代入②,得y -46A =26.0-4625.8<0≠cos π6,所以②不适合,同理,④不适合,所以③最适合.12.已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数,其中0≤t ≤24,记y =f (t ),下表是某日各时的浪高数据:t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测,y =f (t )的图象可近似地看成是函数y =A cos ωt +b 的图象. (1)根据以上数据,求其最小正周期,振幅及函数解析式;(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?[解析] (1)由表中数据可知,T =12,∴ω=π6.又t =0时,y =1.5,∴A +b =1.5;t =3时,y =1.0,得b =1.0,所以振幅为12,函数解析式为y =12cos π6t +1(0≤t ≤24).(2)∵y >1时,才对冲浪爱好者开放,∴y =12cos π6t +1>1,cos π6t >0,2k π-π2<π6t <2k π+π2,即12k -3<t <12k +3,(k ∈Z).又0≤t ≤24,所以0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24, 所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动,即9<t <15.13.如图所示,某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式;(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量.[解析] (1)设种群数量y 关于t 的解析式为y =A sin(ωt +φ)+b (A >0,ω>0),则⎩⎪⎨⎪⎧-A +b =700,A +b =900,解得A =100,b =800.又周期T =2×(6-0)=12,∴ω=2πT =π6,∴y =100sin ⎝⎛⎭⎫π6t +φ+800. 又当t =6时,y =900,∴900=100sin ⎝⎛⎭⎫π6×6+φ+800,∴sin(π+φ)=1,∴sin φ=-1,∴取φ=-π2,∴y =100sin ⎝⎛⎭⎫π6t -π2+800. (2)当t =2时,y =100sin ⎝⎛⎭⎫π6×2-π2+800=750,即当年3月1日动物种群数量约是750. 14.已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin ⎝⎛⎭⎫π8x -5π4+20,x ∈[4,16].(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差;(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌能生存多长时间?[解析] (1)由函数易知,当x =14时函数取最大值,即最高温度为30 ℃;当x =6时函数取最小值, 即最低温度为10 ℃.所以,最大温差为30 ℃-10 ℃=20 ℃.(2)令10sin ⎝⎛⎭⎫π8x -5π4+20=15,可得sin ⎝⎛⎭⎫π8x -5π4=-12.而x ∈[4,16],所以x =263.令10sin ⎝⎛⎭⎫π8x -5π4+20=25,可得sin ⎝⎛⎭⎫π8x -5π4=12,而x ∈[4,16], 所以x =343.故该细菌的存活时间为343-263=83小时.15.心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg 为标准值.设某人的血压满足函数式p (t )=115+25sin 160πt ,其中p (t )为血压(mmHg),t 为时间(min),试回答下列问题:(1)求函数p (t )的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)画出函数p (t )的草图;(4)求出此人的血压在血压计上的读数.[解析] (1)由于ω=160π,代入周期公式T =2π|ω|,可得T =2π160π=180(min),所以函数p (t )的周期为180 min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f =1T =80(次).(3)列表:t 0 1320 1160 3320 180 p (t )11514011590115描点、连线并向左右扩展得到函数p (t )的简图如图所示:(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg ,舒张压为90 mmHg.16.在一个港口,相邻两次高潮发生时间相距12 h ,低潮时水的深度为8.4 m ,高潮时为16 m ,一次高潮发生在10月10日4:00.每天涨潮落潮时,水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d =A sin(ωt +φ)+h .