正多面体四、欧拉定理15页PPT
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多面体欧拉定理(二)-12页PPT资料
——多面体欧拉定理(二）
制作：杨建楠
复习：
1、欧拉定理（公式） VFE2
2、欧拉示性数 ff((pp))?VFE
是否所有的多面体的欧拉示性数都是2？
3、什么样的多面体叫做简单多面体？ 什么样的凸多面体叫做正多面体？
证明为：设什正么多面正体的多每个面面边体数为只x，有每个五顶点种的呢棱数？为y,
则多面体有F个面，有V个顶点，棱数
E xF yV 22
F2E,V2E,
x
y
代入欧拉公式得： 2E2EE2
xy
11 1 1 x y E2
又x, y都不小于3，但
又不能同时大于3，
否则 11111110 不成立
E x y 2 442
所以x, y 中至少有一个为3，若x=3，则
2
y (x 2) y
代入欧拉公式得
20x 2010x 2 (x2)y x2 x2
x2 10 3y5
x3,xN*, y3,yN*, 3y5, y3,4,5. y3,4时， xN*,y5时， x3
所以这个多面体的各面是三角形，各顶点处 有5条棱。
这个多面体有12个顶点，20个面，30条棱。
例2：一个凸多面体每面的边数相同，每
个顶点处的棱数也相同，若各个面的内角
总和为36000，求这个多面体的面数F，顶
点数V及棱数E。
解：设多面体的每个面边数为x，每个顶点连
的棱数为y,则 3600 F(x2)180F 20
E Fx 10x ,
x2
2 x2
E VyV 2E 20x
例3：设多面体共有V个顶点， 求证：它的各面多边形内角和 为（V－2）·3600 。
证明：设各面为E1、E2、…EF边形，则内 角和为
制作：杨建楠
复习：
1、欧拉定理（公式） VFE2
2、欧拉示性数 ff((pp))?VFE
是否所有的多面体的欧拉示性数都是2？
3、什么样的多面体叫做简单多面体？ 什么样的凸多面体叫做正多面体？
证明为：设什正么多面正体的多每个面面边体数为只x，有每个五顶点种的呢棱数？为y,
则多面体有F个面，有V个顶点，棱数
E xF yV 22
F2E,V2E,
x
y
代入欧拉公式得： 2E2EE2
xy
11 1 1 x y E2
又x, y都不小于3，但
又不能同时大于3，
否则 11111110 不成立
E x y 2 442
所以x, y 中至少有一个为3，若x=3，则
2
y (x 2) y
代入欧拉公式得
20x 2010x 2 (x2)y x2 x2
x2 10 3y5
x3,xN*, y3,yN*, 3y5, y3,4,5. y3,4时， xN*,y5时， x3
所以这个多面体的各面是三角形，各顶点处 有5条棱。
这个多面体有12个顶点，20个面，30条棱。
例2：一个凸多面体每面的边数相同，每
个顶点处的棱数也相同，若各个面的内角
总和为36000，求这个多面体的面数F，顶
点数V及棱数E。
解：设多面体的每个面边数为x，每个顶点连
的棱数为y,则 3600 F(x2)180F 20
E Fx 10x ,
x2
2 x2
E VyV 2E 20x
例3：设多面体共有V个顶点， 求证：它的各面多边形内角和 为（V－2）·3600 。
证明：设各面为E1、E2、…EF边形，则内 角和为
[高中数学课件]欧拉公式
![[高中数学课件]欧拉公式](https://img.taocdn.com/s3/m/8f2fb454a98271fe910ef967.png)
例3、简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求 这个多面体的面数和棱数。
例4、足球可以看成由12个五边形和20个六边形相间围成的多面体，问这个 多面体有多少条棱？多少个顶点？
例5、求棱长为a的正八面体的全面积和体积．
结束 谢谢观赏！
个数、顶点数、边数分别为
F、V、E。
思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, ···nF边形，各个面的内角总和是多少？
(n1-2) ·1800+ (n2-2) ·1800+···+ (nF-2) ·1800=(n1+n2+···+nF-2F）·1800 思考3： n1+n2+···+nF和多面体的棱数E有什么关系
n1+n2+···+nF=2E
问题2：如何证明欧拉公式
E1 A1
D1 B1 C1
D
E A
C B
D
D1
E
E1
A1
C1 C
B1
A
B
多边形角和=（E-F）·3600
