高中数学有关平面向量的公式的知识点总结

定比分点定比分点公式（向量P1P=向量PP2）

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数，使向量P1P=向量PP2，叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

OP=(OP1+OP2)(1+)；（定比分点向量公式）

x=(x1+x2)/(1+),

y=(y1+y2)/(1+)。（定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

三点共线定理

若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心

[编辑本段]向量共线的重要条件

若b0，则a//b的重要条件是存在唯一实数，使a=b。

a//b的重要条件是 xy-xy=0。零向量0平行于任何向量。

[编辑本段]向量垂直的充要条件

ab的充要条件是 ab=0。

ab的充要条件是 xx+yy=0。

零向量0垂直于任何向量.

设a=（x，y），b=(x，y)。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x，y+y)。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即共同起点，指向被减

a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y).

4、数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且∣a∣=∣∣∣a∣。

当＞0时，a与a同方向；

当＜0时，a与a反方向；

当=0时，a=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数，都有a=0。

注：按定义知，如果a=0，那么=0或a=0。

实数叫做向量a的系数，乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（＞0）或反方向（＜0）上伸长为原来的∣∣倍；

当∣∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（＞0）或反方向（＜0）上缩短为原来的∣∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(a)b=(ab)=(ab)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.

数对于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b.

数乘向量的消去律：①如果实数0且a=b，那么a=b。②如果a0且a=a，那么=。

3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0〈a,b〉

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos 〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy。

向量的数量积的运算律

ab=ba（交换律）；

(a)b=(ab)(关于数乘法的结合律)；

（a+b)c=ac+bc（分配律）；

向量的数量积的性质

aa=|a|的平方。

ab 〈=〉ab=0。

|ab||a||b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)^2a^2b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c。

3、|ab||a||b|

4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作ab。若a、b不共线，则ab的模是：∣ab∣=|a||b|sin〈a，b〉；ab的方向是：垂直于a和b，且a、b 和ab按这个次序构成右手系。若a、b共线，则ab=0。

向量的向量积性质：

∣ab∣是以a和b为边的平行四边形面积。

aa=0。

a‖b〈=〉ab=0。

向量的向量积运算律

ab=-ba；

（a）b=（ab）=a（b）；

（a+b）c=ac+bc.

注：向量没有除法，向量AB/向量CD是没有意义的。

向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣∣a+b∣∣a∣+∣b∣；

①当且仅当a、b反向时，左边取等号；

②当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣∣a-b∣∣a∣+∣b∣。

①当且仅当a、b同向时，左边取等号；

②当且仅当a、b反向时，右边取等号。