(1)若从10月10日0:00开始计算时间,试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d (m)和时间t (h)之间的函数关系;(2)10月10日17:00该港口水深约为多少?(精确到0.1 m) (3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?[解析] (1)依题意知T =2πω=12,故ω=π6,h =8.4+162=12.2,A =16-12.2=3.8,所以d =3.8sin ⎝⎛⎭⎫π6t +φ+12.2;又因为t =4时,d =16,所以sin ⎝⎛⎭⎫4π6+φ=1,所以φ=-π6,所以d =3.8sin ⎝⎛⎭⎫π6t -π6+12.2.(2)t =17时,d =3.8sin ⎝⎛⎭⎫17π6-π6+12.2=3.8sin 2π3+12.2≈15.5(m). (3)令3.8sin ⎝⎛⎭⎫π6t -π6+12.2<10.3,有sin ⎝⎛⎭⎫π6t -π6<-12,因此2k π+7π6<π6t -π6<2k π+11π6(k ∈Z), 所以2k π+4π3<π6t <2k π+2π(k ∈Z),所以12k +8<t <12k +12.令k =0,得t ∈(8,12);令k =1,得t ∈(20,24).故这一天共有8 h 水深低于10.3 m.17.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入,为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人; ③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系; (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?[解析] (1)设该函数为f (x )=A sin(ωx +φ)+B (A >0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f (2)最小,f (8)最大,且f (8)-f (2)=400,故该函数的振幅为200; 由③可知,f (x )在[2,8]上单调递增,且f (2)=100,所以f (8)=500.根据上述分析可得,2πω=12,故ω=π6,且⎩⎪⎨⎪⎧-A +B =100,A +B =500,解得⎩⎪⎨⎪⎧A =200,B =300.根据分析可知,当x =2时,f (x )最小,当x =8时,f (x )最大,故sin ⎝⎛⎭⎫2×π6+φ=-1,且sin ⎝⎛⎭⎫8×π6+φ=1.又因为0<|φ|<π,故φ=-5π6. 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f (x )=200sin ⎝⎛⎭⎫π6x -5π6+300. (2)由条件可知,200sin ⎝⎛⎭⎫π6x -5π6+300≥400,化简,得sin ⎝⎛⎭⎫π6x -5π6≥12⇒2k π+π6≤π6x -5π6≤2k π+5π6,k ∈Z ,解得12k +6≤x ≤12k +10,k ∈Z. 因为x ∈N *,且1≤x ≤12,故x =6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物.18.某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24,单位:小时)的函数,下面是水深数据:(1)试根据数据表和曲线,求出y =A sin ωt +B 的解析式;(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间)[解析] (1)从拟合的曲线可知,函数y =A sin ωt +B 的一个周期为12小时, 因此ω=2πT =π6.又y min =7,y max =13,∴A =12(y max -y min )=3,B =12(y max +y min )=10.∴函数的解析式为y =3sin π6t +10(0≤t ≤24).(2)由题意,得水深y ≥4.5+7,即y =3sin π6t +10≥11.5,t ∈[0,24],∴sin π6t ≥12,π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π+π6,2k π+5π6,k =0,1,∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17], 所以,该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港. 若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16小时.19.