思考4：设平面图形中最大多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它和它内部的 全体多边形的内角总和是多少？
2（m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600
新授课 问题1：数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表
1
2
3
4
图形编号 1 2 3 4
顶点数V 4 8 6 9
面数F 4 6 8 8
棱数E 6 12 12 15
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
观察下列几何体是否满足欧拉公式：
简单多面体： 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。
多面体的欧拉定理共34页PPT
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
多面体的欧拉定理
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
高二数学欧拉定理PPT课件
3.欧拉定理及应用
讨论:
C60的分子结构中,正五边形和正六边形各 有几个？
； / 南京荤场
nrx49ksp
着说：“不错，还满喜庆呢！”耿老爹也说：“呵，还准备了这么一块大红色篷布！不错啊，这一下就不再是送‘灵车’了！”李尚武
说：“改成送‘喜’车了！”尚武说着，欲搀扶耿老爹上车。耿老爹却摆摆手笑着说：“咱们不坐车了，都走着回家去！”又指着北面
脏！你自个儿去洗哇。”尚武说：“那我也懒得洗了，咱们这就睡吧！”这是一间并不很大的客房，盘有一条可以睡得开四个人的火炕，
但那天只住了耿老爹父子俩人。于是，尚武展开铺盖，父子俩就松松地躺下睡了。哪里想到，躺在火炕上的尚武老是思忖着明日里义父
与义母和义妹的艰难重逢，小小年纪的他竟然难以入睡，而耿老爹则更是辗转反侧，苦苦地折磨了自己一整夜。如此，父子俩几乎都是
隐约可见的一片房舍说：“武儿你看，就在那儿，不远了，也就三百多步！”那边，耿正已经牵起了大白骡。宽阔的南北大道上，耿英
和耿直一边一个挽着耿老爹的胳膊走在前面，耿正和李尚武各牵高头大骡拉着大平车并排跟在后面。耿老爹望着阔别九年多了魂牵梦萦
的家，踏踏实实地走去，走回去……且说徒步跟在耿正兄妹三人车后的那三个男人，他们看到骡车不走了，也就分散开了坐在了离骡车
彻夜未眠。次日一早，俩人在客栈里胡乱吃了一点儿早饭以后，就乘坐大骡车继续顺着延绵北上的大路出发了。大骡车终于慢悠悠地进
入到了故乡的土地，迎面
-
15
分析：设有简单多面体棱数E=6， 由欧拉公式V+F-E=2得V+F=8 又V≥4，F≥4，所以V+F≥8 所以V=4、F=4，即有4个顶点、4个面。 由于四面体有且只有4个顶点，从面有且只有4个面 所以符合条件的多面体只有一种类型：四面体即三 棱锥。
讨论:
C60的分子结构中,正五边形和正六边形各 有几个？
； / 南京荤场
nrx49ksp
着说：“不错，还满喜庆呢！”耿老爹也说：“呵，还准备了这么一块大红色篷布！不错啊，这一下就不再是送‘灵车’了！”李尚武
说：“改成送‘喜’车了！”尚武说着，欲搀扶耿老爹上车。耿老爹却摆摆手笑着说：“咱们不坐车了，都走着回家去！”又指着北面
脏！你自个儿去洗哇。”尚武说：“那我也懒得洗了，咱们这就睡吧！”这是一间并不很大的客房，盘有一条可以睡得开四个人的火炕，
但那天只住了耿老爹父子俩人。于是，尚武展开铺盖，父子俩就松松地躺下睡了。哪里想到，躺在火炕上的尚武老是思忖着明日里义父
与义母和义妹的艰难重逢，小小年纪的他竟然难以入睡，而耿老爹则更是辗转反侧，苦苦地折磨了自己一整夜。如此，父子俩几乎都是
隐约可见的一片房舍说：“武儿你看，就在那儿，不远了，也就三百多步！”那边，耿正已经牵起了大白骡。宽阔的南北大道上，耿英
和耿直一边一个挽着耿老爹的胳膊走在前面，耿正和李尚武各牵高头大骡拉着大平车并排跟在后面。耿老爹望着阔别九年多了魂牵梦萦
的家，踏踏实实地走去，走回去……且说徒步跟在耿正兄妹三人车后的那三个男人，他们看到骡车不走了，也就分散开了坐在了离骡车
彻夜未眠。次日一早，俩人在客栈里胡乱吃了一点儿早饭以后，就乘坐大骡车继续顺着延绵北上的大路出发了。大骡车终于慢悠悠地进
入到了故乡的土地，迎面
-
15
分析：设有简单多面体棱数E=6， 由欧拉公式V+F-E=2得V+F=8 又V≥4，F≥4，所以V+F≥8 所以V=4、F=4，即有4个顶点、4个面。 由于四面体有且只有4个顶点，从面有且只有4个面 所以符合条件的多面体只有一种类型：四面体即三 棱锥。
