人教版高中数学必修一《对数与对数运算》之《对数的运算》导学案

第2课时对数的运算

课时目标

1.掌握对数的运算性质及其推导.

2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.

3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．

1．对数的运算性质

如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：

(1)log a (M ·N )＝____________________；

(2)log a M N

＝____________________； (3)log a M n ＝__________(n ∈R )．

2．对数换底公式

log a b ＝log c b log c a

(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)； 特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．

一、选择题

1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )

A ．log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )

B ．(log a x )n ＝n log a x

C.log a x n

＝log a n x D.log a x log a y

＝log a x －log a y 2．计算：log 916·log 881的值为( )

A ．18 B.118 C.83 D.38

3．若log 513

·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A ．9 B.19 C ．25 D.125

4．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1b

＝2，则A 等于( ) A ．15 B.15

C ．±15

D ．225

5．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3等于( )

A.a b －1

B.32(b －1)

C.3a 2(b ＋1)

D.3(a －1)2b 6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b

)2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14

二、填空题

7．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝_____________________________________.

8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.

9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定

的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23

lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．

三、解答题

10．(1)计算：lg 12－lg 58

＋lg 12.5－log 89·log 34； (2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b

的值． 11．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．

能力提升

x

A ．二

B ．四

C ．五

D ．七

13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，

估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13

？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

第2课时 对数的运算

知识梳理 1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M 2.1

作业设计 1．C

2．C [log 916·log 881＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83

.] 3．D [由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6

＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125

.] 4．B [∵3a ＝5b ＝A >0，

∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A .

由1a ＋1b

＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2， 得A 2＝15，A ＝15.]

5．C [∵log 89＝a ，∴lg 9lg 8

＝a . ∴log 23＝32

a .

lg 3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3a 2(b ＋1)

.] 6．A [由根与系数的关系可知lg a ＋lg b ＝2，

lg a lg b ＝12

. 于是(lg a b

)2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×12

＝2.] 7.65－3

解析 原式＝2(log 510＋log 50.5)＋(

3

25425－125425) ＝2log 5(10×0.5)＋213132225

5--- ＝2＋1

65－5＝65－3.

8．1

解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)

＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2

＝lg 5＋lg 2＝1.

9．1 000

解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1， 则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3. ∴E 2E 1

＝103＝1 000， 即汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹．

10．解 (1)方法一 lg 12－lg 58

＋lg 12.5－log 89·log 34 ＝lg(12×85×12.5)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝1－43＝－13

. 方法二 lg 12－lg 58

＋lg 12.5－log 89·log 34 ＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg 9lg 8·lg 4lg 3

＝－lg 2－lg 5＋3lg 2＋(2lg 5－lg 2)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3

＝(lg 2＋lg 5)－43＝1－43＝－13

. (2)方法一 由3a ＝4b ＝36得：a ＝log 336，b ＝log 436， 所以2a ＋1b

＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1. 方法二 因为3a ＝4b ＝36，所以1

36a ＝3, 136b

＝4， 所以(1

36a )2·

136b ＝32×4， 即2136a b

+＝36，故2a ＋1b

＝1. 11．解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0.

设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，