通常情况下,同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y =A sin(ωx +φ)+b 的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时,最高温度为14℃;最低温度出现在凌晨2时,最低温度为零下2℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y =A sin(ωx +φ)+b (A >0,ω>0,|φ|<π,x ∈[0,24))的表达式; (2)29日上午9时某高中将举行期末考试,如果温度低于10℃,教室就要开空调,请问届时学校后勤应该开空调吗?[解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ A +b =14,-A +b =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧A =8,b =6,易知T 2=14-2,所以T =24,所以ω=π12,易知8sin ⎝⎛⎭⎫π12×2+φ+6=-2,即sin ⎝⎛⎭⎫π12×2+φ=-1,故π12×2+φ=-π2+2k π,k ∈Z , 又|φ|<π,得φ=-2π3,所以y =8sin ⎝⎛⎭⎫π12x -2π3+6(x ∈[0,24)).(2)当x =9时,y =8sin ⎝⎛⎭⎫π12×9-2π3+6=8sin π12+6<8sin π6+6=10.所以届时学校后勤应该开空调. 20.如图所示,某小区为美化环境,准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC ,另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段OD 是函数y =k x (k >0)的图象的一部分,后一段DBC 是函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2,x ∈[4,8])的图象,图象的最高点为B ⎝⎛⎭⎫5,833,且DF ⊥OC ,垂足为点F .(1)求函数y =A sin(ωx +φ)的解析式;(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE ,点P 在曲线OD 上,其横坐标为43,点E 在OC 上,求儿童乐园的面积. [解析] (1)由图象,可知A =833,ω=2πT =2π4×(8-5)=π6, 将B ⎝⎛⎭⎫5,833代入y =833sin ⎝⎛⎭⎫π6x +φ中,得5π6+φ=2k π+π2(k ∈Z),即φ=2k π-π3(k ∈Z). 因为|φ|<π2,所以φ=-π3,故y =833sin ⎝⎛⎭⎫π6x -π3.(2)在y =833sin ⎝⎛⎭⎫π6x -π3中,令x =4,得D (4,4),从而得曲线OD 的方程为y =2x (0≤x ≤4),则P ⎝⎛⎭⎫43,433,所以矩形PMFE 的面积为S =⎝⎛⎭⎫4-43×433=3239,即儿童乐园的面积为3239.。

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专题1.6三角函数模型的简单应用重难点题型【举一反三系列】【知识点1 三角函数模型的建立程序】收集数据画散点图选择函数模型检验求函数模型用函数模型解决实际问题【知识点2 解答三角函数应用题的一般步骤】解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步:审题、建模、解模、结论.(1)审题三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言,阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景,领悟其中的数学本质,在此基础上分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题.(2)建模根据搜集到的数据,找出变化规律,运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式,在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题,实现问题的数学化,即建立三角函数模型.其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式.(3)解模利用所学的三角函数知识,结合题目的要求,对得到的三角函数模型予以解答,求出结果.(4)结论将所得结论转译成实际问题的答案,应用题不同于单纯的数学问题,既要符合科学,又要符合实际背景,因此,有时还要对于解出的结果进行检验、评判.要点诠释:实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多门学科的知识才能完成,因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助解决问题.