人教A版数学选修3-3 球面上的几何第六讲第二节多面体欧拉定理的发现与简单应用 (共13张PPT)
人教新课标2003版选修3-3《球面上的几何》 第六讲（二）《简单多面体的欧拉公式》
足球表面有多少个正五边形
——多面体欧拉定理的发现与简单应用
一、从生活中发现问题
足球表面有多少个正五 边形和正六边形？
二、分组讨论，分析问题
初步结论：
1、每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮； 2、每两个相邻的多边形恰有一条公共的边； 3、每个顶点处都有三块橡皮，而且是一个正 五边形、二个正六边形； 4、共32个面，更进一步可以得到60个顶点， 90条棱……
富勒烯
四、合作探究，深入研究问题
（一）查阅相关资料，证明欧拉公式
（二）查阅相关资料，了解欧拉相关生平 （三）查阅相关资料，了解富勒烯的相关知识
（四）查阅相关资料，通过证明欧拉公式，了解拓扑学相关 知识 （五）查阅相关资料，了解凸多面体与简单多面体与球同胚的定 义
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情 钱的时候不磨叽， 生活不会因为你哭泣而对你温柔， 连孩子都知道，想要的东西，要踮起脚尖，自己伸手去拿，所以不要什么都不做，还什么都想要。但你可以通过努
足球表面有多少个正五边形
——多面体欧拉定理的发现与简单应用
一、从生活中发现问题
足球表面有多少个正五 边形和正六边形？
二、分组讨论，分析问题
初步结论：
1、每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮； 2、每两个相邻的多边形恰有一条公共的边； 3、每个顶点处都有三块橡皮，而且是一个正 五边形、二个正六边形； 4、共32个面，更进一步可以得到60个顶点， 90条棱……
富勒烯
四、合作探究，深入研究问题
（一）查阅相关资料，证明欧拉公式
（二）查阅相关资料，了解欧拉相关生平 （三）查阅相关资料，了解富勒烯的相关知识
（四）查阅相关资料，通过证明欧拉公式，了解拓扑学相关 知识 （五）查阅相关资料，了解凸多面体与简单多面体与球同胚的定 义
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情 钱的时候不磨叽， 生活不会因为你哭泣而对你温柔， 连孩子都知道，想要的东西，要踮起脚尖，自己伸手去拿，所以不要什么都不做，还什么都想要。但你可以通过努
多面体欧拉定理的发现课件
多面体欧拉定理的发现ppt课 件
目
CONTENCT
录
• 欧拉简介 • 多面体的基本概念 • 欧拉定理的发现过程 • 欧拉定理的影响 • 欧拉定理的现代研究
01
欧拉简介
生平简介
01
02
03
04
出生
教育
职业
1707年，瑞士数学家、物理学 家莱昂哈德·欧拉出生于瑞士巴 塞尔的一个牧师家庭。
1720年，进入巴塞尔大学学习 ，1727年毕业并获硕士学位。
80%
欧拉定理
在几何学中，欧拉定理是关于多 面体的一个重要定理，它指出一 个凸多面体的顶点数、面数和棱 数之间的关系。
02
多面体的基本概念
多面体的定义
总结词
由多个平面围成的几何体
详细描述
多面体是一个由多个平面围成的几何体，这些平面在空间中相互连接，形成一个封闭的空间结构。多面体的每个 面都是一个封闭的二维多边形。
多面体的性质
总结词
具有特定的几何属性
详细描述
多面体具有一些特定的几何属性，如体积、表面积、对称性等。这些属性可以 通过多面体的边长、角度等参数进行计算和描述。
多面体的分类
总结词
根据边数、顶点数等进行分类
详细描述
多面体可以根据其边数、顶点数、面的形状等因素进行分类。常见的多面体有四面体、六面体、八面 体等。此外，还有多面体的变种，如星状多面体、截角多面体等。
欧拉定理的影响
对几何学的影响
深化了几何学理论
欧拉定理的发现为几何学提供了一个新的理论框架 ，使得几何学的研究更加深入和系统化。
促进了几何学与其他学科的交叉
欧拉定理的应用范围广泛，可以与其他学科如物理 学、工程学等相结合，促进了几何学与其他学科的 交叉融合。
目
CONTENCT
录
• 欧拉简介 • 多面体的基本概念 • 欧拉定理的发现过程 • 欧拉定理的影响 • 欧拉定理的现代研究
01
欧拉简介
生平简介
01
02
03
04
出生
教育
职业
1707年，瑞士数学家、物理学 家莱昂哈德·欧拉出生于瑞士巴 塞尔的一个牧师家庭。
1720年，进入巴塞尔大学学习 ，1727年毕业并获硕士学位。
80%
