热学讲义

E − t * 图为直线。
-1-
（3）根据题目列表
t / ℃ -100 200 400 500
E /mV -25 20 0 t */ o -500/3 400/3 0
-25 -500/3
两种温标之间的关系为 t* = aE + b = aαt + aβ t2 ，t－t*关系如图 1.7 所示。
150
=
23.7 −12.5 ×1000cm3 23.7
= 472.6cm3
密度为
ρ
=
400g 472.6cm3
=
0.846×103 kg/m3 。
【例题 1.16】目前在室温下所能获得的极限真空度为 10-13torr（），在 4K 低温下所能获得的极限真 空度为 5×10-17torr。1torr=1mmHg，估算上述情况下，每立方厘米内分别有多少个分子。
（1） 用该温度计测量 300K 的温度时，气体的压强是多少？
（2） 当气体的压强为 68mmHg 时，待测的温度是多少？
【解】该题中，测温泡中的气体在水的三相点的压强 ptr=50mmHg，按照式（1.4），可得
（1）
p(T )
=
T 273.16K
ptr
=
300K 273.16K
50mmHg=54.9mmHg
由此可得
t = 5.0l − 20.0
（1） l(22°C) = 22 + 20.0 = 8.4(cm) 5.0
t − 0 = 100 − 0 l − 4.0 24.0 − 4.0
（2） t(25.4cm) = 5.0× 25.4 − 20.0 = 107.0(°C)
【例 1.3】当热电偶的一个触点保持在冰点，而另一个触点保持任一摄氏温度 t 时，其热电动势与温 度间的关系为
d 2h 4
，压强为
p
+
h
。由于是等温过程，有
pVB
=
π d 2h 4
(p
+
ρ gh)
π d2h
π d2h
p
=
VB
+
4 π
d 2h 4
ρ gh
≈
4 VB
ρ gh = 1.12 × 23π ρ gh = 3.9×10−3 mmHg 4 ×130
【例题 1.15】可以用图 1.23 所示的装置测量一些轻的矿物的密度，操作步骤如下： （1）打开活栓 K，使管 AB 和罩 C 与大气相通，上下移动 D 使左侧管中水银面在 n 处。 （2）关闭 K，将 D 上举，使水银面达到 m 处，记下 B、D 两管中水银面高度差 h1=12.5cm。 （3）打开 K，使水银面重新回到 n 处，将 400g 矿物投入 C 中，关闭 K。 （4）上举 D，使水银面重新达到 m 处，此时 B、D 两管中水银面高度差 h2=23.7cm。 已知罩 C 和 Am 管的容积共计 1000cm3，求矿物的密度。
若以上述数据求出 T(p)与 ptr 的关系，并外推至 ptr=0，即可得到相应的温度值。
T − 400.67 = 400.73 − 400.67
ptr −100
200 −100
即
T = 0.006 ptr + 400.61 于是沸点的理想气体温度为 T = 400.61K 。
或者，直接推算得 lim p 的数值。 lim p = 1.4666
20
0
-100
0
-20
100
200
300
400
500
600
t/ oC
-40
500
400
300
200
100
0
-40
-20
0
-100
20
40
E / mV
图 1.5 E − t 关系
图 1.6 E − t * 关系
（2）冰点时，E =0.0mV；汽点时，E =15.0mV。于是可求得 a=100/15 度·毫伏-1，b=0。
热学
热学 1 热现象及其微观机制
【例 1.2】一水银温度计浸在冰水中时，水银柱的长度为 4.0cm；浸在沸水中时，水银柱的长度为
24.0cm. （1）室温 22.0℃时，水银柱的长度是多少？ （2）若用该温度计测温时，水银柱的长度为 25.4cm，求这时的温度是多少.