【考点1 三角函数模型在航海中的应用】【例1】(2019秋•潮阳区期末)某港口的水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,下面是每天时间与水深的关系表:t03691215182124y10139.97101310.1710经过长期观测,y=f(t)可近似的看成是函数y=A sinωt+b(1)根据以上数据,求出y=f(t)的解析式;(2)若船舶航行时,水深至少要11.5米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港?【分析】(1)由表中数据可以看到:水深最大值为13,最小值为7,求出b和A;再借助于相隔12小时达到一次最大值说明周期为12求出ω即可求出y=f(t)的解析式;(2)把船舶安全转化为深度f(t)≥11.5,即;再解关于t的三角不等式即可求出船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港.【答案】解:(1)由表中数据可以看到:水深最大值为13,最小值为7,∴=10,且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12,因此,,故(0≤t≤24)(2)要想船舶安全,必须深度f(t)≥11.5,即∴,解得:12k+1≤t≤5+12k k∈Z又0≤t≤24当k=0时,1≤t≤5;当k=1时,13≤t≤17;故船舶安全进港的时间段为(1:00﹣5:00),(13:00﹣17:00).【点睛】本题主要考查三角函数知识的应用问题.解决本题的关键在于求出函数解析式.求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期,最大最小值等.【变式1-1】(2019•怀化二模)受日月引力的作用,海水会发生涨落,这种现象叫潮汐.在通常情况下,船在海水涨潮时驶进航道,靠近码头,卸货后返回海洋.某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作:y=f(t),下表是该港口在某季每天水深的数据:t(h)03691215182124y(m)10.013.19.97.010.113.010.07.010.0经过长期观察y=f(x)的曲线可以近似地看做函数y=A sinωt+k的图象.(Ⅰ)根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似表达式;(Ⅱ)一般情况下,船舶航行时船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰到海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m,如果该船想在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?【分析】(Ⅰ)函数y=f(t)可以近似地看做y=A sinωt+k,由数据知它的周期T=12,振幅A=3,k =10,从而可得函数解析式;(Ⅱ)该船进出港口时,水深应不小于6.5+5=11.5m,而在港口内,永远是安全的,由此可得结论.【答案】解:(Ⅰ)∵函数y=f(t)可以近似地看做y=A sinωt+k,∴由数据知它的周期T=12,振幅A=3,k=10…(3分)∵,∴.故…(6分)(Ⅱ)该船进出港口时,水深应不小于6.5+5=11.5m,而在港口内,永远是安全的,由得…(9分)∴,∴12k+1≤t≤12k+5(k∈N),在同一天内,取k=0.1,则1≤t≤5或13≤t≤17…(11分)故该船最早能在凌晨1时进港,最迟在下午17时离港,在港口内最多停留16小时.…(12分)【点睛】本题考查三角函数模型的建立,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.【变式1-2】(2019秋•涵江区校级月考)某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,下表是该港口某一天从0:00时至24:00时记录的时间t与水深y的关系:t(h)0:003:006:009:0012:0015:00y(m)9.912.910.07.110.013.0(Ⅰ)经长时间的观察,水深y与t的关系可以用正弦型函数拟合,求出拟合函数的表达式;(Ⅱ)如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m,船舶安全航行时船底与海底的距离不少于4.5m.那么该船在什么时间段能够进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略离港所需时间);(Ⅲ)若某船吃水深度为8m,安全间隙(船底与海底的距离)为2.5.该船在3:00开始卸货,吃水深度以每小时0.5m的速度减少,该船在什么时间必须停止卸货,驶向较安全的水域?【分析】(Ⅰ)根据数据,,可得A=3,h=10,由T=15﹣3=12,可求ω=将点(3,13)代入可得ϕ=0,从而可求函数的表达式;(Ⅱ)由题意,水深y≥4.5+7,即3sin t+10≥11.5,从而可求t∈[1,5]或t∈[13,17];(Ⅲ)设在时刻x船舶安全水深为y,则y=10.5﹣0.5(x﹣3)(x≥3),若使船舶安全,则10.5﹣0.5(x﹣3)≥3sin x+10,从而可得3≤x≤7,即该船在7:00必须停止卸货,驶向较安全的水域.