欧拉定理
在几何学中，欧拉定理是关于多 面体的一个重要定理，它指出一 个凸多面体的顶点数、面数和棱 数之间的关系。
02
多面体的基本概念
多面体的定义
总结词
由多个平面围成的几何体
详细描述
多面体是一个由多个平面围成的几何体，这些平面在空间中相互连接，形成一个封闭的空间结构。多面体的每个 面都是一个封闭的二维多边形。
多面体的性质
总结词
具有特定的几何属性
详细描述
多面体具有一些特定的几何属性，如体积、表面积、对称性等。这些属性可以 通过多面体的边长、角度等参数进行计算和描述。
多面体的分类
总结词
根据边数、顶点数等进行分类
详细描述
多面体可以根据其边数、顶点数、面的形状等因素进行分类。常见的多面体有四面体、六面体、八面 体等。此外，还有多面体的变种，如星状多面体、截角多面体等。
欧拉定理的影响
对几何学的影响
深化了几何学理论
欧拉定理的发现为几何学提供了一个新的理论框架 ，使得几何学的研究更加深入和系统化。
促进了几何学与其他学科的交叉
欧拉定理的应用范围广泛，可以与其他学科如物理 学、工程学等相结合，促进了几何学与其他学科的 交叉融合。
多面体欧拉理的发现-PPT精选文档
问题2这.图些中图有形三符个合多前面面体找,分出别的数规出律它们 的顶点V+数FV-E、=2面吗数? F和棱数E,并填表。
3
1
2
图形编号 顶点数V
面数F
棱数E
1
5
5
8
2
12
12
24
3
7
8
12
比较问题1和问题2中的图形,如果这些 多面体的表面都是用橡皮薄膜制作的, 并且可以向它们的内部充气那么其中 哪些多面体能够连续(不破裂)变形,最后 其表面可变为一个球面？
像以上那样的连续变形中,表面能变为 一个球面的多面体,叫简单多面体. 思考:前面的多面体中,哪些是简单多面 体？棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体 是简单多面体吗？ 猜想:简单多面体的顶点数V,面数F的和 与棱数E之间存在的规律？
V+F-E=2
两个结论
多面体欧拉定理的发现
问的题顶1.图点中数规有V律,5面个:数V多F+面和F体-棱E,数分=2E别,并数填出表它:们(ຫໍສະໝຸດ )(2)(3) (4)
图形编号 1 2
顶点数V 4 8
面数F 4 6
棱数E 6 12
3
6
8
12
5
4
9
8
15
5
9
9
16
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多面体欧拉定理的发现
验证
成功
V + F – E = 16 + 16 – 32 = 0
失败
第四步：
修正猜想
简单多面体付合猜想
非简单多面体不符合猜想
第五步：进一步猜想欧拉公式
一般地，简单多面体的顶点数V、面 数F和棱数E之间有关系：
V+F–E=2
三、简单多面体欧拉公式的证明
１、去掉一个面将多面体压缩为平面图形
Ａ
Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ
２、将所得平面图形外围的线段逐一去掉
Ｂ
Ａ
Ｄ Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
在此过程中图形的Ｖ＋Ｆ－Ｅ并没有改变
３、从剩下的树枝形中，逐一去掉线段，
直至只剩一条线段
Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ａ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
在此过程中图形的Ｖ＋Ｆ－Ｅ依然没有改变
Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２＋０－１＋１＝２
欧拉生平：（Euler 公元1707-1783年）
同学们再见！
研究性学习课题：
多面体欧拉定理的发现
课件制作:雷应宇
一、平面多边形的顶点数与边数
平面多边形的顶点数与边数相等
二、多面体的顶点数，面数和棱数
之间有没特定的关系呢
第一步：
观察
正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
顶点数 V
面数 F
棱数 E
第二步：
猜想Leabharlann V+F–E=2第三步：
练习： 1、正十二面体的面数,棱数,顶点数分别是:（ A.12 30 30 C.12 20 30 B.12 20 20 D.12 30 20
）
2、Ｃ7０是由7０个Ｃ原子构成的分子， 它的结构为简单多面 体．这个多面体有7０个顶点，在每个顶点处都有3条 棱，面的 形状只有五边形和六边形，你能计出Ｃ7０有多少 个五边形和六 边形吗？