【解】水银柱的长度与温度是线性关系，由此可知温度 t 与长度 l 必然满足下述方程
p ptr →0 tr
p ptr →0 tr
于是理想气体温度为
T ( p) = 273.16K × lim p = 273.16K ×1.4666 = 400.62K p ptr →0 tr
【例题 1.9】图 1.17 所示为一粗细均匀的 J 形管，其左端是封闭的，右侧与大气相通。已知 大气压强为 76cmHg，h1=80cm，h2=200cm.今从 J 形管右侧灌入水银，问当右侧水银灌满时， 左侧的水银柱有多高？设温度保持不变，J 形管水平部分的容积可忽略不计。
100
50
t
0
-100
0
-50
-100
-150
100
200
300
400
500
t*
图 1.7 t－t*关系 （4）温标 t 与电动势 E 之间是二次函数关系，每一个电动势有两个对应的温度，所以使用时要区分 温区（以 200℃为边界），才能使两者一一对应。而温标 t*与电动势 E 之间是一一对应的。
【例 1.4】定容气体温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时，其中气体的压强为 50mmHg.
【解】由气体状态方程 pV = nkT ，其中 n 为分子数，k 为玻尔兹曼常数，k=1.38 × 10−23 J·K−1。，
1torr=1/760atm≈133 Pa。于是有 n = p V kT
-5-
若 p = 10−13 torr ∼ 10−11Pa ， T = 300K ，算得 n = 109 m-3 = 103 cm-3 。 V
【解】由公式 n = pV 可算得容器中的分子数。 kT
在室温下， n1
=
1.0
×10−5 ×133×11.2×10−3 1.38×10−23 × 300
= 0.4 ×1018
而在高温下， n2
=
1.0
×10−2 ×133×11.2 ×10−3 1.38×10−23 × 573
= 1.9×1018
烘烤过程中器壁释放出了1.5×1018 个分子。
ptrV = C 。
根据定压气体温度计的定义，气体的温度为
T (V ) = 273.16K V = 273.16K ptrV = 273.16K C
Vtr
ptrVtr
Ctr
于是可得 C = Ctr T (V ) ，即 pV = Ctr T (V ) 。
273.16K
273.16K
其中 T (V ) 是定压温标所测得的温度。而对理想气体，该定压温标的温度就是热力学温度 T 。
若 p = 5×10−17 torr ∼ 7 ×10−15 Pa ， T = 4K ，算得 n = 108 m-3 = 102 cm-3 。 V
【例题 1.17】一容积为 11.2 升的真空系统已被抽至 1.0×10-5mmHg 的真空，为了提高真空度，将其 加热至 300℃烘烤，使器壁释放出所吸附的气体。若烘烤后压强增至 1.0×10-2mmHg，问由于烘烤使 器壁释放出了多少个气体分子？
（3）求出与 t=-100℃、200℃、400℃、500℃对应的 t*的数值，并画出 t－t*图。 （4）试比较温标 t 与 t*. 【解】（1）电动势与温度的对应值如下表所示。
t / ℃ -100 200 400 500 E /mV -25 20 0 -25
E − t 关系可用下图表示。
E /mV t* / o
T ( p) = 273.16K p ptr
由于冰点时测得的温度为 T ( p0 ) = 273.15K ，于是
lim p0 = T ( p0 ) = 273.15K = 0.99996 p ptr →0 tr 273.16K 273.16K
【例题 1.6】用定容气体温度计测量某种物质的沸点，原来测温泡在水的三相点时，其中气体的压强 ptr=500mmHg，当测温泡浸入待测物质时，测得的压强值为 p=734mmHg.从测温泡中抽出一些气体， 使 ptr 减为 200mmHg，重新测得 p=293.4mmHg.再抽出一些气体，使 ptr 进一步减为 100mmHg，测得 p=146.68mmHg.试据此确定待测物质沸点的理想气体温度. 【解】首先按照式（1.4），可得
平均平动动能为 103eV 时，温度 T
=
2 3k
ε
=
1000 3.88 ×10−2
× 300 = 7.7 ×106 K