【答案】解:(Ⅰ)根据数据,,∴A=3,h=10,T=15﹣3=12,∴ω=,∴y=3sin(x+ϕ)+10将点(3,13)代入可得ϕ=0∴函数的表达式为y=3sin t+10(0≤t≤24)(Ⅱ)由题意,水深y≥4.5+7,即3sin t+10≥11.5,∴sin t≥0.5,∴t∈[1,5]或t∈[13,17];所以,该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港.若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16小时.(Ⅲ)设在时刻x船舶安全水深为y,则y=10.5﹣0.5(x﹣3)(x≥3),这时水深y=3sin x+10,若使船舶安全,则10.5﹣0.5(x﹣3)≥3sin x+10,∴3≤x≤7,即该船在7:00必须停止卸货,驶向较安全的水域.【点睛】本题以表格数据为载体,考查三角函数模型的构建,考查解三角不等式,同时考查学生分析解决问题的能力.【变式1-3】(2019秋•武汉校级期末)海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天时间与水深(单位:米)的关系表:时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深10.013.09.97.010.013.010.17.010.0(1)请用一个函数来近似描述这个港口的水深y与时间t的函数关系;(2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的(船舶停靠时,船底只要不碰海底即可).某船吃水深度(船底离地面的距离)为6.5米.Ⅰ)如果该船是旅游船,1:00进港希望在同一天内安全出港,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?Ⅱ)如果该船是货船,在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.5米的速度减少,由于台风等天气原因该船必须在10:00之前离开该港口,为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口,那么该船在什么整点时刻必须停止卸货(忽略出港所需时间)?【分析】(1)设出函数解析式,据最大值与最小值的差的一半为A;最大值与最小值和的一半为h;通过周期求出ω,得到函数解析式.(2)Ⅰ)据题意列出不等式,利用三角函数的周期性及单调性解三角不等式求出t的范围.Ⅱ)设f(t)=3sin t+10,t∈[2,10],g(t)=11.5﹣0.5(t﹣2)(t≥2)对它们进行比较从而得到答案.【答案】(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图.如图.根据图象,可考虑用函数y=A sin(ωt+φ)+h刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出A=3,h=10,T=12,φ=0,由T==12,得ω=,所以这个港口水深与时间的关系可用y=3sin t+10近似描述…(4分)(2)Ⅰ)由题意,y≥11.5就可以进出港,令sin t=,如图,在区间[0,12]内,函数y=3sin t+10与直线y=11.5有两个交点,由t=或,得t A=1,t B=5,由周期性得t C=13,t D=17,由于该船从1:00进港,可以17:00离港,所以在同一天安全出港,在港内停留的最多时间是16小时…(8分)Ⅱ)设在时刻t货船航行的安全水深为y,那么y=11.5﹣0.5(t﹣2)(t≥2).设f(t)=3sin t+10,t∈[2,10],g(t)=11.5﹣0.5(t﹣2)(t≥2)由f(6)=10>g(6)=9.5且f(7)=8.5<g(7)=9知,为了安全,货船最好在整点时刻6点之前停止卸货…(13分)【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、利用三角函数的单调性及周期性解三角不等式.【考点2 三角函数模型在日常生活中的应用】【例2】(2019春•武邑县校级期中)一半径为2m的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面1m;已知水轮按逆时针做匀速转动,每3s转一圈,如果当水轮上点p从水中浮现时(图中点p0)开始计算时间.(1)以水轮所在平面与水面的交线为x轴,以过点O且与水面垂直的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数;(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间?【分析】(1)先根据h的最大和最小值求得A和k,利用周期求得ω,当t=0时,h=0,进而求得φ的值,则函数的表达式可得;(2)令最大值为3,可得三角函数方程,进而可求点P第一次到达最高点的时间;【答案】解:(1)设水轮上圆心O正右侧的点为A,y轴与水面交点为B,∵OB=1,OP0=2,∴∠BOP0=,故∠AOP0=,设h=2sin(ωt﹣)+1,则T==3,∴ω=,∴h=2sin(t﹣)+1(t≥0).