多面体与欧拉公式PPT教学课件
于是，人们又把狼“请”了回来。狼还是吃
鹿，为了避免让狼捉到，狼一来鹿就跑，在这 种相互竞争中，鹿的数目不但没有减少，反而 更强壮了。
自然界就是这样的奇妙，狼成了鹿的医生了。
问题 为什么动物的数量不能无限增长呢？
生物与生物之间是相互依赖的，相 互制约的关系。
草
兔
问题1 兔子为什么要题2:欧拉公式的应用
例1、有没有棱数是7 的简单多面体？ 解：假设有一个简单多面体的棱数E=7。
根据欧拉公式得 V+F=E+2=9 因为多面体的顶点数V≥4，面数F≥4，所以只有两种 情形：
V=4，F=5或V=5，F=4。 但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有 四个顶点。所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体
欧拉公式
学习目标
1 了解直棱住及正棱锥的直观图画法、 正多面体的概念、欧拉定理
2 了解正多面体的棱数与每个面的边数、面 数的关系及正多面体的棱数与每一个顶点的 棱数、面数的关系
3 了解欧拉示性数及欧拉公式的简单用途
4了解简单多面体各面的内角和=(E-F)×3600 =( V-2)×3600
新授课 问题1：数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表
1
2
3
4
图形编号 1 2 3 4
顶点数V 4 8 6 9
面数F 4 6 8 8
棱数E 6 12 12 15
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
充以气体？
充以气体？
1简单多面体：
表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。
棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体
2 欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E及面数间F 有关系V+F-E=2
鹿，为了避免让狼捉到，狼一来鹿就跑，在这 种相互竞争中，鹿的数目不但没有减少，反而 更强壮了。
自然界就是这样的奇妙，狼成了鹿的医生了。
问题 为什么动物的数量不能无限增长呢？
生物与生物之间是相互依赖的，相 互制约的关系。
草
兔
问题1 兔子为什么要题2:欧拉公式的应用
例1、有没有棱数是7 的简单多面体？ 解：假设有一个简单多面体的棱数E=7。
根据欧拉公式得 V+F=E+2=9 因为多面体的顶点数V≥4，面数F≥4，所以只有两种 情形：
V=4，F=5或V=5，F=4。 但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有 四个顶点。所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体
欧拉公式
学习目标
1 了解直棱住及正棱锥的直观图画法、 正多面体的概念、欧拉定理
2 了解正多面体的棱数与每个面的边数、面 数的关系及正多面体的棱数与每一个顶点的 棱数、面数的关系
3 了解欧拉示性数及欧拉公式的简单用途
4了解简单多面体各面的内角和=(E-F)×3600 =( V-2)×3600
新授课 问题1：数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表
1
2
3
4
图形编号 1 2 3 4
顶点数V 4 8 6 9
面数F 4 6 8 8
棱数E 6 12 12 15
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
充以气体？
充以气体？
1简单多面体：
表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。
棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体
2 欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E及面数间F 有关系V+F-E=2
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正多面体四、欧拉定理
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特