【例题 1.17】质量为 50.0g 温度为 18.0℃的氦气装在容积为 10.0L 的封闭容器内，该容器以 v=200m/s 的速度作直线运动，若容器突然停止，定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，计算达到平 衡后氦气的温度和压强各增大多少。 【解】这部分气体的宏观动能为
若气体的摩尔体积为 v ，ν 摩尔气体的体积为V =ν v ，则在三相点， Ctr = ptrVtr =ν ptrvtr ，其
中 vtr 为理想气体在三相点时的摩尔体积。则状态方程可写为 pV =ν ptrvtr T 273.16K 可见普适气体常数为 R = ptrvtr 。 273.16K
【例题 1.14】图 1.22 为测量低气压的压力计，使用时，使压力计与待测容器 D 相连，把贮有水银的 瓶 R 缓缓上提，使水银进入容器 B，从而将 B 与 D 中的气体隔开。继续上提水银瓶 R，水银就进入 毛细管 k1 和 k2 内。当 k2 中的水银面与 k1 的顶端对齐时，停止提瓶。此时测得两毛细管中水银面的 高度差为 h=23mm。已知容器 B 的容积 VB=130cm3，毛细管的直径 d=1.1mm，求待测容器 D 中的气 压。
图 1.22 例题 1.14 【解】初始时在 B 中的气体，最后被压缩在 k1 中，选取这一部分气体为研究对象。
初始时气体的体积为VB + Vk1 ，由于 k1 的容积比 B 小得多，所以VB + Vk1 ≈ VB ，压强就是 D 中
待测气体的压强 p。
-4-
末态，上述气体被压缩至
k1
中，体积为
π
解得 h=27.3cm
80× 76=h × (196 + h)
-3-
左侧水银柱的高度为 52.7cm。
【例题 1.10】根据玻意耳定律和理想气体温标的定义导出理想气体的状态方程。
【解】由玻意耳定律，一定量的气体在温度保持不变时， pV = C 。
若用定压气体温度计测量，在三相点时，对这一部分气体，有 ptrVtr = Ctr ，在其他温度时，有
图 1.23 例题 1.15 【解】步骤（1）和（2）中，气体等温压缩，方程为
p0Vn = ( p0 + p1)Vm
设矿物的体积为 V，步骤（3）和（4）中，气体的方程为
p0 (Vn −V ) = ( p0 + p2 )(Vm −V )
上述两方程联立，消去 Vn，可解得 V，即
V
=
p2
− p2
p1
Vm
（2）T ( p) = 273.16K p = 273.16K × 68mmHg = 371.50K
ptr
50mmHg
【例 1.5】用定容气体温度计测得冰点的理想气体的温度是 273.15K，试求温度计内的气体在冰点时 的压强 p0 与在三相点时的压强 ptr 的极限值. 【解】根据定容理想气体温度计的定义，可得
图 1.17 例题 1.9 【解】灌入水银的过程中，只有左侧管中的空气被封闭起来，因而封闭在管中的空气，起初
长 度 为 h1 = 80cm ， 压 强 为 76mmHg 。 灌 入 水 银 后 ， 设 空 气 柱 的 长 度 为 h ， 则 压 强 为
76 + h2 − (h1 − h) = 196 + h(mmHg) ，由于温度不变，则有
【例题 1.16】估算常温下气体分子的平均平动动能是多少 eV？在多高的温度下，气体分子的平均平
动动能可达到 103eV？
【解】根据 ε = 3 kT ，可算得 2
常温下（300K）， ε = 3 kT = 3 ×1.38×10−23 × 300 = 6.21×10−21J=3.88×10−2 eV 22
-2-
T ( p) = 273.16K p ptr
三种不同的情况下，分别有
⎧ 735 ⎪⎪ 500
= 1.47
⎧401.55K
T ( p) = 273.16K
p
=
T
(
p)
=
273.16K
×
⎪ ⎨
293.4
=
1.467
= ⎪⎨400.73K
ptr
⎪ 200
⎪146.68 ⎪⎩ 100
=
1.4668
⎪⎩400.67K
E =αt + βt2
其中α =0.20 毫伏·度-1， β =-5.0×10-4 毫伏·度-2.
（1）试计算温度分别为-100℃、200℃、400℃、500℃时热电动势的值，并在此温度范围内作 E − t
图。
（2）如果以下式定义温标： t* = aE + b ，并规定冰点为 0 度，汽点为 100 度，试求出 a 和 b 的值， 并画出 E − t * 图。