(2)令sin(t﹣)=1可得t﹣=+2kπ,k∈N,故t=1+3k,∴当k=0时,t=1,故点P第一次到达最高点大约要1秒.【点睛】本题以实际问题为载体,考查三角函数模型的构建,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是构建三角函数式,利用待定系数法求得.【变式2-1】(2018秋•常州期末)如图,某公园摩天轮的半径为40m,点O距地面的高度为50m,摩天轮做匀速转动,每10min转一圈,摩夭轮上的点P的起始位置在最低点处.(1)已知在时刻t(min)时点P距离地面的高度为f(t)=A sin(ωt+φ)+B,其中A>0,ω>0,﹣π≤φ<π,求f(t)的解析式;(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点P距离地面超过70m?【分析】(1)由题意求出A、B和φ的值,结合周期求出ω的值,写出函数f(x)的解析式,(2)f(t)=﹣40cos t+50>70求出t的取值范围,再由t的区间端点值的差求得一圈中可以得到P 距离地面超过70m.【答案】解:(1)由题意可得A=40,B=50,φ=﹣,∵T==10,∴ω=,∴f(t)=40sin(t﹣)+50,即f(t)=﹣40cos t+50.(2)由f(t)=﹣40cos t+50>70,得cos t<﹣,∴2kπ+<t<2kπ+,k∈Z,解得10k+<t<10k+,∴(10k+)﹣(10k+)=,故天轮转动的一圈内,有min点P距离地面超过70m.【点睛】本题考查了y=A sin(ωx+φ)型函数解析式的求法与三角不等式的解法问题,是综合题.【变式2-2】(2018春•新罗区校级期中)已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24单位:小时)的函数,记作y=f(t).如表是某日各时的浪高数据:t(小时)03691215182124y(米) 1.5 1.00.5 1.0 1.5 1.00.50.99 1.5经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=A cosωt+b的图象,根据以上数据,求在一日(持续24小时)内,该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间.【分析】求出f(t)的解析式,根据余弦函数的性质求出t的范围.【答案】解:由表格数据可知f(t)的周期为12,即=12,∴ω=.∵y=A cos t+b,可知f(t)的最大值为1.5,最小值为0.5,∴,∴A=0.5,b=1,∴f(t)=0.5cos+1,令f(t)>1.25可得cos>0.5,∴﹣+2kπ<<+2kπ,解得:﹣2+12k<t<2+12k,k∈Z.又0≤t≤24,∴0≤t<2或10<t<14或22<t≤24.【点睛】本题考查了余弦函数的性质,属于中档题.【变式2-3】(2018秋•南通期末)图为大型观览车主架示意图.点O为轮轴中心,距地面高为32m(即OM=32m).巨轮半径为30m,点P为吊舱与轮的连结点,吊舱高2m(即PM=2m),巨轮转动一周需15min.某游人从点M进入吊舱后,巨轮开始按逆时针方向匀速转动3周后停止,记转动过程中该游人所乘吊舱的底部为点M'.(1)试建立点M'距地面的高度h(m)关于转动时间t(min)的函数关系,并写出定义域;(2)求转动过程中点M'超过地面45m的总时长.【分析】(1)以O为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,以Ox为始边,按逆时针方向转动至终边OP′,写出点P′的纵坐标,计算M′点距地面的高度;(2)利用点M′超过地面45m时得出不等式,求出时间t的取值范围即可.【答案】解:(1)如图所示,以O为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,设以Ox为始边,按逆时针方向经过时间t(min)转动至终边OP′所形成的角为t﹣,则点P′的纵坐标为30sin(t﹣),所以M′点距地面的高度为h=30sin(t﹣)+32﹣2=30(1﹣cos t),t∈[0,45];(2)当点M′超过地面45m时,h=30(1﹣cos t)>45,即cos t<﹣,所以+2kπ<t<+2kπ,k∈Z,即5+15k<t<10+15k,k∈Z;因为t∈[0,45],所以t∈(5,10)∪(20,25)∪(35,40),所以总时长为15分钟,即点M′超过地面45m的总时长为15分钟.【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题,是中档题.【考点3 三角函数模型在气象学中的应用】【例3】(2019•江西模拟)根据市气象站对春季某一天气温变化的数据统计显示,气温变化的分布与曲线拟合(0≤x<24,单位为小时,y表示气温,单位为摄氏度,|ϕ|<π,A>0),现已知这天气温为4至12摄氏度,并得知在凌晨1时整气温最低,下午13时整气温最高.