微积分总复习题与答案

第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx ⎰

解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ϕ==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1

sin 3sin 3(3)3

x x x =，故有

例2：求不定积分

(0)a >

解：为了消去根式，利用三解恒等式2

2

sin cos 1t t +=，可令sin ()2

2

x a t t π

π

=-

<<

，则

cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分

化为

由于sin ()2

2

x a t t π

π

=-

<<

，所以sin x

t a

=

，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写

出cos t ==

邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ⎰

分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为'

1u =）

解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-.

于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++⎰⎰⎰⎰

。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： 例4：求微分方程

21dy

y dx

-=的通解。 解：原方程为可分离变量的方程，移项分离变量得

12dy dx y =+，两端积分得：12dy dx y =+⎰⎰，得11

ln 212y x C +=+ 从而

122111ln 21222

C x e y x C y e +=+=±-。 因为122C e ±仍然是常数，把它记做C ，故原方程的通解为212

x

y Ce =-其中C 为任意常数

例5：求微分方程

22

dy y x dx x

+=的通解 解：这是一个一阶线性非齐次方程，通解公式为()()(())p x dx p x dx

y e Q x e dx C -⎰

⎰=+⎰

在本题中22

(),()P x Q x x x

=

=，由通解公式知 = 52ln 22ln 4

2211()()()5

x

x

x e

x e

dx C x dx C C x x -+=+=+⎰⎰

即原方程的通解为：2

25

C x y x =+

例6：求定积分

1

20

x dx ⎰

分析：设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，()F x 是在[,]a b 上的一个原函数，则

)()()(a F b F dx x f b

a

-=⎰

，这就是牛顿-莱布尼茨公式。

解：根据牛顿-莱布尼茨公式，因为33

x 是2

x 的一个原函数，所以原式有

例7：求定积分

8

0⎰

分析：在应用定积分换元时应注意两点：

（1） 换元必换限，上限对上限，下限对下限，即如果用()x t ϕ=把原来的变量换成了新

变量t ，积分限也必须也必须换成新变量t 的积分限，并且原来下限对应的参数做下限，上限对应的参数做上限。

（2） 求出换元后的原函数()t φ后，不必像计算不定积分那样将它还原成x 的函数，只需

将新变量的上、下限带入相减即可。

解 t =，即3x t =，于是2

3dx t dt =，并且当x=0时，

t=0；当x=8时，t=2，因此由换元公式有 =2

220

001

13

(1)3[(1)(1)]11

t dt t dt d t t t -+

=-++++⎰

⎰⎰

=2

223[()ln(1)]3ln 3002

t t t -++=

例8：计算定积分

1

x xe dx -⎰

分析：定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数，再用牛顿-莱布

尼茨计算定积分是一样的．因此，定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型与不定积分

的分部积分法完全一样．

解 令u x =，x

dv e dx -=，则,x du dx v e -==-．故由分部积分公式得

例９ 求反常积分

x xe dx +∞

-⎰

分析： 设()f x 在[,)a +∞或(,]b -∞或(,)-∞+∞上连续，定义反常积分 若上述极限存在，则称相应的反常积分收敛，否则称其发散． 解 因为

1

()10b

x b b b be

e e

--+=-+=- ，

所以 0

1lim

lim (1)b

x

x b

b b b xe dx xe dx e +∞

--→+∞→+∞

+==-

⎰

⎰

1

1lim 1b b b e →+∞+=-=

这里．极限1lim

b b b e →+∞+是∞

∞

型未定式，由洛必达法则易知其极限为０

例１０ 计算由抛物线2

y x =与2

y x =，0,1x x ==所围阴影图形的面积

分析：设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，并且()()([,])f x g x x a b ≥∈，则由曲线

()y f x =与()y g x =以及,x a x b ==所围成的图形面积Ａ为[()()]b

a

A f x g x dx =-⎰

解 联立两抛物线方程2

2

y x x y ⎧=⎨=⎩，得交点(0,0),(1,1)O B ，并且由图形可知当[0,1]x ∈时均

有2

()()f x x g x =>=，则所求图形面积为31

2

32

01211)[]033

3A x dx x x ==-=⎰

第六章 多元函数微积分

1．基本要求

（1）了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义，知道求二元函数的定义域。 （2）了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶偏导数和全微分。 （3）了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法。 2．本章重点难点分析

（1） 本章重点：二元函数的定义域、多元复合函数一阶偏导数和全微分以及二重积分的

计算方法。

（2） 本章难点：一阶偏导数、全微分以及二重积分的计算。 3．本章典型例题分析

例1. 求函数(x y) cos sin(x y)z 2

+=的一阶偏导数. 解: 把y 看成常数, 对x 求导. 例2. 设,y

x

xy z +

=求dz