(1)求这条曲线的函数表达式;(2)这天气温不低于10摄氏度的时间有多长?【分析】(1)根据气温为4至12摄氏度,我们可以求得振幅A,利用凌晨1时整气温最低,下午13时整气温最高,可求得周期及φ的值,从而求得函数表达式;(2)利用(1)中求出的函数表达式,我们可建立表达式,解之即可.【答案】解:(1)b=(4+12)÷2=8,A=12﹣8=4,,,所以这条曲线的函数表达式为:.(2)令y≥10,则,∴sin(,0≤x<24.∴,∴,∴9≤x≤17,∴17﹣9=8.故这天气温不低于10摄氏度的时间有8小时.【点睛】本题以实际问题为载体,考查三角函数模型的构建,考查三角不等式的求解,解题的关键是从实际问题中抽象出函数的模型,求出相应的参数.【变式3-1】(2019秋•荆门期末)通常情况下,同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数y=A sin (ωx+φ)+b的图象.2013年1月下旬荆门地区连续几天最高温度都出现在14时,最高温度为14℃;最低温度出现在凌晨2时,最低温度为零下2℃.(Ⅰ)请推理荆门地区该时段的温度函数y=A sin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π,t∈[0,24))的表达式;(Ⅱ)29日上午9时某高中将举行期末考试,如果温度低于10℃,教室就要开空调,请问届时学校后勤应该送电吗?【分析】(I)根据函数最大、最小值的和与差,算出A=8且b=6,由函数的周期为24算出ω=,再根据当x=2时函数有最小值,算出即可得到所求温度函数的表达式;(II)算出函数当x=9时的函数值f(9),利用特殊三角函数值算出f(9)<10,得到此时满足开空调的条件,所以应该开空调.【答案】解:(I)∵最高温度为14℃,最低温度为零下2℃.∴A==8,b==6,∵函数的周期T=24,∴ω==由,可得(5分)∴函数表达式为(6分);(II)当x=9时,(8分)∵,∴,(11分)温度低于10℃,满足开空调的条件,所以应该开空调.(12分)【点睛】本题给出实际应用问题,求函数表达式并确定某个时刻能否开空调.着重考查了三角函数的图象与性质和三角函数在实际生活中的应用等知识,属于中档题.【变式3-2】(2019秋•宁波期末)2010年的元旦,宁波从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数y =A sin(ωx+φ)+b(A,ω>0,|φ|≤π).从天气台得知:宁波在2010的第一天的温度为1到9度,其中最高气温只出现在下午14时,最低气温只出现在凌晨2时.(Ⅰ)求函数y=A sin(ωx+φ)+b的表达式;(Ⅱ)若元旦当地,M市的气温变化曲线也近似地满足函数y=A1sin(ω1x+φ1)+b1,且气温变化也为1到9度,只不过最高气温和最低气温出现的时间都比宁波迟了四个小时.(ⅰ)求早上七时,宁波与M市的两地温差;(ⅱ)若同一时刻两地的温差不差过2度,我们称之为温度相近,求2010年元旦当日,宁波与M市温度相近的时长.【分析】(Ⅰ)由已知可得,b=5,A=4,T=24,从而可确定ω,又最低气温只出现在凌晨2时,可求φ,从而可求函数表达式;(Ⅱ)由已知得M市的气温变化曲线近似地满足函数,从而问题得解.【答案】解:(Ⅰ)由已知可得,b=5,A=4,T=24,∴ω=,∵最低气温只出现在凌晨2时,∴2ω+φ=,∵|φ|≤π),∴φ=,则所求函数为(Ⅱ)由已知得M市的气温变化曲线近似地满足函数,y﹣y2=4sin(x﹣π)+5﹣4sin(x﹣π)﹣5=4sin(x﹣π)(ⅰ)当x=7,(ⅱ)由,解得2≤x≤6或14≤x≤18,则10年后元旦,宁波与M市温度相近的时长为8小时.【点睛】本题主要考查三角函数模型的运用,关键是挖掘问题的本质,确定三角函数的模型,进而表达出函数模型,解决实际问题【变式3-3】某地一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:小时)的变化近似满足函数关系:f(t)=24﹣8sin(ωt+),t∈[0,24),ω∈(0,),且早上8时的温度为24℃.(1)求函数的解析式,并判断这一天的最高温度是多少?出现在何时?(2)当地有一通宵营业的超市,为了节省开支,规定在环境温度超过28℃时,开启中央空调降温,否则关闭中央空调,问中央空调应在何时开启?何时关闭?【分析】(1)根据题意求出ω的值,确定函数的解析式,利用正弦函数的图象与性质求得出现最高温时t的值;(2)令f(t)=28,求出t的值即可得出结论.【答案】解:(1)∵f(t)=24﹣8sin(ωt+),且早上8时的温度为24℃,即f(8)=24,∴sin(8ω+)=0,∴8ω+=kπ,k∈Z,解得ω=(k﹣)π,k∈Z;又ω∈(0,),∴k=1时,ω=;∴函数f(t)=24﹣8sin(t+),t∈(0,24];又sin(t+)=﹣1时,f(t)取得最大值,且t+∈(,],∴令t+=,解得t=14,即这一天在14时(也是下午2时)出现最高温度,最高温度是32℃;(2)依题意:令24﹣8sin(t+)=28,可得sin(t+)=﹣,∵(t+)∈(,),∴t+=或t+=,解得t=10或t=18,即中央空调应在上午10时开启,下午18时(即下午6时)关闭.【点睛】本题考查了三角函数在实际应用中的问题,解题时应建立数学模型,利用三角函数解决实际问题,是基础题目.【考点4 三角函数模型在物理学中的应用】【例4】单摆从某点开始来回摆动,它相对于平衡位置O的位移S(厘米)和时间t(秒)的函数关系为:S =A sin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ<),已知单摆每分钟摆动4次,它到平衡位置的最大位移为6厘米,摆动起始位置相对平衡位置的位移为3厘米.求:(1)S和t的函数关系式;(2)第2.5秒时单摆的位移.【分析】(1)利用已知条件求出函数的周期,振幅,利用函数的图象上的特殊点求出初相,即可得到S 和t的函数关系式.(2)代入t=2.5,求出S即可.【答案】解:(1)单摆每分钟摆动4次,函数的周期为:25s.,解得:ω=,它到平衡位置的最大位移为6厘米,A=6,摆动起始位置相对平衡位置的位移为3厘米.说明函数的图象经过(0,3),∴3=6sin(×0+φ),(0<φ<),∴φ=.S和t的函数关系式:S=6sin(t+).(2)第2.5秒时单摆的位移S=6sin(×2.5+)=6×=3.第2.5秒时单摆的位移为:3.【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法与应用,考查分析问题解决问题的能力.【变式4-1】若弹簧挂着的小球做简谐运动,时间t(s)与小球相对于平衡位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之间的函数关系式是h=2sin(ωt+),t∈[0,+∞),其图象如图所示.(1)求ω(ω>0)的值;(2)小球开始运动(即t=0)时的位置在哪里?(3)小球运动的最高点、最低点与平衡位置的距离分别是多少?【分析】(1)根据函数h(t)的图象与性质,求出周期T与ω的值;(2)计算t=0时h(0)的值即可;(3)求出小球运动到最高点时h1与最低点时h2的值,再计算绝对值即可.【答案】解:(1)根据函数h=2sin(ωt+),t∈[0,+∞)的图象知,=π﹣=π,∴周期T=2π,∴=2π,又ω>0,∴ω=1;(2)当t=0时,h(0)=2sin=,∴小球开始运动(即t=0)时,位置在点(0,)处;(3)小球运动的最高点时h1=2,最低点时h2=﹣2,∴小区在最高点与最低点处与平衡位置的距离分别是|h1|=2和|h2|=2.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了数形结合的解题思想,是基础题目.【变式4-2】(2019秋•江宁区校级期末)已知交流电的电流强度I(安培)与时间t(秒)满足函数关系式I=A sin(ωt+φ),其中A>0,ω>0,0≤φ<2π.(1)如右图所示的是一个周期内的函数图象,试写出I=A sin(ωt+φ)的解析式.(2)如果在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A和最小值﹣A,那么正整数ω的最小值是多少?【分析】(1)结合三角函数的图象求出A,周期,过的平衡点,利用三角函数的周期公式求出ω,将平衡点的坐标代入整体角求出φ.(2)将问题转化为三角函数的周期范围,利用周期公式求出ω的最小值.【答案】解:(1)由图知函数的最大值为300所以A=300由图知函数的最小正周期为T=2()=,又T=∴ω=150π当t=时,I=0所以解得所以;(2)据题意知又∴ω≥300πωmin=943.【点睛】本题考查知三角函数的图象求解析式:其中A由图象的最值点求得;ω由周期确定;φ由特殊点确定.【变式4-3】如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系是s =A sin(ωt+φ),0<φ<,根据图象,求:(1)函数解析式;(2)单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少?(3)单摆来回摆动一次需要多长时间?【分析】(1)求出解析式中的参数,即可求出函数解析式;(2)A=6,可得单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离;(3)T=1,可得单摆来回摆动一次需要的时间.【答案】解:(1)由题意,﹣=T,∴T=1,∴=1,∴ω=2π,∵t=,s最大,∴2π•+φ=,∴φ=,∵t=0,s=3,∴A=6,∴s=6sin(2πt+);(2)A=6,单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是6cm;(3)T=1,单摆来回摆动一次需要1s.【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法与应用,考查分析问题解决问题的能力.。

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